高中数学3.2导数在实际问题中的应用同步精练北师大版选修2_2【含答案】
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.2导数在实际问题中的应用3.2.1
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/9
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(3)在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函 数称为边际成本,边际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增 加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位的产量,需要增加f'(x0) 个单位的成本.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
【变式训练】 假设某国家在20年间通货膨胀率为5%,物价p(单
高中数学第三章导数应用2导数在实际问题中的应用例题与探究北师大选修2-2讲解
高中数学 第三章 导数应用 2 导数在实际问题中的应用例题与探究北师大版选修2-2高手支招3综合探究1.利用导数解决优化问题的方法和基本思路方法:通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型,再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有利的工具.基本思路:建立数学模型.2.最值和极值的区别与联系(1)最值是个整体概念,而极值是个局部概念;(2)从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的,而极值不一定唯一;(3)极值只能在定义域内部取得,而最值却可以在区间的端点处取得,有极值时未必有最值,有最值时未必有极值;极值有可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值.3.求二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值的步骤可按以下步骤:(1)求出二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)的导数f′(x)=2ax+b;(2)讨论二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是否有极值点,即方程f′(x)=0的根x=ab 2-是否在区间(m,n)内,确定二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值或最小值: ①若方程f′(x)=0的根x=a b 2-在区间(m,n)内,即m ＜a b 2-＜n,此时f(a b 2-)必为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内的最大值或最小值,再求出f(m),f(n)的值,f(ab 2-),f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值; ②若方程f′(x)=0的根x=a b 2-不在区间(m,n)内,即m≥a b 2-或n≤a b 2-时,此时二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间(m,n)内是单调函数,只需求出f(m),f(n)的值,f(m),f(n)中最大者和最小者分别为二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a≠0)在区间[m,n]上的最大值和最小值.高手支招4典例精析【例1】 当x∈(1,2)时,函数f(x)=12-x x 恒大于正数a,试求函数y=lg(a 2-a+3)的最小值. 思路分析:欲求y=lg(a 2-a+3)的最小值,则应知a 2-a+3的最小值,于是必须确定a 的取值范围,即必须先求函数f(x)= 12-x x 的最小值. 解:y′=(12-x x )′=222)12(1)12(212)12()12()12(--=---=-'---'x x x x x x x x x ,当x∈(1,2)时,y′＜0,∴f(x)在(1,2)上单调递减,于是f(x)min =f(2)=32. 由题意知a 的取值范围是a ＜32. ∴y=lg(a 2-a+3)=lg ［(a 21)2+411］,故当a=21时,y min =lg 411. 【例2】 已知A 、B 两地相距200千米,一只船从A 地逆水到B 地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v 千米/时(8＜v≤v 0).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12千米/时时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少? 思路分析:燃料费最省,实质是求函数的最小值.解:设每小时的燃料费为y 1,比例系数为k(k ＞0),则y 1=kv 2,当v=12时,y 1=720,∴720=k·122,得k=5.设全程燃料费为y,由题意y=y 1·8100082002-=-v v v , ∴y′=2222)8(16001000)8(1000)8(2000--=---v v v v v v v . 令y′=0,∴v=16.∴当v≥16时,船的实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省; 当v ＜16且实际速度∈(8,v］时,y′＜0,即y 在(8,v ］上为减函数,∴当实际速度为v ＜16时,y min =810002-v v . 综上,当v≥16时,实际速度为16千米/时时,全程燃料费最省,为32 000元;当v ＜16时,则实际速度为v 时,全程燃料费最省,为810002-v v . 【例3】(2006福建高考，文21)已知f(x)是二次函数,不等式f(x)＜0的解集是(0,5)且f(x)在区间［-1,4］上的最大值是12.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在实数m,使得方程f(x)+x37=0在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在,求出m 的取值范围;若不存在,说明理由.思路分析:本题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识,考查运用导数研究函数性质的方法,考查运算能力,考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力.解:(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)＜0的解集是(0,5),∴不妨设f(x)=ax(x-5)(a ＞0).f(x)的对称轴为x=2.5,经比较可知,-1和4当中-1离2.5较远，∴f(x)在区间［-1,4］上的最大值12在x=-1处取得,f(-1)=6a=12,∴a=2,∴f(x)=2x(x -5)=2x 2-10x(x∈R )。
北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>，若()()1F x f x x=+，则函数()F x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．0或22．已知函数()32f x x bx cx =++的图象如图所示，则2212x x +等于（ ）A ．23B ．43C ．83D ．1633．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f <<C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<4．直线()0x a a =>分别与曲线21y x =+，ln y x x =+相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（） A ．1B ．2C 2D 35．已知函数()3ln f x x x =-与()3g x x ax =-的图像上存在关于x 轴的对称点,则实数a 的取值范围为( ) A ．()e -∞， B ．1e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．(]e -∞， D ．1e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，6．已知函数1()ln xf x x ax -=+，若函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．(01]，C ．()1,+∞D ．[1,)+∞7．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 1b <-或2b >B ．1,b ≤-或b 2≥ C ．12b -<< D ．12b -≤≤8．若1201x x ，则（ ）A ．2121ln ln x xe e x x ->- B ．2121ln ln x x ee x x -<-C ．1221xxx e x e > D ．1221xxx e x e <9．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．函数()21ln 2f x x x =-在区间()0,2上的最大值为（ ） A ．12-B ．0C ．12D ．无最大值12．已知函数()2x f x e =+，2()21g x x x =-+，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得*122-1122-1()()()()+()()()()()+(),N n n n n n n f x f x f x g x g x g x g x g x f x f x n --++++=++++∈成立，则n 的最大值为（ ）（注：=2.71828e 为自然对数的底数）A ．9B ．8C ．7D ．6二、填空题13．已知函数()()21,0e ,0x x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，则实数m 的取值范围为______．14．函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，6f π⎛⎫=⎪⎝⎭()f x '，且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立，则不等式()f x >的解集为_____________.15．若函数()21ln 2f x x b x ax =++在()1,2上存在两个极值点，则()39b a b ++的取值范围是_______.16．已知关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，则k 的取值范围是___________．17．若函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则实数a 的取值范围是______.18．若函数()2xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是______.19．已知函数()1ln f x x a x x=-+，存在不相等的常数m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为____________.20．已知函数()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=-⎪⎝⎭有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________. 三、解答题21．已知函数()2f x x ax b =++，不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-．（1）求函数()f x 的解析式； （2）求方程()4ln f x x x =根的个数． 22．已知函数()3213f x x ax bx ab =-+++． （1）若()f x 是奇函数，且有三个零点，求b 的取值范围； （2）若()f x 在1x =处有极大值223-，求当[]1,2x ∈-时()f x 的值域． 23．已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-；（1）若12a <≤，求函数()f x 的单调递减区间； （2）求证：若15a <<，则对任意的120x x >>，有1212()()1f x f x x x ->--．24．已知函数()321f x x bx cx =++-的图象在()()1,1f 处的切线经过点()2,4，且()f x 的一个极值点为-1.（1）求()f x 的极值；（2）已知方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根，求m 的取值范围. 25．已知函数32()4f x x ax =-+-. （I ）若4()3f x x =在处取得极值，求实数a 的值； （II ）在（I ）的条件下，若关于x 的方程()[1,1]f x m =-在上恰有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.26．已知函数()ln 1f x ax x =++． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）对任意的0x >，不等式()xf x e ≤恒成立，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A 解析：A 【分析】利用导数分析出函数()()1g x xf x =+在区间(),0-∞和()0,∞+上的单调性，由此可判断出函数()()1g x xf x =+的函数值符号，由此可求得函数()y F x =的零点个数. 【详解】构造函数()()1g x xf x =+，其中0x ≠，则()()()g x f x xf x ''=+， 当0x ≠时，()()()()0'+'+=>f x xf x f x f x x x. 当0x <时，()()()0g x f x xf x =+'<'，此时，函数()y g x =单调递减，则()()01g x g >=；当0x >时，()()()0g x f x xf x ''=+>，此时，函数()y g x =单调递增，则()()01g x g >=.所以，当0x <时，()()()110xf x F x f x x x+=+=<；当0x >时，()()()110xf x F x f x x x+=+=>. 综上所述，函数()y F x =的零点个数为0. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，构造函数()()1g x xf x =+是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2．C解析：C 【分析】先利用函数的零点，计算b 、c 的值，确定函数解析式，再利用函数的极值点为x ，xz ，利用导数和一元二次方程根与系数的关系计算所求值即可 【详解】由图可知，()0f x =的3个根为0,1,2，()()110,28420f b c f b c ∴=++==++=，解得3,2b c =-=，又由图可知，12,x x 为函数f (x )的两个极值点，()23620f x x x ∴=-+='的两个根为12,x x ，121222,3x x x x ∴+==，()222121212482433x x x x x x ∴+=+-=-=， 故选：C 【点睛】本题主要考查了导数在函数极值中的应用，一元二次方程根与系数的关系，整体代入求值的思想方法.3．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减， 因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32aa <<<，所以2(log )(3)(2)af a f f <<，故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.4．B解析：B 【分析】设A （a ，2 a+1），B （a ，a+lna ），求出|AB |，利用导数求出|AB |的最小值． 【详解】设A （a ，2a+1），B （a ，a+lna ），∴|AB |＝211a a lna a lna +-+=+-（）， 令y 1x lnx =+-，则y ′=11x-，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴x ＝1时，函数y 的最小值为20>，∴|AB |＝2111a a lna a lna a lna +-+=+-=+-（），其最小值为2.故选B ． 【点睛】本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力及转化思想，利用求导得到函数的单调性进而求得最值是关键．5．B解析：B 【分析】由题中对称知f （x ）＝﹣g （x ）有解，即lnx a x =在（0，+∞）有解，令()lnxh x x=，求函数导数，分析单调性可得值域，进而可得解. 【详解】函数f （x ）＝lnx ﹣x 3与g （x ）＝x 3﹣ax 的图象上存在关于x 轴的对称点， ∴f （x ）＝﹣g （x ）有解， ∴lnx ﹣x 3＝﹣x 3+ax ，∴lnx ＝ax ，即lnxa x=在（0，+∞）有解， 令()lnx h x x =，则()1'lnxh x x-=. 当()()()0,,0,?x e h x h x >'∈单调递增； ()()(),,0?x e h x h x ∈+'∞<，单调递减.()()1max h x h e e==，且()0,x h x →→-∞，所以1a e≤. 故选B. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，涉及函数对称的处理，考查了计算能力，属于中档题.6．D解析：D 【分析】根据函数1()ln xf x x ax-=+，求导得到()'f x ，然后根据函数()f x 在[1,)+∞上为增函数，转化为()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立求解.【详解】函数1()ln xf x x ax-=+， ()2211()aax f x x ax ax --'=+=， 因为函数()f x 在[1,)+∞上为增函数， 所以()0f x '≥在[1,)+∞上恒成立， 又0a >，所以 10ax -≥在[1,)+∞上恒成立，即1a x ≥在[1,)+∞上恒成立， 令()()max 11g x g x x==，，所以1a ≥， 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.8．C解析：C 【分析】令()x e f x x=，(01)x <<，()()ln 01xg x e x x =-<<，求出函数的导数，通过讨论x的范围，求出函数的单调区间，从而判断结论. 【详解】令()x e f x x =，(01)x <<，则2(1)()0x e x f x x-'=<， 故()f x 在(0,1)递减，若1201x x ，则12()()f x f x >，故1212x x e e x x >，即1221x xx e x e >，故C 正确，D 不正确； 令()()ln 01xg x e x x =-<<，则11()x xxe g x e x x-'=-=，令()1xh x xe =-，可知()h x 在()0,1单调递增，且(0)10,(1)10h h e =-<=->，则存在()00,1x ∈，使得0()0h x =， 则当()00,x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 在()00,x 单调递减， 当()0,1x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 在()0,1x 单调递增， 所以()g x 在()0,1不单调，故A ，B 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题.9．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<， 则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．A解析：A 【分析】利用导数分析函数()f x 在区间()0,2上的单调性，由此可求得该函数在区间()0,2上的最大值. 【详解】()21ln 2f x x x =-，()211x f x x x x-'∴=-=.当01x <<时，()0f x '>，此时，函数()f x 单调递增； 当12x <<时，()0f x '<，此时，函数()f x 单调递减. 所以，当()0,2x ∈时，()()max 112f x f ==-. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数()f x 在区间[],a b 上单调，则()f a 与f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数()f x 在区间[],a b 内有极值，则要求先求出函数()f x 在区间[],a b 上的极值，再与()f a 、f b 比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.12．D解析：D 【分析】构造函数()()()h x f x g x =-，利用导数研究函数的单调性，求出函数的值域即可求解. 【详解】由122-1()()()()+()n n n f x f x f x g x g x -++++*122-1()()()()+(),N n n n g x g x g x f x f x n -=++++∈，变形为：()()()()()()112222n n f x g x f x g x f x g x ---+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()11n n n n f x g x f x g x --=-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，设()()()h x f x g x =-，则()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，()()()()2222121x x h x f x g x e x x e x x =-=+--+=-++，()22'=-+x h x e x ，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以[]0,1x ∈时，()h x 单调递增，()22h x e ∴≤≤+，()()()122n h x h x h x -∴++的值域为()()()22,22n e n -+-⎡⎤⎣⎦，若存在123,,,[0,1]n x x x x ∈，使得()()()()()1122n n n h x h x h x h x h x --+=+++，则()42224n e ≤-≤+，44n e ∴≤≤+，且n *∈N ，n ∴的最大值为6.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究函数方程的根，解题的关键是构造函数()()()h x f x g x =-，考查了运算能力、分析能力. 二、填空题13．【分析】转化为函数的图象与直线恰有2个交点作出函数的图象利用图象可得结果【详解】因为函数恰好有2个零点所以函数的图象与直线恰有2个交点当时当时所以函数在上为增函数函数的图象如图：由图可知故答案为：【 解析：34m >【分析】转化为函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点，作出函数的图象，利用图象可得结果. 【详解】因为函数()()g x f x x m =--恰好有2个零点，所以函数()y f x x =-的图象与直线y m =恰有2个交点， 当0x ≤时，22133()1()244y f x x x x ==++=++≥， 当0x >时，()xy f x x e x =-=-，10xy e '=->，所以函数()xy f x x e x =-=-在(0,)+∞上为增函数，函数()y f x x =-的图象如图：由图可知，34m >. 故答案为：34m > 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14．【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解：构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调解析：,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】 构造函数()()sin f x g x x=，再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】 解：()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->，构造函数()()sin f x g x x=， 则()()()2sin cos f x x f x xg x sin x'-'=，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>， ()g x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，∴不等式()f x x >，即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>==即()6x g g π⎛>⎫⎪⎝⎭， 26x ππ∴<<故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题.15．【分析】先求导设把问题转化为在上存在两个零点设为且再利用韦达定理求解代入整理利用二次函数求取值范围即可【详解】因为所以设因为函数在上存在两个极值点所以在上存在两个零点所以在上存在两个零点设为且所以根解析：814,16⎛⎫⎪⎝⎭【分析】先求导，设()2g x x ax b =++，把问题转化为()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠，再利用韦达定理求解，代入()39b a b ++，整理利用二次函数求取值范围即可. 【详解】 因为()()21ln 02f x x b x ax x =++>， 所以()2b x ax bf x x a x x++'=++=，设()2g x x ax b =++，因为函数()f x 在()1,2上存在两个极值点，所以()f x '在()1,2上存在两个零点，所以()g x 在()1,2上存在两个零点，设为12,x x 且12x x ≠， 所以根据韦达定理有：1212x x ax x b+=-⎧⎨⋅=⎩，故()23939b a b b ab b ++=++()()21212121239x x x x x x x x =⋅-⋅++⋅()()22112233x x x x =--，因为()11,2x ∈，所以221113993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭， 222223993,2244x x x ⎛⎫⎡⎫-=--∈-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，由于12x x ≠， 所以()()22112281334,16x x xx ⎛⎫--∈ ⎪⎝⎭.故答案为：814,16⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】思路点睛：利用导数研究函数的极值问题.把函数在区间存在两个极值点的问题转化为导函数在区间内存在两个零点，利用韦达定理得到参数和系数的关系，最后利用二次函数求取值范围.16．【分析】把关于x 的方程有2个不相等的实数根转化为与函数的图象有两个不同的交点利用导数求得函数的单调性与极值即可求解【详解】由题意关于x 的方程有2个不相等的实数根即函数与函数的图象有两个不同的交点设则 解析：(22ln 2,)-+∞【分析】把关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根，转化为y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数()2xf x e x =-的单调性与极值，即可求解. 【详解】由题意，关于x 的方程20--=x e x k 有2个不相等的实数根， 即函数y k =与函数2xy e x =-的图象有两个不同的交点，设()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，令()20xf x e '=-=，解得ln 2x =，所以函数的减区间为(,ln 2)-∞，增区间为(ln 2,)+∞，所以函数()f x 的最小值为(ln 2)22ln 2f =-，且当x →-∞时，()f x →+∞，当x →∞时，()f x →+∞， 要使得2x e x k -=有2个不相等的实数根，所以22ln2k >-． 即实数k 的取值范围是(22ln 2,)-+∞. 故答案为：(22ln 2,)-+∞. 【点睛】本题主要考查了利用导数研究方程的根，其中解答中把方程根的个数转化为两个函数的图象的交点的个数，利用导数求得函数的单调性与极值是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算与求解能力.17．或【分析】首先求出函数的导函数当时可得在定义域上单调递减再根据零点存在性定理可得在上存在唯一的零点当时由导数可得函数的单调性及最小值为令利用导数说明的单调性即可求出参数的值；【详解】解：因为定义域为解析：0a ≤或1a = 【分析】首先求出函数的导函数，当0a ≤时，可得()f x 在定义域上单调递减，再根据零点存在性定理可得()f x 在()0,1上存在唯一的零点，当0a >时，由导数可得函数()f x 的单调性及最小值为()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+-⎪⎝⎭，令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞利用导数说明()g a 的单调性，即可求出参数a 的值； 【详解】解：因为()()2212ln 1f x ax a x x =+---，定义域为()0,∞+，所以()()()()()222122112221ax a x ax x f x ax a x x x+---+'=+--== 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，即()f x 在定义域上单调递减，()()1310f a =-<，当0x +→时，20ax →，()210a x -→，2ln x -→+∞，所以()f x →+∞，所以()f x 在()0,1上存在唯一的零点，满足条件； 当0a >时，令()()()2110ax x f x x-+'=>，解得1x a >即函数在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，令()()()2110ax x f x x -+'=<，解得10x a <<即函数在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则()f x 在1x a =取值极小值即最小值，()min 1112ln f x f a a a ⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 令()112ln g a a a =+-，()0,a ∈+∞，则()2221210a g a a a a+'=+=>恒成立，即()112ln g a a a=+-在定义域上单调递增，且()112ln110g =+-=，所以要使函数()()2212ln 1f x ax a x x =+---只有一个零点，则()min 1112ln 0f x f a a a ⎛⎫==+-= ⎪⎝⎭，解得1a =，综上可得0a ≤或1a =； 故答案为：0a ≤或1a = 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查分类讨论思想，属于中档题.18．【分析】求导函数求出函数的极值利用函数恰有三个零点即可求实数的取值范围【详解】解：函数的导数为令则或可得函数在上单调递减和上单调递增或是函数的极值点函数的极值为：函数恰有三个零点则实数的取值范围是：解析：240,e ⎛⎫⎪⎝⎭【分析】求导函数，求出函数的极值，利用函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，即可求实数a 的取值范围． 【详解】解：函数2xy x e =的导数为22(2)x x x y xe x e xe x '=+=+，令0y '=，则0x =或2-，可得函数在()2,0-上单调递减，(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增， 0∴或2-是函数y 的极值点，函数的极值为：(0)0f =，224(2)4f e e --==． 函数2()xf x x e a =-恰有三个零点，则实数a 的取值范围是：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．19．【分析】求出由已知可得为的两根求出关系并将用表示从而把表示为关于的函数设为利用的单调性即可求解【详解】因为的定义域为令即因为存在使得且即在上有两个不相等的实数根且所以∴令则当时恒成立所以在上单调递减解析：4e【分析】求出()f x '，由已知可得,m n 为()0f x '=的两根，求出,,m n a 关系，并将,n a 用m 表示，从而把()()f m f n -表示为关于m 的函数设为()h m ，利用()h m 的单调性，即可求解. 【详解】 因为()1ln f x x a x x=-+的定义域为()0,∞+， ()22211'1a x ax x x xf x ++=++=， 令()'0f x =，即210x ax ++=，()0,x ∈+∞，因为存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即210x ax ++=在()0,x ∈+∞上有两个不相等的实数根m ，n ， 且m n a +=-，1⋅=m n ，所以1n m =，1a m m=--， ∴()()11111ln ln f m f m m m m m m m m m m n ⎛⎫⎛⎫=-+---+--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 11l 2n m m m m m ⎡⎤⎛⎫---+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=，令()112ln h m m m m m m ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 则()()()22211121ln l 'n m m m m h m m m -+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 当10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0h m <恒成立， 所以()h m 在10,m e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14h m h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e. 故答案为：4e. 【点睛】本题考查最值问题、根与系数关系、函数的单调性，应用导数是解题的关键，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.20．【分析】对函数进行求导得则方程在时有两个根利用导数研究函数的值域即可得答案；【详解】在时有两个根令令当时当时在单调递增在单调递减且当时当时与要有两个交点故答案为：【点睛】本题考查利用导数研究函数的值解析：01a <<【分析】对函数进行求导得()1f x lnx ax '=+-，则方程ln 1x a x+=在0x >时有两个根，利用导数研究函数ln 1()x g x x+=的值域，即可得答案； 【详解】()1ln 2f x x x ax ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1f x lnx ax '=+-．∴ln 1x a x+=在0x >时有两个根， 令ln 1()x g x x+=， 令()1g x lnx ax =+-，'221(ln 1)ln ()x x x x g x x x ⋅-+==-当01x <<时，'()0g x >，当1x >时，'()0g x <，∴()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减，且(1)1g =，当x →+∞时，()0g x →，当0x →时，()g x →-∞，y a =与()y g x =要有两个交点，∴01a <<故答案为：01a <<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.三、解答题21．（1）()223f x x x =--；（2）有且只有一个根.【分析】（1）根据不等式的解集与方程根的对应关系，列出关于,a b 的方程组，从而求解出,a b 的值，则()f x 的解析式可求； （2）将问题转化为求方程34ln 20x x x---=根的数目，构造新函数()34ln 2g x x x x=---，利用导数分析()g x 的单调性和极值，由此判断出()g x 的零点个数，从而方程()4ln f x x x =根的个数可确定.【详解】解：（1）∵不等式()0f x ≤的解集为[]1,3-， ∴20x ax b ++=的两个根分别为1-和3．∴()()1313a b ⎧-=-+⎪⎨=-⨯⎪⎩．即2a =-，3b =-，故函数()f x 的解析式为()223f x x x =--．（2）由（1），设()22334ln 4ln 2x x g x x x x x x--=-=---，∴()g x 的定义域为()0,∞+，()()()2213341x x g x x x x--'=+-=， 令()0g x '=，得11x =，23x =．当x 变化时，()g x '，()g x 的取值变化情况如下表：当03x <≤时，140g x g ≤=-<， 当3x >时，()55553ee 202212290eg =--->--=>． 又因为()g x 在()3,+∞上单调递增，因而()g x 在()3,+∞上只有1个零点， 故()g x 仅有1个零点．即方程()4ln f x x x =有且只有一个根． 【点睛】思路点睛：利用导数分析方程根的个数的思路： （1）将方程根的个数问题转化为函数零点的个数问题；（2）将原方程变形，构造新函数，分析新函数的单调性、极值、最值；（3）根据新函数的单调性、极值、最值得到新函数的零点个数，则方程根的个数可确定. 22．（1）()0,∞+；（2）5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）先由函数奇偶性，得到0a =，得出()313f x x bx =-+，对其求导，分别讨论0b ≤和0b >两种情况，根据导数的方法判定函数单调性，结合零点个数，即可求出结果；（2）先对函数求导，根据极大值求出2,5.a b =-⎧⎨=⎩，根据函数单调性，即可求出值域.【详解】（1）∵()f x 是定义域为R 的奇函数，所以0a =，且()00f =． ∴()313f x x bx =-+， ∴()2f x x b '=-+．当0b ≤时，()20f x x b '=-+≤，此时()f x 在R 上单调递减，()f x 在R 上只有一个零点，不合题意．当0b >时，()20f x x b '=-+>，解得x <<∴()f x 在(,-∞，)+∞上单调递减，在(上单调递增，∵()f x 在R 上有三个零点，∴0f >且(0f <，即3103f=-+>，即0>，而0>恒成立，∴0b >． 所以实数b 的取值范围为()0,∞+． （2）()22f x x ax b '=-++，由已知可得()1120f a b '=-++=，且()122133f a b ab =-+++=-， 解得2,3,a b =⎧⎨=-⎩或2,5.a b =-⎧⎨=⎩当2a =，3b =-时，()3212363f x x x x =-+--，()243f x x x '=-+-，令()0f x '≥，即2430x x -+-≥，解得13x ≤≤， 令()0f x '<，即2430x x -+-<，解得1x <或3x >，即函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,3上单调递增，在()3,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极小值点，与题意不符． 当2a =-，5b =时，()32125103f x x x x =--+-，()245f x x x '=--+． 令()0f x '≥，即2450x x --+≥，解得51x -≤≤； 令()0f x '<，即2450x x --+<，解得5x <-或1x >，即函数()f x 在(),5-∞-上单调递减，在()5,1-上单调递增，在()1,+∞上单调递减； 所以1x =是()f x 的极大值点，符合题意，故2a =-，5b =． 又∵[]1,2x ∈-，∴()f x 在[]1,1-上单调递增，在[]1,2上单调递减． 又()5013f '-=-，()2213f =-，()3223f =-． 所以()f x 在[]1,2-上的值域为5022,33⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．【点睛】 思路点睛：导数的方法求函数零点的一般步骤：先对函数求导，由导数的方法求出函数的单调性区间，根据函数极值的定义，求出函数的的极值，再根据函数函数的零点个数，确定极值的取值情况，进而可得出结果. 23．（1）{}|11x a x -<<；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出()f x 的导函数，根据12a <≤可得到单调递减区间； （2）令21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，判断出单调性，利用12()()g x g x >可得答案.【详解】 （1）21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-的定义域为(0+)∞，， [](1)(1)1()x x a a f x x a x x----'=-+=， 因为12a <≤，所以011a <-≤，当11a -=即2a =时，()f x 在(0+)∞，单调递增， 当011a <-<时，即02a <<，令()0f x '<得11a x -<<，所以()f x 单调递减， 单调递减区间为{}|11x a x -<<， 综上所述，2a =时，()f x 无单调递减区间； 02a <<时， ()f x 单调递减区间为{}|11x a x -<<. （2）设21()()(1)ln 2g x f x x x ax a x x =+=-+-+()0x >，则 21(1)1()1a x a x a g x x a x x-+-+-'=-++=， 令2()(1)1M x x a x a =+-+-，所以2(1)4(1)(1)(5)a a a a ∆=---=--， 因为15a <<，所以(1)(5)0a a ∆=--<，所以()0M x >，即()0g x '>，所以()g x 在(0+)∞，上单调递增， 对任意的120x x >>，有12()()g x g x >，即1122()()f x x f x x +>+，1212()()()f x f x x x ->--，所以1212()()1f x f x x x ->--.【点睛】利用导数()0f x '<求得函数的单调递减区间，利用导数()0f x '>求得函数的单调递增区间.24．（1）()0f x =极大值，()3227f x -=极小值.（2）(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）首先求出函数的导函数，求出函数在()()1,1f 处的切线方程，由点()2,4过切线，即可得到321b c +=，再由函数的一个极值点为1-则()'1320f b c -=-+=，即可求出函数解析式，最后利用导数求出函数的极值；（2）依题意可得函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点，结合函数图象，即可得解； 【详解】解：（1）∵()2'32f x x bx c =++，∴()'132f b c =++，∴()f x 的图象在()()1,1f 处的切线方程为()()()321y b c b c x -+=++-. ∵该切线经过点()2,4，∴()()()43221b c b c -+=++-，即321b c +=①. 又∵()f x 的一个极值点为-1，∴()'1320f b c -=-+=②. 由①②可知1b =，1c =-，故()321f x x x x =+--.()2'321f x x x =+-，令()'0f x =，得1x =-或13x =.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：故()()10f x f =-=极大值，()327f x f ⎛⎫==-⎪⎝⎭极小值. （2）∵方程()0f x m -=在[]22-,上恰有一个实数根， ∴函数()y f x =的图象与直线y m =在[]22-,上恰有一个交点.∵()23f -=-，()29f =， 结合函数()f x 的图象，∴(]323,0,927m ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，函数与方程思想，数形结合思想的应用，属于中档题. 25．（I ）2a =；（II ）(4,3]--． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求导数，把43x =代入导函数为零可得关于a 的方程，解之可得实数a 的值，检验是否有极值即可；（Ⅱ）求()'f x ，利用导数研究函数的单调性，结合其变化规律可得函数的极值，数形结合可得答案. 试题 （I ）由题意得，经检验满足条件（II ）由（I ）知令（舍去） 当x 变化时，的变化情况如下表：x－1(－1,0) 0 （0，1） 1－ 0 +－1↘－4↗－3∵关于x 的方程上恰有两个不同的实数根∴实数m 的取值范围是26．（1）答案见解析；（2）{}1a a e ≤-． 【分析】（1）分类讨论0a ≥，0a <两种情况，利用导数得出函数()f x 的单调性；（2）分类参数得出ln 1x e x a x --≤在(0,)+∞恒成立，利用导数得出ln 1()x e x g x x--=的最小值，即可得出实数a 的取值范围． 【详解】（1）定义域为(0,)+∞，11()ax f x a x x+'=+= ①若0a ≥，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞单调递增②若0a <，则1()a x a f x x⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=1()00f x x a '>⇒<<-，1()0f x x a'<⇒>-()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减综上知①0a ≥，()f x 在(0,)+∞单调递增，②0a <，()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增，1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递减 （2）不等式ln 1xax x e ++≤恒成立，等价于ln 1x e x a x--≤在(0,)+∞恒成立令ln 1()x e x g x x --=，0x >，则2(1)ln ()x x e xg x x-+'=令()(1)ln xh x x e x =-+，0x >，1()0xh x xe x'=+>． 所以()y h x =在(0,)+∞单调递增，而(1)0h =所以(0,1)x ∈时，()0h x <，即()0g x '<，()y g x =单调递减；(1,)x ∈+∞时，()0h x >，即()0g x '>，()y g x =单调递增所以在1x =处()y g x =取得最小值(1)1g e =-，所以1a e -≤ 即实数a 的取值范围是{}1a a e ≤- 【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.。
北师大版高中数学选修2-2同步练测：第三章3.2导数在实际问题中的应用(含解析)
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3.2 导数在实际问题中的应用（选修2-2北师大版）一、选择题（本题共2小题，每小题7分，共14分） 1.在底面直径和高均为a 的圆锥内作一内接圆柱，则该内接圆柱的最大侧面积为（ ） A.2πa B.2π4a C.2π3a D.2π2a2.已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥体积最大时,它的高为（ ）A.1B.C.2D.3 二、填空题（本题共2小题，每小题６分，共12分） 3.周长为20 cm 的矩形，绕一条边所在直线旋转成一个圆柱，则该圆柱体积的最大值为 .4.电动自行车的耗电量y 与速度x 之间的关系为，为使耗电量最小，则其速度应定为_______. 三、解答题（本题共5小题,共74分）5.（14分）某银行准备新设一种定期存款业务，经预测存款量与利率的平方成正比，比例系数为k(k ＞0)，贷款的利率为4.8 %，且银行吸收的存款能全部放贷出去.求：(1)若存款的利率为x,x ∈(0，0.048),试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)的函数表达式；(2)存款利率定为多少时,银行可获得最大收益？6.（15分）请你设计一个示意图如下所示的仓库,它的下部形状是高为10 m 的正四棱柱(上、下底面都是正方形,且侧面都垂直于底面),上部形状是侧棱长都为30 m 的四棱锥,试问当四棱锥的高为多少时,仓库的容积最大?建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分7.（15分）某种新型快艇在某海域匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/时）的函数解析式可以表示为：．该海域甲、乙两地相距120千米．（1）当快艇以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（2）当快艇以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少约为多少升？(精确到0.1升)8.（15分）一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？9.(15分)工厂生产某种电子元件，假设生产一件正品可获利200元；生产一件次品，则损失100元.已知该厂制造电子元件的过程中，次品率P与日产量x的函数关系式是(1)将该产品的日盈利额T（元）表示为日产量x（件）的函数；(2)为获得最大利润，该厂的日产量应定为多少件？D CA BP3.2 导数在实际问题中的应用答题纸得分：＿＿＿一、选择题题号 1 2答案二、填空题3.___________4.__________三、解答题5.6.7.8.9.3.2 导数在实际问题中的应用答案一、选择题1.B 解析：设圆柱的底面半径为r,由三角形相似的性质得圆柱的高为a－２r,则圆柱的侧面积为当时，2.C 解析：设底面边长为a，则高所以体积设令解得.当时，，函数在区间（）上是减函数；当0＜a＜4时，，函数在区间（0，4）上是增函数.所以当时，函数取得极大值，即为最大值，即此时体积最大，此时二、填空题3.400027π3cm解析：设矩形与旋转轴平行的一边长为,则另一边长为，圆柱的体积为令得(不合题意，舍去).当；当因此当时，圆柱的体积取得极大值，即最大值4.40 解析：由题设知，令＞0，解得x＞40或x＜-1，故函数在上递减，在上递增.故当x=40时，y取得极小值，即为最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40．三、解答题5.解：(1)由题意，存款量g(x)=，银行应支付的利息h(x)=x·g(x)=.(2)设银行可获得收益为y，则y=0.048·，所以y′=0.096 kx-3，令y′=0，即0.096kx-3=0，解得x=0.032(x=0不合题意，舍去).又当x∈(0，0.032)时，y′＞0；当x∈(0.032，0.048)时，y′＜0，故当x=0.032时，y在(0，0.048)内取得极大值，即最大值，即银行存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益.6.解:设四棱锥的高为,底面边长为,则在△P AC中，又在△ABC中，所以仓库的容积所以由当因此,当故当四棱锥的高为10 m时,仓库的容积最大.7.解：(1)当x=40时，快艇从甲地到乙地行驶了=3(小时)，耗油量为（升）．答：当快艇以40千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油10升．(2)当速度为x千米/时时，快艇从甲地到乙地行驶了小时.设耗油量为h（x）升，依题意得，，令=0，得x=60.当x∈（0，60）时，＜0，h(x)是减函数；当x∈（60，120]时，＞0，h（x）是增函数．所以当x=60时，．答：当快艇以60千米/时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少约为8.7升．８.解：设轮船速度为x千米/时（x＞0），每小时的燃料费用为Q元，则Q=kx3.由6=k×103可得，所以，∴轮船行驶中每千米的费用总和，.令y′=0得x=20.当x∈（0，20）时，y′＜0，此时函数单调递减；当x∈（20，+∞）时，y′＞0，此时函数单调递增.∴当x=20时，y取得极小值，也是最小值.因此当轮船以20千米/时的速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小，为元．９.解：(1)当日产量为x（件）时，次品数为，正品数为已知生产一件正品可获利200元，生产一件次品则损失100元，因此日盈利额.(2)令得当时，；当时，,所以当x=16时，T取得极大值，也是最大值，因此为获得最大利润，该厂的日产量应定为16件，此时最大利润为800元.。
【精编】高考数学 3.2导数在实际问题中的应用课件 北师大版选修2-2-精心整理
令 y'=0,即 3x2-3(8-x)2=0,得 x=4.
当 0≤x<4 时,y'<0;当 4<x≤8 时,y'>0.
所以当 x=4 时,y 最小.
答案:B
12345
2.用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去
一个面积相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容
当 x>5 时,y=12-0.25x<12-0.25×5=10.75(万元).
∴年产量是 475 台时,工厂所得利润最大.
12345
1.将 8 分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( )
A.2 和 6
B.4 和 4
C.3 和 5 D.以上都不对
解析:设其中一个数为 x,则另一个数为
8-x,y=x3+(8-x)3,0≤x≤8,y'=3x2-3(8-x)2,
答案:B
12345
3.函数 f(x)=x3-3ax+a 在(0,1)内有最小值,则 a 的取值范围为( )
A.0≤a<1
B.0<a<1
C.-1<a<1
解析:f'(x)=3x2-3a,∵f(x)在(0,1)内有最小值,
D.0<a<12
∴f'(0)<0,f'(1)>0,
∴-a<0,3-3a>0,∴0<a<1.
造费用与 20 年的能源消耗费用之和为
f(x)=20C(x)+C1(x)=20×3���4���+05+6x=38������0+05+6x(0≤x≤10) (2)f'(x)=6-(32������4+050)2,令 f'(x)=0,即(32������4+050)2=6, 解得 x1=5,x2=-235(舍去),当 0<x<5 时,f'(x)<0,当 5<x<10 时,f'(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为 f(5)=6×5+1850+05=70,即当隔热层修建 5 cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元.
最新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)
一、选择题1．已知函数()()ln 0f x ax x a =->有两个零点1x ，2x ，且122x x <，则a 的取值范围是（ ）A ．2,ln 2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．20,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．23,ln 3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭ D ．230,ln 3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭2．已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-4．若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0，则b 的取值范围是（ ）A ．(),8-∞-B ．()8,-+∞C ．(),8-∞D ．()8,+∞5．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭6．设12x <<，则ln x x ，2ln x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22ln x x 的大小关系是（ ） A ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭B ．222ln ln ln x x x x x x⎛⎫<< ⎪⎝⎭C ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<< ⎪⎝⎭ D ．222ln ln ln x x x x x x ⎛⎫<<⎪⎝⎭7．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'， 且(1)y f x =+为偶函数，(2)1f =，则不等式()x f x e <的解集为（ ） A ．4(,)e -∞B ．4(,)e +∞C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞9．已知f （x ）=-x 3-ax 在（-∞，-1]上递减，且g （x ）=2x-ax在区间（1，2]上既有最大值又有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-B ．3a -≤C ．32a -≤<-D ．32a --≤≤10．已知函数21()sin cos 2f x x x x x =++，则不等式(23)(1)0f x f +-<的解集为（ ） A ．(2,)-+∞B ．(1,)-+∞C ．(2,1)--D ．(,1)-∞-11．函数()21xy x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．12．对*n N ∈，设n x 是关于x 的方程320nx x n +-=的实数根，[(1)](2,3,...)n n a n x n =+=，其中符号[]x 表示不超过x 的最大整数，则2320202019a a a ++=（ ）A ．1011B ．1012C ．2019D ．2020二、填空题13．现有一块边长为3的正方形铁片，在铁片的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值是______.14．如图所示，ABCD 是边长为30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积3()V cm 最大，则EF 的长为________cm .15．设()ln f x x =，若函数()()h x f x ax =-在区间()0,8上有三个零点，则实数a 的取值范围______.16．有如下命题：①函数sin y x =与y x =的图象恰有三个交点；②函数sin y x =与y x =③函数sin y x =与2y x 的图象恰有两个交点；④函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，其中真命题为_____ 17．已知函数2()f x x a =+，ln ()2e xg x x x=+，其中e 为自然对数的底数，若函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，则实数a 的取值范围是________．18．已知函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩方程2()2()0()f x mf x m R -=∈有五个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是______．19．设函数()f x '是奇函数()f x ()x R ∈的导函数， ()20f -=，当0x >时，()()0xf x f x '-<，则不等式()0f x >的解集为______________.20．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为__________.三、解答题21．已知函数321()13f x x ax =-+.（1）若函数()1y f x =-是奇函数，直接写出a 的值； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，求a 的最大值. 22．已知函数()42ln af x ax x x=--. （1）当1a =时,求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围； （3）设函数6()eg x x=,若在区间[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数a 的取值范围.23．图①是一栋新农村别墅，它由上部屋顶和下部主体两部分组成．如图②，屋顶由四坡屋面构成，其中前后两坡屋面ABFE 和CDEF 是全等的等腰梯形，左右两坡屋面EAD 和FBC 是全等的三角形．点F 在平面ABCD 和BC 上的射影分别为H ，M ．已知HM = 5 m ，BC = 10 m ，梯形ABFE 的面积是△FBC 面积的2.2倍．设∠FMH = θ π(0)4θ<<． （1）求屋顶面积S 关于θ的函数关系式；（2）已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比，比例系数为k （k 为正的常数），下部主体造价与其 高度成正比，比例系数为16 k ．现欲造一栋上、下总高度为6 m 的别墅，试问：当θ为何值时，总造价最低？24．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ，大棚II 内的地块形状为CDP ，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚II 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 25．设函数21()2x f x x e =. (1)求f （x ）的单调区间；(2)若当x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立，求实数m 的取值范围. 26．已知函数(),xf x e kx x R =-∈.（1）若k e =，试确定函数()f x 的单调区间； （2）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0fx >恒成立，试确定实数k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】根据已知可进行分离参数后，构造函数，两个零点1x ，2x ，求解a 的范围和切点，可得1201x x <<<，且()()12f x f x =，结合1x 与2x 的大小关系及函数的性质可求1x 的范围，然后结合函数单调性进行求解即可． 【详解】解：函数()()ln 0f x ax x a =-> 有两个零点1x ，2x ， 令()0f x =，可得e xa x=令()e xg x x=即()()2e 1x x g x x-'=， 令()0g x '=，可得1x =， 可得当()0,1x ∈时，则()0g x '<， 当()1,x ∈+∞时，则()0g x '>，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，可得1201x x <<<， （i ）若1102x <<，则21120x x >>>，符合题意； （ii ）若1112x <<，则2121x x >>， 根据单调性，可得()()122f x f x <， 即()()112f x f x <，可得1111ln 22ln ax x ax x -<-，1ln 2x ∴>，综合（i ）（ii ）得，1x 的取值范围是()ln 2,1． 又()g x 在()ln 2,1上单调递减，可得()()ln 2g x g >， 即2ln 2a． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用及利用导数求解参数的取值范围，体现了转化思想的应用．导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2．A解析：A 【解析】函数的定义域为0x ≠ ，当0()ln()x f x x x <⇒=-- ，为增函数，故排除B ，D ，当0()ln x f x x x >⇒=-，'111()x xf x x --==，当1,()0.01()0x f x x f x >'<<⇒'><故函数是先减后增； 故选A ．3．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．B解析：B 【分析】对函数()f x 求导，得到()f x '，然后根据题意得到()0f x '>恒成立，得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++，定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++， 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0， 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以28b x x>--， 设()28g x x x=--，则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=，得到12x =，舍去负根， 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增， 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以12x =时，()g x 取最大值，为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以8b >-，【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率，不等式恒成立，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，属于中档题.5．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 试题分析：令，则，所以函数为增函数，所以，所以，即，所以；又因为，所以222ln ln ln ()x x x x x x<<，故应选.考点：1、导数在研究函数的单调性中的应用.7．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>”8．D解析：D 【详解】()()()()()0()x xf x f x f xg x g x g x e e '-'=∴=<∴单调递减(1)(1)(0)(2)1f x f x f f +=-+∴==因此()g()(0)0x f x e x g x <⇔<⇔> 故选：D9．C解析：C 【分析】利用()f x 导数小于等于零恒成立，求出a 的范围，再由()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点，求出a 的范围，综合两种情况可得结果. 【详解】因为函数()3f x x ax =--在(],1-∞-上单调递减，所以()2'30f x x a =--≤对于一切(],1x ∈-∞-恒成立，得23,3x a a -≤∴≥-， 又因为()2ag x x x=-在区间(]1,2上既有最大值，又有最小值， 所以，可知()2'2ag x x x=+在(]1,2上有零点， 也就是极值点，即有解220ax x+=，在(]1,2上解得32a x =-， 可得82,32a a -≤<-∴-≤<-，故选C. 【点睛】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间[],a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围. 10．C解析：C 【分析】根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在[0，)+∞上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可． 【详解】解：2211()sin()cos()sin cos ()22f x x x x x x x x x f x -=--+-+=++=，则()f x 是偶函数，()sin cos sin cos (1cos )f x x x x x x x x x x x '=+-+=+=+，当0x 时，()0f x '，即函数在[0，)+∞上为增函数，则不等式(23)(1)0f x f +-<得()()231f x f +<，即()()|23|1f x f +<， 则|23|1x +<，得1231x -<+<，得21x -<<-， 即不等式的解集为(2,1)--， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．11．A解析：A 【分析】根据函数图象，当12x <时，()210xy x e =-<排除CD ，再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，排除B 得答案.【详解】 解：因为12x <时，()210xy x e =-<，所以C ，D 错误； 因为()'21xy x e =+， 所以当12x <-时，'0y <， 所以()21xy x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.12．A解析：A【分析】根据条件构造函数()32f x nx x n =+-，求得函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围，进而结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设函数()32f x nx x n =+-，则()232f x nx '=+，当n 时正整数时，可得()0f x '>，则()f x 为增函数， 因为当2n ≥时，()323()()2()(1)01111n n n n f n n n n n n n n =⨯+⨯-=⋅-++<++++， 且()120f =>，所以当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+， 所以(1)1,[(1)]n n n n n x n a n x n <+<+=+=， 因此2320201(2342020)101120192019a a a ++=++++=.故选：A. 【点睛】方法点睛：构造新函数()32f x nx x n =+-，结合导数和零点的存在定理，求得当2n ≥时，方程320nx x n +-=有唯一的实数根n x 且(,1)1n nx n ∈+是解答的关键. 二、填空题13．【分析】根据题意得到方盒底面是正方形边长为高为建立方盒容积的函数模型为再用导数法求解最值【详解】由题意得：方盒底面是正方形边长为高为所以方盒的容积为当时时所以当时取得最大值最大值为2故答案为：2【点 解析：2【分析】根据题意得到方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，建立方盒容积的函数模型为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<，再用导数法求解最值. 【详解】由题意得：方盒底面是正方形，边长为32x -，高为x ，所以方盒的容积为()2323324129,02V x x x x x x =-⨯=-+<<， 213122491222V x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当102x <<时，0V '>，1322x <<时，0V '<，所以当12x =时，V 取得最大值，最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查导数的实际问题中的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.14．【分析】设cm 根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式利用导数研究体积的最大值即可【详解】设cm 则cm 包装盒的高为cm 因为cm 所以包装盒的底面边长为cm 所以包装盒的体积 解析：10【分析】设EF x =cm ，根据已知条件求出包装盒的底面边长及高从而求得包装盒体积的关于x 的表达式，利用导数研究体积(x)V 的最大值即可. 【详解】设EF x =cm ，则302x AE BF -== cm ，包装盒的高为22GE x = cm ， 因为302x AE AH -==cm ，2A π∠=，所以包装盒的底面边长为2=(30)2HE x - cm ，所以包装盒的体积为232222()[(30)](60900)224V x x x x x x =-⋅=-+，030x <<， 则22()(3120900)4V x x x '=-+，令()0V x '=解得10x =， 当(0,10)x ∈时，()0V x '>，函数(x)V 单调递增；当(10,30)x ∈时，()0V x '<，函数(x)V 单调递减，所以3max 2()(10)(100060009000)10002()4V x V cm ==-+=，即当10EF cm =时包装盒容积3()V cm 取得最大值310002()cm .故答案为：10【点睛】本题考查柱体的体积，利用导数解决面积、体积最大值问题，属于中档题.15．【分析】画出函数图像计算直线和函数相切时和过点的斜率根据图像得到答案【详解】故画出图像如图所示：当直线与函数相切时设切点为此时故解得；当直线过点时斜率为故故答案为：【点睛】本题考查了根据函数零点个数解析：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【分析】()f x ax =，画出函数图像，计算直线和函数相切时和过点()8,ln8的斜率，根据图像得到答案. 【详解】()()0h x f x ax =-=，故()f x ax =，画出图像，如图所示：当直线与函数相切时，设切点为()00,x y ，此时()ln f x x =，()1'f x x=， 故01a x =，00y ax =，00ln y x =，解得0x e =，01y =，1a e=； 当直线过点()8,ln8时，斜率为3ln 28k =，故3ln 218a e<<. 故答案为：3ln 21,8e ⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了根据函数零点个数求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.16．②③④【分析】①构造函数求出函数的导数研究函数的导数和单调性进行判断即可；②利用与x 的关系进行转化判断；③设函数利用导数研究其单调性根据零点存在原理得出零点个数判断其真假④设函数利用导数研究其单调性解析：②③④ 【分析】①构造函数()sin f x x x =-，求出函数的导数，研究函数的导数和单调性，进行判断即可；②x 的关系进行转化判断；③设函数()2sin g x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假.④设函数()3sin h x x x =-,利用导数研究其单调性，根据零点存在原理得出零点个数，判断其真假. 【详解】①设()sin f x x x =-，则()cos 10f x x '=-≤，即函数()f x 为减函数， ∵()0=0f ，∴函数()f x 只有一个零点，即函数sin y x =与y x =的图象恰有一个交点，故①错误， ②由①知当0x >时，sin x x <，当01x <≤sin x x >>，当1x >sin x >，当0x =sin x =，综上当0x >sin x >恒成立，函数sin y x =与y =②正确，③设函数()2sin g x x x =-，则()cos 2g x x x '=-， 又()sin 20g x x ''=--<，所以()g x '在R 上单调递减. 又()01g '=，02g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= 即当0x x <时，()0g x '>，函数()g x 单调递增. 当0x x >时，()0g x '<，函数()g x 单调递减. 由函数()g x 在()0，x -∞上单调递增且()00g =，所以函数()g x 在(]0-∞，上有且只有一个零点. 由()00g =，函数()g x 在()0，x -∞上单调递增，则()00g x >又21024g ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且函数()g x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()g x 在()0x +∞，上有且只有一个零点. 即()g x 在()0+∞，上有且只有一个零点. 所以()g x 有2个零点，即函数sin y x =与2yx 的图象恰有两个交点，故③正确.④设函数()3sin h x x x =-,()h x 为奇函数，且()00h =.所以只需研究()h x 在()0+∞，上的零点个数即可. 则()2cos 3h x x x '=-,则()sin 6h x x x ''=--，所以()cos 60h x x '''=--<，所以()h x ''在()0+∞，上单调递减. 所以当()0x ∈+∞，时，()()00h x h ''''<=，则()h x '在()0+∞，上单调递减. 又()01h '=，203024h ππ⎛⎫'=-⨯< ⎪⎝⎭. 所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00h x '=. 即当00x x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增. 当0x x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.()00h =，由函数()h x 在()00x ，上单调递增，则()00h x >又31028h ππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，且函数()h x 在()0x +∞，上单调递减. 所以()h x 在()0x +∞，上有且只有一个零点. 即()h x 在()0+∞，上有且只有一个零点. 由()h x 为奇函数，所以()h x 在()0-∞，上有且只有一个零点，且()00h =. 所以()h x 有3个零点，即函数sin y x =与3y x =的图象恰有三个交点，故④正确. 故答案为：②③④. 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数零点个数，利用数形结合或构造函数，利用导数是解决本题的关键．属于中档题.17．【分析】将已知等价转化为函数与函数的图象有两个交点分别作出图象观察其只需满足二次函数顶点低于函数的顶点从而构建不等式解得答案【详解】函数与函数的图象有两个交点等价于函数与函数的图象有两个交点对函数求解析：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【分析】将已知等价转化为函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点，分别作出图象，观察其只需满足二次函数顶点低于函数ln xy x=的顶点，从而构建不等式，解得答案. 【详解】函数()y f x =与函数()y g x =的图象有两个交点，等价于函数22y x ex a =-+与函数ln xy x=的图象有两个交点， 对函数ln x y x =求导，得21ln xy x-'=，()0,x e ∈,0y '>， 函数ln xy x=单调递增；(),x e ∈+∞,0y '<， 函数ln xy x =单调递减，在x e =处取得极大值，也是最大值为1e， 对二次函数22y x ex a =-+，其对称轴为x e =，顶点坐标为()2,e a e -分别作出图象，其若要有两个交点，则2211a e a e e e-<⇒<+故答案为：21,e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查由函数图象的交点个数求参数的取值范围，属于中档题.18．【分析】作出函数的图象结合图象可求实数的取值范围【详解】当时当时函数为增函数；当时函数为减函数；极大值为且；作出函数的图象如图方程则或由图可知时有2个解所以有五个不相等的实数根只需要即；故答案为：【解析：1(0,)2【分析】作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，结合图象可求实数m 的取值范围. 【详解】当0x >时，2ln ()xf x x'=-，当01x <<时，()0f x '>，函数为增函数； 当1x >时，()0f x '<，函数为减函数；极大值为(1)1f =，且x →+∞，()0f x →；作出函数21ln ,0()log ,0xx f x x x x +⎧>⎪=⎨⎪<⎩的图象，如图，方程2()2()0()f x mf x m R -=∈，则()0f x =或()2f x m =，由图可知()0f x =时，有2个解，所以2()2()0f x mf x -=有五个不相等的实数根，只需要021m <<，即102m <<； 故答案为：1(0,)2. 【点睛】本题主要考查导数的应用，利用研究方程根的问题，作出函数的简图是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.19．【分析】根据当时构造函数求导在上是减函数再根据是奇函数在上是增函数由写出的解集【详解】设所以因为当时则所以在上是减函数又因为是奇函数所以在上是增函数因为所以所以当或时所以不等式的解集为故答案为：【点 解析：(),2(0,2)-∞-⋃【分析】根据当0x >时，()()0xf x f x '-<，构造函数()()f x g x x=，求导 ()()()20xf x f x g x x'-'=<，()g x 在()0,∞+上是减函数，再根据()f x 是奇函数，()g x 在(),0-∞上是增函数，由()20f -=，()20f =，写出()0f x >的解集.【详解】 设()()f x g x x=， 所以()()()2xf x f x g x x '-'=，因为当0x >时，()()0xf x f x '-<，则()0g x '<， 所以()g x 在()0,∞+上是减函数，又因为()f x 是奇函数，所以()g x 在(),0-∞上是增函数， 因为()20f -=，所以()20f =， 所以当2x <- 或02x <<时，()0f x >， 所以不等式()0f x >的解集为(),2(0,2)-∞-⋃. 故答案为：(),2(0,2)-∞-⋃ 【点睛】本题主要考查构造函数，用导数研究函数的单调性解不等式，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20．【分析】把代入即恒成立构造利用导数研究最值即得解【详解】则恒成立等价于令因此在单调递增在单调递减故故答案为：【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用考查了学生转化与划归数学运算的能力属于中 解析：[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解.【详解】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥ 故答案为：[)0,+∞ 【点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.三、解答题21．（1）0；（2）当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a ；（3）1.【分析】（1）令()32(113)x ax g x f x =-=-，根据函数()1y f x =-是奇函数，由()()g x g x -=-求解.（2）求导2()2f x x ax '=-，分0a =，0a >和0a <三种情况，由()0f x '<求解. （3）将()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，转化为13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立求解. 【详解】（1）已知函数321()13f x x ax =-+，所以()32(113)x ax g x f x =-=-， 因为函数()1y f x =-是奇函数， 所以()()g x g x -=-，即32321133x ax x ax ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭-， 所以220ax =， 解得0a =.（2）2()2f x x ax '=-.当0a =时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； 当0a >时，由()0f x '<得：02x a <<； 当0a <时，由()0f x '<得：20a x <<.综上所述，当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ； 当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a . （3）因为()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，即32103x ax -≥在区间[3,)+∞上恒成立. 所以13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立. 因为3x ≥，所以113x ≥. 所以1a ≤.所以若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，a 的最大值为1. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<； 22．(1) 3y x = (2) 1[,)2+∞（3）28(,)41ee +∞- 【分析】（1）求出f （x ）的导数，求出f′（1），f （1），代入切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a 的具体范围；（3）构造函数ϕ（x ）=f （x ）﹣g （x ），x ∈[1，e]，只需ϕ（x ）max ＞0，根据函数的单调性求出ϕ（x ）max ，从而求出a 的范围． 【详解】（1）解: 当1a =时,()142ln f x x x x =--,()1412ln13f =--=, ()212'4f x x x=+-, 曲线()f x 在点()()1,1f 处的斜率为()'13f =, 故曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为()331y x -=-,即3y x =（2）解: ()222242'4a ax x a f x a x x x-+=+-=. 令()242h x ax x a =-+,要使()f x 在定义域()0,+∞内是增函数,只需()h x ≥0在区间()0,+∞内恒成立. 依题意0a >,此时()242h x ax x a =-+的图象为开口向上的抛物线,()211444h x a x a a a ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其对称轴方程为()10,4x a =∈+∞,()min 14h x a a =-,则只需14a a -≥0,即a ≥12时,()h x ≥0,()'f x ≥0,所以()f x 定义域内为增函数,实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （3）解: 构造函数()()()x f x g x φ=-,[]1,x e ∈,依题意()max 0x φ>, 由（2）可知a ≥12时,()()()x f x g x φ=-为单调递增函数, 即()1642ln e x a x x x x φ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭在[]1,e 上单调递增, ()()max 1480x e a e e φφ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭,则2288214142eea e e e >>=>-,此时,()()()0e f e g e φ=->,即()()f e g e >成立. 当a ≤2841e e -时,因为[]1,x e ∈,140x x->, 故当x 值取定后,()x φ可视为以a 为变量的单调递增函数, 则()x φ≤281642ln 41e ex x e x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭,[]1,x e ∈, 故()x φ≤281642ln 041e ee e e e e⎛⎫---= ⎪-⎝⎭, 即()f x ≤()g x ,不满足条件. 所以实数a 的取值范围是28,41e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 23．（1）1600cos 4S πθθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭；（2）当θ为π6时该别墅总造价最低 【分析】（1）由题知FH ⊥HM ，在Rt △FHM 中，所以5FM cos θ=，得△FBC 的面积25cos θ，从而得到屋顶面积FBC ABFE 160S 2S2S cos θ梯形=+=；（2）别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅=2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭，令()2sin θf θcos θ-=，求导求最值即可 【详解】（1）由题意FH ⊥平面ABCD ，FM ⊥BC ， 又因为HM ⊂平面ABCD ，得FH ⊥HM ．在Rt △FHM 中，HM = 5，FMH θ∠=，所以5FM cos θ=． 因此△FBC 的面积为1525102cos θcos θ⨯⨯=． 从而屋顶面积FBC ABFE S 2S2S =+梯形 252516022 2.2cos θcos θcos θ=⨯+⨯⨯=． 所以S 关于θ的函数关系式为160S cos θ=(π0θ4<<)． （2）在Rt △FHM 中，FH 5tan θ=，所以主体高度为h 65tan θ=-． 所以别墅总造价为y S k h 16k =⋅+⋅()160k 65tan θ16k cos θ=⋅+-⋅ 16080sin θk k 96k cos θcos θ=-+ 2sin θ80k 96k cos θ-⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭记()2sin θf θcos θ-=，π0θ4<<， 所以()22sin θ1f θcos θ-='， 令()f θ0'=，得1sin θ2=，又π0θ4<<，所以πθ6=． 列表：θπ06⎛⎫ ⎪⎝⎭， π6ππ64⎛⎫ ⎪⎝⎭， ()f θ'-+()f θ3所以当πθ6=时，()f θ有最小值． 答：当θ为π6时该别墅总造价最低． 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，将空间问题平面化，准确将S 表示为θ函数是关键，求最值要准确，是中档题24．（1）()8004cos cos sin θθθ+， ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭；（2）6π． 【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定sin θ的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.详解：解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是[14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，π2）， 则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+．令()'=0f θ，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()'>0f θ，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()'<0f θ，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.25．（1）(,2)(0,)()f x -∞-+∞和为的增区间，(2,0)()f x -为的减区间. （2）m ＜0 ． 【详解】解：（1）21()(2)22xxx e f x xe x e x x '=+=+令(2)0,02,(,2)(0,)()2xe x x x xf x +>><-∴-∞-+∞或和为的增区间， (2)0,20,(2,0)()2xe x x xf x +<-<<∴-为的减区间. （2）x ∈[－2，2]时，不等式f （x ）>m 恒成立等价于min ()f x >m,令：21()(2)022xxx e f x xe x e x x =+'=+=∴x=0和x=－2,由（1）知x=－2是极大值点，x=0为极小值点2222(2),(2)2,(0)0,()[0,2]f f e f f x e e-===∴∈, ∴m ＜026．(1)增区间是()1,+∞,递减区间是(),1-∞；(2)0k e <<. 【详解】试题分析：(1)借助题设条件运用导数与函数单调性之间的关系求解；(2)借助题设运用等价转化的思想及导数的知识求解. 试题（1）由k e =得()xf x e ex =-，所以()x f x e e '=-.由()'0fx >得1x >，故()f x 的单调递增区间是()1,+∞， 由()'0f x <得1x <，故()f x 的单调递减区间是(),1-∞.（2）由()()fx f x -=可知()f x 是偶函数. 于是等价于()0f x >对任意0x ≥成立.由()0xf x e k ='-=得ln x k =.①当(]0,1k ∈时，()()100xf x e k k x =->-≥≥'，此时()f x 在[)0,+∞上单调递增. 故()()010f x f ≥=>，符合题意. ②当()1,k ∈+∞时，ln 0k >.当x 变化时()'fx ，()f x 的变化情况如下表：由此可得，在0,+∞上，ln ln f x f k k k k ≥=- 依题意，ln 0k k k ->，又1,1k k e >∴<<.<<.综合①②得，实数k的取值范围是0k e也可以分离用最值研究.考点：导数与函数的单调性之间的关系及分析转化法等有关知识和方法的综合运用.。
江西省高二数学北师大版选修2-2同步精练：3.2导数在实际问题中的应用 Word版含答案
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为()．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件2．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为()．A．2 m3B．3 m3 C．4 m3D．5 m33．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1单位产品，成品增加100元，已知总收益R与产量x的关系式R(x)＝21400,0400,280 000, >400,x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩则总利润最大时，每年生产的产品是()．A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位4．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于()．A．32-B．12C．12-D．12或32-5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则k的取值范围为()．A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3＜k＜－1或1＜k＜3C．－2＜k＜2 D．不存在这样的实数6．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是()．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 7．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为__________，最小值为__________．8．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.参考答案1.答案：B 解析：∵x ＞0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9， ∴x ∈(0,9)时，y ′＞0，x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0，y 先增后减， ∴x ＝9时函数取得最大值．2.答案：B 解析：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝(4.5－3x ) m 302x ⎛⎫<<⎪⎝⎭. 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3302x ⎛⎫<<⎪⎝⎭， 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去)． 当0＜x ＜1时，V ′(x )＞0，当1＜x ＜32时，V ′(x )＜0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值． 从而最大体积V m ax ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)．3.答案：D 解析：总成本C (x )＝20 000＋100x ，∴总利润P (x )＝R (x )－C (x )＝230020 000,0x 400,260 000-100,>400x x x x ⎧--≤≤⎪⎨⎪⎩当0≤x ≤400时，令P ′(x )＝0，得x ＝300， 当0＜x ＜300时，P ′(x )＞0， 当300＜x ＜400时，P ′(x )＜0.∴当x ＝300时，总利润最大为25 000元． 当x ＞400时，P ′(x )＝－100＜0， ∴P (x )＜P (400)＝20 000＜P (300)， ∴当x ＝300时，总利润最大．4.答案：B 解析：y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1. 当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1＜a ＜2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝12-或a ＝32-(舍)． 5.答案：B 解析：∵y ′＝3x 2－12，由y ′＞0得函数增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y ′＜0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，∴k －1＜－2＜k ＋1或k －1＜2＜k ＋1，得－3＜k ＜－1或1＜k ＜3. 6.答案：B 解析：∵f (x )＝x 3＋ax －2在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴f ′(x )＝3x 2＋a ≥0在[1，＋∞)上恒成立， 即a ≥－3x 2在[1，＋∞)上恒成立． 又∵在[1，＋∞)上(－3x 2)m ax ＝－3， ∴a ≥－3.7.答案：不存在 3284- 解析：∵f ′(x )＝－36＋6x ＋12x 2，令f ′(x )＝0， 解得x 1＝－2，x 2＝32. 当x ＞32时，函数是增加的， 当－2≤x ≤32时，函数是减少的，∴在[－2，＋∞)上无最大值． 又∵f (－2)＝57，332824f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴最小值为3284-.8.答案：32 解析：f ′(x )＝3x 2－12，由f ′(x )＞0得x ＞2或x ＜－2，由f ′(x )＜0得－2＜x ＜2，∴f (x )在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2] 上单调递减，在[2,3]上单调递增．又∵f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝24－(－8)＝32.。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是 ( ) A ．－1≤m ≤1 B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <12．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k的取值范围是( )A ．1(0,)eB ．(0，1]eC ．1(2D ．1(23．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤4．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭5．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞ C ．()1,+∞D ．()+∞6．下列函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝x 3－xC ．y ＝x e xD ．y ＝－x ＋ln(1＋x )7．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<8．已知()321233y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ） A ． 1b <-或2b > B ．1,b ≤-或b 2≥C ．12b -<<D ．12b -≤≤ 9．若实数a ，b 满足0a >，0b >，则“a b >”是“ln ln a a b b +>+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．奇函数()f x 满足0x ≥时,()cos 0f x x '+<，且()3,2f π=-则不等式()cos 22f x x π+>--的解集为（ ）A ．(,0)-∞B ．(,)π-∞-C ．(,)2π-∞-D ．(,)π-∞11．设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数，当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<，则函数31()()g x f x x=-的零点个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1D ．012．函数()21xy x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知()(sin )x f x e x a =+在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数a 的取值范围是________．14．若函数()sin 2xxf x e ex -=-+，则不等式()()2210f x f x -+>的解集为________.15．已知函数()e e xxf x -=-，有以下命题：①()f x 是奇函数； ②()f x 单调递增函数；③方程()22f x x x =+仅有1个实数根；④如果对任意(0,)x ∈+∞有()f x kx >，则k 的最大值为2. 则上述命题正确的有_____________.（写出所有正确命题的编号）16．如果圆柱轴截面的周长l (单位：cm )为定值，则体积最大值为____________3cm ． 17．设动直线x m =与函数()32f x x =，()ln g x x =的图象分别交于点M ，N ，则线段MN 长度的最小值为______． 18．已知函数()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的单调递增区间为______. 19．已知()3226f x x x a =-+(a 为常数)在[]22-,上有最小值3，则()f x 在[]22-,上的最大值为______ 20．若函数()2ln 12f x x mx x -+=有极值,则函数()f x 的极值之和的取值范围是________. 三、解答题21．已知函数()ln f x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）设函数()()g x f x a =+，若12,(0,]x x e ∈是函数g (x )的两个零点， ①求a 的取值范围； ②求证：121x x <.22．已知函数321()13f x x ax =-+.（1）若函数()1y f x =-是奇函数，直接写出a 的值； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，求a 的最大值. 23．如图是一个半径为2千米，圆心角为3π的扇形游览区的平面示意图C 是半径OB 上一点，D 是圆弧AB 上一点，且//CD OA .现在线段OC ，线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每千米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每千米均为a 元．设AOD x ∠=弧度，广告位出租的总收入为y 元．(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问：x 为何值时，广告位出租的总收入最大？并求出其最大值．24．已知函数()32122f x ax x x =+-，其导函数为()f x '，且(1)0f '-=. (Ⅰ)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 (Ⅱ)求函数()f x 在[1,1]-上的最大值和最小值.25．设函数()()()ln 10f x x x =+≥，()()()101x x a g x x x ++=≥+.（1）证明：()2f x x x ≥-. （2）若()()f x xg x +≥恒成立，求a 的取值范围； （3）证明：当*n ∈N 时，()2121ln 149n n n -+>+++. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】因为f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x)<0⇒－2<x<2，所以函数f(x)＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f(x)在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以221212m m m m ≥-⎧⎪+≤⎨⎪+>⎩从中解得－1≤m<1，选D.点睛：导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数()y f x =在某个区间内可导，如果()0f x '>，则()y f x =在该区间为增函数；如果()0f x '<，则()y f x =在该区间为减函数.(2)函数单调性问题包括：①求函数的单调区间或存在单调区间，常常通过求导，转化为解方程或不等式，常用到分类讨论思想；②利用单调性证明不等式或比较大小，常用构造函数法.2．A解析：A 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx -=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.3．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案． 【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤， 故答案选D 【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．4．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.5．B解析：B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+≥即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.6．C解析：C 【解析】A 在R 上是周期函数，2sin cos y x x =' ，导函数在(0，＋∞)上有正有负，故原函数有增有减；.B 231,y x -'= 在(0，＋∞)，有正有负，所以原函数不是增函数，C x x y xe e '=+ 0> ，恒成立，故原函数单调递增；D 1111xy x x-=-+=++' ，在(0，＋∞)上导函数为负，原函数应该是减函数． 故选C ．点睛：判断函数的单调性的方法，可以根据导函数的正负来判断原函数的单调性．7．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．8．D解析：D 【分析】利用三次函数()321233y x bx b x =++++的单调性，通过其导数进行研究，求出导数，利用其导数恒大于0即可解决问题． 【详解】∵()321233y x bx b x =++++，∴222y x bx b '=+++， ∵函数是R 上的单调增函数，∴2220x bx b +++≥在R 上恒成立， ∴0∆≤，即244(2)0b b -+≤.∴12b -≤≤ 故选：D. 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，属于中档题.可导函数在某一区间上是单调函数，实际上就是在该区间上()0f x '≥（或()0f x '≤）（()'f x 在该区间的任意子区间都不恒等于0）恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值范围，本题是根据相应的二次方程的判别式0∆≤来进行求解.9．C解析：C 【解析】构造函数1ln ,0,10y x x x y x+='=>+> ，故函数ln y x x =+在0,上单调递增，即由“0a b >>” 可得到“ln ln a a b b +>+”,反之，由“ln ln a a b b +>+”亦可得到“0a b >>” 选C10．A解析：A 【分析】构造函数()()sin h x f x x =+，根据其单调性，求解目标不等式即可. 【详解】不妨令()()sin h x f x x =+，因为()()cos 0h x f x x =+'<'在[)0,+∞恒成立， 即()h x 在[)0,+∞单调递减；又()f x 是奇函数，sin y x =是奇函数， 故()h x 是奇函数，且()h x 是R 上的单调减函数. 由()3,2f π=-故可得22h π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 又()cos 22f x x π+>--，即22h x h ππ⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故22x ππ+<，则0x <.故选：A . 【点睛】本题考查构造函数法，涉及利用导数研究函数单调性以及利用单调性解不等式，属综合中档题.11．D解析：D 【分析】构造函数3()()1F x x f x =-，可得出3()()F x g x x=，利用导数研究函数()y F x =的单调性，得出该函数的最大值为负数，从而可判断出函数()y F x =无零点，从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-，则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时，3()()0f x f x x'+<， 当0x >时，30x >，故()0F x '<，所以，函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减； 当0x <时，30x <，故()0F x '>，所以，函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<，所以，函数()y F x =没有零点， 故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选：D . 【点睛】本题考查函数零点个数的判断， 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题.12．A解析：A 【分析】根据函数图象，当12x <时，()210xy x e =-<排除CD ，再求导研究函数单调性得()21x y x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，排除B 得答案.【详解】解：因为12x <时，()210xy x e =-<，所以C ，D 错误； 因为()'21xy x e =+， 所以当12x <-时，'0y <， 所以()21xy x e =-在区间1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以A 正确，B 错误. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查函数的性质对函数图象的影响，并通过对函数的性质来判断函数的图象等问题．已知函数的解析式求函数的图像，常见的方法是，通过解析式得到函数的值域和定义域，进行排除，由解析式得到函数的奇偶性和轴对称性，或者中心对称性，进行排除，还可以代入特殊点，或者取极限.二、填空题13．【分析】利用在上恒成立等价于在上恒成立利用正弦函数的性质得出在的最小值即可得出的范围【详解】在上恒成立即在上恒成立则故答案为：【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围属于中档题 解析：[)1,-+∞【分析】利用()0f x '≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值，即可得出a 的范围. 【详解】()(sin )cos (sin cos )04x x x x f x e x a e x e x x a e x a π⎤⎛⎫'=++=++=++≥ ⎪⎥⎝⎭⎦在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立4x a π⎛⎫+≥- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，3,444x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦sin 42x π⎤⎛⎫∴+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4x π⎛⎫⎡+∈ ⎪⎣⎝⎭则1,1a a ≥-≥- 故答案为：[)1,-+∞ 【点睛】本题主要考查了由函数的单调性求参数的范围，属于中档题.14．【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数；利用导数可得到的单调性；将不等式转化为利用单调性可得自变量的大小关系解不等式可求得结果【详解】由题意得：为上的奇函数且不恒等于零在上单调递增等价于解得：故答解析：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数；利用导数可得到()f x 的单调性；将不等式转化为()()221f x f x ->-，利用单调性可得自变量的大小关系，解不等式可求得结果.【详解】由题意得：()()2sin2xx f x ee xf x --=--=- ()f x ∴为R 上的奇函数()2cos2x x f x e e x -'=++,2x x e e -+≥，2cos 22x ≤，()0f x '∴≥且不恒等于零 ()f x ∴在R 上单调递增()()2210f x f x -+>等价于()()()221f x f x f x ->-=-221x x ∴->-，解得：()1,1,2x ⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪⎝⎭故答案为：()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式的问题，关键是能够利用奇偶性的定义、导数的知识求得函数的单调性和奇偶性，从而将不等式转化为函数值的比较，利用单调性进一步得到自变量的大小关系.15．①②④【分析】根据题意依次分析4个命题对于①由奇函数的定义分析可得①正确；对于②对函数求导分析可得分析可得②正确；对于③分析可得即方程有一根进而利用二分法分析可得有一根在之间即方程至少有2跟故③错误解析：①②④ 【分析】根据题意，依次分析4个命题，对于①、由奇函数的定义分析可得①正确；对于②、对函数()x x f x e e -=-求导，分析可得()0f x '>，分析可得②正确；对于③、2()2x x g x e e x x -=---，分析可得(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =，进而利用二分法分析可得()g x 有一根在(3,4)之间，即方程2()2f x x x =+至少有2跟，故③错误，对于④、由函数的恒成立问题的分析方法，分析可得④正确，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析4个命题：对于①、()x x f x e e -=-，定义域是R ，且()()x x f x e e f x --=-=-，()f x 是奇函数；故①正确；对于②、若()x x f x e e -=-，则()0x x f x e e -'=+>，故()f x 在R 递增；故②正确； 对于③、2()2f x x x =+，令2()2x x g x e e x x -=---， 令0x =可得，(0)0g =，即方程2()2f x x x =+有一根0x =， ()3313130g e e =--<，()4414200g e e =-->， 则方程2()2f x x x =+有一根在(3,4)之间， 故③错误；对于④、如果对任意(0,)x ∈+∞，都有()f x kx >，即0x x e e kx --->恒成立， 令()x x h x e e kx -=--，且(0)0h =，若()0h x >恒成立，则必有()0x x h x e e k -'=+->恒成立， 若0x x e e k -+->，即1x xx xk e ee e -<+=+恒成立， 而12xxe e +，若有2k <， 故④正确；综合可得：①②④正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判定，以及方程的根与恒成立问题的综合应用，③关键是利用二分法，属于中档题．16．【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得：令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是：故答案为：【点睛解析：3216l π 【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值． 【详解】设圆柱底面半径R ，高H ，圆柱轴截面的周长l 为定值， 则42R H l +=22lH R ∴=- 22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫∴===-=- ⎪⎝⎭求导可得：26V Rl R ππ'=- 令0V '=，可得260Rl R ππ-=，(6)0R l R π∴-= 60l R ∴-= 6lR ∴=当6lR >时，(6)0V R l R π'=-< 当6lR <时，(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：32322216l l V R R πππ=-=故答案为：3216l π．【点睛】本题主要考查了根据导数求最值，解题关键是掌握根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．17．【分析】构造函数利用导数求得的最小值进而求得线段长度的最小值【详解】构造函数则所以在上递增令解得所以在上递增在上递减所以的最小值为也即的最小值为故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值解析：()11ln 63+【分析】构造函数()()()()0h x f x g x x =->，利用导数求得()h x 的最小值，进而求得线段MN 长度的最小值. 【详解】构造函数()()()()32ln 0h x f x g x x x x =-=->，则()()'2''2116,120h x x h x x x x=-=+>， 所以()'h x 在()0,∞+上递增，令()'0h x =解得136x -==. 所以()h x 在130,6-⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在136,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，所以()h x 的最小值为()3111333111626ln 6ln 61ln 6333h ---⎛⎫⎛⎫=⨯-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.也即MN 的最小值为()11ln 63+. 故答案为：()11ln 63+ 【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.18．【分析】首先求出函数的导函数由再根据三角函数的性质解三角不等式即可；【详解】解：所以令即所以故的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间三角函数的性质的应用属于中档题解析：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先求出函数的导函数，由()0f x '>，再根据三角函数的性质解三角不等式即可； 【详解】 解：()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()1sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()0f x '>，即1sin 02x -+>，所以06x π<<，故()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.19．43【分析】通过函数的导数可判断出在上单调递增在上单调递减比较和的大小从而可得在上的最小值再结合已知其最小值为3即可求出的值进而可求出函数在上的最大值【详解】因为所以当时；当时所以函数在上单调递增在解析：43 【分析】通过函数()f x 的导数可判断出()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减，比较(2)f -和(2)f 的大小，从而可得()f x 在[2,2]-上的最小值，再结合已知其最小值为3，即可求出a 的值，进而可求出函数()f x 在[2,2]-上的最大值． 【详解】因为32()26f x x x a =-+，所以2()6126(2)f x x x x x '=-=-， 当(2,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,2)x ∈时，()0f x '<， 所以函数()f x 在(2,0)-上单调递增，在(0,2)上单调递减， 所以()f x 的最大值为(0)f a =，又(2)40f a -=-+，(2)8f a =-+，因为(8)(40)320a a -+--+=>， 所以408a a -+<-+，所以()f x 在[2,2]-上的最小值为(2)403f a -=-+=， 所以43a =，所以()f x 的最大值为(0)43f =． 故答案为：43 【点睛】本题考查利用导数求闭区间上的函数最值问题．一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条连续不断的曲线，最值必在端点处或极值点处取得．20．【分析】先求导方程在上有根求出的范围根据韦达定理即可化简根据的范围即可求出【详解】解：的定义域是存在极值在上有根即方程在上有根设方程的两根为即故函数的极值之和的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了 解析：(,3)-∞-【分析】先求导，方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根求出m 的范围，根据韦达定理即可化简12()()f x f x +，根据m 的范围即可求出．【详解】 解：()f x 的定义域是(0,)+∞，211()x mx f x x m x x-+'=-+=，()f x 存在极值，()0f x ∴'=在(0,)+∞上有根，即方程210x mx -+=在(0,)+∞上有根．设方程210x mx -+=的两根为1x ，2x ，∴240m ∆=->，120x x m +=>，121=x x即2m >22121212121()()()()()2f x f x x x m x x lnx lnx ∴+=+-+++，2121212121()()2x x x x m x x lnx x =+--++， 22112m m =--， 21132m =--<-， 故函数()f x 的极值之和的取值范围是(,3)-∞- 故答案为：(,3)-∞- 【点睛】本题考查了导数函数极值的关系，以及韦达定理及二次函数的性质，考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题三、解答题21．（1）y =﹣1；（2）①(1，e ﹣1]；②证明见解析. 【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标代入点斜式方程可得答案； （2）①求出()'g x 利用()g x 的单调性可得答案； ②不妨设x 1<x 2，利用单调性可得()121g x g x ⎛⎫<⎪⎝⎭，再证()2210g x g x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，构造函数()22222112ln g x g x x x x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，再利用单调性可得答案.【详解】（1）1()1f x x='-，∴切线的斜率(1)0,(1)1f f '==-，则曲线y =f (x )在点()1,(1)f 处的切线方程为：y =﹣1； （2）①由g (x )=f (x )+a =ln x ﹣x +a ，x ∈(0，e ]，1()1g x x'=-，令g ′(x )=0，解得：x =1， x ，g ′(x )，g (x )的变化如下：12g （1）=﹣1+a >0，即a >1，g (e )=1﹣e +a ≤0，即a ≤e ﹣1，令x =e ﹣a ，显然0<e ﹣a <1，有g (e ﹣a )=﹣e ﹣a <0，故a 的取值范围是(1，e ﹣1]；②证明：不妨设x 1<x 2，由①可知x 1∈(0，1)，x 2∈(0，e )， 故21(0,1)x ∈，要证x 1x 2<1，即证121x x <， 又121,(0,1)x x ∴∈，函数g (x )在(0，1)递增， 即证()121g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∵x 1，x 2∈(0，e )是函数g (x )的两个零点， 故g (x 1)=g (x 2)=0，即证()221g x g x ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 只需证()2210g x g x ⎛⎫-<⎪⎝⎭， ()2222222221111ln ln 2ln g x g x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()222212ln h x x x x =-+， 则()()222222221211x h x x x x -=-'=--， 当x 2∈(1，e ]时，h ′(x 2)<0，故h (x 2)在(1，e ]递减，h (x 2)<h （1）=0，故()2210g x g x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得证，故121x x <. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、根据零点求参数的范围的问题，关键点是构造函数利用函数的单调性求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.22．（1）0；（2）当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ；当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a ；（3）1.【分析】（1）令()32(113)x ax g x f x =-=-，根据函数()1y f x =-是奇函数，由()()g x g x -=-求解.（2）求导2()2f x x ax '=-，分0a =，0a >和0a <三种情况，由()0f x '<求解. （3）将()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，转化为13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立求解. 【详解】（1）已知函数321()13f x x ax =-+，所以()32(113)x ax g x f x =-=-， 因为函数()1y f x =-是奇函数， 所以()()g x g x -=-，即32321133x ax x ax ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭-， 所以220ax =， 解得0a =.（2）2()2f x x ax '=-.当0a =时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞内单调递增； 当0a >时，由()0f x '<得：02x a <<； 当0a <时，由()0f x '<得：20a x <<.综上所述，当0a =时，无递减区间；当0a >时，()f x 的单调递减区间是(0,2)a ； 当0a <时，()f x 的单调递减区间是(2,0)a . （3）因为()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，即32103x ax -≥在区间[3,)+∞上恒成立. 所以13a x ≤在区间[3,)+∞上恒成立. 因为3x ≥，所以113x ≥. 所以1a ≤.所以若()1f x ≥在区间[3,)+∞上恒成立，a 的最大值为1. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若()f x 在区间D 上有最值，则（1）恒成立：()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<； （2）能成立：()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>；()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<.若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则 （1）恒成立：()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<； （2）能成立：()()min a f x a f x >⇔>；()()max a f x a f x <⇔<； 23．（1）2cos ,0,33y a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭；（2）当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为26a π⎫⎪⎭元. 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理求得OC 的值，再求弧长DB ，求出函数y 的解析式，写出x 的取值范围；（2）求函数y 的导数，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值和对应x 的值． 【详解】(1)因为//CD OA ，所以ODC AOD xrad ∠=∠=. 在OCD ∆中，23OCD π∠=，3COD x π∠=-，2OD km =.由正弦定理，得22sin 3sinsin 33OC CD xx ππ===⎛⎫- ⎪⎝⎭，得OC xkm =，33CD x km π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 又圆弧DB 长为23x km π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2233y a x a x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯-+-⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦2cos ,0,33a x x x x ππ⎫⎛⎫=+-+∈⎪ ⎪⎭⎝⎭.(2)记()2cos 3f x a x x x π⎫=+-+⎪⎭， 则())'2sin 122cos 16f x ax x a x π⎡⎤⎛⎫=--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，令()'0f x =，得6x π=.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化如下表：所以()f x 在6x π=处取得极大值，这个极大值就是最大值，即2323666f a a πππ⎛⎫⎫⎫=⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭.故当6x π=时，广告位出租的总收入最大，最大值为236a π⎫⎪⎭元． 【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，考查利用导数知识处理最值问题，考查函数与方程思想，是中档题． 24．(1) 4250x y --=. (2) ()max 32f x =，min 22()27f x =-. 【解析】分析：（1）先由'(1)0f -=求出a 的值，再求出函数()y f x =在点(1,(1))f 的切线方程；（2）先求出函数的极值，列表格，根据单调性求出最大值和最小值． 详解： (Ⅰ)()232f x ax x '=+-∵()10f '-=，∴3120a --=.解得1a =∴()32122f x x x x =+-，()232f x x x '=+- ∴()1f 12=-，()12f '=. ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为4250x y --= (Ⅱ)出(Ⅰ)，当()0f x '=时，解得1x =-或23x =当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：x21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭232,13⎛⎤ ⎥⎝⎦()f x ' - 0 + ()f x单调递减极小值单调递增∴()f x 的极小值为222327f ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 又()312f -=，()112f =- ∴()()max 312f x f =-=，()min 222327f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 点睛：本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数最值的步骤等，属于中档题．求出a 的值是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）(],1-∞；（3）证明见解析.【分析】（1）令函数()()2ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞，利用导数判断函数单调递增，从而可得()()00h x h ≥=，即证.（2）令()()ln 11ax m x x x=+-+，转化为()0m x ≥恒成立，利用导数求出()()11x a m x x +-'=+，讨论a 的取值，判断函数的单调性，求出()()()min 100m x m a m =-<=，即求.（3）由（1）()2ln 1x x x +≥-，令1x n =，*n ∈N ，整理可得()21ln 1ln n n n n -+->，然后将不等式相加即可证明.【详解】（1）证明：令函数()()2ln 1h x x x x =+-+，[)0,x ∈+∞， ()21221011x x h x x x x+'=+-=≥++， 所以()h x 为单调递增函数，()()00h x h ≥=，故()2ln 1x x x +≥-. （2）()()f x x g x +≥，即为()ln 11ax x x +≥+， 令()()ln 11ax m x x x=+-+，即()0m x ≥恒成立， ()()()()2111111a x ax x a m x x x x +-+-'=-=+++， 令()0m x '>，即10x a +->，得1x a >-.当10a -≤，即1a ≤时，()m x 在[)0,+∞上单调递增，()()00m x m ≥=，所以当1a ≤时，()0m x ≥在[)0,+∞上恒成立；当10a ->，即1a >时，()m x 在()1,a -+∞上单调递增，在[]0,1a -上单调递减， 所以()()()min 100m x m a m =-<=，所以当1a >，()0m x ≥不恒成立.综上所述：a 的取值范围为(],1-∞.（3）证明：由（1）知()2ln 1x x x +≥-， 令1x n=，*n ∈N ，(]0,1x ∈， 211lnn n n n+->，即()21ln 1ln n n n n -+->， 故有ln 2ln10->， 1ln 3ln 24->， …… ()21ln 1ln n n n n -+->， 上述各式相加可得()2121ln 149n n n -+>+++. 【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于中档题.26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【详解】解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x =（2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去 若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a=-【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。
新北师大版高中数学高中数学选修2-2第三章《导数应用》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A ．()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．0.5321(log )(0.5)(log 9)2f f f ->>C ．0.5321(0.5)(log )(log 9)2f f f ->>D ．0.5231(log 9)(0.5)(log )2f f f ->>2．已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x ，2[1x ∈，)+∞且12x x ≠都有1212()()1f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围（ ）A ．[1，)+∞B ．(0，1]C ．[2，)+∞D ．(0,)+∞3．已知函数23,0()3,0xlnx x x f x x x x ->⎧=⎨+⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是( )A ．1(,1)2B ．1(2，2)C ．(1,2)-D ．(1,3)-4．已知函数()f x lnx =，若关于x 的方程()f x kx =恰有两个不相等的实数根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)eB ．(0，1]eC ．1(2D ．1(25．已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,+∞ B ．[)3,+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞6．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足()()1ln 20f x f x x x x++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞B ．()2,2e -C ．(),2e -D ．[),e -+∞7．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．8．已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]12，上是增函数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．45m ≤≤B ．24m ≤≤C ．2m ≤D ．4m ≤9．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭10．已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()()22f x f x +=-，且当2x ≠时其导函数()f x '满足()()2xf x f x ''>，若24a <<则（ ）A ．()()()223log af f f a << B ．()()()23log 2af f a f << C ．()()()2log 32af a f f <<D ．()()()2log 23af a f f <<11．当01x <<时，()ln xf x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．()()()22fx f x f x <<B ．()()()22f x fx f x << C ．()()()22f x f x f x <<D ．()()()22f x f x f x <<12．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 二、填空题13．已知函数(),e ,x xx a f x x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点，则a 的取值范围是__.14．如图，有一块半径为2的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是圆O 的直径，上底C 、D 的端点在圆周上，则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15．已知函数()24ln f x x x a x =++，若函数()f x 在()1,2上是单调函数，则实数a 的取值范围是______．16．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，()()2f x f x '+>，()01f =，则不等式()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦的解集为______．17．如果圆柱轴截面的周长l (单位：cm )为定值，则体积最大值为____________3cm ． 18．已知函数()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的单调递增区间为______. 19．若函数()2122f x x x aInx =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是__________.20．已知定义在R 上的连续函数()y f x =对任意实数x 满足(4)()f x f x -=，(()2)0x f x -'>，则下列命题正确的有________.①若(2)(6)0f f <，则函数()y f x =有两个零点； ②函数(2)y f x =+为偶函数； ③(2)(sin12cos12)f f >︒+︒； ④若12x x <且124x x +>,则12()()f x f x <.三、解答题21．已知函数)(21ln 2f x x ax x =-+有两个极值点)(1212,x x x x <． （1）求a 的取值范围； （2）求证：21>x 且)(2132f x x <-． 22．近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)之间满足如下的关系式:24(6),26,,2ay x x a R a x =+-<<∈-为常数.已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件.（1）求实数a 的值；（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格x 的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大.（结果保留一位小数）23．已知函数()ln f x x ax =-，()2g x x =，a R ∈.（1）求函数()f x 的极值点；（2）若()()f x g x ≤恒成立，求a 的取值范围. 24．设函数()ln 1x f x x+=， （1）求曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程；（2）当1≥x 时，不等式()()211a x f x x x--≥恒成立，求a 的取值范围． 25．已知函数()2xf x eax b =-+（0a >，b R ∈，其中e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个不同的零点12,x x ，当a b =时，求实数a 的取值范围. 26．已知32()1,f x x ax a R =++∈. （1）若()f x 在23x =处取极值，求()f x 在点(,1)a -处切线方程； （2）若函数()f x 在区间[]01，最小值为－1，求a .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】首先设函数()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，判断函数是偶函数，利用导数判断函数的单调性，根据平移关系，可判断函数()y f x =的对称性和单调性，再将2log 9，0.50.5-，以及31log 2转化在同一个单调区间，根据单调性比较大小.【详解】令()(1)332cos x x g x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数， 将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】思路点睛：本题是一道函数单调性，奇偶性，对称性，判断大小的习题，本题所给函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，看似很复杂，但仔细观察就会发现，通过换元后可判断函数()1y f x =+是偶函数，本题的难点是判断函数的单调性，关键点是能利用对称性，转化3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2．A解析：A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于()'211f x ax =-≥，1x 时恒成立， 0a时，()'0f x <，不合题意，0a >时，只需211ax -，即1ax在[1，)+∞恒成立， 故max 1()1a x=，故a 的范围是[1，)+∞， 故选：A 【点睛】1212()()1f x f x x x ->-表示函数()f x 在区间[)1,+∞上任意两个不同点连线的斜率都大于1，由此考虑利用导数进行求解.3．C解析：C 【分析】先求出直线1y kx =-关于1y =-对称的直线方程，然后求函数()f x 再0,0x x >≤时的单调性及极值，进而求出k 得取值范围. 【详解】设函数1y kx =-任意一点00(,)P x y 关于直线1y =-对称的点为(,)P x y '， 则00,12y y x x +==-，所以02y y =--， 而P 在函数1y kx =-上，所以21y kx --=-，即1y kx =--， 所以函数1y kx =-恒过定点(0,1)A -，（1）当0x >时，()ln 3f x x x x =-，设直线1y kx =--与()f x 相切于点(,ln 3)C x x x x -，()ln 31ln 13ln 2x x x f x x x x k x-+'=+-=-=-=，整理可得ln 2ln 31x x x x x x -=-+，解得1x =， 所以ln122AC k k =-=-=-； （2）当0x ≤时，()23f x x x =+，设直线1y kx =--与函数()f x 相切于点B 点2(,3)x x x +，()23123x x f x x k x++'=+=-=，整理可得222331(0)x x x x x +=++≤，解得1x =-，所以2(1)31AB k k =-=-+=， 故21k -<-<，即12k -<<时，在0x >时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点； 在0x ≤时，函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有2个交点，故函数()y f x =与1y kx =--的图象相交有4个交点时的k 的范围是(1,2)-. 故选：C.【点睛】本题主要考查了直线关于直线对称，以及直线与曲线相切的斜率，以及函数与方程的关系的综合应用，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.4．A解析：A 【分析】f （x ）＝kx 可变形为k lnxx=，关于x 的方程f （x ）＝kx 的实数根问题转化为直线y ＝k 与函数g （x ）g （x ）lnxx=的图象的交点个数问题，由导数运算可得函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数，又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=，画草图即可得解． 【详解】 设g （x ）()f x lnx xx==， 又g ′（x ）21lnxx-=， 当0＜x ＜e 时，g ′（x ）＞0，当x ＞e 时，g ′（x ）＜0， 则函数g （x ）在（0，e ）为增函数，在（e ，+∞）为减函数， 又x →0+时，g （x ）→﹣∞，x →+∞时，g （x ）→0+，g （e ）1e=， 即直线y ＝k 与函数g （x ）的图象有两个交点时k 的取值范围为（0，1e）， 故选A ．【点睛】本题考查了导数的运算及方程与函数的互化及极限思想，属于中档题.5．B解析：B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解． 【详解】∵3()f x x ax =-，∴2'()3f x x a =-．又函数()f x 在()1,1-上单调递减，∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立，即23a x ≥在(1,1)-上恒成立．∵当(1,1)x ∈-时，3033x ≤<，∴3a ≥． 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞． 故选：B ． 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性，以及不等式的恒成立问题，注意当'()0()f x x D <∈时，则函数()f x 在区间D 上单调递减；而当函数()f x 在区间D 上单调递减时，则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立．解题时要注意不等式是否含有等号，属于中档题．6．D解析：D 【分析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】()()1ln 20f x f x x xx++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln f e e e C ∴+=，()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，()2ln 0f x x x ∴+=，()2ln x f x x∴=-()1x >，不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，∴2ln x ax x-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，即ln xa x≥-对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x =-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()21ln 0ln xg x x -==′，解得x e =，∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减，∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，()()max ln eg x g e e e==-=-， a e ∴≥-，∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥. 7．B解析：B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x--≠-==-∴为奇函数，舍去A, 1(1)0f e e -=->∴舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>， 所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．D解析：D 【分析】求函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系进行判断，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，分离参数m ，即可得到答案． 【详解】由题得2()4f x x mx '=-+，要使()f x 在区间[]12，上是增函数，则()0f x '≥在[]12，上恒成立，即240x mx -+≥，则244x m x x x+≤=+在[]12，上恒成立，又44x x +≥=，当且仅当2x =时，等号成立，所以4m ≤， 故答案选D 【点睛】本题主要考查导数与原函数单调性之间的关系，将含参问题转化为最值成立，是解决本题的关键，属于中档题．9．B解析：B 【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可. 【详解】函数211()x f x x x x-==-，可得21()1f x x '=+，0()x ∈+∞，时，()0f x '＞，()f x 单调递增，∵12100x x e e -->>，，故不等式121(())x x f e f e >﹣﹣的解集等价于不等式121x x e e >﹣﹣的解集． 121x x ->-．∴23x <． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由()f x =(4)f x -得到函数的对称性，(2)()0x f x '->得到函数的单调性，结合关系即可得到结论. 【详解】由于函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有()f x =(4)f x -， 可知函数关于2x =对称，根据条件2x ≠时，有()2(),xf x f x ''> 得(2)()0x f x '->，当2x >时()f x 递增，当2x <时()f x 单调递减， 因为24a <<所以4216a <<，21log 2a <<，因为2x =是对称轴，所以22log 3a <<， 所以22log 32aa <<<， 所以2(log )(3)(2)af a f f <<， 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.11．D解析：D 【分析】由01x <<得到2x x <，要比较()f x 与()2f x 的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出()'f x 利用导函数的正负决定函数的增减项，即可比较出()f x 与()2f x 的大小，利用对数的运算法则以及式子的性质，从式子的符号可以得到()f x 与()2f x 的大小，从而求得最后的结果. 【详解】根据01x <<得到201x x <<<，而()21ln 'xf x x-=， 所以根据对数函数的单调性可知01x <<时，1ln 0x ->，从而可得()'0f x >，函数()f x 单调递增，所以()()()210f x f x f <<=，而()222ln 0x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以有()()()22f x f x f x <<.故选D. 【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．12．C解析：C 【解析】 函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则导函数无变号零点，()2222f x x bx a c ac +++'=- ，22222210cos 22a cb b ac ac B ac +-=--+≤⇒=≥()0,(0,].3B B ππ∈∴∈故最大值为：3π．故答案为C ．二、填空题13．【分析】设函数求得求得函数的单调性和极值画出函数的图象结合图象分类讨论即可求解【详解】设函数则令得：当时函数单调递增；当时函数单调递减又故画出函数的图象如图所示：因为存在实数b 使函数恰有三个零点所以解析：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】 设函数()x x h x e =，求得()1xxh x e '-=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解. 【详解】 设函数()x x h x e =，x ∈R ，则()1xxh x e '-=，令()0h x '=得：1x =， 当(),1x ∈-∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，又()11h e=，故画出函数()h x 的图象，如图所示：因为存在实数b ，使函数()()g x f x b =-恰有三个零点， 所以存在实数b ，使方程()f x b =有三个实数根，所以存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，因为函数(),,x xx a f x e x x a⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，结合函数()h x 的图象和函数y x =-单调递减，所以1a <，①当01a ≤<时，函数()f x 的图象如图所示：显然存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，符合题意， ②当0a <时，函数()f x 的图象如图所示：要存在实数b ，使函数()f x 与y b =的图象有3个交点，则1a e-<，解得1a e >-，所以10a e-<<， 综上所述，a 的取值范围是：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令()0f x =，有几个解，函数就有几个零点；（2）零点的存在定理法：要求函数()f x 在区间[],a b 上连续不断的曲线，且()()0f a f b <，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()f x 的零点个数.14．【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图：设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为：【点睛】本题考查了函数的实际 解析：33【分析】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，设(02),OE x x CE y =<<=，则224x y +=，则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-，令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<，利用导数求其最值. 【详解】连OC ，过C 作CE OB ⊥，垂足为E ，如图：设,OE x CE y ==，则224x y +=， 所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-2x =<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+， (0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增， (1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减，所以1x =时，()h x 取得极大值，也是最大值，max ()(1)27h x h ==，即S 的最大值故答案为： 【点睛】本题考查了函数的实际应用，运用导数求最值时解题的关键，属于中档题.15．【分析】对函数进行求导导函数在区间上恒非正或恒非负进行求解即可【详解】由题意得：函数的定义域为由题意可知：或在区间上恒成立当在区间上恒成立时当时因此有；当在区间上恒成立时当时因此有综上所述：实数的取 解析：(,16][6,)-∞-+∞【分析】对函数进行求导，导函数在区间()1,2上恒非正或恒非负进行求解即可. 【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0+∞，， 2'()+4ln ()2+4af x x x a x f x x x=+⇒=+，由题意可知：'()0f x ≥或'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立.当'()0f x ≥在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≥⇒≥--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈--，，因此有6a ≥-； 当'()0f x ≤在区间()1,2上恒成立时，222+40242(+1)2ax a x x x x+≤⇒≤--=-+， 当()1,2x ∈时，()2(24)166x x --∈-，，因此有16a ≤-， 综上所述：实数a 的取值范围是(,16][6,)-∞-+∞. 故答案为：(,16][6,)-∞-+∞. 【点睛】本题考查了已知函数在区间上的单调性求参数取值范围，考查了导数的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.16．【分析】构造函数则所以的单调递减将转化成又再根据函数单调性即可求出结果【详解】设所以因为所以所以在上为减函数因为函数是定义在上的增函数所以所以在上恒成立又因为所以所以即因为所以所以又在上为减函数所以 解析：(),0-∞【分析】 构造函数()()2+=x f x g x e ，则()()()()20'-+'=<xf x f xg x e，所以()g x 的单调递减，将()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦转化成()23+>xf x e，又()03g =，再根据函数单调性即可求出结果. 【详解】设()()2+=x f x g x e ，所以()()()()()()()222''-+-+'==x x x xf x e f x e f x f xg x e e， 因为()()2f x f x '+>，所以()0g x '<，所以()()2+=xf xg x e在R 上为减函数， 因为函数()f x 是定义在R 上的增函数，所以()0f x '>，所以()()20'+>>f x f x 在R 上恒成立，又因为()ln 2ln 3f x x +>+⎡⎤⎣⎦，所以()2ln3+>f x x ，所以()23+>x f x e ，即()23+>x f x e ，因为()01f =，所以()()00203+==f g e，所以()()0g x g >，又()()2+=xf xg x e在R 上为减函数，所以0x <. 故答案为：(),0-∞ 【点睛】本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.17．【分析】设出圆柱的底面半径和高求出体积表达式通过求导求出体积的最大值【详解】设圆柱底面半径高圆柱轴截面的周长为定值则求导可得：令可得当时当时当时圆柱体积的有最大值圆柱体积的最大值是：故答案为：【点睛解析：3216l π 【分析】设出圆柱的底面半径和高，求出体积表达式，通过求导求出体积的最大值． 【详解】设圆柱底面半径R ，高H ，圆柱轴截面的周长l 为定值， 则42R H l +=22lH R ∴=-22232222l l V SH R H R R R R ππππ⎛⎫∴===-=- ⎪⎝⎭求导可得：26V Rl R ππ'=- 令0V '=，可得260Rl R ππ-=，(6)0R l R π∴-= 60l R ∴-=6lR ∴=当6lR >时，(6)0V R l R π'=-< 当6lR <时，(6)0V R l R π'=-> 当6l R =时，圆柱体积的有最大值，圆柱体积的最大值是：32322216l l V R R πππ=-=故答案为：3216l π．【点睛】本题主要考查了根据导数求最值，解题关键是掌握根据导数求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．18．【分析】首先求出函数的导函数由再根据三角函数的性质解三角不等式即可；【详解】解：所以令即所以故的单调递增区间为故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间三角函数的性质的应用属于中档题解析：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】首先求出函数的导函数，由()0f x '>，再根据三角函数的性质解三角不等式即可； 【详解】 解：()1cos 2f x x x =+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()1sin 2f x x '=-+，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令()0f x '>，即1sin 02x -+>，所以06x π<<，故()f x 的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故答案为：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，三角函数的性质的应用，属于中档题.19．【分析】对函数求导要满足题意只需导函数在定义域内有两个零点数形结合即可求得【详解】由可得函数定义域为且若满足有两个不同的极值点则需要满足有两个不同的实数根即在区间上有两个不同的实数根也即直线与函数有 解析：()0,1【分析】对函数求导，要满足题意，只需导函数在定义域内有两个零点，数形结合即可求得. 【详解】 由()2122f x x x aInx =-+可得函数定义域为()0,∞+且()2a f x x x=+-' 若满足()f x 有两个不同的极值点， 则需要满足()20af x x x=-'+=有两个不同的实数根， 即22a x x =-+在区间()0,∞+上有两个不同的实数根，也即直线y a =与函数()22,0,y x x x =-+∈+∞有两个交点，在直角坐标系中作图如下：数形结合可知，故要满足题意，只需()0,1a ∈. 故答案为：()0,1. 【点睛】本题考查由函数极值点的个数，求参数范围的问题，属基础题；本题也可转化为二次函数在区间()0,∞+上有两个实数根，从而根据二次函数根的分布进行求解.20．①②④【分析】根据已知条件得到函数的对称轴以及函数的单调性结合题意对选项进行逐一判断即可【详解】因为故关于对称；又故当时单调递增；时单调递减对①：若根据函数单调性显然则根据零点存在定理和函数单调性在解析：①②④ 【分析】根据已知条件得到函数的对称轴，以及函数的单调性，结合题意，对选项进行逐一判断即可.【详解】因为(4)()f x f x -=，故()f x 关于2x =对称；又(()2)0x f x -'>，故当2x >时，()f x 单调递增；2x <时，()f x 单调递减. 对①：若(2)(6)0f f <，根据函数单调性，显然()()20,60f f ，则()20f -> 根据零点存在定理和函数单调性，()f x 在()()2,2,2,6-上各有1个零点，故①正确； 对②：因为()f x 关于2x =对称，故()2f x +关于0x =对称，故是偶函数，则②正确；对③：121257sin cos ︒+︒=︒<(),2-∞单调递减可知，()1212ff sin cos <︒+︒，故③错误；对④：因为12x x <，故可得1222x x -<-；因为124x x +>，故可得1222x x -<- 故2122x x ->-，又函数关于2x =对称，结合函数单调性， 故可得()()21f x f x >，故④正确. 综上所述：正确的有①②④. 故答案为：①②④. 【点睛】本题考查根据导数的正负判断函数的单调性，函数对称轴的识别，涉及辅助角公式的使用，利用函数单调性比较大小，属综合性中档题.三、解答题21．（1）2a >；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用题中的条件函数有两个极值点，相当于导数等于零有两个解，对函数求导，对函数加以分析，最后求得结果；（2）构造相应的函数，研究函数的图像，找出其对应的最值，最后求得结果. 【详解】解：（1）)(211x ax f x x a x x='-+=-+，即方程210x ax -+=有两相异正根，即方程1a x x =+有两相异正根，由1y x x=+图象可知2a >． （2）要证)(2132f x x <-，只要证2222113ln 22x ax x x -+<-， 1x 、2x 为方程210x ax -+=的两根，121=x x ，2221ax x =+．只要证)(2222221311ln 22x x x x -++<-；只要证3222213ln 22x x x x --+<-；2x 为方程210x ax -+=的较大根，212ax >>． 令)()(32222221ln 12g x x x x x x =--+>． )()(222223ln 12g x x x x '=-+>，)()(222221301g x x x x =-+<'>'；)(22223ln 2g x x x +'=-在)(1,+∞上单调减，所以)(()210g x g ''<<恒成立；)(2g x 在)(1,+∞上单调减，)(()2312g x g <=-．【点睛】：思路点睛：该题属于导数的综合题，在做题的过程中，紧紧抓住导数与函数性质的关系，导数大于零单调增，导数小于零，函数单调减，借用二阶导来进一步研究函数的性质，对于不等式的证明问题，注意转化为最值来处理. 22．(1)10a =；(2) 3.3. 【分析】(1)将“销售价格为4元/件时,每月可售出21千件”带入关系式中即可得出结果； (2)首先可通过题意得出每月销售装饰品所获得的利润24(6102)2f x x x x ，然后通过化简并利用导数求得最大值，即可得出结果． 【详解】(1)由题意可知，当销售价格为4元/件时,每月可售出21千件， 所以2214(46)42a ，解得10a =．(2)设利润为()f x ，则2f xy x ，26x <<，带入2104(6)2y x x =+--可得： 224(6)(6)10210422f x xx x x x ，化简可得32456240278f xx x x ，函数()f x 的导函数21211224043106f xx x x x ，26x <<，当0f x 时，1032x ，函数()f x 单调递增；当0f x时，1036x ，函数()f x 单调递减；当0fx 时，103x，函数()f x 取极大值，也是最大值，所以当103x，函数()f x 取最大值，即销售价格约为每件3.3元时，该店每月销售装饰品所获得的利润最大． 【点睛】本题考查函数的相关性质，主要考查函数的实际应用以及利用导数求函数的最值，本题的关键在于能够通过题意得出题目所给的销售量、销售价格以及每月销售装饰品所获得的利润之间的关系，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题． 23．（1）答案见解析；（2）[)1,-+∞.【分析】（1）对实数a 分情况讨论，求导得到导函数的正负，进而得到函数的单调性和极值； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立，令()()ln 0x h x x x x=->，对此函数求导得到函数的单调性和最值即可得到结果. 【详解】 （1）函数()ln f x x ax =-的定义域为()0,∞+，()1f x a x '=-. 当0a ≤时，()10f x a x'=->，所以()y f x =在()0,∞+上单调递增，无极值点； 当0a >时，解()10f x a x '=->得10x a <<；解()10f x a x '=-<得1x a>. 所以()y f x =在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以函数()y f x =有极大值点是1a ，无极小值点； （2）由条件可得()2ln 00x x ax x --≤>恒成立，则当0x >时，ln x a x x≥-恒成立， 令()()ln 0x h x x x x =->，则()221ln x x h x x--'=，令()()21ln 0k x x x x =-->， 则当0x >时，()120k x x x'=--<，所以()y k x =在()0,∞+上为减函数. 又(1)0k =，所以，当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞上，()0h x '<. 所以()y h x =在()0,1上为增函数，在()1,+∞上为减函数.所以()()max 11h x h ==-，所以1a ≥-.因此，实数a 的取值范围是[)1,-+∞.【点睛】对于函数不等式恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数.24．（1）230x e y e +-=（2）(,0]-∞【详解】试题分析：（1）先求函数导数，再根据导数几何意义得切线斜率为()'f e ，最后根据点斜式求切线方程（2）构造函数()()2ln 1g x x a x =--，利用导数并按0a ≤，10<2a <，12a ≥进行分类讨论，通过函数的单调性以及最值进行与0比较，可得结果. 试题 （1）根据题意可得，()2f e e =， ()2ln 'x f x x -=，所以()22ln 1'e f e e e -==-，即21k e =-， 所以在点()(),e f e 处的切线方程为()221y x e e e-=--，即230x e y e +-=． （2）根据题意可得，()()()221ln 110a x x a x f x x x x-----=≥在1≥x 恒成立，令()()2ln 1g x x a x =--，()1x ≥， 所以()12g x ax x-'=， 当0a ≤时，()0g x '>，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递增，所以()()10g x g ≥=，所以不等式()()21a x f x x ->成立，即0a ≤符合题意；当0a >时，令120ax x-=，解得x =1=，解得12a =，当10<2a <1，所以()g x '在⎛⎝上()0g x '>，在+⎫∞⎪⎪⎭上()0g x '<，所以函数()y g x =在⎛ ⎝上单调递增，在+⎫∞⎪⎪⎭上单调递减，21111ln 1ln g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()1ln h a a a a =--+， ()222111'10a a h a a a a-+=-++=>恒成立，则()h a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 所以()1111ln 2ln2202222h a h ⎛⎫<=--+=+-< ⎪⎝⎭，所以存在10g a ⎛⎫<⎪⎝⎭， 所以102a <<不符合题意；②当12a ≥1≤ ()0g x '≤在[)1,+∞上恒成立，所以函数()y g x =在[)1,+∞上是单调递减，所以()()10g x g ≤= 显然12a ≥不符合题意； 综上所述，a 的取值范围为{}|0a a ≤25．（1）1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）32a e > 【分析】（1）直接求出函数的导函数，令()0f x '>，解不等式即可；（2）由题意容易知道2102222a ln a a a f ln e ln a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，解出即可求得实数a 的取值范围； 【详解】解：（1）因为()2x f x e ax b =-+所以()()220x f x e a a '=->，令()0f x '>，得1ln 22a x >，∴函数()f x 的单调递增区间为1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()f x 在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭递减，在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增， ∴x →-∞时，()f x →+∞；x →+∞，()f x →+∞，∵函数()f x 有两个零点12,x x ，∴1ln 022a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又a b =， ∴ln 21ln ln 02222a a a a f e a ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭， 即ln 0222a a a a -+< 所以3ln02a -< 所以32a e >【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查导数中零点问题，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．26．（1）y x =；（2）3a=-. 【分析】（1）求出导函数，结合()f x 在23x =处取极值，导函数为0，求解a ，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0f x '=，求出极值点，若0a ，若32a -，若302a >>-，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【详解】 解：（1）∵2()3()3f x x x a '=+，又()f x 在23x =处取极值， ∴2()03f '=得1a =-， 当1a =-时2()33f x x x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，函数在(),0-∞和2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，满足题意；∴32()1f x x x =-+，切点为(1,1)，切线斜率为(1)1k f '==∴()f x 在点(1,1)的切线方程为y x = （2）∵2()3()3a f x x x '=+，令()0f x '=得0x =或23a - 若0a ≥，则(0,1)x ∈时()0f x '>，()f x 在[0，1]为增函数此时min ()(0)11f x f ==>-舍去若32a ≤-，则213a -≥，此时(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在[0，1]为减函数 min ()(1)21f x f a ==+=-，得33(,)2a =-∈-∞-满足题意 若302a >>-，则2013a <-<，此时2(0,)3x a ∈-时()0f x '<，2(,1)3a x ∈-时()0f x '> ()f x 在2(0,)3a -单调递减，在2(,1)3a -单调递增，此时3min24()()11327a a f x f =-=+=-解得3(,0)2a =-舍去 综合以上得3a=-【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于难题．。
高中数学 3_2 导数在实际问题中的应用同步精练 北师大版选修2-21
高中数学 3.2 导数在实际问题中的应用同步精练北师大版选修2-21.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )．A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件2．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )．A．2 m3B．3 m3 C．4 m3D．5 m33．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1单位产品，成品增加100元，已知总收益R与产量x的关系式R(x)＝21400,0400,280 000, >400,x x xx⎧-≤≤⎪⎨⎪⎩则总利润最大时，每年生产的产品是( )．A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位4．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为154，则a等于( )．A．32-B．12C．12-D．12或32-5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则k的取值范围为( )．A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3＜k＜－1或1＜k＜3C．－2＜k＜2 D．不存在这样的实数6．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)7．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为__________，最小值为__________．8．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.参考答案1.答案：B 解析：∵x＞0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，∴x∈(0,9)时，y′＞0，x∈(9，＋∞)时，y′＜0，y先增后减，∴x＝9时函数取得最大值．2.答案：B 解析：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝(4.5－3x) m32x⎛⎫<<⎪⎝⎭.故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x332x⎛⎫<<⎪⎝⎭，从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．当0＜x＜1时，V′(x)＞0，当1＜x＜32时，V′(x)＜0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值．从而最大体积V m ax＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．3.答案：D 解析：总成本C(x)＝20 000＋100x，∴总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝230020 000,0x400,260 000-100,>400xxx x⎧--≤≤⎪⎨⎪⎩当0≤x≤400时，令P′(x)＝0，得x＝300，当0＜x＜300时，P′(x)＞0，当300＜x＜400时，P′(x)＜0.∴当x＝300时，总利润最大为25 000元．当x＞400时，P′(x)＝－100＜0，∴P(x)＜P(400)＝20 000＜P(300)，∴当x＝300时，总利润最大．4.答案：B 解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1.当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝154，解得a＝12-或a＝32-(舍)．5.答案：B 解析：∵y′＝3x2－12，由y′＞0得函数增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)，由y′＜0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴k－1＜－2＜k＋1或k－1＜2＜k＋1，得－3＜k＜－1或1＜k＜3.6.答案：B 解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立．又∵在[1，＋∞)上(－3x2)m ax＝－3，∴a≥－3.7.答案：不存在3284-解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝3 2 .当x＞32时，函数是增加的，当－2≤x≤32时，函数是减少的，∴在[－2，＋∞)上无最大值．又∵f(－2)＝57，332824f⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴最小值为3 284 -.8.答案：32 解析：f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＞0得x＞2或x＜－2，由f′(x)＜0得－2＜x＜2，∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2] 上单调递减，在[2,3]上单调递增．又∵f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，∴最大值M＝24，最小值m＝－8，∴M－m＝24－(－8)＝32.。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-2同步训练：(11)导数在实际问题中的应用
（11）导数在实际问题中的应用1、设底面为正三角形的直棱柱的体积为V ,那么其表面积最小时, 底面边长为( )A.B.C.D. 2、以长为10的线段AB 为直径作半圆,则它的内接矩形的面积的最大值为( ) A. 10 B. 15 C. 25 D. 50 3、函数ln xy x=的最大值为( ) A. 1e - B. e C. 2e D.1034、对于函数21y x =-,下列结论正确的是( ) A. y 有极小值0,且0也是最小值 B. y 有最小值0,但0不是极小值 C. y 有极小值0,但0不是最小值是最小值D.因为21y x =-在12x =处不可导,所以0既非最小值也非极小值 5、某工厂生产某种产品,已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格p (元/吨)之间的关系为2124?2005p x =-,且生产x 吨产品的成本为50000200C x =+元.则月产量为多少吨时,利润达到最大值?( )A.100B.160C.200D.240 6、内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )A.R B.3R C.2R D.R 7、函数在区间上的最大值是( )A.-2B.0C.2D.48、函数()()331f x x x x =-< ( ) A.有最大值,但无最小值 B.有最大值,也有最小值 C.无最大值,但有最小值 D.既无最大值,也无最小值9、函数()y f x =在[],a b 上( )A.极大值一定比极小值大B.极大值一定是最大值C.最大值一定是极大值D.最大值一定大于极小值 10、某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品成本增加100元,已知总收益R 与年产量x 关系是()21400,0400,{280000,400,x x x R x x -≤≤=>,则总利润最大时,每年生产的产品数量是( )A.100单位B.150单位C.200单位D.300单位 11、如果函数323()2f x x x a =-+在[]1,1-上的最大值是2，那么()f x 在[1,1]-上的最小值是________.12、设函数()23252x f x x x =--+,若对任意[1,2]x ∈-,都有()f x m >,则实数m 的取值范围是__________.13、函数sin cos y x x =+在,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值、最小值分别为__________. 14、设()321252f x x x x =--+,当[1,2]x ∈-时, ()f x m <恒成立,则实数m 的取值范围是__________.15、已知函数()()2x f x x e =-和()32g x kx x =--． （1）若函数()g x 在区间()1,2不单调，求实数k 的取值范围；（2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的最大值．答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：设底面边长为x ,则表面积()23430S x =+>,()33'4S x V +-,令'0S =,得唯一极值点34x V =2答案及解析： 答案：C解析：如图,设NOB θ∠=,则矩形面积5sin 25sin 50sin cossin 25sin 2S θθθθθ=⋅⋅=⋅=, ∴sin 21θ=时,函数取得最大值25, 故max 25S =.故选C.3答案及解析： 答案：A解析：一方面函数的定义域为{}0x x ,另一方面221ln 1ln 'x xx x y x x ⋅--==,当0x e <<时, 0y '>,函数单调递增,当x e >时, 0y '<,函数单调递减,所以函数ln xy x=在x e =取得最大值1ln 1e e e e-==,故选A. 考点:函数的最值与导数.4答案及解析： 答案：A解析：运用数形结合法.5答案及解析： 答案：C解析：设每月生产x 吨产品时的利润为()()2124200500002005f x x x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭()31240005000005x x x =-+-≥.由()23'2400005f x x =-+=,解得12200,200x x ==- (舍去).因()f x 在[)0,+∞内只有一个点200x =使()'0f x =,故它就是最大值点,且最大值为()31200200240002005000031500005f =-⨯+⨯-=.∴每月生产200吨产品时,利润达到最大,最大利润为315万元.6答案及解析： 答案：A解析：作轴截面如图,设圆柱体高为2h ,. 为圆柱体体积为()2223222V R h h R h h πππ=⋅-⋅=-. 令0V '=得22260R h ππ-=,∴3h R =.即当2h R =时,圆柱体的体积最大.7答案及解析： 答案： C解析： 对函数求导后可知,则函数,在区间上递增,在上递减,因此最大值是,选C.8答案及解析： 答案：D解析：()()()2'33311f x x x x =-=+-,当()1,1x ∈-时, ()'0f x <,所以()f x 在()1,1-上是单调递减函数,无最大值和最小值.9答案及解析： 答案：D解析：由函数的最值与极值的概念可知, ()y f x =在[],a b 上的最大值一定大于极小值.10答案及解析：答案：D解析：设总成本为C 元,总利润为P 元,则20000100C x =+,230020000,0400,{260000100,400,x x x P R C x x --≤≤=-=-> ∴300,0400,'{100,400,x x P x -≤≤=->令'0P =,得300x =.当0300x <<时, '0P >;当300x >时, '0P <.∴当300x =时,P 取得最大值,故应选D.11答案及解析： 答案：12- 解析：12答案及解析： 答案：7,2m ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭解析：先利用导数求函数()23252x f x x x =--+在[]1,2-上的最小值,恒成立问题可转化成()min f x m >即可解: ()2'320f x x x =--=,解得21,3x =-, ()()()1222115,5,13,2723272f f f f ⎛⎫-=-=== ⎪⎝⎭,即()min 132f x =, ∴132m <. 故答案为7,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【点评】本题主要考查了三次函数恒成立问题,利用导数研究函数的最值,属于基础题.13答案及解析：;1-解析：()'cos sin 0f x x x =-=,4x k ππ=+()k Z ∈.而,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦, 当24x ππ-<<时, ()'0f x >,当42x ππ<<时,()'0f x <,∴4f π⎛⎫⎪⎝⎭是极大值,又4f π⎛⎫= ⎪⎝⎭12f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∴,.14答案及解析： 答案：(7,)+∞解析：()()()2'32132f x x x x x =--=-+,令()'0f x =,得1x =或23x =-.,.又()111112522f -=--++=,()282457f =--+=. 比较可得()()max 27f x f ==,∴7m >.15答案及解析：答案：（1）依题意()231g x kx '=-， ①当0k≤时，()2310g x kx '=-≤，所以()g x 在()1,2单调递减，不满足题意；②当0k>时，()g x 在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，因为函数()g x 在区间()1,2不单调，所以12<<，解得11123k <<， 综上所述，实数k 的取值范围是11123k <<． （2）令()()()()322x h x f x g x x e kx x =-=--++，依题可知()()3220x h x x e kx x =--++≥在[)0,+∞上恒成立，()()2131x h x x e kx '=--+，令()()()2131x x h x x e kx ϕ'==--+，由()()000h ϕ'==且()()6x x x e k ϕ'=-． ①当61k ≤，即16k ≤时， 因为0x ≥，1x e ≥，所以()()60x x x e k ϕ'=-≥，所以函数()x ϕ即()h x '在[)0,+∞上单调递增，又由()()000h ϕ'==， 故当[)0,x ∈+∞时，()()00h x h ''≥=，所以()h x 在[)0,+∞上单调递增， 又因为()00h =，所以()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立，满足题意； ②当61k >，即16k >时，当()()0,ln 6x k ∈，()()60x x x e k ϕ'=-<，函数()x ϕ即()h x '单调递减， 又由()()000h ϕ'==，所以当()()0,ln 6x k ∈时，()()00h x h ''<=，所以()h x 在()()0,ln 6k 上单调递减，又因为()00h =，所以()()0,ln 6x k ∈时，()0h x <，这与题意()0h x ≥在[)0,+∞上恒成立相矛盾，故舍去． 综上所述，16k ≤，即实数k 的最大值是16．解析：。
北师大版选修22高中数学321《实际问题中导数的意义》同步训练
§2导数在实际问题中的应用2、1实际问题中导数的意义双基达标限时20分钟1.物体运动规律是s＝s(t）,物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度为( ）。
A、错误!＝错误!＝错误!B、错误!＝错误!C、错误!＝错误!错误!＝错误!错误!D、错误!＝错误!答案A2.设函数f(x）在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx）－f（x0)＝aΔx＋b(Δx)2（a,b为常数),则( ).A.f′(x)＝a B。
f′(x）＝bC。
f′（x0）＝a D。
f′(x0)＝b答案C3。
如果质点A按规律s＝3t2运动，则在t＝3时的瞬时速度为( )。
A.6 B。
18C。
54 D。
81解析瞬时速度v＝错误!错误!＝错误!错误!＝错误!3(6＋Δt)＝18、答案B4。
球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为________。
答案错误!5。
如图,水波的半径以50 cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时,一水波面的圆面积的膨胀率是________。
答案25 000π cm2/s6。
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f(x）＝x2－7x＋15（0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解在第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f′(2）和f′(6).根据导数的定义，错误!＝错误!＝错误!＝4Δx＋Δx2－7ΔxΔx＝Δx－3，所以，f′（2)＝错误!错误!＝错误!(Δx－3）＝－3、同理可得f′（6)＝5、在第2 h与第6 h时，原油的温度的瞬时变化率分别为－3和5，它说明在第2 h附近，原油温度大约以3 ℃/h的速度下降;在第6 h附近,原油温度大约以5 ℃/h的速度上升。
f′（x0)反映了原油温度在时刻x0附近的变化情况。
综合提高限时25分钟7。
一根金属棒的质量y(单位:kg)是长度x(单位:m)的函数,y＝f（x)＝3错误!,则从4 m到9 m这一段金属棒的平均线密度是( )。
北师大版数学高二-选修2试题 3-2导数在实际问题中的应用
一、选择题1．一个质点在直线上运动，运动方程为s ＝f (t )＝3t －t 2，则此质点在t ∈[0，32]时最大位移和最大速度分别是( )A ．3,3B .94，3 C.94，94 D.32，32【解析】 s ＝f (t )＝3t －t 2是二次函数，易求最大值为94.速度v ＝f ′(t )＝3－2t ，当t ∈[0，32]时，v 最大为3，故正确选项为B.【答案】 B2．当函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间[0，π2]上取得最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2【解析】 f ′(x )＝1＋2(－sin x )，令f ′(x )＝0，解得sin x ＝12.∵0≤x ≤π2，∴x ＝π6.当0≤x ≤π6时，f ′(x )>0，函数是增加的；当π6＜x ≤π2时，f ′(x )<0，函数是减少的，∴x ＝π6时，函数取得极大值，也是最大值．【答案】 B3．若函数f (x )＝a sin x ＋13sin 3x 在x ＝π3处有最值，那么a 等于( ) A ．2 B ．1 C.233D ．0【解析】 f ′(x )＝a cos x ＋cos 3x ，由题意f ′(π3)＝0，即12a－1＝0，故a＝2.【答案】 A4．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件【解析】∵y＝f(x)＝－13x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81，令y′＝0得x＝9，x＝－9(舍去)，当0<x<9时y′>0，函数f(x)单调递增．当x>9时y′<0，函数f(x)单调递减故当x＝9时，y取最大值．【答案】 C5．将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆的面积之和最小时，圆的周长为()A．50 B.100π4＋πC.100π2＋πD．25【解析】设圆的周长为x cm，则正方形的周长为(100－x)cm.则0＜x＜100.∴圆的半径为r＝x2π，正方形的边长为25－x4，则圆与正方形的面积之和为S(x)＝14πx2＋(25－x4)2(0＜x＜100)，∴S′(x)＝12πx－12(25－x4)．由S ′(x )＝0，得x ＝100π4＋π，此时S (x )取得最小值． 【答案】 B 二、填空题6．设函数f (x )＝x 3－x 22－2x ＋5.若存在x ∈[－1,2]使得f (x )>m ，则实数m 的取值范围是________．【解析】 f ′(x )＝3x 2－x －2＝3(x ＋23)(x －1)． ∵f (－1)＝112，f (－23)＝15727，f (1)＝72，f (2)＝7， ∴f (x )最大值为7，故m <7. 【答案】 (－∞，7)7．(2013·福州高二检测)函数f (x )＝ax 4－4ax 3＋b (a ＞0)在[1,4]上的最大值为3，最小值为－6，则a ＋b ＝________.【解析】 f ′(x )＝4ax 3－12ax 2(a ＞0，x ∈[1,4])．由f ′(x )＝0，得x ＝0(舍)，或x ＝3，可得x ＝3时，f (x )取到最小值为b －27a . 又f (1)＝b －3a ，f (4)＝b ，∴f (4)为最大值． 由⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，b －27a ＝－6，解得⎩⎨⎧a ＝13，b ＝3∴a ＋b ＝103. 【答案】1038．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72 cm 3，其底面两邻边之比为1∶2，则它的长为________，宽为______，高为______时，可使表面积最小．【解析】 设体积为V cm 3，底面两邻边分别为x cm ，2x cm ，高为y cm ，则V ＝2x 2·y ，所以y ＝722x 2＝36x 2，所以表面积S ＝2(2x 2＋xy ＋2xy )＝4x 2＋216x ，所以S′＝8x－216x2，令S′＝0得x＝3.所以长为6 cm，宽为3 cm，高为4 cm.【答案】 6 cm 3 cm 4 cm三、解答题9．已知某商品生产成本C与产量q(0<q<100)的函数关系式为C＝100＋4q，价格p与产量q的函数关系式为p＝25－18q.求产量q为何值时，利润L最大？【解】设销售额为R，则R＝q·p＝q(25－18q)＝25q－18q2.利润L＝R－C＝(25q－18q2)－(100＋4q)＝－18q2＋21q－100(0<q<100)．L′＝－14q＋21，令L′＝0，即－14q＋21＝0，求得唯一的极值点q＝84. 所以产量为84时，利润L最大．10．已知23<a<1，函数f(x)＝x3－32ax2＋b在区间[－1，1]上的最大值为1，最小值为－62，求常数a，b的值．【解】f′(x)＝3x2－3ax＝3x(x－a).↗↘↗由表可见，当x＝0时，f(x)取得极大值f(0)＝b；当x＝a时，f(x)取得极小值f(a)＝－a32＋b，又f(0)>f(a)，f(1)>f(－1)，故需比较f (0)与f (1)，f (a )与f (－1)的大小．f (0)－f (1)＝b －(1－32a ＋b )＝32a －1，由a ∈(23，1)，故32a －1>0，即f (0)>f (1)，于是f (x )的最大值为f (0)．因而有b ＝1.又f (－1)－f (a )＝－1－32a ＋b －(b －a 32)＝12(a 3－3a －2)，∵a ∈(23，1)， ∴a 3－3a －2<0，即f (－1)<f (a )，f (x )的最小值为f (－1)，于是有－32a ＝－62，即a ＝63，综合可知：a ＝63，b ＝1.11．两县城A 和B 相距20 km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与对城B 的影响度之和，记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由．【解】 (1)如图，由题意知AC ⊥BC ，BC 2＝400－x 2， y ＝4x 2＋k400－x2(0<x <20)． 其中当x ＝102时，y ＝0.065，∴k ＝9.∴y 表示成x 的函数为y ＝4x 2＋9400－x 2(0<x <20)．(2)y＝4x2＋9400－x2，y′＝－8x3－9×(－2x)(400－x2)2＝18x4－8(400－x2)2x3(400－x2)2，由y′＝0，即18x4＝8(400－x2)2，∴x2＝160.∴x＝410(x＝－410舍去)．当0<x<410时，18x4<8(400－x2)x2，即y′<0.∴函数为减少的．当46<x<20时，18x4>8(400－x2)2，即y′>0.∴函数为增加的．∴当x＝410时，即当C点到城A的距离为410km时，函数y＝4x2＋9400－x2(0<x<20)有最小值.。
北师大版高中数学选修2-2同步配套课件：3.2导数在实际问题中的应用3.2.2.2
分析:根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值.
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Z 知识梳理 HISHI SHULI
D 典例透析 IANLI TOUXI
S 随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 题型二 题型三 题型四
解:(1)设隔热层厚度为 x cm,由题设知每年能源消耗费用为
C(x)=3���������+��� 5. 因为 C(0)=8,所以 k=40,故 C(x)=3���4���+05.而建造费用为 6x,从而隔
(1)将该厂的日盈利额T(单位:元)表示为日产量x(单位:件)的函数; (2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件? 分析:根据次品率,先计算出正品数与次品数,再用获利总数减去 损失总数可得盈利.
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【变式训练3】
用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四 个角分别截去一个小正方形,再把四边翻转90°,然后焊接成如图所 示的容器,问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是������-225=18 000, 由此得 y=1���8���-02000+25.
广告的面积 S=xy=x
18 000 ������-20
+
25
= 18������-02000������+25x,
北师大版高中数学选修(2-2)-3.2典型例题：导数在生活中的应用
Ｄ图1导数在生活中的应用生活中经常遇到求利润最大、费用最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，我们可以通过利用导数求函数最值的方法来解决这类问题．1．用料最少问题例1 要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为3500m ，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最少？解析：欲使材料最少，实际上是表面积最小．设粮仓底面直径为d ，高为h ，表面积为S ．由(2d h 5002π=，得22000h d π=．又Ｓ＝(2d dh 2ππ+＝2d 20004dπ+， 因此22000d S d 2π'=-+．令S 0'=，即22000d 0d 2π-+=，得d =，此时h =S <0'；当S >0'，所以，当d =，h =点评：用料最少、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，借助关系得出函数式，然后通过导数予以求解．2．选址最佳问题例2 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边Ａ处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km 的Ｂ处，乙厂到海岸的垂足Ｄ与Ａ相距50km ，两厂要在此岸边合建一个供水站Ｃ，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a 元和5a 元，问供水站Ｃ建在何处才能使水管费用最省？解析：如图1，根据题意知，只有点Ｃ在线段AD 上某一适当位置，才能使总费用最省，设C 点距D 点xkm ，则：BD = 40，∴BC =又设总的水管费用为y 元，依题意有：3(50)550)y a x x =-+<<． ∴3y a '=-+．令y '＝０，解得x = 30 ．在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x ＝30(km )处取得最小值,此时AC= 50－x = 20(km )．∴供水站建在Ａ，Ｄ之间距甲厂20km 处，可是水管费用最省．点评：符合条件的最佳位置的选取一般都与距离有关，此类问题可根据题目条件找出各变量之间的关系，是求解此类问题的关键．3．利润最大问题例3 已知某厂每月生产x 吨产品的总成本（单位：百元）为21()4273C x x x =-+，又知这种产品的市场需求关系为x ＝100p -，其中p 为每吨这种产品的市场销售价格（单位：百元）．（1）该厂每月生产多少吨这种产品时，其平均成本最低？（2）该厂每月生产多少吨这种产品时，其月利润最大？这个最大利润是多少元？解：（1）设其平均成本为()A x ，则()127()4(0)3C x A x x x x x==-+>． 为了求()A x 在(0,)+∞内的最小值，令22212781()033x A x x x-'=-==， 得2810x -=，解得x ＝９，即该厂每月生产９吨这种产品时，其平均成本最低．（2）为了求月利润函数()L x ，先求月收入函数()R x ，由这种产品的市场需求关系，得x ＝100p -，即100p x =-．所以，由题意得月收入函数为2()(100)100R x p x x x x x =∙=-=-．于是，月利润函数为 221()()()(100)(427)3L x R x C x x x x x =-=---+＝2410427(0)3x x x -->． 为了求()L x 在(0,)+∞内的最大值，令8()10403L x x '=-=，。
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高中数学 3.2 导数在实际问题中的应用同步精练北师大版选修
2-2
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y
＝－1
3
x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )．
A．13万件B．11万件C．9万件D．7万件
2．用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积为( )．
A．2 m3B．3 m3 C．4 m3D．5 m3
3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产1单位产品，成品增加100
元，已知总收益R与产量x的关系式R(x)＝
2
1
400,0400,
2
80 000, >400,
x x x
x
⎧
-≤≤
⎪
⎨
⎪⎩
则总利润最大时，
每年生产的产品是( )．
A．100单位B．150单位C．200单位D．300单位
4．已知函数y＝－x2－2x＋3在[a,2]上的最大值为15
4
，则a等于( )．
A．
3
2
-B．
1
2
C．
1
2
-D．
1
2
或
3
2
-
5．若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则k的取值范围为( )．
A．k≤－3或－1≤k≤1或k≥3 B．－3＜k＜－1或1＜k＜3
C．－2＜k＜2 D．不存在这样的实数
6．函数f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是( )．A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3)
7．函数f(x)＝5－36x＋3x2＋4x3在区间[－2，＋∞)上的最大值为__________，最小值为__________．
8．f(x)＝x3－12x＋8在[－3,3]上的最大值为M，最小值为m，则M－m＝__________.
参考答案
1.答案：B 解析：∵x＞0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0，解得x＝9，∴x∈(0,9)时，y′＞0，x∈(9，＋∞)时，y′＜0，y先增后减，
∴x＝9时函数取得最大值．
2.答案：B 解析：设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h＝(4.5－3x) m
3
2
x
⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
.
故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3
3
2
x
⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
，
从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝1或x＝0(舍去)．
当0＜x＜1时，V′(x)＞0，当1＜x＜3
2
时，V′(x)＜0，
故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极值就是V(x)的最大值．
从而最大体积V m ax＝V(1)＝9×12－6×13＝3(m3)．
3.答案：D 解析：总成本C(x)＝20 000＋100x，∴总利润P(x)＝R(x)－C(x)
＝
2
30020 000,0x400,
2
60 000-100,>400
x
x
x x
⎧
--≤≤
⎪
⎨
⎪⎩
当0≤x≤400时，令P′(x)＝0，得x＝300，
当0＜x＜300时，P′(x)＞0，
当300＜x＜400时，P′(x)＜0.
∴当x＝300时，总利润最大为25 000元．
当x＞400时，P′(x)＝－100＜0，
∴P(x)＜P(400)＝20 000＜P(300)，
∴当x＝300时，总利润最大．
4.答案：B 解析：y′＝－2x－2，令y′＝0，得x＝－1. 当a≤－1时，最大值为f(－1)＝4，不合题意．
当－1＜a＜2时，f(x)在[a,2]上单调递减，最大值为f(a)＝－a2－2a＋3＝15
4
，
解得a＝
1
2
-或a＝
3
2
-(舍)．
5.答案：B 解析：∵y′＝3x2－12，由y′＞0得函数增区间为(－∞，－2)和(2，＋
∞)，由y′＜0得函数的减区间是(－2,2)，由于函数在(k－1，k＋1)上不是单调函数，∴k－1＜－2＜k＋1或k－1＜2＜k＋1，得－3＜k＜－1或1＜k＜3.
6.答案：B 解析：∵f(x)＝x3＋ax－2在区间[1，＋∞)上是增函数，
∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－3x2在[1，＋∞)上恒成立．
又∵在[1，＋∞)上(－3x2)m ax＝－3，
∴a≥－3.
7.答案：不存在
3
28
4
-解析：∵f′(x)＝－36＋6x＋12x2，令f′(x)＝0，
解得x1＝－2，x2＝3
2
.
当x＞3
2
时，函数是增加的，
当－2≤x≤3
2
时，函数是减少的，
∴在[－2，＋∞)上无最大值．
又∵f(－2)＝57，
33
28
24
f
⎛⎫
=-
⎪
⎝⎭
，
∴最小值为
3 28
4 -.
8.答案：32 解析：f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＞0得x＞2或x＜－2，由f′(x)＜0得－2＜x＜2，
∴f(x)在[－3，－2]上单调递增，在[－2,2] 上单调递减，在[2,3]上单调递增．
又∵f(－3)＝17，f(－2)＝24，f(2)＝－8，f(3)＝－1，
∴最大值M＝24，最小值m＝－8，
∴M－m＝24－(－8)＝32.。