甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数(第6课时)》学案(无答案)(新版)北师大版
北师大版九年级数学下册第二章二次函数学案:二次函数讲义(不含答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数教案:二次函数讲义(不含答案)二次函数讲义【基础知识精讲】1、二次函数的定义: 一般地 ,形如y2bx.(0)的函数,叫做二次函数。
axc a2、二次函数的性质:当 a ﹥ 0 时,① 抛物线张口向,且向上无穷延长② 极点坐标(b , 4ac b 2 ) 对称轴是直线: xb 。
2a4a2a③ 当 xb 时, y 随 x 增大而增大;当 x b时, y 随 x 增大而减小。
2a2a当 xb4ac b 2. ④时, y 最小值 4a2a当 a ﹤ 0 时,① 抛物线张口向下,且向下无穷延长② 极点坐标(b , 4ac b 2)对称轴是直线: x b .2a 4a 2a③ 当 xb b 时, y 随 x 增大而减小;当 x2a 2a④当 xb4ac b 2时, y 最大值.2a 4a时, y 随 x 增大而增大。
3、二次函数的三种表示方式 : ①.分析法; ②.列表法; ③ .图像法。
4、求二次函数分析式的三种基本方法:① 一般式 yax 2 bx c .② 极点式 y a( x h) 2 k ③ 交点式 y a(x x 1 )(x x 2)5、抛物线 y=ax 2+bx+c (a ≠0)与系数 a 、 b 、 c 的关系以下:① a 的正负决定抛物线张口方向和增减性,a 决定抛物线张口大小② c 确立抛物线与 y 轴交点的地点,交点坐标( 0 ,c )③ xb。
决定对称轴地点,对称轴为直线xb 。
2a2a④ b 24ac : 决定抛物线与 x 轴交点个数⑤ bb 2 4acx 轴交点坐标 A(x 1, 0) 、 B (x 2 ,0 )x 1,2: 决定抛物线与2ab 2 4 a cx 轴两交点 A 、 B 间的距离 AB x 1x 2⑥a : 决定抛物线与 a3、二次函数的三种表示方式 : 1.分析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 ;2.列表法:用列出表格来表示两个变量之间的对应关系 ;3.图象法:用图象表示两个变量之间的对应关系。
九年级下册第二章二次函数教学设计
第二章2.1二次函数教学设计备课组:数学组主备人:审核人:本节通过对具体情境的分析,概括出二次函数的表达形式,明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识,理解二次函数的意义.一、教材分析本节通过对具体情境的分析,概括出二次函数的表达形式,明确二次函数的概念.通过例题和学生列举的实例可以丰富对二次函数的认识,理解二次函数的意义.二、学情分析函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的重要的数学概念,是研究现实世界变化规律的重要数学模型.学生曾在七年级下册、八年级上册学习过“变量之间的关系”和“一次函数”和九年级上册学习过“反比例函数”等内容,对函数已经有了深刻的认识,在此基础上讨论二次函数及其性质可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理实际问题的经验,这对后继学习会产生积极影响.三、学习目标1、结合具体实际问题和已有函数知识,发现并归纳出两个变量之间的关系;说出二次函数的表达式及其限制条件的必要性;2、能根据一些具有实际意义的问题,确定二次函数表达式;能辨析、区分一个函数是不是二次函数;3、结合例子说出表达式及自变量的范围并解决变式练习.重难点:会叙述二次函数的定义及一般形式,并作出正确的判断;能用数学符号表示简单变量之间的二次函数关系.四、评价设计1、结合具体例子,发现归纳出两个变量之间的关系(目标达成率100%);2、说出二次函数的表达式及限制条件(目标达成率98%);3、能辨析区分一个函数是不是二次函数(目标达成率95%);4、能根据已知条件列出二次函数的表达式及自变量的范围(目标达成率90%);5、解决变式练习(目标达成率85%).五、学习过程(一)知识准备说说什么是函数?我们学习过的函数有 ,(二)合作探究1、探究1:某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(独立思考)①说一说问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?②设果园增种x棵橙子树,则果园共有棵橙子树,这时平均每棵树结个橙子③如果果园橙子的总产量为y个,请写出y与X之间的关系式:y= .化简得:y=2、探究2银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储存转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)(交流展示)①本金:;②一年到期后,利息:;本息和;③两年到期后,本金;利息:;本息和;④请写出y与x之间的关系式:试试身手:请用适当的函数解析式表示下列问题中的两个变量 y 与 x 之间的关系:①某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y= 即:y=②用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积y (m2)与矩形一边长x(m)之间是函数关系y= 即:y=③设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是210元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).3、探究3:上面三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?说一说二次函数的定义及一般形式呢?一般地形如的函数叫做x的二次函数.友情提示: 二次函数的特点(1)y=ax 2 --- (a ≠0,b=0,c=0).(2)y=ax ²+c --- (a ≠0,b=0,c ≠0)(3)y=ax ²+bx ---(a ≠0,b ≠0,c=0再试身手:下列函数中哪些是二次函数?( )①y=ax ²+bx+c ②y=2x ² ③y=-5x ²+6④ y=(x+1)(x-2) ⑤y=2x(x+1)²-2x ²⑥y=232--x x ⑦x y 2=⑧26xy = 活学活用:【例2】底面为正方形的长方体,已知底面边长是a ,长方体的高为5,体积为v ,(1)求v 与a 之间的函数表达式: , v 是a 的______函数,其中二次项系数为: 一次项系数为: 常数项为:(2)当a=2时,v=【例3】某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场每件提价x 元,请你得出每天销售利润y 与售价的函数表达式:化为一般式为: ,y 是x 的 函数. (三)巩固达标1.下列函数中,不是二次函数( )A.162+=x yB.261x y -= C.12+=x y )2)(1(-+=x x y D.2 .函数 y=(m-n)x 2+mx+n 是二次函数的条件是( )A .m 、n 为常数,且m ≠0B .m 、n 为常数,且m ≠nC .m 、n 为常数,且n ≠0D .m 、n 可以为任何常数3.如果函数1232++=+-kx x y k k 是二次函数,则k 的值是______变式训练如果函数1)3(232++-=+-kx x k y k k 是二次函数,则k 的值是______4.半径为3的圆,如果半径增加2x ,面积S 与x 之间的函数表达式为:5.某公司1月份营业额100万元,三月份营业额为y 万元,如果每月的增长率为x ,则y 与x 的关系式为:6.如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏,1)∠B= _2)用含有x 代数式分别表示:BC AD3)求梯形的面积y 与高x 的表达式.7.已知一张三角形纸片ABC ,面积为25,BC 边的长为10,∠A 和∠B 都是锐角,M 为AB 边上的一个动点,且M 不与点A 点B 重合),过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ,设MN=x,请用x 表示△ANM 的面积s.(四)课堂小结(五)能力提升1.一个菱形的边长为xcm ,它的面积为ycm .(1)当一个内角为60°时,则y 与x 之间的函数关系式(2)当一个内角为45°时,则 y 与x 之间的函数关系式2已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式.课题:2.1 二次函数教学目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.3. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验,并通过合作交流体验学习的乐趣.教学重、难点:重点:理解二次函数的概念.难点:经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.课前准备:多媒体课件.教学过程:一、复习回顾,创景导入1、温故知新(多媒体出示复习回顾问题)①回顾我们学过的知识,想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系?②到目前为止我们学过了哪些函数?它们的关系式分别是怎样的?处理方式:先由学生独立思考,然后找学生口答上述问题,师生共同补充.2、情境引入问题①现有一根12m长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才能使矩行的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗?问题②很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决,今天我们学习“二次函数”.【教师板书课题:2.1 二次函数】设计意图:复习旧知识,为学习新知识奠定基础,设问质疑引出新知识,使学生产生强烈的求知欲望,充分调动了学生的学习积极性和主动性.二、合作探究,获取新知活动内容1:(多媒体出示)某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.问题1:问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?问题2:假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?问题3:如果果园橙子树的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题:找学生口答,然后师生共同补充;处理完这三个问题后,教师可继续提问:在上述问题中,增种多少棵橙子树,可以使果园的总产量最多?并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想,用自己的方法去解决问题,对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写,进而验证自己的猜想.设计意图:让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异,以及在解决最大值问题中的作用.活动内容2:(多媒体出示)设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).处理方式:先让学生自主独立探求,尝试写出y与x之间的函数表达式.在独立自主探求的基础上,小组进行合作交流,共同探讨.然后展示答案,教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导:⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,利率是一个变量;⑵利息=本金×利率×期数(时间).设计意图:让学生通过解决实际生活中的数学问题,进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程.三、归纳总结,生成新知活动内容1:二次函数定义一般地,若两个变量x ,y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++(其中a ,b , c 是常数,0a ≠)的形式,则称y 是x 的二次函数(quadratic funcion) .其中x 是自变量,a 为二次项系数,2ax 叫做二次项,b 为一次项系数,bx 叫做一次项,c 为常数项.活动内容2:概念理解1、函数2y ax bx c =++ (其中a ,b ,c 是常数)当a ,b ,c 满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数?2、下列函数中,哪些是二次函数? 2(1)y x =; 21(2)y x= ; 2(3)21y x x =-- ; (4)(1)y x x =- ; 2(5)(1)(1)(1)y x x x =--+- 2(6)y ax bx c =++3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:2(1)1y x =+ ; 2(2)3712y x x =+-; (3)2(1)y x x =-4.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数?处理方式:先让学生自主独立思考,尝试解答,然后找学生口答;师生共同纠错.设计意图:进一步加深对二次函数概念的理解与认识,学会运用概念解决一些简单的数学问题.同时对二次函数的特征及注意事项进行强调:(1)等号左边是变量y ,右边是关于自 变量x 的整式;(2)a ,b ,c 为常数,且0a ≠;(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项;(4)自变量x 的取值范围是任意实数.活动内容3:应用提升例 已知函数22(2)21m y m x x -=++-是二次函数,求m 的值.处理方式:先给学生两分钟时间独立思考尝试解答,然后找学生板演,学生评析,老师纠正并对二次项系数20m +≠重点做强调.四、回顾反思,提炼升华活动内容:通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家.处理方式:学生畅谈自己的收获!设计意图:课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识.五、达标检测,反馈提高(多媒体出示)活动内容:通过本节课的学习,同学们的收获真多!收获的质量如何呢?请完成导学案中的达标检测题.1.函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是( )A .m 、n 为常数,且m ≠0B .m 、n 为常数,且m ≠nC .m 、n 为常数,且n ≠0D .m 、n 可以为任何常数 2.半径为3的圆,如果半径增加2x ,则面积S 与x 之间的函数表达式为( )A .22(3)S x π=+B .9S x π=+C .22(3)S x π=+ D .24129S x x π=++ 3.下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)模型的是( )A .在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B .我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C .竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D .圆的周长与圆的半径之间的关系.4.下列函数中,二次函数是( )A .261y x =+B .61y x =+C .61y x =+D .261y x=+ 5.若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数,则m 的值为 .6.在生活中,我们知道,当导线有电流通过时,就会发热,它们满足这样一个表达式:若导线电阻为R ,通过的电流强度为I ,则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2.若某段导线电阻为0.5欧姆,通过的电流为5安培,则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= .7.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每提高1元,其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元,每天所赚利润为y元,请你写出y与x之间的函数表达式?处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.设计意图:学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.六、布置作业,课堂延伸(多媒体出示)基础作业:课本 P30 习题2.1 第1题,第3题,第4题.拓展作业:助学P210 自主评价第1——6题.板书设计:课题:2.1 二次函数教学目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够用二次函数表示简单的变量之间的关系.3. 从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验,并通过合作交流体验学习的乐趣.教学重、难点:重点:理解二次函数的概念.难点:经历探索,分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.课前准备:多媒体课件.教学过程:一、复习回顾,创景导入1、温故知新(多媒体出示复习回顾问题)①回顾我们学过的知识,想一想我们用什么来描述两个变量之间的关系?②到目前为止我们学过了哪些函数?它们的关系式分别是怎样的?处理方式:先由学生独立思考,然后找学生口答上述问题,师生共同补充.2、情境引入问题①现有一根12m长的绳子,用它围成一个矩形,如何围法,才能使矩行的面积最大?小明同学认为当围成的矩形是正方形时,它的面积最大,他说的有道理吗?问题②很多同学都喜欢打篮球,你知道吗:投篮时,篮球运动的路线是什么曲线?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决,今天我们学习“二次函数”.【教师板书课题:2.1 二次函数】设计意图:复习旧知识,为学习新知识奠定基础,设问质疑引出新知识,使学生产生强烈的求知欲望,充分调动了学生的学习积极性和主动性.二、合作探究,获取新知活动内容1:(多媒体出示)某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.问题1:问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?问题2:假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?问题3:如果果园橙子树的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.处理方式:分步按顺序依次完成上述三个问题:找学生口答,然后师生共同补充;处理完这三个问题后,教师可继续提问:在上述问题中,增种多少棵橙子树,可以使果园的总产量最多?并引导学生合作探究.教师要鼓励学生大胆猜想,用自己的方法去解决问题,对学生的做法给予指导和肯定.再出基础上出示下表让学生填写,进而验证自己的猜想.设计意图:让学生数学活动过程中初步感受到这种“新”的函数在表现形式和函数值的增减性上与以前所学函数的差异,以及在解决最大值问题中的作用.活动内容2:(多媒体出示)设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).处理方式:先让学生自主独立探求,尝试写出y与x之间的函数表达式.在独立自主探求的基础上,小组进行合作交流,共同探讨.然后展示答案,教师对于解决问题有困难的学生从以下两个方面进行指导:⑴银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,利率是一个变量;⑵利息=本金×利率×期数(时间).设计意图:让学生通过解决实际生活中的数学问题,进一步了解掌握用函数表达式反应变量的变化过程. 三、归纳总结,生成新知活动内容1:二次函数定义一般地,若两个变量x ,y 之间的对应关系可以表示成2y ax bx c =++(其中a ,b ,c 是常数,0a ≠)的形式,则称y 是x 的二次函数(quadratic funcion) .其中x 是自变量,a 为二次项系数,2ax 叫做二次项,b 为一次项系数,bx 叫做一次项,c 为常数项.活动内容2:概念理解1、函数2y ax bx c =++ (其中a ,b ,c 是常数)当a ,b ,c 满足什么条件时 (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数?2、下列函数中,哪些是二次函数?2(1)y x =; 21(2)y x=; 2(3)21y x x =-- ; (4)(1)y x x =- ; 2(5)(1)(1)(1)y x x x =--+- 2(6)y ax bx c =++3、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项:2(1)1y x =+ ; 2(2)3712y x x =+-; (3)2(1)y x x =-4.用总长为60m 的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m ²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么?是函数关系吗?是哪一种函数?处理方式:先让学生自主独立思考,尝试解答,然后找学生口答;师生共同纠错. 设计意图:进一步加深对二次函数概念的理解与认识,学会运用概念解决一些简单的数学问题.同时对二次函数的特征及注意事项进行强调:(1)等号左边是变量y ,右边是关于自 变量x 的整式;(2)a ,b ,c 为常数,且0a ≠;(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项;(4)自变量x 的取值范围是任意实数.活动内容3:应用提升 例 已知函数22(2)21my m x x -=++-是二次函数,求m 的值.处理方式:先给学生两分钟时间独立思考尝试解答,然后找学生板演,学生评析,老师纠正并对二次项系数20m +≠重点做强调.四、回顾反思,提炼升华活动内容:通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家.处理方式:学生畅谈自己的收获!设计意图:课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识. 五、达标检测,反馈提高(多媒体出示)活动内容:通过本节课的学习,同学们的收获真多!收获的质量如何呢?请完成导学案中的达标检测题.1.函数2()y m n x mx n =-++是二次函数的条件是( ) A .m 、n 为常数,且m ≠0 B .m 、n 为常数,且m ≠n C .m 、n 为常数,且n ≠0D .m 、n 可以为任何常数2.半径为3的圆,如果半径增加2x ,则面积S 与x 之间的函数表达式为( )A .22(3)S x π=+ B .9S x π=+ C .22(3)S x π=+ D .24129S x x π=++3.下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax 2+bx +c (a ≠0)模型的是( ) A .在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系B .我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系C .竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)D .圆的周长与圆的半径之间的关系. 4.下列函数中,二次函数是( ) A .261y x =+ B .61y x =+ C .61y x =+ D .261y x=+ 5.若函数mm xm y --=2)1(2为二次函数,则m 的值为 .6.在生活中,我们知道,当导线有电流通过时,就会发热,它们满足这样一个表达式:若导线电阻为R ,通过的电流强度为I ,则导线在单位时间所产生的热量Q=RI 2.若某段导线电阻为0.5欧姆,通过的电流为5安培,则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= .7.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每提高1元,其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元,每天所赚利润为y元,请你写出y与x之间的函数表达式?处理方式:学生做完后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错.设计意图:学以致用,当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每个学生都能有所收益、有所提高,明确哪些学生需要在课后加强辅导,达到全面提高的目的.六、布置作业,课堂延伸(多媒体出示)基础作业:课本 P30 习题2.1 第1题,第3题,第4题.拓展作业:助学P210 自主评价第1——6题.板书设计:。
北师大版数学九年级下册第二章2.4(优质)二次函数的应用(导学案,无答案)
2.4 (2)二次函数的应用——最大利润问题一、教学目标经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.二、教学重点和难点重点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值难点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值三、教学过程(一)情景导入服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元,根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?(二)巩固训练1.某旅社有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加10元时,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?2.某果园有100棵橙子树,平均每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.(1)果园增种多少棵橙子树时,果园橙子的总产量最多?(2)增种多少棵橙子树时,可以使果园橙子的总产量在60420个以上?(要求学生画出二次函数的图象,并根据图象回答问题)(三)变式训练1.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量w(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y(元).(1)求y与x之间的函数关系式.(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少元?2.某宾馆客房部有60个房间供游客居住,当每个房间的定价为每天200元时,房间可以住满.当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.对有游客入住的房间,宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元.(1)房间每天的入住量y(间)关于x(元)的函数关系式.(2)该宾馆每天的房间收费z(元)关于x(元)的函数关系式.(3)该宾馆客房部每天的利润w(元)关于x(元)的函数关系式;当每个房间的定价为每天多少元时,w有最大值?最大值是多少?3.某省有一种可食用的野生菌,上市时,外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中,据预测,该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元;但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元,而且这类野生菌在冷库中最多保存160天,同时,平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售.(1)设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元,试写出y与x之间的函数关系式.(2)若存放x天后,将这批野生菌一次性出售,设这批野生菌的销售总额为P元,试写出P与x之间的函数关系式.(3)李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元?(利润=销售总额-收购成本-各种费用)4.某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版 - 副本
2.4.2二次函数的应用预习案一、预习目标及范围:1.经历探索T 恤衫销售过程中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值.预习范围:P48-49二、预习要点二次函数的最值问题和增减性: 系数a 的符号a b x 2-=时, 最值a b ac 442- 增减性 a >0最小值 a <0最大值三、预习检测1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x 2+24x+2 956,则获利最多为______元2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x 2+80x+28 400,要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.3.(兰州·中考) 如图,小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米,绳子自然下垂呈抛物线状,身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点距地面的距离为 米.探究案一、合作探究活动内容1:活动1:小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0),顶点坐标为(h,k ),则(1)a>0时,y 有最小值 ( );(2)当a<0时,y有最大值()【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析,销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件;每件T恤衫的利润为: 元;所获总利润可以表示为: 元;即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2:探究归纳先将实际问题转化为数学问题,再将所求的问题用二次函数关系式表达出来,然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值,有时必须考虑其自变量的取值范围,根据图象求出最值.活动内容2:典例精析例题2(武汉·中考)某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的整数倍).(1)设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?【解析】例题3(青海·中考)某水果批发商场经销一种水果,如果每千克盈利5元,每天可售出200千克,经市场调查发现,在进价不变的情况下,若每千克涨价1元,销售量将减少10千克.(1)现该商场要保证每天盈利1 500元,同时又要顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元?(2)若该商场单纯从经济利益角度考虑,这种水果每千克涨价多少元,能使商场获利最多?二、随堂检测1.(株洲·中考)某广场有一喷水池,水从地面喷出,如图,以水平地面为轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-(x-2)2+4(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.(德州·中考)为迎接第四届世界太阳城大会,德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯.已知太阳能路灯售价为5 000元/个,目前两个商家有此产品.甲商家用如下方法促销:若购买路灯不超过100个,按原价付款;若一次性购买100个以上,则购买的个数每增加一个,其价格减少10元,但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个.乙商家一律按原价的80℅销售.现购买太阳能路灯x个,如果全部在甲商家购买,则所需金额为y1元;如果全部在乙商家购买,则所需金额为y2元.(1)分别求出y1,y2与x之间的函数关系式.(2)若市政府投资140万元,最多能购买多少个太阳能路灯?3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外?4.(青岛·中考)某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似地看作一次函数:(1)设李明每月获得利润为w(元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元?(3)根据物价部门规定,这种护眼台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)参考答案预习检测:1.31002.203.0.5随堂检测1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为(2,4),所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】(1)由题意可知,当x≤100时,购买一个需5 000元,故y1=5 000x当x>100时,因为购买个数每增加一个,其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个,所以x≤5 000 3 500100250 10-+=即100<x≤250时,购买一个需5 000-10(x-100)元,故y1=6 000x-10x2;当x>250时,购买一个需3 500元,故y1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤>2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时,y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000;当100<x ≤250时,y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000;∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家,最多能购买400个太阳能路灯3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析:(1)由题意,得:w = (x -20)·y=(x -20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-= 时,w 有最大值. 答:当销售单价定为35元时,每月可获得最大利润.(2)由题意,得:21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程得:x 1 = 30,x 2 = 40.答:李明想要每月获得2 000元的利润,销售单价应定为30元或40元.(3)∵10a=-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时,w≥2 000.∵x≤32,∴当30≤x≤32时,w≥2 000.设成本为P(元),由题意,得:P=20(-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200<0,∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时,P最小=3 600.答:想要每月获得的利润不低于2 000元,每月的成本最少需要3 600元.如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!。
北师大版九年级数学下册:第二章 2.1《二次函数》精品教学设计
北师大版九年级数学下册:第二章 2.1《二次函数》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》是整个初中数学的重要内容,也是九年级数学的教学难点。
本节内容主要介绍二次函数的定义、性质以及图象。
通过学习,使学生能够理解二次函数的概念,掌握二次函数的图象特征,能够运用二次函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识,对一次函数和二次函数有一定的了解。
但在二次函数的图象和性质方面,学生可能还存在一定的困难。
因此,在教学过程中,需要结合学生的实际情况,逐步引导学生理解和掌握二次函数的知识。
三. 教学目标1.理解二次函数的概念,掌握二次函数的图象特征。
2.能够运用二次函数解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。
2.二次函数图象的特征。
3.运用二次函数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法:通过生活中的实际问题,引发学生对二次函数的兴趣,培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
2.数形结合法:通过二次函数图象的展示,使学生直观地理解二次函数的性质。
3.小组合作学习法:引导学生分组讨论,培养学生的团队合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件:制作二次函数的定义、性质和图象的课件,以便进行直观展示。
2.练习题:准备一些有关二次函数的练习题,以便进行课堂练习和巩固。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过一个实际问题,如抛物线跳跃游戏,引发学生对二次函数的兴趣。
引导学生思考:抛物线的形状是由什么因素决定的?2.呈现(15分钟)利用课件展示二次函数的定义和性质,让学生直观地了解二次函数的基本概念和图象特征。
同时,通过举例说明二次函数在实际生活中的应用。
3.操练(15分钟)让学生分组讨论,每组选择一个二次函数,分析其图象特征,并总结出二次函数的性质。
然后,进行小组间的分享和交流。
4.巩固(10分钟)针对刚才的学习内容,进行一些相关的练习题,检查学生对二次函数知识的掌握程度。
数学《二次函数》优秀教案
数学《二次函数》优秀教案数学《二次函数》优秀教案(通用11篇)作为一名默默奉献的教育工作者,总不可避免地需要编写教案,教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。
那么问题来了,教案应该怎么写?下面是小编精心整理的数学《二次函数》优秀教案,欢迎阅读与收藏。
数学《二次函数》优秀教案篇1教学目标(一)教学知识点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系、2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根、3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标、(二)能力训练要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神、2、通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想、3、通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识、(三)情感与价值观要求1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性、2、具有初步的创新精神和实践能力、教学重点1、体会方程与函数之间的联系、2、理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根、3、理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标、教学难点1、探索方程与函数之间的联系的过程、2、理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系、教学方法讨论探索法、教具准备投影片二张第一张:(记作§2、8、1A)第二张:(记作§2、8、1B)教学过程Ⅰ、创设问题情境,引入新课[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们之间的关系、当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解、数学《二次函数》优秀教案篇2教学目标(一)教学知识点1、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、2、进一步发展估算能力、(二)能力训练要求1、经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验、2、利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想、(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力、教学重点1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系、2、能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根、教学方法学生合作交流学习法、教具准备投影片三张第一张:(记作§2、8、2A)第二张:(记作§2、8、2B)第三张:(记作§2、8、2C)教学过程Ⅰ、创设问题情境,引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x 轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可、但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算、本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根、数学《二次函数》优秀教案篇3一.学习目标1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程,体会二次函数意义。
九年级数学下册 第二章 二次函数教案 (新版)北师大版 教案
第二章 二次函数一、学生知识状况分析学生的知识技能基础:学生在前面几节课已经学习过并能够独立作出一个二次函数的图像,掌握了二次函数y =ax 2和y=ax 2+c 的一般性质。
学生活动经验基础:在相关知识的学习过程中,学生已经经历了二次函数y=ax 2和y=ax 2+c 的性质的探索过程,在探究过程中体会到了由特殊到一般的辩证规律,积累了解决数学问题的经验和方法。
学生愿意动手操作,乐于和同伴交流意见,形成不同的意见,积极参加探索解决问题的活动,在活动中感受数学的严密性、严谨性。
同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析第2.4节将讨论一般形式的二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象和性质。
它和学生前面几节课学习的2ax y =、c ax y +=2的图象之间有什么区别和联系?如何在已经学习过的类型上通过变化学习新的类型?如何探索一般二次函数的性质等等都是这一节需要关注的。
具体的,本节课的教学目标是:知识与技能1.能够作出y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象,并能够理解它与y=ax 2的图象的关系,理解a,h 和k 对二次函数图像的影响。
2.能正确说出y=a (x-h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
过程与方法1.经历探索二次函数y=a (x-h )2+k 的图象的作法和性质的过程。
情感态度与价值观1.在小组活动中体会合作与交流的重要性。
2.进一步丰富数学学习的成功体验,认识到数学是解决实际问题的重要工具,初步形成积极参与数学活动的意识。
教学难点:理解y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 的图象与y=ax 2的图象的关系,理解a 、h 和k 对二次函数图像的影响。
教学重点:y=a (x-h )2和y=a (x-h )2+k 与y=ax 2的图象的关系,y=a (x-h )2+k 的图象性质三、教学过程分析本课设计了5个教学环节:复习引入、合作探究、练习提高、课堂小结、布置作业。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数(第4课时)》学案(无答案)(新版)北师大版
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数(第4课时)》学案(无答案)(新版)北师大版学习目标:能通过配方将二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 化成k h x a y +-=2)(的形式,从而确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标、最值学习重点:能从二次函数顶点式k h x a y +-=2)(得出开口方向、对称轴、顶点坐标、最值 学习难点:利用配方法将二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 化成k h x a y +-=2)(的形式 学习过程:一、知识超市:二次函数c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a 对称轴:对称轴是直线a b x 2-=.顶点坐标公式:顶点是),(a b ac a b 4422-- 练习: 写出二次函数y =-2(x-1)2+3.开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
利用我们之前学习的公式得出答案,你再观察一下二次函数y =-2(x-1)2+3这种形式你发现了什么?抛物线y =a(x-h)2+k 有如下特点:(1) 当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下(2) 对称轴是x=h(3) 顶点是(h , k )实战演练:1、二次函数3)6(212+-=x y 开口方向,对称轴是,顶点坐标是 2、抛物线21(3)4y x =--5的开口方向,对称轴是,顶点坐标为, 3、在抛物线23(2)y x =-++3的开口方向,对称轴是,顶点坐标是,所以二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 我们以后可以通过配方化成顶点式y =a(x-h)2+k , 1、先把二次函数y =x 2-4x +1化成y =a(x-h)2+k 的形式,求出对称轴和顶点坐标和最值。
2、先把二次函数y =-x 2-4x +1化成y =a(x-h)2+k 的形式,求出对称轴和顶点坐标和最值。
3、先把二次函数y =x 2+2x +1化成y =a(x-h)2+k 的形式,求出对称轴和顶点坐标和最值。
北师大版九年级下册 第二章 《二次函数》(二次函数的图像性质)专题教学案(无答案)
二次函数的图像性质◆【知识目标•考点导航】◆1、二次函数的定义:形如2y ax bx c=++(0a≠,a,b,c均为常数)的函数;要点:(1)解析式为整式;(2)自变量最高次数为2;(3)0a≠◆2、几种常见表达形式:(1)2y ax=;(2)2y ax k=+;(3)2()y a x h=-;(4)2()y a x h k=-+(顶点式);(5)12()()y a x x x x=--(交点式)。
◆3、二次函数的图像及其性质:二次函数的图像是一条抛物线。
是轴对称图形。
函数的增减性以对称轴为界分别讨论。
yxOyxOyxOyxO2y ax=2y ax k=+2()y a x h=-2()y a x h k=-+x h=y k=最◆4、抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的顶点坐标公式:(2ba-,244ac b a -);对称轴是直线:2b x a =-;当2bx a=-时,函数有最值:244ac b y a -=。
◆5、二次函数图像的平移:左加右减,上加下减。
◆6、求抛物线与坐标轴的交点,求两个函数图像交点坐标。
◆【典型例题•方法技巧平台】【考点1】----二次函数的定义 【例1】已知函数x m x m y m m)1()1(232-++=--(m 为常数)。
(1)m 为何值时,这个函数为二次函数? (2)m 为何值时,这个函数为一次函数? ◆目标训练1:1、下列函数中,关于x 的二次函数是( )。
A 、22-+=xx y B 、x x x y )1(2+-= C 、)1(23x x x y -+= D 、22)1(-=x y2、已知22)2(-+=kx k y 是二次函数,则=k【考点2】----二次函数的顶点、对称轴、最值【例2】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值; (1)3212+-=x y (2)4)3(2-+-=x y (3)13212--=x x y◆目标训练2:1、已知抛物线的解析式为1)2(2+-=x y ,则抛物线的顶点坐标是( )A 、(2-,1)B 、(2,1)C 、(2,1-)D 、(1,2)2、用配方法求抛物线21312y x x =-+-的顶点坐标,对称轴方程及最值。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册 第二章《二次函
二次函数 学习目标:巩固基础知识,熟练计算。
学习过程:任务一、独立完成1--10题1.抛物线22-=x y 的顶点坐标为( )A .(2,0)B .(-2,0)C .(0,2)D .(0,-2)2.二次函数y=(x -3)(x +2)的图象的对称轴是( )A .x=3.B .x=-2.C .x=12-D .x=12. 3.已知抛物线y=x 2-8x +c 的顶点在x 轴上,则c 的值是( )A .16.B .-4.C .4.D .8.4.把抛物线y =2x 2先向左平移3个单位,再向上平移4个单位,所得抛物线的函数表达式为( )A .y =2(x+3)2+4B .y =2(x+3)2-4C .y =2(x -3)2-4D .y =2(x -3)2+45.童装专卖店销售一种童装,若这种童装每天获利y (元)与销售单价x (元)满足关系y=-x 2+50x -500,则要想获得最大利润每天必须卖出( )A .25件B .20件C .30件D .40件6.在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0)。
求该二次函数的解析式;7.某二次函数的图象与x 轴交于点(-1,0),(4,0),且它的形状与抛物线y =-x 2形状相同。
求该二次函数的解析式;8、二次函数y =x 2-2x -3与x 轴两交点之间的距离为 。
9、抛物线2)3(94-=x y 与x 轴的交点为A ,与y 轴的交点为B ,求△AOB 的面积。
10.如图是抛物线形拱桥,拱顶离水面2m ,水面宽度4m ,水面下降1m ,水面宽度增加多少?二、课堂提升 11.若A(-134,y 1)、B(-1,y 2)、C(53,y 3)为二次函数y=-x 2-4x+5的图象上的三点,则y 1、y 2、y 3的大小关系是( )A .y 1<y 2<y 3B .y 3<y 2<y 1C .y 3<y 1<y 2D .y 2<y 1<y 3.12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则abc ,ac b 42-,b a +2,c b a ++这四个式子中,值为正数的有( )A .1个B .2个C .3个D .4个13.已知函数y=x 2-2x -2的图象如图2示,根据其中提供的信息,可求得使y ≥1成立的x的取值范围是( )A .-1≤x ≤3B .-3≤x ≤1C .x ≥-3D .x ≤-1或x ≥312题 13题14.如图,二次函数c bx x y ++=2的图象经过点M (1,—2)、N (—1,6).(1)求二次函数c bx x y ++=2的关系式;(2)把Rt△ABC 放在坐标系内,其中∠CAB = 90°,点A 、B 的坐标分别为(1,0)、(4,0),BC = 5.将△ABC 沿x 轴向右平移,当点C 落在抛物线上时,求△ABC 平移的距离.y =x 2-2x -2x y o -2-1-1-2-3124123O x y -1 1。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数》图像变换学案(无答案)(新版)北师大版
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数》图像变换学案(无答案)(新版)北师大版学习目标1.会平移出二次函数y =a (x -h )2+k 的图象2.通过图象了解二次函数y =a (x -h )2+k 的性质:开口方向,对称轴,顶点坐标复习回顾1.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的顶点坐标是______,对称轴是______,当x =______时,y 有最值______;当a >0时,若x ______时,y 随x 增大而减小.2.抛物线1)3(212-+-=x y 有最______点,其坐标是______.当x =______时,y 的最______值是______;当x ______时,y 随x 增大而增大.学习过程一、画出函数y =2x 2 和 y =2(x -1)2+3的图像分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点同学们在前面的学习中我们发现决定了抛物线的形状,顶点决定了抛物线的位置思考一下:怎样移动抛物线y =2x 2 就可以得到抛物线y =2(x -1)2+3?一般地,抛物线y =a(x -h)2+k 与 y =ax 2形状相同,位置不同.把抛物线y =ax 2 向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线y =a(x -h)2+k 。
平移的方向、距离要根据h,k 的值来决定练习:1、将抛物线213y x =沿x 轴向平行移动个单位,可得到抛物线21(5)3y x =-;沿x 轴向平行移动个单位,可得到抛物线21(5)3y x =+. 2.将抛物线231x y =向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得的抛物线的解析式为______. 3、函数()2532y x =--的图象可由函数25y x =的图象沿x 轴向平移个单位,再沿y 轴向平移个单位得到.函数()2532y x =--的图象开口方向,对称轴是,顶点坐标为,当x =时,y 有最值为.4、将抛物线22x y =沿x 轴向平移个单位长度,再沿y 轴向平移个单位长度,所得新抛物线的解析式为2)1(22+-=x y .5.一抛物线和抛物线y =-2x 2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为( )A .y =-2(x -1)2+3B .y =-2(x +1)2+3C .y =-(2x +1)2+3D .y =-(2x -1)2+36.要得到y =-2(x +2)2-3的图象,需将抛物线y =-2x 2作如下平移( )A .向右平移2个单位,再向上平移3个单位B .向右平移2个单位,再向下平移3个单位C .向左平移2个单位,再向上平移3个单位D .向左平移2个单位,再向下平移3个单位综合运用7.把二次函数y =a (x -h )2+k 的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象. (1)试确定a ,h ,k 的值;(2)指出二次函数y =a (x -h )2+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.图像变换课时作业1、 将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后,所得抛物线的顶点坐标是______2、抛物线2273y x =-+可由抛物线223y x =-沿轴向平行移动个单位得到.3、将y=3x 2向左平移3个单位,再向下平移2个单位后, 所得图像的函数表达式是_______________.4、将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位,再向下平移3个单位,则新抛物线的解析式为______________ 5、函数()y x =---2252的图象,可由函数的____________图象向_____平移_____个单位,再向__________平移__________个单位得到6、一个二次函数的图象与抛物线23x y =的形状相同,且顶点为(1,4),那么这个函数的关系式是_________________________ 7.抛物线y=21x 2的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位,则所得抛物线的解析式为( )A .y=21x 2+2x -2 B. y=21x 2+2x+1 C. y=21x 2-2x -1 D .y=21x 2-2x+1 8.将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x 2,则抛物线的解析式是( )A .2)2(2---=x yB .2)2(2+--=x yC .2)2(2-+-=x yD .2)2(2++-=x y 9.抛物线9412-=x y 的开口,对称轴是,顶点坐标是,它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的.10.要得到抛物线2)4(31-=x y ,可将抛物线231x y =( ) A .向上平移4个单位 B .向下平移4个单位C .向右平移4个单位D .向左平移4个单位11.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A .y =2x 2与y =3x 2B .2212+=x y 与2122+=x y C .y =2x 2与y =x 2+2 D .y =x 2与y =x 2-212.顶点为(-5,0),且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( ) A .2)5(31-=x y B .5312--=x y C .2)5(31+-=x yD .2)5(31+=x y。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数》复习试题(答案不全)(新版)北师大版
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数》复习试题(答案不全)(新版)北师大版1.已知点(a ,8)在二次函数y =a x 2的图象上,则a 的值是( )A .2B .-2C .±2D .±22.抛物线y =x 2+2x -2的图象顶点的坐标是( ) A .(2,-2) B .(1,-2) C .(1,-3) D .(-1,-3) 3.若y =(2-m)23mx -是二次函数,且开口向上,则m 的值为( )A .5±B .-5C .5D .0 4.二次函数y ax bx c =++2的图象如图1所示,则下列结论正确的是() A .a b c ><>000,, B .a b c <<>000,, C .a b c <><000,,D .a b c <>>000,,5.如果二次函数y ax bx c =++2(a >0)的顶点在x 轴上方,那么( )A .b 2-4ac ≥0B .b 2-4ac <0C .b 2-4ac >0D .b 2-4ac =06.已知h 关于t 的函数关系式为h =12gt 2(g 为正常数,t 为时间), 则如图2中函数的图像为( )7.已知二次函数y =-12x 2-3x -52,设自变量的值分别为x 1,x 2,x 3,且-3<x 1<x 2<x 3, 则对应的函数值y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A .y 1>y 2>y 3B .y 1<y 2<y 3C .y 2>y 3>y 1D .y 2<y 3<y 18.关于二次函数y =x 2+4x -7的最大(小)值,叙述正确的是( ) A .当x =2时,函数有最大值 B .x =2时,函数有最小值C .当x =-1时,函数有最大值D .当x =-2时,函数有最小值9、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式是y=x 2-3x+5,则有( )A ,3=b ,7=cB ,9-=b ,15-=cC ,3=b ,3=cD ,9-=b ,21=c 10.已知抛物线y=-2(x+3)²+5,顶点______如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是_______.11.抛物线y =x 2+8x -4与直线x =4的交点坐标是__________.12,平移抛物线y =x 2+2x -8,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式_________ 13.已知抛物线22b x x y ++=经过点1()4a -,和1()a y -,,则1y 的值是.14.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1,0),B (3,0)两点,与y 轴交于点C (0,3),则二次函数的解析式是.15.若函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为(2,b ),则k =__,b =__.16.函数y =9-4x 2,当x =_________时有最大值________.图117.两数和为10,则它们的乘积最大是_______,此时两数分别为________. 三、解答题(共52分)18.求下列函数的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标.(1)y =4x 2+24x +35; (2)y =x 2-x +3;19.用配方法把y =-x 2+4x +5化为y =a (x -h )2+k 的形式.并指出开口方向,对称轴,顶点坐标及最值。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学(北师版)下册第二章《
课时教学设计教学目标(三维融通表述):学生会叙述二次函数表达式的三种形式:①一般式:y=ax2+bx+c (a≠0) ②顶点式:y=a(x-h)2+k (a≠0)③双根式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0);会求不同形式解析式的顶点和对称轴;能根据对称轴、一点,求已知点的对称点;体会利用函数图象的对称性进行解决问题的优越性,提高学生应用二次函数对称性解决相关问题的能力,培养学生数形结合的意识.教学重点:二次函数表达式的三种形式及其顶点、对称轴;已知对称轴、一点,求已知点的对称点;难点:应用二次函数对称性解决相关问题.教学流程图:环节问题任务教师学生活动备注热身练习,产生共鸣合作学习共同探究复习抛物线三种表达式,明确开口方向、顶点、对称轴课前检测观察表格:明确对称轴方程的求法学以致用:利用对称知识梳理、热身练习:函数解析式开口方向顶点对称轴一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k双根式y=a(x-x1)(x-x2) ——————填表:例1:已知二次函数中,函数与自变量的部分对应值如下表:x …-1 0 1 2 3 4 5 …y …10 5 2 1 2 5 10 …(1)当x为何值时,y有最小值,最小值是多少?(2)写出对称轴方程(2种方法:看顶点、对称点)练习:函数解析式对称轴顶点y=-2(x-1)2+2y =x2-5y=-(x+3)2y=x2+2xy =-2x2+2x+1热身练习产生共鸣合作学习共同探究变式训练学以致用综合应用创新提高课后巩固分层作业归纳小结深化认识变式训练学以致用综合应用创新提高练习题目能力展现点求对称轴已知对称点、一点,求已知点的对称点变式自编题目,灵活进行应用已知抛物线y=ax2+bx+c上两点A(1,8),B(5,8),求抛物线的对称轴。
变式1:题目中A、B点的坐标改为:(3,0),(-1,0),则抛物线的对称轴变式2:题目中A、B点的坐标改为:(2,b),(-4,b),则抛物线的对称轴例2:已知:函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(2,1),其对称轴是直线x=1,求A点的对称点坐标.变式1:已知二次函数y=x2-2x+c的图象与x轴的一个交点是(-2,0),求函数图象与x轴的另一个交点.学生用不同形式表述“对称轴直线x=1”变式2:学生自己编2个题:“已知对称轴,一点,求已知点的对称点”,同桌交换互相解答,互判!(教师实物投影展示1-2名学生的成果)例3、已知抛物线y=ax2-2ax+t与x轴的一个交点为A(-1,0)(1)求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标(2)若抛物线与y轴的交点D的坐标为(0,3),求抛物线的解析式.(3)在抛物线对称轴上求一点M,使MA+MD的值最小.(机动处理)1、填空:(1)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过A(-1,2),其对称轴是直线x=0,则A点的对称点坐标(2)已知函数y=x2-2x+1的图象经过A(1,0),则A点的对称点坐标(3)已知函数y=(x-1)2+2的图象经过A(4,11),则A点的对称点坐标(4)已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(3,2)、(-1,2),A(5,8),则该抛物线上纵坐标为8的另一点的坐标是2、已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),且函数有最小值-8,试求二次函数的解析式。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数(第5课时)》学案(无答案)(新版)北师大版
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数(第5课时)》学案(无答案)(新版)北师大版学习目标:学会五点法做二次函数图象理解函数的增减性。
学习重点:五点法的选取学习难点:函数与x轴交点的求法。
学习过程:一、画出下列函数图象:1`、二次函数4x=xy422+-(1)此函数的开口方向;顶点坐标为,当x=___时,函数y有最____值为;对称轴为.(2)通过列表、描点画出该函数图象;⑶根据图象回答问题:当______x时,y随x的增大而增大;当______x时,y随x的增大而减小;2、y= -(x-3)2-1(1)此函数的开口方向;(2)顶点坐标为,当x=___时,函数y有最____值为;对称轴为.(2)通过列表、描点画出该函数图象;⑶根据图象回答问题:当______x时,y随x的增大而增大;当______x时,y随x的增大而减小;观察表格:思考取点时有什么要注意的问题?____________________________________________________________________________ 二、基础练习:1. 抛物线y =-2x 2-x +1的顶点在第几象限?2、二次函数y =2x 2-8x +1的最小值多少?3、已知抛物线y =-2(x +1)2-3,如果y 随x 的增大而减小,那么x 的取值范围是?4、抛物线m x x y +--=22,若其顶点在x 轴上,则=m .5、若(2,5)、(4,5)是抛物线c bx ax y ++=2上的两个点,求它的对称轴。
第五课时作业:1.下列二次函数的开口方向向上的是( )A .132+-=x yB .32-=ax yC .2312-=x y D .()512--=x a y 2.若二次函数()1632--=x m y 的开口方向向下,则m 的取值范围为( ) A .2>m B .2<m C .2≠m D .2->m3.抛物线322+-=x y 的开口方向,对称轴是,顶点坐标是4.二次函数342+-=x x y⑴将其化成()k h x a y +-=2的形式;⑵写出⑴中抛物线的顶点坐标,对称轴.⑶求⑴中抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标.(4)列表,描点,画出图象:(5)当__________=x 时,函数值y 有最(填大或小)值为(6)当______x 时,y 随x 的增大而增大;当______x 时,y 随x 的增大而减小;5.二次函数()222--=x y⑴将此函数化成一般形式为,其中_______=a ,_______=b ,_______=c⑵当__________=x 时,函数值y 有最(填大或小)值为⑶列表,描点,画出图象⑷当______x 时,y 随x 的增大而增大;当______x时,y随x的增大而减小;。
人教版九年级下册数学26.1二次函数(6)教案
x
… -3 -2 -1 0 1
23 …
y 1 x2 6x 21 2
(2)然后描点画图
43.5 35 27.5 21 15.5 11 7.5
教师提出问题,学生口 通过复习引入,巩 固旧知识,提出新
答完成问题 1,思考问 问题,初步了解探 题 2,引出本节课课题, 究任务,激起学生 学生初步了解本节课 的探索欲望.
利 用 配 方 法 将 二 次 函 数 y ax2 bx c(a 0) 化成 y a(x h)2 k 的形式,求抛物线的对称
轴和顶点坐标.
理解二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的性质
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为
设计意图
一、情境引入
1.函数 y 1 (x 6)2 3 的图像是 2
2
板书设计
教师引导:与一元二次 方程中的配方有相同 之处,但是不完全相 同,这里要提出二次项 系数,不能无故消掉.
学生从配方后得到
的形式中找出抛物
线的对称轴和定点
坐标,然后重新列表
教师引导:观察图像, 画图.
认 识 抛 物 线 的 变 化 趋 学生经历两次列
势.
表,画图,感受只
是发生发展形成过
程,加深对配方法
阐述理由,师生共同评
价. 学生谈本节课体会,教 师做出归纳总结,并留 有学生质疑时间,师生 共同解答。
通过归纳、比较, 学生系统的掌握所 学知识 巩固所学知识,形 成一定的数学能力
配方 y 1 x2 6x 21 2
课题 26.1 二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图像和性质
配方 y ax2 bx c(a 0)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
甘肃省酒泉市第四中学九年级数学下册第二章《二次函数(第6
课时)》学案(无答案)(新版)北师大版
学习目标:理解确定图象的关键点,会计算函数与x ,y 轴的交点,能取特殊的五点做出函数图象。
学习重点:五点法的选取 学习难点:与坐标轴的交点计算,图像的对称性的理解。
学习过程:
任务一、按要求完成下列问题:
1.已知抛物线322--=x x y
⑴求此抛物线与x 轴的交点A 、B 两点的坐标,与y 轴
的交点C 的坐标. ⑵在直角坐标系中画出该函数的图象:
列表:
⑶
根
据
图象回答问题:当______x 时,y 随x 的增大而增大;
当______x 时,y 随x 的增大而
减小;
2 对于二次函数3)1)(x -x 2+=(
y ⑴函数的开口方向;顶点坐标为,最值为;对称轴为.
⑵通过列表、描点画出该函数图象;
⑶根据图象回答问题:
当______x 时,y 随x 的增大而增大;
当______x 时,y 随x 的增大而减小;
小结:五点作图可以取特殊的五点:顶点,与x 轴交点
(两个),与y 轴交点及其对称点。
课堂达标:
1. 二次函数142+-=x x y 图象的对称轴是直线 .
2. 抛物线y = -3x 2
+3 的开口_________,当x ________时,其y 随x 的增大而增大.
3. 已知抛物线c x ax y ++=2与x 轴交点的横坐标为1-,则=+c a ________.
4、已知抛物线y =12x 2+x -52
. (Ⅰ)求出它的顶点坐标和对称轴;
(Ⅱ)若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.
5、已知函数202442+-=x x y
⑴求此函数的顶点坐标及对称轴.
⑵求出该函数与坐标轴的交点的坐标.
⑶当x 取何值时,y 随着x 的增大而增大;当x 取何值时,y 随着x 的增大而减小. 二次函数第六课时作业:
1、二次函数322
-+=x x y 与x 轴的交点坐标为;.与y 轴交点为_____________
2、二次函数2422+-=x x y 与x 轴的交点坐标为;.与y 轴交点为_____________
3、函数y=-2(x-3)2+5图像的开口方向_______、对称轴____________、顶点坐标
_____________、最值是_____________________,
4、函数y=-(x+2)2-4图像的开口方向_______、对称轴____________、顶点坐标
_____________、最值是_____________________,
5、已知抛物线y =x 2+2x -3.
(1)用配方法求出它的顶点坐标和对称轴;
(2)若抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ,求线段AB 的长.
6、已知抛物线y=-2(x+1)2-3,如果y 随x 的增大而减小,求x 取值范围。
6、已知函数()412-+=x y 。
(1) 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
(2) 若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ,求△ABC 的面积;
(3) 指出该函数的最值和增减性;。