2018年湖南省张家界市高一下学期期末数学试卷(B卷)Word版含解析

2018年湖南省张家界市高一下学期期末数学试卷（B卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1．1和5的等差中项是（）A．B．C．3 D．±32．设a＞b，则下列不等式中正确的是（）A．B．a+c＞b+c C．ac2＞bc2D．a2＞b23．直线l经过原点O和点P（1，1），则其斜率为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．24．下列结论中正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．平行于同一平面的两条直线平行C．垂直于同一直线的两条直线平行D．垂直于同一平面的两条直线平行5．空间两点A（1，2，﹣2），B（﹣1，0，﹣1）之间的距离为（）A．5 B．3 C．2 D．16．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3C．12 D．67．在△ABC中，面积，c=2，B=60°，则a=（）A．2 B．C．D．18．圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+y2=1的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π B．6π C．8π D．16π10．设x，y满足如图所示的可行域（阴影部分），则的最大值为（）A．B．0 C． D．﹣111．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．1112．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{}，[]，（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若x＞1，则x+的最小值是．14．若直线y=kx+2与直线y=2x﹣1互相平行，则实数k= ．15．表面积为4π的球的半径为．16．△ABC的三边a，b，c成等比数列，则角B的范围是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0相交于点P．（1）求点P的坐标；（2）求过点P且与直线x﹣2y﹣1=0垂直的直线l的方程．18．已知不等式（1﹣a ）x 2﹣4x+6＞0的解集为{x|﹣3＜x ＜1}． （1）求a 的值；（2）若不等式ax 2+mx+3≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3=6，S 3=12，设．（1）求a n ；（2）求数列{b n }的前n 项和T n ．20．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，PA=AB=BC=2，AD=4． （1）求四棱锥P ﹣ABCD 的体积；（2）求证：CD ⊥平面PAC ．21．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sin θ与b的值．22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．2018年湖南省张家界市高一下学期期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.1．1和5的等差中项是（）A．B．C．3 D．±3【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，计算即可得到所求值．【解答】解：1和5的等差中项为=3，故选：C．2．设a＞b，则下列不等式中正确的是（）A．B．a+c＞b+c C．ac2＞bc2D．a2＞b2【考点】R3：不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析四个选项中的不等式，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，当a=2，b=1时，有＜，故A错误；对于B、不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，故B正确；对于C、当c=0时，ac2=bc2，故C错误；对于D、当a=1，b=﹣2时，a2=1，b2=4，此时a2＜b2，故D错误；故选：B．3．直线l经过原点O和点P（1，1），则其斜率为（）A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．2【考点】I3：直线的斜率．【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式直接计算即可得答案．【解答】解：根据题意，直线l经过原点O和点P（1，1），则其斜率k==1；故选：A．4．下列结论中正确的是（）A．经过三点确定一个平面B．平行于同一平面的两条直线平行C．垂直于同一直线的两条直线平行D．垂直于同一平面的两条直线平行【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，经过不共线的三点才可以确定一个平面，B，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面；C，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面；D，根据直线与平面垂直的性质定理直接可得答案，【解答】解：对于A，经过不共线的三点才可以确定一个平面，故错，对于B，平行于同一平面的两条直线可能平行、相交、异面，故错；对于C，垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交、异面，故错；对于D，根据直线与平面垂直的性质定理，可得垂直于同一平面的两条直线平行，故正确．故选：D5．空间两点A（1，2，﹣2），B（﹣1，0，﹣1）之间的距离为（）A．5 B．3 C．2 D．1【考点】JI：空间两点间的距离公式．【分析】根据空间中两点间的距离公式计算即可．【解答】解：空间两点A（1，2，﹣2），B（﹣1，0，﹣1）之间的距离为|AB|==3．故选：B．6．如图，△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，则△OAB的面积是（）A．6 B．3C．12 D．6【考点】LD：斜二测法画直观图．【分析】画出△OAB的直观图，根据数据求出直观图的面积．【解答】解：△O′A′B′是水平放置的△OAB的直观图，==12所以：S△OAB故选C．7．在△ABC中，面积，c=2，B=60°，则a=（）A．2 B．C．D．1【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】利用，能求出a．【解答】解：在△ABC中，∵面积，c=2，B=60°，∴，即，解得a=1．故选：D．8．圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+y2=1的位置关系为（）A．内切B．相交C．外切D．相离【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】根据题意，由两圆的标准方程分析可得两圆的圆心与半径，分析计算两圆的圆心距与半径和之间的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，设圆x2+y2=4的圆心为M，半径为r1，则M（0，0），r1=2，圆（x﹣3）2+y2=1的圆心为N，半径为r2，N（3，0），r2=1，则有|MN|=r1+r2=3，则两圆外切；故选：C．9．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．4π B．6π C．8π D．16π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图还原原几何体，可知原几何体是底面半径为1，高为4的圆柱，再由圆柱体积公式得答案．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体是底面半径为1，高为4的圆柱，则其体积为π×12×4=4π．故选：A．10．设x，y满足如图所示的可行域（阴影部分），则的最大值为（）A．B．0 C． D．﹣1【考点】7C：简单线性规划．【分析】把目标函数化为y=x﹣z，平移直线y=x﹣z找出最优解，求出目标函数的最大值．【解答】解：x，y满足如图所示的可行域（阴影部分），则目标函数可化为y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z过点A（1，0）时，z取得最大值为zmax=×1﹣0=．故选：A．11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第九日所织尺数为（）A．8 B．9 C．10 D．11【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由题意可知，每日所织数量构成等差数列，再由已知求得a5，a4的值，进一步求得公差，代入等差数列的通项公式求得第九日所织尺数．【解答】解：由题意可知，每日所织数量构成等差数列，且a2+a5+a8=15，S7=28，设公差为d，由a2+a5+a8=15，得3a5=15，∴a5=5，由S7=28，得7a4=28，∴a4=4，则d=a5﹣a4=1，∴a9=a5+4d=5+4×1=9．故选：B．12．设x∈R，记不超过x的最大整数为[x]，令{x}=x﹣[x]，则{}，[]，（）A．是等差数列但不是等比数列B．是等比数列但不是等差数列C．既是等差数列又是等比数列D．既不是等差数列也不是等比数列【考点】8C：等差关系的确定；8D：等比关系的确定．【分析】可分别求得，．则等比数列性质易得三者构成等比数列．【解答】解：根据题意可得，．∵×=12， +≠2∴{}，[]，为等比数列，不是等差数列故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．若x＞1，则x+的最小值是 3 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】x+=x﹣1++1，利用基本不等式可求函数的最值．【解答】解：∵x＞1，∴x+=x﹣1++1+1=3，当且仅当x﹣1=即x=2时取等号，∴x=2时x+取得最小值3，故答案为：3．14．若直线y=kx+2与直线y=2x﹣1互相平行，则实数k= 2 ．【考点】II：直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】利用直线平行的性质直接求解．【解答】解：∵直线y=kx+2与直线y=2x﹣1互相平行，∴实数k=2．故答案为：2．15．表面积为4π的球的半径为 1 ．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】由球的表面积公式S=4πR2，直接计算．【解答】解：设球的半径为R，由球的表面积公式S=4πR2=4π，解得R=1．故答案为：116．△ABC的三边a，b，c成等比数列，则角B的范围是0＜B≤．【考点】8B：数列的应用．【分析】根据题中已知条件求出a，b，c之间的关系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可求出角B的范围．【解答】解：由题意知：a，b，c成等比数列，∴b2=ac，又∵a，b，c是三角形的三边，不妨设a≤b≤c，由余弦定理得故有，故答案为．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知直线l 1：3x+4y ﹣2=0，l 2：2x+y+2=0相交于点P ． （1）求点P 的坐标；（2）求过点P 且与直线x ﹣2y ﹣1=0垂直的直线l 的方程． 【考点】IK ：待定系数法求直线方程；IM ：两条直线的交点坐标．【分析】（1）把两条直线的方程联立方程组，求得该方程组的解，即可求得交点P 的坐标． （2）利用两条直线垂直的性质求得直线l 的斜率，再用点斜式求出直线l 的方程．【解答】（1）由，求得，∴两条直线的交点坐标为 P （﹣2，2）．（2）直线x ﹣2y ﹣1=0的斜率为，故要求的直线l 的斜率为﹣2，故要求的直线的方程为y ﹣2=﹣2（x+2），即直线l 的方程为2x+y+2=0．18．已知不等式（1﹣a ）x 2﹣4x+6＞0的解集为{x|﹣3＜x ＜1}． （1）求a 的值；（2）若不等式ax 2+mx+3≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围． 【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）一元二次不等式与对应方程的关系，旅游根与系数的关系求出a 的值； （2）根据一元二次不等式解集为R ，利用判别式△≤0，求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）不等式（1﹣a ）x 2﹣4x+6＞0的解集为{x|﹣3＜x ＜1}， ∴1﹣a ＜0，且方程（1﹣a ）x 2﹣4x+6=0的两根为﹣3，1；由根与系数的关系知，解得a=3；…（2）不等式3x 2+mx+3≥0的解集为R ， 则△=m 2﹣4×3×3≤0， 解得﹣6≤m ≤6，∴实数m 的取值范围为（﹣6，6）．…19．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 3=6，S 3=12，设．（1）求an；（2）求数列{bn }的前n项和Tn．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项；（2）求出=4n，运用等比数列的求和公式，化简计算即可得到所求和．【解答】解：（1）设数列{an}是公差为d的等差数列，；（2），可得Tn =b1+b2+b3+…+bn=4+42+43+ (4)=．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4．（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（2）求证：CD⊥平面PAC．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由四边形ABCD是直角梯形，PA⊥底面ABCD，能求出四棱锥P﹣ABCD的体积．（2）由PA⊥底面ABCD，得PA⊥CD，由勾股定理得AC⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAC．【解答】解：（1）由已知，四边形ABCD是直角梯形，∴，∵PA⊥底面ABCD，∴四棱锥P﹣ABCD的体积．…证明：（2）由PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，则PA⊥CD，在三角形ABC中，，又，∴AC2+CD2=AD2，即AC⊥CD，…又∵PA，AC⊂平面PAC，PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．…21．△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）点D为边AB上的一点，记∠BDC=θ，若＜θ＜π，CD=2，，a=，求sin θ与b的值．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=，结合范围0＜B＜π，可求B的值．（Ⅱ）在△BCD中，由正弦定理可得=，解得sinθ=，结合θ为钝角，利用诱导公式可求cos∠ADC的值，在△ADC中，由余弦定理，可得b的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵，∴可得：，∵sinC＞0，∴ =tanB=，∵0＜B＜π，∴B=…4分（Ⅱ）在△BCD中，∵ =，∴=，∴sinθ=，…8分∵θ为钝角，∴∠ADC为锐角，∴cos∠ADC=cos（π﹣θ）==，∴在△ADC中，由余弦定理，可得：b===…12分22．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A （1，0）．（Ⅰ）若l1与圆C相切，求l1的方程；（Ⅱ）若l1与圆C相交于P，Q两点，求三角形CPQ的面积的最大值，并求此时直线l1的方程．【考点】J7：圆的切线方程；IT：点到直线的距离公式．【分析】（Ⅰ）通过直线l1的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径，即可求l1的方程；（Ⅱ）设直线方程为kx﹣y﹣k=0，求出圆心到直线的距离，弦长，得到三角形CPQ的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到l1的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x=1，符合题意．②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为y=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k=0．由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即：，解之得．的方程是x=1或3x﹣4y﹣3=0．所求直线l1（Ⅱ）直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为kx﹣y﹣k=0，的距离d=则圆心到直l1又∵三角形CPQ面积S=×2=d=∴当d=时，S取得最大值2．∴d==，k=1或k=7．∴直线方程为y=x﹣1，或y=7x﹣7．。