培优锐角三角函数之欧阳光明创编

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三角函数常用公式(表格)之欧阳光明创编

同角三角函数的基本关系式

欧阳光明

（2021.03.07）

倒数关系:

商的关系：平方关系：

tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝

secα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝

cscα/secα

sin2α＋cos2α＝1

1＋tan2α＝sec2α

1＋cot2α＝csc2α诱导公式

sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－

tanα

cot（－α）＝－cotαsin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanαsin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanαsin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

sin（3π/2－α）＝

－cosα

cos（3π/2－α）＝

－sinα

tan（3π/2－α）＝

cotα

cot（3π/2－α）＝

tanα

sin（3π/2＋α）＝

－cosα

cos（3π/2＋α）＝

sinα

tan（3π/2＋α）＝

－cotα

cot（3π/2＋α）＝

－tanα

sin（2π－α）＝－

sinα

cos（2π－α）＝

cosα

tan（2π－α）＝－

tanα

cot（2π－α）＝－

cotα

sin（2kπ＋α）＝

中考数学培优(含解析)之锐角三角函数及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC＝OD＝10分米，展开角∠COD＝60°，晾衣臂OA＝OB＝10分米，晾衣臂支架HG ＝FE＝6分米，且HO＝FO＝4分米．当∠AOC＝90°时，点A离地面的距离AM为_______分米；当OB从水平状态旋转到OB′（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处，则B′E′﹣BE为_________分米．

【答案】553

【解析】

【分析】

如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM，再分别求出BE，B′E′即可．

【详解】

解：如图，作OP⊥CD于P，OQ⊥AM于Q，FK⊥OB于K，FJ⊥OC于J．

∵AM⊥CD，

∴∠QMP＝∠MPO＝∠OQM＝90°，

∴四边形OQMP是矩形，

∴QM＝OP，

∵OC＝OD＝10，∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∵OP⊥CD，

∠COD＝30°，

∴∠COP＝1

∴QM＝OP＝OC•cos30°＝3

∵∠AOC＝∠QOP＝90°，

∴∠AOQ＝∠COP＝30°，

∴AQ＝1

OA＝5（分米），

∴AM＝AQ＋MQ＝5＋3

∵OB∥CD，

∴∠BOD＝∠ODC＝60°

在Rt△OFK中，KO＝OF•cos60°＝2（分米），FK＝OF•sin60°＝23（分米），

在Rt△PKE中，EK＝22

-＝26（分米），

EF FK

∴BE＝10−2−26＝（8−26）（分米），

北师大九年级数学(上)之欧阳法创编

第一章证明（二）3

三角形有关性质、定理及反证法3 知识要点3

易错易混点4

典型例题4

学习自评5

线段的垂直平分线与角平分线7

知识要点7

易错易混点7

典型例题8

学习自评9

第二章一元二次方程13

一元二次方程13

知识要点13

易错易混点13

典型例题13

学习自评14

解一元二次方程的方法17

知识要点17

易错易混点18

典型例题18

学习自评19

一元二次方程的应用21

知识要点21

易错易混点21

典型例题21

学习自评22

第三章证明（三）25

平行四边形25

知识要点25

易错易混点25

典型例题25

学习自评26

特殊平行四边形28

知识要点28

易错易混点28

典型例题28

学习自评30

第四章试图与投影33

视图的特点与画法错误！未定义书签。

知识要点33

易错易混点33

典型例题34

学习自评35

平行投影与中心投影错误！未定义书签。

知识要点错误！未定义书签。

易错易混点错误！未定义书签。

典型例题错误！未定义书签。

学习自评错误！未定义书签。

第五章反比例函数39

反比例函数及其图像与性质39

知识要点39

易错易混点40

典型例题40

学习自评40

反比例函数的应用44

知识要点44

易错易混点44

典型例题44

学习自评44

第六章频率与概率49

频率与概率的关系49

知识要点49

易错易混点49

典型例题49

学习自评49

用试验的方法求概率50

知识要点50

易错易混点50

典型例题50

学习自评50

第一章证明（二）

三角形有关性质、定理及反证法知识要点三角形的性质与判定：

序号必

记

项

目

必记知识必记内容巧记方法

1 公

理

三角形全等

的判定公理

三边对应相等的两个三角形全等两

边及夹角对应相等的两个三角形全

锐角三角函数培优讲义

讲义编号：组长签字：签字日期：

“∠〞一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠〞的符号就不能省略.

〔2〕正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。 2、坡角与坡度

坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度〔或坡比〕，即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：

〔1〕平方关系： sin 2A + cos 2A = 1； 4、互为余角的两个三角函数关系

假如∠A+∠B=∠90，如此sinA=cosB,cosA=sinB. 5、特殊角的三角函数：

00 300

450

600

sin α

1 2

3 cos α 1 2

3 2

2 2

1 tan α

3 1 〔1〕锐角的正弦值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)；

〔2〕锐角的余弦值随角度的增加(或减小)而减小(或增加)；〔3〕锐角的正切值随角度的增加(或减小)而增加(或减小)。

三、典型例题

考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosB=

，如此AC ：BC ：AB=〔〕 A 、3：4：5 B 、5：3：4 C 、4：3：5 D 、3：5：4

2、锐角α，cos α=3

，sin α=_______，tan α=_______。

3、在△ABC 中，∠C=90°，假如4a=3c ，如此cosB=______.tanA = ______。

4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=1

，如此BC 等于_______。

三角恒等变换公式之欧阳光明创编

三角恒等变换公式

欧阳光明（2021.03.07）

1.两角和与差的三角函数

和（差）角公式：

sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β

tan(α±β)=βαβ

αtan tan 1tan tan ±

倍角公式：

sin2α =2sin αcos α

cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α

tan2α=αα

2tan 1tan 2-

2.和差化积与积化和差公式

积化和差公式：

2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β=sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β=cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式：

sin α+sin β=2sin 2βα+cos 2β

α-

sin α-sin β=2cos 2βα+sin 2β

α-

cos α+cos β=2cos 2βα+cos 2β

α-

cos α-cos β=-2sin 2βα+sin 2β

α-

3.万能公式与半角公式

万能公式：

sin α=2tan 12

tan 22α

cos α=2tan 12

tan 12

2αα

tan α=2tan 12tan 22

半角公式： sin 2cos 12α

-±= cos 2cos 12α

α+±= tan αααcos 1cos 12+-±==ααsin cos 1

-=α

cos 1sin +

著名机构初中数学培优讲义锐角三角函数性质.第01讲(A级).教师版

内容

基本要求

略高要求

较高要求

锐角三角函数

了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值

由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算

能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题

1．掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值； 2．知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律； 3．同角三角函数、互余角三角函数之间的关系； 4．将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．

“正弦”的由来

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表．

课前预习

重难点

中考要求

锐角三角函数

托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC 与∠AOC 对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB 的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib ”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus ”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus 译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．

数学九年级培优第25讲《锐角三角函数》

第二十八章锐角三角函数

第25讲锐角三角函数

知识导航

1．正弦、余弦、正切的概念及表示方法．

2．特殊角的三角函数值．

【板块一】求锐角三角函数值

方法技巧

1．结合图形，理解并牢记三角函数的定义．

2．数形结合法熟记特殊角的三角函数值．

3．求一个角的三角函数值，一般利用已有的或构造的直角三角形，也可以利用等角转化等，结合三角函数定义求解．

题型一紧扣定义求三角函数值

【例1】已知锐角α满足tanα＝1

，求sinα的值．

【解析】在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵tanα＝

=，∴设BC＝x，AC＝2x，∴AB

，∴sin

α===

【点评】由于三角函数的定义是基于直角三角形，所以要画出符合题意的直角三角形，结合勾股定理和三角函教的定义求解．

【例2】如图，在正方形ABCD中，点M为AD的中点，点E为AB上一点，且BE＝3AE，求cos∠ECM 的值．

【解析】首先确定△EMC为直角三角形，设AE＝x，则BE＝3x，AM＝MD＝2x，CD＝4x．∴

AE MD

AM CD

=，又∠A＝∠D＝90°，∴△AEM∽△DMC，可得∠EMC＝90°，由勾股定理可求CM＝

x，CE＝5x，在Rt△CEM中，cos∠ECM

＝CM

=．

题型二等角转换求三角函数值

【例3】如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，点B是y轴左侧⊙A优弧上一点，求tan∠OBC 的值．

A B

A M D

【解析】作直径CD，在Rt△OCD中．CD＝6．OC＝2．∴OD

tan∠CDO＝

＝,由圆周角定理得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC

培优锐角三角函数之欧阳道创编

锐角三角函数

题型：锐角三角函数基本概念(1)

例：已知α为锐角，下列结论：

（1）sin α+cos α=1;（2）若α>45°,则sin α>cos α;（3）若

cos α>21

,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有（）

A.(1)(2)(3)(4)

B.(2)(3)(4)

C.(1)(3)(4)

D.(1)(2)(3) 变式：

1、下列各式中，不正确的是（）

A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin =

D.tan45°>sin45°

2、已知∠A 满足等式

A A cos sin 12=-，那么∠A 的取值范围是（）

A.0°<∠A ≤90°

B.90°<∠A<180°

C.0°≤∠A<90°

D.0°≤∠A ≤90°

3．α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 4。若sin53018\=0.8018，则cos36042\=

题型：锐角三角函数基本概念(2)

例：已知sin α·cos α=81，且45°<α<90°，则COS α-sin α

的值为（） A.23B.23- C.43D.23±

变式：

1、已知△ABC 中，∠C=90°，下列各式中正确的是（）

A.sinA+cosB=sinC

B.sinA+sinB=sinC

C.2cos 2sin C B A +=

D.2tan 2tan C B A +=

2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ，则m,n 的关系式（）

状元之路-初中数学培优-锐角的三角比专项训练题含详细答案

锐角的三角比

第一套：锐角三角函数和函数的图像培优拔尖第二套：《解直角三角形》基础巩固及详细讲解例题

第三套：解直角三角基础试题1

第四套：《解直角三角形》基础测试2

第五套：《解直角三角形》提高测试1

第六套：解直角三角函数培优提高题2

第七套:2016年全国各地中考分类解析——解直角三角形第八套:2017年全国各地中考分类解析——解直角三角形第九套:2018年全国各地中考分类解析——解直角三角形第十套:2019年全国各地中考分类解析——解直角三角形

第一套：锐角三角函数和函数的图像培优拔尖

一、学习目标：

（一）1.理解锐角三角函数定义,会用锐角三角形定义列出函数关系式解直角三角形.

2.了解锐角三角函数的四个同角间的函数恒等式,并会解一些相关的题目.

3.理解锐角三角函数的性质,会比较在某个范围内正弦和正弦,正弦和余弦, 正切和正切,正切和余切的大小,及利用函数值的大小判断角的大小.

4.熟记特殊角的三角函数组,并会准确的计算.

5.会用解直角三角形的有关知识,解某些实际问题.

（二）1.了解平面直角坐标系的有关概念,会由点的位置确定点的坐标,会由点的坐标确定点的位置.

2.理解函数的意义,能根据一个具体的函数解析式,确定自变量的取值范围, 并会由自变量的值求出函数值.

3.掌握正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的概念及性质,会画出图象.

4.能根据不同条件,用待定系数法求函数解析式.

二、基础知识及需说明的问题：

1.利用直角三角形边角之间的关系来解直角三角形,最主要的是记住定义。譬如说,我们要求直角三角形中一个锐角的度数,需根据已知条件是这个角的哪些边来选择函数定义,若已知直角三边形的一个锐角和一边长求另一边长也是如此.

二次函数和锐角三角函数培优

教师辅导教案

授课时间：学员姓名年级初三辅导课目数学

学科教师班主任课时数2h

教学课题二次函数和锐角三角函数

教

学目标1.复习二次函数题型二

2.复习锐角三角函数

教

学重难点1.二次函数性质的应用

2.锐角三角函数的应用

教学内容课堂收获

一、二次函数题型二五、二次函数极值问题

1.二次函数

y ax bx c

=++中，2b ac

=，且0

x=时4

y=-，则（）

y=-

最大 B.

y=-

最小 C.

y=-

最大 D.

y=-

最小

2.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（）

A.最大值

B..最大值

C.最小值

D.有最小值

3.若二次函数

()

y a x h k

=-+的值恒为正值, 则 _____.

0,0

a k

<> B. 0,0

a h

0,0

a k

>> D. 0,0

a k

六、二次函数应用利润问题

4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量

y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）

5.我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元∕件）

① x /元 50 1200 800

人教备战中考数学培优(含解析)之锐角三角函数及详细答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF．（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；

（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由

（3）若|CF﹣AE|=2，EF=23，当△POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．

【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP的长为62

或

【解析】

【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；

（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.

【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，

∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，

∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，

∵△EFK是直角三角形，∴OF=1

EK=OE；

（2）如图2中，延长EO交CF于K，

∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，

∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，

中考数学培优(含解析)之锐角三角函数及详细答案

一、锐角三角函数

1．已知在平面直角坐标系中，点()()()3,0,3,0,3,8A B C --，以线段BC 为直径作圆，圆心为E ，直线AC 交E e 于点D ，连接OD .

（1）求证：直线OD 是E e 的切线；

（2）点F 为x 轴上任意一动点，连接CF 交E e 于点G ，连接BG ：

①当1an 7t ACF ∠=时，求所有F 点的坐标（直接写出）； ②求BG CF

的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①143,031F ⎛⎫

⎪⎝⎭，2(5,0)F ；② BG CF 的最大值为12. 【解析】

【分析】

（1）连接DE ，证明∠EDO=90°即可；

（2）①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作GM BC ⊥于点M ，证明1~ANF ABC ∆∆，得

BG CF ≤，从而得解. 【详解】

（1）证明：连接DE ，则：

∵BC 为直径

∴90BDC ∠=︒

∴90BDA ∠=︒

∵OA OB =

∴OD OB OA ==

∴OBD ODB ∠=∠

∵

EB ED =

∴EBD EDB ∠=∠

∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠

即：EBO EDO ∠=∠

∵CB x ⊥轴

∴90EBO ∠=︒

∴90EDO ∠=︒

∴直线OD 为E e 的切线.

（2）①如图1，当F 位于AB 上时：

∵1~ANF ABC ∆∆ ∴11NF AF AN AB BC AC == ∴设3AN x =，则114,5NF x AF x == ∴103CN CA AN x =-=-

锐角三角函数(培优)

45°、60°（风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ).

知识要点

1、锐角三角函数定义?

2、特殊角的三角函数值 30°、45°、60°、的记忆规律:

3、角度变化与锐角三角函数的关系

当锐角a 在0°s 900之间变化时，正弦（切）值随着角度的增大而增大；余弦（切）值随着角度的增大而减少。 4、同角三角函数之间有哪些关系式

平方关系：sin A + cos A = 1;商数关系：sinA/cosA = tanA ;倒数关系：tanA • tanB = 1; 5、互为余角的三角函数有哪些关系式？

Sin （90°— A ）= cosA ;

cos

（90°—A ）= si n A ; tan

（90°— A ）= cta n A ;

一、选择题 1.

在 Rt △ ABC 中，/ C = 900,Z A =Z B,贝 U si nA 的值是(

).A .丄 B . — C

2 2

在△ ABC 中，/ A = 105°,/ B = 45°, ta nC 的值是(

).A .丄

3•在Rt △ ABC 中,如果各边的长度都缩小至原来的

丄，那么锐角A 的各个三角函数值（

）.

A.都缩小—B .都不变 C

.都扩大5倍D

.仅tan A 不变

5 4.如图，菱形 ABCD 对角线AC = 6, BD= 8, / ABD=

.则下列结论正确的是（

)

3 4 f 3 A . sin =

B. cos =

C . tan =

D . tan =

5.在Rt △ ABC 中，斜边AB 是直角边AC 的3倍，下列式子正确的是（

全等三角形培优之欧阳与创编

2017年初中数学试卷

时间：2021.03.08 创作：欧阳与

一、综合题（共32题；共413分）

1、如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均

不重合，连接BE，DG．

(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG； (2)如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3 ．①求BE的长；②求点A 到BE的距离；

(3)当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数． 2、（2015•恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，

CM=4．

(1)求AD的长；

(2)求阴影部分的面积和直线AM的解析式；

(3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；

(4)在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

3、（2016•安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且

∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直

角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．

(1)求证：△PCE≌△EDQ；

(2)延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：

△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．

4、（2016•成都）如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结

锐角三角函数培优讲义

讲义编号:

组长签字:

学员编号：年级：初三课时数：3

学员姓名：辅导科目：数学学科教师：

课题锐角三角函数

授课日期及时段

教学目标锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值

重点、难点特殊角三角函数值

教学内容

一、疑难讲解

二、知识点梳理

1.锐角三角函数定义

在直角三角形ABC^, Z 0=9(5,设BC=a CA=b AB=q锐角A的四个三角函数是：

(1)正弦定义：在直角三角形中ABC锐A A的对边与斜边的比叫做角A的正弦，记作sinA,

即

sin A = a, c

(2)余弦的定义：在直角三角行ABC锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦，记作cosA, 即

cos A = b, c

(3)正切的定义：在直角三角形ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切，记作tanA,即

, A a

tan A = 一,

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：

(1)锐角/ A必须在直角三角形中，且/ C=90;

(2)在直角三角形ABC中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则，不存在上述关系

注意：(1) sin , cos , tan 都是一个完整的符号，单独的“sin”没有意义，其中前面的一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，的符号就不能省略^ （2）正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，

没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。

2、坡角与坡度

坡面与水平面的夹角称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比为坡度（或坡比），即坡度等于坡角的正切。

3、锐角三角函数关系：

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一、锐角三角函数

1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．

（1）求∠CAO＇的度数．

（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？

（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？

【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

【解析】

试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得

BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；

（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．

试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，

∴sin∠CAO′=，

∴∠CAO′=30°；

（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，

∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，

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