常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题

同学个性化教学设计

年 级： 教 师: 王鑫 科 目： 数学 班 主 任： 日 期: 时 段: 课题 常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题

教学目标

高考模拟题训练

重难点透视 时间分配、知识点综合应用和方法训练

教学内容

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．0 2．i - 3.

5 4. 11 5．

8

15

6．2 7．(,2]-∞ 8．7 9．p 10．()1、()3、()4

11．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12．2324n n ⋅-- 13． 442+ 14．56⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．解：（1）∵π,(0,)2αβ∈，从而ππ

22

αβ-<-<．

又∵1tan()03αβ-=-<，∴π

02

αβ-<-<． …………………………4分

∴10

sin()10

αβ-=-

． ………………………………6分 （2）由（1）可得，310

cos()10

αβ-=

． ∵α为锐角，3sin 5α=，∴4

cos 5

α=． ……………………………………10分

∴cos cos[()]cos cos()sin sin()βααβααβααβ=--=-+- …………12分 =4310310()510510⨯+⨯-=910

50

． …………………………14分 16．证明：

（1）因为点M ，N 分别是P A ，PB 的中点，所以MN ∥AB ．…………………2分

因为CD ∥AB ，所以MN ∥CD ．

又CD ⊂平面PCD ， MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD . ……4分 （2）因为AD ⊥AB ，CD ∥AB ，所以CD ⊥AD ，

又因为PD ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，

所以CD ⊥PD ，又AD PD D = ，所以CD ⊥平面P AD ．……………6分 因为MD ⊂平面P AD ，所以CD ⊥MD ，

所以四边形MNCD 是直角梯形．……………………………………8分

（3）因为PD ⊥底面ABCD ，所以∠P AD 就是直线P A 与底面ABCD 所成的角，从而∠P AD =

60 ． …………………………9分

在Rt △PDA 中，2AD =，6PD =，22PA =，2MD =． 在直角梯形MNCD 中，1MN =，3ND =，3CD =，22()6CN MD CD MN =

+-=，

从而222DN CN CD +=，所以DN ⊥CN ． …………………………11分

在Rt △PDB 中，PD = DB =6， N 是PB 的中点，则DN ⊥PB ．……13分 又因为PB CN N = ，所以DN ⊥平面PCB ． …………………14分

17．解：（1）设AF y =，则2

2

x y x y l ++

+=，整理，得222()

l lx

y l x -=

-．………3分 2(2)

4(12)

l l x S lx x xy --==，](0,x b ∈． …………………………………4分

（2）()()]22'

222422222,(0,4224l x lx l l S x l x l x b x l x l ⎛⎫⎛⎫

-+-+=⋅=-⋅-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

∴当22

2

b l -≤

时，'0S >，S 在](0,b 递增，故当x b =时，()()max 24bl b l S b l -=

-； 当222b l ->

时，在220,2x l ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭上，'

0S >，S 递增，在22,2x l b ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭

上，'0S <，S 递减，故当222x l -=

时，2

max 3224S l -=. 18．解：（1） 2250AF BF += ，225AF F B ∴= .()5a c a c ∴+=-，化简得23a c =，故椭圆E 的离心率为2

3

.

（2）存在满足条件的常数λ，4

7

=-l .点()1,0D 为线段2OF 的中点，2c ∴=，从而3a =，5b =，左焦点

()12,0F -，椭圆E 的方程为22

195

x y +=.设()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，则直线MD 的方程为

1111x x y y -=+，代入椭圆方程22

195

x y +=，整理得，2112115140x x y y y y --+-=.()1113115y x y y x -+=- ，13

145y y x ∴=-.从

而131595x x x -=

-，故点1111594,55x y P x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭.同理，点2222594,55x y Q x x ⎛⎫- ⎪--⎝⎭

. 三点M 、1

F 、N 共线，12

1222y y x x ∴=++，从而()1221122x y x y y y -=-.从而()()()()12

1221121234121212341212124457557595944455y y x y x y y y y y y y x x k k x x x x x x x x x x -

-+-----=====--------.故21407

k

k -=，从而存在满足条件的常数λ，4

7

=-l .

19．解：（1）由题得225,3a b ==，所以123a b ==，从而等差数列{}n a 的公差2d =，所以21n a n =+，从而

349b a ==，所以13n n b -=． ……………………3分

（2）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，则15a d =-，13

b q

=

，35a d =+，33b q =. 因为112233,,a b a b a b +++成等比数列，所以2113322()()()64a b a b a b +⋅+=+=．

设1133a b m a b n +=⎧⎨+=⎩，*,m n N ∈，64mn =，则3

553d m

q d q n ⎧-+=⎪⎨⎪++=⎩

，整理得，2()5()800d m n d m n +-++-=.

解得2(10)36

2

n m m n d -++--=（舍去负根）.

35a d =+ ，∴要使得3a 最大，即需要d 最大，即n m -及2

(10)m n +-取最大值.*,m n N ∈ ，64mn =， ∴当且仅当64n =且1m =时，n m -及2

(10)m n +-取最大值.

从而最大的63761

2

d +=

， 所以，最大的373761

2

a +=

………16分 20．解：（1）若a =1, 则()1ln f x x x x =--．

当[1,]x e ∈时, 2

()ln f x x x x =--,2'

121

()210x x f x x x x

--=--=

>， 所以()f x 在[1,]e 上单调增, 2max ()()1f x f e e e ∴==--. ……………2分 （2）由于()ln f x x x a x =--，(0,)x ∈+∞．