数学竞赛辅导三角形五心

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三角形五心性质

三角形五心性质三角形的五心定理一、三角形五心定义内心是三角形的三内角平分线交点．也是三角形内切圆的圆心．重心是三角形的三条中线的交点. （重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名）外心是三角形的三边的垂直平分线的交点. 三角形外接圆的圆心.垂心是三角形的三条高的交点旁心是三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线的交点 . 三角形的旁切圆（与三角形的一边和其他两边的延长线相切的圆）的圆心二、三角形五心性质内心: 1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一.2、若O是ABC∠2（A∠为=BOC∠∆的外心，则A锐角或直角）或A3600（A∠为钝=∠2BOC∠-角）.4、外心到三顶点的距离相等.垂心:1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆.2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且2:1OG.（此直线称为三角形的欧拉:=GH线（Euler line））3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.4、垂心分每条高线的两部分乘积相等.=OA⋅⋅=⋅OBOAOBOCOC旁心: 1、每个三角形都有三个旁心.2、旁心到三边的距离相等.注：三角形的中心：只有正三角形才有中心，这时重心，内心，外心，垂心，四心合一。

三、三角形五心性质证明垂心：已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB .证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90度∴A、B、D、E四点共圆∴∠ADE=∠ABE∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ∴ΔAEO∽ΔADC∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE又∵∠ABE+∠BAC=90度∴∠ACF+∠BAC=90度∴CF⊥AB重心:三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍.证明：如图：△ABC中D为BC中点，E为AC中点，F为AB中点，G为△ABC重心做BG中点H，GC中点I∴HI为△GBC的中位线∴HI//BC,且 2HI=BC同理：FE是△ABC中位线∴FE//BC,且 2FE=BC∴FE//HI,且 FE=HI∴四边形FHIE是平行四边形∴HG=GE又H为BG的中点∴HG=BH∴HG=BH=GE∴2GE=BG∴三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点距离的两倍四、有关三角形五心的诗歌三角形五心歌（重外垂内旁）三角形有五颗心，重外垂内和旁心，五心性质很重要，认真掌握莫记混．重心三条中线定相交，交点位置真奇巧，交点命名为“重心”，重心性质要明了，重心分割中线段，数段之比听分晓；长短之比二比一，灵活运用掌握好．外心三角形有六元素，三个内角有三边．作三边的中垂线，三线相交共一点．此点定义为外心，用它可作外接圆．内心外心莫记混，内切外接是关键．垂心三角形上作三高，三高必于垂心交．高线分割三角形，出现直角三对整，直角三角形有十二，构成六对相似形，四点共圆图中有，细心分析可找清.内心三角对应三顶点，角角都有平分线，三线相交定共点，叫做“内心”有根源；点至三边均等距，可作三角形内切圆，此圆圆心称“内心”，如此定义理当然．五心性质别记混，做起题来真是好.五心的性质三角形的五心有许多重要性质，它们之间也有很密切的联系，如：（1）三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等；（2）三角形的外心到三顶点的距离相等；（3）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（4）三角形的内心、旁心到三边距离相等；（5）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（6）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（7）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（8）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（9）三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍.下面是更为详细的性质：1、垂心三角形三边上的高的交点称为三角形的垂心。

平面几何竞赛之三角形的“五心”

平面几何竞赛之三角形的“五心”一、基本概念1、内心：与三角形所有边相切的圆叫做此三角形的内切圆，其圆心叫做此三角形的内心。

内心是三角形三条内角平分线的交点.三角形的内心在三角形内部.内心有以下常用的性质：性质1：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是：I 到三角形三边的距离相等. 证明：性质2：设I 是⊿ABC 内一点，AI 所在直线交⊿ABC 的外接圆于D ， I 为⊿ABC 内心的充要条件是:ID=DB=DC.证明：性质3：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ∠BIC=900+21∠A ，∠AIC=900+21∠B ，∠AIB=900+21∠C. 证明：性质4：设I 是⊿ABC 内一点，I 为⊿ABC 内心的充要条件是: ⊿IBC 、⊿IAC 、⊿IAB 的外心均在⊿ABC 的外接圆上。

证明：性质5：设I 为⊿ABC 内心,BC=a ，AC=b,AB=c ，I 在BC 、AC 、AB边上的射影分别为D 、E 、F ，内切圆的半径为r ，令p=21(a+b+c),则(1)ID=IE=IF=r ，S ⊿ABC =pr=))()((c p b p a p p ---=xyz z y x )(++；海伦公式推导:(2)r=cb a S ABC++∆2;M（3）abc ·r=p ·AI ·BI ·CI.性质6:设I 为⊿ABC 内心，BC=a,AC=b ，AB=c,∠A 的平分线交BC 于K,交⊿ABC 的外接圆于D ，则IK AI =DI AD =DK DI =a c b 。

〖例1〗如图，设⊿ABC 的外接圆O 的半径为R ，内心为I,∠B=600，∠A 〈∠C ，∠A 的外角平分线交圆O 于E ，证明：(1）IO=AE ，（2)2R<IO+IA+IC<（1+3)R 。

(1994高中联赛)〖例2〗如图，在⊿ABC 中，AB=4，AC=6，BC=5，∠A 的平分线交⊿ABC 的外接圆于K ，O 、I 分别是⊿ABC 的外心和内心，求证：IO ⊥AK 。

五心数学定义

五心数学定义
五心数学定义主要涉及到三角形的五种特殊点，即重心、外心、内心、垂心和旁心。

以下是关于这些点的详细定义：
1. 重心：三角形的三条中线相交于一点，这点称为三角形的重心。

重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)。

此外，重心有一个重要的性质，即重心将中线分为2:1的两部分，也就是说，从顶点到重心的距离是从重心到对边中点的距离的两倍。

2. 外心：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这个点称为三角形的外心。

外心到三角形的三个顶点的距离相等，也就是说，外心是三角形外接圆的圆心。

3. 内心：三角形的三条内角平分线相交于一点，这个点称为三角形的内心。

内心到三角形的三边的距离相等，也就是说，内心是三角形内切圆的圆心。

4. 垂心：三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。

5. 旁心：与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆，旁切圆的圆心叫做三角形旁心。

旁心是一个三角形有三个旁心，而且一定在三角形外。

这五个点各自具有独特的性质，并在几何学中发挥着重要的作用。

对于理解和解决与三角形相关的问题，这些定义和性质都是非常有价值的工具。

初二数学最新教案-初二数学竞赛辅导五：三角形的五心

初二上数学竞赛辅导五：三角形的五心例题分析：1、已知I 是ABC ∆内心，射线AI 、BI 、CI 交ABC ∆外接圆于‘、、C B A ''，求证：AB CA BC CC BB AA ++>++'''2、已知4321A A A A 是圆O 的内接四边形，4321,,,I I I I 依次是432A A A ∆、143A A A ∆、214A A A ∆、321A A A ∆的内心，求证：4321I I I I 是矩形3、如图，I 是ABC ∆的内心，射线AI 分别交BC 与ABC ∆的外接圆圆O 于D 、E 两点，求证：（1）bc AE AD =⋅（2）Rr IE AI 2=⋅，其中R 、r 分别是ABC ∆外接圆与内切圆的半径。

4、已知AD 是ABC ∆的一条角平分线，设21,,a DC a BD t AD a ===，则11a a bc t a -= （角平分线长公式：cb ac b c b a bc t a +-+++=))((）5、已知：O 、I 分别是ABC ∆的外心和内心，设OI=d ，ABC ∆外接圆和内切圆的半径分别为R 和r ，则Rr R d 222-=（欧拉公式）6、在A B C ∆边BC 上任取一点D ，则DC BD BC BC AD BD AC CD AB ⋅⋅=⋅-⋅+⋅222（斯特沃特定理）（推出中线长公式：2222221a c b m a -+=，角平分线长公式：)(2a p bcp cb t a -+=，这里2p=a+b+c ，高长公式：44422222222221c b a a c c b b a a h a ---++=）7、设G 为ABC ∆的重心，且AG=6，BG=8，CG=10，则ABC ∆的面积是多少？8、如图，在ABC ∆中，090=∠C ，A ∠和B ∠的平分线相交于P 点，又AB PE ⊥于E 点，若BC=2，AC=3，则EB AE ⋅的值多少？9、已知平行四边形ABCD 中，E 是AB 的中点，AB=10，AC=9，DE=12，求平行四边形ABCD 的面积？10、在ABC ∆中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且6,4,==⊥CE BD CE BD ，则ABC ∆的面积是多少？11、已知R 为锐角ABC ∆的外接圆圆O 的半径长，AO 、BO 、CO 分别延长后交BC 、CA 、AB 于点D 、E 、F ，求CFBE AD 111++的值。

初中数学竞赛：三角形的五心

数学竞赛：三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心. 一、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.例1．过等腰△ABC 底边BC 上一点P 引PM ∥CA 交AB 于M ；引PN ∥BA 交AC 于N .作点P 关于MN 的对称点P ′.试证：P ′点在△ABC 外接圆上. 分析：由已知可得MP ′=MP =MB ，NP ′=NP=NC ，故点M 是△P ′BP 的外心，点 N 是△P ′PC 的外心.有∠BP ′P =21∠BMP =21∠BAC ，∠PP ′C =21∠PNC =21∠BAC .∴∠BP ′C =∠BP ′P +∠P ′PC =∠BAC .从而，P ′点与A ，B ，C 共圆、即P ′在△ABC 外接圆上. 由于P ′P 平分∠BP ′C ，显然还有 P ′B :P ′C =BP :PC .例2．在△ABC 的边AB ，BC ，CA 上分别取点P ，Q ，S .证明以△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心为顶点的三角形与△ABC 相似. 分析：设O 1，O 2，O 3是△APS ，△BQP ，△CSQ 的外心，作出六边形 O 1PO 2QO 3S 后再由外心性质可知 ∠PO 1S =2∠A ， ∠QO 2P =2∠B ， ∠SO 3Q =2∠C .∴∠PO 1S +∠QO 2P +∠SO 3Q =360°.从而又知∠O 1PO 2+∠O 2QO 3+∠O 3SO 1=360°将△O 2QO 3绕着O 3点旋转到△KSO 3，易判断△KSO 1≌△O 2PO 1，同时可得△O 1O 2O 3≌△O 1KO 3.∴∠O 2O 1O 3=∠KO 1O 3=21∠O 2O 1K=21(∠O 2O 1S +∠SO 1K )=21(∠O 2O 1S +∠PO 1O 2)=21∠PO 1S =∠A ；同理有∠O 1O 2O 3=∠B .故△O 1O 2O 3∽△ABC . 二、重心三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心.掌握重心将每条中线都分成定比2:1及中线长度公式，便于解题.例3．AD ，BE ，CF 是△ABC 的三条中线，P 是任意一点.证明：在△PAD ，△PBE ，△PCF 中，其中一个面积等于另外两个面积的和.分析：设G 为△ABC 重心，直线PG 与AB，BC 相交.从A ，C ，D ，E ，F 分别作该直线的垂线，垂足为A ′，C ′， D ′，E ′，F ′. 易证AA ′=2DD ′，CC ′=2FF ′，2EE ′=AA ′+CC ′， ∴EE ′=DD ′+FF ′. 有S △PGE =S △PGD +S △PGF .两边各扩大3倍，有S △PBE =S △PAD +S △PCF .例4．如果三角形三边的平方成等差数列，那么该三角形和由它的三条中线围成的新三角形相似.其逆亦真.分析：将△ABC 简记为△，由三中线AD ，BE ，CF 围成的三角形简记为△′.G为重心，连DE 到H ，使EH =DE ，连HC ，HF ，则△′就是△HCF . (1)a 2，b 2，c 2成等差数列⇒△∽△′. 若△ABC 为正三角形，易证△∽△′. 不妨设a ≥b ≥c ，有CF =2222221c b a -+，BE =2222221b ac -+，AD =2222221a cb -+.将a 2+c 2=2b 2，分别代入以上三式，得 CF =a 23，BE =b 23，AD =c 23. ∴CF :BE :AD =a 23:b 23:c 23=a :b :c .故有△∽△′.(2)△∽△′⇒a 2，b 2，c 2成等差数列. 当△中a ≥b ≥c 时， △′中CF ≥BE ≥AD . ∵△∽△′，∴∆∆S S '＝(aCF )2.据“三角形的三条中线围成的新三角形面积等于原三角形面积的43”，有AA 'F F 'GE E 'D 'C 'P C B D∆∆S S '=43. ∴22aCF =43⇒3a 2=4CF 2=2a 2+b 2-c 2⇒a 2+c 2=2b 2.三、垂心三角形三条高的交战，称为三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四个等(外接)圆三角形，给我们解题提供了极大的便利.例5．设A 1A 2A 3A 4为⊙O 内接四边形，H 1，H 2，H 3，H 4依次为△A 2A 3A 4，△A 3A 4A 1，△A 4A 1A 2，△A 1A 2A 3的垂心.求证：H 1，H 2，H 3，H 4四点共圆，并确定出该圆的圆心位置. 分析：连接A 2H 1，A 1H 2，H 1H 2，记圆半径为R .由△A 2A 3A 4知13212sin H A A H A ∠=2R ⇒A 2H 1=2R cos ∠A 3A 2A 4；由△A 1A 3A 4得A 1H 2=2R cos ∠A 3A 1A 4.但∠A 3A 2A 4=∠A 3A 1A 4，故A 2H 1=A 1H 2. 易证A 2H 1∥A 1A 2，于是，A 2H 1 A 1H 2，故得H 1H 2 A 2A 1.设H 1A 1与H 2A 2的交点为M ，故H 1H 2与A 1A 2关于M 点成中心对称. 同理，H 2H 3与A 2A 3，H 3H 4与A 3A 4，H 4H 1与A 4A 1都关于M 点成中心对称.故四边形H 1H 2H 3H 4与四边形A 1A 2A 3A 4关于M 点成中心对称，两者是全等四边形，H 1，H 2，H 3，H 4在同一个圆上.后者的圆心设为Q ，Q 与O 也关于M 成中心对称.由O ，M 两点，Q 点就不难确定了.例6．H 为△ABC 的垂心，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中心.一个以H 为圆心的⊙H 交直线EF ，FD ，DE 于A 1，A 2，B 1，B 2，C 1，C 2. 求证：AA 1=AA 2=BB 1=BB 2=CC 1=CC 2. 分析：只须证明AA 1=BB 1=CC 1即可.设 BC =a ， CA =b ，AB =c ，△ABC 外接圆半径为R ，⊙H 的半径为r .连HA 1，AH 交EF 于M . A 21A =AM 2+A 1M 2=AM 2+r 2-MH2=r 2+(AM 2-MH 2)， ①又AM 2-HM 2=(21AH 1)2-(AH -21AH 1)2=AH ·AH 1-AH 2=AH 2·AB -AH 2=cos A ·bc -AH 2， ②而ABHAH∠sin =2R ⇒AH 2=4R 2cos 2A ,∥=∥=H H HM AB BA ABC C C F 12111222DEAasin =2R ⇒a 2=4R 2sin 2A . ∴AH 2+a 2=4R 2，AH 2=4R 2-a 2. ③ 由①、②、③有A 21A =r 2+bca cb 2222-+·bc -(4R 2-a 2)=21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2. 同理，21BB =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2，21CC =21(a 2+b 2+c 2)-4R 2+r 2.故有AA 1=BB 1=CC 1. 四、内心三角形内切圆的圆心，简称为内心.对于内心，要掌握张角公式，还要记住下面一个极为有用的等量关系：设I 为△ABC 的内心，射线AI 交△ABC 外接圆于A ′，则有A ′I =A ′B =A ′C .换言之，点A ′必是△IBC 之外心(内心的等量关系之逆同样有用).例7．ABCD 为圆内接凸四边形，取△DAB ，△ABC ，△BCD ， △CDA 的内心O 1， O 2，O 3， O 4.求证：O 1O 2O 3O 4为矩形.(1986，中国数学奥林匹克集训题)证明见《中等数学》1992；4例8．已知⊙O 内接△ABC ，⊙Q 切AB ，AC 于E ，F 且与⊙O 内切.试证：EF中点P 是△ABC 之内心.分析：在第20届IMO 中，美国提供的一道题实际上是例8的一种特例，但它增加了条件AB =AC .当AB ≠AC ，怎样证明呢？如图，显然EF 中点P 、圆心Q ，BC 中点K 都在∠BAC 平分线上.易知AQ =αsin r .∵QK ·AQ =MQ ·QN ，∴QK =AQQNMQ ⋅=αsin /)2(r rr R ⋅-=)2(sin r R -⋅α.由Rt △EPQ 知PQ =r ⋅αsin .∴PK =PQ +QK =r ⋅αsin +)2(sin r R -⋅α=R 2sin ⋅α. ∴PK =BK .α利用内心等量关系之逆定理，即知P 是△ABC 这内心.A B C D O O O 234O1A ααMBCKNER OQF rP五、旁心三角形的一条内角平分线与另两个内角的外角平分线相交于一点，是旁切圆的圆心，称为旁心.旁心常常与内心联系在一起，旁心还与三角形的半周长关系密切.例9．在直角三角形中，求证：r +r a +r b +r c =2p .式中r ，r a ，r b ，r c 分别表示内切圆半径及与a ，b ，c 相切的旁切圆半径，p 表示半周.分析：设Rt △ABC 中，c 为斜边，先来证明一个特性：p (p -c )=(p -a )(p -b ).∵p (p -c )=21(a +b +c )·21(a +b -c ) =41[(a +b )2-c 2]=21ab ； (p -a )(p -b )=21(-a +b +c )·21(a -b +c )=41[c 2-(a -b )2]=21ab .∴p (p -c )=(p -a )(p -b ). ① 观察图形，可得 r a =AF -AC =p -b ， r b =BG -BC =p -a ， r c =CK =p .而r =21(a +b -c )=p -c . ∴r +r a +r b +r c=(p -c )+(p -b )+(p -a )+p =4p -(a +b +c )=2p . 由①及图形易证.例10．M 是△ABC 边AB 上的任意一点.r 1，r 2，r 分别是△AMC ，△BMC ，△ABC 内切圆的半径，q 1，q 2，q 分别是上述三角形在∠ACB 内部的旁切圆半径.证明：11q r ·22q r =qr . (IMO -12)分析：对任意△A ′B ′C ′，由正弦定理可知OD =OA ′·2'sin A=A ′B ′·'''sin 2'sinB O A B ·2'sin A Kr r r r O O O 213A O E CB a b c A ...'B 'C 'OO 'ED=A ′B ′·2''sin2'sin 2'sinB A B A +⋅， O ′E = A ′B ′·2''sin2'cos2'cos B A B A +. ∴2'2''B tg A tg E O OD =. 亦即有11q r ·22q r =2222B tg CNB tg CMA tg A tg ∠∠ =22B tg A tg=qr. 六、众心共圆这有两种情况：(1)同一点却是不同三角形的不同的心；(2)同一图形出现了同一三角形的几个心. 例11．设在圆内接凸六边形ABCDFE 中，AB =BC ，CD =DE ，EF =FA .试证：(1)AD ，BE ，CF 三条对角线交于一点；(2)AB +BC +CD +DE +EF +FA ≥AK +BE +CF .分析：连接AC ，CE ，EA ，由已知可证AD ，CF ，EB 是△ACE 的三条内角平分线，I 为△ACE 的内心.从而有ID =CD =DE ， IF =EF =FA ， IB =AB =BC . 再由△BDF ，易证BP ，DQ ，FS 是它的三条高，I 是它的垂心，利用不等式有： BI +DI +FI ≥2·(IP +IQ +IS ).不难证明IE =2IP ，IA =2IQ ，IC =2IS . ∴BI +DI +FI ≥IA +IE +IC .∴AB +BC +CD +DE +EF +FA =2(BI +DI +FI )≥(IA +IE +IC )+(BI +DI +FI ) =AD +BE +CF . I 就是一点两心.例12．△ABC 的外心为O ，AB =AC ，D 是AB 中点，E 是△ACD 的重心.证明OE 丄CD .分析：设AM 为高亦为中线，取AC 中点F ，E 必在DF 上且DE :EF =2:1.设CD 交AM 于G ，G 必为△ABC 重心. 连GE ，MF ，MF 交DC 于K .易证： Erdos..I P ABCD E FQSA BCD E F OKGDG :GK =31DC :(3121-)DC =2:1.∴DG :GK =DE :EF ⇒GE ∥MF . ∵OD 丄AB ，MF ∥AB ，∴OD 丄MF ⇒OD 丄GE .但OG 丄DE ⇒G 又是△ODE 之垂心. 易证OE 丄CD .例13．△ABC 中∠C =30°，O 是外心，I 是内心，边AC 上的D 点与边BC 上的E 点使得AD =BE =AB .求证：OI 丄DE ，OI =DE .分析：辅助线如图所示，作∠DAO 平分线交BC 于K . 易证△AID ≌△AIB ≌△EIB ，∠AID =∠AIB =∠EIB . 利用内心张角公式，有∠AIB =90°+21∠C =105°，∴∠DIE =360°-105°×3=45°.∵∠AKB =30°+21∠DAO=30°+21(∠BAC -∠BAO )=30°+21(∠BAC -60°)=21∠BAC =∠BAI =∠BEI .∴AK ∥IE .由等腰△AOD 可知DO 丄AK ，∴DO 丄IE ，即DF 是△DIE 的一条高. 同理EO 是△DIE 之垂心，OI 丄DE . 由∠DIE =∠IDO ，易知OI =DE .例14．锐角△ABC 中，O ，G ，H 分别是外心、重心、垂心.设外心到三边距离和为d 外，重心到三边距离和为d 重，垂心到三边距离和为d 垂.求证：1·d 垂+2·d 外=3·d 重. 分析：这里用三角法.设△ABC 外接圆半径为1，三个内角记为A ，B ， C . 易知d 外=OO 1+OO 2+OO 3 =cos A +co sB +cos C ，∴2d 外=2(cos A +cos B +cos C ). ① ∵AH 1=sin B ·AB =sin B ·(2sin C )=2sin B ·sin C ，同样可得BH 2·CH 3.∴3d 重=△ABC 三条高的和=2·(sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B ) ②∴BCHBH∠sin =2，O A BC DEF I K30°B C O IA O G H O G H GO G H 123112233∴HH 1=cos C ·BH =2·cos B ·cos C . 同样可得HH 2，HH 3. ∴d 垂=HH 1+HH 2+HH 3=2(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B ) ③ 欲证结论，观察①、②、③，须证(cos B ·cos C +cos C ·cos A +cos A ·cos B )+( cos A + cos B + cos C )=sin B ·sin C +sin C ·sin A +sin A ·sin B .即可.练习题1.I 为△ABC 之内心，射线AI ，BI ，CI 交△ABC 外接圆于A ′， B ′，C ′.则AA ′+BB ′+CC ′＞△ABC 周长.2.△T ′的三边分别等于△T 的三条中线，且两个三角形有一组角相等.求证这两个三角形相似.3.I 为△ABC 的内心.取△IBC ，△ICA ，△IAB 的外心O 1，O 2，O 3.求证：△O 1O 2O 3与△ABC 有公共的外心.(4.AD 为△ABC 内角平分线.取△ABC ，△ABD ，△ADC 的外心O ，O 1，O 2.则△OO 1O 2是等腰三角形.5.△ABC 中∠C ＜90°，从AB 上M 点作CA ，CB 的垂线MP ，MQ .H 是△CPQ 的垂心.当M 是AB 上动点时，求H 的轨迹.(IMO -7)6.△ABC 的边BC =21(AB +AC )，取AB ，AC 中点M ，N ，G 为重心，I 为内心.试证：过A ，M ，N 三点的圆与直线GI 相切.7.锐角△ABC 的垂心关于三边的对称点分别是H 1，H 2，H 3.已知：H 1，H 2，H 3，求作△ABC .8.已知△ABC 的三个旁心为I 1，I 2，I 3.求证：△I 1I 2I 3是锐角三角形.9.AB ，AC 切⊙O 于B ，C ，过OA 与BC 的交点M 任作⊙O 的弦EF .求证：(1)△AEF 与△ABC 有公共的内心；(2)△AEF 与△ABC 有一个旁心重合.。

初三数学联赛辅导三角形的五心

三角形的五心重心：三角形三条中线的交点，分每条中线的比为2;1垂心：三角形三条高的交点外心：三角形三边中垂线的交点，是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点距离相等内心：三角形三条内角平分线的交点，是三角形内切圆的圆心，到三角形三边距离相等旁心：三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，到三角形三边所在直线距离相等，一个三角形有三个旁心例1 证明三角形五心的存在性（1）三角形三条中线交于一点（2）三角形三条高线交于一点（3）三角形三边中垂线交于一点（4）三角形三条内角平分线交于一点（5）三角形的任意两条外角平分线和第三个角的内角平分线交于一点例2 证明ABC ∆的三条中线可以围成一个三角形，并求所围成的三角形与ABC ∆的面积之比例3（内心张角定理）设I 是ABC ∆的内心，则A BIC ∠+︒=∠2190 ，B CIA ∠+︒=∠2190 C AIB ∠+︒=∠2190例4（垂心张角定理）设H 是非直角ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1）若90A ∠<︒，则180BHC A ∠=︒-∠，180CHA B ∠=︒-∠，180AHB C ∠=︒-∠（2）若90A ∠>︒，则180BHC A ∠=︒-∠，CHA B ∠=∠，AHB C ∠=∠例5（外心张角定理）设O 是ABC ∆的垂心，A ∠为最大角，求证：（1）若90A ∠≤︒，则2B O C A ∠=∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠（2）若90A ∠>︒，则36002BOC A ∠=︒-∠，2COA B ∠=∠，2AOB C ∠=∠例6 设ABC ∆的外心、垂心分别为O 、H ，若B 、C 、H 、O 四点共圆，对于所有的ABC ∆，求 BAC ∠所有可能的度数例7 （垂外心定理）求证：三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到它的对边距离的2倍例8 求证：三个正数a 、b 、c 构成三角形三边长的充要条件是存在唯一的一组正数x 、y 、z 使下列等式成立,,.a y z b z x c x y =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩BC D A I 例9 如图，在ABC ∆中，AB AC >，O 、I 分别是ABC ∆的外心、内心，且满足2AB AC OI -=，求证：（1）OI ‖BC（2）AOC S ∆-AOB S ∆= 2AOI S ∆例10、如图，I 是ABC ∆的内心，AI 的延长线交ABC ∆的外接圆于D ，则，DC DB DI ==例11 已知在ABC ∆中，19=BC ，13=AC ，22=AB ，G 为ABC ∆的重心，求证：以AG 、BG 、CG 为三边的三角形是直角三角形D例12 证明：ABC ∆的重心是到这个三角形三个顶点的距离的平方和最小的点例13若H 为ABC ∆的垂心，求证：HAB ∆，HBC ∆，HCA ∆与ABC ∆外接圆半径相等例14如图，已知P 为ABC ∆内一点，且PCB PAB ∠=∠，PAC PBC ∠=∠，求证：P 为ABC ∆的垂心BFC B C E DA 例15如图，AB 、BC 、CD 分别与圆O 相切于E 、F 、G ，CD BC AB ==，连结AC 与BD 相交于点P ，连结PF求证：BC PF ⊥例16如图，在ABC ∆中，点D 、E 是ABC ∠，ACB ∠的三等分线的交点，当︒=∠60A 时，求BDE ∠度数例17设I 是ABC ∆的内心，且D 、E 、F 分别是IBC ∆、IAC ∆、IAB ∆的外心，求证：ABC ∆与DEF ∆有相同的外心C O Q P B A 例18如图，在ABC ∆中，AC AB =，延长CA 至P ，延长AB 至Q ，使BQ AP =，求证：ABC ∆的外心O 与A 、P 、Q 四点共圆例19已知，锐角ABC ∆的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，求A ∠的度数例20（欧拉线）设O 、G 、H 分别为ABC ∆的外心、重心和垂心证明：O 、G 、H 三点共线，且GH OG 21=。

三角形的“五心”性质归纳总结(二)

三角形的“五心”性质归纳总结（二）引言概述：在前文《三角形的“五心”性质归纳总结（一）》中我们介绍了三角形的“五心”性质，包括外心、内心、重心、垂心和旁心。

在本文中，我们将进一步讨论这五个心的性质，并归纳总结它们的重要特点。

正文：一、外心的性质1. 外心是可以通过三角形三个顶点的垂直平分线的交点来求得的。

2. 外心到三角形的顶点的距离都相等，且等于外接圆的半径。

3. 外心是三条外角平分线的交点，也是三个外接圆的圆心。

4. 三角形的外心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

二、内心的性质1. 内心是可以通过三角形三个顶点的角平分线的交点来求得的。

2. 内心到三角形三边的距离都相等，且等于内切圆的半径。

3. 内心是三条角平分线的交点，也是三个内切圆的圆心。

4. 三角形的内心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

三、重心的性质1. 重心是可以通过三角形三个顶点和三边中点的连线交点来求得的。

2. 重心到三角形三边的距离相等，且等于重心到顶点的距离的三倍。

3. 重心是三条中线的交点，也是三个平行于边的中位线所围成的三角形的重心。

4. 三角形的重心是唯一存在的，且在任何类型的三角形中都存在。

四、垂心的性质1. 垂心是可以通过三角形三个顶点到对应高的垂线的交点来求得的。

2. 垂心的一个重要性质是垂心到三个顶点所形成的角度都是直角。

3. 垂心是三条高线的交点，也是三个高的垂线所围成的三角形的垂心。

4. 三角形的垂心不一定存在，只有当三边都有不大于90°的角时垂心才存在。

五、旁心的性质1. 旁心是可以通过三角形三个顶点的外角平分线的交点来求得的。

2. 旁心与对应边的距离相等，且等于旁接圆的半径。

3. 旁心是三条外角平分线的交点，也是三个旁接圆的圆心。

4. 三角形的旁心一般存在两个，只有当三个外角都小于120°时，三角形才存在两个旁心。

总结：通过对三角形的“五心”性质的归纳总结，我们发现每个心都具有独特的性质和作用。

三角形的五心整理

三角形的五心
一、三角形的重心
1、重心的性质：
1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。

（重心坐标）
二、三角形的外心
三角形外心的性质
性质：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外.
三、三角形内心
四、三角形垂心
五、三角形旁心
1．设G为△ABC的重心，M、N分别为AB、CA的中点，求证：四边形GMAN和△GBC的面积相等．
证明如图，连GA，因为M、N分别为AB、CA的中点，所以△AMG的面积=△GBM的面积，△GAN的面积=△GNC的面积, 即四边形GMAN和△GBC的面积相等．
2．三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离
的二倍．
证明如图，O为ΔABC的外心，H为垂心，连CO交ΔABC
外接圆于D，连DA、DB，则DA⊥AC，BD⊥
BC，又AH⊥BC，BH⊥AC．所以DA∥BH，BD∥AH，从而四边形DAHB为平
C C
行四边形。

又显然DB=2OM，所以AH=2OM．同理可证BH=2ON，CH=2OK．证毕．。

(完整版)三角形的五心几何性质

三角形的五心几何性质一．重心三角形三边中线交于一点，这一点叫三角形的重心。

重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。

2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。

即重心到三条边的距离与三条边的长成反比.3、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（（X1+X2+X3）/3,（Y1+Y2+Y3)/3。

二．垂心三角形三边上的高交于一点，这一点叫三角形的垂心.1、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍.2、垂心分每条高线的两部分乘积相等。

垂心的坐标A（x1，y1)B(x2，y2)C(x3,y3)，垂心H（x0，y0）用斜率是负倒数关系Kbc=y3—y2/x3—x2 Kah=y1—y0/x1—x0 Kah=-1/Kbc得到方程(y3—y2）/（x3-x2)=-（x1-x0）/(y1—y0）同理可得方程（y2-y1）/（x2-x1)=-(x3-x0）/（y3—y0)解出x0，y0即可，三．内心三角形三内角平分线交于一点，这一点为三角形内切圆的圆心，称内心。

1、直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和减去斜边的差的二分之一。

2、O为三角形的内心，A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N,则有AO：ON=AB:BN=AC:CN=(AB+AC）：BC3、（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心,∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b， CP/PA=a/c，BR/RA=a/b.4、△ABC中,A（x1，y1）,B（x2，y2)，C(x3，y3），那么△ABC内心坐标是：（ax1/(a+b+c）+bx2/(a+b+c）+cx3/(a+b+c），ay1/(a+b+c）+by2/（a+b+c）+cy3/（a+b+c))．法一:向量法设:在三角形ABC中,三顶点的坐标为：A（x1，y1）,B（x2,y2），C(x3,y3） BC=a,CA=b,AB=c内心为I（X，Y）则有aMA+bMB+cMC=0（三个向量）MA=（X1—X,Y1—Y）MB=（X2-X，Y2—Y)MC=(X3—X，Y3-Y）则:a（X1—X）+b（X2-X)+c(X3-X）=0，a(Y1—Y)+b(Y2—Y)+c（Y3—Y）=0∴X=（aX1+bX2+cX3)/(a+b+c)，Y=（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）∴I（（aX1+bX2+cX3）/（a+b+c),（aY1+bY2+cY3)/（a+b+c）)几何法：设A（x1，y1）B（x2，y2)C（x3，y3）,AB=c,BC=a,AC=b，内心为I,AI交BC于D，BI交AC于E，CI交AB 与F由平面几何性质得BD/DC=c/b，AF/FB=b/a,AE/EC=c/a由梅捏劳斯定理得到AF/FB*BC/CD＊DI/IA=1b/a*（b+c）/b＊DI/IA=1 DI/IA=a/(b+c) DI=IA＊a/(b+c)BD=c/b*DC D (（x2+c/b＊x3）/(1+c/b）,（y2+c/b＊y3)/（1+c/b）)（bx2+cx3/b+c,by2+cy3/b+c)I Xi=[(bx2+cx3)/(b+c）+a/(b+c）＊x1］/［1+a/（b+c)］ Yi=[（cy2+by3）/(b+c)+a/（b+c)＊y1］/[1+a/（b+c）]I((ax1+bx2+cx3）/(a+b+c),(ax1+bx2+cx3）/（a+b+c)）四．外心三角形三边的中垂线交于一点，这一点为三角形外接圆的圆心，称外心。

初中数学三角形必须掌握的五心知识详解

三角形的五心1.内心三角形三条内角平分线的交点。

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心即是三角形内心，内心到三角形三边距离相等，都等于内切圆的半径。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

每个三角形有且只有一个内切圆。

①在ABC ∆中，若c b a ,,为三边，S 为三角形面积，则内切圆半径为：cb a S r ++=2。

②在ABC ∆中，内切圆分别与CA BC AB ,,相切于R Q P ，，，则2ac b AR AP -+==，2b c a BQ BP -+==，2c a b CQ CR -+==，22tan )(A a c b r ⋅-+=③在任意ABC ∆中，S 为三角形面积，C 为三角形周长，则CSr 2=④拓展——欧拉定理在ABC ∆中，r R 和分别为外接圆和内切圆的半径，外心和内心的距离为d ，则有：RrR d 222-=2.外心三角形三边垂直平分线的交点。

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。

①锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；钝角三角形的外心在三角形外，等边三角形的外心与内心为同一点。

②三角形的外心到该三角形三个顶点的距离相等。

③在ABC ∆中，C B A ,,为三角形三个顶点，P 为外心，那么有向量关系：|P |=|P |=|P |3.重心三角形三条中线的交点。

①重心到顶点与到对边中点的比为12：。

即：12===GF CG GE BG GD AG ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

③等边三角形的重心到3个顶点的距离平方的和最小。

④在平面直角坐标系中，三角形三个顶点坐标分别为),(11Y X ，),(22Y X ，),(33Y X 重心的坐标为),(Y X ，那么重心的坐标是顶点坐标的算数平均数。

即：33(),(321321Y Y Y X X X Y X ++++=，同理，在空间直角坐标系中，X 坐标：)3(321X X X ++，Y 坐标：3(321Y Y Y ++，Z 坐标：3(321Z Z Z ++，⑤重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形五心口诀

三角形的基本性质及应用
三角形的基本性质
• 三角形的内角和为180° • 三角形的两边之和大于第三边 • 三角形的两边之差小于第三边 • 三角形的任意两边之和大于第三边
三角形性质的应用
• 求解三角形的边长和角度 • 证明三角形的相似和全等 • 计算三角形的面积和周长
三角形的角度与边长关系
三角形的角度与边长关系
五心口诀的高级技巧
• 五心口诀的高级技巧可以包括更多的三角形性质和定理的应用 • 五心口诀的高级技巧可以包括三角形与其他图形的关系的应用
五心口诀的窍门
• 五心口诀的窍门可以包括更快地求解三角形问题的方法 • 五心口诀的窍门可以包括更容易地证明几何问题的方法
五心口诀在实际教学中的价值与意义
五心口诀在实际教学中的价值
• 五心口诀可以帮助我们更快地求解三角形的边长和角度 • 五心口诀可以帮助我们更容易地证明三角形的性质和定理
五心口诀在求解三角形问题中的应用实例
• 利用内心定理求解三角形的面积 • 利用外心定理求解三角形的周长 • 利用垂心定理求解三角形的高 • 利用重心定理求解三角形的中线 • 利用旁心定理求解三角形的角平分线
五心口诀的学习方法
• 五心口诀的学习方法可以采用理解记忆法 • 五心口诀的学习方法可以采用实际操作法
五心口诀的学习技巧
• 五心口诀的学习技巧可以包括用图形和图像来帮助理解 • 五心口诀的学习技巧可以包括用数学公式和算法来帮助记忆
五ห้องสมุดไป่ตู้口诀的学习建议与策略
五心口诀的学习建议
• 五心口诀的学习建议可以包括多做练习和总结 • 五心口诀的学习建议可以包括注重理解和应用
• 五心口诀的学习体会可以包括学习过程中的乐趣和挑战 • 五心口诀的学习体会可以包括学习过程中的成长和收获

数学竞赛辅导(三角形的五心)

Exercise ten
横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(Z1+Z2+Z3)/3
A
F
E
G
B
D
C
五、旁心的性质
A
BD
C
F
E
Ia
三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)
三角形的三个旁心与内心构成一垂心组，反过来，一个三角形的顶点与垂心是高的垂足三角形的旁心与内心。
倍。
等价于证明
三、内心的性质
三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径设三角形面积为S，设I为ΔABC的内心，则∠BIC = 90 °+∠A/2,类似地还有两式。
A
M
F
E
K I
B
DH
C

四、重心的性质
三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为 1∶ 2 空间直角坐标系：
数学竞赛辅导三角形的五心
Preview one
一、外心的性质
A
O
B
C
Example one
二、垂心的性质
斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．
锐角三角形的垂心是以三个垂足为顶点的三角形的内心。锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2
六、三角形的五心的综合性质
（1）三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心；（2）三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；（3）三角形的外心是它的中点三角形的垂心；（4）三角形的重心也是它的中点三角形的重心；（5）三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心．（6）鸡爪定理（7）鸭爪定理

竞赛辅导三角形的五心

思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1，求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等.
11
7答案
思考练习 7.如图所示，已知△ABC 的高 AD、BE 交于 H，△ABC、 △ABH 的外接圆分别为⊙O 和⊙O1，求证：⊙O 与⊙O1 的半径相等. 分析:过 A 作⊙O 和⊙O1 的直径 AP、AQ，连接 PB、QB，则∠ABP=∠ABQ=90º. 故 P、B、Q 三点共线. 因 H 是△ABC 的垂心，故 D、C、E、H 四点共圆， ∠AHE=∠C.而∠AHE=∠Q，∠C=∠P，故∠P=∠Q，AP=AQ. 因此⊙O 与⊙O1 的半径相等。说明：由本题结论，可得垂心的另一个性质：若 H 是△ABC 的垂心，则⊙ABH=⊙BCH=⊙CAH=⊙ABC.
∴PK=BK.
利用内心等量关系之逆定理，
即知 P 是△ABC 这内心.
10
垂心: 三角形三条高线所在的直线的交点.△ABC 的垂心一般用字母 H 表示，它具有如下的性质： (1)顶点与垂心连线必垂直对边，即 AH⊥BC，BH⊥AC，CH⊥AB。 (2)若 H 在△ABC 内，且 AH、BH、CH 分别与对边相交于 D、E、F，则 A、F、H、E；B、D、H、F；C、E、H、D；B、C、E、F；C、A、F、 D；A、B、D、E 共六组四点共圆. (3)△ABH 的垂心为 C,△BHC 的垂心为 A,△ACH 的垂心为 B. (4)三角形的垂心到任一顶点的距离等于外心到对边距离的 2 倍.
4
外心:三角形外接圆的圆心(三边垂直平分线的交点). △ABC 的外心一般用字母 O 表示，它具有如下性质：
(1)外心到三顶点等距，即 OA=OB=OC.

全国初中数学联赛 32.三角形的五心

三角形的五心一、重心 (1)二、垂心 (2)三、内心 (4)四、外心 (7)五、旁心 (9)1. （2007年全国初中数学联赛1试）设K 是ABC △内任意一点，KAB △、KBC △、KCA △的重心分别为D 、E 、F ，则:DEF ABC S S △△的值为（）A ．19B ．29C ．49D ．23【难度】 ★★【解析】A ，分别延长KD 、KE 、KF ，与ABC △的三边AB 、BC 、CA 交于点M 、N 、P ，由于D 、E 、F 分别为KAB △、KBC △、KCA △的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以14MNP ABC S S =△△．易证DEF △∽MNP △，且相似比为2:3，所以22()3DEF MNP S S =△△4194ABC S =⋅△19ABC S =△．所以:DEF S △19ABC S =△．故选A ．2. （1998年全国初中数学联赛2试）已知P 为平行四边形ABCD 内一点，O 为AC与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证： ⑴P ，Q ，O 三点在一条直线上； ⑵2PQ OQ =．【难度】 ★★★ 【解析】证明：如图，连接PO ，设PO 与AN DM ，分别交于点Q '，Q ''．在PAC △中，∵AO OC PN NC ==，， ∴Q '为重心，2PQ OQ ''''=．这样Q Q '''=，并且Q Q '''，就是AN DM ，的交点Q ．故P Q O ，，在一条直线上，且2PQ OQ =．3. （1992年全国初中数学联赛1试）若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于__________．N M Q PODCBAQ''Q'NMQPO DCBA【解析】 2144cm如图，在ABC △中，设AB AC =，AD BC ⊥，AM MC =，则18cm AD =，15cm BM =．又设AD 与BM 相交于G ，则是ABC △的重心．∴16cm 3GD AD ==，210cm 3BG BM ==，∴8cm BD =∴21144cm 2ABC S BC AD =⋅=△．二、垂心4. （1993年全国初中数学联赛2试）设H 是等腰三角形ABC 垂心，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积ABC HBC S S ⋅△△的值变小、变大，还是不变？证明你的结论．【难度】 ★★ 【解析】解法一：不妨设角A 是锐角，连接AH 并延长交BC 于D 点，延长BH ，CH 分别交AC 于E ，交AB 于F ，如图∵BH D AH E ∠=∠，∴H BD H AE ∠=∠．因为Rt Rt BDH ADC △≌△，∴AC DCBD HD=． GDMCBAHCBA图 2F D E ABCH又12BD DC BC ==，∴214AD HD BD CD BC ⋅=⋅=． ∴4111:2216ABC HBC S S BC AD BC HD BC ⎛⎫⎛⎫=⋅⨯⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△．当90A ∠︒≥时，同理可证上式也成立，由于BC 是不变的，所以当A 点至BC 的距离变小时，乘积ABC HBC S S ⋅△△保持不变．解法二：作图如解法一，再延长AD 至G ，使DG DH =，并分别连接BG ，GC ．由HBD GBD △≌△，CBG CBH CAG ∠=∠=∠，因而，A ，B ，G ，C 四点共圆，由相交弦定理，得214AD HD AD DG BD DC BC ⋅=⋅=⋅=．因此，41112216ABC HBC S S AD BC HD BC BC ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭△△由于BC 是不变的，所以当点A 至BC 的距离变小时，乘积ABC HBC S S ⋅△△保持不变．5. （2007年全国初中数学联赛1试）已知锐角ABC △的顶点A 到垂心H 的距离等于它的外接圆的半径，则∠A 的度数是（） A ．30 B ．45 C ．60 D ．75【难度】 ★★【解析】C ，锐角ABC △的垂心在三角形内部，如图，设ABC △的外心为O ，D 为BC 的中点，BO 的延长线交⊙O 于点E ，连CE 、AE ，则CE //AH ，AE //CH ，则2OB AH CE OD ===，所以30OBD ∠=︒，60BOD ∠=︒，所以60A BOD ∠=∠=︒．答案为C ．G H F E D CBA图 3AECBDOH三、内心6. （1992年全国初中数学联赛1试）在ABC △中，90C ∠=︒，A ∠和B ∠的平分线相交于P 点，又PE AB ⊥于E 点，若2BC =，3AC =，则AE AB ⋅=_________．【难度】 ★★【解析】3，如图，作PD AC ⊥于D ，PF BC ⊥于F ，则：()11()51322CD CF AC BC AB ==+-=-，()11312AD AC CD =-=+，()11312BF BC CF =-=-，∴3AE EB AD BF ⋅=⋅=7. （1995年全国初中数学联赛2试）已知90ACE CDE ∠=∠=︒，点B 在CE 上，CA CB CD ==，经A ，C ，D 三点的圆交AB 于F （如图），求证F 为CDE△的内心．【难度】 ★★★ 【解析】首先指出，本题有IM0295-(1989年)的背景，该题是：在直角ABC △中，斜边BC 上的高，过ABD △的内心与ACD △的内心的直线分别交边AB 和AC 于K 和L ，ABC △和AKL △的面积分别记为S 和T ．求证2S T ≥．在这个题目的证明中，要用到AK AL AD ==．2004年的初中联赛题相当于反过来，先给出AK AL AD ==(斜边上的高)，再求证KL 通过ABD ADC ，△△的内心（如下图）．PEFDC BAGFED B CA证法1：如图，连DF ，则由已知，有1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠，故DF 为CDE ∠的平分线．连BD CF ，，由CD CB =，知145452FBD CBD CDB FDB ∠=∠-︒=∠-︒=∠，得FB FD =，即F 到B D ，和距离相等，F 在线段BD 的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD 的顶角平分线上，CF 是ECD ∠的平分线．由于F 是CDE △上两条角平分线的交点，因而就是CDE △的内心．证法2：同证法1，得出459045CDF FDE ∠=︒=︒-︒=∠之后，由于ABC FDE ∠=∠，故有B E D F ，，，四点共圆．连EF ，在证得FBD FDB ∠=∠之后，立即有FED FBD FDB FEB ∠=∠=∠=∠，即EF 是CED ∠的平分线．本来，点E 的信息很少，证EF 为角平分线应该是比较难的，但四点共圆把许多已知信息集中并转移到E 上来了，因而证法2并不比证法1复杂．由以上证明可知，F 是DCB △的外心．1452CDF CAB CDE ∠=∠=︒=∠，知DF 是CDE ∠的平分线，故F 为CDE △的内心．证法3：如图，只证CF 为DCE ∠的平分线．LKDCBAFED B CA图 5G G 图 6ACB D EF由1451AGC ADC CAD CAB ∠=∠=∠=∠+∠=︒+∠，得12∠=∠．从而DCF GCF ∠=∠，得CF 为DCE ∠的平分线．证法4：首先DF 是CDE ∠的平分线，故CDE △的外心I 在直线DF 上．现以CA 为y 轴、CB 为x 轴建立坐标系，并记CA CB CD d ===，则直线AB 是一次函数y x d =-+①的图像（如图）．若记内心I 的坐标为11()x y ，，则11x y CH IH CH HB CB d +=+=+==满足①，即I 在直线AB 上，但I 在DF 上，故I 是AB 与DF 的交点．由交点的惟一性知I 就是F ，从而证得F 为Rt CDE △的内心．不可延长ED 交O ⊙于P ，利用CP 为直径来证．8. （1996年全国初中数学联赛1试）如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（） A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心【难度】 ★★ 【解析】A ，我们首先要了解各种三角形的面积的算法，正弦公式，底乘高公式以及利用三角形内切圆半径来计算三角形的面积公式．如果内切圆的半径为r ，三角形的周长为l ，则三角形的面积为：12S r l =⨯⨯．如图：上面一部分的面积为()12r AD AE ⨯⨯+，下面一部分的面积为()12r BD CE BC ⨯⨯++,由于直线m 分三角形周长为两半，即BD CE BC AD AE ++=+，所以上下两部分的面积相等，因此直线m 过内心．故选A ．图 7y 1x 1IH E DC B Axym IED CBA四、外心9. （1993年全国初中数学联赛1试）锐角三角形ABC 的三边是a ，b ，c ，它的外心到三边的距离分别为m ，n ，p ，那么::m n p 等于（）A ．111::a b cB ．::a b cC ．cos :cos :cos A B CD ．sin :sin :sin A B C【难度】 ★★【解析】C ，如图，设O 是ABC △的外心， OA OB OC R ===，1cos cos 2m BOC A R =∠=， ∴cos m R A =．同理cos n R B =，cos p R C =．∴::cos :cos :cos m n p A B C =．10. （2006年全国初中数学联赛2试）如图，在平行四边形ABCD 中，A ∠的平分线分别与BC 及DC 的延长线交于E 、F ，点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心．⑴求证：O 、E 、1O 三点共线；⑵求证：若70ABC ∠=︒，求OBD ∠的度数．【难度】 ★★★【解析】 ⑴如图，连结OE 、OF 、1O A 、1O E ．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以ABE ECF ∠=∠．Cnmp O B AA BCDEFO O 1又因为点O 、1O 分别为CEF △、ABE △的外心，所以OE OF =，11O A O E =，122EOF ECF ABE AO E ∠=∠=∠=∠．于是有1OEF O EA △∽△．故1OEF AEO ∠=∠，所以O 、E 、1O 三点共线．⑵连接OD 、OC ．因为四边形ABCD 为平行四边形，所以，CEF DAE BAF CFE ∠=∠=∠=∠．故CE CF =．又因为点O 为CEF △的外心，所以OE OF OC ==．则OCE OCF △≌△，有OEC OFC OCF ∠=∠=∠．故OEB OCD ∠=∠．又BAE EAD AEB ∠=∠=∠，则EB AB DC ==．因此OCD OEB △≌△．所以，ODC OBE ∠=∠，OD OB =，ODC OBC ∠=∠，OBD ODB ∠=∠，OBD OBC CBD ∠=∠+∠ODC BDA =∠+∠ADC BDO =∠-∠ABC OBD =∠-∠．故1352OBD ABC ∠=∠=︒．11. （2013年全国初中数学联赛2试）在ABC △中，AB AC >，O 、I 分别是ABC △的外心和内心，且满足2AB AC OI -=．求证：⑴ OI BC ∥；⑵ 2AOC AOB AOI S S S -=△△△．【难度】 ★★★★ 【解析】 ⑴ 作OM BC ⊥于M ，IN BC ⊥于N ．设BC a =，AC b =，AB c =．易求得12CM a =，1()2CN a b c =+-，所以1()2MN CM CN c b OI =-=-=．O 1O FEDCBA N M IO CB A又MN 恰好是两条平等线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI 也是两条平等线OM ，IN 之间的垂线段，所以OI MN ∥，所以OI BC ∥．⑵ 由⑴知OMNI 是矩形，连接BI ，CI ，设OM IN r ==（即为ABC △的内切圆半径，则()()AOC AOB AOI COI AIC AIB AOI BOI S S S S S S S S -=++---△△△△△△△△ 2AOI BOI COI AIC AIBS S S S S =+++-△△△△△111122222AOI S OI r OI r AC r AB r =+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅⋅△112222AOI AOI S r OI b c S ⎛⎫=+⋅+-= ⎪⎝⎭△△．五、旁心。

三角形的五心

三角形的五心引言在数学几何学中，三角形是一个基本的图形。

而对于一个三角形来说，有一些特殊的点在其内部或边上，这些点被称为三角形的五心。

本文将介绍三角形的五心及其特征。

五心的定义三角形的五心分别指的是三角形内切圆的圆心、三角形外接圆的圆心、三角形重心、三角形垂心和三角形内垂心。

内切圆的圆心三角形的内切圆是唯一一个与三角形三边相切的圆，它的圆心即为三角形的内切圆心。

内切圆的圆心与三角形的顶点连线垂直，并且与三角形的边相切。

外接圆的圆心三角形的外接圆是唯一一个能够将三角形的三个顶点都与圆上的一个点相连的圆，它的圆心即为三角形的外接圆心。

外接圆的圆心为三角形三边的垂直平分线的交点。

重心三角形的重心是由三条中线交点所组成的点。

中线指的是连接三角形的一个顶点和对脚边中点的线段。

重心是三角形的质心，它将三角形分为三个相等的三角形。

垂心三角形的垂心指的是三条高的交点。

高是指从三角形的一个顶点到对脚边的垂直线段。

垂心是三角形的垂直外心，它的特点是到三角形三个顶点的距离相等。

内垂心三角形的内垂心是三角形内部以三条边为对边的角平分线的交点。

内垂心到三个顶点的距离相等。

五心的性质内切圆性质•内切圆的半径与三角形的边的关系：内切圆半径等于三角形的面积除以半周长。

•内切圆的面积与三角形的面积的关系：内切圆的面积等于三角形面积的三倍。

•内切圆的圆心与三角形的外接圆心、重心共线。

外接圆性质•外接圆的半径等于三角形三边的乘积除以四倍三角形的面积。

•外接圆与三角形的三个顶点共线。

重心性质•重心到三个顶点的距离相等，且距离等于垂心到对脚边的距离的两倍。

•重心将三角形分为三个相等的三角形。

垂心性质•垂心到三个顶点的距离相等。

•垂心到三角形的边的距离也相等。

•垂心到三个角的角度均为90度。

内垂心性质•内垂心到三个顶点的距离相等。

•内垂心到三角形的边的距离也相等。

•内垂心到三个角的角度均为90度。

结论三角形的五心是由特定的点组成的，它们分别是内切圆的圆心、外接圆的圆心、重心、垂心和内垂心。

三角形的五心(二)

三角形的五心（二）引言:在三角形的几何形状中，五心是指三角形的五个特殊点：垂心、重心、内心、外心和旁心。

每个五心都有其独特的特点和重要性。

在上一篇文章中，我们介绍了垂心和重心。

在本文中，我们将继续探讨三角形的另外三个五心：内心、外心和旁心。

正文:1. 内心：- 内心是指三角形的内接圆的圆心，在三角形的内部。

它是三角形三条内角平分线的交点，也是三角形内接圆的圆心。

- 内心到三角形三边的距离相等，这意味着内心到三条边的线段长度相等。

- 内心是所有内切三角形中面积最大的点，它与三角形的三个顶点和三边的交点连成的三个小三角形的面积之和最大。

- 内心是三角形的重要几何中心之一，它可以用于构造三角形的内切圆，求解三角形的周长和面积。

- 内心的坐标可以通过三角形顶点的坐标和内角的角度来计算。

2. 外心：- 外心是指三角形外接圆的圆心，在三角形的外部。

它是三角形三条垂直平分线的交点，也是三角形外接圆的圆心。

- 外心到三角形三个顶点的距离相等，这意味着外心到三个顶点的线段长度相等。

- 外心是三角形的唯一一个可以同时与三个顶点相连的点，连接外心和三个顶点的线段分别与三个边相交于三个垂足。

- 外心是所有外接三角形中外接圆半径最小的点，它与三角形三个顶点的距离之积等于外接圆的半径。

- 外心的坐标可以通过三角形顶点的坐标和角的角平分线的交点来计算。

3. 旁心：- 旁心是指三角形三条边的外角平分线的交点，它分别与三个顶点相对。

- 旁心到三条边的距离相等，这意味着旁心到三个边的线段长度相等。

- 旁心是所有旁切三角形中面积最大的点，它与三条边和与之对应的线段的交点连成的三个小三角形的面积之和最大。

- 旁心是三角形的唯一一个可以同时与三条边相连的点，连接旁心和相应边上对面顶点的线段分别与三个垂直平分线相交。

- 旁心的坐标可以通过三角形顶点的坐标和与之相对的边的角角平分线的交点来计算。

总结:在本文中，我们详细介绍了三角形的内心、外心和旁心。

《高中竞赛教程》教案：第17讲三角形的五心(教师)

《高中竞赛教程》教案：第17讲三角形的五心（教师）第17讲三角形的五心三角形中有许多重要的特殊点，特别是三角形的“五心”，在解题时有很多应用，在本节中将分别给予介绍．A三角形的“五心”指的是三角形的外心，内心，重心，垂心和旁心．1、三角形的外心三角形的三条边的垂直平分线交于一点,这点称为三角形的外心(外接圆圆心)．三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等．都等于三角形的外接圆半径． OBC锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外． A2、三角形的内心M三角形的三条内角平分线交于一点,这点称为三角形的内心(内切圆圆心)．FE三角形的内心到三边的距离相等,都等于三角形内切圆半径．KI内切圆半径r的计算：1S设三角形面积为S，并记p=(a+b+c)，则r=．2p1特别的，在直角三角形中,有 r =2(a+b－c)．3、三角形的重心B三角形的三条中线交于一点,这点称为三角形的重心．上面的证明中，我们也得到了以下结论：三角形的重心到边的中点与到相应顶点的距离之比为1∶ 2．4、三角形的垂心三角形的三条高交于一点,这点称为三角形的垂心．斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．5、三角形的旁心三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线交于一点,称为三角形的旁心(旁切圆圆心)．每个三角形都有三个旁切圆．A类例题例1 证明重心定理。

证法1 如图，D、E、F为三边中点，设BE、CF交于G，连接EF，显然∥1BC，由三角形相似可得GB＝2GE，GC=2GF． EF =2又设AD、BE交于G'，同理可证G'B=2G'E，G'A=2G'D，即G、G'都是BE上从B到E的三分之二处的点，故G'、G重合．即三条中线AD、BE、CF相交于一点G．证法2 设BE、CF交于G，BG、CG中点为H、I．连EF、FH、HI、IE，F∥1BC，HI =∥1BC，因为EF =22所以 EFHI为平行四边形．所以 HG=GE、IG=GF，GB=2GE，GC=2GF．- 1 -BDBDHAFGDECCABFDCEIaAFGCEAEGICDHB同证法1可知AG=2GD，AD、BE、CF共点．即定理证毕．链接证明外心、内心定理是很容易的。

全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心共16页

，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有久久不会退去的余香。
全国高中数学联赛辅导课件三角形的五心 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮回里有你。