保康县第一中学高二年级3月月考数学(文科)试题

保康县第一中学高二年级3月月考数学(文科)试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在复平面内，复数2(12)i -对应的点位于
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．下列说法中准确的是（ ）
A ．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
B ．一组数据不可能有两个众数
C ．一组数据的中位数一定是这组数据中的某个数据
D ．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动水准越大
3．用反证法证明命题“22
0,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设准确的是（ ）
A ．0a b 、至少有一个不为
B ．0a b 、至少有一个为
C ．0a b 、全不为
D ．0a b 、中只有一个为
4．从装有4只红球，4只白球的袋中任意取出2只球，记事件A =“摸出2只白球”，事件B =“摸出1只白球和一只红球”，则下列说法准确的是 （ ）
A ．事件
B 是必然事件 B ．事件A 是不可能事件
C ．事件A 与事件B 是对立事件
D ．事件A 与事件B 是互斥事件 5．某产品的广告费用x 与销售额的统计数据如下表：
广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元） 23 13
20
32
根据上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为6，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ） A ．36．6万元 B ．36．8万元 C ．37万元 D ．37．2万元
6.执行右边的程序框图,输出的结果是18,则①处应填入的条件是( )
A. 2?K >
B. 3?K >
C. 4?K >
D. 5?K >
7. 若直线l ：ax ＋by ＝1与圆C ：2
2
x y 1＋＝
有两个不同交点，则点P(a ，b)与圆C 的位置关系是( ) A ．点在圆上 B ．点在圆内 C ．点在圆外 D ．不能确定
8．已知正项组成的等差数列{}n a 的前20项的和为100,那么147a a ⋅最大值是
A ． 100
B ．50
C ． 25
D ．不存有
9. 不等式x 2＋2x <a b ＋16b
a 对任意a ，
b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－2,0)
B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)
C ．(－4,2)
D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)
10.
已知0(,)|y x y y ⎧⎫≥⎧⎪⎪Ω=⎨⎨≤⎪⎪⎩⎩
，直线2y mx m =+
和曲线y =有两个不同的交点，它们围成的平面区域为M ，向区域Ω上随机投一点A ，点A 落在区域M 内的概率为()P M ，若2
()[,1]2P M ππ
-∈，
则实数m 的取值范围为( )
A ．1
[,1]2
B
．[0,
3 C
．3 D ． [0,1]
二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,答错位置，书写不清，模棱两可均不得分)
11．用更相减损术或辗转相除法求459和357的最大公约数为__________
12．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为：x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x y -的值为 13．圆C 1：2
24440x
y x y ++-+=与圆C 2：22(2)(5)9x y -+-=的公切线有_____
14.某中学共有学生3 000
抽取300名学生，则应在高三年级抽取 名学生. 15.函数y =________．
16．已知正三角形内切圆的半径r 与它的高h 的关系是：1
3
r h =,把这个结论推广到空间正四面体，则正四
面体内切球的半径r 与正四面体高h 的关系是 . 17.已知,,a b c 是正实数，且1a b c ++=，则
111
a b c
++的最小值为 . 三、解答题(本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18.（本小题满分12分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别相关，对本班50人实行了问卷调查得到了如
下列表： 已知在全部50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为3
5
．
（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别相关？说明你的理
由；下面的临界值表供参考：
(参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)
19．（本大题12分）
已知a >0，请用分析法求证：a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2.
20．（本小题满分13分）已知函数()f x x =.
(1)解关于x 不等式(1),()f x a a R -≤∈； (2)若不等式11
(1)(2)1f x f x a a ++≤
+
-对任意．．
(0,1)a ∈恒成立，求x 的取值范围．
21.(本小题满分14分)
为了增强学生爱护环境的意识,某中学随机抽取了50名学生 举行了一次环保知识竞赛,本次竞赛的成绩(得分均为整数, 满分100分)整理得到的频率分布直方图如右.
(I)若图中第一组(成绩为[)40,50)对应矩形高是第六组(成绩 为[)90,100)对应矩形高的一半,试求第一组、第六组分别 有学生多少人?
(II)在(Ⅰ)的条件下,若从第一组中选出一名学生,从第六组中 选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求第一组中学生A 1 和第六组中学生B 1同时被选中的概率？
22．（14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2
2
12320x y x +-+= 的圆心为Q ，过点(02)P ，且斜
率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A
B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）当28OA OB =时，求直线l 方程．
（Ⅲ）在y 轴上是否存有一点C ，使CA CB 是定值，若存有求C 坐标并求此时CA CB 的值，若不存有说明理由.
高二数学（文）参考答案及评分说明
18. (1) 列联表补充如下： ………………………………………………………………3分
喜爱打篮球
不喜爱打篮球
合计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合计
30
20
50
（2）∵2
2
50(2015105)8.3337.87930202525
K ⨯⨯-⨯=
≈>⨯⨯⨯
∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为喜爱打篮球与性别相关. ……12分
19.证明：要证a 2＋1a 2－2≥a ＋1
a
－2，
只需证
a 2＋1
a 2＋2≥a ＋1
a
＋2．...............2分 ∵a >0，故只需证(a 2＋1
a 2＋2)2≥(a ＋1
a
＋2)2，...............4分
即a 2
＋1a
2＋4
a 2＋1
a 2＋4≥a 2＋2＋1
a 2＋22(a ＋1
a )＋2，...............7分
从而只需证2
a 2＋1
a 2≥2(a ＋1
a
)，...............9分 只需证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1
a 2)，...............11分
即a 2＋1
a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．........12分
（若不移项，直接平方全对给6分，其它酌情给分） 20 (1)不等式可化为：1x a -≤.
当0a >时，解集为{}
11x a x a -≤≤+…………………4分 当0a =时，解集为{}
1x x = …………………5分 当0a <时，解集为∅ …………………6分 (2)由f (x ＋1)＋f (2x )≤1a ＋1
1－a
得：
|x ＋1|＋|2x |≤1a ＋1
1－a .
∵0<a <1，∴0<1－a <1， ∴1a ＋11－a ＝1
a
1－a ≥1
[
a ＋
1－a 2
]2
＝4.…………………8分
当且仅当a ＝1－a ，即a ＝1
2时取“＝”．…………………9分
∴原问题等价于|x ＋1|＋|2x |≤4，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ≤－1，－3x －1≤4.或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x <0，
1－x ≤4.或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x >0，
3x ＋1≤4.…………………11分
∴－5
3
≤x ≤1.
∴x 的取值范围是{x |－5
3
≤x ≤1}． …………………13分
21(Ⅰ) 由频率分布直方图可知第一组和第六组的频率为
1-(0.006+0.024+0.028+0.030)=0.12………………………………………………………2分 又由题知,第一组与第六组频率之比为1：2,所以两组频率分别为0.04、0.08…………4分 所以这两组别有学生人数为50×0.04=2,50×0.08=4……………………………………6分 (Ⅱ)记[)40,50中的学生为12,A A ,[)90,100中的学生为1234,,,B B B B ,由题意可得,基本事件为：
112113114123124134,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B ;212213214223224234,,,,,,A B B A B B A B B A B B A B B A B B
共12个,…………………………………………………………………………………………10分 事件A ={11,A B 同时被选中}发生有112,A B B 113114,A B B A B B 三种,所以由古典概型知, 31
()124
P A =
=…………………………………………………………………………………12分 22. 解：（Ⅰ）圆的方程可写成2
2
(6)4x y -+=，
所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ，且斜率为k 的直线方程为2y kx =+．
代入圆方程得2
2
(2)12320x kx x ++-+=， ………………………1分 整理得2
2(1)4(3)360k x k x ++-+=． ①
直线与圆交于两个不同的点A
B ，等价于 2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，
解得304k -
<<，即k 的取值范围为304⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，． ………………………3分 （Ⅱ）设11,)A
x y （，22,)B x y （ 由（Ⅰ）知 1224(3)1k x x k -+=-
+ 122
36
1x x k
=+ 1212OA OB x x y y =+=21212(1)2()4k x x k x x ++++
=2
22
364(3)
(1)
242811k k k k k
-+-+=++ …………………5分 即：2
8(3)
362401k k k
--
-=+
2424120k k ++=
∴3k =-±………………………6分
又304
k -＜＜
∴3k =-+
故所求直线:(32l y x =-++ ………………………7分
（Ⅲ）设(0,)C a 则
1122121222121222
22
(,)(,)()()
(1)(2)()(2)364(3)(1)
(2)(2)11CA CB x y a x y a x x y a y a k x x a k x x a k k a k a k k k
=--+--=++-++--=++-+-++ = 与无关 ………………9分
则2a =此时36CA CB = ……………………12分 故存有点(0,2)C 时，CA CB 是定值=36 ……………………14分。