2018-2019学年河南省郑州市八校联考高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)

2018-2019学年河南省郑州市八校联考高二（下）期中数
学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1.研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，有以下结论
①残差平方和越小的模型，拟合的效果越好；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越小说明拟合效果越好；
③在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平
均增加0.2个单位
④若变量y和x之间的相关系数为r=-0.9462，则变量y和x之间的负相关很强，以
上正确说法的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.下面几种推理中是演绎推理的为（）
A. 高二年级有21个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过
50人
B. 猜想数列，，，的通项公式为
C. 半径为r的圆的面积，则单位圆的面积
D. 由平面三角形的性质，推测空间四面体性质
3.若z=+iz（i是虚数单位），则|z|=（）
A. B. 2 C. D. 3
4.
如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为：=x+，则=（）
A. B. C. D.
5.设a，b R，现给出下列五个条件：①a+b=2②a+b＞2③a+b＞-2④ab＞1⑤log a b＜0，
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为（）
A. ②③④
B. ②③④⑤
C. ①②③③⑤
D. ②⑤
6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框内可填入的条件是
（）
A. ？
B. ？
C. ？
D. ？
7.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=cos2x按伸缩变换变换为（）
A. B. C. D.
8.参数方程（α为参数）的普通方程为（）
A. B.
C. D.
9.正整数按如表的规律排列，则上起第2005行，左起第2006列的数应为（）
A. B. C. D.
10.已知z C，|z-2|=1，则|z+2+5i|的最大值和最小值分别是（）
A. 和
B. 3和1
C. 和
D. 和3
11.已知椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，P为椭圆上的一个动点，则P与定点B
（-1，0）连线距离的最大值为（）
A. B. 2 C. D. 3
12.过抛物线（t为参数）的焦点的弦长为2，则弦长所在直线的倾斜角为（）
A. B. 或 C. D. 或
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.已知复数z=lg（m2+2m-14）+（m2-m-6）i，若复数z是实数，则实数m=______
14.
若y与x的回归直线方程为=3x-，则m的值是______．
15.如果M为椭圆：上的动点，N为椭圆：上的动点，那么
的最大值为______．
16.如图所示，在三棱锥S-ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面
ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是______．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.当实数m为何值时，复数z=m2-m-6+（m2+5m+6）i分别是
（1）虚数；
（2）纯虚数；
（3）实数．
18.（1）求证：+＞2+；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：和中至少有一个小于2．
19.为了解某校学生参加社区服务的情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查．已知
该校共有学生960人，其中男生560人，从全校学生中抽取了容量为n的样本，得到一周参加社区服务的时间的统计数据如表：
（）求，；
（2）能否有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关？
20.
（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程；
（2）若近几年该农产品每千克的价格v（单位：元）与年产量y满足的函数关系式为v=4.5-0.3y，且每年该农产品都能售完．
①根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2019（t=7）年该农产品的产量；
②当t（1≤t≤7）为何值时，销售额S最大？
21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数）．以坐标原
点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）=1．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）已知直线l与y轴交于点M，且与曲线C交于A，B两点，求||的值．
22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数且t＞0，α
（0，）），曲线C2的参数方程为（β为参数且β（-，））．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为ρ=1+cosθ（θ（0，）），曲线C4的极坐标方程为ρcosθ=1．
（Ⅰ）求C3与C4的交点到极点的距离；
（Ⅱ）设C1与C2交于P点，C1与C3交于Q点，当α在（0，）上变化时，求|OP|+|OQ|的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
解：①可用残差平方和判断模型的拟合效果，残差平方和越小，模型的拟合
效果越好，故①正确；
②用相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，故②错误；
③在回归直线方程中，当解释变量x每增加1个单位时，
预报变量平均增加0.2个单位，故③正确；
④若变量y和x之间的相关系数为r=-0.9462，r的绝对值趋向于1，
则变量y和x之间的负相关很强，故④正确．
故选：C．
可用残差平方和判断模型的拟合效果，可判断①；由相关指数R2来刻画回归效果，R2越大说明拟合效果越好，可判断②；由线性回归直线的方程特点，可判断③；由相关系数r的绝对值趋向于1，可判断④．
本题考查命题的真假判断，主要是线性回归直线的特点和线性相关性的强弱、相关指数和系数的大小和模型的拟合度，考查判断能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】
解：对于A，高一参加军训有12个班，1班51人，2班53人，三班52人，由此推测各班都超过50人，是归纳推理，
对于B，归纳出{a n}的通项公式，是归纳推理．
对于C，半径为r的圆的面积S=πr2，则单位圆的面积S=π，演绎推理的；
对于D，由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质，为类比推理；
故选：C．
根据归纳推理，类比推理和演绎推理的定义分别进行判断即可．
本题主要考查命题真假的判断，涉及归纳推理，类比推理和演绎推理的判断，根据相应的定义是解决本题的关键．比较基础．
3.【答案】C
【解析】
解：∵z=+iz，∴z（1-i）=，
则z=，
∴|z|=||=．
故选：C．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由商的模等于模的
商求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．
4.【答案】D
【解析】
解：根据表中数据，
计算==3，
==5，
且线性回归方程=x+过点（，），
所以==．
故选：D．
根据所给的三组数据，求出平均数，得到数据的样本中心点，再根据线性回
归直线过样本中心点，即可求出系数的值．
本题考查了线性回归方程过样本中心点的语言问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】
解：①当a=b=1时，满足a+b=2，但此时推不出结论，
②若a≤1，b≤1，则a+b≤2，与a+b＞2，矛盾，即a+b＞2，可以推出，
③当a=，b=时，满足条件a+b＞-2，则不可以推出，
④若a=-2，b=-1．满足ab＞1，但不能推出结论，
⑤由log a b＜0得log a b＜log a1，若a＞1，则0＜b＜1，若0＜a＜1，则b＞1，可以推出结论．
故可能推出的有②⑤，
故选：D．
根据条件分别利用特殊值以及反证法进行判断即可．
本题主要考查合情推理的应用，利用特殊值法以及反证法是解决本题的关键．比较基础．
6.【答案】B
【解析】
解：根据程序框图：
执行第一次循环时，S=0，i=1
所以：S=0+=，
执行第二次循环时：S==，
…，
当i＞100时，S==，
故选：B．
直接利用程序框图的应用和裂项相消法的应用求出结果
本题考查的知识要点：程序框图的应用，循环结构的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
7.【答案】A
【解析】
解：∵伸缩变换，
∴x=x′，y=y′，
代入y=cos2x，可得y′=cosx′，即y′=cosx′．
故选：A．
把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．
本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：x=sin（+）[-.]，x21+sinα，
y2=2+sinα，∴y2-x2=1（|x|），
故选：C．
先得x[-，再消去α可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．
9.【答案】D
【解析】
解：由给出排列规律可知，
第一列的每个数为所该数所在行数的平方，
而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．
依题意有，左起第2006列的第一个数为20052+1，
故按连线规律可知，
上起第2005行，左起第2006列的数应为20052+2005=2005×2006．
故选：D．
由给出排列规律可知，第一列的每个数为所该数所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1．由此能求出上起第2005行，左起第2006列的数．
本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．其中分析出数的排列规律是解答的关键．
10.【答案】A
【解析】
解：z C，|z-2|=1，设z=x+yi，则表示z在以（2，0）为圆心1为半径的圆上，
则|z+2+5i|表示z到（-2，-5）的距离，所以它的最大值为
，和最小值；
故选：A．
根据复数运算的几何意义，求出最值．
本题考查了复数运算的几何意义的运用；关键是明确已知等式和所求的几何意义．
11.【答案】C
【解析】
解：椭圆+x2=l（a＞1）的离心率e=，
可得：，解得a=，
椭圆方程为：+x2=l，设p（cosθ，sinα），
则P与定点B（-1，0）连线距离：==
，
当cosθ=时，取得最大值：．
故选：C．
利用椭圆的离心率求出a，然后设出P，然后利用两点间距离公式，转化求解最值即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．
12.【答案】B
【解析】
解：由消去t得y2=x，F（，0），
显然所求直线有斜率，设弦长所在直线的方程为：y=k（x-）并代入y2=x得k2x2-（k2+）x+=0，
根据抛物线的定义得x1+x2+p=+=2，解得k2=3，k=，∴倾斜角为
或．
故选：B．
消参变普通方程后与直线方程联立，根据韦达定理以及抛物线的定义列式可
得斜率k和倾斜角．
本题考查了抛物线线的参数方程，属中档题．
13.【答案】3
【解析】
解：由题意，
，解得m=3．
故答案为：3．
由对数式的真数大于0，复数的虚部等于0列式求解．
本题考查复数的基本概念，考查对数函数的定义域的求法，是基础题．
14.【答案】4
【解析】
【分析】
本题考查了线性回归直线的性质，属于基础题.熟练掌握回归直线必过样本的中心点是解答本题的关键．
利用平均数公式计算样本中心点的坐标，根据回归直线必过样本的中心点可
得答案．
【解答】
解：由题意，得=1.5，=，
∴样本中心点坐标为（1.5，）.
∵回归直线必过样本中心点，y与x的回归直线方程为=3x-，
∴=3×1.5-1.5，
∴m=4.
故答案为4．
15.【答案】15
【解析】
解：设M（5cosθ，3sinθ），N（3cosφ，5sinφ），
那么=15cosθcosφ+15sinθsinφ
=15cos（θ-φ）．
当θ-φ=2kπ，k Z时，的最大值为：15．
故答案为：15．
借助椭圆的参数方程，通过三角函数的有界性可求结果．
本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了平面向量的数量积运算，是基础题．
16.【答案】
【解析】
解：在△DEF中，由正弦定理，得．
于是，类比三角形中的正弦定理，
在四面体S-ABC中，我们猜想成立．
故答案为：．
由类比推理猜想结论，结论不一定正确．
本题考查了类比推理．属于基础题．
17.【答案】解：（1）由m2+5m+6≠0，得m≠-2且m≠-3；
（2）由，得m=3；
（3）由m2+5m+6=0，得m=-2或m=-3．
【解析】
（1）由虚部不为0求解；
（2）由实部为0且虚部不为0求解；
（3）由虚部为0求解．
本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题．
18.【答案】解：（1）要证+＞2+，
只需证（+）2＞（2+）2；
即证13+2＞13+2，
即证＞
而上式显然成立，故原不等式成立．
（2）证明：假设≥2，≥2，
∵a＞0，b＞0，
∴1+b≥2a，1+a≥2b，
∴1+b+1+a≥2（a+b）
即a+b≤2
这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立
【解析】
（1）利用分析法，和两边平方法，
（2）利用了反证法，假设假设≥2，≥2，推得即a+b≤2，这与已知a+b＞2矛盾，故假设不成立，从而原结论成立
本题主要考查了推理论证的两种方法分析法和反证法，属于中档题．
19.【答案】【解】（1）由已知，该校有女生400人，故，得m=20，…（3
分）
从而n=20+8+12+8=48…（5分）
2
＜…（11分）
所以没有95%的把握认为该校学生一周参加社区服务时间是否超过1小时与性别有关．…（12分）
【解析】
（1）由已知，该校有女生400人，故，得m=20，…（3分）从而
n=20+8+12+8=48…（5分）
（2）计算粗观测值，结合临界值可得．
本题考查了独立性检验，属中档题．
20.【答案】【解答】
解：（1）由题意可知，=×（1+2+3+4+5+6）=3.5，=×（6.6+6.7+7+7.1+7.2+7.4）=7，
（t i-）（y i-）=（-2.5）×（-0.4）+（-1.5）×（-0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4=2.8，=（-2.5）2+（-1.5）2+（-0.5）2+0.52+1.52+2.52=17.5；
===0.16，
又=-=7-0.16×3.5=6.44，
得y关于t的线性回归方程为=0.16x+6.44；
（2）①由（1）知=0.16x+6.44，当t=7时，=0.16×7+6.44=7.56，
预测2018年该农产品的产量为7.56万吨；
②当年产量为y时，销售额S=（4.5-0.3y）y×103=（-0.3y2+4.5y）×103（万元），
当y=7.5时，函数S取得最大值，又因y{6.6，6.7，7，7.1，7.2，7.4，7.56}，
计算得当y=7.56，即t=7时，即2019年销售额最大．
【解析】
【分析】
（1）求得样本中心点和回归系数，利用最小二乘法即可求得线性回归方程；（2）①由（1）回归方程，计算t=7时得2019年该农产品的产量；
②求得销售额S，得y=7.5，此时函数S取得最大值，根据y的取值范围得t=7时，即2019年销售额最大．
本题考查利用最小二乘法求线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查
转化思想，是中档题．
21.【答案】解：（1）直线l的极坐标方程为ρ（cosθ-sinθ）=1．
转换为直角坐标方程为：x-y-1=0．
曲线C的参数方程为，（θ为参数）．
转换为直角坐标方程为：x2+y2=9．
（2）点M（0，-1），
故直线的参数方程为：（t为参数），
代入圆的方程转换为：，（t1和t2为A、B对应的参数），
所以：，．
故：．
【解析】
（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一
元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属
于基础题型．
22.【答案】解：（Ⅰ）联立曲线C3，C4的极坐标方程，，
得
ρ2-ρ-1=0，
解得ρ=，即交点到极点的距离为．
（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为θ=α，（，，ρ＞0），
曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ，θ（0，），联立得ρ=2sinα，α（0，），
即|OP|=2sinα，α（0，），
曲线C1与曲线C3的极坐标方程联立得ρ=1+cosα，α（0，），
即|OQ|=1+cosα，α（0，），
所以|OP|+|OQ|=1+2sinα+cosα=1+sin（α+φ），其中φ的终边经过点（2，1），
当α+φ=+2kπ，k Z，即α=arcsin时，|OP|+|OQ|取得最大值1+．
【解析】
（Ⅰ）联立C3，C4的极坐标方程消去极角后，解关于极径的一元二次方程可得C3与C4的交点到极点的距离；
（Ⅱ）分别联立C1与C2，C1与C3的极坐标方程解得P，Q两点的极径，即|OP|，|OQ|再相加求最大值．
本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．。