几个重要的特殊数列
整理几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列 基础知识 1．斐波那契数列 莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定； （2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出） 因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为： ，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得 所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如： 它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明） （1）斐波那契数列的前项和； （2）； （3）（）； （4）（）； （5）（）； 2．分群数列 将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
发散数列的经典例子
发散数列的经典例子发散数列，也被称为无穷数列，是指一个由无数个数字组成的数列，其中每个数字都比前一个数字大。
发散数列是数学中的一个重要概念，在数学、物理、化学等领域都有着广泛的应用。
下面就来介绍几个经典的发散数列。
I. 等比数列等比数列是指一个数列中每个数字都是前一个数字乘以一个常数，即a1, a2, a3, …, an, …的公比为r，即a(n+1)=r*an。
如果r>1，那么这个数列就是一个发散数列。
例如，2, 4, 8, 16, 32, … 这个数列的公比为2，无穷项趋于正无穷。
II. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即a(1)=1, a(2)=1, a(n+1)=a(n)+a(n-1)。
这个数列的性质非常特殊，如下：1. 斐波那契数列是递增的；2. 斐波那契数列的比值随着项数的增加越来越接近黄金分割（约1.618）；3. 斐波那契数列是一个发散数列。
III. 调和级数调和级数是指一个数列中，每一项都是其前一项的倒数加1，即1,1+1/2, 1+1/2+1/3, …, 其通项公式为an = 1 + 1/2 + … + 1/n。
显然，调和级数是一个发散数列，但是其发散速度非常缓慢。
例如，调和级数前1000项的和约为7.48，而前100万项的和已经接近21。
IV. 稀疏数列稀疏数列是指一个数列中，每一项都是前一项的平方根，即a(n+1)=sqrt(an)。
这个数列的性质非常有趣，如下：1. 稀疏数列最初的几项增长迅速，但是随着项数的增加越来越慢；2. 稀疏数列是收敛数列，即其无穷项的极限存在，且为1。
V. 射线数列射线数列是指一个数列中，每一项都比前一项多2n个正整数，其中n 为项数减1，即a(1)=1, a(n+1)=a(n)+2n。
这个数列的性质如下：1. 射线数列是一个发散数列；2. 射线数列的无穷项是完全平方数，即a(n)=n^2。
总的来说，发散数列是数学中非常重要却也十分神秘的概念之一，这些经典发散数列不仅有着自己独特的性质和规律，而且在科学和工程中都有着广泛的应用。
大学数学中的数列
大学数学中的数列在大学数学中，数列是一个十分重要的概念。
它是一系列按照一定规律排列的数，这些数之间有着内在的联系，它们之间的关系可以用数学公式来表达。
数列是计算机科学、金融学、物理学、统计学等领域中神经元模型、随机漫步等模型的基础，因此深入研究数列对于掌握这些领域的知识都有重要意义。
一、等差数列等差数列是最基本的数列之一，它的通项公式如下：an = a1 + (n-1)d其中a1是首项，d是公差，n是第n项，an是第n项的值。
可以看出，等差数列的每一项与它前一项之间的差值是相等的，这个值就是公差。
等差数列的特点是它的每一项都可以通过同一个公式来计算得出，并且每一项之间的差值也是相等的。
因此，如果我们知道了等差数列的首项和公差，就可以计算出它的任意一项。
二、等比数列等比数列也是一种比较基本的数列，它的通项公式如下：an = a1 * q^(n-1)其中a1是首项，q是公比，n是第n项，an是第n项的值。
等比数列的每一项与它前一项之间的比值是相等的，这个值就是公比。
等比数列的特点是它的每一项都能通过一个公式来计算得出，并且每一项之间的比值也是相等的。
因此，如果我们知道了等比数列的首项和公比，就可以计算出它的任意一项。
三、斐波那契数列斐波那契数列是指这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34……在数学上，斐波那契数列可以用递推公式来表示：f(n) = f(n-1) + f(n-2)其中，f(n)表示第n个斐波那契数列的值，f(n-1)表示第n-1个斐波那契数列的值，f(n-2)表示第n-2个斐波那契数列的值。
递推公式的意思是，每一项的值都等于前两项的和。
斐波那契数列的值在自然界中也有很多应用。
例如，螺旋壳就是由斐波那契数列中的相邻两项比例逐渐靠近黄金分割而构成的。
在物理学中，斐波那契数列还可以用于描述某些光学现象中的周期性变化，例如光学衍射。
四、调和数列调和数列是一种比较特殊的数列，它的通项公式如下：an = 1/n其中n是第n项，an是第n项的值。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
数列高考知识点分布表
数列高考知识点分布表一、等差数列等差数列是一种特殊的数列，其中相邻两项之差恒为一个常数。
在高考中，等差数列是一个重要的数列概念，考查的形式主要包括以下几个方面：1. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是等差数列中任意一项的计算公式，它可以通过已知的前几项来推导得出。
在高考中，经常会给出等差数列的前几项，要求学生根据这些已知条件来求解等差数列的通项公式。
2. 等差数列的前n项和等差数列的前n项和是指等差数列中前n项的和，它是通过等差数列的通项公式和求和公式来计算得出的。
在高考中，经常会给出等差数列的前几项，要求学生来计算等差数列的前n项和。
3. 等差数列的性质等差数列具有一些特殊的性质，如相邻两项之差是常数、任意三项成等差数列等。
在高考中，学生需要了解这些性质，并能够灵活运用它们来解题。
二、等比数列等比数列是一种特殊的数列，其中相邻两项之比恒为一个常数。
在高考中，等比数列也是一个重要的数列概念，考查的形式主要包括以下几个方面：1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是等比数列中任意一项的计算公式，它可以通过已知的前几项来推导得出。
在高考中，经常会给出等比数列的前几项，要求学生根据这些已知条件来求解等比数列的通项公式。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指等比数列中前n项的和，它是通过等比数列的通项公式和求和公式来计算得出的。
在高考中，经常会给出等比数列的前几项，要求学生来计算等比数列的前n项和。
3. 等比数列的性质等比数列具有一些特殊的性质，如相邻两项之比是常数、任意三项成等比数列等。
在高考中，学生需要了解这些性质，并能够灵活运用它们来解题。
三、数列的应用数列在实际问题中有着广泛的应用，高考中也常常考察各种实际问题与数列的关系。
以下是一些常见的数列应用知识点：1. 等差数列的应用等差数列的应用包括等差数列求和、等差数列的特殊性质在实际问题中的应用等。
在高考中，经常会出现一些与等差数列相关的实际问题，要求学生能够将问题转化为等差数列，并利用等差数列的性质来解决问题。
高中数学特殊值记忆
高中数学特殊值记忆
高中数学中有许多特殊值值得记忆，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。
以下是一些常见的特殊值:
1. 三角形中的特殊值：当三角形 ABC 的边 AB 为斜边时，有
sin(A)/AB=AC/AB,cos(A)/AB=BC/AB,tan(A)/AB=AB/AC。
2. 圆中的特殊值：当圆 O 的半径 R=0 时，圆 O 变为一个点，此时圆心 O 成为点 O;当圆 O 的半径 R=1 时，圆 O 变为一个单位圆，此时点的坐标必须是实数。
3. 函数中的特殊值：当函数 f(x)=0 的 x 值为-∞时，f(x) 称为单调递增函数;当函数 f(x)=0 的 x 值为+∞时，f(x) 称为单调递减函数;当函数 f(x) 在 x=a 处取得极值时，有 f"(x)=0。
4. 数列中的特殊值：当数列{an}的前 n 项和 Sn=0 时，数列{an}为等差数列;当数列{an}的前 n 项和 Sn=1 时，数列{an}为等比数列。
5. 导数中的特殊值：当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)=0 时，有
f(x) 为常数函数;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)<0 时，函数 y=f(x) 在 x=a 处取得极小值;当函数 y=f(x) 的导数 f"(x)>0 时，函数
y=f(x) 在 x=a 处取得极大值。
以上是一些常见的特殊值，这些特殊值可以帮助我们更好地理解数学概念和解决问题。
如果我们能够记住这些特殊值，就可以更好地掌握数学知识，更好地应用数学。
数列所有公式大全
数列所有公式大全数列是数学中一个重要的概念，它是有一定规律的一组数的序列。
数列可以用来解决各种实际问题，也是许多数学领域的基础。
本文将介绍常见的数列及其公式，帮助读者更好地理解和应用数列。
1. 等差数列等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
它的通项公式为An = A1 + (n - 1) * d，其中An表示第n 项，A1表示第一项，d表示公差。
2. 等比数列等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
它的通项公式为An = A1 * r^(n - 1)，其中An表示第n项，A1表示第一项，r表示公比。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，它的前两项都是1，从第三项起，每一项都是前两项的和。
它的通项公式为Fn = F(n - 1) + F(n - 2)，其中Fn表示第n项。
4. 平方数列平方数列是指数列中的每一项都是一个平方数的数列。
它的通项公式为An = n^2，其中An表示第n项。
5. 立方数列立方数列是指数列中的每一项都是一个立方数的数列。
它的通项公式为An = n^3，其中An表示第n项。
6. 级数数列级数数列是由一组正整数构成的数列，它的每一项都是前面所有项的和。
它的通项公式为An = 1 + 2 + ... + n，其中An表示第n项。
7. 素数数列素数数列是指数列中的每一项都是素数的数列。
素数是只能被1和本身整除的整数。
素数数列没有通项公式，判断一个数是否为素数需要使用素数测试算法。
8. 偶数数列偶数数列是指数列中的每一项都是偶数的数列。
它的通项公式为An = 2n，其中An表示第n项。
9. 奇数数列奇数数列是指数列中的每一项都是奇数的数列。
它的通项公式为An = 2n - 1，其中An表示第n项。
10. 所有正整数数列所有正整数数列是由所有正整数构成的数列。
它的通项公式为An = n，其中An表示第n项。
11. 等差几何数列等差几何数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
(整理)几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
数列中的规律
数列中的规律数列是数学中常见的概念，它是一组按照特定顺序排列的数。
数列中的规律是指数列中各项之间存在的一种有序的关系。
在数学中，研究数列的规律与性质有助于我们揭示数学的奥秘，深入理解数学的本质。
一、等差数列的规律等差数列是指数列中各项之间的差值恒定的特殊数列。
在等差数列中，每一项与前一项的差值固定为一个常数，这个常数被称为公差。
以等差数列的一般形式表示为：an = a1 + (n-1)d，其中 an 表示数列中的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列中的项数，d 表示公差。
等差数列的规律非常明显，每一项与前一项之间的差值恒定。
例如，数列2, 5, 8, 11, 14就是一个公差为3的等差数列。
二、等比数列的规律等比数列是指数列中各项之间的比值恒定的特殊数列。
在等比数列中，每一项与前一项的比值相等，这个比值被称为公比。
以等比数列的一般形式表示为：an = a1 * r^(n-1)，其中 an 表示数列中的第 n 项，a1 表示数列的首项，n 表示数列中的项数，r 表示公比。
等比数列的规律比较抽象，需要通过计算来确定。
例如，数列2, 4, 8, 16, 32就是一个公比为2的等比数列。
三、斐波那契数列的规律斐波那契数列是一种特殊的数列，其规律是前两项之和等于第三项。
也就是说，斐波那契数列中的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的一般形式表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(n)表示数列中的第 n 项，F(n-1) 表示数列中的第 n-1 项，F(n-2) 表示数列中的第 n-2 项。
斐波那契数列的规律特别有趣，常常可以在自然界和生活中找到它的身影。
例如，兔子繁殖、植物生长等都可以用斐波那契数列来描述。
四、其他常见数列的规律除了等差数列、等比数列和斐波那契数列，数学中还存在其他各种各样的数列，它们具有不同的规律和特点。
例如，递归数列是一种通过递归关系来定义的数列，每一项都由前一项或前几项求得；自然数数列是一种最简单的数列，即从1开始，依次递增1。
几个重要的特殊数列
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在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
数列知识点公式归纳总结
数列知识点公式归纳总结数列是数学中常见的概念，它可以通过一定的规律来表示一系列的数值。
在数学学科中，数列的研究与应用非常广泛，无论是在纯数学中的数论、代数，还是在应用数学中的物理、经济学等领域都有数列的应用。
因此，熟练掌握数列的知识点和公式对于提高数学水平以及解决实际问题都具有重要意义。
本文将针对数列的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用数列的概念。
在总结中，将包括一些常见的数列类型、特殊数列的性质以及数列求和公式等内容，以供读者参考和学习。
一、等差数列等差数列是指数列中的相邻项之间的差等于一个常数。
在等差数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等差数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
2. 前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。
3. 通项公式：对于等差数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
二、等比数列等比数列是指数列中的相邻项之间的比等于一个常数。
在等比数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：1. 第n项公式：对于等比数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
2. 前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
3. 通项公式：对于等比数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。
通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，其前两项为1，之后每一项都是前两项的和。
几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。
这个数列的通项公式如何去求？特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x+=2，其根为特征根。
因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为：251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nnn B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
数列的特殊性质问题
数列的特殊性质问题数列是数学中的一个重要概念，其作用在各个领域都得到了广泛的应用。
数列中有许多特殊性质问题，这些问题在不同的领域都有重要的应用。
本文将对数列的特殊性质问题进行介绍和解析。
一、等差数列与等比数列等差数列和等比数列是数列中常见的两种类型。
在等差数列中，每个数与它的前一项之间的差是一个常数。
在等比数列中，每个数与它的前一项之间的比是一个常数。
以等差数列为例，设第一项为a1，公差为d，那么它的通项公式如下所示：an = a1 + (n - 1)d （n为数列中的任意一项）对于一个等比数列，假设第一项为a1，公比为q，则它的通项公式为：an = a1 * q^(n-1) （n为数列中的任意一项）等差数列和等比数列具有许多特殊性质，其中最重要的一条是它们都具有有限项和无限项两种情况。
二、等差数列的求和对于一个等差数列来说，它的求和是一个重要的问题。
根据等差数列的通项公式可知，在等差数列中，任意两项之和等于它们的平均数的两倍。
因此，我们可以利用这个性质求出等差数列的和。
对于一个有n项的等差数列来说，它的和为：Sn = （a1 + an）* n / 2这个公式被称为等差数列的求和公式。
三、等比数列的求和等比数列求和是一个比较复杂的问题，因为等比数列中每两项之间的比是常数，并不方便直接求和。
不过，我们可以使用数学技巧来解决这个问题。
假设等比数列的第一项为a1，公比为q，数列的和为S。
那么可以得到以下的式子：S = a1 + a2 + a3 + ... + anq * S = a2 + a3 + ... + an + an+1将两个式子相减可得：S - q * S = a1 - an+1因此，等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)由此可知，对于一个无穷等比数列来说，当公比q小于1时，数列的和将无限趋近于一个有限值；当公比q大于1时，数列的和将无限趋近于正无穷大；当公比q等于1时，数列的和将不存在。
斐波那契数列的特点有哪些？
斐波那契数列的特点有哪些？斐波那契数列是一个非常特殊的数列，它的特点是每个数都是前两个数的和。
具体来说，数列的前两个数是0和1，后面的数就是前面两个数的和，即0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，这个数列被称为“斐波那契数列”。
这个数列的特点不仅仅是这些，还有以下几个方面：1.数列中的每个数都是前两个数的和。
这个特点已经在前面提到了。
这个特点是斐波那契数列的最基本的特点，也是最容易理解的特点。
这个特点使得斐波那契数列具有了很多有趣的性质和应用。
2.数列中的每个数都是它前面所有数的和。
这个特点是斐波那契数列的一个比较深奥的性质。
这个性质意味着，如果我们知道了数列中的前n-1个数，就可以求出第n个数。
这个性质在斐波那契数列的应用中非常重要。
3.数列中的每个数都是它后面所有数的差。
这个特点是斐波那契数列的另一个比较深奥的性质。
这个性质意味着，如果我们知道了数列中的后n-1个数，就可以求出第n个数。
这个性质在斐波那契数列的应用中也非常重要。
4.数列中的每个数都是黄金分割数列的一部分。
黄金分割数列是另一个非常特殊的数列，它的特点是每个数都是前一个数的倒数加1。
具体来说，数列的前两个数是0和1，后面的数就是前面一个数的倒数加1，即0，1，1.5，1.6666，1.6，1.625，1.6154，1.619，1.6176，1.6182，……，这个数列被称为“黄金分割数列”。
斐波那契数列中的每个数都是黄金分割数列的一部分。
具体来说，第n个斐波那契数是黄金分割数列中第n+1个数与第n个数的商。
5.数列中的每个数都可以表示成若干个不同的斐波那契数的和。
这个特点是斐波那契数列的一个非常有趣的性质。
具体来说，每个斐波那契数都可以表示成若干个不同的斐波那契数的和。
例如，8可以表示成5+3，13可以表示成8+5，21可以表示成13+8，等等。
这个性质在斐波那契数列的应用中也非常重要。
斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用非常广泛，涉及到数学、计算机科学、自然科学、经济学等多个领域。
初一数学布谷数
初一数学布谷数布谷数是一种特殊的数列，它的规律十分有趣。
在布谷数列中，每个数都是前两个数的和。
例如，数列的前几个数字依次为1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列中的每个数字都是前两个数字之和。
布谷数列最早是由意大利数学家列奥纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）在13世纪发现的。
他发现这个数列可以用来描述理想化的兔子繁殖问题。
假设一对兔子每个月能繁殖一对小兔子，并且新生的小兔子在出生后第二个月就能开始繁殖。
那么，第一个月有一对兔子，第二个月会出现第二对兔子，第三个月会出现第三对兔子，以此类推。
这个问题可以用布谷数列来描述，第n个月的兔子对数就是布谷数列的第n个数字。
布谷数列不仅在生物繁殖问题中有应用，还在数学领域中有广泛的应用。
它在自然界中也有出现，如植物叶子的排列方式、花瓣的数目等都与布谷数列有关。
布谷数列还有一些有趣的性质和特点。
首先，它的增长速度非常快。
随着n的增大，布谷数列的每个数字都会越来越大。
其次，布谷数列中的相邻两个数的比值会越来越接近黄金分割比例（约等于1.618）。
这个比例在古代被认为是最美的比例，因此布谷数列也被称为黄金分割数列。
此外，布谷数列还有一些与二项式展开等数学问题相关的特性。
在计算布谷数列时，我们可以使用递归方法或迭代方法。
递归方法是一种将问题分解为更小规模子问题的方法，通过不断调用自身来求解。
迭代方法则是通过循环计算得到结果。
对于较大的n，迭代方法通常更高效。
除了布谷数列，数学中还有许多有趣的数列和数学问题值得我们探索和研究。
例如，等差数列和等比数列都是常见的数列类型，它们都有自己的特点和规律。
在解决实际问题时，我们可以通过找到数列的规律，进而推导出通用的解决方法。
数学是一门充满魅力的学科，通过学习数学，我们可以培养逻辑思维和问题解决能力。
布谷数列作为数学中的一个有趣的问题，不仅能够激发我们对数学的兴趣，还能让我们从中感受到数学的美妙和深邃。
费波纳奇数列
费波纳奇数列费波纳奇数列，又称黄金分割数列，是一种非常特殊的数列。
这个数列的每一项都是前两项之和，从而形成了1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……这样的一组数字。
这个数列的特殊之处在于，它的每一项都是前一项和前两项的和，这样的组合关系使得它具有非常神奇的性质。
这个数列的特殊性质之一，便是它的比值趋近于黄金分割比例。
黄金分割比例是一种非常美学的比例，它是指一条线段分成两段时，较长的一段与整条线段的比值等于较短一段与较长一段的比值。
这个比例的数学表达式为（a+b）/a=a/b，其中a和b分别为较长和较短的线段长度。
费波纳奇数列的比值趋近于黄金分割比例，是因为当n趋近于无穷大时，Fn+1/Fn趋近于黄金分割比例1.6180339887……。
除了黄金分割比例，费波纳奇数列还有其他非常有趣的性质。
例如，这个数列中每个数的个位数字都是以5为周期循环的。
更特别的是，它还具有非常神奇的几何性质，被称为“费波那契螺旋”。
这个螺旋是通过在一个正方形内不断绘制正方形来构建的。
每个正方形的边长都是前一个正方形的边长。
当这个螺旋不断绘制下去时，它所构成的线条和形状非常美妙，被认为是一种非常优美的图形。
费波纳奇数列的应用非常广泛。
例如，在金融领域中，费波纳奇数列被用来预测股价和市场走势。
在自然界中，很多的植物和动物都具有费波纳奇数列的特性。
例如，一些植物的叶子排列和一些动物的身体构造都具有这个数列的性质。
费波纳奇数列是一种非常特殊的数列，它具有非常神奇的性质。
这个数列的比值趋近于黄金分割比例，它的每个数的个位数字都是以5为周期循环的，它还具有非常神奇的几何性质。
费波纳奇数列的应用非常广泛，它被用来预测股价和市场走势，在自然界中，很多的植物和动物都具有这个数列的性质。
贝尔数列的规律
贝尔数列的规律贝尔数列是一种特殊的数列，它的规律十分有趣且引人入胜。
贝尔数列的生成规则是这样的：第一个数为1，第二个数为2，从第三个数开始，每个数都是前两个数之和加1。
换句话说，如果第n个数为B(n)，那么B(n) = B(n-1) + B(n-2) + 1。
下面我们来详细了解一下贝尔数列的规律。
1. 贝尔数列的前几项是：1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, 10671, 20569...2. 我们可以观察到，贝尔数列的增长速度逐渐加快。
前几项之间的差值依次为1, 2, 4, 7, 14, 27, 52, 100, 193, 372, 717, 1382, 2664, 5144...，这些差值也构成了一个数列。
3. 如果我们计算相邻两项的比值，可以发现这个比值逐渐趋近于黄金比例，即约 1.618。
这与黄金分割的数学特性有关，使得贝尔数列在艺术和设计中具有一定的应用。
4. 贝尔数列在组合数学中也有重要的地位。
它与贝尔多项式有密切关系，贝尔多项式是生成贝尔数列的一种方法。
贝尔数列和贝尔多项式在计算组合数、排列数等问题中有广泛的应用。
5. 贝尔数列还与图论中的有向无环图（DAG）有关。
在DAG中，贝尔数表示了从一个节点到另一个节点的所有可能路径的数量。
6. 贝尔数列与分区数也有联系。
分区数表示将一个正整数拆分成若干个正整数之和的方法数。
贝尔数列可以用来计算分区数，每个贝尔数对应的是不同的分区数。
7. 贝尔数列在密码学中也有应用。
它可以用来生成随机数序列，以及构建密码算法中的S盒（Substitution box）。
贝尔数列的规律丰富多样，不仅在数学领域中有重要的应用，还可以在艺术、设计、密码学等领域发挥作用。
通过研究贝尔数列的规律，我们可以深入理解数学的美妙之处，并将其运用到实际问题中。
贝尔数列的研究还有很多待发掘的领域，相信随着科学技术的发展，我们能够发现更多有关贝尔数列的奥秘。
常数列和常数
常数列和常数常数列和常数是数学中的重要概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
常数列是一组相同的数按一定规律排列而成的序列，例如1、1、1、1、1...就是一个常数列，其中的数都等于1。
常数是指不变化的值，可以是任意数。
在这篇文章中，我们将介绍常数列和常数，探讨它们的重要性以及它们在实际应用中的作用和意义。
常数列是一种特殊的数列，它们的每一项都相等。
常数列可以表示为a1, a2, a3, ..., an，其中a1=a2=a3=...=an。
例如，1、1、1、1、1...就是一个常数列，其中的每一位都等于1。
常数列在数学中起着重要的作用，它们经常出现在代数学、几何学、微积分和概率论等领域中。
在代数学中，常数列的一些性质很有用。
例如，如果给定一个常数列，它的每一项都等于a，那么它的和就可以表示为n×a，其中n是该常数列的项数。
这种方法可以用来求和一些简单的等差数列，例如1、2、3、4、5...，其中的a=1，n=5，因此和为5×1=5。
在几何学中，常数列可以用来描述等距离的点或线段。
例如，在平面直角坐标系中，如果给定两个点(x1, y1)和(x2, y2)，并且它们之间的距离等于d，那么它们所有可能的组合就可以表示为两个常数列x和y。
常数也是数学中的一个重要概念。
常数是指在运算中保持不变的值。
这些常数可以是整数、小数、自然数或者其他类型的数。
常数在数学中有许多应用，特别是在代数学中。
在代数学中，常数通常被用来表示未知变量或者在方程中使用。
在实际应用中，常数列和常数都有广泛的应用。
它们在物理、工程、经济学、计算机科学等领域中都有重要的作用。
例如，在工程领域中，常数列可以用来描述一些周期性的现象，例如电流、光波等。
在经济学中，常数也有着广泛的应用。
例如，在投资中，常数可以表示每期的投资金额或者每期的收益率。
在计算机科学中，常数列和常数是计算机算法设计中的一项重要技术，它们在算法的分析和设计中都有着重要的作用。
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几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
一般地，数列{}的分群数列用如下的形式表示：（），（），（），……，其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个括号称为第3群，……，第个括号称为第群，而数列{}称为这个分群数列的原数列。
如果某一个元素在分群数列的第个群中，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群中的第个元素。
值得注意的是一个数列可以得到不同的分群数列。
如对数列{}分群，还可以得到下面的分群数列：第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…；第个群中有个元素的分群数列为：（），（），（）…等等。
3．周期数列对于数列{}，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列{}是从第项起的周期为T的周期数列。
若，则称数列{}为纯周期数列，若，则称数列{}为混周期数列，T 的最小值称为最小正周期，简称周期。
周期数列主要有以下性质：（1）周期数列是无穷数列，其值域是有限集；（2）周期数列必有最小正周期（这一点与周期函数不同）；（3）如果T是数列{}的周期，则对于任意的，也是数列{}的周期；（4）如果T是数列{}的最小正周期，M是数列{}的任一周期，则必有T|M，即M=（）；（5）已知数列{}满足（为常数），分别为{}的前项的和与积，若，则，；（6）设数列{}是整数数列，是某个取定大于1的自然数，若是除以后的余数，即，且，则称数列是{}关于的模数列，记作。
若模数列是周期的，则称{}是关于模的周期数列。
（7）任一阶齐次线性递归数列都是周期数列。
4．阶差数列对于一个给定的数列{}，把它的连续两项与的差－记为，得到一个新数列，把数列称为是原数列{}的一阶差数列；如果，则称数列是数列的一阶差数列，是{}的二阶差数列；依次类推，可以得到数列{}的阶差数列，其中。
如果某一数列的阶差数列是一非零常数列，则称该数列为阶等差数列。
其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列；高阶等差数列是二阶或二阶以上等差数列的统称。
高阶等差数列具有以下性质：（1）如果数列{}是阶等差数列，则它的一阶等差数列是阶差数列；（2）数列{}是阶等差数列的充要条件是：数列{}的通项是关于的次多项式；（3）如果数列{}是阶等差数列，则其前项之和是关于的次多项式。
高阶等差数列中最常见的问题是求通项公式以及前项和，更深层次的问题2是差分方程的求解。
解决问题的基本方法有：(1)逐差法：其出发点是；(2)待定系数法：在已知阶数的等差数列中，其通项与前n项和S n是确定次数的多项式(关于n的)，先设出多项式的系数，再代入已知条件解方程组即得(3)裂项相消法：其出发点是an能写成=f(n+1)－f(n)(4)化归法：把高阶等差数列的问题转化为易求的同阶等差数列或低阶等差数列的问题，达到简化的目的设数列{}不是等比数列：若它的一阶等差数列是公比不为1的等比数列，则称它是一阶等比数列；若它的一阶差数列不是等比数列，而二阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这为二阶等比数列。
一般地说，如果某一个数列它的阶等差数列不是等比数列，而阶差数列是公比不为1的等比数列，则称这个数列为阶等比数列，其中。
0阶等比数列就是我们通常所说的等比数列，一阶及二阶以上的等比数列，统称为高阶等比数列。
典例分析例1．数列的通项公式为，．记，求所有的正整数，使得能被8整除．（2005年竞赛试题）解：记注意到，可得因此，Sn+2除以8的余数，完全由Sn+1、Sn除以8的余数确定，故由(*)式可以算出各项除以8的余数依次是1,3，0,5，7,0，1,3，……，它是一个以6为周期的数列，从而故当且仅当例２．设是下述自然数N的个数，N的各位数字之和为，且每位数字只能取1、3或4，求证：是完全平方数，这里分析：这道题目的证法很多，下面我们给出借助于斐波那契数列证明的两种方法。
方法一：利用斐波那契数列作过渡证明。
设，其中且。
假设，删去时，则当依次取1，3，4时，分别等于，故当时，（1）作数列：且，现用数学归纳法证明下述两式成立：（2）（3）因为故当时（2）（3）两式成立。
假设当（）时，（2）（3）两式成立，由当时，由（1）式、的定义以及归纳假设，知这样（2）（3）两式对于成立。
故（2）（3）两式对于一切自然数成立。
，由（2）即可知是完全平方数。
方法二：由的递推关系式寻求的递推关系式，从这个递推关系式对求与斐波那契数列的关系。
设，其中且。
假设，删去时，则当依次取1，3，4时，分别等于，故当时，所以令，则当时，有因为，下用数学归纳法证明，其中是斐波那契数列：且，当时结论显然；设时结论成立，于是即当时命题成立。
从上述证明可知，对一切正整数，是完全平方数，从而也是完全平方数。
例3．将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值.（2006年省竞赛试题）解:由于,故若是3或5的倍数,当且仅当是3或5的倍数.现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项8个,为: ,,,,,,,, 于是每个区间段中恰有15个{}的项,8个{}的项,且有,k∈N,1≤r≤8.由于2006＝8×250+6,而,所以.例4．将正奇数集合从小到大按第组有个奇数进行分组：{1}，{3，5，7}，{9，11，13，15，17}，……问1991位于第几组？解：需要写出第n组的第1个数与最后一个数，1991介于其中，而第n组的最后一个数为。
第n组的第一个数即第n－1组的最后一个数后面的奇数，为[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1。
由题意知2(n－1)2+1，解得(n－1)2且，从而且，故，即1991位于第32级中。
例5．设等差数列的首项是，公差为，将按第组有个数的法则分组如下：，，，……，试问是第几组的第几个数？并求出所在那组的各项的和。
解：设位于第组，则前组共有3+6+9+…+3（k－1）=项，所以即解此方程组得：，因为且－（，所以。
因此，是第组的第个数，其中。
因为第组是以为首项，为公差的等差数列，所以其所有项的和等于，其中。
例６．设奇数数列：1，3，5，7，9……（1）按2，3，2，3……的个数分群如下：（1，3），（5，7，9），（11，13），（15，17，19）， (2)（I）试问数列（1）中的2007是分群数列（2）中的第几群中的第几个元素？（II）求第个群中的所有的元素之和。
解：（I）将数列（1）重新分群，按每个群含5个元素的方式分群：（1，3，5，7，9），（11，13，15，17，19）， (3)由于2007排在（1）中的第1004个，因此2007是分群数列（3）中的第201群中的第4个元素。
对照分群数列（2）与（3），容易知道（3）中的第201个群的第4个元素是数列（2）中的第402个群中的第2个元素，所以2007是分群数列（2）中第402群中的第2个元素。
（II）对分偶数和奇数两种情况进行讨论。
若为偶数，则，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第3，4，5个元素，由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的元素之和为；若为奇数，设，则数列（2）的第群的元素是数列（3）的第群的第1，2个元素。
由于数列（3）的第群的5个元素之和是，所以数列（2）中的第群的元素之和为。
例7．数列：1，9，8，5，……，其中是的个位数字（），试证明：是4的倍数。
证明：数列中为奇或偶数时，分别记为1，0，则得数列：1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；1，1，0，1，0，1，1，0，0，1，0，0，0，1，1，1；…且与的奇偶性相同。
由于数列，的定义及前面得到的新数列的一些项，可见是以15为周期的周期数列，即得，而，，……，，于是……即在1985到2000的这16项中，奇数、偶数各有8项，由于偶数的平方能被4整除，奇数的平方被4除余1，由此命题得证。
例8．已知，，，试证：对于一切，所有的项都不是4的倍数。
证明：方法一：由题设中的递推关系，知的奇偶性只有三种情况：奇，偶，奇；偶，奇，奇；奇，奇，偶。
均不是4的倍数。
下面证明中的所有项都不是4的倍数。
假设存在是4的倍数的最小下标，则，且均为奇数，为偶数。
由于和，得所以是4的倍数，与所设的矛盾！因此命题得证。
方法二：由于该数列不是周期数列，但模4后得到的数列是周期数列，从开头的几项1，2，7，29，22，23，49，26，－17，……模4后得1，2，3，1，2，3，1，2，3，……发现这是一个周期为3的周期数列。