3.1.1 二次函数的图像与性质(1)(教师)

平远中学高一数学自主探究学案

第三章 幂指对函数

第 1 课时 内容：二次函数的图像与性质（1） 班级 姓名 小组

【入门向导】

函数是中学数学中最重要的内容，它与中学数学各部分知识都有密切的联系．

在中学阶段，函数的学习大致可分为三个阶段．首先在初中阶段学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等简单的函数，相关的概念也只是描述性的，并了解了它们的图象、性质等．本章学习的函数是第二阶段，通过用集合映射的理论对函数概念加以阐述，揭示基本初等函数及其性质规律，这是对函数概念的再认识阶段．后面我们还要在选修系列的导数及其应用部分继续研究学习，这是函数学习的进一步深化和提高．

函数不仅仅是数学研究的对象，同时也是数学中常用的一种思想方法．函数的思想即运用函数的概念和性质去分析、转化和解决问题的思想，广泛地渗透到学习数学的整个过程和其他学科之中．

【自主学习】

一次函数、二次函数是初中数学与高中数学的重要衔接点，在中学数学中占有举足轻重的地位． 一、一次函数

1．表达式：y ＝kx ＋b ，其中k 满足k ≠0，b 为在y 轴上的截距．

2．单调性：当k >0时，在R 上是增函数；当k <0时，在R 上是减函数．

3．奇偶性：一次函数为奇函数的条件是b ＝0；当b ≠0时，为非奇非偶函数． 4．图象：过(0，b )点． 二、二次函数

1．二次函数的定义：函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数． 2．二次函数的三种表示形式：

(1)一般式：f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)；

(2)顶点式：f (x )＝a (x －m )2

＋n (a ≠0)； (3)两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 3．二次函数的图象和性质

(1)图象：二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)的图象是以直线x ＝－b

2a

为对称轴的抛物线，其开口

方向由a 的符号确定，顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b 2

4a )．

(2)性质：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的单调性以顶点的横坐标x ＝－b

2a 为分界，当a >0

时，若x ∈(－∞，－b 2a ]，f (x )单调递减，若x ∈[－b

2a

，＋∞)，f (x )单调递增；当a <0

时，若x ∈(－∞，－b 2a ]，f (x )单调递增，若x ∈[－b

2a

，＋ ∞)，f (x )单调递减． 4．若二次函数y ＝f (x )恒满足f (x ＋m )＝f (－x ＋n )，则其对称轴为x ＝m ＋n

2

.

【基础测试】

1.用配方法求下列函数的对称轴和定点坐标，并作出图像，指出其单调区间。 （1）()f x =x 2+8x+3； （2）()f x =-2x 2+x-1

【合作探究、交流展示】

探究一：求函数解析式

【例1】已知一次函数的图象经过(－4,15)、(6，－5)两点，求此一次函数的解析式．

解 设此一次函数解析式为y ＝kx ＋b ，①

将⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝－4，y ＝15和⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＝6，

y ＝－5代入①，得

⎩⎪⎨⎪

⎧

15＝－4k ＋b ，－5＝6k ＋b .

解得⎩⎪⎨

⎪⎧

k ＝－2，b ＝7.

∴此一次函数的解析式为y ＝－2x ＋7.

【例2】求下列二次函数的解析式：

（1）已知二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c 的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． （2）若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为 。

（3）抛物线y ＝ax 2

＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式．

探究二：二次函数的图象及应用

【例3】二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数y ＝x 2

－2x ＋1的图象，求b 与c .

解 ∵函数y ＝x 2－2x ＋1可变形为y ＝(x －1)2

，

∴抛物线y ＝x 2

－2x ＋1的顶点坐标为(1,0)．

根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象，即把抛物线y ＝x 2

－2x ＋1向下

平移3个单位，再向右平移2个单位，就可得到抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c ，此时顶点B (1,0)平移至A (3，－3)处．

∴抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c 的顶点坐标是(3，－3)，

即y ＝(x －3)2－3＝x 2

－6x ＋6.∴b ＝－6，c ＝6.

规律技巧总结 抛物线y ＝a (x ＋h )2

＋k 在平移时，a 不变，只是h 与k 发生变化，故抛物线的平移问题关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．

【例4】已知函数y ＝ax 和y ＝－b x

都是(0，＋∞)上的减函数，则y ＝ax 2

＋bx 在(0，＋∞)上的单调性为________．

分析 分别求出a 与b 的范围，才能说明y ＝ax 2

＋bx 在(0，＋ ∞)上的单调性．

解析 由y ＝ax 在(0，＋∞)上是减函数，则a <0，由y ＝－b x 在(0，＋∞)上是减函数，则由y ＝－

b x