新课改地区2021版高考数学一轮复习章函数及其应用25对数与对数函数课件新人教B版

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2021高考数学课标版理数一轮复习讲义：第六节对数与对数函数

第六节对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在化简运算中的作用.(2)理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(3)了解指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)对数的定义:一般地,如果①a x=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作②x=log a N,其中③a叫做对数的底数,④N叫做真数.(2)几种常见的对数:对数形式特点记法一般对数底数为a(a>0且a≠1)⑤log a N常用对数底数为10⑥lg N自然对数底数为e⑦ln N2.对数的性质与运算法则(1)对数的性质:a log a N=⑧N;log a a N=⑨N.(a>0且a≠1)(2)对数的重要公式:换底公式:⑩ log b N =log a Nlog ab (a,b 均大于0且不等于1);相关结论:log a b=1log ba ,log ab ·logb c ·log c d= log a d (a,b,c 均大于0且不等于1,d 大于0).(3)对数的运算法则:如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么 log a (MN)= log a M+log a N ; log a MN = log a M-log a N ; log a M n = nlog a M (n ∈R); lo g a m M n =nm log a M(m,n ∈R,且m ≠0). 3.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域:(0,+∞)值域:R图象恒过点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0是(0,+∞)上的增函数是(0,+∞)上的减函数▶提醒当对数函数的底数a 的大小不确定时,需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论.4.反函数指数函数y=a x(a>0,且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,从左到右底数逐渐增大.1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”).(1)log a(MN)=log a M+log a N.()(2)log a x·log a y=log a(x+y).()(3)log2x2=2log2x.()(4)若log a m<log a n,则m<n.()与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.()(5)函数y=ln1+x1-x,-1),函数图象经过第一、(6)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),(1a四象限.()答案(1)✕(2)✕(3)✕(4)✕(5)√(6)√π,c=π-2,则a,b,c的大小关系是()2.设a=log2π,b=lo g12A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a答案C3.计算:log23·log34+(√3)log34=.答案44.函数f(x)=log 2x,x ≥4的值域为 . 答案 [2,+∞)5.函数y=√log 0.5(4x -3)的定义域为 . 答案 (34,1]6.(教材习题改编)函数y=log a (4-x)+1(a>0,且a ≠1)的图象恒过点 . 答案 (3,1)对数的概念、性质与运算命题方向一对数的概念与性质典例1 (1)若log a 2=m,log a 5=n,则a 3m+n ( ) A.11B.13C.30D.40(2)已知2a =5b =10,则a+bab = . (3)设52log 5(2x -1)=9,则x= . 答案 (1)D (2)1 (3)2命题方向二对数的运算典例2 计算:(1)(lg 2)2+lg 2·lg 50+lg 25; (2)log 3√2743+lg 5+7log 72+log 23·log 94+lg 2; (3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解析 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)·lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.(2)原式=log 3334-1+lg 5+2+lg3lg2·2lg22lg3+lg 2=34-1+(lg 5+lg 2)+2+1=-14+1+3=154.(3)原式=log 32·log 43+log 32·log 83+log 92·log 43+log 92·log 83 =lg2lg3·lg32lg2+lg2lg3·lg33lg2+lg22lg3·lg32lg2+lg22lg3·lg33lg2 =12+13+14+16=1512=54. 规律方法对数运算的求解思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数的运算性质求解.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,将其转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.1-1 (1)(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 20-log 23·log 38+2(1+log 25)= .(2)如果45x =3,45y =5,那么2x+y= . 答案 (1)9 (2)1解析 (1)原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2+lg 10-log 23·log 28log 23+2·2log 25=1+1-3+10=9.(2)∵45x =3,45y =5,∴x=log 453,y=log 455,∴2x+y=2log 453+log 455=log 459+log 455=log 45(9×5)=1.对数函数的图象及应用典例3 (1)函数f(x)=ln|x-1|的大致图象是( )(2)当0<x ≤12时,4x <log a x(a>0且a ≠1),则a 的取值范围是( )A.(0,√22) B.(√22,1) C.(1,√2)D.(√2,2)(3)已知函数f(x)=4+log a (x-1)的图象恒过定点P,则点P 的坐标是 . 答案 (1)B (2)B (3)(2,4)解析 (1)当x>1时, f(x)=ln(x-1),又f(x)的图象关于直线x=1对称,故选B.(2)易知0<a<1,函数y=4x与y=log a x 的大致图象如图,则由题意可知只需满足log a 12>412,解得a>√22,∴√22<a<1,故选B.方法技巧对数函数图象的应用方法一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数的图象问题,利用数形结合法求解. 2-1 函数y=log a x 与y=-x+a 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )答案 A对数函数的性质及应用命题方向一比较对数值的大小典例4 (1)(2018天津,5,5分)已知a=log 2e,b=ln 2,c=lo g 1213,则a,b,c 的大小关系为( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b(2)已知a=log 52,b=log 0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b答案 (1)D (2)A解析 (1)由已知得c=log 23,∵log 23>log 2e>1,b=ln 2<1,∴c>a>b,故选D. (2)a=log 52<log 5√5<12,b=log 0.50.2>log 0.50.25=2,0.51<0.50.2<0.50,故12<c<1, 所以a<c<b,故选A.命题方向二解简单对数不等式典例5 (1)函数f(x)=22的定义域为( )A.(0,12)B.(2,+∞)C.(0,12)∪(2,+∞)D.(0,12]∪[2,+∞)(2)函数y=√log 3(2x -1)+1的定义域是( ) A.[1,2] B.[1,2) C.[23,+∞) D.(23,+∞) 答案 (1)C (2)C命题方向三对数函数性质的综合应用典例6 已知函数f(x)=log a (ax 2-x+1)(a>0,且a ≠1). (1)若a=12,求函数f(x)的值域;(2)当f(x)在区间[14,32]上为增函数时,求a 的取值范围. 解析 (1)当a=12时,ax 2-x+1=12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]>0恒成立, 故函数f(x)的定义域为R,∵12x 2-x+1=12[(x-1)2+1]≥12,且函数y=lo g 12x 在(0,+∞)上单调递减,∴lo g 12(12x 2-x +1)≤lo g 1212=1,即函数f(x)的值域为(-∞,1].(2)依题意可知,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,必有y=ax 2-x+1在[14,32]上单调递增,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,32]恒成立.故有{x =12a ≤14,a ·(14)2-14+1>0,解得a ≥2;②当0<a<1时,同理必有y=ax 2-x+1在[14,32]上单调递减,且ax 2-x+1>0对任意x ∈[14,32]恒成立,故有{x =12a ≥32,a ·(32)2-32+1>0,解得29<a ≤13.综上,实数a 的取值范围是(29,13]∪[2,+∞). 规律方法1.比较对数值的大小的方法(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较. (3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较. 2.对数不等式的类型及解法(1)形如log a x>log a b(a>0且a ≠1)的不等式,需借助y=log a x 的单调性求解,如果a 的取值不确定,那么需分a>1与0<a<1两种情况讨论.(2)形如log a x>b 的不等式,需先将b 化为以a 为底的对数式的形式,再求解. 3-1 设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案 D ∵a=log 36=1+log 32=1+1log 23,b=log 510=1+log 52=1+1log 25,c=log 714=1+log 72=1+1log 27,且log 27>log 25>log 23>0,∴a>b>c.3-2 已知函数f(x)=ln(√1+9x 2-3x)+1,求f(lg 2)+f (lg 12)的值. 解析由√1+9x 2-3x>0恒成立知,函数f(x)的定义域为R, 又f(-x)+f(x)=[ln(22-3x)+1] =ln[(√1+9x 2+3x)(√1+9x 2-3x)]+2=ln 1+2=2, 所以f(lg 2)+f (lg 12)=f(lg 2)+f(-lg 2)=2.A 组基础题组1.函数y=√log 23(2x -1)的定义域是( )A.[1,2]B.[1,2)C.[12,1] D.(12,1] 答案 D2.log 6[log 4(log 381)]的值为( ) A.-1B.1C.0D.2答案 C3.已知函数y=log a (x+c)(a,c 为常数,其中a>0,且a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1 答案 D4.(2019河南郑州模拟)设a=log 50.5,b=log 20.3,c=log 0.32,则 ( ) A.b<a<c B .b<c<a C.c<b<a D .a<b<c答案 B a=log 50.5>log 50.2=-1,b=log 20.3<log 20.5=-1,c=log 0.32>log 0.3103=-1,log 0.32=lg2lg0.3, log 50.5=lg0.5lg5=lg2-lg5=lg2lg0.2.∵-1<lg 0.2<lg 0.3<0,∴lg2lg0.3<lg2lg0.2, 即c<a,故b<c<a.故选B.5.若lg 2=a,lg 3=b,则log 418=( )A.a+3b a 2B.a+3b 2aC.a+2b a 2D.a+2b 2a答案 D log 418=lg18lg4=lg2+2lg32lg2.因为lg 2=a,lg 3=b,所以log 418=a+2b 2a.故选D.6.已知函数f(x)=log 2(x 2-2x+a)的最小值为2,则a=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 B7.已知函数f(x)=lg 1-x1+x ,若f(a)=12,则f(-a)=( ) A.2 B.-2C.12 D.-12答案 D ∵f(x)=lg 1-x1+x 的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=lg 1+x1-x =-lg 1-x1+x =-f(x), ∴f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-12.8.若y=log 13(3x 2-ax+5)在[-1,+∞)上单调递减,则a 的取值范围是( )A.(-∞,-6)B.(-6,0)C.(-8,-6]D.[-8,-6]答案 C 由题意得a6≤-1,且3x 2-ax+5>0 在[-1,+∞)上恒成立,所以3+a+5>0⇒a>-8, 即-8<a ≤-6,选C.9.设f(x)=lg(10x +1)+ax 是偶函数,那么a 的值为( ) A.1 B.-1C.12 D.-12答案 D 函数f(x)=lg(10x +1)+ax 的定义域为R,因为f(x)为偶函数,所以f(x)-f(-x)=0,即lg(10x +1)+ax-[lg(10-x +1)+a(-x)]=(2a+1)x=0.从而2a+1=0,a=-12.10.若函数f(x)=log a x(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,则a 的值为 . 答案√2411.若log a (a 2+1)<log a (2a)<0,则a 的取值范围是 . 答案 (12,1)解析由题意得a>0且a ≠1,故必有a 2+1>2a, 又log a (a 2+1)<log a (2a)<0,所以0<a<1, 同时2a>1,所以a>12.综上,a ∈(12,1).12.已知2x ≤16且log 2x ≥12,求函数f(x)=log 2x 2·lo g √2√x 2的值域. 解析由2x ≤16,解得x ≤4,∴log 2x ≤2,又log 2x ≥12,∴12≤log 2x ≤2,f(x)=log 2x 2·lo g √2√x 2 =(log 2x-1)(log 2x-2)=(log 2x)2-3log 2x+2=(log 2x -32)2-14, ∴当log 2x=32时, f(x)min =-14. 又当log 2x=12时, f(x)=34; 当log 2x=2时, f(x)=0,∴当log 2x=12时, f(x)max =34.故f(x)的取值范围是[-14,34].B 组提升题组1.已知f(x)=lo g 12x,则不等式(f(x))2>f(x 2)的解集为( ) A.(0,14) B.(1,+∞)C.(14,1)D.(0,14)∪(1,+∞)答案 D 由(f(x))2>f(x 2)得,(lo g 12x)2>lo g 12x 2⇒lo g 12x(lo g 12x-2)>0,即lo g 12x>2或lo g 12x<0,解得x ∈(0,14)∪(1,+∞).2.设方程10x =|lg(-x)|的两个根分别为x 1,x 2,则( )A.x 1x 2<0B.x 1x 2=0C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1 答案 D 作出y=10x 与y=|lg(-x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨令x1<x2,则x1<-1<x2<0,所以10x1=lg(-x1),10x2=-lg(-x2),此时10x1<10x2,即lg(-x1)<-lg(-x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.3.设x、y、z为正数,且2x=3y=5z,则()A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z答案D令2x=3y=5z=k(k>1),则x=log 2k,y=log3k,z=log5k,∴2x3y =2lgklg2·lg33lgk=lg9lg8>1,则2x>3y,2x 5z =2lgklg2·lg55lgk=lg25lg32<1,则2x<5z,故选D.4.已知函数f(x)=|log3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在[m2,n]上的最大值为2,则nm=.答案9解析∵f(x)=|log 3x|,实数m,n满足0<m<n,且f(m)=f(n),∴m<1<n,-log3m=log3n,∴mn=1.∵f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,函数f(x)在[m2,1)上是减函数,在(1,n]上是增函数,∴-log3m2=2或log3n=2.若-log3m2=2,则m=13,从而n=3,此时log3n=1=-log3m,符合题意,则nm =3÷13=9;若log 3n=2,则n=9,从而m=19,此时-log 3m 2=4>2,不符合题意.故n m =9.5.已知函数f(x)=3-2log 2x,g(x)=log 2x.(1)当x ∈[1,4]时,求函数h(x)=[f(x)+1]·g(x)的值域;(2)如果对任意的x ∈[1,4],不等式f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)恒成立,求实数k 的取值范围. 解析 (1)h(x)=(4-2log 2x)·log 2x=-2(log 2x-1)2+2. 因为x ∈[1,4],所以log 2x ∈[0,2],故函数h(x)的值域为[0,2].(2)由f(x 2)·f(√x )>k ·g(x)得(3-4log 2x)(3-log 2x)>k ·log 2x.令t=log 2x,因为x ∈[1,4],所以t=log 2x ∈[0,2],所以(3-4t)(3-t)>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立. 当t=0时,k ∈R;当t ∈(0,2]时,k<(3-4t)(3-t)t 恒成立, 即k<4t+9t -15恒成立.因为4t+9t ≥12,当且仅当4t=9t ,即t=32时取等号, 所以(4t +9t -15)min =-3,则k<-3.综上,k ∈(-∞,-3).快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

新高考一轮复习人教A版第二章第六讲对数与对数函数课件(58张)

【名师点睛】对数运算的一些结论 (1)logam bn＝mn logab. (2)logab·logba＝1. (3)logab·logbc·logcd＝logad.
3.对数函数的图象与性质
y＝logax
a>1
图象
0<a<1
定义域值域
(0，＋∞) R
(续表)
y＝logax
a>1
0<a<1
过定点(1,0)，即 x＝1 时，y＝0
题组一走出误区 1.(多选题)下列结论错误的是( )
A.2lg 3≠3lg 2 B.若 MN>0，则 loga(MN)＝logaM＋logaN C.y＝log2x2 不是对数函数，而 y＝log2(－x)是对数函数 D.函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同答案：ABC
解析：原式＝1－2log63＋log63lo2g＋64log663×log66×3 ＝1－2log63＋lologg63642＋1－log632＝212－lolgo6g263 ＝log6l6o－g6l2og63＝lloogg6622＝1.
答案：1
3.已知 2x＝12，log231＝y，则 x＋y 的值为________. 答案：2 4.设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝________.
[例 4](1)(2020 年新高考Ⅱ)已知函数 f(x)＝lg(x2－4x－
5)在(a，＋∞)单调递增，则 a 的取值范围是( )
A.(－∞，－1]
B.(－∞，2]
C.[2，＋∞)
D.[5，＋∞)
解析：由 x2－4x－5＞0，得 x＜－1 或 x＞5，即函数 f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞).令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，∴a≥5.

数学(文)一轮复习：第二章基本初等函数、导数及其应用第讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。

（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a 叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN ＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R).(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.➢考点1 对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知lg 2,10b a b a +==，则=a _______；b =_________．【答案】 10 1【解析】10log 10=⇒=ba ab ，∴1lg log 102log 10a a a b +=+=，解得log 10110=⇒=a a ，∴1b =﹒故答案为：10；1﹒2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值（1）()3lg1log 233536log log 32145+-+；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++；.（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log 2log 8e +⋅--．（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++.【解】（1）)3lg1log 233536log log 3145+-+03log 921)2211=-+=-+=；（2）()2lg 2lg5lg 2lg5ln1+⨯++()lg2lg5lg2lg50lg2lg51=+⨯++=+=；（3）23722ln 2log 7log 81ln 2log log e +⋅--13422222ln 7ln 3ln 2ln ln 2log 2log 2ln 3ln 7e =++⋅---13ln 224ln 2422=++---=；（4）2log 33718182log 7log 9log 6log 3-⋅++()218lg 7lg 33log 633212lg 3lg 7=-⋅+⨯=-+=3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算331log 2327lg 50lg 2+++；（2）已知()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，求实数x 的值；（3）若185a =，18log 9b =，用a ，b ，表示36log 45．【解】（1）原式=()23lg 510lg25lg51lg26lg5lg26lg107++⨯+=+++=++=+=；（2）因为()23log log lg 1x ⎡⎤=⎣⎦，所以()3log lg 2x =，所以2lg 39x ==，所以x =109；（3）因为185a =，所以18log 5a =，所以()()()181818183618181818log 59log 45log 5log 9log 45log 36log 182log 18log 189⨯+====⨯+÷ 1818181818log 5log 9log 18log 18log 92a bb++=+--．[举一反三]1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a ，b ，c 都是正数，且469a b c ==，那么（） A ．2ab bc ac +=B ．ab bc ac +=C ．221cab=+D ．121cba=-【答案】AD【解析】由于a ，b ，c 都是正数，故可设469a b c M ===，∴4log a M =，6log b M =，9log c M =，则1log 4M a =，1log 6M b=，1log 9M c =.log 4log 92log 6M M M +=，∴112a c b +=，即121c b a=-，去分母整理得，2ab bc ac +=. 故选AD.2．（2022·山东滨州·二模）212log sin15log cos345︒-︒=__________．【答案】2-【解析】解：因为()cos345cos 36015cos15︒=︒-︒=︒，所以()212222log sin15log cos345log sin15log cos15log sin15cos15︒-︒=︒+︒=︒︒2211log sin 30log 224⎛⎫=︒==- ⎪⎝⎭，故答案为：2-.3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log 32－log 3329＋log 38－5log 35；（2）(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．【解】（1）原式＝2log 32－5log 32＋2＋3log 32－3＝－1.（2）原式35522252255log 4log 8log 25log 5log 5log 2log 4log 8log 25log 125⎛⎫⎛⎫=++⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()5522252522552log 23log 22log 5log 513log 5log 231log 53log 22log 23log 22log 53log 53⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅++=++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222log 213log 513log 5=⋅=. 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值：（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+．（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+.（4）22lg 25lg8lg5lg 20(lg 2).3++⋅+ （5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+．【解】（1）()32log 533351log 5log 15log 53log 3⋅--+()()23333log 5log 53log 5log 55=⨯⨯--+ ()()23333log 51log 5log 5log 55=⨯+--+ ()()223333log 5log 5log 5log 555=+--+=；（2）()92log 4lg 2lg 20lg53+⨯+()()32log 2lg 2lg 21lg53=++⋅+ ()2lg 2lg 2lg5lg52=+⋅++()lg2lg2lg5lg52=+++lg 2lg523=++=；（3）ln 229lg 20lg 2log 3log 162sin 330e -+⋅-+︒()242320lglog 3log 222sin 302=+⋅-+-︒ 231lg10log 32log 222122102⎛⎫=+⋅⋅-+⋅-=+--= ⎪⎝⎭；（4）22lg25lg8lg5lg20(lg2)3++⋅+22lg52lg 2lg5lg(102)(lg 2)=++⋅⨯+()22(lg5lg2)lg51lg2(lg2)=++++2lg5lg 2(lg5lg 2)3=+++=；（5）()()2539log 3log 3log 5log 5lg2+⋅+lg3lg3lg5lg5lg 2lg 2lg5lg3lg9⎛⎫⎛⎫=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭lg3(lg 2lg5)lg5(lg3lg9)lg 2lg 2lg5lg3lg9++=⋅⋅⋅⋅lg 32lg 332lg 32+⋅==．5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求23151log log 8log 2725⋅⋅的值. （2）已知9log 5=a ，37b =，试用a ，b 表示21log 35【解】（1）原式()()()1233232355log 5log 2log 32log 53log 23log 3--=⋅⋅=-⋅⋅-lg5lg 2lg31818lg 2lg3lg5=⋅⋅⋅= （2）由37b =得到3log 7b =，由9log 5=a ，得到31log 52=a ，即3log 52=a .33321333log 35log 5log 72log 35log 21log 7log 31a bb ++===++.➢考点2 对数函数的图象及应用1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数()()log a f x x b =-（0a >且1a ≠）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A ．0a b +<B ．1ab <-C ．01b a <<D ．log 0a b > 【答案】C【解析】由图象可知()f x 在定义域内单调递增，所以1a >，令()()log 0a f x x b =-=，即1x b =+，所以函数()f x 的零点为1b +，结合函数图象可知011b <+<，所以10b -<<，因此0a b +>，故A 错误；0-<<a ab ，又因为1a >，所以1a -<-，因此1ab <-不一定成立，故B 错误；因为10b a a a -<<，即11ba a <<，且101a<<，所以01b a <<，故C 正确；因为01b <<，所以log log 1a a b <，即log 0a b <，故D 错误，故选：C.2．（2022·广东广州·二模）函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________．【答案】9【解析】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-，显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称，在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=，所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9. 故答案为：9 [举一反三]1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数()log a y x =-，()10a y a x-=>，且1a ≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：因为函数()log a y x =-的图象与函数log a y x =的图象关于y 轴对称，所以函数()log a y x =-的图象恒过定点()1,0-，故选项A 、B 错误；当1a >时，函数log a y x =在()0,∞+上单调递增，所以函数()log a y x =-在(),0∞-上单调递减，又()11a y a x-=>在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，故选项D 错误，选项C 正确. 故选：C.2．（2022·江苏·二模）已知实数a ，b ，c 满足12ln 2b a c -==，则下列关系式中不可能成立的是（） A ．a b c >>B ．a c b >> C ．c a b >>D ．c b a >> 【答案】D【解析】设12ln 2b a c t -===，0t >，则e t a =，2log b t =，21c t =，在同一坐标系中分别画出函数e x y =，2log y x =，21y x =的图象，当1t x =时，c a b >>，当2t x =时，a c b >>，当3t x =时，a b c >>，由此可以看出，不可能出现c b a >>这种情况，故选：D ．➢考点3 对数函数的性质及应用1．（2022·浙江金华·三模）若函数()()22x x f x x -=-，设12a =，41log 3b =，51log 4c =，则下列选项正确的是（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f b f a f c <<D ．()()()f c f a f b << 【答案】A【解析】由题可知()()22x x f x x -=-()x R ∈，故()()22()x xf x x f x --=--=，∴函数()f x 为偶函数；易知，当0x >时，()f x 在(0,)+∞为单调递增函数；又441log log 33b ==-，∴44()(log 3)(log 3)f b f f =-=，同理，5()(log 4)f c f =；又441log 2log 32=<，222524lg 4log 4lg 4lg 4(lg 4)lg51lg3log 3lg5lg3lg5lg3lg 42⋅==≥=>⋅+⎛⎫ ⎪⎝⎭，故451log 3log 42<<，故()()()f a f b f c <<. 故选：A.2．（2022·福建莆田·三模）已知0.1542,log 3,log 2a b c ===，则（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >> 【答案】C【解析】0.10221a =>=124324>>=，124411log 3log 42b ∴>=>=， 1225<12551log 2log 52c ∴=<= a b c ∴>>故选：C.3．（2022·湖北·二模）已知函数()lg(||1)22x x f x x -=-++，则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是（） A ．,1(),)1(-∞-⋃+∞B ．(2,1)--C ．1,(1,)3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭D ．(,2)(1,)-∞-+∞【答案】D【解析】由||10x ->得()f x 定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞，)lg(||1)22()(x x f x f x x -+=-+-=，故()f x 为偶函数，而lg(||1)y x =-，122x xy =+在(1,)+∞上单调递增，故()f x 在(1,)+∞上单调递增，则(1)(2)f x f x +<可化为121121x xx x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩，得222141111x x x x x ⎧++<⎨+>+<-⎩或解得12x x ><-或故选：D4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()log 14xf x x =+-，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在(],0-∞上为增函数B ．函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 是奇函数D ．函数()f x 是偶函数【答案】D【解析】根据题意，函数()()2log 14f x x x =+-，其定义域为R ，有()()()221log 1log 144xf x x x x f x ⎛⎫-=++=+-= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 是偶函数，则D 正确，C 错误，对于A ，()()251log 102f f -=>=，()f x 不是增函数，A 错误，对于B ，22()log (14)log (x f x x =+-=12)2x x +，设1222x xt =+，当且仅当0x =时等号成立，则t 的最小值为2，故2()log 21f x =，即函数的值域为[1，)+∞，B 错误，故选：D5．（2022·全国·高三专题练习）知函数()()()2log 260,1a f x kx x a a =-+>≠（1）若函数的定义域为R ，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在[1,2]上恒有意义，求k 的取值范围；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由【解】解：（1）因为函数的定义域为R ，则2260kx x -+>在R 上恒成立，当0k =时，260x -+>，得3x <，不合题意舍去；当0k ≠时，04240k k >⎧⎨∆=-<⎩，解得16k >，综合得16k >；（2）函数()f x 在[1,2]上恒有意义，即2260kx x -+>在[1,2]上恒成立226kx x ∴>-，226k x x ∴>-恒成立，令1t x =，1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则262y t t =-+，当12t =时，2max 11162222y ⎛⎫=-⨯+⨯=- ⎪⎝⎭，12k ∴>-；（3）当1a >时，()012log 92362a k k k >⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()013log 92362a k k k <⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,99a k k =>，当01a <<时，()013log 92362a k k k >⎧⎪⎪≥⎨⎪-⨯+=⎪⎩或()012log 92362a k k k <⎧⎪⎪≤⎨⎪-⨯+=⎪⎩，解得21,099a k k =<<．故存在实数29a k =，使得函数()f x 在区间[2,3]上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．（2022·湖南·岳阳一中一模）设5log 4a =，4log 3b =，0.614c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >> 【答案】A【解析】22254lg3lg5lg 4()lg 4lg3lg 4lg3lg52log 4log 3lg5lg 4lg 4lg5lg 4lg5+---=-=≥0=>, 所以54log 4log 3>，441log 3log 22>=，而0.6 1.2111()()422=<，所以a b c >>．故选：A ．2．（2022·北京房山·二模）已知函数2()log x f x =，则不等式()2f x 的解集为( )A ．(4,0)(0,4)-⋃B ．(0,4)C ．1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】2222()log 22l 222og f x x x x x -<⇒<<⇒∈=<⇒-<1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭．故选：C ﹒3．（2022·北京昌平·二模）已知函数2()42(0)f x ax ax a =-+<，则关于x 的不等式2()log f x x >的解集是（）A ．(,4)-∞B ．(0,1)C ．(0,4)D ．(4,)+∞ 【答案】C【解析】由题设，()f x 对称轴为2x =且图象开口向下，则()f x 在(0,2)上递增，(2,)+∞上递减，由2()42(4)2f x ax ax ax x =-+=-+，即()f x 恒过(4,2)且(0)2f =，所以(0,4)上()2f x >，(4,)+∞上()2f x ，而2log y x =在(0,)+∞上递增，且(0,4)上2y <，(4,)+∞上2y >，所以2()log f x x >的解集为(0,4). 故选：C4．（2022·北京丰台·二模）已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减．若()()lg 1f x f >，则x 的取值范围是（）A ．1,110⎛⎫⎪⎝⎭B ．()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,10,10∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】解：偶函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递减，所以()f x 在区间(],0-∞上单调递增；则()()lg 1f x f >等价于lg 1x <，即1lg 1x -<<，即1lglg lg1010x <<，解得11010x <<，即原不等式的解集为1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭；故选：C5．（2022·河北·高三阶段练习）已知函数()41,12log 1,11xx x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪+-<<⎩，则()12f x x ≤的解集为（）A ．(],0-∞B ．(]1,0-C ．(][1,01,)-⋃+∞D ．[)1,+∞ 【答案】C【解析】作出函数()y f x =与12y x =的图象，如图，当1≥x 时，1122xx ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，作出函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与12y x =的图象，由图象可知，此时解得[1,)x ∈+∞；当11x -<<时，()41log 12x x +≤，作出函数()4log 1y x =+与12y x =的图象，它们的交点坐标为()0,0、11,2⎛⎫⎪⎝⎭，结合图象知此时(]1,0x ∈-.所以不等式1()2f x x ≤的解集为(]1,0-[1,)+∞. 故选：C6．（2022·重庆·模拟预测）若函数()2()log 341a f x x ax =-+-有最小值，则实数a 的取值范围是（）A ．3⎫⎪⎪⎝⎭B ．3)C ．3⎛ ⎝⎭D ．(3,)+∞ 【答案】A【解析】解：依题意()()0,11,a ∈+∞且23410x ax -+->，所以216120a ∆=->，解得3a >或3a <()31,a ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，令23410x ax -+-=的根为1x 、2x 且12x x <，()2341u x x ax =-+-，log a y u =，若()1,a ∈+∞，则log a y u =在定义域上单调递增，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若3a ⎫∈⎪⎪⎝⎭，则log a y u =在定义域上单调递减，()2341u x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，根据复合函数的单调性可知，()2()log 341a f x x ax =-+-在12,3a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在22,3a x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数在23ax =取得最小值，所以a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；故选：A7．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤⎥⎝⎦，若不等式()()log 4log 2x a x a t t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，则t 的取值范围是（） A ．2,25⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．(,2)-∞D ．()0,2【答案】A【解析】由题意，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为10,16⎛⎤ ⎥⎝⎦，可得函数y 的最大值为116，当0a =时，函数2414x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭显然不存在最大值；当0a >时，函数22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，当1x a=时，函数y 有最大值，即12411416a a-+⎛⎫=⎪⎝⎭，解得12a =；当0a <时，22414ax x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在1,x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,x a⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，此时函数y 无最大值，所以()()1122log 4log 2x xt t ⋅<-在[]1,2x ∈上恒成立，即402042x xx x t t t t ⎧⋅>⎪->⎨⎪⋅>-⎩在[]1,2x ∈上恒成立，由40x t ⋅>在[]1,2x ∈上恒成立，可得0t >；由20x t ->在[]1,2x ∈上恒成立，即2x t <在[]1,2上恒成立，可得2t <；由42x x t t ⋅>-在[]1,2x ∈上恒成立，即2114122x x x xt >=++在[]1,2上恒成立，令()122x xf x =+，可得函数()f x 在[]1,2上单调递增，所以()()min512f x f ==，即25t >，综上可得225t <<，即实数t 的取值范围是2,25⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A.8．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）已知函数()2log f x x =-，下列四个命题正确的是（）.A ．函数()f x 为偶函数B ．若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，则1ab =C ．函数()22f x x -+在()1,3上为单调递增函数D ．若01a <<，则()()11f a f a +<- 【答案】ABD【解析】解：函数()2log f x x =-对于A ，()2log f x x =-，()()22log log f x x x f x -=--=-=，所以函数()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，若()()f a f b =，其中0a >，0b >，1a b <<，所以()()()f a f b f b ==-，22log log a b -=，即222log log log 0a b ab +==，得到1ab =，故B 正确；对于C ，函数()()2222log 2f x x x x -+=--+，由220x x -+>，解得02x <<，所以函数()22f x x -+的定义域为()0,2，因此在()1,3上不具有单调性，故C 错误；对于D ，因为01a <<，21110,011a a a ∴+>>-><-<，()()22log 10log 1a a ∴+>>-，故()()()()2211log 1log 1f a f a a a +--=-+---()()()2222log 1log 1log 10a a a =++-=-<，故D正确. 故选：ABD.9．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+.给出下列命题，其中正确的命题的为（）A ．()()201620170f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的周期函数C ．直线y x =与函数()f x 的图像有1个交点D ．函数()f x 的值域为()1,1- 【答案】ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线y x =和函数()f x 的图象如图所示，根据图象可知选项A 中，()()()()20162017010f f f f +-=+=正确；对于选项B ，函数()f x 在定义域上不是周期函数，所以B 不正确；对于选项C ，根据函数图象可知y x =与()f x 的图象有个交点，所以C 正确；对于选项D ，根据图象，函数()f x 的值域是()1,1-，所以D 正确. 故选：ACD.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()23=-+f x x x ，2()log g x x m =+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________.【答案】(,0)-∞【解析】函数22()23(1)2=-+=-+f x x x x 在[1，4]上单调递增，2()log g x x m =+在[1，4]上单调递增，∴()()min 12f x f ==，()()max 42g x g m ==+，对任意的1x ，2[1x ∈，4]有12()()f x g x >恒成立， ∴()()min max f x g x >，即22m >+，解得0m <， ∴实数m 的取值范围是(),0-∞．故答案为：(,0)-∞.11．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()log (0),1)a f x x a a =>≠且，设1a >，函数log a y x =的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0，1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值．．．为5,6求实数a 的值；【解】画出函数log a y x =的图像，如图所示，结合图像可知，要使log a y x =的值域是[0，1]，其定义域可能是1,1a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦、[]1,a 、1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且1111a a a a--=<-，因此结合题意可知1516a -=，所以6a =.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()log 3a f x ax =-(0a >，且1a ≠). （1）求()f x 的定义域.（2）是否存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由. 【解】（1）由题意可得30ax ->，即3ax <，因为0a >，所以解得3x a<.故()f x 的定义域为3,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）假设存在实数a ，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 设函数()3g x ax =-，由0a >，得0a -<，所以()g x 在区间[]1,2上为减函数且()0g x >恒成立，因为()f x 在区间[]1,2上单调递减，所以1a >且320a ->，即312a <<.又因为()f x 在区间[]1,2上的最大值为2，所以()()()max 1log 32a f x f a ==-=，整理得230a a +-=，解得)0a a =>.因为34<，所以31,2a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以存在实数a =，使函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，并且最大值为2. 13．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()log (2)log (4)a a f x x x =-++，其中1a >. （1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 图像所经过的定点；（3）若函数()f x 的最大值为2，求a 的值.【解】解：（1）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以2040x x ->⎧⎨+>⎩，解得42x -<<，所以函数()f x 的定义域{}42x x -<<.（2）因为()log (2)log (4)a a f x x x =-++，所以()log (2)(4)a f x x x =-+，当()()241x x -+=时，即1x =-±时，()0f x =，函数图像所经过的定点()1-+，()1--.（3）令()(2)(4)g x x x =-+，()4,2x ∈-，则()22()2819g x x x x =--+=-++，所以(]()0,9g x ∈，若函数()log (2)(4)a f x x x =-+的最大值为2，因为1a >，则()9g x =时最大值为2，即max ()log 92a f x ==，则29a =，故3a =.14．（2022·北京·高三专题练习）已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； (2)求不等式()2f x >的解集；(3)若()4log f x m x <于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围．【解】(1)令4t log x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈，函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，[]0,2t ∈，则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在]1,24⎛ ⎝上单调递增，所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5，故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.(2)由题得()4412220,2log x log x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4t log x =，则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->，解得32t >或1t <-，当32t >时，即432log x >，解得8x >；当1t <-时，即41log x <-，解得104x <<，故不等式()2f x >的解集为104x x ⎧<<⎨⎩或}8x >．(3)由于()4441222log x log x mlog x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立，令4t log x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立，所以121m t t>--在[]1,2t ∈上恒成立，因为函数1y t=-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增，所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52，故52m >时，()4f x mlog x <对于[]4,16x ∈恒成立。

江苏2021新高考数学一轮复习第二章函数25指数与对数课件0

(2)方程33x－56＝3x－1 的实数解为__x_＝__l_o_g_32___.
解析原方程可化为2(3x)2＋5·3x－18＝0，即(3x－2)(2·3x＋9)＝0,3x＝2(2·3x＝－9舍去)，得x＝log32.
(3) 若 log2log3x ＝ log3log2y ＝ log2log2z ＝ 1 ，则 x2 ， y3 ， z4 从小到大的排列为 ___x2_<_z_4_<_y_3 __.
c k.
因为1x＋1y＋1z＝0，
所以lg
a＋lg lg
b＋lg k
c＝0，即lgl(gabkc)＝0.
故lg(abc)＝0，得abc＝1.
(2)设 logaC，logbC 是方程 x2－3x＋1＝0 的两根，求 log aC 的值.
b
解由题意，得llooggaaCC＋ ·lolgobgCbC＝＝1，3，
对数形式
特点
记法
一般对数常用对数自然对数
底数为a(a>0且a≠1) 底数为_1_0_ 底数为_e_
_l_o_g_aN__ _l_g_N__ __ln__N_
4.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质
①alogaN＝ N (a>0且a≠1，N>0)；
②logaaN＝ N (a>0且a≠1). (2)对数的重要公式 ①换底公式：logbN＝llooggaaNb(a，b 均大于零且不等于 1，N>0)； ②logab＝log1ba(a，b 均大于零且不等于 1).
3
x2 x2
3 2
1 ＝___3_____.
解析
由
x
1 2
+x
1 2

高考数学对数与对数函数复习课件

B
(3)log3×log49+lg +2lg 2= .
课堂考点探究
[解析] log3×log49+lg +2lg 2=-×+lg +lg 4=-1+lg=-1+1=0.
0
例2 (1)若0<a<1,则函数g(x)=loga(|x|-1)的图像可能是( )
课堂考点探究
探究点二对数函数的图像及应用
1
3. [教材改编] 设a=,b=log9,c=log8,则a,b,c的大小关系是 .
[解析] a==log9=log9<log8=c,a=log9>log9=b,所以c>a>b.
题组二常错题
索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则= .
课堂考点探究
[思路点拨]先求函数的定义域,利用奇偶性的定义确定奇偶性,再分析某一区间上函数的单调性,从而对选项进行判断;
A B C D
图2-11-1
[思路点拨] 根据函数的定义域和函数的奇偶性,结合图像变换和对数函数的单调性,即可求解;
D
课堂考点探究
[解析] 函数g(x)=loga(|x|-1)满足|x|-1>0,解得x<-1或x>1,即函数g(x)=loga(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),排除A,B;因为g(-x)=loga(|-x|-1)=loga(|x|-1)=g(x),所以函数g(x)为偶函数,所以函数g(x)的图像关于y轴对称,当x>1时,函数g(x)= loga(|x|-1)的图像是由函数y=logax的图像向右平移一个单位长度得到的,又0<a<1,所以g(x)在(1,+∞)上单调递减.故选D.

高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用 2.6 对数与对数函数课件理

D．①②④
13
第十三页，共四十五页。
解析：若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2，即 M2＝N2，则|M|＝|N|，①③④不正确，②正确．
答案：C
14
第十四页，共四十五页。
2.写出下列各式的值： (1)log2 22＝________； (2)log53＋log513＝________； (3)lg 52＋2lg 2－12－1＝________；
「应用提示研一研」 1.换底公式的两个重要推论
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
11
第十一页，共四十五页。
2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线 y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故 0 ＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．
12
第十二页，共四十五页。
「基础小题练一练」
1.对于 a＞0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN； ②若 logaM＝logaN，则 M＝N； ③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N； ④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2. A.①③
B．②④
C.②
5＋(lg 5＋lg 2)·lg 3＝lg 5＋lg 3＝lg 15.
∴x＝15.
答案：(1)81
5 (2)4
(3)15
23
第二十三页，共四十五页。
对数函数的图象(tú xiànɡ)及应用
[典例导引] (1)函数 y＝2log4(1－x)的图象大致是( )
(2)若不等式(x－1)2＜logax 在 x∈(1,2)内恒成立，则实数 a 的取值范围为________．

2025年高考数学一轮复习第三章-第六节对数与对数函数【课件】

01
强基础知识回归
知识梳理
一、对数的概念与性质
1.对数的概念
=
log
如果________(
> 0，且 ≠ 1)，那么数叫作以为底的对数，记作 =_______，
真数
其中叫作对数的底数，叫作______.
常用对数
两个重要对数：以10为底的对数lg 称为__________；以无理数e
B.(2,3]
C.[3, +∞)
D.[2,3]
[解析] 由− + − > ，得 < < .设函数 = − + − = ，

= − + − ，则抛物线 = − + − 的对称轴方程是 = ,∴ 函数

= − + − 的单调递增区间是(, ]，单调递减区间是[, ). ∵ = 是减函
B.
C.
D.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[解析] = + ，函数的定义域为 −, +∞ ，有 = ，函数图象过
原点，A，D选项不符合， = +
≥ ，B选项不符合.故选C.
4.函数 = log 1 − 2 + 6 − 8 的单调递减区间为( B )
2
A.[3,4)
典例1 化简或求值：
（1）
2
3
lg 3+5lg 9+5lg 27−lg 3
lg 81−lg 27
；
解原式
4
=
1
4lg 3−3lg 3
4
=
9

log − log
=_______________；

高考数学第一轮基础复习对数与对数函数课件

对数的运算与性质
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝lg11－＋xx，若 f(a)＝b，则 f(－
a)＝( )
A．b
B．－b
1 C.b
D．－1b
(2)(2011·苏北四市二模 )(lg2)2 ＋ lg2lg5 ＋ lg5 ＝ ________.
分析：(1)由11－＋aa与11＋－aa的倒数关系及对数运算法则 logaNn＝nlogaN 求解．
A．n>m>p
B．m>p>n
C．m>n>p
D．p>m>n
解析：由 a>1 得 a2＋1>2a>a－1>0， ∴loga(a2＋1)>loga(2a)>loga(a－1)．
答案：B
(理)已知 log2 x1＝logax2＝loga＋1x3>0,0<a<1，则 x1、
a
x2、x3 的大小关系是( )
答案：D
(理)设 a>0 且 a≠1，函数 f(x)＝logax 在区间[a,2a]上
的最大值与最小值之差为12，则 a 等于( )
A. 2
B．2 或12
C．2 2
D．4 或14
解析：当 0<a<1 时，f(x)在[a,2a]上单调递减，由题意得，logaa－loga2a＝12，∴loga2＝－12，∴a＝14.
答案：C
点评：关于含对数式的不等式求解，一般都是用单调性或换元法求解．
已知 0<a<b<1<c，m＝logac，n＝logbc，则 m 与 n 的大小关系是________．
2
(－∞，1)；函数 y＝loga(ax－1)(a>0 且 a≠1)的定义域在 a>1 时为(0，＋∞)；在 0<a<1 时为(－∞，0)．

2021年高考数学一轮复习第09讲对数与对数函数

M loga ＝logaM－logaN
N
a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式：logab＝logcb(a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1；b＞0) logca
2.对数函数的定义、图象与性质
定义
函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)叫做对数函数
a＞1
0＜a＜1
3.反函数指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)与对数函数 y＝logax(a＞0，且 a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x 对称．
[常用结论]
1．换底公式的两个重要结论
1 (1)logab＝；
logba (2)logambn＝nmlogab.
其中 a＞0 且 a≠1，b＞0 且 b≠1，m，n∈R.
论成立的是( )
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D [由图象可知 y＝loga(x＋c)的图象是由 y＝logax 的图象向左平移 c 个单位得到的，其中 0＜c＜1.再根据单调性可知 0＜a＜1.]
3 4．(教材改编)若 loga ＜1(a＞0，且 a≠1)，则实数 a 的取值范围是( )
用及变形应用；
4 利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
对数函数的图象及应用
【例 1】 (1)(2019·大连模拟)函数 y＝lg|x－1|的图象是( )
A
B
C
D
-4-
(2)(2019·厦门模拟)当 0＜x≤1时，4x＜logax，则 a 的取值范围是( ) 2
2 0， A. 2
2 ，1 B. 2

第3章函数、导数及其应用第6节对数与对数函数课件高考数学一轮复习

内容索引
【解析】设 3x＝4y＝12z＝t，t>1，则 x＝log3t，y＝log4t，z＝log12t，
所以1x＋1y＝lo1g3t＋lo1g4t＝logt3＋logt4＝logt12＝1z，故 A 正确；由36xz＝2lloogg31t2t
＝2lologgt1t32＝log129<1，可得 6z<3x，由34xy＝34lloogg34tt＝34llooggtt43＝llooggtt6841＝log8164<1，可得 3x<4y，所以 6z<3x<4y，故 B 正确；因为 x＋y－4z＝log3t＋log4t－4log12t
内容索引
活动二典型例题
题组一对数式的运算 1 化简下列各式：
(1) (2) log225×log34×log59； (3) 12lg3429－43lg 8＋lg 245.
内容索引
【解析】 (1) 原式＝lg1010×10＝－2×10＝－20.
(2) 原式＝llgg225×llgg43×llgg95＝2llgg25×2llgg32×2llgg53＝8.
ab＋1 A. b－ab
ab＋1 B. a－ab
ab＋a C. 1－ab
ab＋b D. 1－ab
【分析】利用指数与对数的互换表示出lg3，然后利用换底公式以及
对数的运算法则求解即可．
内容索引
【解析】由题意，得 b＝log310＝lg13，即 lg3＝1b，所以 log56＝llgg65＝ llgg120＋－llgg32＝a1＋－1ba＝abb－＋a1b.
(3) 原式＝lg472－lg4＋lg7
5＝lg4
7
2×14×7
5＝lg

第12讲对数与对数函数(课件)高考数学大一轮复习核心题型讲与练+易错重难点专项突破(新高考版)

3
2
所以( ) m 与( ) n 均为方程 t 2＋ t －1＝0的实数根，由 t 2＋ t －1＝0，解得 t ＝
3
2
3
2
3
2
3
2
因为( ) m ＞0，( ) n ＞0，所以( ) m ＝( ) n ＝

所以 m ＝ n ，＝
6
4
3
2
＝( ) m ＝
−1+ 5
2
−1+ 5
2
，故选B.
3
2
−1+ 5
∴ f ( x )是偶函数，∴由 f (ln x )＋ f (－ln x )＜2可得2 f (ln x )＜2，即 f (ln x )＜1.
当 x ＞0时， f ( x )＝log2 x ＋ x 2.∵ y ＝log2 x 和 y ＝ x 2在(0，＋∞)上都是单调递增的，
1

∴ f ( x )在(0，＋∞)上单调递增，又 f (1)＝1，∴｜ln x ｜＜1且ln x ≠0，∴ ＜ x ＜e且 x ≠1，
＜1时相反.
(2)研究 y ＝ f (log ax )型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令 t ＝log
ax ，则只需研究
注意
t ＝log ax 及 y ＝ f ( t )的单调性即可.
研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，
否则所得范围易出错.
角度1
例3
比较大小
1
(1)[2021新高考卷Ⅱ]若 a ＝log52， b ＝log83， c ＝，则( C
f (－ln x )＜2的解集为(
1

D
1

A. ( ，1)

2021届新课标数学一轮复习讲义_第二章_第7讲_对数与对数函数

第7讲对数与对数函数1．对数概念如果a x＝N(a>0，a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x 负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0) 推广：log am b n＝nm log a b；log a b＝1log b a2.对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[做一做]1．计算：2log510＋log50.25＝()A ．0B ．1C ．2D ．4 答案：C2．函数f (x )＝log 12x 2的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选B.因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，0)． 3．f (x )＝1－lg （x －2）的定义域为________．解析：∵1－lg(x －2)≥0，∴lg(x －2)≤1，∴0<x －2≤10，∴2<x ≤12， ∴f (x )＝1－lg （x －2）的定义域为(2，12]．答案：(2，12]1．辨明三个易误点(1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1； (2)对公式要熟记，防止混用；(3)对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按0<a <1和a >1分类讨论，否则易出错． 2．对数函数图象的两个基本点(1)当a >1时，对数函数的图象“上升”；当0<a <1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限． [做一做]4．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫0，23B.⎝⎛⎭⎫23，0 C ．(1，0) D ．(0，1) 答案：C5．函数y ＝log 12(3x －a )的定义域是⎝⎛⎭⎫23，＋∞，则a ＝________．答案：2考点一__对数式的化简与求值________________计算下列各式：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)lg 37＋lg 70－lg 3－（lg 3）2－lg 9＋1；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．[解] (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52 ＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝lg 37×703－（lg 3）2－2lg 3＋1＝lg 10－（lg 3－1）2 ＝1－|lg 3－1|＝lg 3.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. [规律方法] 对数运算的一般思路：(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并．(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．[注意] 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化．1.(1)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64； (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋n .解：(1)原式＝1－2log 63＋（log 63）2＋log 663·log 6（6×3）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋（1－log 63）（1＋log 63）log 64＝1－2log 63＋（log 63）2＋1－（log 63）2log 64＝2（1－log 63）2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ， ∴a m ＝2，a n ＝3，∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.考点二__对数函数的图象及应用______________(1)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )(2)若不等式(x －1)2<log a x 在x ∈(1，2)内恒成立，则实数a 的取值范围为________． [解析] (1)法一：分a >1，0<a <1两种情形讨论．当a >1时，y ＝x a 与y ＝log a x 均为增函数，但y ＝x a 递增较快，排除C ；当0<a <1时，y ＝x a 为增函数，y ＝log a x 为减函数，排除A ，由于y ＝x a 递增较慢，所以选D.法二：幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0，1)点，排除A ；B 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故B 错，D 对；C 项中由对数函数g (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故C 错．(2)设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1，2)上的图象在f 2(x )＝log a x 图象的下方即可．当0<a <1时，显然不成立；当a >1时，如图所示，要使x ∈(1，2)时f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的图象下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2，即实数a 的取值范围是(1，2]． [答案] (1)D (2)(1，2]若本例(2)变为：已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解：由x 2－log a x <0，得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝⎛⎭⎫12≤g ⎝⎛⎭⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，解得116≤a <1. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.[规律方法] (1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1或0＜a ＜1的两种不同情况．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．2.(1)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是( )(2)不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，则a 的取值范围为________．解析：(1)由题意y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3，1)点，可解得a ＝3.选项A 中，y ＝3－x＝⎝⎛⎭⎫13x，显然图象错误；选项B 中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；选项C 中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；选项D 中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符．故选B.(2)不等式log a x >(x －1)2恰有三个整数解，画出示意图可知a >1，其整数解集为{2，3，4}，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧log a 4>（4－1）2，log a 5≤（5－1）2，得165≤a <94，则a 的取值范围为[165，94)．答案：(1)B (2)[165，94)考点三__对数函数的性质及应用(高频考点)对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有．高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)考查对数函数的定义域； (2)考查对数函数的单调性、奇偶性；(3)比较对数值的大小； (4)解简单的对数不等式．(1)已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a (2)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. ①求f (x )的定义域；②判断f (x )的奇偶性并予以证明；③当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．[解析] (1)0<a ＝2－13<20＝1，b ＝log 213<log 21＝0，c ＝log 1213>log 1212＝1，即0<a <1，b <0，c >1，所以c >a >b .[答案] C(2)解：①f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.故所求定义域为{x |－1＜x ＜1}． ②f (x )为奇函数．证明如下：由①知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )．故f (x )为奇函数．③由f (x )＞0，得log a (x ＋1)－log a (1－x )＞0， ∴log a (x ＋1)＞log a (1－x )，又a ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞01－x ＞0x ＋1＞1－x，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围是{x |0＜x ＜1}． [规律方法] 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．3.(1)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)>f (2)B ．f (a ＋1)<f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定(2)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14C ．2D ．4 (3)已知函数f (x )＝ln(1－a2x )的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________．解析：(1)由已知得0<a <1，所以1<a ＋1<2，根据函数f (x )为偶函数，可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (2)．(2)显然函数y ＝a x 与y ＝log a x 在[1，2]上的单调性相同，因此函数f (x )＝a x ＋log a x 在[1，2]上的最大值与最小值之和为f (1)＋f (2)＝(a ＋log a 1)＋(a 2＋log a 2)＝a ＋a 2＋log a 2＝log a 2＋6，故a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3(舍去)．故选C.(3)由题意得，不等式1－a 2x ＞0的解集是(1，＋∞)，由1－a2x ＞0，可得2x ＞a ，故x ＞log 2a ，由log 2a ＝1，得a ＝2. 答案：(1)A (2)C (3)2方法思想——求解不等关系中的参数问题(一题多解)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0][解析] 法一：(推理计算法)若x ≤0，|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x ， x ＝0时，不等式恒成立，x <0时，不等式可变形为a ≥x －2，而x －2<－2，可得a ≥－2；若x >0，|f (x )|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a ≤ln （x ＋1）x恒成立，令h (x )＝ln （x ＋1）x ，则h ′(x )＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g (x )＝xx ＋1－ln(x ＋1)，则g ′(x )＝－x （x ＋1）2<0，故g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x )<g (0)＝0，可得h ′(x )＝xx ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h (x )在(0，＋∞)上单调递减，x →＋∞时，h (x )→0，所以h (x )>0，a ≤0，综上可知，－2≤a ≤0，故选D.法二：(数形结合法) 由y ＝|f (x )|的图象知：①当x >0时，y ＝ax 只有a ≤0时，才能满足|f (x )|≥ax ，可排除B ，C. ②当x ≤0，y ＝|f (x )|＝|－x 2＋2x |＝x 2－2x . 故由|f (x )|≥ax ，得x 2－2x ≥ax . 当x ＝0时，不等式为0≥0成立．当x <0时，不等式等价于x －2≤a . ∵x －2<－2，∴a ≥－2.综上可知：a ∈[－2，0]．法三：(分离参数法)∵|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，∴由|f (x )|≥ax 分两种情况：①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－2x ≥ax 恒成立，可得a ≥x －2恒成立，则a ≥(x －2)max ，即a ≥－2，排除选项A ，B ； ②由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，ln （x ＋1）≥ax 恒成立，根据函数图象可知a ≤0.综合①②得－2≤a ≤0，故选D. 法四：(特值法)作出函数y ＝|f (x )|的图象(如法二中图)，取a 的特殊值进行检验，如取a ＝1不满足不等式，可排除选项B 、C ，取a ＝－5，不满足不等式，可排除选项A ，故选D.[答案] D[名师点评] 本题给出四种解法，方法二、三、四都利用了数形结合思想，而方法一是推理计算，在方法三中又利用了分离参数，所以当x ≤0时，把x 2－2x ≥ax 化为x [(x －2)－a ]≥0，得到(x －2)－a ≤0，就达到了参变分离的效果；当x >0时，采取画图，数形结合就可以看出a 的范围．高考试题大多数具有多种解决方法，选择不同的方法可能出现简与繁的较大差异，在高考复习中要注意试题(特别是选择题)的一些特殊解法．已知a ＝5log 2 3.4，b ＝5log 4 3.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b 解析：选C.c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3＝5－log30.3＝5log 3 103. 法一：在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示．由图象知：log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴5log 23.4>5log 3103>5log 43.6，∴a >c >b .法二：∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1，∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴5log 2 3.4>5log 3 103.>5log 4 3.6. 即5log 2 3.4>⎝⎛⎭⎫15log 30.3>5log 4 3.6，故a >c >b .1．函数f (x )＝ln （x ＋3）1－2x 的定义域是( )A ．(－3，0)B ．(－3，0]C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－3，0)解析：选A.∵f (x )＝ln （x ＋3）1－2x，∴要使函数f (x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>01－2x >0，即－3<x <0. 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.12x C ．log 12x D ．2x －2解析：选A.f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1.∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .3．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a >1，c >1B ．a >1，0<c <1C ．0<a <1，c >1D ．0<a <1，0<c <1解析：选D.由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1，0<c <1. 4．设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >a解析：选C.因为π>2，所以a ＝log 2π>1.因为π>1，所以b ＝log 12π<0.因为π>1，所以0<π－2<1，即0<c <1.所以a >c >b . 5．已知函数f (x )＝ln e x －e －x2，则f (x )是( )A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减解析：选A.要使函数有意义，则e x >e －x ，解得x >0，即函数的定义域是(0，＋∞)，故函数是非奇非偶函数．又y ＝e x －e －x2在(0，＋∞)上递增，所以f (x )在(0，＋∞)上递增，故选A.6．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________．解析：令u ＝x 2－2x ，则y ＝log 3u .∵y ＝log 3u 是增函数，u ＝x 2－2x (u ＞0)的减区间是(－∞，0)， ∴y ＝log 3(x 2－2x )的减区间是(－∞，0)．答案：(－∞，0)7．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：f (x )＝log 2x ·log2(2x )＝12log 2x ·2log 2(2x )＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝⎝⎛⎭⎫t ＋122－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14. 答案：－148．计算下列各题：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)log 34273·log 5[412log 210－(33)23－7log 72]．解：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝12×(5lg 2－2lg 7)－43×32lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋12lg 5＋lg 7 ＝12lg 2＋12lg 5＝12lg(2×5)＝12. (2)原式＝log 33343·log 5[2log 210－(332)23－7log 72]＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2)＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55＝－14. 9．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )的单调性．解：(1)由a x －1>0，得a x >1，当a >1时，x >0；当0<a <1时，x <0.∴当a >1时，f (x )的定义域为(0，＋∞)；当0<a <1时，f (x )的定义域为(－∞，0)．(2)当a >1时，设0<x 1<x 2，则1< a x 1< a x 2，故0< a x 1－1<a x 2－1，∴log a (a x 1－1)<log a (a x 2－1)．∴f (x 1)<f (x 2)．故当a >1时，f (x )在(0，＋∞)上是增函数．类似地，当0<a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上知，函数f (x )在定义域上单调递增．1．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( )解析：选B.∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除A.若a ＞1，则0＜b ＜1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数，结合图象知选B.2．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎣⎡⎭⎫13，1C.⎝⎛⎭⎫23，1D.⎣⎡⎭⎫23，1 解析：选A.当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝⎛⎭⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a<1；当a>1时，函数f(x)在区间⎣⎡⎦⎤12，23上是增函数，所以log a(1－a)>0，即1－a>1，解得a<0，此时无解．综上所述，实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎫13，1.3．设2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则m＝________．解析：由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，又1a＋1b＝2，即1log2m＋1log5m＝2，∴1lg m＝2，即m＝10.答案：104．已知函数f(x)＝|log2x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，则n ＋m＝________．解析：根据已知函数f(x)＝|log2x|的图象知，0<m<1<n，所以0<m2<m<1，根据函数图象易知，当x＝m2时取得最大值，所以f(m2)＝|log2m2|＝2，又0<m<1，解得m＝12.再结合f(m)＝f(n)求得n＝2，所以n＋m＝52.答案：525．设f(x)＝|lg x|，a，b为实数，且0<a<b.(1)求方程f(x)＝1的解；(2)若a，b满足f(a)＝f(b)＝2f⎝⎛⎭⎫a＋b2，求证：a·b＝1，a＋b2>1.解：(1)由f(x)＝1，得lg x＝±1，所以x＝10或110.(2)证明：结合函数图象，由f(a)＝f(b)可判断a∈(0，1)，b∈(1，＋∞)，从而－lg a＝lg b，从而ab＝1.又a＋b2＝1b＋b2，令φ(b)＝1b＋b(b∈(1，＋∞))，任取1<b1<b2，∵φ(b1)－φ(b2)＝(b1－b2)·⎝⎛⎭⎫1－1b1b2<0，∴φ(b1)<φ(b2)，∴φ(b)在(1，＋∞)上为增函数．∴φ(b)>φ(1)＝2.∴a＋b2>1.6．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)．(1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解：(1)∵f (1)＝1，∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0，得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)．令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，则g (x )在(－1，1)上递增，在(1，3)上递减．又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，递减区间是(1，3)．(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a ＝1，解得a ＝12.故存在实数a ＝12使f (x )的最小值为0.。

2021届高考数学人教版一轮创新课件：第2章+第6讲对数与对数函数

第二章　函数、导数及其应用第6讲　对数与对数函数
[考纲解读]　1.理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数，熟悉对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念及对数函数的相关性质，掌握其图象通过的特殊点．(重点、难点)
3．通过具体实例了解对数函数模型所刻画的数量关系，并体会对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．
[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲为高考中的一个热点．预测2021年高考主要以考查对数函数的单调性的应用、最值、比较大小为主要命题方向，此外，与对数函数有关的复合函数也是一个重要的考查方向，主要以复合函数的单调性、恒成立问题呈现.
1基础知识过关PART ONE
a N
N N
右侧
上升下降
增函数 (0，＋∞) 减函数 y >0 y <0 y <0 y >0
答案
解析
1
2经典题型冲关PART TWO
题型一　对数式的化简与求值
－3
2
(0,1)
(1,2]
3课时作业PART THREE
A组基础关。

第2章第5节对数与对数函数-2021年新高考数学自主复习PPT(45张)

第5节对数与对数函数
3. 对数函数
一般地，把函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量， a叫做对数函数的底数(底)．
对数函数y＝logax有以下特征：(1)底数a>0，且a≠1；(2)自变量x>0； (3)函数值域为R.
第5节对数与对数函数
4. 对数函数的图像
对数函数y＝logax在底数a＞1及0＜a＜1这两种情况下的图像和性质如下表所示：
＝ 1 ∈(－∞，－1)，所以c>b>a，故选C.
b
【答案】C
第5节对数与对数函数
求下列函数的定义域、值域、单调区间．
(1)y＝4x＋2x＋1＋1；
(2)y＝
1
x2
3x2
；
3
(3)y＝log1 (x2－3x＋2)．
3
【解】(1)定义域为R.令t＝2x(t＞0)，则y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，∴值域为
x2＝ea－1.故x1－x2＝ln(a＋e)－ea－1(a＞－e)．令h(a)＝ln(a＋e)－ea－1，则 h′(a)＝ 1 －ea－1，易知h′(a)在(－e，＋∞)上是减函数，且h′(0)＝0，故
ae
h(a)在a＝0处有最大值，即x1－x2的最大值为h(0)＝1－1e .故选D.
【答案】D
第5节对数与对数函数
第5节对数与对数函数
由a＞b＞c＞1得logcb＞logcc＝1，logba＞logbb＝1，logac＜logaa＝1，从而知 logac最小，以下只需比较logcb与logba的大小即可，则logcb－logba＝
【答案】B
第5节对数与对数函数
4．[天津2019·6]已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为( )

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