高中数学第二讲证明不等式的基本方法三反证法与放缩法同步配套教学案新人教A版选修4_5

三 反证法与放缩法
对应学生用书P24 1．反证法
(1)反证法证明的定义：先假设要证明的命题不成立，从此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不成立，从而证明原命题成立．
(2)反证法证明不等式的一般步骤：①假设命题不成立；②依据假设推理论证；③推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立．
2．放缩法
(1)放缩法证明的定义：
证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．
(2)放缩法的理论依据有： ①不等式的传递性； ②等量加不等量为不等量；
③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．
对应学生用书P24
[例1] 已知求证：(1)f (1)＋f (3)－2f (2)＝2；
(2)|f (1)|，f |(2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2
.
[思路点拨] “不小于”的反面是“小于”，“至少有一个”的反面是“一个也没有”．
[证明] (1)f (1)＋f (3)－2f (2)
＝(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－2(4＋2p ＋q )＝2. (2)假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于1
2，
则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|<2.
而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥f (1)＋f (3)－2f (2)＝2矛盾， ∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于1
2
.
(1)反证法适用范围：凡涉及不等式为否定性命题，唯一性、存在性命题可考虑反证法．如证明中含“至多”，“至少”，“不能”等词语的不等式．
(2)注意事项：在对原命题进行否定时，应全面、准确，不能漏掉情况，反证法体现了“正难则反”的策略，在解题时要灵活应用．
1．实数a ，b ，c 不全为0的等价条件为( ) A ．a ，b ，c 均不为0 B ．a ，b ，c 中至多有一个为0 C ．a ，b ，c 中至少有一个为0 D ．a ，b ，c 中至少有一个不为0
解析：“不全为0”是对“全为0”的否定，与其等价的是“至少有一个不为0”． 答案：D
2．证明：三个互不相等的正数a ，b ，c 成等差数列，则a ，b ，c 不可能成等比数列． 证明：假设a ，b ，c 成等比数列，则b 2
＝ac . 又∵a ，b ，c 成等差数列
∴a ＝b －d ，c ＝b ＋d (其中d 公差)． ∴ac ＝b 2
＝(b －d )(b ＋d )．∴b 2
＝b 2
－d 2.
∴d 2
＝0，∴d ＝0.这与已知中a ，b ，c 互不相等矛盾． ∴假设不成立．∴a ，b ，c 不可能成等比数列．
3．已知函数y ＝f (x )在R 上是增函数，且f (a )＋f (－b )<f (b )＋f (－a )，求证：a <b . 证明：假设a <b 不成立，则a ＝b 或a >b .
当a ＝b 时，－a ＝－b 则有f (a )＝f (b )，f (－a )＝f (－b )，于是f (a )＋f (－b )＝f (b )
＋f (－a )与已知矛盾．
当a >b 时，－a <－b ，由函数y ＝f (x )的单调性可得f (a )>f (b )，f (－b )>f (－a )， 于是有f (a )＋f (－b )>f (b )＋f (－a )与已知矛盾．故假设不成立． ∴a <b .
[例2] 已知实数x ，y ，z 不全为零．求证：
x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>32
(x ＋y ＋z )．
[思路点拨] 解答本题可对根号内的式子进行配方后再用放缩法证明． [证明] x 2＋xy ＋y 2
＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋34y 2 ≥
⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋y 22 ＝|x ＋y
2|≥x ＋y
2
. 同理可得：y 2
＋yz ＋z 2
≥y ＋z
2
，
z 2＋zx ＋x 2≥z ＋x
2
，
由于x ，y ，z 不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，所以三式相加得：
x 2＋xy ＋y 2＋y 2＋yz ＋z 2＋z 2＋zx ＋x 2>⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫y ＋z 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋x 2＝3
2
(x ＋y ＋z )．
(1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，审慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败．
(2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换以较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的．
4．设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1
2n ＜1.
证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1
n
. 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1
n ；
当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1
n ；
…
当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1
n ，
∴将以上n 个不等式相加得： 12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n
＝1. 5．设f (x )＝x 2
－x ＋13，a ，b ∈[0,1]，求证： |f (a )－f (b )|<|a －b |.
证明：|f (a )－f (b )|＝|a 2
－a －b 2
＋b | ＝|(a －b )(a ＋b －1)|＝|a －b ||a ＋b －1| ∵0≤a ≤1,0≤b ≤1 ∴0≤a ＋b ≤2， －1≤a ＋b －1≤1，|a ＋b －1|≤1. ∴|f (a )－f (b )|≤|a －b |.
对应学生用书P25
1．如果两个正整数之积为偶数，则这两个数( ) A ．两个都是偶数
B ．一个是奇数，一个是偶数
C ．至少一个是偶数
D ．恰有一个是偶数
解析：假设这两个数都是奇数，则这两个数的积也是奇数，这与已知矛盾，所以这两个
数至少一个为偶数．
答案：C
2．设x ＞0，y ＞0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y
2＋y
，则M ，N 的大小关系为( )
A ．M ＞N
B ．M ＜N
C ．M ＝N
D ．不确定
解析：N ＝x 2＋x ＋y 2＋y ＞x 2＋x ＋y ＋y 2＋x ＋y ＝x ＋y
2＋x ＋y
＝M .
答案：B
3．设a ，b ，c 是正数，P ＝a ＋b －c ，Q ＝b ＋c －a ，R ＝c ＋a －b ，则“P ·Q ·R ＞0”是“P ，Q ，R 同时大于零”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：必要性显然成立．充分性：若P ·Q ·R ＞0，则P ，Q ，R 同时大于零或其中有两个负的，不妨设P ＜0，Q ＜0，R ＞0.因为P ＜0，Q ＜0.
即a ＋b ＜c ，b ＋c ＜a .所以a ＋b ＋b ＋c ＜c ＋a . 所以b ＜0，与b ＞0矛盾，故充分性成立． 答案：C
4．对“a ，b ，c 是不全相等的正数”，给出下列判断： ①(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
≠0； ②a >b 与a <b 及a ≠c 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立． 其中判断正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个
D ．3个
解析：对①，若(a －b )2
＋(b －c )2
＋(c －a )2
＝0，则a ＝b ＝c ，与已知矛盾；故①对； 对②，当a >b 与a <b 及a ≠c 都不成立时，有a ＝b ＝c ，不符合题意，故②对；对③，显然不正确．
答案：C
5．若要证明“a ，b 至少有一个为正数”，用反证法的反设应为________．
答案：a ，b 中没有任何一个为正数(或a ≤0且b ≤0) 6．lg9·lg11与1的大小关系是________． 解析：∵lg 9＞0，lg 11＞0.
∴lg 9·lg 11＜lg 9＋lg 112＝lg 992＜lg 100
2＝1.
∴lg 9·lg 11＜1. 答案：lg 9·lg 11＜1 7．完成反证法整体的全过程．
题目：设a 1，a 2，…，a 7是1,2,3，……，7的一个排列， 求证：乘积p ＝(a 1－1)(a 2－2)…(a 7－7)为偶数． 证明：反设p 为奇数，则________________均为奇数． ①
因奇数个奇数的和还是奇数，所以有 奇数＝________________________ ② ＝________________________
③ ＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数．
解析：反设p 为奇数，则(a 1－1)，(a 2－2)，…，(a 7－7)均为奇数． 因为奇数个奇数的和还是奇数，所以有 奇数＝(a 1－1)＋(a 2－2)＋…＋(a 7－7) ＝(a 1＋a 2＋…＋a 7)－(1＋2＋3＋…＋7) ＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p 为偶数． 答案：(a 1－1)，(a 2－2)，...，(a 7－7) (a 1－1)＋(a 2－2)＋...＋(a 7－7) (a 1＋a 2＋...＋a 7)－(1＋2＋3＋ (7)
8．实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，且ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．
证明：假设a ，b ，c ，d 都是非负数． 由a ＋b ＝c ＋d ＝1知：a ，b ，c ，d ∈[0,1]． 从而ac ≤ac ≤
a ＋c
2
，bd ≤bd ≤
b ＋d
2
.
∴ac ＋bd ≤
a ＋c ＋
b ＋d
2
＝1.即ac ＋bd ≤1.与已知ac ＋bd >1矛盾，∴a ，b ，c ，d 中至少
有一个是负数．
9．求证：112＋122＋132＋…＋1
n 2<2.
证明：因为1
n <
1n
n －
＝
1n －1－1n
， 所以112＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋
1n －n
＝1＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )
＝2－1
n
<2.
10．证明抛物线x ＝y 2
上，不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．
证明：假设抛物线x ＝y 2
上存在两点A (a 2
，a )B (b 2
，b )(a ≠b )关于直线x ＋y ＋1＝0对称．
由k AB ＝1，且A 、B 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2
2
，a ＋b 2在直线x ＋y ＋1＝0上． 即⎩⎪⎨⎪⎧
a －
b a 2
－b 2
＝1， ①
a 2
＋b 2
2＋a ＋b 2＋1＝0. ②
由①得a ＋b ＝1，代入②得
a 2＋
b 22
＋3
2
＝0.
此方程无解，说明假设不成立．
∴抛物线x ＝y 2
上不存在关于直线x ＋y ＋1＝0对称的两点．。