苏教版高中数学必修五正余弦定理的运用测试题.docx

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苏教版数学高二-必修5试题余弦定理

1.2.1 余弦定理一、填空题1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则角A 等于________．解析：∵a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc.由余弦定理得cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12. ∵0<A<π，∴A ＝2π3. 答案：2π32．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 解析：由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得，3＝a 2＋1－2a×1×cos2π3，即a 2＋a －2＝0.解之得a ＝－2(舍去)或a ＝1.∴a ＝1.答案：13．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c.若S △ABC ＝b 2＋a 2－c 24，则角C 的大小为________．解析：S △ABC ＝12ab sinC ， ∴12absinC ＝b 2＋a 2－c 24. ∴sinC ＝b 2＋a 2－c 22ab＝cos C. ∴tan C ＝1，∴c ＝45°.答案：45°4．在不等边三角形中，a 是最大的边，若a 2＜b 2＋c 2，则角A 的取值范围是________．解析：∵a 是最大的边，∴A ＞π3.∵a 2＜b 2＋c 2， ∴cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＞0，∴A ＜π2，故π3＜A ＜π2. 答案：π3＜A ＜π25．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若c·cosB ＝b·cosC ，且cosA ＝23，则sinB 等于________．解析：由c·cosB ＝b·cosC ，可以得到B ＝C ，进而得到b ＝c.因为cosA ＝23，故由余弦定理可得3a 2＝2b 2，再由余弦定理求得cosB ＝66，故sinB ＝306. 答案：306 二、解答题6．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝3，角C 的余弦值是方程5x 2＋7x －6＝0的根，求第三边长c.解：5x 2＋7x －6＝0可化为(5x －3)(x ＋2)＝0.∴x 1＝35，x 2＝－2(舍去)． ∴cosC ＝35. 根据余弦定理，c 2＝a 2＋b 2－2abcosC＝52＋32－2×5×3×35＝16. ∴c ＝4，即第三边长为4.7．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知b 2＋c 2＝a 2＋3bc ，求：(1)A 的大小；(2) 2sin BcosC －sin(B －C)的值．解：(1)由余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，故cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝3bc 2bc ＝32，所以A ＝π6. (2)2sinBcosC －sin(B －C)＝2sinBcosC －(sinBcosC －cosBsinC)＝sinBcosC ＋cosBsinC＝sin(B ＋C)＝sin(π－A)＝sinA ＝12. 8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知sinC ＋cosC ＝1－sin C 2. (1)求sinC 的值；(2)若a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8，求边c 的值．解：(1)由已知得sinC ＋sin C 2＝1－cosC ，即 sin C 2(2cos C 2＋1)＝2sin 2C 2，由sin C 2≠0得2cos C 2＋1＝2sin C 2，即sin C 2－cos C 2＝12，两边平方整理得：sinC ＝34. (2)由sin C 2－cos C 2＝12＞0得π4<C 2<π2，即π2<C<π，则由sinC ＝34得cosC ＝－74，由a 2＋b 2＝4(a ＋b)－8得：(a －2)2＋(b －2)2＝0，则a ＝2，b ＝2，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝8＋27，所以c ＝7＋1.。

苏教版数学高二-必修5试题 1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)

1.3正弦定理、余弦定理的应用(一)一、基础过关1．如图，A、N两点之间的距离为________．2．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°方向上，灯塔B在观测站C的南偏东40°方向上，则灯塔A与灯塔B的距离为_______km 3．海上有A、B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是________ n mile.4．如图，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点之间的距离为60 m，则树的高度为______ m.5．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为________海里/小时．6．如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，则塔高AB为________．7．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．8．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连成30°角，求两条船之间的距离．二、能力提升 9．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时．10．太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km 后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________ km.11.如图所示，在斜度一定的山坡上一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为α，向山顶前进a m 到达B 点，从B 点测得斜度为β，设建筑物的高为h m ，山坡对于地平面的倾斜角为θ，求证：cos θ＝asin αsin βhsin β－α. 三、探究与拓展12．在海岸A 处，发现北偏东45°的方向，距离A (3－1) n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile/h 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°的方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？答案1．403 2.3a 3.56 4.30＋30 3 5．20(6－2) 6.s·tan θsin βsin α＋β7．解如图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.8．解如图所示：∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°. ∵AB＝30 (m)，∴BC＝30 (m)，BD＝30tan 30°＝30 3 (m)．在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，∴CD＝30 (m)，即两船相距30 m.9．1解析设t小时后，B市处于危险区内，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40cos 45°≤302.化简得4t2－82t＋7≤0，∴t1＋t2＝22，t1·t2＝7 4.从而|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝1.10.3 611．证明在△ABC中，由正弦定理，可知ACsin∠CBA＝asin∠ACB，即ACsinπ－β＝asinβ－α.∴AC＝asin βsinβ－α.在△ADC中，由正弦定理，知hsin α＝ACsin∠CDA.又∠CDA＝90°＋θ，∴hsin α＝asin βsinβ－αcos θ.整理，得cos θ＝asin αsin βhsinβ－α.12．解如图所示，设缉私船用t h在D处追上走私船，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos ∠BAC＝(3－1)2＋22－2×(3－1)×2×cos 120°＝6， ∴BC ＝ 6 (n mile)，且sin ∠ABC ＝AC BC·sin ∠BAC ＝26×32＝22. ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向垂直． ∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理得sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10tsin 120°103t＝12， ∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．。

苏教版数学高二-必修5试题余弦定理的应用

1.2.2 余弦定理的应用一、填空题1．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋bc ＋a ＝________.解析：∵∠C ＝60°，∴根据余弦定理a 2＋b 2＝c 2＋ab. 则a b ＋c ＋b c ＋a＝a c ＋a ＋b b ＋c b ＋c c ＋a ＝ac ＋bc ＋a 2＋b 2b ＋c c ＋a＝ac ＋bc ＋c 2＋ab b ＋c c ＋a ＝c ＋a b ＋cb ＋c c ＋a＝1. 答案：12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ＝2bcosC ，则△ABC 的形状为________．解析：∵a ＝2bcosC ，∴cosC ＝a 2b .∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a2b 化简得b ＝c.∴△ABC 为等腰三角形．答案：等腰三角形3．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，经测量，∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为______ km.解析：AC 2＝102＋202－2×10×20×cos120° ∴AC ＝107. 答案：1074．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c.已知a 2－c 2＝2b ，且 sinB ＝4cosAsinC ，则b ＝________. 解析：由余弦定理得a 2－c 2＝b 2－2bccosA. 又a 2－c 2＝2b ，b≠0，所以b ＝2ccosA ＋2.① 由正弦定理得b c ＝sinB sinC ，又由已知得sinBsinC ＝4cosA ，所以b ＝4ccos A ．② 由①②解得b ＝4. 答案：45．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD.AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析：用余弦定理求得：AB 2＝BD 2＋AD 2－2AD·BDcos135°， AC 2＝CD 2＋AD 2－2AD·CDcos45°，即AB 2＝BD 2＋2＋2BD,①AC 2＝CD 2＋2－2CD,②又BC ＝3BD ， ∴CD ＝2BD.∴AC 2＝4BD 2＋2－4BD.③又AC ＝2AB ，∴由③得2AB 2＝4BD 2＋2－4BD.④④－2×①得， BD 2－4BD －1＝0. ∴BD ＝2＋ 5. 答案：2＋ 5二、解答题6.在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝4，过线段CB 的中点E 作垂直平分线交线段AC 于点D ，DA －DB ＝1，求BC 的长及cos ∠ACB 的值．解：∵DB ＝DC ，DA －DB ＝1， ∴DA －DC ＝1.① 又∵DA ＋DC ＝AC ＝4，②由①②得DA ＝2.5，DC ＝DB ＝1.5，在△ABD 中，由余弦定理可得cosA ＝DA 2＋AB 2－DB 22DA·AB ＝2.52＋22－1.522×2.5×2＝45.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cosA ＝22＋42－2×2×4×45＝365.∴BC ＝655.在Rt △CDE 中，cos ∠ACB ＝CE DC ＝12BC DC ＝255.7．甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的3倍，问甲船应取什么方向前进才能在最短时间内追上乙船？此时乙船行驶多少海里．解：设甲沿直线与乙船同时到C 点，则A 、B 、C 构成一个△ABC ，如图，设乙船速度为v ，则甲船速度为3v ，到达C 处用时为t. 由题意BC ＝vt ，AC ＝3vt ，∠ABC ＝120°. 在△ABC 中，由余弦定理AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°， ∴3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt. ∴2v 2t 2－avt －a 2＝0，解得vt ＝－a2(舍)或vt ＝a.∴BC ＝a ，在△ABC 中AB ＝BC ＝a ， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝30°.答：甲船应取北偏东30°的方向去追乙，此时乙船行驶a 海里．8．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边长，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ ac －bc.求：(1)角A 的大小． (2)bsinB C的值．解：(1)∵b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc.在△ABC 中，cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)在△ABC 中，由正弦定理，得sinB ＝bsinAa .∴bsinB c ＝b c ×bsinA a ＝b 2sinA ac∵b 2＝ac ，A ＝60°, ∴bsinB C ＝sin60°＝32.。

苏教版数学高二-必修5试题正弦定理的应用

1.1.2 正弦定理的应用一、填空题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则 c ＝________.解析：由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得3sin π3＝1sinB ， ∴sinB ＝12，故B ＝30°或150°. 由a>b ，得A>B ，∴B ＝30°.故C ＝90，由勾股定理得c ＝2.答案：22．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝4bsinA ，则cosB ＝________. 解析：∵a ＝4bsinA ，由正弦定理知sinA ＝4sinBsinA ，∴sinB ＝14，cosB ＝1－sin 2B ＝1－142＝154. 答案：1543．在△ABC 中，最大边长是最小边长的2倍，且2AB ·AC ＝|AB |·|AC |，则此三角形的形状是________．解析：∵2AB ·AC ＝|AB |·|AC |，∴cosA ＝12，∴A ＝π3.[] ∴a 边不是最大边也不是最小边，不妨设b<c ，则2b ＝c ，由正弦定理2sinB ＝sinC ，∴2sinB ＝sin(2π3－B)， ∴2sinB ＝32cosB ＋12sinB ， ∴tanB ＝33，∴B ＝π6，C ＝π2. ∴此三角形为直角三角形．答案：直角三角形 4．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．解析：∵a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝2R ＝8，∴sinC ＝c 8， ∴S △ABC ＝12absinC ＝116abc ＝116×162＝ 2. 答案： 25．已知A 、B 两岛相距10 n mile ，从A 岛看B 、C 两岛的视角是60°，从B 岛看A 、C 两岛的视角是75°，则B 、C 两岛的距离为________ n mile.解析：如图所示：易知C ＝45°，由正弦定理得AB sinC ＝BC sinA， ∴BC ＝ABsinA sinC＝5 6. 答案：5 6二、解答题6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，求△ABC 的面积．解：由正弦定理∵sinC 3＝sinB 1， ∴sinC ＝3·sin30°＝32. ∴C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，S △ABC ＝12×1×3＝32. 当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×1×3×sin30°＝34. 综上，△ABC 的面积为32或34. 7.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D处，已知CD ＝6 000 m ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处时，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求炮兵阵地到目标的距离．解：在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，CD＝6 000，∠ACD ＝45°，根据正弦定理，有AD ＝CDsin45°sin60°＝23CD. 同理，在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，CD ＝6 000，∠BCD ＝30°，根据正弦定理，有BD ＝CDsin30°sin135°＝22CD. 又在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°.根据勾股定理，有 AB ＝AD 2＋BD 2＝23＋12CD ＝426CD ＝1 000 42，所以炮兵阵地到目标的距离为1 000 42 m.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B)＝(a 2－b 2)sin(A ＋B)，试判断该三角形的形状．解：由已知得a 2＝b 2∴2a 2cosAsinB ＝2b 2cosBsinA.由正弦定理得sin 2AcosAsinB ＝sin 2BcosBsinA.∴sinAsinB(sinAcosA －sinBcosB)＝0.∵sinA≠0，sinB≠0，∴sinAcosA ＝sinBcosB.即sin2A ＝sin2B.由0＜2A,2B ＜2π，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．。

苏教版数学高二- 必修5试题 1.3正弦定理、余弦定理的应用

1．3正弦定理、余弦定理的应用情景导入2006年10月12日，中国宣布了自己的探月计划：中国将在2007年把“嫦娥一号”绕月卫星送入太空，2012年实现发射软着陆器登陆月球.路透社报道：中国将在2024年把人送上月球.,登陆月球如此困难，除了因存在很多科学难题外，还因为月球与地球相距很远，有38万公里.很久以前，数学家们就测量计算出了这个距离.你知道他们是如何计算的吗？这就要利用解斜三角形的知识.)►基础巩固一、选择题1．在某测量中，设点A在点B的南偏东34°27′，则点B在点A的()A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′解析：方向角主要注意方向问题，两点的相对位置确定说明以一点为基点时另一点的位置就被确定，若反过来，则只需改变相对方向即可(如A在B的北面，则B在A的南面，其他亦如此)．答案：A2.如图，为了测量某湖泊两侧A，B的距离，绘出下列数据，其中不能唯一确定A，B两点间的距离的是()A．角A，B和边b B．角A，B和边aC．边a，b和角C D．边a，b和角A解析：根据正弦定理和余弦定理可知，当知道两边和其中一边的对角解三角形时，得出的结果不一定唯一，∴选D.答案：D3．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于6 km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．6 3 kmB ．3 3 kmC ．6 kmD ．2 3 km解析：如下图：由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BC·cos 120°＝36＋36＋36＝108， ∴AB ＝6 3 km.答案：A4.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则AB ＝( )A ．50 3 mB ．50 2 mC ．25 2 m D.2522m解析：∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝30°，根据正弦定理得50sin 30°＝AB sin 45°，解得AB＝50 2 m.答案：B5．某人向正东方走了 3 km后，突然向右转150°，然后朝此方向前进了3 km(如图)，此时，他离出发点有()A. 3 km B．2 3 kmC．3 km D．3 3 km解析：由余弦定理知AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 30°＝3＋9－2×3×3×32＝3，∴AC＝ 3 km.答案：A二、填空题6．如右图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别是30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10 m B．5 3 mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m解析：AB＝22AC＝22⎝⎛⎭⎫DCsin 15°×sin 30°＝5(3＋1) m.答案：D7．某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m后，望见塔在正北，若测途测得塔的最大仰角为30°，则塔高为________m.解析：设塔高为AB，某人由C前进到D，依题意可得CD＝40 m，∠ACD＝90°－60°＝30°，作AE⊥CD于E，则∠AEB＝30°，则AD＝CDsin 30°＝20，AE＝ADsin 60°＝103，∴AB＝AEtan 30°＝103×33＝10 m.答案：108．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5 m，则树干原来的高度为________．解析：如右图，AB＝AC×tan 60°＝53，BC＝ACsin 30°＝10，∴AB＋BC＝(53＋10)m.答案：(10＋53)m三、解答题9.一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，求此时船与灯塔的距离．解析：如题图，由正弦定理得，BCsin90°－60°＝15×4 sin 45°，∴BC＝30 2 km.[]答案：此时船与灯塔的距离为30 2 km.10．如下图，在塔底D的正西方A处测得塔顶的仰角为45°，在它的南偏东60°的B处测得塔顶的仰角为30°，AB的距离是84 m，求塔高．解析：设塔高CD＝x m，则AD＝x m，DB＝3x m.在△ABD中，利用余弦定理得842＝2⎛⎫⎪⎝⎭xtan45＋2⎛⎫⎪⎝⎭xtan30－23·x2cos(90°＋60°)，解得x＝±127(负值舍去)，故塔高为127 m.►能力升级一、选择题11．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：如题图，结合题意得∠ACB＝180°－60°－40°＝80°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝50°，α＝60°－50°＝10°.答案：B12．若水平面上，点B在点A南偏东30°方向上，则点A处测得点B的方位角是()A．60°B．120°C．150°D．210°解析：根据方位角的意义，可得点B的方位角是180°－30°＝150°.答案：C13．有一长1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要伸长() A．1 km B．sin 10° kmC．cos 10° km D．cos 20° km解析：如图，∠ABD＝20°－10°＝10°，∴AD＝AB＝1 km.答案：A二、填空题14．海面上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B 岛望A岛和C岛成30°的视角，则B与C两岛之间的距离是____________．解析：在△ABC中，A＝60°，B＝30°，∴C＝90°，故BC＝ABsin 60°＝5 3.答案：53海里15．我舰在敌岛南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛A 沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为________．解析：如题图，∠BAC ＝180°－10°－50°＝120°， AB ＝12，AC ＝2×10＝20，∴BC 2＝122＋202－2×12×20cos 120°＝784，BC ＝28，速度为282＝14 海里/小时．答案：14海里/小时三、解答题16．如下图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援(角度精确到1°)?解析：连接BC ，由余弦定理得BC 2＝202＋102－2×20×10cos 120°＝700.于是，BC ＝107.∵sin ∠ACB 20＝sin 120°107，∴sin ∠ACB ＝37＝217，∵∠ACB<90°，∴∠ACB≈71°. ∴乙船应朝北偏东约71°方向沿直线前往B 处救援．。

高中数学课时跟踪检测(五)正弦定理、余弦定理的应用苏教版必修5-苏教版高二必修5数学试题

课时跟踪检测（五）正弦定理、余弦定理的应用层级一学业水平达标1．若水平面上点B 在点A 南偏东30°方向上，在点A 处测得点B 的方位角是( ) A ．60° B ．120° C ．150°D ．210°解析：选C 方位角是指从正北方向顺时针旋转到达目标方向的水平角．如图所示，点B 的方位角是180°－30°＝150°.故选C.2．A ，B 两点在河的两岸，为测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在河岸边选定一点C ，测出A ，C 两点间的距离是100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，则A ，B 两点间的距离是( )A ．40 mB ．50 mC ．60 mD ．70 m解析：选B 由已知得到示意图如图，已知AC ＝100 m ，∠BAC ＝60°，∠ACB ＝30°，所以∠ABC ＝90°，所以AB ＝12AC ＝50 m ，故选B.3.如图，D ，C ，B 三点在地面同一直线上，从地面上C ，D 两点望山顶A ，测得它们的仰角分别为45°和30°，已知CD ＝200 m ，点C 位于BD 上，则山高AB 等于( )A ．100 2 mB ．50(3＋1)mC ．100(3＋1)mD ．200 m解析：选C 设AB ＝x m ，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝45°， ∴BC ＝AB ＝x m.在Rt △ABD 中，∠D ＝30°，BD ＝3x ，∵BD －BC ＝CD ，∴3x －x ＝200，解得x ＝100(3＋1)．4．一船沿北偏西45°方向航行，看见正东方向有两个灯塔A ，B ，AB ＝10 n mile ，航行12h 后，看见一灯塔在其南偏东60°方向上，另一灯塔在其南偏东75°方向上，则这艘船的速度是( )A ．5 n mile/hB ．5 2 n mile/hC ．10 n mile/hD ．10 2 n mile/h解析：选 D 如图所示，由题意知∠COA ＝135°，∠ACO ＝∠ACB ＝∠ABC ＝15°，∠OAC ＝30°，AB ＝10，∴AC ＝10.在△AOC 中，由正弦定理可得10sin 135°＝OCsin 30°，∴OC ＝52，∴v ＝5212＝102，∴这艘船的速度是10 2 n mile/h ，故选D.5.如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 n mile 的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°方向上且相距20 n mile 的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于( )A.219 B.2114 C.32114D.2128解析：选B 如图所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°＋30°＝120°，AC ＝20 n mile ，AB ＝40 n mile.由余弦定理，得BC 2＝202＋402－2×20×40×cos 120°＝2 800，所以BC ＝207 n mile.过C 作CD ⊥AB 交BA 的延长线于D . 在△ACD 中，∠ACD ＝30°，AC ＝20 n mile ，所以CD ＝10 3 n mile. 所以cos θ＝cos ∠DCB ＝CD CB ＝103207＝2114. 6．一船以22 6 km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为________km.解析：如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°，AB ＝226×32＝336，由正弦定理，得336sin 120°＝SBsin 45°，∴SB ＝66(km)．答案：667.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝________.解析：由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC2＋BC 2－2AC ·BC ·cos∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝44 100.∴AB ＝210，DE ＝210. 答案：2108．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200 km ，汽车以80 km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50 km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________ h 后，两车的距离最小．解析：如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理：DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos 60°＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 最小．答案：70439．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以10 2 n mile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h 后开始持续影响基地2 h ．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一直线上，且AD ＝20，AC ＝20.由题意AB ＝20(3＋1)，DC ＝202，BC ＝(3＋1)·102＝10(6＋2)．在△ADC 中，因为DC 2＝AD 2＋AC 2，所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32.所以∠BAC ＝30°，又因为B 位于A 南偏东60°， 60°＋30°＋90°＝180°，所以点D 位于A 的正北方向，又因为∠ADC ＝45°，所以台风移动的方向为北偏西45°.10.如图，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔顶A 的仰角分别是∠AMB ＝30°，∠ANB ＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB .解：设AB ＝x ，∵AB 垂直于地面， ∴△ABM ，△ABN ，△ABP 均为直角三角形． ∴BM ＝x tan 30°＝3x ，BN ＝xtan 45°＝x .BP ＝xtan 60°＝33x .在△MNB 中，由余弦定理BM 2＝MN 2＋BN 2－2MN ·BN ·cos∠MNB ，在△PNB 中，由余弦定理BP 2＝NP 2＋BN 2－2NP ·BN ·cos∠PNB ，又∵∠MNB 与∠PNB 互补，MN ＝NP ＝500， ∴3x 2＝250 000＋x 2－2×500x ·cos∠MNB ，① 13x 2＝250 000＋x 2－2×500x ·cos∠PNB ，② ①＋②，得103x 2＝500 000＋2x 2，∴x ＝2506或x ＝－2506(舍去)．所以塔高为250 6 m.层级二应试能力达标1．若点A 在点C 的北偏东30°方向上，点B 在点C 的南偏东60°方向上，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°方向上B ．北偏西15°方向上C ．北偏东10°方向上D ．北偏西10°方向上解析：选B 如图所示，∠ACB ＝90°.又 ∵AC ＝BC ， ∴∠CBA ＝45°.∵β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°.∴点A 在点B 的北偏西15°方向上．2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532m C ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ，由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12，∴sin ∠ACB ＝32.又∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin∠ACD ＝15×32＝1532m. 3．某海轮以30 n mile/h 的速度航行，在点A 测得海面上油井P 在其南偏东60°方向上；海轮向北航行40 min 后到达点B ，测得油井P 在其南偏东30°方向上；海轮改为北偏东60°的航向再行驶80 min 到达点C ，则P ，C 两点的距离为( )A ．207 n mileB.2077n mile C ．20 3 n mile D.2033n mile 解析：选A 如图，过点P 作AB 的垂线，垂足为点E . 由题意得∠APB ＝∠ABP ＝30°， ∴AP ＝AB ＝30×4060＝20(n mile)．在Rt △PAE 中，PE ＝AP sin 60°＝103(n mile)；在Rt △PBE 中，PB ＝PEsin 30°＝203(n mile)．由已知可得∠PBC ＝90°，BC ＝30×8060＝40(n mile)，∴在Rt △PBC 中，PC ＝PB 2＋BC 2＝(203)2＋402＝207(n mile)．4．一船向正北航行，看见正西方向有相距10 n mile 的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行12 h 后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________ n mile/h.解析：如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，可得AB ＝5，于是这只船的速度是50.5＝10 n mile/h.答案：105.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________ m.解析：∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)．答案：1 0006．如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是________ m.解析：由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．答案：120(3－1)7.在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x 小时后在C 处追上蓝方的小艇，则AC ＝14x ，BC ＝10x ， ∠ABC ＝120°.根据余弦定理得 (14x )2＝122＋(10x )2－240x cos 120°，解得x ＝2.故AC ＝28，BC ＝20. 根据正弦定理得BC sin α＝ACsin 120°，解得sin α＝20sin 120°28＝5314.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为5314.8．已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB ＝2，BC ＝6，CD ＝DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．解：如图所示，连接BD ，则四边形ABCD 的面积为：S ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·AD ·sin A ＋12BC ·CD sin C .因为A ＋C ＝180°，所以sin A ＝sin C ，所以S ＝12(AB ·AD ＋BC ·CD )·sin A＝12(2×4＋6×4)sin A＝16sin A .在△ABD 中，由余弦定理，得BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A＝22＋42－2×2×4cos A ＝20－16cos A . 在△CDB 中，BD 2＝CB 2＋CD 2－2CB ·CD cos C ＝62＋42－2×6×4cos C ＝52－48cos C .所以20－16cos A ＝52－48cos C . 因为cos C ＝－cos A ，所以64cos A ＝－32，所以cos A ＝－12，所以A ＝120°，所以S ＝16sin 120°＝8 3.。

高中数学苏教版必修5同步训练：1.3 正弦定理、余弦定理的应用

1.3 正弦定理、余弦定理的应用1、在锐角ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边2 ,csin A c ==且5a b +=,则ABC ∆的面积为( )A. 2B. 92C.D. 722、ABC ∆的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2224ABCb c a S ∆+-=,则角A 的大小为( ) A.6π B. 4π C. 34π D. 56π3、ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若120?c b B ===,则ABC ∆的面积等于( )A. 2B. 1C.D.4、在ABC ∆中, 60,1A b ==,则sin a A等于( )A.B.3C.3D.5、当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C处的乙船,乙船立即朝θ+︒角的方向沿直线前往B处营救,则sinθ的值为( )北偏东30A.7B.2C.D.6、若水平面上,点B在点A南偏东30方向上,则在点A处测得点B的方位角是( )A.60B.120C.150D.210︒7、如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等,灯塔A在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,则灯塔A在灯塔B的( )A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西108、有一长为10m的斜坡,倾斜角为75,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,则坡底要延长的长度(单位:m)是( )A.5B.10C.2D.1039、江边有一炮台高30m,江中有两条船,由炮台顶部测得俯角分别为45和30,而且两条船与炮台底部连线成30度角,则这两条船相距( )A.103mB.1003mC.30mD.30m10、某人朝正北方向走x千米后,向北偏东转150并走3千米,3千米,那么x的值为( )A.B.C.D.311、某船开始看见灯塔在南偏东30方向,后来船沿南偏东60方向航行30 n mile后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离为__________nmile.12、甲船在岛B的正南A处,10AB=千米,甲船以每小时4千米的速度向正北航行,同时,乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是__________.13、一艘船以每小时15?km的速度向东行驶,船在A处看到一灯塔B在北偏东60,行驶4h 后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为__________km.14、某人从A处出发,沿北偏东60方向行走到B处,再沿正东方向行走2km到C处,则,A C两地之间的距离为km15、为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查青岛市一考点,在考点正西约1.732千米有一条北偏东60方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟,检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2?csinA=及正弦定理得sinsina Ac C ==,∵ 0, sin A sin C ≠∴=故在锐角ABC ∆中, 3C π= 再由5a b +=及余弦定理可得()222227232533a b abcos a b ab a b ab ab π=+-=+-=+-=-,解得6ab =,故ABC ∆的面积为1·22ab sinC =2答案及解析：答案：B 解析：2221sin 42ABC b c a S bc A ∆+-==2222sin b c a bc A ⇒+-=, 又根据余弦定理2222cos b c a bc A +-=,∴2sin 2cos sin cos bc A bc A A A =⇒=,∴4A π=.3答案及解析：答案：C解析：=, ∴1,2sinC = ∴30C =︒或150 (舍去).∵120,30,B A =︒∴=︒∴1130222ABC S bcsinA sin ∆==︒= 4答案及解析：答案：A解析：由1sin 32ABC S bc A ∆==可知4c =.由余弦定理得2222 1168 6013,a b c bccos A cos =+-=+-︒= 所以13a =所以13239sin a A ==5答案及解析：答案：A解析：连接BC .在ABC ∆中, 10,20,AC AB ==120BAC ∠=︒,由余弦定理,得2222120700,BC AC AB AB AC cos =+-⋅⋅︒= 所以107BC =,再由正弦定理,得,θ∠=BC AB sin BAC sin 所以 sin θ=2176答案及解析：答案：C解析：根据方位角的意义,可得点B 的方位角是18030150.︒-︒=︒7答案及解析：答案：B解析：如题图所示,结合题意得180604080.ACB ∠=︒-︒-︒=︒因为AC BC =,所以50,605010.ABC α∠=︒=︒-︒=︒8答案及解析：答案：C解析：如图所示,设将坡底加长到'B 时,倾斜角为30,在'ABB ∆中,利用正弦定理可求得BB '的长度.在'ABB ∆中,30B '∠=︒,753045,10,BAB AB m '∠=︒-︒=︒=由正弦定理,得)102.BB m ︒'==︒=2ABsin4521sin302所以斜坡的倾斜角变为30时,坡底延伸102m .9答案及解析：答案：D解析：设炮台顶部为A ，两条船分别为,B C 炮台底部为,D 可知45,60,30,30.BAD CAD BDC AD ∠=︒∠=︒∠=︒=分别在R ADB ∆和R ADC ∆中，求得30, 3.DB DC ==在DBC ∆中，由余弦定理，得2222?cos30BC DB DC DB DC =+-︒，解得30.BC =故选D10答案及解析：答案：C解析：11答案及解析：答案：103解析：如图所示, B 是灯塔, A 是船的初始位置, C 是船航行后的位置,则,30,60BC AD DAB DAC ⊥∠=︒∠=︒,则在Rt ACD ∆中,sin 30sin 6015 3 DC AC DAC n mile =∠=︒=,cos 30cos6015 AD AC DAC n mile =∠=︒=,则在Rt ADB ∆中,tan 15tan 305 3 DB AD DAB n mile =∠=︒=,则1535310 3 BC DC DB n mile =-==.12答案及解析：答案：1507分钟解析：设行驶x 小时后甲到点C ,乙到点D ,两船相距ykm ,则18060120DBC ∠=︒-︒=︒.∴()()()2222104621046cos1202820100y x x x x x x =-+--︒=-+⋅ 22552528100281007147x x x ⎛⎫=-+=⎛⎫ ⎪⎝⎭--+ ⎪⎝⎭∴当514x = (小时) 1507= (分钟)时, 2y 有最小值.∴y 最小. 13答案及解析：答案：302解析：如图所示,15460,30,45AC BAC B =⨯=∠=︒∠=︒,在ABC ∆中由正弦定理得60sin 45sin 30BC =,∴302BC =.14答案及解析：答案：7解析：如图所示,由题意可得33,2,150.AB BC ABC ==∠=︒由余弦定理,得22742332?cos15049,AC =+-⨯⨯︒=解得7.AC =故A 、C 两地间的距离为7.km15答案及解析：答案：如图所示,考点为A ,检查开始处为B ,设公路上,C D 两点到考点的距离为1千米.在ABC ∆中, 1.732,1,30AB AC ABC =≈=∠=︒,由正弦定理sin 30sin ACB AB AC ∠=⋅=,∴120ACB ∠=︒ (60ACB ∠=︒不合题意), ∴30BAC ∠=︒,∴1BC AC ==,在ACD ∆中, ,60AC AD ACD =∠=︒,∴ACD ∆A 为等边三角形,∴1CD =,∴60512BC ⨯=,∴在BC 上需5分钟, CD 上需5分钟.答:最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.解析：由Ruize收集整理。

高中数学《正弦定理,余弦定理》试题(苏教版必修5).

高中苏教数学⑤1.1～1.2正弦定理、余弦定理测试题一、选择题1．在ABC △中，如果182445a b A ===，，°，则满足上述条件的三角形有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．0个Ｄ．无数个答案：Ｂ2．在ABC △中，A B >，下列四个不等式中不一定正确的是（）Ａ．sin sin A B > Ｂ．cos cos A B <Ｃ．sin 2sin 2A B > Ｄ．cos 2cos 2A B <答案：Ｃ3．在ABC △中，2AB =，BC =4AC =，则边AC 上的高为（）Ｃ．32 Ｄ．答案：Ｂ4．在ABC △中，π33A BC ==，，则ABC △的周长为（）Ａ．π33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭Ｂ．π36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ Ｃ．π6sin 33B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ Ｄ．π6sin 36B ⎛⎫++ ⎪⎝⎭答案：Ｄ5．在锐角ABC △中，12b c ==，，则a 的取值范围是（）Ａ．13a << Ｂ．1a <<a << Ｄ．不确定答案：Ｃ二、填空题6．在ABC △中，若60A =°，:4:3c b =，则sin C = ．7．已知三角形三边长分别为a ，则此三角形的最大内角的大小是．答案：120°8．已知ABC △的三个内角为A B C ，，所对的三边为a b c ，，，若ABC △的面积为22()S a b c =--，则tan 2A = ．答案：14三、解答题9．如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=°，135BCD ∠=°，求BC 的长．解：在ABD △中，设BD x =，由余弦定理，得2222cos BA BD AD BDAD BDA =+-∠·，即2221410210cos60x x =+-⨯°，解得210960x x --=，所以12166x x ==-，（舍去），在BCD △中，由正弦定理，得sin sin BC BD CDB BCD =∠∠，所以16sin135BC =°sin 30=·°10．如图，在ABC △中，已知151060a b A ===，，°，点E F ，为c 的三等分点，求CE CF ，的长（精确到0.1）．解：在ABC △中，由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即222115102102c c =+-⨯⨯·， 2101250c c --=∴．解得5c =+5c =-，在ABC △中，由正弦定理，得10sin sin 15b B A a ===·cos B =∴．3c AE BF ===∴ 在ACE △中，由余弦定理，得2222212cos 102102CE AC AE AC AE A =+-=+-⨯⎝⎭·，8.7CE =≈∴．同理：在FCB △中求得10.8CF =≈．11．在ABC △中，求证：1sinsin sin 2228A B C ≤．证明：2222222()2sin 1cos 12222A b c a a b c a A bc bc bc+---=-=-=∵≤ sin2A ∴sin 2B ，sin 2C ， 1sin sin sin2228A B C =．12．在ABC △中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，（1）求最大角；（2）求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积．解：（1）设三边11a k b k c k k =-==+∈N ，，，且1k >， C ∵为钝角，2224cos 022(1)a b c k C ab k +--==<-∴， 1k >∵，4k <∴，k *∈N ∵，2k =∴或3，但2k =时不能构成三角形，应舍去，当3k =时，1234cos 4a b c C ====-，，，，1180arccos 4C =-°；（2）设角C 的两边分别为4x y x y +=，，，则2sin (4)4)S xy C x x x x ==-=-+，∴当2x =时，平行四边形面积最大，max S。

苏教版高一数学必修5正余弦定理同步分层能力测试题及答案

同步分层能力测试题（一）A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．在△ABC 中，若,则边c= 。

1.2或。

【解析】由余弦定理，得a 2=c 2+b 2-2cb ·cosA,代入整理得c 2∴2. 在△ABC 中，已知A=450，B=600，c =1，则a= .2.213-。

【解析】由A+B+C=180，得C=1800-450-600=750。

由正弦定理，得045sin a =75sin 1， ∴a=213-。

3. 在△ABC 中，已知a=5,b=12,c=13.最大内角为度。

3.90.【解析】cosC=bca cb 2222-+=222512132512+-⨯⨯=0,C=900.4. 在△ABC 中，已知b=4,c=8,B=300.则a= 。

4. 23。

【解析】（1）由正弦定理，得sinC=bB c sin =430sin 80=1。

所以 C=900，A=180-90-30=600。

又由正弦定理，得a=B A b sin sin =030sin 60sin 4=23。

5. a,b,c 是△ABC 的三边，且B=1200,则a 2+ac+c 2-b 2的值为 .5.0.【解析】由余弦定理，得b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB= a 2+ac+c 2.6．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则B= .6. 60°或120°。

【解析】由正弦定理得050s i n 45=，sinB=,故B=60°或120°。

7.在△ABC 中，有等式：①asinA=bsinB ；②asinB=bsinA；③acosB=bcosA；④sin sin sin a b cA B C+=+. 其中恒成立的等式序号为_______________.7.②④。

【解析】①不符合正弦定理；②两边同除以sinAsinB 即为正弦定理；③取A=900,便知等式不成立；④正弦定理结合等比定理可得。

苏教版高中数学必修五正弦定理、余弦定理单元专项检测.doc

正弦定理、余弦定理单元专项检测一、选择题：（每小题5分，共40分）(A) (B) (C) (D)1．在△ABC 中，已知a=5 2 , c=10, A=30°, 则∠B= ( )(A) 105° (B) 60° (C) 15° (D) 105°或15°2．在△ABC 中，若a=2, b=2 2 , c= 6 + 2 ,则∠A 的度数是 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°3．在△ABC 中，已知三边a 、b 、c 满足(a+b+c)·(a+b －c)=3ab, 则∠C=( )(A) 15° (B) 30° (C) 45° (D) 60°4．边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为 ( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150°5．在△ABC 中，∠A=60°, a= 6 , b=4, 那么满足条件的△ABC ( )(A) 有一个解 (B) 有两个解 (C) 无解 (D)不能确定6．在平行四边形ABCD 中，AC= 3 BD, 那么锐角A 的最大值为 ( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°7. 在△ABC 中，若cos 2aA =cos 2bB =cos 2cC ，则△ABC 的形状是 ( )(A) 等腰三角形 (B) 等边三角形 (C) 直角三角形 (D) 等腰直角三角形8．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（）(A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 由增加的长度决定二、填空题（每小题5分，共20分）9．在△ABC 中，若a=50，b=25 6 , A=45°则10．若平行四边形两条邻边的长度分别是4 6 cm 45°，则这个平行四边形的两条对角线的长度分别为 .11.在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是。

苏教版高中数学必修5-1.3《正弦定理、余弦定理的应用》同步练习2

1.3 正弦定理、余弦定理的应用1．甲、乙两楼相距，从乙楼底望甲楼顶的仰角为600，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲楼高___________米，乙楼高____________米。

2．在200m 的山顶上，测量山下一塔顶与塔底的俯角分别为300，600，则这个塔高为____________。

3．在地面A 处观察同一铅垂面内迎面飞来的一架飞机，当飞机在B 处时测得其仰角为 30，过1min 后飞机到C 处，又测得飞机的仰角为 75，如果该飞机以480km/h 的速度沿水平方向飞行，试求飞机的高度.(精确到0.1km ，假设B 、C 在同样的水平高度)。

4．某人在海上以打鱼为生，一天他在如图的A 地捕鱼，A 离海岸最近点B 的距离为6km ，点B 离家C 点10km ，如果他划船的速度为3km/h 和较快的步行速度6km/h ，打完鱼后，为了尽快到家，他应在B 与C 之间哪一点着陆？并求出所用的最少的时间。

5．如图：A 、B 、C 是平地一直线上的三点，AB=a ，BC=b ，由此三点分别测一气球P ，求气球的高度h 。

6．如图，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸的标记物C ，测得 45=∠CAB ， 75=∠CAB ，AB=120米，试求河宽。

AB C D Pαβ γhA B D C7．如图，在某点B 处测得建筑物E 的顶端AB 仰角为θ，沿BE 方向前进30米至点C 处，测得顶端A 的仰角为θ2，再继续前进310米至点D 处，测得顶端A 的仰角为θ4，求θ的大小及建筑物的高度AE 。

8．在湖面上高h 处，测得天空中一朵云的仰角为α，测得云在湖中之影的俯角为β，试证云距湖面的高度为)sin()sin(αββα-+⋅h 。

苏教版高一数学必修5正余弦定理的运用测试题及答案

正余弦定理的应用-同步分层能力测试题A 组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某人朝正东方向走了x km 后，向左转1500后，再向前走了3 km ，，那么x= 。

1．或2. 提示：由余弦定理知3=x 2+32-6xcos300,解得2.在△ABC 中,已知2sinAcosB=sinC,那么△ABC 的形状是三角形。

2．等腰。

提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),∴2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0. ∴sin(B-A)=0， ∴B=A. 3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A 处测得正前下方地面目标C 的俯角为30°，向前飞行了10000米，到达位置B 时测得正前下方地面目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的距离为米． 3．。

提示：由正弦定理得0010000xsin 45sin 30=，得x=4．在平行四边形ABCD 中，已知AB=1，AD=2，1AB AD ⋅= ，则||AC= ．4.。

提示：||||cos 1AB AD AB AD A ⋅=⋅=，得cosA=12,A=600.故B=1200。

由余弦定理知：AC 2=12+22-4cos1200=7, ||AC5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东300，风速是20 km/h ；水的流向是正东，流速是20km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东___________，大小为___________km/h. 5.60 ， 203。

提示：解法一：如图1，∠AOB=600, 由余弦定理知OC 2=202+202-800cos1200=1200,故OC=203。

解法二：实质求||OA OB + ,平方即可。

图16.把一30厘米的木条锯成两段，分别做钝角三角行ABC 的两边AB 和BC ，且∠ABC=1200， AB= 时，才能使第三条边AC 最短。

苏教版高中数学必修五第1章1.3正弦定理、余弦定理的应用同步练测.docx

1.3 正弦定理、余弦定理的应用（必修5苏教版）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共60分）1．某人朝正东方向走了x km后，向左转150︒后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x= .2.在△ABC中,已知2sin Acos B = sin C,那么△ABC的形状是三角形.3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10 000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯角为75°，这时飞机与地面目标C的距离为米．4．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，1AB AD⋅=，则||AC= ．5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30︒，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东，大小为___________km/h.6.把一30厘米的木条锯成两段，分别作为钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=120︒，当AB= 时，才能使第三条边AC最短. 7. 在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且BCACA222sinsinsinsinsin=⋅-+，则角B = .8．如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD, AD = 10, AB =14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒，则BC= .9.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB =45︒，∠CBA=75︒，AB=120米，则河宽= 米.10. 在△ABC中，若c = 4,b = 7,BC边上的中线AD 的长为3.5，则a= .11. 某人在草地上散步，看到他正西方向有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南偏西45︒方向上，另一根标杆在其南偏西︒30方向上，此人步行的速度是米/分．12.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45︒和30︒，而且两条船与炮台底部连线成30︒角，则两条船相距米.二、解答题（共40分）13. （10分）在△ABC 中，C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、，设c b a 、、满足条件222a bc c b =-+和321+=b c ，求A ∠和B tan 的值.14. （10分）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，1cos 4B =．（1）求b 的值；（2）求sin C 的值．15. （10分）某海轮以30海里/时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东60︒方向上，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东30︒方向上，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．16.（10分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=．（1）求角A ；（2）若m (0,1)=-，n ()2cos ,2cos 2C B =，试求|m +n |的最小值．1.3 正弦定理、余弦定理的应用答题纸得分：一、填空题1． 2． 3． 4． 5． 6．7． 8． 9． 10． 11． 12．二、解答题13.14.15.16.1.3 正弦定理、余弦定理的应用参考答案一、填空题1．3或23 解析：由余弦定理知3=x 2+32-6xcos 30︒,解得x =3或23. 2．等腰解析：由2sin Acos B = sin C ,知2sin Acos B = sin (A +B ),∴ 2sin Acos B = sin Acos B +cos Asin B ，即cos Asin B -sin Acos B = 0. ∴ sin (B -A )=0，∴ B =A .3．50002 解析：设飞机与地面目标C 的距离为x 米，由正弦定理得10 000sin 45sin 30x︒=︒，得x =50002.4.7 解析：由||||cos 1AB AD AB AD A ⋅=⋅=，得cos A =12, A = 60︒，故B = 120︒. 由余弦定理知：AC 2=12+22-4cos 120︒=7, 故||AC =7.5.60 ， 203 解析一：如图，∠AOB=600, 由余弦定理知OC 2=202+202-800cos 120︒=1 200, 故OC = 203.解析二：实质上求||OA OB +,平方即可. 6. 15 解析：在△ABC 中，设AB = x （0＜x ＜30），由余弦定理，得 AC 2=x 22)30(x -+－2x （30-x ）cos 120︒ =900-30x +x 2=（x -15）2+675，所以当AB 等于15厘米时第三条边AC 最短. 7.3π 解析：由正弦定理可设sin sin sin a b c A B C===k ，则 sin ,sin ,sin .a b cA B C k k k===代入已知式，可得ac b c a =-+222，由余弦定理，得2122cos 222==-+=ac ac ac b c a B ，故3B π=. 8.82 解析：在△ABD 中，设BD =x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即2221410210cos60x x =+-⨯⋅ ，整理得 096102=--x x ，解得161=x ，62-=x （舍去）.由正弦定理得BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC . 9. 60+203 解析：把AB 看成河岸，要求的河宽就是C 到AB 的距离，也就是△ABC 的边AB上的高.在△ABC 中，有正弦定理，得BC =120sin 45sin 60︒︒=406（米）. 则河宽为h =BCsin 75︒=406×426+=60+203. 10.9 解析：设CD = DB = x, 在△ACD 中，由余弦定理，得cos C =2227 3.527x x +-⨯⨯.在△ABC 中，由余弦定理，得cos C=2227(2)4272x x +-⨯⨯.∴ 2227 3.527x x +-⨯⨯=2227(2)4272x x+-⨯⨯,解得x =4.5,故a =2x =9.11. 3＋3 解析：如图所示，A 、B 两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C 点时，测得∠BCO =︒45， ∠ACO =︒30，∴ ∠BCA =∠BCO －∠ACO =︒45－︒30=︒15．由题意，知∠BAC =︒120，∠ABC =︒45．在△ABC 中，由正弦定理，得：ABC AC ∠sin =BCAAB∠sin ，即AC = BCA ABC AB ∠∠⋅sin sin =︒︒⨯15sin 45sin 6=36＋6．在直角三角形AOC 中，有： OC = AC ·cos ︒30= (36＋6)×23= 9＋33．设步行速度为x 米/分，则x =3339+= 3＋3． 12. 103 解析：设炮台顶部位置为A ，炮底为O ，两船位置分别为B 、C.在Rt △AOB 中，BO=30米，在Rt △AOC 中，CO=103米，在△BOC 中，由余弦定理，得 BC 22230(103)230103cos30300=+-⨯⨯︒=，所以 BC= 103米. 二、解答题13. 解法一：由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A . 在△ABC 中，∠C =180°－∠A －∠B =120°－∠B .由已知条件，应用正弦定理BB BC b c sin )120sin(sin sin 321-︒===+ ,21cot 23sin sin 120cos cos 120sin +=︒-︒=B B B B解得,2cot =B 从而.21tan =B解法二：由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，因此，︒=∠60A ，由222a bc c b =-+，得.41532133411)(1)(22=--+++=-+=b c b c b a所以.215=b a ① 由正弦定理得231sin sin 2155b B A a ==⨯=. 由①式知,b a >故∠B <∠A ，因此∠B 为锐角，于是22cos 1sin 5B B =-=，从而.21cos sin tan ==B B B 14.解：（1）由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-即222123223104b =+-⨯⨯⨯=， ∴10b =．（2）方法1：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-=41091082210+-==⨯⨯， ∵ C 是△ABC 的内角，∴ 236sin 1cos 8C C =-=．方法2：∵1cos 4B =，且B 是△ABC 的内角，∴215sin 1cos 4B B =-=．根据正弦定理，sin sin b cB C=，得153sin 364sin 810c B C b ⨯===．15. 解：如图，在△ABP 中，AB = 30×6040= 20， ∠APB =︒30，∠BAP =︒120，由正弦定理，得：BPA AB ∠sin =BAPBP∠sin ，即2120=23BP ，解得BP =320．在△BPC 中，BC = 30×6080= 40，由已知∠PBC =︒90，∴ PC =22BC PB +=22(203)40+=720 (海里)．所以P 、C 间的距离为720海里． 16. 解：（1）由正弦定理得，tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B C B A B +=，∴sin()2sin sin cos sin A B C B A B+=， ∴1cos 2A =．∵0πA <<，∴π3A =．（2）m +n 2(cos ,2cos 1)(cos ,cos )2C B B C =-=，∴|m +n |222222π1πcos cos cos cos 1sin 2326B C B B B =+=+-=--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵π3A =，∴2π3B C +=，∴2π(0,)3B ∈．从而ππ7π2666B -<-<． ∴当πsin(2)6B -＝1，即π3B =时，|m +n |2取得最小值12．所以，|m +n |min 22=．。

苏教版高中数学必修5课时训练正弦定理余弦定理的应用

课堂练习(四) 正弦定理、余弦定理的应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC 的长度为4 m ，A ＝30°，则其跨度AB 的长为( )A ．12 mB ．8 mC ．3 3 mD ．4 3 mD [由题意知，A ＝B ＝30°，所以C ＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，AB sin C ＝ACsin B ，即AB ＝AC ·sin C sin B ＝4·sin 120°sin 30°＝4 3.]2．如图所示，要测量河对岸A ，B 两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，则A ，B 间距离是( )A ．202米B ．203米C ．206米D ．402米C [可得DB ＝DC ＝40，由正弦定理得AD ＝20(3＋1)，∠ADB ＝60°，所以在△ADB 中，由余弦定理得AB ＝206(米)．]3．在地面上点D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A 与底部B 的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D 点20 m ，则建筑物高度为( )A ．20 mB ．30 mC ．40 mD ．60 mC [如图，设O 为顶端在地面的射影，在Rt△BOD 中，∠ODB ＝30°，OB ＝20，BD ＝40，OD ＝203，在Rt△AOD 中，OA ＝OD ·tan 60°＝60， ∴AB ＝OA －OB ＝40(m)．]4．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 在水平面上，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小是( )A ．30°B ．45° C．60° D ．75° B [∵AD 2＝602＋202＝4 000，AC 2＝602＋302＝4 500，在△ACD 中，由余弦定理得cos∠CAD ＝AD 2＋AC 2－CD 22AD ·AC ＝22，∠CAD ∈(0°，180°)，∴∠CAD ＝45°.]5．如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，则建筑物的高度为( )A ．15 6 mB ．20 6 mC ．25 6 mD ．30 6 mD [设建筑物的高度为h ，由题图知，PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理，得cos∠PBA ＝602＋2h 2－4h22×60×2h ，①cos∠PBC ＝602＋2h 2－43h22×60×2h.②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos∠PBA ＋cos∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m ．] 二、填空题6．若两人用大小相等的力F 提起重为G 的货物，且保持平衡，则两力的夹角θ的余弦值为________．G 2－2F 22F2[如图，由平行四边形法则可知，|OA →|＝G ，在△AOB 中，由余弦定理可得 |OA →|2＝F 2＋F 2－2F ·F cos(π－θ)． ∵|OA →|＝G ，∴2F 2(1＋cos θ)＝G 2，∴cos θ＝G 2－2F 22F2.] 7．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别是75°，30°，此时气球的高是60 m ，则河流的宽度BC 等于________ m.120(3－1) [由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC中，由正弦定理得ACsin ∠ABC＝BC∠BAC，于是BC＝120×222＋64＝24022＋6＝120(3－1)(m)．]8.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝223，AB＝32，AD＝3，则BD的长为________．3[∵sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝223，∴在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos∠BAD，∴BD2＝18＋9－2×32×3×223＝3，∴BD＝ 3.]三、解答题9．如图所示，一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C，D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走300米到达B处之后，再看C，D，则分别在北偏西15°和北偏西60°方向，求目标C，D之间的距离．[解]由题意得，在△ABD中，因为∠DAB＝60°，∠DBA＝30°，所以∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，因为AB＝300，所以BD＝300·sin 60°＝1503，在△ABC中，因为∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，所以∠ACB＝60°.由正弦定理得ABsin∠ACB ＝BCsin∠CAB，所以BC＝30032×22＝1006，在△BCD中，因为BC＝1006，BD＝1503，∠CBD＝45°，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝37 500，所以CD ＝5015.所以目标C ，D 之间的距离为5015米．10．如图，在△ABC 中，已知BC ＝15，AB ∶AC ＝7∶8，sin B ＝437，求BC 边上的高AD .[解] 在△ABC 中，由已知设AB ＝7x ，AC ＝8x ，由正弦定理，得7x sin C ＝8xsin B ，∴sin C ＝78×437＝32，∴C ＝60°(C ＝120°舍去，否则由8x >7x ，知B 也为钝角，不符合要求)．由余弦定理，得(7x )2＝(8x )2＋152－2×8x ×15cos 60°， ∴x 2－8x ＋15＝0.∴x ＝3或x ＝5，∴AB ＝21或AB ＝35. 在△ABC 中，AD ＝AB sin B ＝437AB ， ∴AD ＝123或AD ＝20 3.[能力提升练]1．甲船在岛A 的正南B 处，以每小时4千米的速度向正北航行，AB ＝10千米，同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间为( )A.1507分钟 B.157分钟 C ．21.5分钟 D ．2.15小时A [如图，设t 小时后甲行驶到D 处，则AD ＝10－4t ，乙行驶到C 处，则AC ＝6t .∵∠BAC ＝120°，∴DC 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 120°＝(10－4t )2＋(6t )2－2×(10－4t )×6t ×cos 120°＝28t 2－20t ＋100＝28⎝ ⎛⎭⎪⎫t －5142＋6757.当t ＝514时，DC 2最小，即DC 最小，此时它们所航行的时间为514×60＝1507分钟．]2．如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两个观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD ＝120°，C ，D 两地相距500 m ，则电视塔AB 的高度是( )A ．100 2 mB ．400 mC ．200 3 mD ．500 mD [设AB ＝x ，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝45°，∴BC ＝AB ＝x .在Rt△ABD 中，∠ADB ＝30°，∴BD ＝3x .在△BCD 中，∠BCD ＝120°，CD ＝500 m ，由余弦定理得(3x )2＝x 2＋5002－2×500x cos 120°，解得x ＝500 m ．]3.如图所示，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2 min ，从D 沿着DC 走到C 用了3 min.若此人步行的速度为每分钟50 m ，则该扇形的半径为________m.507 [连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，∴OC ＝507.]4．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为________小时．1 [设A 地东北方向上存在点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中，PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40cos 45°，化简得x 2－402x ＋700＝0， |x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝400， |x 1－x 2|＝20，即图中的CD ＝20(千米)，故t ＝CD v ＝2020＝1(小时)．]5．如图，在△ABC 中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B ＝108，cos ∠ADC ＝－14.(1)求sin ∠BAD 的值； (2)求AC 边的长． [解] (1)因为cos B ＝108，所以sin B ＝368. 又cos ∠ADC ＝－14，所以sin ∠ADC ＝154.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B ＝154×108－⎝ ⎛⎭⎪⎫－14×368＝64. (2)在△ABD 中，由正弦定理，得AD sin B ＝BD sin ∠BAD ，即3368＝BD64，解得BD ＝2.故DC ＝2，从而在△ADC 中，由余弦定理，得AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC cos∠ADC＝32＋22－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝16，所以AC ＝4.。

苏教版高中数学必修五巩固练习_正弦定理、余弦定理的应用_基础

【巩固练习】一、选择题1．ABC ∆中，若060A =，4AC =，ABC S ∆=BC = （）A 、3B 、C 、4D 2．ABC ∆中，若2cos a b C =，则有（）A.B C >B.B C <C.B C =D.B 、C 大小不能确定3．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．12 B. 212C ．28D ．4．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．01505．（2014 新课标Ⅱ）钝角三角形ABC 的面积是21，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝（） A ． 5B ．5C ． 2D ．1 二、填空题6. 在ABC ∆中,已知222sin C a b c =+-,则C 的度数为 .7. 在ABC ∆中,已知12ac =，3ABC S ∆=，R =(其中R 为ABC ∆外接圆的半径), 则b = 。

8．(2014 福建)在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝32，则△ABC 的面积等于．9. (2014 广东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知bcosC ＋ccosB ＝2b ，则ba ＝． 10. ABC ∆中三边分别为a,b,c,且222,4ABC a b c S ∆+-=那么角C=11．锐角△ABC 的面积为BC ＝4，CA ＝3，则AB ＝________.12．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为________．三、解答题13．已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及S △．14. 在△ABC 中，若)sin()()sin()(2222B A b a B A b a +-=-+，请判断三角形的形状.15. 已知ABC ∆的三角内角A 、B 、C 有2B=A+C ，三边a 、b 、c 满足2b ac =. 求证：a c =.【答案与解析】1. 答案：D【解析】∵11sin sin 22ABC S bc A AB AC A ∆===，∴3AB =由余弦定理有2222cos 13BC AB AC AB AC A =+-⋅=，∴BC =2. 答案：C【解析】∵2cos a b C =，∴由正弦定理有sin 2sin cos A B C =，即0sin[180()]2sin cos B C B C -+=，整理得sin cos cos sin 0B C B C -= 即sin()0B C -=， ∴B C =3. 答案：D【解析】由余弦定理可得cos A ＝12，A ＝60°，∴S △ABC ＝12bc sin A＝故选D.4. 答案：B 【解析】设中间角为θ，则22200005871cos ,60,180601202582θθ+-===-=⨯⨯为所求 5. 答案：B【解析】∵钝角三角形ABC 的面积是21，AB ＝c ＝1，BC ＝a ＝2， ∴S ＝21acsinB ＝21，即sinB ＝22，当B 为钝角时，cosB ＝－B sin 12-＝－22，利用余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB •BC •cosB ＝1＋2＋2＝5，即AC ＝5，当B 为锐角时，cosB ＝B sin 12-＝22，利用余弦定理得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB •BC •cosB ＝1＋2－2＝1，即AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，即△ABC 为直角三角形，不合题意，舍去，则AC ＝5．故选：B ．6. 答案：030【解析】∵222sin C a b c =+-222cos 2a b c C C ab +-==，∴tan C =，∴030C =7. 答案：【解析】∵1sin 32ABC S ac B ∆==，∴1sin 2B =，∵2sin b R B=，∴2sin b R B == 8. 答案：32．【解析】∵△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝32，由正弦定理得：Bsin AC A sin BC =， ∴Bsin 460sin 32=︒，解得sinB ＝1， ∴B ＝90°，C ＝30°，∴△ABC 的面积＝.3230sin 43221=︒⨯⨯⨯ 故答案为：32．9. 答案：2【解析】将bcosC ＋ccosB ＝2b ，利用正弦定理化简得：sinBcosC ＋sinCcosB ＝2sinB ，即sin(B ＋C)＝2sinB ，∵sin(B ＋C)＝sinA ，∴sinA ＝2sinB ，利用正弦定理化简得：a ＝2b ，则b a ＝2．故答案为：210. 答案：45o 【解析】∵2221sin ,42ABC a b c S ab C ∆+-== ∴222sin ,2a b c C ab+-=即cos sin C C = ∴045C =11.【解析】由三角形面积公式得12×3×4·sin C ＝sin C . 又∵△ABC 为锐角三角形∴C ＝60°.根据余弦定理AB 2＝16＋9－2×4×3×12＝13.AB 12. 答案：45°【解析】a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，又已知a 2＋4S ＝b 2＋c 2，故S ＝12bc cos A ＝12bc sin A ，从而sin A ＝cos A ，tan A ＝1，A ＝45°.13. 【解析】b 2＝a 2＋c 2-2ac cos B ＝(33)2＋22-2·33·2·(-23)＝49． ∴ b ＝7，S △＝21ac sin B ＝21×33×2×21＝233．14. 【解析】22222222sin()sin cos sin ,sin()cos sin sin a b A B a A B A a b A B b A B B++===-- cos sin ,sin 2sin 2,222cos sin B A A B A B A B A Bπ===+=或2 ∴等腰三角形或直角三角形15【解析】∵2B A C =+且0180A B C ++=，∴060B =，0120A C +=， ∵2b ac =, ∴2sin sin sin B A C =⋅，即43sin sin =⋅C A ，又∵0120A C +=， ∴ 21sin sin cos cos )cos(-=-=+C A C A C A ，即 41cos cos =C A ， ∴14341sin sin cos cos )cos(=+=+=-C A C A C A ， ∵ 00180180A C -<-<, ∴0A C -=，即A C =，故a c =.。