奥数新讲义-一元二次方程-第2讲精英班学生版
一元二次方程讲义
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件， 全组共互赠了182件，问该生物兴趣小组共有多少名学生？
2.一个多边形有9条对角线，这个多边形有多少条边？ 3.某旅游团结束旅游时，其中一位旅客建议，大家互相言别，细心的小
明发现，每两个参加旅游的人互握一次手,所有人共握手66次,这次旅 游的旅客有多少人？ 4.有一个人用手机发短信，获得信息的人也按他的发送人数发送该条短 信，经过两轮转发后共有56人收到同一短消息，每轮发送短信平均一 个人向多少人发送短信？ 5.我校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行了一次比赛）， 共进行了6场比赛，那么我校有几个球队参加了这次比赛？若进行双循 环比赛呢？ 6.张老师有急事要电话通知全班60名同学，已知一分钟每人只能通知3人， 问:3分钟能否完成任务？
小 分
小 分
支
支
x
…… 枝干
解:设每个支干长出x个小分支,则
1+x+x·x=91
即
x2+x-90=0
解得,x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支.
x
主
干首页 上页 下页来自1.本节课我们学习了哪些知识? 2.在学习过程中掌握了哪些方法？ 3.通过本节课的学习，你有什么体会？
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②在第二轮传染中，传染源是 x+1人，这些人中每一个人又传染了 x 人，那么第二轮传染了 (x+1)x 人，第二轮传染后，共有 1+x+（1+x）x 人患流感.
（3）题目中的等量关系是什么？
解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，根据题意得方程：
1+x+（1+x）x=121.
八年级数学第1讲.一元二次方程认识初步.尖子班.学生版.doc
1一元二次方程的基本解法满分晋级阶梯方程 8级暑期班第九讲分式方程寒假班第一讲方程 9级一元二次方程的基本解法寒假班第二讲方程 10级判别式与求根公式漫画释义围图形知识互联网题型切片题型切片（四个）对应题目一元二次方程的概念例 1；例 2；演练 1；例 8题直接开平方法解一元二次方程例 3；例 4；演练 2；型目配方解一元二次方程例 5；例 6；演练 3；演练 4；标因式分解法解一元二次方程例 7；演练 5．模块一一元二次方程的概念知识导航定义示例剖析一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知2 x2 2 x 1 0数的最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方此方程满足：程．整式方程；判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以只含有一个未知数x ；下四个标准：x 的最高次数是2，系数是 2⑴整式方程．所以这个方程是一个一元二次方⑵方程中只含有一个未知数．程．⑶化简后方程中未知数的最高次数是 2．⑷二次项的系数不为0一元二次方程的一般式：ax2 bx c 0 a 0 ．一元二次方程2x2 2 x 1 0 ，其中 ax 2为二次项，其系数为 a ；bx为一次项，其其中 a 2 ，b 2 ，c 1 ．系数为 b ；c为常数项．一元二次方程的根：1满足12 1 0 ，则1是方程如果 x0满足ax0 2 bx0 c 0(a 0) ，则 x0就是方程x2 x 0 的一个根．0 满足ax2 bx c 0( a 0) 的一个根．02 0 0 ，则0是方程 x2 x 0的另一个根．∴0,1 是方程x2 x 0 的两个根，表示为x1 =0, x2 =1一元二次方程都可化成如下形式：ax 2 bx c 0 （a 0 ）．1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．2．一般形式中， b 、c可以是任意实数，而二次项系数 a 0 ，若 a 0 ，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对 b 进行讨论．3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定 a 、b、 c 的值，不要漏掉符号．．．．．4．项及项的系数要区分开．建议强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今后学习基本初等函数时也要使用．夯实基础【例 1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程．⑴2x2 kx 1 0 （k为常数）⑵ 4 1 ⑶ 1 x2 0 ；x 3⑷5x2 0 ⑸ x2 y 0 ⑹2 2 x3 x 3 ；⑺mx23x 2 0 （ m 为常数）⑻a2 1 x22a 1 x 5 a0 （a为常数）．2. 将下列一元二次方程化成一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项． ⑴ 2x 2 1 6x ； ⑵ 3x 2 x 1 x 3；⑶ x 3 2 x 5 x 3x 1 15 ；⑷ x 2x3 3 2 3x ．能力提升【例 2】 ⑴关于 x 的方程 m 29 x 2m 3 x 5m 10 ，当 m ________ 时，方程为一元二次方程；当 m _________时，方程为一元一次方程；⑵已知 m 是方程 x 2 x 1 0 的一个根，求代数式 5m 2 5m 2008 的值；2⑶已知 a 是 x 22009 x 1 0 的根，求 a 2 2008aa1的值．2009模块二 直接开平方法解一元二次方程知识导航定义示例剖析直接开平方法：对于形如 x 22m 或 ax bm2x 11a 0，m ≥的一元二次方程， 即一元二次方程的一边是含x1 1 或 x11有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直 x 10 ，x 22接开平方法求解．夯实基础【例 3】 用直接开平方法解关于x 的方程：22 x⑴ 3x 2 3x 212 ；4⑵6 ；3⑶2 2x mn ； ⑷ 2 x 1b 4c能力提升【例 4】 解关于 x 的方程：⑴22222 x3 3 x 2 ； ⑵ 5 2x 9 x 3 ；⑶ 4 2x2 9 3x 1 25 ．模块三 配方法解一元二次方程知识导航定 义实例剖析配方法：通过配方把一元二次方程转化成 ⑴ x 2 2 x 0 ⑵ x 2 +2 x= 1 形如 ax b2m 的方程，再运用直接开平方的x 22 x 1 0 1x 2 +2 x+1=0x 1 212方法求解．x+1 =0x 1 1x 1 =x 2 = 1x10 ，x2 2总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；②“系数化 1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1；③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为( x m) 2n 的形式；④求解：若n ≥ 0 时，方程的解为x m n ，若n0 时，方程无实数解配方法是一种重要的数学方法，运用配方法解一元二次方程，就是通过配方把方程变成(x m)2n （n≥0）的形式，再用直接开平方法求解，当n0 时，方程无实数解．．．．（1）“将二次项系数化为 1”是配方的前提条件，第三步配方是关键也是难点．（2）配方法是一种重要的数学方法，它不仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数以及到高中学习二次曲线时还会经常用到，应予以重视．避免后续学习二次函数时出错．夯实基础【例 5】用配方法解方程：⑴ x2 4x 2 0 ；⑵ x21x 1 0 ；⑶ 3y2 1 2 3 y ；6 3⑷ 2x2 1 x 2 ⑸ x2 +x+5=0 3 3能力提升【例 6】用配方法解关于x 的方程⑴x2px q 0 （p，q为已知常数）；⑵ax2bx c 0 （ a 、b、 c 为常数且a0 ）模块四因式分解法解一元二次方程知识导航定义示例剖析因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于 0 ，那么这两个因式至少有一个为0 ，即：若 ab 0 ，则 a 0 或 b 0 ；因式分解法的一般步骤：⑴将方程化为一元二次方程的一般形式；⑵把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于 0；⑶令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；⑷解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根．解方程：x2x0 解： x x 10则 x 0 或 x 1 0 ∴ x 0 或 x 1总结：1．因式分解法把一元二次方程作为两个一元一次方程来求解，体现了一种“降次”的思想．2．将方程右边变形为0，左边化为 ( ax b)(cx d )0 的形式．3．因式分解法是比前两种简单的一种方法，若能用此法优先考虑．4．便于计算，先把方程整理成一般形式且首项为正号．．．注意： 1.解方程时，不能两边同时约去含未知数的代数式2.因式分解法的前提是方程一边等于0，此前提不成立时常得出错误答案夯实基础【例 7】用因式分解法解方程：⑴x23x ；⑵ 2 x2 2 3x0 ；⑶2⑷2 x 12 x 1 0 ；3 x 2 4x 2x⑸2 2 2x 12 x 11 ⑹ 4 x 3 x 20真题赏析2【例 8】已知a是一元二次方程x2 2 x 1 0 的根，求a23a a35 的值．2实战演练知识模块一 一元二次方程的概念 课后演练【演练 1】 ⑴ 已知 x2 是一元二次方程 x 2mx 2 0 的一个解，则 m 的值是 ___________．⑵ 若方程 2kx 2 x k k 2 0 有一个根是 0，则 k 的值是 ____________ ．⑶ 如果 x1是关于 x 的方程 2 x 2 3ax 2 a 0的根，那么关于 y 的方程 y23 a 的根是2________________ ．⑷已知 3是关于 x 的方程 x 22x3a 1 0 的一个根，则 3a 1 的值是 _____________ ．⑸ 已知方程 x 2bx a0 有一个根是 a a 0 ，则 a b 的值是 _________________．知识模块二 直接开平方法解一元二次方程 课后演练【演练 2】 ⑴已知一元二次方程ax 2 bx c 0 的一个根为 1，且 a 、 b 满足等式ba 22 a3 ，求方程 1y 2 c 0 的根．4⑵用直接开平方法解方程：22① 2 x 34 0② 4 x 1k知识模块三配方法解一元二次方程 课后演练【演练 3】 用配方法解方程：⑴x 22x10 ； ⑵y 26y60 ；⑶ 3x 2 6 x 1 0 ； ⑷ 5 x 2 6 x 8【演练 4】用配方法解关于x 的方程： x22x k0知识模块四因式分解法解一元二次方程课后演练【演练 5】选择适当的方法解方程：⑴ x x 1 x 9 0 ；⑵ x2 2x 224 ；⑶ x x 2 2 2 x ；⑷ x2 2 2 3 3 x 6 6 0 ；⑸ 4 x2 1 4 x ；2⑹ x 32x x 3 0 ；第十六种品格：感恩生活是什么？我们苦苦追寻。
奥数一年级教案第2讲1精英班教师版走进迷宫
迷宫游戏是一种开发学生智力的活动，迷宫的设计很巧妙，也很有趣味性.在这节课中, 老师引导学生来玩走迷宫的游戏，可以考验他们的眼力，锻炼耐力，提高孩子的想象力.前半节课我们通过一些简单的迷宫游戏，让学生来找破解迷宫的方法，一般情况下可采用倒走的方法，就是从出口处开始，倒着走到人口，这样可以避免误入死胡同.后半节课我们通过一些数字迷宫游戏来锻炼学生的计算能力和观察能力，提高难度，不断升华，让学生在活动中有所获.小公主被一个可怕的妖怪捉走了，关到了下图出口处的城堡里，国王非常难过，派出了很多人去营救都被途中的妖怪打败，没能救出公主.后来，国王许下诺言，如果谁能救出美丽的公主，就将给予重金奖赏，有一个猎人很勇敢，要来试一试.【教学思路】课前通过讲故事走迷宫的活动，激发学生对迷宫的兴趣，培养学生的思维.具体走法如下:们变得更聪明.神秘的迷宫，你敢走吗？聪明的小朋友们，这节课就让我们走进迷宫乐园，一起去挑战吧！Zip如下如下图，从A走到B，途中必须按照红、白、红、白……的格子前进，不可以直走或横走，只能斜着走，小朋友们想一想，可以怎样走？画一画吧！【教学思路】在这个迷宫图里，首先老师要引导学生理解题目的意思.走的时候开始要走一个红格子，再走一个白格子，这样不断重复.走的顺序不能直走，也不能横走，只能斜着走.通过尝试我们可以得到答案，答案如右上图：有一天，初"不小心遇到了tom,他一下子就钻到了迷宫里，初叮要想不被tom吃掉, 应该从A、B、C哪个门出去呢？终点【教学思路】本题迷宫比较复杂，我们可以分别从A 、B 、C 三个出口往起点倒走，我们发现A 和B 出口都走不到起点去，无法走通.只有C 出口可以走通，所以只能从C 出口出去.如下图:起点梦/小文去植物园参观画展，这里有A 、B 、C 、D 四个入口，小文从哪个入口进去，就可以一次 不重复的看到所有的花，在走的时候不能走交叉重复的路线，也不能走入白格.请大家帮帮 小文吧！ A图.阉刊，B 一喜一广箪赢落【教学思路】这道题比较复杂，要解决这个问题，老师要引导学生每个入口都走一走，最后通过尝试只有D点不重复走能看见所有的花.如下图:想想做做宫里放有一些小鱼.小猫能往上、下、左、右四个方向走，请问小猫一共能吃到几条鱼?【教学思路】先引导学生整体观察，小猫能往上、下、左、右四个方向来走，小猫往上走时，可吃到2 条小鱼；往下走，可吃到1条小鱼；往左走，可吃到5条小鱼；往右走，可吃到2条小鱼. 一共能吃到的小鱼：2 +1 + 5 + 2 = 10 （条），所以小猫一共能吃到10条小鱼.【教学思路】开心课间中这个迷宫图，主要是培养学生的意志力，图形比较复杂，更要培养学生的观察力.最后通过尝试我们可以得到答案，1号吸管可以喝到柠檬汁，2号吸管可以喝到西瓜汁，3号吸管可以喝到葡萄汁，4号吸管可以喝到橙汁，5号吸管可以喝到西瓜汁，6号吸管可以得到苹果汁.WB小乌小乌龟迷了路，请你按照先倒数、再顺数的顺序帮它找到回家的路.请用线连一连.而191816)412U)X6421 4617J81920135797 5816101112]3141510113 61015141312JL iol1612B4 /89W1214169J21314区8101416202K18121516 911)3151756719111717 103[f二3417189101918 11523456781911912791124671()52013」H109876543【教学思路】学生首先要弄清楚小乌龟走的路线，先是倒数，从20数到1,然后再顺数，从1数到20.通过试画我们可以找到答案.■/I D 1 2 1 310I)14]8]21010t4114 1613]5111817ii1201420]3161714IS15 1618 191612Id131519f〕J97 10如下图，按箭头所指，从2开始，到5为止，选择一条不重复的路线，使经过的数的和最大,该怎么走?【教学思路】要使经过的数的和最大，我们就要尽量每个数字都走到，因为所走的数字不能重复，那么从后前倒退，我们发现只有右下的“ 10”不能走到，其它数字都能一一走到，这时所经过的数的和是最大的，有两种路线可以走，如下图.10小乌龟得按照得数是50的算式跑到终点，你能帮它把线路画出来吗?【教学思路】这道计算型迷宫问题，首先我们要根据要求找出得数等于50的算式，然后再考虑怎么不重复的把每个算式都走到，这样才能得到最后的答案，具体走法如下：■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ r r r r r r r r r r r ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ I 【教学思路】这个迷宫比较复杂，不过只要我们按要求来做，也很容易完成，首先我们要找到去图书馆 的路，在走的时候可以用倒退的方法，从终点走到起点，这样比较简单.在走的时候要注 意屋顶上有加几和减几的房子都要走到，并且不能重复.答案如下图.然后我们再来计算 图书馆大门的密码，我们可以从“1”开始，按加减的顺序进行计算，计算的顺序分别是： 1 + 9 - 6 + 5 + 7 - 2 + 3 +10 - 8 + 5 - 4 + 3 - 6 + 7 + 2 = 26,最后可以得出这个图书馆大门的 密码是26.拓展与提高们要去数学城图书馆看书，他们只有经过所有带有加减符号的房子才能到达，你 书馆的路吗？另外出发的时候用“1”按要求连续加减这些房子上的数字，最后计算出来的得数 是图书馆大门的密码，你能找到这个密码吗？同学们动手试一试。
初中奥数系列：.一元二次方程A级.第02讲.学生版
板块一 一元二次方程的解法☞因式分解法（也称降次法）因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，反过来，如果两个因式中有一个因式为0，那么它们之积为0，即0ab =，则0a =或0b =或0a b ==例如：(21)(3)0x x --=，则210x -=或30x -=☞因式分解法解一元二次方程的方法及步骤解一元二次方程的思想方法：降次因式分解法的一般步骤：（1）将方程化为一元二次方程的一般形式中考要求例题精讲降次法与含参数方程的解法（2）把方程的左边分解为两个一次因式的积（3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程（4）解这两个一元一次方程得原方程的解【例1】例如：对于方程23(2)2x x -=-，张明的解法如下：解：方程整理得23(2)(2)x x -=--①方程两边同时除以(2)x -得；3(2)1x -=-②去括号得；361x -=-③移项并合并同类项得，35x =，∴53x =④ 你认为张明解方程的过程有错误么？如果有，请指出错在哪一步？并说明错误的原因，并选择合适的方法解方程【例2】用因式分解法解下列方程（1）2(21)3(12)0x x -+-=； （2）22(13)16(23)x x -=+； （3）2670x x --=；【例3】解关于x 的方程：2(41)3(14)40x x ----=【巩固】采用因式分解法解下列方程（1）22(3)9x x -+= （2）2(21)(12)60x x -+--=（3）22(31)4(1)x x -=- （421)(1)x x -=-【巩固】采用恰当的方法解下列方程（1）2(130x x +++（2）2340x x --=（3）222(3)(4)(5)1724x x x x -++--=+板块二 可转化为一元二次方程的分式方程 ☞解分式方程【例4】解方程232152x x x -+=【巩固】解下列分式方程（1）23x x -＋532x -＝4x ；（2）23411x x +=+-；（3）21421242x x x x ++=+--☞换元法【例5】解分式方程：222(1)6(1)711x x x x +++=++【巩固】422320211x x x x x -+=+++。
一元二次方程讲义
一元二次方程板块一◇一只蜘蛛和三个人雨后，一只蜘蛛艰难地向墙上已经支离破碎的网爬去，由于墙壁潮湿，它爬到一定的高度，就会掉下来，它一次次地向上爬，一次次地又掉下来……第一个人看到了，他叹了一口气，自言自语：“我的一生不正如这只蜘蛛吗？忙忙碌碌而无所得。
”于是，他日渐消沉。
第二个人看到了，他说：这只蜘蛛真愚蠢，为什么不从旁边干燥的地方绕一下爬上去？我以后可不能像它那样愚蠢。
于是，他变得聪明起来。
第三个人看到了，他立刻被蜘蛛屡败屡战的精神感动了。
于是，他变得坚强起来。
秘诀：有成功心态者处处都能发觉成功的力量。
复习目标：1、理解并掌握一元二次方程的有关概念。
2、能根据不同的一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。
3、熟悉掌握列方程解实际问题的一般步骤。
4、进一步熟悉具体问题的数量关系并列出一元二次方程。
5、能根据问题的实际意义，合理地运用几何图形解决问题。
板块二一元一次方程的知识点回顾一、知识结构6、知识回顾1.一元二次方程的概念：形如：()002≠=++a c bx ax2.一元二次方程的解法：（1）直接开平方法：（2）配方法：（3）因式分解法：（4）公式法：求根公式：()042422≥--±-=ac b a ac b b x 3.一元二次方程的根的判别式：（1）当 时，方程有两个不相等．．．．．的实数根； （2）当 时，方程有两个相等．．．．的实数根； （3）当 时，方程没有实数根．．．．．。
4.用方程解决实际问题：略知识点1 一元二次方程的概念及近似解。
一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方 程．一般形式：ax 2＋bx+c=0(a ≠0）例题1、 选择题：mx 2-3x+x 2=0是关于x 的一元二次方程的条件是 （ ）A m=1B m ≠-1C m ≠0D m 为任意实数练习：1判断题（下列方程中，是不是一元二次方程）1.5x 2+1=02.3x 2+x1+1=0 3.4x 2=ax (其中a 为常数) 4.2x 2+3x =0 5.5132+x =2x 6.22)(x x + =2x 7.｜x 2+2x ｜=42当m 为何值时，关于x 的方程(m-2)x 2-mx+2=m-x 2是关于x 的一元二次方程？例题2、.若关于x 的方程（ax +b ）(d －cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ，则常数项为A.mB.－bdC.bd －mD.－(bd －m )练习：把下列方程化成ax 2+bx+c= 0的形式，写出a 、b 、c 的值：(1)3x 2= 7x-2 (2)3(x-1)2 = 2(4-3x)知识点2 一元二次方程的解法（1）直接开方法例题：(2x ＋3)2－25＝0.（2）配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤如果n ≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解例题1、 02722=--x x例题2、 (x-2)2-4(x-2)-5=0练习：1、用配方法解下列方程：(1)2x 2+1=3x (2)3y 2-y-2=0；2、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.（3）公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a ac b b x 242-±-=(b 2－4ac ≥0) 例题1 2260x x +-=例题2 3x(x-3)=2(x-1)(x+1)例题3、关于x 的一元二次方程x 2+4x-m=0的一个根是5-2，则m= ，方程的另一个根是 .练习：1、把方程(2x-1)(x+3)=x 2+1化为ax 2 + bx + c = 0的形式，b 2-4ac= ，方程的根是 .2、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ）A. x 1=1,x 2=3B.x=2±23C.x=2±3D.x=-2±233、若最简二次根式72-m 和28+m 是同类二次根式，则的值为（ ）A.9或-1B.-1C.1D.94、用公式法解下列方程：（1）x 2-2x-8=0； （2）x 2+2x-4=0；（3）2x 2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．补充解法：十字相乘法()()()2x a b x a b x a x b +++=++ 例题1 ()()2322+=+x x练习(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)例题2 4x2-20x+25=7练习：用适当方法解下列方程：（1）（3x-1）2=1；（2）2（x+1）2=x2-1；（3）622=-+xx（4）042=--xx一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x的方程（k2－1）x2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a、b、c的值；③求出b2－4ac的值；④若b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出x1 ,x2．若b2－4a＜0，则方程无解．⑶方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4⑷注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．板块三应用一元二次方程来解决问题1．构建一元二次方程数学模型：一元二次方程也是刻画现实问题的有效数学模型，通过审题弄清具体问题中的数量关系，是构建数学模型，解决实际问题的关键．2．注重．解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性．例题1 某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？例题2 课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图1－2－1），打算一面利用长为15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽．练习1．小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜0．5元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶酸奶？2．某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购书用100元，按该书定价2．8元出售，并很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价比第一次高0．5元，用去了150元，所购书数量比第一次多10本，当这批书售出45时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书．试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素片若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？3、这执行“两免一补”政策，某地区2006年投入教育经费2500万元，预计2008年投入3600万元，则这两年投入教育经费的年平均增长率为多少？4、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，若每件降价1元，每天可多卖5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？5．在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．6．小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%），共取得5145元.求这种储蓄的年利率.。
北师大版初三数学秋季班(学生版) 第2讲 一元二次方程--尖子班
北师大初三数学9年级上册秋季版（学生版）最新讲义第2讲 一元二次方程知识点1 一元二次方程的概念及解法一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程.一般形式：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式．称之为一元二次方程的一般形式；ax²，bx ，c 分别称为二次项、一次项、常数项；a ，b 分别称为二次项系数、一次项系数一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.1. 形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；3. 公式法又叫万能法，对于任何的一元二次方程都适用，解题时，一定要准确判断a 、b、c 的值，熟练记忆并理解公式的推导和结论（1）一元二次方程的根的判别式△=b 2－4ac当△＞0时，有两个不相等的实数根； 当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根．反过来也成立（2）一元二次方程的求根公式是)0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠20ax bx c ++=移项得：2ax bx c +=- 二次项系数化为1，得：2b c x x a a+=- ：22222b b c b x x a a a a ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 即222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭当240b ac -≥时，222b x a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即x =∴12,22b b x x a a-+-==4. 因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解【典例】一元二次方程定义及一般形式1.下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D.2.把一元二次方程()()2123x x x --=-化成一般形()002ax bx c a ++=≠其中a 、b 、c 分别为（ ）A. 2、3、1-B. 2、3-、1-C. 2、3-、1D. 2、3、12210x x+=20ax bx c ++=(1)(2)1x x -+=223250x xy y --=【方法总结】（1）一元二次方程必须满足的条件：①含有一个未知数；②未知数最高次数是2；③二次项系数不为0；是整式方程（2）二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的，所以在确定一元二次方程各项的系数时，应首先将方程化为一般形式；（3）项的系数包括它前面的符号。
人教版九年级数学尖端班精品讲义
(2)已知 2m2
5m
1
0
，
1 n2
5 n
2
0 ，且
m≠n，求
1 m
1 n
的值．
题型二 利用艰系关系构造 例 5 (1)求一个一元二次方程，使它的两个根是 3 和 3．
2
(2)己知方程 x2－9x＋8＝0，求作一个一元二次方程，使它的一个根为原方程两个根和的倒 数，另一个根为原方程两根差的平方．
(3)设 x2－px＋q＝0 的两实数根为 、 ，求作以 3 、 3 为两根的一元二次方程．
练习 已知关于 x 的方程 4x2＋4bx＋7b＝0 有两个相等的实数根，y1、y2 是关于 y 的方程
y2＋(2－b)y＋4＝0 的两个根，求以 y1 、 y2 为根、二次项系数为 2 的一元二次方 程．
x1
+
x2
b a
，
x1 x2
b a
，由一元二次方程求根公式知：
x1,2
b
b2 4ac ． 2a
法国数学家弗朗索瓦·韦达于 1615 年在著作《论方程的识别与订正》中改进了三、四 次方程的解法，还对 n＝2、3 的情形，建立了方程根与系数之间的关系，现代称之为韦达定 理．
韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定 理．韦达在 16 世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理 却是在 1799 年才由高斯作出第一个实质性的论性．
p、q，且
p2
q
pq2
6
，试求
这个二元二次方程．
讲义精品一元二次方程讲义精品
考点一、概念(1)内容：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax（3）关键点：强调对最高次项的讨论：①次数为“2”；②系数不为“0”。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
针对练习：1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
2、若方程()112=∙+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
考点二、方程的解⑴内容：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：①利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“-1”巧解代数式的值。
例4、已知b a ≠，0122=--a a ，0122=--b b ，求=+b a变式：若0122=--a a ，0122=--b b ，则ab b a +的值为 。
针对练习：1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
2、已知m 是方程012=--x x 的一个根，则代数式=-m m 2 。
3、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622 。
一元二次方程全章讲义
一元二次方程的概念与方程的解【知识点】：1、一元二次方程的概念：方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．2、一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax 2+bx+c=0（a ≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．（其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数； c 是常数项．）3、一元二次方程的解：使一元二次方程等号两边相等的未知数的取值叫作一元二次方程的解（又叫作根）． 【例题精讲】:例1、下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是 。
① k 2x + 5k + 6 = 0 ；②2x 2 －43x － 21= 0 ；③3x 2 + x 1 －2 = 0；④3x 2 + 2x －2 = 0；⑤（3－x ）2= －1；⑥（2x －1）2= （x －1）（4x + 3）。
例2、若关于x 的方程m x m x m m 4)3()2(2=+--是一元二次方程，求m 的值。
例3、关于x 的方程x （3x －3）－2x （x －1）－2 = 0，指出该方程的二次项系数、一次项系数和常数项。
例4、关于x 的一元二次方程（a －1）x 2 －x + a 2－1 = 0的一根是0，则a 的值为（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、21。
【夯实基础练】： 一）、填空题：1、方程（x －4）2= 3x + 12的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
2、（11滨州）若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则a 的值为______. 3、已知关于x 的方程5)3(1=-+-x m mxm 是一元二次方程，则m 2 = 。
4、（2012惠山区）一元二次方程（a+1）x 2-ax+a 2-1=0的一个根为0，则a= ．5、已知关于x 的方程ax 2+ bx + c = 0（a ≠0）的两根为1和－1，则a + b + c= ，a －b + c = 。
一元二次方程优质讲义
一元二次方程的单元复习（优化）学生/课程年级学科授课教师日期时段核心内容课型教学目标1.巩固一元二次方程的解法；2.根的判别式及韦达定理灵活运用；3.一元二次方程的实际应用.重、难点根的判别式、韦达定理综合；一元二次方程的实际应用知识导图导学一：一元二次方程的基本概念知识点讲解1：一元二次方程的基本概念例 1. 若是关于x的一元二次方程，则m的值是。
例 2. 若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1=0的常数项为0，则m的值是．我爱展示1. [单选题] 关于x的方程（m﹣3）x ﹣mx+6=0是一元二次方程，则它的一次项系数是（）A.﹣1B.1C.3D.3或﹣1知识点讲解2：一元二次方程的根（也叫方程的解）一元二次方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的根（也叫方程的解）。
即：若是的根，则例 1. [单选题] 关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（）A.1B.﹣1C.1或﹣1D.例 2. [单选题] 已知2是关于x的方程的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（）．A、10B、14C、10或14D、8或10【学有所获】①题目中若出现“方程的解”，则将代入；②等腰三角形问题，要注意思想运用；③最终结果要注意用检验。
[学有所获答案]方程的解；原方程；②分类讨论；③三边关系。
我爱展示1.[单选题] 若x=﹣2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（）A. 1或4B. ﹣1或﹣4C. ﹣1或4D. 1或﹣42.[单选题] 已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长可以是（）A.5B.7C.5或7D.10导学二：一元二次方程的解法知识点讲解1：一元二次方程的解法例 1. [单选题] 一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为（）A.（x+4）2=17B.（x+4）2=15C.（x﹣4）2=17D.（x﹣4）2=15导学三：一元二次方程根的判别式知识点讲解一元二次方程根的判别式例1. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若为符合条件的最小整数，求此方程的根．例 2. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根，求的值．例 3. 已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．我爱展示1.[单选题] 若5k+20＜0，则关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断2.[单选题] 关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤3B.m＜3C.m＜3且m≠2D.m≤3且m≠23.已知关于x的一元二次方程x2﹣2 x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为．4.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k=0（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a=6，另两边长b、c恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？6. 已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．导学四：一元二次方程根与系数的关系知识点讲解一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）例1. 关于x的一元二次方程有两个不等实根，．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根，满足，求k的值．例 2. 如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．我爱展示1.[单选题] 设a，b是方程x2+x﹣2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A.2014B.2015C.2016D.20172.[单选题] 已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A.x2﹣7x+12=0 B.x2+7x+12=0 C.x2+7x﹣12=0 D.x2﹣7x﹣12=03.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．（1）当m=0时，求方程的根；（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长4.已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值．导学五：一元二次方程的实际应用知识点讲解一元二次方程的实际应用例 1. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？例 2. 如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12米的住房墙，另外三边用25米长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1米宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？例 3. 楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？例 4. 如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止，点Q以2 cm/s的速度向D移动．（1）P、Q两点从出发开始到几秒？四边形PBCQ的面积为33cm2；（2）P、Q两点从出发开始到几秒时？点P和点Q的距离是10cm．我爱展示1.利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．2.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？3.如图△ABC，∠B=90∘，AB=6，BC=8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．限时考场模拟：1.一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数，若c是整数，则c= ．（只需填一个）．2.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1，x2，且满足+ =3，则k的值是．3.已知关于x的方程x2﹣5x+3a+3=0（1）若a=1，请你解这个方程；（2）若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围．4.如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．5.等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ=S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．自主学习1.[单选题] 方程x2+8x+9=0配方后，下列正确的是（）A.（x+4）2=7B.（x+4）2=25C.（x+4）2=﹣9D.（x+8）2=72.[单选题] 一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（）A.x=﹣2B.x=C.x=﹣4D.x=23.[单选题] 一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（）A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.[单选题] 学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（）A.x2=21B. x（x﹣1）=21C. x2=21D.x（x﹣1）=215.[单选题] 关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（）A.m≤3B.m＜3C.m＜3且m≠2D.m≤3且m≠2。
第二章一元二次方程培优奥赛讲义
九上第二章一元二次方程培优讲义一．填空题（共15小题）1．已知a是方程x2﹣2013x+1=0一个根，求a2﹣2012a+的值为．2．附加题：已知m，n都是方程x2+2007x﹣2009=0的根，则（m2+2007m﹣2008）（n2+2007n﹣2010）的值为．3．若m为实数，方程x2﹣3x+m=0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3=0的一个根，则x2﹣3x+m=0的根是．4．已知x=﹣1是方程ax2+bx+c=0根，那么的值是．5．已知a，b是等腰三角形ABC的两边长，且a、b满足a2+b2+29=10a+4b，则这个等腰三角形的周长为．6．若实数a、b、c满足a2+b2+c2+4≤ab+3b+2c，则200a+9b+c=．7．已知关于x的方程x2+（a﹣6）x+a=0的两根都是整数，则a的值等于．8．若方程x2﹣4|x|+5=m有4个互不相等的实数根，则m应满足．9．已知：a2+b2=1，a+b=，且b＜0，那么a：b=．10．方程（x2+3x﹣4）2+（2x2﹣7x+6）2=（3x2﹣4x+2）2的解是．11．对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+3）x﹣3n2=0的两个根记为a n、b n，则++…+=．12．已知关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，则（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是．13．α，β为关于x的一元二次方程x2﹣x+2=0的两个根，则代数式2α2+β2+β﹣3的值为．14．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有人被感染．15．一个两位数，个位数字比十位数字的平方大3，而这个两位数字等于其数字之和的3倍，如果这个两位数的十位数字为x，则方程可列为．二．解答题（共18小题）16．已知：关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2+3m+2=0．（1）已知x=2是方程的一个根，求m的值；（2）以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB＜AC）的边长，当BC=时，△ABC是等腰三角形，求此时m的值．17．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为多少？18．完成下列问题：（1）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx﹣2n=0的根，求m+n的值；（2）已知x，y为实数，且y=2+3﹣2．求2x﹣3y的值．19．若方程x2﹣6x﹣k﹣1=0与x2﹣kx﹣7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．21．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2﹣4x+k=0与x2+mx﹣1=0有一个相同的根，求此时m的值．22．关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣2）x+（k﹣2）=0（k≠0）．（1）求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）要使得方程的两个实数根都是整数，求k可能取值．23．阅读下面例题的解题过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程．例：解方程：x2﹣|x|﹣2=0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2=0．解得：x1=2，x2=﹣1∵x≥0，故x=﹣1舍去，∴x=2是原方程的解；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2=0．解得：x1=﹣2，x2=1∵x＜0，故x=1舍去，∴x=﹣2是原方程的解；综上所述，原方程的解为x1=2，x1=﹣2．解方程x2+2|x+2|﹣4=0．24．阅读材料并解决下列问题：因为x2+5x+6=x2+（3+2）x+3×2，所以x2+5x+6=（x+3）（x+2），所以方程x2+5x+6=0用因式分解法解得：x1=﹣2，x2=﹣3．又如x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3），所以方程x2﹣5x+6=0用因式分解法解得x1=2，x2=3．一般地，因为x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b），所以x2+（a+b）x+ab=0，即（x+a）（x+b）=0的解为x1=﹣a，x2=﹣b．请依照上述方法，用因式分解法解下列方程：（1）x2+8x+7=0（2）x2﹣11x+28=0．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣2）x+k2=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1、x2满足|x1+x2|=x1x2﹣1，求k的值26．某旅游景点的年游客量y（万人）是门票价格x（元）的一次函数，其函数图象如图．（1）求y关于x的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？27．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；（2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值．28．如图，城市规划部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建乙面积为1500m2的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60m，宽为40m．（1）求通道的宽度；（2）某公司承揽了修建停车场的工程（不考虑修通道），为了尽量减少施工对城市交通的影响，实施施工时，每天的工作效率比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务，求该公司原计划每天修建多少m2？29．阳谷县2016年为做好“精准扶贫”，投入资金1500万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金1440万元．（1）从2016年到2018年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？（2）在2018年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户含第1000户每户每天奖励9元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？30．列方程解应用题：某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，设这种玩具的销售单价为x元．（1）根据销售单价每降低1元，每天可多售出2个，则现在销售数量为个（用含有x的代数式表示）（2）当x为多少元时，厂家每天可获利润20000元？31．利民商店经销甲、乙两种商品．现有如下信息：请根据以上信息，解答下列问题：（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？32．如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33米．（1）若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成鸡场的面积可能达到200平方米吗？33．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动．（1）如果点P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟后，△PBQ的面积等于8cm2；（2）如果点P，Q分别从A，B同时出发，并且点P到B点后又继续在BC边上前进，点Q到点C后又继续在CA边上前进，则经过几秒钟后，△PCQ的面积等于12.6cm2．34.如图：某海军基地位于A处，在其正南方向200海里处有一重要目标B，在B 的正东方向200海里处有一重要目标C，小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头．小岛F位于BC中点．一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一艘补给船同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到0.1海里）参考答案一．填空题（共15小题）1．2012；2．﹣1；3．；4．1；5．12；6．219；7．0或16；8．1＜m＜5；9．﹣；10．；11．﹣；12．8；13．11；14．8；729；15．10x+（x2+3）=3（x+x2+3）；。
学生一元二次方程讲义
九年级数学 一元二次方程第1讲 一元二次方程的解法目标 理解一元二次方程及其有关概念，会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解 重点、难点 一元二次方程的判定，求根公式，一元二次方程的解法与应用考点要求1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ，其中 叫做二次项，a 为二次项系数， 叫做一次项，b 为一次项系数， 叫做常数项注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式(3)四个特点：(1)只含有一个未知数,二次项系数不为0；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，这个方程就为一元二次方程． （4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a≠0）(4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
⑵应用：利用根的概念求代数式的值；例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
奥数新讲义-一元二次方程-2(师)
一元二次方程是中学代数的重要内容之一，它与函数和不等式有密切的联系，同时是学习其他方程的基础，本讲主要内容为一元二次方程的解法、判别式及其应用.一元二次方程的基本解法有：直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法.
一、基础知识
1．配方法、求根公式、因式分解法
一元二次方程的一般形式是 ；
【解】
，即
∴
例2（★，1990年淮阴数学竞赛）解方程
解法1： ＝1，∴ ，即
解法2：由 ，原方程可化为
解法3： ，∴
例3（★，2002年辽宁）解方程
解法1：原方程化为
即
∴ ，解得
解法2：观察可知 都是原方程的解，又一元二次方程最多有两个实数解，所以原方程的根为
例4（★）已知二次方程 有一个根是2，求另一个根并确定a的值
原方程化为
（1）当 ，即a=0或a=1时，原方程化为一次方程，由a＝0，得x＝0；由a＝1,得x＝2；
（2）当 ，即 时，原方程为一元二次方程利用因式分解法得 ，∴
例7（★★）解关于x得方程
【解】仿照例6进行讨论
（1）当 时，方程为 ，∴x＝2；
（2）当 时，方程是二次方程，
（3）当 时， ，方程有两个不等实根
例17（★★）已知 ，求代数式 的值；
【解】直接求解方程带入求值，则计算量过大，用整体代入
∵ ，∴
∴
例18（★★）关于x的方程 （其中a，b，c均为正数）有两个相等的实根，证明：以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，并判断三角形的形状.
【证明】：原方程化为
故
即
∴a＝b＝c，由于a，b，c均为正数，故以a，b，c为长的线段能够组成一个三角形，且为正三角形.
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1.
一元二次方程的解法
因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式
2. 一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 0∆>⇔方程有两个不等实根； 0∆=⇔方程有两个相等实根； 0∆<⇔方程没有实根； 0∆⇔≥方程有实根；
3. 一元二次方程解决实际问题
基本要求：理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次
方程，理解各种解法的依据．
略高要求：会选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况．
较高要求：能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况；能由方程根的情况确定方程中
待定系数的取值范围；会用配方法列代数式作简单的变形；会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义，检验所得的结果是否合理．
1.
分解因式
第２讲
一元二次方程⑵
⑴(1)(3)12x x -+- ⑵22(31)4(23)x x --+
⑶2(31)3x x +++ ⑷(32)6(32)x x x +-+
2.
用适当的方法解下列一元二次方程 ⑴(23)(23)16x x +-= ⑵23510x x -+=
3.
方程(16)(8)x x -+=-的根是（ ）
A ．12168x x =-=，
B ．12168x x ==-，
C ．12168x x ==，
D ．12168x x =-=-，
4. 若代数式(6)x x +的值为零，则x 的值是
现有12名旅客要赶往40km 远的火车站，现在离开车的时间只有3h ，如果他们单独以4/km h 的速度步行，那么肯定不能赶到火车站．如果再借助一辆连同司机最多能坐5人且时速为60km 的小汽车，那么这12人能够赶上火车吗？
板块一 一元二次方程的解法
（四）因式分解法
【例 1】 用适当的方法解下列一元二次方程
⑴22(4)(21)0x x +--= ⑵21640x x --=
⑶22360x x --= ⑷2(23)3(23)t t +=+
【例 2】 用因式分解法解下列方程
⑴(1)(3)12x x -+= ⑵3(1)22y y y -=-
⑶2()0x a b x ab -++= ⑷22340x mx m --=
【例 3】 方程2(2005)2004200610x x -⨯-=的较大根是m ，方程2200520060x x --=的较小根为n ，
求2007()m n +的值。
板块二 根的判别式
【例 4】 k 为何值时，关于x 的一元二次方程2(21)0kx k x k -++=有
⑴两个不相等的实数根；⑵相等实数根；⑶无实数根？
【例 5】 已知12x x ，是关于x 的方程220x k x b +++=的两个实数根；12y y ，是关于y 的方程
2570y ky ++=的两个实数根，且112222x y x y -=-=，，求k 、b 的值．
板块三 可化为一元二次方程的无理方程
【例 6】
85202x x +-+=
板块四 一元二次方程解决实际问题
【例 7】 某商场2004年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的年利润与年初投入
的资金和作为下一年初的投入资金继续经营。
已知2005年底比2004年底所获年利润高出10
个百分点，2005年底年终总资金为66万元。
求2004年所获年利率。
【例 8】在大数学家欧拉的《代数引论》里有一个关于农场卖鸡蛋的题目：两个农妇一共带有100个鸡蛋上市，两人所带蛋数不同，但是卖得的钱数一样．于是，第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋，如果换给我，
我就只能得20
3
个铜板．”试问这两个农妇各有多少个鸡蛋？
习题1. 用适当的方法解下列一元二次方程
⑴(65)(65)240y y +--= ⑵24(3)(3)0x x x ---=
⑶2(12)(12)0x x +--= ⑷222(3)9x x -=-
习题2. 已知方程25100x mx +-=的一根是5-，则方程的另一根及m 的值分别为
习题3. k 为何值时，关于x 的一元二次方程21290kx x -+=
⑴有两个不相等的实数根；⑵有两个相等的实数根；⑶没有实数根
习题4. 若一个三角形的三边长均满足方程2680x x -+=，则此三角形的周长为
习题5. 解方程
2
15
1
22
x x x x +-+=-+
习题6. 某校办工厂生产某种产品，今年产量为200件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一
年增长相同的百分数，这样三年（包括今年）的总产量达到1400件，求这个百分数．
如何看待“囧”文化？
从象形字到个人情绪表达
从古老文字里发掘智慧，这是网民最引为自豪的，“囧”当然是最突出者。
国家语言文字工作委员会副主任、教育部语言文字信息管理司司长李宇明说：“我最早知道这个字，是从海外网络开始的，在网上，经常有网民会发帖子，这些字认识吗？其中就有囧。
”
囧，读音Jiong，北京大学教授殷旵解释说，该字指窗口，意在野外、郊外，很宽阔的地方，郊外为林，越走越开阔；又指光明。
据有关研究成果，甲骨文、金文里已经出现过此字。
商务印书馆汉语编辑室副主任何宛屏认为，该字最早是个象形字，现在也是象形字的用法，被网民活用了。
网络文化中，囧字内小“八”字视为眉眼，“口”视为嘴。
它的内涵就是：作为头，表达沉重的思想；作为脸，表达浪漫与激情。
而在失意体前屈文化（网上流行的表情符号）中，则表达“悲伤”、“无奈”的情绪，另外还有“佩服”、“钦佩”的意思，也有较反面的如“被你打败了”、“真受不了你”等这类意思。
有网民总结说，囧是一种态度，囧是一种哲学；囧是平凡的，但是囧然一看，却又包含着万般语言；囧是神奇的，囧中有着对世界的探索。
重新拾起汉字的原生态思维
就在前天，殷旵教授在北京大学带来一场别有意味的讲座《是谁把汉语撕成了碎片》，他生动的讲座，让人恍然原来我们天天在用的汉字里藏着如此多的智慧和博大的文化。
比如“北”在甲骨文里是两个“人”相背等。
殷旵说：“中国人造字把人生解读得如此细腻，这种选择是非常不容易的。
”
殷旵结合“囧”的流行，认为这只能说明汉字本身的魅力。
今天有些文字里的信息已经被渐渐丢掉，汉字的原生态思维也在一点点被丢掉了，这种返璞归真的趋势值得肯定。
至于说古文字这种流行方式，是利于其健康发展，还是糟蹋了古人智慧，现在下结论还为时过早。
李宇明则认为，语言需要增添活跃因素，它有自我调节的机制，有用的吸收，没用的就自我淘汰掉了。
语言是最坚强的，就像我们的民族一样坚强，语言会经历大浪淘沙的过程。
专家认为：网络语言是属于网络的一种专有术语，也属于我们社会文化的一种表达形式。
因此，在语言使用上，大家应有开放包容的态度。
中小学生如果在写作文的时候把网络语言放进去，作为家长、学校、老师是应该进行纠正的。
不要让它影响到现实的学习和现实世界，这就是我们在使用网络语言时要把握的一个度。
同学们，看了本文，你有什么感触呢？你认为网络语言能写进作文有什么弊端？社会的普遍看法是怎样的？。