“对数”教学设计及评析

“对数”教学实录与反思

陶兆龙（江苏省南京市金陵中学）

【《中国数学教育》杂志】教学内容

苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学1（必修）》中的“2.3.1 对数”。

教学目标

理解对数的概念；会熟练地进行指数式与对数式的互化；体验对数概念的抽象、概括过程，感受数学化的一般途径。

教学重点与难点

对数概念。

教学过程

一、提出问题

问题1：截止到1999年底我国人口约13亿，如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么

(1)10年后我国人口将达到多少亿？

(2)经过多少年后我国人口将达到16亿？

(学生给出第(1)问的结果13(1+1%)10，第(2)问没有结果。教师要求学生用计算器算出结果。)

师:能否列出第(2)问的式子？

生1: 13(1+1%)n=16。

师:由上述关系，n的值确定吗？

生1:由实际意义可知是确定的.

师:确定就好，与第(1)问相比，第(2)问的麻烦在什么方面？

生2:第(2)问与第(1)问相反，解决第(1)问时代入求解即可，解决第(2)问时不好代入.

师:说得好! 第(2)问与第(1)问相反的意思，实际上是说第(2)问是指数运算的逆运算!那么解决第(2)问时，真的不好代入吗？能否代一些试试？

生2:可以猜。

师:对，可以借助于计算器进行估算!估计一下结果为多少。

【设计意图】问题1中的两小问，第(1)问是学生已掌握的指数运算问题，第(2)问是与此相关的问题，可以用估算的方法解决，但学生不是很熟悉.由此引入新课，内容上是以旧引新，而背景真实，较贴近生活，在解决问题的过程中，估算的思想方法也得到了较好的训练.

问题2：从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花! 那么，这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法:在动植物的体内都含有微量的放射性14C，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变.

考古学家由14C的半衰期推知:每过一年，14C的残留量变为原来的99.99%，并且发掘出的这批古莲子中14C的残留量占原来的87.9%，那么这些古莲子是多少年前的遗物呢？

【设计意图】选问题2的主要目的在于揭示估算的局限性，同时这一问题具有较好的情境性，容易诱发学生积极的学习心向.

生:可以列出式子0.9999x=0.879，再估计。

(在估算时遇到较大阻碍，由于数字较小，估算的次数明显增多。)

师:估算是一种方法，但有时运算量较大。

师:解决了上面的三个问题之后，我们来作一小结.我们看到实际中有很多问题，最终转化为指数运算的逆运算，即“已知底数和幂的值，求指数”的问题.通过估算可以求出问题的近似解，不过计算量较大.由于是指数运算的逆运算，并且在生产和生活中常常会遇到这类问题，因此，我们需要研究这种运算，寻求解决这类问题的新方法.

【设计意图】这里的小结可以帮助学生进一步弄清问题，让学生从整体上把握知识，这是面向全体的一种教学策略.在这里还起着承上启下、自然过渡的作用.

二、解决问题

师:上述问题中的数字比较复杂，直接研究不方便，我们从“已知底数和幂的值，求指数”这一类问题中的简单情况开始研究。这样做合理吗？

生(点头示意):合理.

师:好，那我们看问题3.

【设计意图】让学生在课堂上思考出这种研究方法是不现实的，这里教师给出方法后让学生反思更切合教学实际.

问题3：(1)若 2( )=1，则括号里与1相对应的数为_____;(答案:0。)

(2)若 2( )=16，则括号里与16相对应的数为____;(答案:4。)

(3)若 2( )= 41，则括号里与4

1相对应的数为____;(答案:-2。) (4)若 2( )=0，则括号里与0相对应的数为____;

生3:不存在，正数的任何次幂都大于零。

(5)若2( )=-1，则括号里和-1相对应的数为____;

生3:同上，不存在。

(6)若2( )=3，则括号里和3相对应的数为____;

生4:存在，可以求出近似解.

师:为什么存在？

生4:由指数函数的值域及单调性可以推出.

师:能否说一说这个解的特征？

生4:不好说，是一个大于1，小于2的数。

(7)若2( )=0.3，则括号里和0.3相对应的数为____;

生5:是一个大于-2，小于0的数.

【设计意图】 回答以上几个问题时，把机会优先让给中等生和学困生，以使更多的学生参与到数学活动中来.不应让课堂数学活动异化为尖子生的数学活动，应经常让尖子生作为数学活动的替补。

师:在解决了上述问题后，能否谈谈对指数运算的逆运算的初步认识

生6：以2为底的幂，当幂的值小于等于零时，不存在与之相对应的指数;当幂的值大于零时，存在唯一一个与之相对应的指数.

生7:当幂的值大于零时，还可以根据它与1的大小关系看出所对应的指数的范围。

生8:底为其他正数时，也具有类似的性质

师:就是说可以向一般的情况推广.

师:大家总结得很好!我们求的这些数具有相似的身份，反映了一类关系，即逆运算的结果。为方便进一步研究问题，需要用适当的符号来表示它们，并且要给它们命名。我们先讨论怎样表示这些数？如2( )=3，则括号里和3相对应的数怎样表示？

(在刚才总结时已感到说起来很不方便.)

生9: 2｜3。

生:容易混淆。

生9:改为(2｜3)。

师:什么意义？

生9:底为2，幂的值为3，所对应的指数。

师：2( )=16，则括号里和16相对应的数怎样表示？

生9:(2｜16)=4。

生10:3

2D ，1 <3

2D <2，4D 162=， -1D 212=，-1

2D 不存在……

生11:2□(3)或者2○(3)，2□(16)=4， 2□(

81)=-3，2○(1)=0…… 【设计意图】提供合适的机会和平台让学生展示创新能力。事实表明，学生是有一定创造潜能的。三种符号均由学生在课堂上独立创造或相互讨论发现，使得教者再也拿不出更好的表示符号.中等生与学困生表现出了较大的热情与较好的创造性.

师:再举一些底为其他数的例子。

(教师要学生写出相应的指数式。经过讨论学生给出(2｜8)=3，1D 3

3=，3D 273=，4

□(16)=2，5□(125)=3，139D -2=，4923D 2=，）（21□(8

1)=3。) 师:比较一下，哪种好？喜欢哪一种？

生:第二、三两种.

师: 怎样命名？

生:与3对应的数……3的对数(2为底)。

师:用这一命名重新表述上述结论，并就第二种或第三种符号来说明.注意和指数式对照。 用符号表示开始几个问题的答案。

……

师: 我们研究了简单的对数问题，为了解决更多的问题，要将问题一般化.由一般的指数式能将问题一般化吗？

生:若a x =b ，则x D b a =或若a x =b ，则a □(b )=x .

师:我们来看看教材上是如何定义指数运算的逆运算的。

三、建立理论

对数的概念：一般地，如果a ( a ＞0，a ≠1 )的b 次幂等于N ，即a b ＝N ．那么就称b 是以a 为底的N 的对数，记作log a N ＝b ，其中，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

师:“log”是拉丁文logarithm(对数)的缩写。比较一下我们前面讨论的结果与教材的定义，看看有无差异.

生:第二种几乎与上述定义相同，第一与第三种表示方法比较直观。

师: 我们以后表示对数，当然要采用书上的符号，但我们自己创造的符号，可以帮助理解对数的意义。由定义可知:(1)log a N=b ⇔a b =N ，(2)求以a 为底的N 的对数就是求a 的多少次幂等于N 。由前面的讨论可以得知零和负数没有对数；1的对数是零，即log a 1=0；以a 为底的a 的对数是1，即log a a =1。

教师提出问题: (1)定义中为何规定a ＞0，a ≠1？(规定a ＞0的理由与指数相同.a =1时，因1的任何次方都等于1，问题无研究的价值.)

(2)用对数符号表示问题1、问题2和问题3的答案. (在学生回答了问题后，指明本节课还不能彻底解决这些问题，等到学完对数的运算性质后，就可以较容易地解决上述问题。)

【设计意图】这里的说明是为了前后呼应.由于时间所限，学生是可以理解的，如果不