湖南高考数学必考点题型热点预测与分析—解析几何
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所以 ,
又 ，所以 ,
即 ，
，
整理得 ,
即 ，
因为 ,所以 ，
展开整理得 ，即 .直线l在ｙ轴上的截距为定值 ．
预测6.已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率为 .
（Ⅰ)若 ,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线 与椭圆相交于 , 两点, 分别为线段 的中点.若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ,求 的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为 ,
∵直线 与圆相切,∴ ,即 ，又 ，即 ， ,解得 , ,
所以椭圆方程为 .
（Ⅱ)设 ， ， ,则 ，即 ,
则 , ,
即 ,
∴ 为定值 .
(Ⅲ)设 ，其中 ．
由已知 及点 在椭圆 上可得 ,
整理得 ，其中 ．
①当 时,化简得 ，
所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段;
预测５．(理科）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1和F２,以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）.
（1）求椭圆的方程;
（２)设直线ｌ与椭圆相交于Ａ，B两点，且 .求证：直线l在y轴上的截距为定值.
解析:（１)由题设知 ,又 ,所以 ，故椭圆方程为 ;
(２）因为 ，所以直线 与ｘ轴不垂直.设直线 的方程为 , .由 得 ，
因为 ,所以 ， .………………１1分
所以 ,即 .
预测７．已知椭圆 的离心率为 ,以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切, 分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆 上的动点.
(Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 与 均不重合,设直线 与 的斜率分别为 ，证明： 为定值；
(Ⅲ) 为过 且垂直于 轴的直线上的点,若 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
预测1．如果圆 关于直线 对称，则直线 的斜率等于————————————.
解析:依题意直线 经过点 ,所以 , ,于是直线斜率为 ．
动向解读:本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容,是高考的重点内容,一般以选择题、填空题的形式考查,有时也间接考查，与圆锥曲线的内容综合起来进行考查.
（1)求椭圆 的方程;
(2)若圆 与 轴相交于不同的两点 ，求 的面积的最大值.
（1）解：∵椭圆 的离心率 ,∴ .……2分
解得 ．∴椭圆 的方程为 .……4分
(2）解法1:依题意，圆心为．
由 得 .∴圆 的半径为 .……6分
∵圆 与 轴相交于不同的两点 ，且圆心 到 轴的距离 ,
∴ ，即 ．
∴弦长 .……8分
年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析（)—解析几何
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
２0１1年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析
命题热点五解析几何
高考对解析几何的考查主要包括以下内容:直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等,解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题,经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练.
预测2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ，P点是双曲线右支上一点,且 ，则三角形 的面积等于——————————．
解析:由已知可得 , ,而 ,所以 ,又 ,所以可得三角形 的面积等于 ．
动向解读:本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新,经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目.解答这类问题要善于运用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解．
预测4.已知椭圆 的短轴长为 ,那么直线 截圆 所得的弦长等于 ．
解析：由椭圆定义知 ，所以 ,于是 ,圆 的圆心到直线 的距离等于 ，故弦长等于 .
动向解读:本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题,这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则．值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值.
∴ 的面积 ……９分
.……12分
当且仅当 ,即 时，等号成立.
∴ 的面积的最大值为 .……13分
解法２：依题意,圆心为．
由 得 ．∴圆 的半径为 .……6分
∴圆 的方程为 ．
∵圆 与 轴相交于不同的两点 ,且圆心 到 轴的距离 ，
∴ ,即 ．
预测3.已知椭圆 , 是椭圆上关于原点对称的两点, 是椭圆上任意一点,且直线 的斜率分别为 ,若 ,则椭圆的离心率为
Ａ． B. C． D．
解析:设 ，则 ,依题意有 .又因为 在椭圆上,所以 ,两式相减得 ,即 ，所以 ,即 ,解得 .故选C.
动向解读:本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容,这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系,而是提供一些几何性质与几何位置关系,来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时,首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系,确定参数 满足的等式或不等式,然后根据 的关系消去参数 ,从而可程变形为 ,其中 ,
当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足 的部分;
当 时,点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的部分；
当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆．
预测8.已知椭圆 的离心率 .直线 （ )与曲线 交于不同的两点 ,以线段 为直径作圆 ,圆心为 ．
解:（Ⅰ)由题意得 ,得 .………………２分
结合 ,解得 , .………………3分
所以,椭圆的方程为 .………………4分
（Ⅱ)由 得 .
设 .
所以 ，………………6分
依题意， ,
易知，四边形 为平行四边形,
所以 ，………………7分
因为 ， ,
所以 ．………………8分
即 ,………………9分
将其整理为 .………………10分
又 ，所以 ,
即 ，
，
整理得 ,
即 ，
因为 ,所以 ，
展开整理得 ，即 .直线l在ｙ轴上的截距为定值 ．
预测6.已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率为 .
（Ⅰ)若 ,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线 与椭圆相交于 , 两点, 分别为线段 的中点.若坐标原点 在以 为直径的圆上，且 ,求 的取值范围.
解：（Ⅰ）由题意可得圆的方程为 ,
∵直线 与圆相切,∴ ,即 ，又 ，即 ， ,解得 , ,
所以椭圆方程为 .
（Ⅱ)设 ， ， ,则 ，即 ,
则 , ,
即 ,
∴ 为定值 .
(Ⅲ)设 ，其中 ．
由已知 及点 在椭圆 上可得 ,
整理得 ，其中 ．
①当 时,化简得 ，
所以点 的轨迹方程为 ，轨迹是两条平行于 轴的线段;
预测５．(理科）已知椭圆 的左、右焦点分别为F1和F２,以F1、F2为直径的圆经过点M（0，b）.
（1）求椭圆的方程;
（２)设直线ｌ与椭圆相交于Ａ，B两点，且 .求证：直线l在y轴上的截距为定值.
解析:（１)由题设知 ,又 ,所以 ，故椭圆方程为 ;
(２）因为 ，所以直线 与ｘ轴不垂直.设直线 的方程为 , .由 得 ，
因为 ,所以 ， .………………１1分
所以 ,即 .
预测７．已知椭圆 的离心率为 ,以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线 相切, 分别是椭圆的左右两个顶点， 为椭圆 上的动点.
(Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若 与 均不重合,设直线 与 的斜率分别为 ，证明： 为定值；
(Ⅲ) 为过 且垂直于 轴的直线上的点,若 ，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
预测1．如果圆 关于直线 对称，则直线 的斜率等于————————————.
解析:依题意直线 经过点 ,所以 , ,于是直线斜率为 ．
动向解读:本题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等基本问题，这是解析几何的基础内容,是高考的重点内容,一般以选择题、填空题的形式考查,有时也间接考查，与圆锥曲线的内容综合起来进行考查.
（1)求椭圆 的方程;
(2)若圆 与 轴相交于不同的两点 ，求 的面积的最大值.
（1）解：∵椭圆 的离心率 ,∴ .……2分
解得 ．∴椭圆 的方程为 .……4分
(2）解法1:依题意，圆心为．
由 得 .∴圆 的半径为 .……6分
∵圆 与 轴相交于不同的两点 ，且圆心 到 轴的距离 ,
∴ ，即 ．
∴弦长 .……8分
年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析（)—解析几何
———————————————————————————————— 作者：
———————————————————————————————— 日期:
２0１1年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析
命题热点五解析几何
高考对解析几何的考查主要包括以下内容:直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等,解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题,经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练.
预测2.已知双曲线 的左右焦点分别是 ，P点是双曲线右支上一点,且 ，则三角形 的面积等于——————————．
解析:由已知可得 , ,而 ,所以 ,又 ,所以可得三角形 的面积等于 ．
动向解读:本题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新,经常会命制一些较为新颖的考查基础知识的小题目.解答这类问题要善于运用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解．
预测4.已知椭圆 的短轴长为 ,那么直线 截圆 所得的弦长等于 ．
解析：由椭圆定义知 ，所以 ,于是 ,圆 的圆心到直线 的距离等于 ，故弦长等于 .
动向解读:本题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题,这正体现了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题”的原则．值得注意的是：本题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值.
∴ 的面积 ……９分
.……12分
当且仅当 ,即 时，等号成立.
∴ 的面积的最大值为 .……13分
解法２：依题意,圆心为．
由 得 ．∴圆 的半径为 .……6分
∴圆 的方程为 ．
∵圆 与 轴相交于不同的两点 ,且圆心 到 轴的距离 ，
∴ ,即 ．
预测3.已知椭圆 , 是椭圆上关于原点对称的两点, 是椭圆上任意一点,且直线 的斜率分别为 ,若 ,则椭圆的离心率为
Ａ． B. C． D．
解析:设 ，则 ,依题意有 .又因为 在椭圆上,所以 ,两式相减得 ,即 ，所以 ,即 ,解得 .故选C.
动向解读:本题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容,这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系,而是提供一些几何性质与几何位置关系,来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时,首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系,确定参数 满足的等式或不等式,然后根据 的关系消去参数 ,从而可程变形为 ,其中 ,
当 时，点 的轨迹为中心在原点、实轴在 轴上的双曲线满足 的部分;
当 时,点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆满足 的部分；
当 时，点 的轨迹为中心在原点、长轴在 轴上的椭圆．
预测8.已知椭圆 的离心率 .直线 （ )与曲线 交于不同的两点 ,以线段 为直径作圆 ,圆心为 ．
解:（Ⅰ)由题意得 ,得 .………………２分
结合 ,解得 , .………………3分
所以,椭圆的方程为 .………………4分
（Ⅱ)由 得 .
设 .
所以 ，………………6分
依题意， ,
易知，四边形 为平行四边形,
所以 ，………………7分
因为 ， ,
所以 ．………………8分
即 ,………………9分
将其整理为 .………………10分