【精选】高考数学总复习6.3等比数列及其前n项和演练提升同步测评文新人教B版
【走向高考】高三数学一轮总复习 6-3等比数列同步练习 北师大版
6-3等比数列基 础 巩 固 一、选择题1．(文)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝2，则a 1＝( ) A ．2 B. 2 C.22D.12[答案] B[解析] ∵a 3·a 9＝(a 6)2＝2a 25，∴(a 6a 5)2＝2，又{a n }的公比为正数， ∴q ＝a 6a 5＝ 2.∴a 1＝a 2q＝ 2.(理)(·唐山一中第一学期第二次月考)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2 [答案] A[解析] ∵{a n }为正项等比数列，∴a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，且a 4a 5a 6>0， ∴a 4a 5a 6＝a 1a 2a 3·a 7a 8a 9＝52，故选A.2．已知{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．无法确定[答案] B[解析] ∵a 1＝1，q ＝a n ＋1a n ＝12，∴0<q <1，故{a n }为递减数列．3．(·新课标理，5)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7[答案] D[解析] 本题考查了等比数列的性质及分类讨论思想．a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8⇒a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4，a 4＝4，a 7＝－2⇔a 1＝－8，a 10＝1⇔a 1＋a 10＝－7， a 4＝－2，a 7＝4⇒a 10＝－8，a 1＝1⇔a 1＋a 10＝－7.4．(文)一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( ) A ．13项 B ．12项 C ．11项 D ．10项[答案] B[解析] 设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1qn －2，a 1qn －1，所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12，本题利用通项公式转化为基本量a 1，q 的关系加以解决，利用基本量沟通已知和所求是常用的方法，注意体会．(理)设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20＝( )A ．1 025B ．1 024C ．10 250D ．10 240[答案] C[解析] ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N ＋)， ∴log 2x n ＋1＝log 2(2x n )， ∴x n ＋1＝2x n ，x n ＋1x n＝2(n ∈N ＋)， 又x n >0(n ∈N ＋)，所以数列{x n }是公比为2的等比数列，由x 1＋x 2＋…＋x 10＝10得到x 1＝10210－1，所以S 20＝x 11－2201－2＝10×(210＋1)＝10 250.5．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16[答案] B[解析] 据等比数列性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，则(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )， ∵S n ＝2，S 3n ＝14，∴(S 2n －2)2＝2×(14－S 2n )． 又S 2n >0得S 2n ＝6，又(S 3n －S 2n )2＝(S 2n －S n )(S 4n －S 3n )，∴(14－6)2＝(6－2)·(S 4n －14)．解得S 4n ＝30.6．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2[答案] C[解析] 据题意知数列为等比数列，又当公比q ≠1时，等比数列前n 项和公式为S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 11－q－a 11－q q n ，令a 11－q＝a ，则有S n ＝a －aq n ，故若S n ＝k ＋3n，则k ＝－1，此外本题可由已知得数列前3项，利用3项为等比数列即可求得k 值．二、填空题7．(·江西文，13)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N ＋都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.[答案] 11[解析] 本题考查了等比数列通项公式，求和公式等， 设{a n }公比为q ，则a n ＋2＋a n ＋1 －2a n ＝a 1q n ＋1＋a 1q n －2a 1qn －1＝0，所以q 2＋q －2＝0，即q ＝－2，q ＝1(舍去)，∴S 5＝1－－251－－2＝11.8．在等比数列{a n }中，已知对任意正整数n ，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于________． [答案] 13(4n－1)[解析] 由a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2n－1， ∴a 1＝1，a 2＝2，q ＝2 又∵{a n }是等比数列∴{a 2n }也是等比数列，首项为1，公比为4 ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1－4n1－4＝13(4n－1)．三、解答题9．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．[解析] (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5.所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2，所以S 1＋54＝52， S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2， 因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列.能 力 提 升 一、选择题1．(文)在正项等比数列{a n }中，若a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，则log 2a 7－12log 2a 8＝( )A.18B.16C.14D.12[答案]D[解析] ∵a 2·a 4·a 6·a 8·a 10＝32，∴a 6＝2， ∴log 2a 7－12log 2a 8＝log 2a 7a 8＝log 2a 6a 8a 8＝log 2a 6＝log 22＝12.(理)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12 [答案] B[解析] 设{a n }的公比为q ，则q >0. ∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 1＋a 2，∴a 1q 2＝a 1＋a 1q ， ∵a 1≠0，∴1＋q ＝q 2， 又∵q >0，∴q ＝5＋12， ∴a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝5＋12. 2．(·北京文，6)已知数列{a n }为等比数列，下面结论中正确的是( ) A ．a 1＋a 3≥2a 2 B ．a 21＋a 23≥2a 22C ．若a 1＝a 3，则a 1＝a 2D ．若a 3＞a 1，则a 4＞a 2 [答案] B[解析] 本题考查了等比数列、均值不等式等知识，可用排除法求解．当a 1<0，q <0时，a 1<0，a 2>0，a 3<0，所以A 错误；而当q ＝－1时，C 错误；当q <0时由a 3>a 1得a 3q <a 1q ，即a 4<a 2，与D 项矛盾，所以B 项正确．二、填空题3．若数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，则a n 等于________．[答案] 2n－1 [解析] a n －a n －1＝a 1qn －1＝2n －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a 1＝2a 3－a 2＝22…a n －a n －1＝2n －1相加：a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n－2，∴a n ＝2n－2＋a 1＝2n－1.4．(·辽宁文，14)已知等比数列{a n }为递增数列，若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.[答案] 2[解析] 本题考查了等比数列的通项公式． ∵{a n }是递增的等比数列，且a 1>0， ∴q >1，又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1， ∴2a n ＋2a n q 2＝5a n q ， ∵a n ≠0， ∴2q 2－5q ＋2＝0， ∴q ＝2或q ＝12(舍去)，∴公比q 为2.(理)(·辽宁理，14)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.[答案] 2n[解析] 本题考查等比数列通项公式的求法． 由题意，a 25＝a 10，则(a 1q 4)2＝a 1q 9，∴a 1＝q . 又∵2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴2q 2－5q －2＝0，∵q >1，∴q ＝2，a 1＝2， ∴a n ＝a 1·qn －1＝2n.三、解答题5．(·陕西文，16)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． [解析] (1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×[1－－12n]1－－12＝2＋－12n －13.(2)证明：对任意k ∈N ＋，2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝2a 1q k ＋1－(a 1qk －1＋a 1q k)＝a 1qk －1(2q 2－q －1)，由q ＝－12得2q 2－q －1＝0，故2a k ＋2－(a k ＋a k ＋1)＝0.所以，对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列． 6．(文)已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． [解析] (1)因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋12.(理)等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和．[解析] (1)设数列{a n }的公比为q . 由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19.由条件可知q >0，故q ＝13，由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13，故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n ) ＝－n n ＋12.故1b n ＝－2nn ＋1＝－2(1n －1n ＋1)， 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝－2nn ＋1. 所以数列{1b n }的前n 项和为－2n n ＋1.7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝k ·2n＋m ，k ≠0，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n a n求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] (1)依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3＝2k ＋m ， ①3＋a 2＝4k ＋m ， ②3＋a 2＋a 3＝8k ＋m . ③解得a 2＝2k ，a 3＝4k ， ∴公比为q ＝a 3a 2＝2， ∴a 23＝2，∴k ＝3，代入①得m ＝－3，∴a n ＝3·2n －1.(2)解b n ＝n a n ＝n3·2n －1，T n ＝13(1＋22＋322＋…＋n2n －1)，④12T n ＝13(12＋222＋…＋n －12n －1＋n2n )，⑤ ④－⑤得12T n ＝13(1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n )，T n＝23⎝⎛⎭⎪⎫1·1－12n1－12－n2n＝43(1－12n－n 2n ＋1)．。
等比数列及其前n项和高三新高考一轮复习
考查等比数列的前n项和
前n项和的实际应用和例题分析
前n项和的求解方法和技巧
前n项和的公式和推导过程
等比数列的定义和性质
考查等比数列的综合应用
等比数列的定义和性质
等比数列的通项公式和前n项和公式
等比数列在实际生活中的应用，如金融、物理等领域
等比数列在高考中的常见题型和解题方法，如选择题、填空题、解答题等
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等比数列的性质：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1为第一项，q为公比，n为项数。
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等比数列的前n项和公式：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn为前n项和，a1为第一项，q为公比，n为项数。
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等比数列在高考中的考查形式：选择题、填空题、解答题等，考查学生对等比数列的定义、性质、前n项和公式的理解和应用。
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等比中项与等比数列的判定
等比中项：如果一个数列的每一项都是前一项的等比，那么这个数列就叫做等比数列。
等比数列的判定：如果一个数列的每一项都是前一项的等比，那么这个数列就叫做等比数列。
等比中项的性质：如果一个数列的每一项都是前一项的等比，那么这个数列就叫做等比数列。
等比数列的判定方法：如果一个数列的每一项都是前一项的等比，那么这个数列就叫做等比数列。
பைடு நூலகம்
遇到问题时，及时向老师或同学请教，不要独自钻研
制定合理的复习计划，确保复习进度和效果
复习过程中，注重基础知识的掌握，避免盲目刷题
调整心态，积极备考
保持良好的心态：面对考试压力，保持冷静，积极应对
制定合理的复习计划：根据自身情况，制定适合自己的复习计划
注重基础知识：复习过程中，注重基础知识的掌握，避免盲目追求难题
高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和教学案 理
§6.3 等比数列及其前n 项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 主要考查等比数列的基本运算、基本性质，等比数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与数列的计算、证明、等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查．属于中低档题.1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n (λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k.4．在等比数列{a n }中，若S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列(n 为偶数且q ＝－1除外)．概念方法微思考1．将一个等比数列的各项取倒数，所得的数列还是一个等比数列吗？若是，这两个等比数列的公比有何关系？提示 仍然是一个等比数列，这两个数列的公比互为倒数． 2．任意两个实数都有等比中项吗？提示 不是．只有同号的两个非零实数才有等比中项． 3．“b 2＝ac ”是“a ，b ，c ”成等比数列的什么条件？提示 必要不充分条件．因为b 2＝ac 时不一定有a ，b ，c 成等比数列，比如a ＝0，b ＝0，c ＝1.但a ，b ，c 成等比数列一定有b 2＝ac . 题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( × ) (2)如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列．( × )(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a 1－a n1－a.( × )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × ) 题组二 教材改编2．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝______.答案 12解析 由题意知q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.3．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8B ．9C ．10D ．11 答案 C解析 由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9，∴m ＝10. 题组三 易错自纠4．若1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值为________． 答案 －12解析 ∵1，a 1，a 2,4成等差数列， ∴3(a 2－a 1)＝4－1，∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ， 则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0，∴b 2＝2，∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. 5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝________. 答案 －11解析 设等比数列{a n }的公比为q ， ∵8a 2＋a 5＝0，∴8a 1q ＋a 1q 4＝0. ∴q 3＋8＝0，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝a 11－q 51－q ·1－q a 11－q 2＝1－q 51－q 2＝1－－251－4＝－11.6．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8GB.(1GB ＝210MB) 答案 39解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列{a n }，且a 1＝2，q ＝2，∴a n ＝2n，则2n＝8×210＝213，∴n ＝13. 即病毒共复制了13次． ∴所需时间为13×3＝39(秒).等比数列基本量的运算1．(2020·晋城模拟)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( ) A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 D解析 因为S 2＝3，S 4＝15，S 4－S 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，两个方程左右两边分别相除，得q 2＝4， 因为数列是正项等比数列， 所以q ＝2，故选D.2．(2019·全国Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3等于( )A ．16B ．8C ．4D ．2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 5＝3a 3＋4a 1得q 4＝3q 2＋4，得q 2＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以q ＝2，又a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝a 1(1＋2＋4＋8)＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.3．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 11－q 51－q＝13×1－351－3＝1213. 4．(2018·全国Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝qn －1.由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－－2n3.由S m ＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n－1.由S m ＝63得2m＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.思维升华 (1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”)．(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意对q ＝1和q ≠1的分类讨论．等比数列的判定与证明例1 (2019·衡阳模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，b 1＝12，2a n ＋1＝a n ＋12b n ,2b n ＋1＝12a n＋b n .(1)证明：数列{a n ＋b n }，{a n －b n }为等比数列； (2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n <103.证明 (1)依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧2an ＋1＝a n ＋12b n ，2bn ＋1＝12a n ＋b n ，两式相加得，a n ＋1＋b n ＋1＝34(a n ＋b n )，又∵a 1＋b 1＝32≠0，∴{a n ＋b n }为首项为32，公比为34的等比数列，两式相减得，a n ＋1－b n ＋1＝14(a n －b n )，又∵a 1－b 1＝12≠0，∴{a n －b n }为首项为12，公比为14的等比数列．(2)由(1)可得，a n ＋b n ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，①a n －b n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，②①＋②得，a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34n，∴S n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＋34⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3n4n 1－34<141－14＋341－34＝103.思维升华 判定一个数列为等比数列的常见方法 (1)定义法：若a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列． (2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列． (3)通项公式法：若a n ＝Aq n(A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列． 跟踪训练1 已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n， 所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n)，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，所以数列{a n －3n}是首项为5，公比为5的等比数列． 所以a n －3n＝5n，所以a n ＝3n＋5n.(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n3n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n，则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫531＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋…＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n＝n ＋53⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52.等比数列性质的应用例2 (1)(2019·黑龙江省大庆第一中学模拟)在各项不为零的等差数列{a n }中，2a 2019－a 22020＋2a 2021＝0，数列{b n }是等比数列，且b 2020＝a 2020，则log 2(b 2019·b 2021)的值为( ) A ．1B ．2C ．4D ．8 答案 C解析 因为等差数列{a n }中a 2019＋a 2021＝2a 2020， 所以2a 2019－a 22020＋2a 2021＝4a 2020－a 22020＝0， 因为数列{a n }各项不为零，所以a 2020＝4，因为数列{b n }是等比数列，所以b 2019·b 2021＝a 22020＝16. 所以log 2(b 2019·b 2021)＝log 216＝4.故选C.(2)(2020·长春质检)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________. 答案 10解析 根据等比数列的前n 项和的性质，若S n 是等比数列的和，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…仍是等比数列，得到(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 3＝10，或S 3＝90(舍)． 思维升华 等比数列常见性质的应用 等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．跟踪训练2 (1)(2019·安徽省江淮十校月考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，该数列前9项的乘积为1，则a 1等于( )A ．8B ．16C ．32D ．64 答案 B解析 由已知a 1a 2…a 9＝1，又a 1a 9＝a 2a 8＝a 3a 7＝a 4a 6＝a 25，所以a 95＝1，即a 5＝1，所以a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－124＝1，a 1＝16.故选B.(2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N *)．答案 －12解析 很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得，S 3S 6＝a 1()1－q 31－q a 1()1－q 61－q＝11＋q 3＝89， 解得q ＝12，则a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12.对于数列通项公式的求解，除了我们已经学习的方法以外，根据所给递推公式的特点，还有以下几种构造方式．构造法1 形如a n ＋1＝ca n ＋d (c ≠0，其中a 1＝a )型 (1)若c ＝1，数列{a n }为等差数列. (2)若d ＝0，数列{a n }为等比数列.(3)若c ≠1且d ≠0，数列{a n }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求． 方法如下：设a n ＋1＋λ＝c (a n ＋λ)，得a n ＋1＝ca n ＋(c －1)λ， 与题设a n ＋1＝ca n ＋d 比较系数得λ＝dc －1(c ≠1)，所以a n ＋dc －1＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋d c －1(n ≥2)，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋d c －1构成以a 1＋dc －1为首项，以c 为公比的等比数列．例1 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则通项a n ＝________. 答案 2×3n －1－1解析 a n ＋1＝3a n ＋2，即a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又因为a 1＋1＝2≠0，所以{a n ＋1}构成以2为首项，以3为公比的等比数列， 所以a n ＋1＝2·3n －1，a n ＝2·3n －1－1.构造法2 形如a n ＋1＝pa n ＋q ·pn ＋1(p ≠0,1，q ≠0)型a n ＋1＝pa n ＋q ·p n ＋1(p ≠0,1，q ≠0)的求解方法是两端同时除以p n ＋1，即得a n ＋1p n ＋1－a npn ＝q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n p n 为等差数列． 例2 (1)已知正项数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，则a n 等于( )A ．n ·2n －1B ．(n ＋1)·2nC ．n ·2n ＋1D ．(n －1)·2n答案 B解析 ∵a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，∴a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，即a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1， 又∵a 121＝42＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为2，公差为1的等差数列，∴a n2n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n，故选B.(2)(2019·武汉市二中月考)已知正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n，则数列{a n }的通项a n 等于( ) A ．－3×2n －1B ．3×2n －1C ．5n＋3×2n －1D ．5n－3×2n －1答案 D解析 方法一 在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35， 即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25，所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1，所以a n5n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝1－3×2n －15n. 故a n ＝5n －3×2n －1.方法二 设a n ＋1＋k ·5n ＋1＝2(a n ＋k ×5n)，则a n ＋1＝2a n －3k ×5n，与题中递推公式比较得k ＝－1， 即a n ＋1－5n ＋1＝2(a n －5n)，所以数列{a n －5n}是首项为a 1－5＝－3，公比为2的等比数列， 则a n －5n＝－3×2n －1，故a n ＝5n －3×2n －1.故选D.构造法3 相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1，其中a 1＝a ，a 2＝b 型) 可化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两根． 例3 数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n ，求数列{a n }的通项公式．解 由a n ＋2＝23a n ＋1＋13a n 可得，a n ＋2－a n ＋1＝－13(a n ＋1－a n )，所以数列{a n ＋1－a n }是首项为1，公比为－13的等比数列，当n ≥2时，a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝－13，a 4－a 3＝19，…，a n －a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2，将上面的式子相加可得a n －1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2，从而可求得a n ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋19＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n －2，故有a n ＝74＋94·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n(n ≥2).又a 1＝1符合上式， 所以a n ＝74＋94·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13n.构造法4 倒数为特殊数列(形如a n ＝pa n －1ra n －1＋s型)例4 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式． 解 ∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1， ∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12， 即1a n ＋1－1a n ＝12， 又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *). 1．(2020·韶关模拟)若等比数列{a n }的各项均为正数，a 2＝3,4a 23＝a 1a 7，则a 5等于( ) A.34B.38C ．12D ．24 答案 D解析 数列{a n }是等比数列，各项均为正数，4a 23＝a 1a 7＝a 24，所以q 2＝a 24a 23＝4，所以q ＝2.所以a 5＝a 2·q 3＝3×23＝24， 故选D.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为( )A.13B ．－13C.19D ．－19 答案 B解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋r ， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32n －1－32n －3＝32n －3(32－1)＝8·32n －3＝8·32n －2·3－1＝83·9n －1， 所以3＋r ＝83，即r ＝－13，故选B.3．等比数列{a n }中，a 2>0，则“a 2<a 5”是“a 3<a 5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A 解析 当a 2<a 5时，q 3>1，q >1，a 5＝a 3q 2>a 3，为充分条件．当a 3<a 5时，a 3<a 3q 2，若a 3<0则0<q 2<1，－1<q <1，－1<q 3<1，a 5＝a 2q 3<a 2，故不是必要条件．综上所述，为充分不必要条件，故选A.4．已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于( )A ．93B ．189C.18916D ．378 答案 B解析 设数列{a n }的公比为q ，由题意可知，q >1，且2()a 2＋2＝a 1＋1＋a 3，即2×()6＋2＝6q＋1＋6q ， 整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝12舍去，则a 1＝62＝3， ∴数列{a n }的前6项和S 6＝3×()1－261－2＝189. 5．(2020·永州模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 的等比数列B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 D解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n＝q 2(n ≥2)知其是公比为q 2的等比数列；对于B ，若q ＝－1，则{a n ＋a n ＋1}项中有0，不是等比数列；对于C ，若q ＝1，则数列{a n －a n ＋1}项中有0，不是等比数列；对于D ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列，故选D. 6．若正项等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)，则a 6－a 5的值是( ) A. 2B ．－16 2C ．2D ．16 2答案 D解析 设正项等比数列{a n }的公比为q >0，∵a n a n ＋1＝22n (n ∈N *)， ∴a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝22n ＋122n ＝4＝q 2，解得q ＝2， ∴a 2n ×2＝22n ，a n >0，解得a n ＝2122n -，则a 6－a 5＝1122－922＝162，故选D.7．已知各项为正数的等比数列{a n }中，a 2a 3＝16，则数列{log 2a n }的前四项和等于________． 答案 8解析 各项为正数的等比数列{a n }中，a 2a 3＝16，可得a 1a 4＝a 2a 3＝16，即有log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＝log 2(a 1a 2a 3a 4)＝log 2256＝8.8．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2021＝________. 答案 2020解析 ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0，∵a 2≠0，∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1.∵a 1＝2020， ∴S 2021＝a 11－q 20211－q ＝2020×[1－－12021]2＝2020. 9.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________． 答案 132解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22×⎝ ⎛⎭⎪⎫229＝132.10．(2019·呼伦贝尔模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且有a n ＝1n n ＋1，若S 1，S m ，S n 成等比数列(m >1)，则正整数n 的值为________．答案 8解析 ∵a n ＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝n n ＋1， 又S 1，S m ，S n 成等比数列(m >1)，∴S 2m ＝S 1·S n ，即m 2m ＋12＝12·n n ＋1，2m 2m ＋12＝n n ＋1， ∴2m 2<(m ＋1)2，即m 2－2m －1<0，解得1－2<m <1＋2，结合m >1可得m ＝2，∴n ＝8.11．(2018·全国Ⅰ)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a n n .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；(3)求{a n }的通项公式．解 (1)由条件可得a n ＋1＝2n ＋1na n ， 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．(3)由(2)可得a n n ＝2n －1， 所以a n ＝n ·2n －1.12．(2019·淄博模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝34，S n ＝S n －1＋a n －1＋12(n ∈N *且n ≥2)，数列{b n }满足：b 1＝－374，且3b n －b n －1＝n ＋1(n ∈N *且n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{b n －a n }为等比数列．(1)解 由S n ＝S n －1＋a n －1＋12，得S n －S n －1＝a n －1＋12，即a n －a n －1＝12(n ≥2且n ∈N *)， 则数列{a n }是以34为首项，12为公差的等差数列， 因此a n ＝34＋(n －1)×12＝12n ＋14. (2)证明 因为3b n －b n －1＝n ＋1(n ≥2)，所以b n ＝13b n －1＋13(n ＋1)(n ≥2)， b n －a n ＝13b n －1＋13(n ＋1)－12n －14＝13b n －1－16n ＋112＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫b n －1－12n ＋14(n ≥2)， b n －1－a n －1＝b n －1－12(n －1)－14＝b n －1－12n ＋14(n ≥2)， 所以b n －a n ＝13(b n －1－a n －1)(n ≥2)， 因为b 1－a 1＝－10≠0，所以数列{b n －a n }是以－10为首项，13为公比的等比数列． 13．(2019·山西省太原第五中学月考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为________． 答案 a n ＝n 2＋n2解析 由题设可得a n ＋1＝b n b n ＋1，a n ＝b n b n －1(n ≥2)，代入2b n ＝a n ＋a n ＋1得2b n ＝b n b n －1＋b n b n ＋1(n ≥2)，即2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，则{b n }是首项为b 1的等差数列．又a 1＝1，a 2＝3，所以2b 1＝4，b 1＝2，故b 2＝a 22b 1＝92， 则公差d ＝b 2－b 1＝322－2＝22， 所以b n ＝2＋22(n －1)＝2n ＋12，即b n ＝n ＋12，b n ＋1＝n ＋22，则a n ＋1＝b n b n ＋1＝n ＋1n ＋22， 所以a n ＝n n ＋12＝n 2＋n 2.14．(2019·江西省上饶横峰中学模拟)已知在等比数列{a n }中，a n >0，a 22＋a 24＝900－2a 1a 5，a 5＝9a 3，则a 2020的个位数字是________．答案 7解析 由等比数列的性质可得a 1a 5＝a 2a 4，因为a 22＋a 24＝900－2a 1a 5＝900－2a 2a 4，所以a 22＋a 24＋2a 2a 4＝(a 2＋a 4)2＝900，又因为a n >0，所以a 2＋a 4＝30，又由a 5＝9a 3，所以a 1(q ＋q 3)＝30，a 3q 2＝9a 3，且q >0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a 2020＝a 1q 2019＝32019＝(34)504×33， 所以a 2020的个位数字是7.15．在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“扩展”．将数列1,2进行“扩展”，第一次得到数列1,2,2；第二次得到数列1,2,2,4,2，….设第n 次“扩展”后得到的数列为1，x 1，x 2，…，x t ,2，并记a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，其中t ＝2n －1，n ∈N *，求数列{a n }的通项公式． 解 a n ＝log 2(1·x 1·x 2·…·x t ·2)，所以a n ＋1＝log 2[1·(1·x 1)·x 1·(x 1·x 2)·…·x t ·(x t ·2)·2]＝log 2(12·x 31·x 32·x 33·…·x 3t ·22)＝3a n －1，所以a n ＋1－12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n －12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以32为首项，以3为公比的等比数列， 所以a n －12＝32×3n －1，所以a n ＝3n＋12. 16．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，若b n ＝a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值．解 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为3，公差为2的等差数列，所以S n n ＝3＋(n －1)×2，化简得S n ＝2n 2＋n ， 则S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)(n ≥2)， 所以a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋n )－[2(n －1)2＋(n －1)] ＝4n －1(n ≥2)，当n ＝1时，S 1＝a 1＝3，也符合上式， 所以a n ＝4n －1，因为b n ＝2n a ，所以b 1＝a 2，b 2＝a 4，b 3＝a 8，b 4＝a 16，b 5＝a 32，b 6＝a 64，… 所以T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋a 16＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝(23－1)＋(24－1)＋(25－1)＋…＋(2n ＋1－1)＋(2n ＋2－1) ＝23＋24＋25＋…＋2n ＋1＋2n ＋2－n ＝2n ＋3－n －8，所以S 1＋T 1＝(2×12＋1)＋(24－1－8)＝10，S 2＋T 2＝(2×22＋2)＋(25－2－8)＝32， S 3＋T 3＝(2×32＋3)＋(26－3－8)＝74， S 4＋T 4＝(2×42＋4)＋(27－4－8)＝152， S 5＋T 5＝(2×52＋5)＋(28－5－8)＝298， 所以使得S n ＋T n ≥268成立的n 的最小值为5.。
高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和练习 理-人教版高三全册数学试题
§6.3等比数列及其前n项和考纲解读分析解读 1.理解等比数列的概念、掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.2.体会等比数列与指数函数的关系.3.求通项公式、求前n项和及等比数列相关性质的应用是高考热点.五年高考考点一等比数列及其性质1.(2017课标全国Ⅱ,3,5分)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏答案 B2.(2016某某,5,5分)设{a n}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<0”的( )A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案 C3.(2015课标Ⅱ,4,5分)已知等比数列{a n}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=( )A.21B.42C.63D.84答案 B4.(2017,10,5分)若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=-1,a4=b4=8,则=.答案 15.(2016课标全国Ⅰ,15,5分)设等比数列{a n}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…a n的最大值为.答案646.(2015某某,14,5分)设S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则a n=.答案3n-1教师用书专用(7—13)7.(2013某某,3,5分)等比数列x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( )A.-24B.0C.12D.24答案 A8.(2013某某,9,5分)已知等比数列{a n}的公比为q,记b n=a m(n-1)+1+a m(n-1)+2+…+a m(n-1)+m,=a m(n-1)+1·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m(m,n∈N*),则以下结论一定正确的是( )A.数列{b n}为等差数列,公差为q mB.数列{b n}为等比数列,公比为q2mC.数列{}为等比数列,公比为D.数列{}为等比数列,公比为答案 C9.(2014某某,13,5分)若等比数列{a n}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5,则ln a1+ln a2+…+ln a20=.答案5010.(2014某某,11,5分)设{a n}是首项为a1,公差为-1的等差数列,S n为其前n项和.若S1,S2,S4成等比数列,则a1的值为.答案-11.(2014某某,7,5分)在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.答案 412.(2014某某,12,5分)数列{a n}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.答案 113.(2013某某,14,5分)在正项等比数列{a n}中,a5=,a6+a7=3.则满足a1+a2+…+a n>a1a2…a n的最大正整数n的值为.答案12考点二等比数列前n项和公式1.(2013课标全国Ⅱ,3,5分)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A. B.-C. D.-答案 C2.(2017某某,9,5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项和为S n.已知S3=,S6=,则a8=.答案323.(2015某某,14,5分)已知数列{a n}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{a n}的前n项和等于.答案2n-14.(2016某某,19,12分)已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.解析(1)由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n==.由e2==,解得q=.因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>.疑难突破由(1)可得e n=,因为不等式左边是e1+e2+…+e n,直接求和不行,利用放缩法得e n=>=q n-1,从而得e1+e2+…+e n>q0+q1+…+q n-1,化简即可.评析本题涉及的知识点比较多,由递推思想推出数列{a n}是等比数列,由等差中项求出q,由放缩法证明不等式成立.综合性较强.5.(2014课标Ⅱ,17,12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(1)证明是等比数列,并求{a n}的通项公式;(2)证明++…+<.解析(1)由a n+1=3a n+1得a n+1+=3.又a1+=,所以是首项为,公比为3的等比数列.a n+=,因此{a n}的通项公式为a n=.(2)由(1)知=.因为当n≥1时,3n-1≥2×3n-1,所以≤.于是++…+≤1++…+=<.所以++…+<.教师用书专用(6—11)6.(2013,10,5分)若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=;前n项和S n=.答案2;2n+1-27.(2013某某,14,5分)已知等比数列{a n}是递增数列,S n是{a n}的前n项和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的两个根,则S6=.答案638.(2015某某,18,12分)设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.解析(1)因为2S n=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n=2S n-2S n-1=3n-3n-1=2×3n-1,即a n=3n-1,所以a n=(2)因为a n b n=log3a n,所以b1=,当n>1时,b n=31-n log33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+b3+…+b n=+[1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n],所以3T n=1+[1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n],两式相减,得2T n=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=+-(n-1)×31-n=-,所以T n=-.经检验,n=1时也适合.综上可得T n=-.9.(2015某某,20,16分)设a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.(1)证明:,,,依次构成等比数列;(2)是否存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列?并说明理由;(3)是否存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列?并说明理由.解析(1)证明:因为==2d(n=1,2,3)是同一个常数,所以,,,依次构成等比数列.(2)令a1+d=a,则a1,a2,a3,a4分别为a-d,a,a+d,a+2d(a>d,a>-2d,d≠0).假设存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列,则a4=(a-d)(a+d)3,且(a+d)6=a2(a+2d)4.令t=,则1=(1-t)(1+t)3,且(1+t)6=(1+2t)4,化简得t3+2t2-2=0(*),且t2=t+1.将t2=t+1代入(*)式,得t(t+1)+2(t+1)-2=t2+3t=t+1+3t=4t+1=0,则t=-.显然t=-不是上面方程的解,矛盾,所以假设不成立,因此不存在a1,d,使得a1,,,依次构成等比数列.(3)假设存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列,则(a1+2d)n+2k=(a1+d)2(n+k),且(a1+d)n+k(a1+3d)n+3k=(a1+2d)2(n+2k).分别在两个等式的两边同除以及,并令t=,则(1+2t)n+2k=(1+t)2(n+k),且(1+t)n+k(1+3t)n+3k=(1+2t)2(n+2k).将上述两个等式两边取对数,得(n+2k)ln(1+2t)=2(n+k)·ln(1+t),且(n+k)ln(1+t)+(n+3k)ln(1+3t)=2(n+2k)ln(1+2t).化简得2k[ln(1+2t)-ln(1+t)]=n[2ln(1+t)-ln(1+2t)],且3k[ln(1+3t)-ln(1+t)]=n[3ln(1+t)-ln(1+3t)].再将这两式相除,化简得ln(1+3t)ln(1+2t)+3ln(1+2t)ln(1+t)=4ln(1+3t)ln(1+t)(**).令g(t)=4ln(1+3t)ln(1+t)-ln(1+3t)ln(1+2t)-3ln(1+2t)·ln(1+t),则g'(t)=.令φ(t)=(1+3t)2ln(1+3t)-3(1+2t)2ln(1+2t)+3(1+t)2·ln(1+t),则φ'(t)=6[(1+3t)ln(1+3t)-2(1+2t)ln(1+2t)+(1+t)·ln(1+t)].令φ1(t)=φ'(t),则φ'1(t)=6[3ln(1+3t)-4ln(1+2t)+ln(1+t)].令φ2(t)=φ'1(t),则φ'2(t)=>0.由g(0)=φ(0)=φ1(0)=φ2(0)=0,φ'2(t)>0,知φ2(t),φ1(t),φ(t),g(t)在和(0,+∞)上均单调.故g(t)只有唯一零点t=0,即方程(**)只有唯一解t=0,故假设不成立.所以不存在a1,d及正整数n,k,使得,,,依次构成等比数列.*),且10.(2013某某,19,14分)已知首项为的等比数列{a n}不是．．递减数列,其前n项和为S n(n∈NS3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=S n-(n∈N*),求数列{T n}的最大项的值与最小项的值.解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2==.又{a n}不是递减数列且a1=,所以q=-.故等比数列{a n}的通项公式为a n=×=(-1)n-1·.(2)由(1)得S n=1-=当n为正奇数时,S n随n的增大而减小,所以1<S n≤S1=,故0<S n-≤S1-=-=.当n为正偶数时,S n随n的增大而增大,所以=S2≤S n<1,故0>S n-≥S2-=-=-.综上,对于n∈N*,总有-≤S n-≤.所以数列{T n}最大项的值为,最小项的值为-.11.(2013某某,18,12分)已知等比数列{a n}满足:|a2-a3|=10,a1a2a3=125.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在正整数m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,说明理由.解析(1)设等比数列{a n}的公比为q,则由已知可得解得或故a n=·3n-1,或a n=-5·(-1)n-1.(2)若a n=·3n-1,则=·,故是首项为,公比为的等比数列,从而==·<<1.若a n=(-5)·(-1)n-1,则=-(-1)n-1,故是首项为-,公比为-1的等比数列,从而=故<1.综上,对任何正整数m,总有<1.故不存在正整数m,使得++…+≥1成立.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一等比数列及其性质1.(2018某某广雅中学、东华中学、某某名校第一次联考,7)已知公比不为1的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1a2a3a4a5=,且a2,a4,a3成等差数列,则S5=( )A. B. C. D.答案 D2.(2018某某某某模拟,7)等比数列{a n}中,a1=512,公比q=-,记Πn=a1×a2×…×a n(即Πn表示数列{a n}的前n 项之积),Π8,Π9,Π10,Π11中,值为正数的个数是( )A.1B.2C.3D.4答案 B3.(2017某某4月模拟,6)已知递增的等比数列{a n}的公比为q,其前n项和S n<0,则( )A.a1<0,0<q<1B.a1<0,q>1C.a1>0,0<q<1D.a1>0,q>1答案 A4.(2016某某某某一中期中,4)已知数列{a n}为等比数列,且a1a13+2=4π,则tan(a2a12)的值为( )A. B.-C.±D.-答案 A考点二等比数列前n项和公式5.(2017某某某某中学高三上学期第三次调研,4)等比数列{a n}的前n项和为S n,已知a2a5=2a3,且a4与2a7的等差中项为,则S5=( )A.29B.31C.33D.36答案 B6.(2018某某某某第一中学四模,14)等比数列{a n}的前n项和为S n,S n=b(-2)n-1-a,则=.答案-7.(2017某某某某一中期中,15)已知正项等比数列{a n}满足log2a n+2-log2a n=2,且a3=8,则数列{a n}的前n项和S n=.答案2n+1-2B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:50分时间:40分钟)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2018某某荆州一模,9)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{b n}的连续三项,则的值为( )A. B.4 C.2 D.答案 A2.(2017某某某某期中,11)已知数列S n为等比数列{a n}的前n项和,S8=2,S24=14,则S2 016=( )A.2252-2B.2253-2C.21 008-2D.22 016-2答案 B3.(2017某某某某摸底考试,11)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项之积为T n,并且满足条件:a1>1,a2 016a2 017>1,<0,给出下列结论:(1)0<q<1;(2)a2 016a2 018-1>0;(3)T2 016是数列{T n}中的最大项;(4)使T n>1成立的最大自然数等于4 031,其中正确的结论为( )A.(2)(3)B.(1)(3)C.(1)(4)D.(2)(4)答案 B4.(2016某某名校学术联盟调研三,7)已知等比数列{a n}的各项都为正数,其前n项和为S n,且a1+a7=9,a4=2,则S8=( )A.15(1+)B.15C.15(-1)或15D.15(1+)或15答案 D二、填空题(每小题5分,共15分)5.(2018某某某某第一次调研,14)在各项都为正数的等比数列{a n}中,若a2 018=,则+的最小值为.答案 46.(2018某某某某第三中学阶段性检测,15)下表给出一个“三角形数阵”:,,,,,,……已知每一列的数成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列的数为a i-j,则(1)a8-3=;(2)前20行中这个数共出现了次.答案(1) (2)47.(2017某某仿真模拟,16)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足:a1=1,a2=2,S n+1=a n+2-a n+1(n∈N*),若不等式λS n>a n恒成立,则实数λ的取值X围是.答案λ>1三、解答题(共15分)8.(2017某某某某第一次教学质量检测,19)已知数列{a n}的首项a1=1,且a n+1=(n∈N*).(1)证明:数列是等比数列;(2)若b n=-,求数列{b n}的前n项和S n.解析(1)证明:∵a n+1=,∴==+,∴-=.又a1=1,∴-=,∴数列是以为首项,为公比的等比数列.(2)由(1)知,-=·=,即=+.∴b n=-=.于是S n=+++…+,①S n=++…++,②①-②得,S n=++…+-=-=1--,则S n=2--=2-,∴数列{b n}的前n项和S n=2-.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 等比数列基本运算的解题技巧1.(2017某某某某八校2月联考,3)等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=2,S6=18,则等于( )A.-3B.5C.-31D.33答案 D2.(2017某某某某康杰中学模拟(2),7)已知{a n}是各项均为正数的等比数列(公比q>1),b n=log2a n,b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3,则a n=( )A.22n-3B.25-2nC.22n-5D.22n-3或25-2n答案 A方法2 等比数列的判定与证明3.(2016某某某某期中模拟,5)下列结论正确的是( )A.若数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,则{a n}为等差数列B.若数列{a n}的前n项和S n=2n-2,则{a n}为等比数列C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则,,也可能构成等差数列D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则,,一定构成等比数列答案 D4.(2018某某八校第一次联考,17)已知数列{a n}满足a1=1,a2=4,a n+2=4a n+1-4a n.(1)求证:{a n+1-2a n}为等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式.解析(1)证明:由a n+2=4a n+1-4a n得a n+2-2a n+1=2a n+1-4a n=2(a n+1-2a n),∴=2,又a2-2a1=2≠0,∴{a n+1-2a n}是等比数列.(2)由(1)可得a n+1-2a n=2n-1(a2-2a1)=2n,∴-=,∴是首项为,公差为的等差数列,∴=,∴a n=n·2n-1.。
2023版高考数学一轮总复习6-3等比数列习题
6.3 等比数列基础篇固本夯基考点一等比数列及其前n项和1.(2019课标Ⅲ,5,5分)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=( )A.16B.8C.4D.2答案 C2.(2021安徽安庆一模,6)数列{a n}是各项均为正数的等比数列,3a2是a3与2a4的等差中项,则{a n}的公比等于( )A.2B.32C.3D.√2答案 B3.(2021黑龙江齐齐哈尔一模,6)已知等比数列{a n}中,a n a n+1=4n,则公比为( )A.√2B.2C.±2D.±√2答案 B4.(2020课标Ⅱ,6,5分)数列{a n}中,a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k= ( )A.2B.3C.4D.5答案 C5.(2022届河北衡水一中调研一,7)在公差不为0的等差数列{a n}中,a1,a2,a a1,a a2,a a3成公比为4的等比数列,则k3=( )A.84B.86C.88D.96答案 B6.(2021哈尔滨六中期中,3)已知{a n}为等比数列,若a2a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为54,则a1=( )A.35B.33C.16D.29答案 C7.(2022届四川绵阳第一次诊断,9)已知首项为1的数列{a n}的前n项和为S n,4a n a n+1=16n,则下列说法不正确的是( )A.数列{a n}是等比数列B.数列{S n }为单调递增数列C.a 5=256D.4a n =3S n +4n-1答案 D8.(2022届太原期中,9)已知{a n }为等比数列,且首项为31,公比为12,则数列的前n 项积取得最大值时,n=( )A.15B.16C.5D.6 答案 C9.(2021陕西渭南一模,10)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2a a a =3332,a a +3a 3=a -45a +7,则数列{a n }的公比q=( )A.2B.-2C.12 D.-12 答案 C10.(2019课标Ⅰ,14,5分)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5= . 答案121311.(2021陕西宝鸡一模,15)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若S 3=6,S 4=a 1-3,则S 6= . 答案21412.(2021河南、湖南名校联考,15)已知等比数列{a n }满足a 1-a 3=-827,a 2-a 4=-89,则使a 1a 2…a n取得最小值的n 为 . 答案 3或413.(2018课标Ⅲ,17,12分)等比数列{a n }中,a 1=1,a 5=4a 3. (1)求{a n }的通项公式;(2)记S n 为{a n }的前n 项和.若S m =63,求m.解析 (1)设{a n }的公比为q,由题设得a n =q n-1.由已知得q 4=4q 2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.故a n =(-2)n-1或a n =2n-1. (2)若a n =(-2)n-1,则S n =1-(-2)a3.由S m =63得(-2)m =-188.此方程没有正整数解.若a n =2n-1,则S n =2n-1.由S m =63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.14.(2020新高考Ⅰ,Ⅱ,18,12分)已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3=8.(1)求{a n}的通项公式;(2)(新高考Ⅰ)记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{b m}的前100项和S100. (新高考Ⅱ)求a1a2-a2a3+…+(-1)n-1a n a n+1.解析(1)设{a n}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20,a1q2=8.解得q1=12(舍去),q2=2.由题设得a1=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n.(2)(新高考Ⅰ)由题设及(1)知b1=0,且当2n≤m<2n+1时,b m=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b63)+(b64+b65+…+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×2 4+5×25+6×(100-63)=480.(新高考Ⅱ)a1a2-a2a3+…+(-1)n-1a n a n+1=23-25+27-29+…+(-1)n-1·22n+1=23[1-(-22)a]1-(-22)=85-(-1)n22a+35.考点二等比数列的性质1.(2021江西红色七校联考,6)在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a11+2a6a8+a3a13=25,则a1a13的最大值是( )A.25B.254C.5 D.25答案 B2.(2021云南名校检测,3)设等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2=4,S4=16,则S6= ( )A.52B.75C.60D.70答案 A3.(2020南昌模拟,4)在公比不为1的等比数列{a n}中,若a1a5=a m a n,则mn不可能．．．为( ) A.5 B.6 C.8 D.9答案 B4.(2021河南名校联考,6)已知等比数列{a n}的前n项和S n=2λ+(λ-3)·2n(λ为常数),则λ=()A.-2B.-1C.1D.2答案 C5.(2021全国甲,7,5分)等比数列{a n}的公比为q,前n项和为S n.设甲:q>0,乙:{S n}是递增数列,则( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案 B6.(2022届吉林东北师范大学附属中学摸底,8)若正项等比数列{a n }中的a 5,a 2017是方程x 2-4x+2=0的两根,则log 2a 1+log 2a 2+log 2a 3+…+log 2a 2021=( ) A.20223B.1010C.20212D.1011答案 C7.(2022届河南重点中学模拟一,8)已知公比不等于1的等比数列{a n }的前n 项乘积为T n ,若a 2a 82=a 62,则( )A.T 5=T 7B.T 3=T 6C.T 4=T 7D.T 3=T 9 答案 C8.(2021安徽黄山重点高中月考,10)已知函数f(x)=21+a 2(x∈R),若等比数列{a n }满足a 1a 2019=1,则f(a 1)+f(a 2)+f(a 3)+…+f(a 2019)= ( ) A.2019 B.20192C.2D.12答案 A9.(2021宁夏名校月考,7)已知数列{x n }满足lgx n+1=1+lgx n (n∈N *),且x 1+x 2+x 3+…+x 100=1,则lg(x 101+x 102+…+x 200)= . 答案 100综合篇 知能转换考法 等比数列的判定与证明 1.(2021皖江名校联盟考试,4)若数列{a n }的各项均为正数,满足a a 2a a +1=a n-1(n∈N *,n≥2),且a 2020=215,a 2022=25,则a 2021=( )A.25B.65C.2√315D.2√35答案 C2.(2021安徽安庆重点高中月考,16)已知数列{a n }是等比数列,有下列四个命题: ①数列{|a n |}是等比数列;②数列{1a a}是等比数列;③数列{lg a a 2}是等比数列; ④数列{a n ·a n+1}是等比数列. 其中正确命题的序号为 . 答案 ①②④3.(2022届河北衡水一中调研一,18)设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知2S n =a n+1-2n+1+1(n∈N *),且a 2=5. (1)证明{a a 2a+1}为等比数列,并求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =log 3(a n +2n),若对于任意的n∈N *,不等式b n (1+n)-λn(b n +2)-6<0恒成立,求实数λ的取值范围.解析 (1)由题可得2S n-1=a n -2n+1(n≥2),则2a n =2S n -2S n-1=a n+1-2n+1+1-(a n -2n+1)=a n+1-a n -2n,则a n+1=3a n +2n,从而有a a +12a +1+1=32(aa2a +1),n≥2,又当n=1时,2a 1=2S 1=a 2-22+1=5-4+1=2,所以a 1=1,且满足a 222+1=32(a 121+1),则a a +12a +1+1=32(aa 2a +1),n∈N *,故{a a2a +1}是以32为首项,32为公比的等比数列,则a a2a +1=(32)a,故a n =3n-2n.(2)由(1)知,b n =log 3(a n +2n)=n,则∀n∈N *,n(1+n)-λn(n+2)-6<0恒成立,即λ>a (1+a )-6a (a +2)=a 2+n -6a 2+2n =1-a +6a 2+2n =1-a +6(a +6)2-10(n +6)+24=1-1a +6-10+24a +6,令f(t)=1-1a -10+24a,t=n+6≥7,易知f(t)在[7,+∞)上单调递增,且t→+∞时,f(t)→1,则λ≥1. 4.(2021云南曲靖第二中学二模,17)已知数列{a n }的前n 项和为S n .(1)请从①2S n =3a n -3-4n,②a 1=-3,a n+1=-a n -4这两个条件中任选一个,证明数列{a n +2}是等比数列;(2)数列{b n }为等差数列,b 3=5,b 5=9,记c n =(a n +2)b n ,求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)选条件①.当n=1时,2a 1=2S 1=3a 1-3-4,解得a 1=7.当n≥2时,由2S n =3a n -3-4n,可得2S n-1=3a n-1-3-4(n-1),两式相减,可得2a n =3a n -3a n-1-4,即a n =3a n-1+4,∴a n +2=3(a n-1+2),∴数列{a n +2}是以9为首项,3为公比的等比数列.选条件②.当n=1时,a 1+2=-3+2=-1,当n≥2时,a n+1+2=-a n -4+2=-(a n +2),∴数列{a n +2}是以-1为首项,-1为公比的等比数列. (2)设等差数列{b n }的公差为d,则d=a 5-a 35-3=2,b 1=b 3-2d=1,∴b n =1+2(n-1)=2n-1,n∈N *.选条件①.由(1)可得a n +2=9·3n-1=3n+1,则c n =(a n +2)b n =(2n-1)·3n+1,∴T n =c 1+c 2+c 3+…+c n , 即T n =1×32+3×33+5×34+…+(2n -1)·3n+1,3T n =1×33+3×34+…+(2n -3)·3n+1+(2n-1)·3n+2,两式相减,可得-2T n =1×32+2×33+2×34+…+2·3n+1-(2n-1)·3n+2=9+2×33-3a +21-3-(2n-1)·3n+2=-18-2(n-1)·3n+2,∴T n =(n-1)·3n+2+9,n∈N *.选条件②.由(1)可得a n +2=-1·(-1)n-1=(-1)n,则c n =(a n +2)b n =(2n-1)·(-1)n,∴T n =c 1+c 2+c 3+…+c n =-1+3-5+…+(2n -1)·(-1)n,当n 为偶数时,T n =-1+3-5+…+(2n -1)=2+2+…+2=2×a2=n,当n 为奇数时,T n =-1+3-5+…-(2n-1)=2+2+…+2-(2n-1)=2×a -12-(2n-1)=-n,∴T n ={-a ,a 为奇数,a ,a 为偶数.。
【志鸿优化设计】高考数学一轮复习 第六章数列6.3等比数列及其前n项和教学案 新人教B版
6.3 等比数列及其前n 项和考纲要求1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念 相关名词等比数列{a n }的有关概念及公式定义 a n ＋1a n ＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 是常数且q ≠0，n ∈N *且n ≥2)通项公式 a n ＝__________，a n ＝a m ·q n －m前n 项和公式 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧，q ＝， ，q等比中项如果三个数a ，G ，b 组成等比数列，则G 叫做a 和b 的等比中项，且__________.2．等比数列有关性质(1)在等比数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝__________(m ，n ，p ，q ∈N *)． (2)间隔相同的项，如a 1，a 3，a 5，…仍为等比数列，且公比为__________．(3)等比数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，公比为__________．(4)单调性 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1⇔{a n }__________． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，q >1⇔{a n }__________． q ＝1⇔{a n }为常数列，q ＜0⇔{a n }为摆动数列．1．在等比数列{a n }中，若a 5＝4，则a 2a 8等于( )．A ．4B ．8C ．16D ．32 2．在等比数列{a n }中，若a 4＝8，q ＝－2，则a 7的值为( )．A ．－64B ．64C ．－48D ．48 3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )．A ．－11B ．－8C ．5D ．114．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝__________.一、等比数列的判定与证明【例1】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列．方法提炼1．等比数列的判定方法：(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n－k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．2．几点注意事项：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可． 请做演练巩固提升5二、等比数列的基本运算 【例2－1】 (2012重庆高考)首项为1，公比为2的等比数列的前4项和S 4＝__________. 【例2－2】设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n . 方法提炼1．等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程．3．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．特别强调：数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝aq n＋b (a ，b ∈R)，{a n }是等比数列，则a ，b 应满足a ＋b ＝0且a ，b 均不为0.∵由S n ＝aq n＋b ，可知{a n }的公比q ≠1，∴S n ＝a 1－q n 1－q ＝－a 11－q ·q n＋a 11－q .观察可知a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q ，∴a ＋b ＝0且a 与b 不等于0.请做演练巩固提升1,3三、等比数列的性质及其应用【例3－1】(1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值．(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.【例3－2】已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成以12为首项的等比数列，求m n的值．方法提炼1．等比数列的性质可以分为三类：(1)通项公式的变形，(2)等比中项的变形，(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．2．等比数列的常用性质(1)数列{a n }是等比数列，则数列{pa n }(p ≠0，p 是常数)也是等比数列；(2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n＋3k ，…为等比数列，公比为q k；(3)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(4)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ；(5)若等比数列{a n }的公比不为－1，前n 项和为S n ，则S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k是等比数列．请做演练巩固提升4未注意数列首项的特殊而致误【典例】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．错解：(1)证明：∵b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是等比数列．(2)解：b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1， ∴a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N)．正解：(1)证明：b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，∴{b n }是首项为1，公比为－12的等比数列．(2)解：由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1，∴{a n }的通项公式为a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．答题指导：本题难度并不大，属于一道中等难度的题目，但大部分考生都因解题不规范，步骤不完整等原因被扣分，如解(1)题时未说明{b n }的首项和公比．解第(2)题时未对n ＝1的情况进行检验等，因此在解题时一定注意步骤的完整性及逻辑的严谨性．1．(2013届山东青岛高三期中)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a ，n ∈N *，则实数a 的值是( )．A ．－3B ．3C ．－1D ．12．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，n ∈N *，若数列{a n ＋pn ＋q }是等比数列，则实数p ，q 的值分别等于( )．A ．1,2B ．2,1C ．2,2D ．1,33．设等比数列{a n }的公比q ＝3，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于__________． 4．在正项等比数列{a n }中，若1a 2a 4＋2a 24＋1a 4a 6＝81，则1a 3＋1a 5＝__________.5．(2012陕西高考)已知等比数列{a n }的公比q ＝－12.(1)若a 3＝14，求数列{a n }的前n 项和；(2)证明：对任意k ∈N ＋，a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列．参考答案基础梳理自测知识梳理1．a 1·q n －1na 1 a 1(1－q n )1－q G 2＝ab2．(1)a p ·a q (2)q 2 (3)q n(4)递增 递减基础自测1．C 解析：∵{a n }是等比数列且2＋8＝2×5，∴a 2·a 8＝25a ＝16.2．A 解析：依题意得a 7＝a 4q 3＝8×(－2)3＝－64. 故选A.3．A 解析：由8a 2＋a 5＝0， ∴a 5a 2＝－8，即q 3＝－8，q ＝－2.∴S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝33－3＝－11. 4．2n ＋1－n －2 解析：由已知得数列的通项a n ＝1×(1－2n)1－2＝2n－1，∴S n ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2×(1－2n)1－2－n ＝2n ＋1－n －2.考点探究突破【例1】 证明：(1)由a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2得a 1＋a 2＝4a 1＋2，a 2＝3a 1＋2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3. 由S n ＋1＝4a n ＋2，①则当n ≥2时，有S n ＝4a n －1＋2.② ①－②得a n ＋1＝4a n －4a n －1， ∴a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)． 又∵b n ＝a n ＋1－2a n . ∴b n ＝2b n －1.∴数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)由(1)可得b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， ∴a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．【例2－1】 15 解析：由等比数列前n 项和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 得，S 4＝1－241－2＝15.【例2－2】 解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3×(2n－1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.【例3－1】 解：(1)∵a 3a 11＝27a ＝4a 7，且a 7≠0，∴a 7＝4.∴b 7＝4. ∵{b n }为等差数列，∴b 5＋b 9＝2b 7＝8.(2)a 1a 2a 3a 4＝a 1·a 1q ·a 1q 2·a 1q 3＝41a q 6＝1，①a 13a 14a 15a 16＝a 1q 12·a 1q 13·a 1q 14·a 1q 15＝a 41·q 54＝8，②②÷①得，a 41·q 54a 41·q6＝q 48＝8⇒q 16＝2，又a 41a 42a 43a 44＝a 1q 40·a 1q 41·a 1q 42·a 1q 43＝a 41·q 166＝a 41·q 6·q 160＝(a 41·q 6)·(q 16)10＝1·210＝1 024.【例3－2】 解：设a ，b ， c ，d 是方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根，不妨设a ＜c ＜d ＜b ，则a ·b ＝c ·d ＝2，a ＝12，故b ＝4，根据等比数列的性质，得到：c ＝1，d ＝2，则m ＝a ＋b ＝92，n ＝c ＋d ＝3，或m ＝c ＋d ＝3，n ＝a ＋b ＝92，则m n ＝32或m n ＝23.演练巩固提升1．C 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列， 所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1，选C.2．A 解析：依题意有a n ＋1＋p (n ＋1)＋q a n ＋pn ＋q＝m 对任意n ∈N *都成立，得a n ＋1＋p (n ＋1)＋q ＝ma n ＋mpn ＋mq ， 又a n ＋1＝2a n ＋n ＋1，则2a n ＋n ＋1＋pn ＋p ＋q ＝ma n ＋mpn ＋mq ，即(2－m )a n ＋(p ＋1－mp )n ＋p ＋1＋q －mq ＝0.由已知可得a n ＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m ＝0，p ＋1－mp ＝0，p ＋1＋q －mq ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，p ＝1，q ＝2.故选A.3.403 解析：由题意得S 4＝a 1(1－34)1－3＝40a 1，a 2＝3a 1， ∴S 4a 2＝403. 4．9 解析：∵a 2a 4＝a 32，a 4a 6＝a 52，a 42＝a 3·a 5，∴1a 2a 4＋2a 42＋1a 4a 6＝1a 32＋2a 3a 5＋1a 52＝81，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 52＝81.又a 3＞0，a 5＞0， 故1a 3＋1a 5＝9.5．解：(1)由a 3＝a 1q 2＝14及q ＝－12，得a 1＝1，所以数列{a n }的前n 项和S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －13.(2)证明：对任意k∈N＋，2a k＋2－(a k＋a k＋1)＝2a1q k＋1－(a1q k－1＋a1q k)＝a1q k－1(2q2－q－1)，由q＝－12得2q2－q－1＝0，故2a k＋2－(a k＋a k＋1)＝0.所以，对任意k∈N＋，a k，a k＋2，a k＋1成等差数列．。
高考数学一轮复习学案：6.3 等比数列及其前n项和(含答案)
高考数学一轮复习学案：6.3 等比数列及其前n项和（含答案）6.3等比数列及其前等比数列及其前n项和项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项.前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题.填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列.数列求和.不等式等问题综合考查.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示q02等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1a10，q03等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，GabG，G2ab，Gab，称G为a，b的等比中项4等比数列的常用性质1通项公式的推广anamqnmn，mN*2若an为等比数列，且klmnk，l，m，nN*，则akalaman.3若an，bn项数相同是等比数列，则an0，1an，a2n，anbn，anbn仍是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为qq0，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sna11qn1qa1anq1q.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列an 的单调性1满足a10，q1或a10，0q0，0q1或a11时，an是递减数列3当a10，q1时，an为常数列4当q0，b22，a1a2b2a2a1b212.5设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则S5S2________.答案11解析设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，S5S2a11q51q1qa11q21q51q21251411.6一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________分钟，该病毒占据内存64MB1MB210KB答案48解析由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则2n64210216，n16.即病毒共复制了16次所需时间为16348分钟.题型一题型一等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算1xx开封质检已知等比数列an满足a114，a3a54a41，则a2等于A2B1C.12D.18答案C解析由an为等比数列，得a3a5a24，又a3a54a41，所以a244a41，解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得214q3，解得q2，所以a2a1q12.故选C.2xx济宁模拟已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a352，a2a454，则Snan________.答案2n1解析a1a352，a2a454，a1a1q252，a1qa1q354，由除以可得1q2qq32，解得q12，代入得a12，an212n142n，Sn2112n1124112n，Snan4112n42n2n1.思维升华等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程组可迎刃而解题型二题型二等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明典例xx潍坊质检设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.1设bnan12an，证明数列bn是等比数列；2求数列an的通项公式1证明由a11及Sn14an2，得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又Sn14an2，Sn4an12n2，由，得an14an4an1n2，an12an2an2an1n2bnan12an，bn2bn1n2，故bn是首项b13，公比为2的等比数列2解由1知bnan12an32n1，an12n1an2n34，故an2n 是首项为12，公差为34的等差数列an2n12n1343n14，故an3n12n2.引申探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Snn1”，其他不变，求数列an的通项公式解由已知得n2时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112an1，n2，*又a11，S2a1a22a12，即a212a11，当n1时*式也成立，故an1是以2为首项，以2为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华1证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题.填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可2利用递推关系时要注意对n1时的情况进行验证跟踪训练xx全国已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.1证明an是等比数列，并求其通项公式；2若S53132，求.1证明由题意得a1S11a1，故1，a111，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an11an，由a10，0得an0，所以an1an1.因此an是首项为11，公比为1的等比数列，于是an111n1.2解由1得Sn11n.由S53132得1153132，即15132.解得1.题型三题型三等比数列性质的应用等比数列性质的应用1xx郑州三模已知等比数列an，且a6a84，则a8a42a6a8的值为A2B4C8D16答案D 解析a6a84，a8a42a6a8a8a42a8a6a28a6a8216.故选D.2xx云南省一校跨区调研已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于A40B60C32D50答案B解析由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，故选B.思维升华等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类1通项公式的变形2等比中项的变形3前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口分类讨论思想在等比数列中的应用典例12分已知首项为32的等比数列an的前n项和为SnnN*，且2S2，S3,4S4成等差数列1求数列an的通项公式；2证明Sn1Sn136nN*思想方法指导1利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；2求出前n项和，根据函数的单调性证明规范解答1解设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是qa4a312.2分又a132，所以等比数列an的通项公式为an3212n11n132nnN*3分2证明由1知，Sn112n，Sn1Sn112n1112n212n2n1，n为奇数，212n2n1，n为偶数.6分当n 为奇数时，Sn1Sn随n的增大而减小，所以Sn1SnS11S13223136.8分当n为偶数时，Sn1Sn随n的增大而减小，所以Sn1SnS21S234432512.10分故对于nN*，有Sn1Sn136.12分。
北师大文科数学高考总复习练习：等比数列及其前n项和 含答案
第3讲等比数列及其前n项和基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知{a n}，{b n}都是等比数列，那么() A．{a n＋b n}，{a n·b n}都一定是等比数列B．{a n＋b n}一定是等比数列，但{a n·b n}不一定是等比数列C．{a n＋b n}不一定是等比数列，但{a n·b n}一定是等比数列D．{a n＋b n}，{a n·b n}都不一定是等比数列解析两个等比数列的积仍是一个等比数列．答案 C2．在等比数列{a n}中，如果a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，那么这个数列的公比为()A．2 B.12C．2或12D．－2或12解析设数列{a n}的公比为q，由a1＋a4a2＋a3＝a1(1＋q3)a1(q＋q2)＝1＋q3q＋q2＝(1＋q)(1－q＋q2)q(1＋q)＝1－q＋q2q＝1812，得q＝2或q＝12.故选C.答案 C3．(教材改编)一个蜂巢里有1只蜜蜂．第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴……如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂() A．55 986 B．46 656C．216 D．36解析设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得数列{a n}成等比数列，a1＝6，q＝6，所以{a n}的通项公式a n＝6×6n－1，到第6天，所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有a6＝6×65＝66＝46 656只蜜蜂，故选B.答案 B4．(2015·全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝() A．21 B．42 C．63 D．84解析设等比数列{a n}的公比为q，则由a1＝3，a1＋a3＋a5＝21得3(1＋q2＋q4)＝21，解得q2＝－3(舍去)或q2＝2，于是a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42，故选B.答案 B5．设各项都是正数的等比数列{a n}，S n为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于() A．150 B．－200C．150或－200 D．400或－50解析依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80.S40＝150.故选A.答案 A二、填空题6．(2017·安庆模拟)在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于________．解析 两式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3.即q ＝3.答案 37．在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．解析 因为a 8＝a 2q 6，a 6＝a 2q 4，a 4＝a 2q 2，所以由a 8＝a 6＋2a 4得a 2q 6＝a 2q 4＋2a 2q 2，消去a 2q 2，得到关于q 2的一元二次方程(q 2)2－q 2－2＝0，解得q 2＝2，q 2＝－1舍去，a 6＝a 2q 4＝1×22＝4. 答案 48．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.解析 设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1且q ＞0，因为S 4＝3S 2，所以a 1(1－q 4)1－q ＝3a 1(1－q 2)1－q ，解得q 2＝2，因为a 3＝2，所以a 7＝a 3q 4＝2×22＝8. 答案 8 三、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，依题意得 ⎩⎨⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎨⎧a 1＝1，q ＝3. 因此，a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2.10．(2017·合肥模拟)设{a n }是公比为q 的等比数列．(1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 解 (1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 1＋…＋a 1＝na 1； 当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q )S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1(1－q n)1－q，∴S n ＝⎩⎨⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋， (a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1.∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0，∴q ＝1，这与已知矛盾． 故数列{a n ＋1}不是等比数列．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( )A ．12B ．13C ．14D ．15 解析 设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36， 所以n ＝14，故选C.答案 C12．(2016·临沂模拟)数列{a n}中，已知对任意n∈N＋，a1＋a2＋a3＋…＋a n＝3n －1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于()A．(3n－1)2 B.12(9n－1)C．9n－1 D.14(3n－1)解析∵a1＋a2＋…＋a n＝3n－1，n∈N＋，n≥2时，a1＋a2＋…＋a n－1＝3n－1－1，∴当n≥2时，a n＝3n－3n－1＝2·3n－1，又n＝1时，a1＝2适合上式，∴a n＝2·3n－1，故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列．因此a21＋a22＋…＋a2n＝4(1－9n)1－9＝12(9n－1)．答案 B13．(2017·南昌模拟)在等比数列{a n}中，a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是________．解析当q>0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≥1＋2a1a3＝1＋2a22＝3，当且仅当a1＝a3＝1时等号成立．当q<0时，S3＝a1＋a2＋a3＝1＋a1＋a3≤1－2a1a3＝1－2a22＝－1，当且仅当a1＝a3＝－1时等号成立．所以，S3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案(－∞，－1]∪[3，＋∞)14．(2015·四川卷)设数列{a n}(n＝1,2,3，…)的前n项和S n满足S n＝2a n－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1， 有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1，又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 故a n ＝2n . (2)由(1)得1a n＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n . 由|T n －1|＜11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1＜11 000， 即2n ＞1 000，因为29＝512＜1 000＜1 024＝210，所以n ≥10， 于是，使|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值为10.。
高考数学总复习6.3等比数列及其前n项和演练提升同步测评文新人教B版
6.3 等比数列及其前n 项和A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·宁夏大学附中上学期月考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝()A.13 B ．－13C.19 D ．－19【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1q ＋a1q2＝a1q ＋10a1，a1q4＝9， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q2＝9，a1＝19.【答案】 C2．(2016·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n (n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于()A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 【解析】由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n ，从而得a n ＝2n. 方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)·a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二 取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.【答案】 A 3．(2016·山东潍坊重点高中联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S6S3＝3，则S9S6＝()A ．2 B.73C.83D ．3 【解析】依题意知等比数列的公比q ≠±1，设S 3＝k ，则S 6＝3k (k ≠0)，结合S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列可知S 9－3k ＝4k ，故S 9＝7k .所以S9S6＝73. 【答案】 B4．(2016·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2·b 8·b 11＝()A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2·b 8·b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.【答案】 D 5．(2016·甘肃河西五市部分普通高中第一次联考)正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 016＝() A ．－1 B ．1 C.2 D ．2【解析】∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 4 031＝6.又∵{a n }为正项等比数列，∴a 2 016＝a 1·a 4 031＝6，∴log 6a 2 016＝log66＝1. 【答案】 B6．(2016·广州综合测试)已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为()A ．10B ．20C ．100D ．200【解析】a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.【答案】 C7．(2016·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________．【解析】设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324， 因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.【答案】 14。
高考数学一轮总复习 专题6.3 等比数列及其前n项和练习(含解析)文
专题6.3 等比数列及其前n 项和1.【2015新课标2文9】已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C【解析】由题意可得；2354444(1)2a a a a a ==-⇒=，所以；34182a q q a ==⇒= ，故2112a a q ==,选C. 【考点解读】本题为求等比数列的特定项，求出公比是解题的关键。
求解有两个思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质，应有意识地去应用。
在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法。
2.【2015高考新课标1文13】数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = . 【答案】6【考点解读】本题考查了等比数列定义与前n 项和公式，关键是由条件12n n a a +=得出该数列为等比数列。
3.【2015高考广东文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中5a =+5c =-则b = ． 【答案】1【解析】因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2551b ac ==+-=，因为0b >，所以1b =，所以答案应填：1．【考点解读】本题主要考查的是等比中项，属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念，即若a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中项，即2G ab =．4.【2017江苏高考9】等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项的和为n S ,已知3676344S S ==,,则8a = . 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=. 【考点解读】本题考查等比数列的求和及通项，解题中可运用方程思想（求基本量），等比数列注意分类思想。
高三数学一轮复习《等比数列及其前n项和》理 新人教B版
[第30讲 等比数列及其前n 项和](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 6＝a 1a 2a 3，则公比q ＝( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．32．[2013·郑州质检] 在等比数列{a n }中，若a 4，a 8是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，则a 6的值是( )A. 3 B ．－ 3 C ．± 3 D ．±33．[2013·韶关一调] 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 24．[2013·广东卷] 若等比数列{a n }满足a 2a 4＝12，则a 1a 23a 5＝________．能力提升 5．[2013·长春四调] 等差数列{a n }的公差为3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 4＝( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．16 6．在等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则数列{a n }的公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或－127．在等比数列{a n }中，a 6与a 7的等差中项等于48，a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10＝1286.如果设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么S n ＝( )A ．5n －4B ．4n －3C ．3n －2D ．2n －18．[2013·漳州五校联考] 在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 为( )A ．0B ．1C ．－1D ．29．[2013·湖北卷] 定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n }，{f(a n )}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x 2； ②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|； ④f(x)＝ln |x|.则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为( ) A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④ 10．已知等比数列{a n }的公比为2，且前四项之和等于1，则其前8项之和等于________．11．[2013·乌鲁木齐三模] 已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝12(a 2＋a 3)＝3，则其前6项和为________．12．[2013·盐城二模] 已知公差不为零的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 9成等比数列，{S n }为数列{a n }的前n 项和，则S 11－S 9S 7－S 6的值是________．13．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，a 3＝14，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝________．14．(10分)[2013·三明质检] 已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且2S n ＝2－a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n ＋n ，求数列{b n }的前n 项和T n .15．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝(λ＋1)－λa n ，其中λ是不等于－1和0的常数．(1)证明：{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f(λ)，数列{b n }满足b 1＝13，b n ＝f(b n －1)(n∈N ，n ≥2)，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .难点突破16．(12分)[2013·南通二模] 设数列{a n }的各项均为正数．若对任意的n ∈N *，存在k ∈N *，使得a 2n ＋k ＝a n ·a n ＋2k 成立，则称数列{a n }为“J k 型”数列．(1)若数列{a n }是“J 2型”数列，且a 2＝8，a 8＝1，求a 2n ；(2)若数列{a n }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{a n }是等比数列．课时作业(三十)【基础热身】1．B [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 5＝a 1·a 1q ·a 1q 2，即q 2＝a 21＝4，q ＝2，故选B.2．A [解析] 由a 4，a 8是方程x 2－4x ＋3＝0的两根，得a 4＋a 8＝4，a 4a 8＝3，则a 4，a 8为正数，根据等比数列的性质，有a 26＝a 4a 8＝3，则a 6＝3，故选A.3．C [解析] 因为a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 3＝a 1＋2a 2，即q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2(负值舍去)， ∴a 8＋a 9a 6＋a 7＝q 2＝3＋22，故选C. 4.14 [解析] 根据等比数列的性质得：a 2a 4＝a 1a 5＝a 23，所以a 1a 23a 5＝12×12＝14. 【能力提升】5．C [解析] 设数列{a n }的首项为a ，由a 2，a 4，a 8成等比数列，得a 24＝a 2a 8，即(a ＋9)2＝(a ＋3)·(a ＋21)⇒a ＝3，a 4＝3＋3×3＝12，故选C.6．C [解析] S 3＝⎠⎛034x d x ＝2x 2⎪⎪⎪ )30＝18，则a 1(1＋q ＋q 2)＝18，又a 3＝a 1q 2＝6，则1＋q ＋q 2＝3q 2，解得q ＝1或q ＝－12，故选C .7．D [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， 由a 6与a 7的等差中项等于48，得a 6＋a 7＝96，即a 1q 5(1＋q)＝96.①由等比数列的性质，得a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27，因为a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10＝1286，则a 77＝1286＝(26)7，即a 1q 6＝26.② 由①②解得a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1，故选D .8．C [解析] 方法一：由S n ＝3n ＋k ，得a 1＝S 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝(32＋k)－(3＋k)＝6，a 3＝S 3－S 2＝(33＋k)－(32＋k)＝18，由a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，知数列{a n }是等比数列，则a 22＝a 1a 3，即62＝18(3＋k)，解得k ＝－1，故选C .方法二：由题意知，数列{a n }是公比为c 的等比数列，且c≠0，c≠1.∵S n ＝a 1（1－q n）1－q＝－tq n ＋t ＝3n＋k ，∴k＝t ＝－1，故选C .9．C [解析] 设数列{a n }的公比为q.对于①，f （a n ＋1）f （a n ）＝a 2n ＋1a 2n ＝q 2，故数列{f(a n )}是公比为q 2的等比数列；对于②，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n (不为常数)，故数列{f(a n )}不是等比数列；对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q|，故数列{f(a n)}是等比数列；对于④， f （a n ＋1）f （a n ）＝ln |a n ＋1|ln |a n |(不为常数)，故数列{f(a n )}不是等比数列．由“保等比数列函数”的定义知应选C .10．17 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)q 4＝24，∴等比数列{a n }的前8项之和S 8＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＝17.11．63 [解析] 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝3，a 1q （1＋q ）＝2×3，解得a 1＝1，q ＝2，∴数列{a n }前6项和为S 6＝1×（1－26）1－2＝63.12．3 [解析] 设等差数列{a n }的公差为d(d≠0)， 由a 1，a 3，a 9成等比数列，得 a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋8d)， 化简，得a 1＝d.∴S 11－S 9S 7－S 6＝a 11＋a 10a 7＝2a 1＋19d a 1＋6d＝3. 13．31 [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＋a 2＋…＋a 5＝3116，得a 1(1＋q ＋…＋q 4)＝3116，由a 3＝14，得a 1q 2＝14，则a 21q 4＝116，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 5＝1a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q ＋…＋1q 4＝a 1（1＋q ＋…＋q 4）a 21q4＝31. 14．解：(1)当n ＝1时，2S 1＝2－a 1，2a 1＝2－a 1，解得a 1＝23；当n≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝2－a n ，2S n －1＝2－a n －1，两式相减，得2(S n －S n －1)＝a n －1－a n ，即2a n ＝a n －1－a n ，∴3a n ＝a n －1，即a n a n －1＝13，∴数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)由(1)知b n ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ， ∴T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋(1＋2＋3＋…＋n)＝2×13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＋（n ＋1）n 2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n 2＋n 2.15．解：(1)证明：∵S n ＝(λ＋1)－λa n ， ∴S n －1＝(λ＋1)－λa n －1(n≥2)，∴a n ＝－λa n ＋λa n －1，即(1＋λ)a n ＝λa n －1.又λ≠－1且λ≠0，∴a n a n －1＝λ1＋λ.又由已知可得a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，λ1＋λ为公比的等比数列．(2)由(1)知q ＝f(λ)＝λ1＋λ，∴b n ＝f(b n －1)＝b n －11＋b n －1(n≥2)，故有1b n ＝1＋b n －1b n －1＝1b n －1＋1，∴1b n －1b n －1＝1(n≥2)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴T n ＝3n ＋n （n －1）2＝n 2＋5n2.【难点突破】16．解：(1)由题意，得a 2，a 4，a 6，a 8，…成等比数列，且公比q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 8a 213＝12，所以a 2n＝a 2q n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －4.(2)证明：由{a n }是“J 4型”数列，得a 1，a 5，a 9，a 13，a 17，a 21，…成等比数列，设公比为t. 由{a n }是“J 3型”数列，得a 1，a 4，a 7，a 10，a 13，…成等比数列，设公比为α1； a 2，a 5，a 8，a 11，a 14，…成等比数列，设公比为α2； a 3，a 6，a 9，a 12，a 15，…成等比数列，设公比为α3； 则a 13a 1＝α41＝t 3，a 17a 5＝α42＝t 3，a 21a 9＝α43＝t 3. 所以α1＝α2＝α3，不妨记α＝α1＝α2＝α3，且t ＝α43.于是a 3k －2＝a 1αk －1＝a 1(3α)(3k －2)－1，a 3k －1＝a 5αk －2＝a 1t αk －2＝a 1αk －23＝a 1(3α)(3k －1)－1，a 3k ＝a 9αk －3＝a 1t 2αk －3＝a 1αk －13＝a 1(3α)3k －1，所以a n ＝a 1(3α)n －1，故{a n }为等比数列．。
高考数学总复习 专题6.3 等比数列及其前n项和导学案 理-人教版高三全册数学学案
第三节 等比数列及其前n 项和最新考纲1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系. 知识梳理1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)． 数学语言表达式：a n a n －1＝q (n ≥2，q 为非零常数)，或a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数). 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)．3．等比中项如果在a 与b 中插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列，那么根据等比数列的定义，G a ＝bG，G 2＝ab ，G ＝±ab ，称G 为a ，b 的等比中项．4．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q1－q.5．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·qn －m(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍是等比数列．(4)等比数列{a n }的单调性：当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，数列{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，数列{a n }是递减数列； 当q ＝1时，数列{a n }是常数列.(5)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m.(6)当q ≠－1，或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n. 典型例题考点一 等比数列基本量的运算【例1】(1)在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( ) A ．1 B ．－12 C ．1或－12 D ．－1或12【答案】C【解析】根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21，①②②÷①得1＋q ＋q2q2＝3. 整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12.(2)[2017·江苏高考]等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. 【答案】 32【解析】 设{a n }的首项为a 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q 31－q ＝74，a 11－q 61－q＝634，两式相除得1－q31－q6＝1－q 31－q31＋q3＝19， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 8＝14×27＝25＝32.(3)(2016·全国Ⅰ卷)设等比数列满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________. 【答案】6规律方法1.等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用．2．在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，在运算过程中，应善于运用整体代换思想简化运算．【变式训练1】 (1)[2017·全国卷Ⅱ]我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 【答案】 B【解析】 设塔的顶层的灯数为a 1，七层塔的总灯数为S 7，公比为q ，则由题意知S 7＝381，q ＝2，∴S 7＝a 11－q 71－q ＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.故选B.（2）设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋1a n<1，若a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，则S 4等于( ) A ．63或120 B ．256 C ．120 D ．63【答案】 C 【解析】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝20，a 3a 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 5＝16.又a n ＋1a n <1，所以数列{a n }为递减数列，故⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 5＝4.设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14，因为数列为正项数列，故q ＝12，从而a 1＝64，所以S 4＝64×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1241－12＝120.故选C.3．[2017·北京高考]若等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝－1，a 4＝b 4＝8，则a 2b 2＝________. 【答案】1【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ， 则由a 4＝a 1＋3d ，得d ＝a 4－a 13＝8－(－1)3＝3，由b 4＝b 1q 3得q 3＝b 4b 1＝8－1＝－8，∴q ＝－2.∴a 2b 2＝a 1＋d b 1q ＝－1＋3－1×(－2)＝1.4.已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于__________． 【答案】 S n ＝2n－1.【解析】设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.5.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列，则a n ＝________. 【答案】a n ＝2n －1.【解析】解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2q＋2＋2q＝7，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q ＞1，所以q ＝2，所以a 1＝1.故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.6.数列{ɑn }中，已知对任意n∈N *，ɑ1＋ɑ2＋ɑ3＋…＋ɑn ＝3n－1，则ɑ21＋ɑ22＋ɑ23＋…＋ɑ2n 等于( ) A ．(3n －1)2 B.12(9n －1) C ．9n－1 D.14(3n －1)【答案】B【解析】∵ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn ＝3n－1，n ∈N *，n ≥2时，ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑn －1＝3n －1－1，∴当n≥2时，ɑn ＝3n－3n －1＝2·3n －1，又n ＝1时，ɑ1＝2适合上式，∴ɑn ＝2·3n －1，故数列{ɑ2n }是首项为4，公比为9的等比数列，因此ɑ21＋ɑ22＋…＋ɑ2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1)．7.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．5 2B ．7C ．6D ．4 2 【答案】 A【解析】 (a 1a 2a 3)×(a 7a 8a 9)＝a 65＝50，a 4a 5a 6＝a 35＝5 2.选A.8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________. 【答案】 31【解析】 a 3a 5＝a 2a 6＝64，因为a 3＋a 5＝20，所以a 3和a 5为方程x 2－20x ＋64＝0的两根，因为a n >0，q >1，所以a 3<a 5，所以a 5＝16，a 3＝4，所以q ＝a 5a 3＝164＝2，所以a 1＝a 3q 2＝44＝1，所以S 5＝1－q51－q＝31. 9.设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18 C.578 D.558 【答案】 A【解析】 因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.故选A.10.各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n 等于( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16 【答案】 B【解析】 由题意知公比大于0，由等比数列性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…仍为等比数列．设S 2n ＝x ，则2，x －2,14－x 成等比数列． 由(x －2)2＝2×(14－x )，解得x ＝6或x ＝－4(舍去)．∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n ，…是首项为2，公比为2的等比数列． 又∵S 3n ＝14，∴S 4n ＝14＋2×23＝30.故选B.11.(2016·全国Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.【答案】（1）略（2）λ＝－1.【解析】(1)证明 由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1， 故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1，得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n ，由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列， 于是a n ＝11－λ⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n －1.(2)解 由(1)得S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝3132，即⎝ ⎛⎭⎪⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.12.已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n，且a 1＝8. (1)证明：数列{a n －3n}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝a n3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】（1）a n ＝3n＋5n.（2）T n ＝5n ＋12·3n ＋n －52.【解析】(1)因为a n ＋1＝5a n －2·3n， 所以a n ＋1－3n ＋1＝5a n －2·3n －3n ＋1＝5(a n －3n)，又a 1＝8，所以a 1－3＝5≠0，所以数列{a n －3n}是首项为5、公比为5的等比数列． 所以a n －3n＝5n，所以a n ＝3n＋5n.(2)由(1)知，b n ＝a n 3n ＝3n ＋5n3n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n，则数列{b n }的前n 项和T n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫531＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫532＋…＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫53n ＝n ＋53⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫53n 1－53＝5n ＋12·3n ＋n －52.13.已知数列{a n }满足2a 1＋4a 2＋ (2)a n ＝n n ＋12.(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和T n . 【答案】（1）略（2）T n ＝2－n ＋22n.【解析】(1)证明：当n ＝1时，由2a 1＝1，得a 1＝12，当n ≥2时，由2a 1＋4a 2＋ (2)a n ＝n n ＋12，得2a 1＋4a 2＋…＋2n －1a n －1＝n －1n2，于是2na n ＝n n ＋12－n －1n2＝n ，整理得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，又a 1＝12符合上式，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列．。
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6.3 等比数列及其前n 项和A 组 专项基础训练(时间：35分钟)1．(2016·宁夏大学附中上学期月考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝()A.13B ．－13C.19D ．－19【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a1＋a1q ＋a1q2＝a1q ＋10a1，a1q4＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧q2＝9，a1＝19. 【答案】 C2．(2016·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n ＞0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1等于() A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【解析】由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，从而得a n ＝2n.方法一 log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)·a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)．方法二 取n ＝1，log 2a 1＝log 22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B ，D ；取n ＝2，log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＝log 22＋log 24＋log 28＝6，而22＝4，排除C ，选A.【答案】 A3．(2016·山东潍坊重点高中联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S6S3＝3，则S9S6＝()A ．2 B.73C.83D ．3【解析】依题意知等比数列的公比q ≠±1，设S 3＝k ，则S 6＝3k (k ≠0)，结合S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列可知S 9－3k ＝4k ，故S 9＝7k .所以S9S6＝73.【答案】 B4．(2016·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2·b 8·b 11＝()A ．1B ．2C ．4D ．8【解析】由等差数列的性质，得a 6＋a 8＝2a 7.由a 6－a 27＋a 8＝0，可得a 7＝2，所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2·b 8·b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8.【答案】 D5．(2016·甘肃河西五市部分普通高中第一次联考)正项等比数列{a n }中的a 1，a 4 031是函数f (x )＝13x 3－4x 2＋6x －3的极值点，则log6a 2 016＝()A ．－1B ．1 C.2 D ．2【解析】∵f ′(x )＝x 2－8x ＋6，∴a 1·a 4 031＝6.又∵{a n }为正项等比数列，∴a 2 016＝a 1·a 4 031＝6，∴log6a 2 016＝log 66＝1.【答案】 B6．(2016·广州综合测试)已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为()A ．10B ．20C ．100D ．200【解析】a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9＝a 7a 1＋2a 7a 3＋a 3a 9＝a 24＋2a 4a 6＋a 26＝(a 4＋a 6)2＝102＝100.【答案】 C7．(2016·长春调研)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________．【解析】设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12， 可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.【答案】 148．(2016·南宁测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且2a 1，a 3，3a 2成等差数列．则a n ＝________．【解析】设数列{a n }的公比为q ，∵2a 1，a 3，3a 2成等差数列，∴2a 1＋3a 2＝2a 3，2a 1＋3a 1q ＝2a 1q 2，2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12.∵q ＞0，∴q ＝2.∵a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1＝2n.【答案】 2n9．(2016·河南实验中学期中)数列{b n }满足：b n ＋1＝2b n ＋2，b n ＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝4.(1)求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .【解析】 (1)由b n ＋1＝2b n ＋2，得b n ＋1＋2＝2(b n ＋2)，∴bn ＋1＋2bn ＋2＝2，又b 1＋2＝a 2－a 1＋2＝4，∴数列{b n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．∴b n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，∴b n ＝2n ＋1－2.(2)由(1)知，a n －a n －1＝b n －1＝2n－2(n ≥2)，∴a n －1－a n －2＝2n －1－2(n ＞2)，…，a 2－a 1＝22－2，∴a n －2＝(22＋23＋ (2))－2(n －1)，∴a n ＝(2＋22＋23＋ (2))－2n ＋2 ＝2（2n －1）2－1－2n ＋2＝2n ＋1－2n .∴S n ＝4（1－2n ）1－2－n （2＋2n ）2＝2n ＋2－(n 2＋n ＋4)．10．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n＋1＝0.(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．【解析】 (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.(2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)．因为{a n }的各项都为正数，所以an ＋1an ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟) 11．(2016·河南洛阳期中)下列结论正确的是()A ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋1，则{a n }为等差数列 B ．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n－2，则{a n }为等比数列C ．非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等差数列，则1a ，1b ，1c 可能构成等差数列D ．非零实数a ，b ，c 不全相等，若a ，b ，c 成等比数列，则1a ，1b ，1c一定构成等比数列【解析】在A 中，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝n 2＋n ＋1，∴a 1＝S 1＝1＋1＋1＝3，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n ＋1)－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n (n ≥2)，故{a n }不为等差数列，故A 错误；在B 中，∵数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2n－2，∴a 1＝S 1＝2－2＝0，∴{a n }不为等比数列，故B 错误；在C 中，若1a ，1b ，1c 构成等差数列，则2b ＝1a ＋1c ＝a ＋c ac ＝2b ac，∴b 2＝ac ，∴ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a2＋c2＋2ac 4，∴a ＝c ，从而a ＝c ＝b ，与非零实数a ，b ，c 不全相等矛盾，∴1a ，1b ，1c不可能构成等差数列，故C 错误；在D 中，∵非零实数a ，b ，c 不全相等，a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，∴1b2＝1ac ＝1a ·1c，∴1a ，1b ，1c一定成等比数列，故D 正确．故选D.【答案】 D12．(2016·宁夏大学附中上学期月考)在正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n (m ，n ∈N *)使得aman ＝4a 1，且a 7＝a 6＋2a 5，则1m ＋5n的最小值是()A.74 B ．1＋53C.256 D.253【解析】在正项等比数列{a n }中，设公比为q ，∵a 7＝a 6＋2a 5，∴a7a5＝a6a5＋2，即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，∴a m ＝a 12m －1，a n ＝a 12n －1.∵aman ＝4a 1，∴a m a n ＝a 212m ＋n －2＝16a 21，即m ＋n －2＝4，∴m ＋n ＝6，列举(m ，n )＝(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即有1m ＋5n ＝2，74，2，114，265.当m ＝2，n ＝4时，1m ＋5n 取得最小值74.【答案】 A13．(2016·兰州诊断)数列{a n }的首项为a 1＝1，数列{b n }为等比数列且b n ＝an ＋1an，若b 10b 11＝2 017110，则a 21＝________．【解析】由b n ＝an ＋1an ，且a 1＝1，得b 1＝a2a1＝a 2.b 2＝a3a2，a 3＝a 2b 2＝b 1b 2.b 3＝a4a3，a 4＝a 3b 3＝b 1b 2b 3，…，a n ＝b 1b 2…b n －1，∴a 21＝b 1b 2…b 20.∵数列{b n }为等比数列，∴a 21＝(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝(b 10b 11)10＝(2 017110)10＝2 017.【答案】 201714．(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．【解析】 (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝bn3，因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32－12×3n－1.15．(2017·兰州模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝m ＋1－ma n (m为常数，且m ＞0)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比q ＝f (m )，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝f (b n －1)(n ≥2，n ∈N *)，求数列{b n }的通项公式．【解析】 (1)证明当n ＝1时，a 1＝S 1＝m ＋1－ma 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ma n －1－ma n ，即(1＋m )a n ＝ma n －1.又m 为常数，且m ＞0，∴an an －1＝m1＋m (n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为1，公比为m1＋m的等比数列．(2)由(1)得，q ＝f (m )＝m1＋m，b 1＝2a 1＝2.∵b n ＝f (b n －1)＝bn －11＋bn －1，∴1bn ＝1bn －1＋1，即1bn －1bn －1＝1(n ≥2)． ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1bn 是首项为12，公差为1的等差数列．∴1bn ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，即b n ＝22n －1(n ∈N *)．。