Mathematica在数值分析中的应用 数学软件与数学实验 教学课件

插值的任务就是由已知的观测点(xi,yi)为物理量(未 知量),建立一个简单的、连续的解析模型g(x) ，以 便能根据该模型推测该物理量在非观测点处的特性。
●
y
●
● y=f(x)
y2 ● y1
y0
● g(x) yn
o x0 x1 x2
xn
x
（2）拟合法的基本思想
已知数据表
xi
x1 x2 … xn
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
六、插值法的一般定义
设y 函 f(x )在 数a 区 ,b 上 间 有 ,且已知定 在点 义
a x 0 x 1 x n b 上的值 : y 分 0,y1, 别 ,yn,为
若存在一简单 函数 P（x） ,使
P(xi)yi
( i 0 , 1 ,2 ,n )
L 1(x)x xkk 11 x xkykxx k1 xx kkyk1
(两点式)
若令
lk(x)xxkxxkk11,
lk1(x)
xxk xk1 xk
线性插值 基函数
在节x点 k及xk1上满足Leabharlann Baidu件
lkxk1,
lk(xk1)0;
1
lk1 ( x)
lk1 xk 0, lk1 xk1 1.
lk (x)
进而求得
y* Ln(x*)
二、一般插值多项式的构造
已知 n+1个节点 (x j,yj)(j 0 ,1 , n ,其中 x j 互不相同，不妨设 a x 0 x 1 x n b ),
要 求:形 如
Pn(x)anxnan1xn1 a1xa0
的插值多项式
先讨论 n1的简单情形，
假 定 给 定 [xk,区 xk1]间 及 端 点 函 数 值
下面两种办法常用来确定经验函数y=g(x)
（1）插值法
（2）拟合法
根据问题的不同，有时要用插值技术来解决， 有时则应该采用拟合的方法才合理。
（1）插值法的基本思想
已知数据表
xi
x1 x2 … xn
f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
求一个经验函数y=g(x)，使g(xi)=f(xi), i=1,…n.
相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)为 分 段 多 项 式 ， 就 分称 段为 插 值 。
若P( x)为三角多项式， 就称为三角插值。
Lagrange
插值
一、一般插值多项式的原理
定理1 设有n+1个互不相同的节点 (xi,yi) (i0,1 ,2,.n .).
则存在唯一的多项式：
L n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 . . a n . x n ( 1 )
如图所示: y kf(x k)， y k 1f(x k 1 ),
要求线性插值多项L1式(x)， 使它满足
L 1 (x k ) y k ,L 1 (x k 1 ) y k 1 .
yk
xk
y f(x)
yk
yL1(x)
x k1
L1(x)ykx yk k 1 1 x yk k(xxk) ( 点斜式),
使得 L n ( x j) y j
( j 0 , 1 ,2 ,n .).( . 2 )
证明 构造方程组
a0a1x0a2x02...anx0n y0
a0 a1x1a2x12...anx1n y1
(3)
a0a1xna2xn2...anxnn yn
令： 1
A
1
x0
x1
x x
n 0
n 1
求任一插值点 x*( xj )处的插值 y * .
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
五、求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y f (x),通过全部节点, 即
f(x j) y j (j 0 ,1 , n ) 再用 f (x) 计算插值，即 y* f (x*).
y*
y1
确L 定 2(x)的表达式，定 只系 要数 利法 用确 待定基
lk1(x),lk(x)及lk1(x),使它们在节点上 件满足条
lk1(xk1)1, lk1(xj)0 lk(xk)1,lk(xj)0 lk1(xk1)1， lk1(xj)0
(jk,k1);
(jk1,k1);
(jk1,k).
例 如 :求lk1(x)，
0 xk
x k1
L 1 ( x ) y k l k ( x ) y k 1 l k 1 ( x ) 称为线性插值多项式
n 2的情况可类似地讨论
假定插值节点为
xk1,xk,xk1,要 求 二 次 插L 值 2(x多 ),使项 它式 满 足
L2(xj )yj
(j k1,k,k1).
事: 实 y上 L 2(x )就 是 通 x k 1,y过 k 1)(,x k三 ,yk)(,x k 点 1,yk 1（ ) 的抛物线。
则称P(x)为f(x)的插值函 , 点 数x0,x1, ,xn称为
节点， 包含插值节点[的 a,b]区 称间 为插值区间
求插值函P数(x)的方法称为插值法。
若P(x) 是次数不n超 的过 代数多项式，即
P ( x ) a 0 a 1 x a n x n ,
其中 ai为实数， P(就 x)为称插值多项式
插 值 法 Mathematica Mathematica
For
在数值分析
Windows 中的应用
一、数学的期望
期望 函数关系
期望 实际问题
期望
试验数据 观测数据
内在规律
二、数学的苦恼
实验数据是否存在内在规律? 实验数据的内在规律是什么? 实验数据的内在规律是否有函数解析式? 反映内在规律的解析式是什么?
f(xi) f(x1) f(x2) … f(xn)
求一个经验函数y g(x)，使
y
n
(g(xi)f(xi))2 min
i=1
● (xn ,yn)
y=g(x)
●
●
(x2 ,y2)
● (x0 ,y0)
● (x1 ,y1)
o
x0
x1
x2
xn
x
四、插 值 问 题 的 提 法
已知 n+1个节点 (xj,yj)(j 0 ,1 , n ,其中 x j 互不相同，不妨设 a x 0 x 1 x n b ),
1
xn
x
n n
a 0
X
a
1
a
n
y0
Y
y
1
y
n
方程组的矩阵形式：
A X Y
(4 )
n n1
由于A (xi xj)0 i1 j0
所以方程组（4）有唯一解。
从 而 L n (x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 . .a .n x n
证
唯一 . 存在
毕
思 考
如何确定
L n ( x ) a 0 a 1 x a 2 x 2 . .a . n x n