03年高考数学试题和答卷评价

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03年高考数学试题和答卷评价
华南师范大学王林全（广州,，）
引言. 我们处于一个改革变化的时代, 教育的理念,思维的方式都在发生变化, 03年高考数学试题（下称03年试题）反映了这种变化, 它向传统的教学方式提出了挑战.本文着重评价03年试题特色和答卷的有关问题．
1.03年高考数学试题的特点
1.1根据大纲，重视基础，要求熟练
03年试题按照考纲、大纲和现行课本要求命题.考题内容基本上没有超过课本与大纲。

∙考查的知识面比较宽阔. 涉及代数，三角，立体几何，平面解析几何等多方面，
∙要求对基础知识有相当的熟练程度。

如（12）题, 如果对正三棱锥的图形特点和数量关系没有相当熟练的掌握, 是不易做出来的.
例1．第（12）题. 一个四面体的所有棱长都为2,四个顶点在同一球面上, 则此球的表面积为
(A) 3π(B)4π(C)33π(D)6π
分析: 如图1, 设正四面体P-ABC的外接球球心为O, 外接球半径为R, 则点O在四面体的高PO’上(O’是垂足), O’在正△ABC中AB的高CD 上, 已知PA=PB=PC=AB=BC=CA=2, 由直角三角形的边角关系算得: PD= 6/2, BO’=CO’=6/3, PO’=23/3, 在rt△OO’B中, 用勾股定理得(PO’－R)2+ BO’2=OB2, 从而得到关于R的方程:(23/3－R)2+(6/3)2= R2, 解得R=3/2, 得球表面积S = 3π. 答案(A).
图1
1.２稳中求变，难点增加，难度提高
０３年试题的题型结构,考题分量与近年历届试题持平，各分科所占比例大致合理。

∙ 对一些常用的公式给予适当的提示。

然而，在数学学习中, 一定的记忆仍然需要。

∙ 提高起点，尾巴不翘. ０３年试题打破了过去由易到难的考题分布格局，填空题、选择题的难点分布明显增多，给考生形成一定的心理挑战。

解答题的难度并非依题次而增高，几乎每题都设置了难点，作为解答题开始的(17)题，不同于往年设置较简单的代数题，而是有一定深度的立体几何问题，给考生造成一定的心理威胁。

∙ 选择题的难点增多。

（7）—（12）等六题，都需要认真思考才能正确解答.
例2．第（9）题. 已知圆锥底面半径为R, 高为3R, 在它的所有内接圆柱中, 全面积的最大值是 (A)2πR 2 (B)
49πR 2 (C)38πR 2 (D)2
5
πR 2 分析：如图2, 设R, r 分别为圆锥及其内接圆柱的半径, 内接圆柱的高为r ，则圆锥的高为３R, 利用平行线截比例线段定理,得R
R
h r R 3=
-，先求得圆锥的内接圆柱的全面积与圆柱半径r 的函数关系式S= 2(3Rr-2r 2),
当r=4
3
R 时, S max =
4
9
πR 2, 从而答案为（B ）.该题把圆锥与及其内接圆柱的关系, 圆柱的性质和全面积计算,平行线截比例线段定理, 二次函数的极值等知识结合在一起, 具有相当的综合性。

图2
∙ 难点分布广泛, 只需简单思考即可求解的问题明显减少. 选择题、填空题中的难度明显加大。

学生完成这两部分的问题需要一个小时以上, 影响了做解答题的时间。

1.3 动态情景，实验尝试，探求规律
《高中课标》指出，要用数学“描述客观世界的变化规律”，“函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终”，０３年试题广泛出现运动变化的情境，要求学生解决相关的问题。

如：
例3．第（1）题在同一直角坐标系中，表示直线
1
l：y=ax与
2
l：y=x＋a正确的是
线l
例
P4
.
DA
03年数学试题反映了这方面的学习要求. 如图5，本题需要求质点运动的入射角。

先作实验尝试,先选定特殊值tgθ= 1/2, 则P0, P1, P2, P3分别为AB, BC, CD, DA的中点, P4与P 0重合, 此时x4=1；如果tgθ略小于1/2, 则P4的横坐标为x4>1，如图５的虚线所示. 可见tgθ< 1/2．符合题目所给的条件中, 只有(C)满足条件1<x4<2, 故应该选择(C). 经过计算可以知道, 当tgθ=2/5时, x4=2, 可见tgθ∈(2/5,1/2), 从而可知选择(C)是正确的.由上题可见, 0３年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位.这也是选择题的应有特点。

1.4理性思考，数形结合，突出分类
03年试题考查了多种数学思想方法.分类讨论思想和数形结合思想
在试题中占有重要分量。

∙ 分类讨论思想：
（18）题: 讨论所得的两根, 按题意去掉负根;
（19）题: 讨论a 的范围，讨论P 真Q 假, Q 真P 假等两种情况, 这是解决问题的主导思想;
（21）题: 首先要根据条件正确得到轨迹方程2
2
2)(2
1a a y x -+=1, 完成这一步可得8分，如能正确讨论a 2的取值对轨迹的影响, 确定所求轨迹的存在性以及曲线的不同类型，可再得4分.
(22) 题: 处理(-1)n-1的符号,需要分别讨论n 是奇数和偶数两种不同情况, 根据上述两种情况, 确定a 0的范围.讨论部分占全题14分中的8分. 由上述诸题可见, 分类讨论思想在03年试题中占有重要地位. 能否对解决问题的情况进行正确的分类, 反映了考生思考问题是否全面, 是否慎密, 这是一种重要的思维品质. ∙ 数学的似真推理
类比是数学发现的重要源泉, 然而, 由类比而得到的数学结论有待进一步的实验验证, 要肯定所得的猜想是真命题, 还需要证明。

然而，我们不能够因为类比的局限性就不敢进行猜想. 03年试题重视数学思维品质的培养, 鼓励学生进行合理的猜想.
图６ 例6:第(15)题. 在平面几何里, 由勾股定理: “设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直, 则AB 2+AC 2= BC ”, 拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出正确的结论是:“设三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC, ACD, ADB 两两互相垂直,则_________________________________________.” 分析：（如图６）由于三棱锥A-BCD 的三个侧面ABC, ACD, ADB 两两
互相垂直, 故直角面可以类比于直角三角形的直角边, 底面BCD 被三个两两互相垂直的侧面所包围,故可以类比于直角三角形的斜边, 从而可以得到猜想: S 2△ABC + S 2△ACD + S 2△ADB = S 2△BCD .
当然, 上述猜想需要经过演绎论证后予以确认, 但回答填空题不要求写出证明过程. （事实上，上式
左边＝4
1（AB 2·AC 2+AC 2·AD 2+AD 2·AB 2）=4
1[ AB 2·AC 2+( AC 2+ AB 2) AD 2]
=4
1( AB 2·AC 2+BC 2· AD 2)= 4
1
(BC 2·AE 2+ BC 2· AD 2) =
41 BC 2(AE 2+ AD 2) = 4
1
BC 2DE 2= S 2△BCD = 右边，∴猜想成立．） ∙ 数形结合思想
历年高考都十分重视考查学生对数形结合思想的运用, 03年试题对运用这种方法的考查也很突出。

如（1），（2），（3），（5），（6），（8），（11），（12），（15），（16），（17），（18），（19），（20），（21）等题都可以借助数形结合思想方法寻找解题思路。

共占分值108分, 可见这种思想方法是解决数学问题的重要方法. 在数学教学中必须重视这种思想方法的运用．
∙ 归纳与演绎思想
数学归纳法既含有归纳思想，也运用了演绎推理。

03年试题重视对运用归纳与演绎思想检查，如；（17）题Ⅰ,（22）题Ⅰ基本使用演绎推理的方法.（22）题Ⅱ先由n=1,2时得到a 的范围, 0<a 0<
31
,再对任意的n
∈ N,证明０<a 0< 1/3, 这个过程既用到归纳推理,也用到演绎推理. 1.4 网上评卷,电子监控，准确高效
０３年广东高考全面实行网上评卷，有利于宏观调控评卷过程, 及时发现问题, 及时解决; 成绩统计与质量评估方便准确; 实现小组长、题组长、科组长、评卷领导组四级电子监控; 杜绝了漏改, 漏登分, 登错分等现象, 提高了评卷质量. 2．答卷的成绩总计
中的问题,也与考题的难度偏高, 考题分布不尽合理有关.
3. 考生答题情况分析
考生在答卷中主要出现几类错误：
3.1 审题错误①遗漏信息，如（16）题，无视题目中用数字作答的要求；
②误解题意，如（16）题，未考虑也可以使用三种颜色；
3.2思路错误①判断有误，缺乏根据，如第17题，把D1E 看成点D1到平面BDE的距离
②以偏概全，忘记分类，（18），（19），（21），（22）题，分类不周，或者没有分类．
③策略不当，忽视特值。

如（11）,忽视1/2的作用；
3.3计算错误①误记公式,计算失效，例如（20）算错cos( -450)；
②方法冗繁，不善简化，如（21），不善于利用对称性化简，不善于利用利用整体代入化简；
3.4表述错误：①说理不清，因果倒置；
②符号混用，混淆视听，例如（21），把边长４a 中的a，与椭圆标准方程的长半轴a混为一谈．
③自定符号，不作交代：如（17），未讲清如何作辅助线，令人费解．
3.5 心理失误：例如，不敢实验，不敢猜想，
填空题(13-16) 平均分共4.84分，得分集中在前两题, （15）,（16）题得分甚少.
(13)题（题略）: 对于区间的开闭性未分清楚,把(2,4) 误写成(2,4);
(14)题（题略）: 未掌握二项式展开式的系数T n+1的规律性;
(15)题（题略）: 许多考生不敢于猜想, 要经过证明才放心;未能正确掌握类比的方法，因而猜想有误；
例７(16)题．如图７，一个地区分为５个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有四种颜色可供选择，则不同的着色
方法共有＿＿＿＿＿种．（以数字作答）
图７
分析：
∙对题意没有正确的理解; 误以为要使用全部四种颜色, 未想到三种颜色也可以符合涂色的要求. 绝大部分考生得不到正确的结果.
∙审题不周，没有注意以数字作答，只写出组合算式．
∙注意到区域１与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色．
如果涂四种颜色，则有涂法共2P4１P3３=48种；
如果涂三种颜色，则有涂法共P4３×P3３=24种；从而共有符合要求的涂色方法72种．
例８:第(17)题. 已知如图８, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1, AB=1, AA1=2, 点E为CC1的中点, F为BD1的中点.
(Ⅰ)证明EF为BD1和CC1的公垂线;
(Ⅱ)求点D1到面BDE的距离.
分析:在答卷中发现许多逻辑性错误,如:
①只证明到EF垂直于BD1或CC1中的一条, 证不到EF垂直于另一条.
②下判断的根据不足.例如说EF⊥面BDD1B1, DD1⊥A2B2C2D2等,都没有列举足够的理由.
③因果关系不清楚.例如, DD1⊥BD, DD1∥CC1 ⇒ EF⊥CC1, 等等.
④判断错误. 例如, 把D1E 看成点D1到平面BDE的距离.
C1
A
图8 (Ⅰ)因为E是CC1的中点，它关于两个侧面具有对称性，∴ED1=EB,又F是对角线D1B的中点，∴EF⊥D1B;
F是对角线D1B的中点，因而也是长方体的中心, ∴FC1=FC,又点E为CC1的中点，∴EF⊥CC1，从而EF为BD1和CC1的公垂线．
(Ⅱ)本题可以使用四面体的顶点转换技巧予以解决．在四面体D1BDE 中，点D1到面BDE的距离不易直接求得，但是点E到面BDD1的距离恰为EF，而且四面体E－BDD1的底面BDD1的面积也易求，从而可以
间接求得点D 1到面BDE 的距离． 设点D 1到面BDE 的距离为h,则h×S △EDB =EF×S △D1DB =3V E-BDD1 易求得EF ＝22，S △EDB ＝23，S △D1DB ＝2，∴h×23=2
2
×2.
所以h ＝
3
3
2．
C(1)
O D(2)
图９
例９．第(18)题：已知复数Z 的辐角为600且|z-1|是|z |和|z-2|的等比中项，求|z |.
分析：如图９，考察复平面上O,Z,C,D 四点，点Z 表示复数z ，O,C,D 分别表示0,1,2,线段的长 |ZO |, |ZC |,|ZD |分别表示复数的模|z |，|z-1|，|z-2|， 在△ZOC 中,利用余弦定理，得：|z-1|２＝|z |２－|z |＋１, 在△ZOD 中,利用余弦定理，得：|z-2|２＝|z |２－2|z |＋4, 由条件得，|z-1|２= |z ||z-2|, ∴|z-1|４＝|z |2|z-2|2
∴（|z |２－|z |＋１）２=|z |2(|z |２－2|z |＋4), 整理得|z |２+2|z |-１=0, 解得|z |＝2－１．
主要的问题有: ① 未充分利用θ =600的条件，不熟习复数的几何意义; ②未充分利用模的条件; ③ 计算有明显的错误, 如|z-2|= |r-2|; ④ 模的概念不清如|z |= |r | =2,等等. 第(19) （题略）： 主要的问题有: ① 未理解题意“P,Q 中只有一个正确”它的正确含义是P 真Q 假,或Q 真P 假; ② 对于对数函数y= log a (x+1)的性质认识不清; 认为函数y= log a (x+1)在(0,∞)内单调递减时,应该有a >1; ③ 思路繁笨,未能直接利用对数函数的单调性, 而是从函数的单调性来考虑.
例10:第(20)题. 在某海滨城市附近海面有一台风. 据监测, 当前台风中心位于城市O(如图10)的东偏南θ (θ =arccos
10
2
) 300km 的海面P 处, 并以20km/h 的速度向西偏北方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km, 并以10 km/h 的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?
分析: 本题展现了一种动态的问题情境.随着时间的变化, 台风中心Q 的位置在变化, 台风的侵袭的范围在扩大, 这个圆形区域与城市O 的距离越来越小. 类似的问题情境学生在初中就接触过,可以归结为解三角形的数学模型, 并利用余弦定理解决.
设经过t 小时，台风中心到达的位置为Q ，按题意得，在△POQ 中，PO ＝300km, PQ=t×20km, ∠OPQ=θ -450, 根据余弦定理得， QO 2= PO 2+PQ 2-2PO×PQcos(θ -450)……..① 因为cos θ =
102, ∴sin θ=10
2
7, 从而cos(θ -450)＝4/5,代入① 式并整理得QO 2＝90000+400t 2-9600t,
又以Q 为中心的台风侵袭区域的半径为R, 则R 2=(60+10t)2, 当R >|OQ | 时，城市开始受到台风的侵袭．从而化为解不等式t 2-36t+288≤0, 解得 12≤t ≤24. 答：12小时后，城市受到台风侵袭．
考生不适应于题设的动态情境,出现诸多错误, 主要有: ① 思路不清,方向不明,就急于计算,从而产生错误;②强加条件,认为OQ ⊥PQ ; ③ 不会 利用cos θ =2/10 求sin θ , 即不能把θ =arccos (2/10)翻译为cos θ =2/10; ④ 相当一部分考生未能把问题与解三角形联系起来；⑤ 两角和差三角函数不熟练，而考卷中的公式缺乏参考作用．
图10
例11: (21)题. 已知常数a >0, 在矩形ABCD 中, AB=4, BC=4a, O 为AB 的中点. 点E 、F 、G 分别在BC 、CD 、DA 上移动, 且
BC BE = CD CF = DA
DG
, P 为GE 与OF 的交点(如图11). 问是否存在两个定点,使P 到这两点的距
离之和为定值？若存在,求出这两点的坐标及此定值;若不存在,请说明理
由.
X 图11
分析: 题中点E 、F 、G 、P 都在运动, 其中点P 是由于点E 、F 、G 的运动而生成, 通过设立定比比值为 λ , 求出动点E 、F 、G 、P 的坐标,消去参数λ, 就可以得到动点P 的轨迹方程.
根据图11所建立的坐标系，矩形各顶点的坐标为A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a). 设BC BE = CD CF = DA DG ＝λ，按题意，=BC
BE λ，∴BE=λBC ， ∴E(2,4λa)，同理可得F(2-4λ,4a), G(-2,4a-4λa). 设CD,EG 分别交y 轴于 Q,H ，则Q （0,4a ）,由对称性易知H(0,2a)则直线(利用对称性简化计算) EG 的方程: y=a(2 λ -1)x+2a……..①
OF 的方程: y=
λ
212-a x…………..② 由② 2 λ -1＝-2ax/y,代入①整理得2
22)(21a a y x -+=1．（2 λ -1作整体代换！） 当a ２＝1/2时，点P 的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点；
当a ２ ≠ 1/2时，点P 的轨迹为椭圆的一部分，点P 到该椭圆两焦点的距离之和为定值；设焦距为2c,当a ２<1/2时，
当a ２<1/2时，则c 2 =2
1-2a ,∴c=
221a -，点P 到该椭圆两焦点 （-221a -,a ）, （221a -, a ）的距离之和为2; 当a ２>1/2时，则c 2=a 2-1/2,∴c=212-a ，点P 到该椭圆两焦点
（0, a －212-a ，）, （0, a +2
12-a ，）的距离之和为2a ;
考卷上发现的主要的问题有:① 比例式设置不当,坐标计算有误; ② 未知数设置过多,找不到它们的联系;③ 得到椭圆方程后,未能化为标准形式,从而看不出中心和焦点; ④未能就a 的取值的不同情况正确地进行讨论. 本题把动点轨迹问题,数学建模问题,分类讨论问题等几个难点结
合在一起,使考生面临严峻的挑战. 该题的得分率是各题中最低的.说明应用题仍然是当前数学学习的薄弱环节.
(22) 题（题略）：由于考生对数学归纳法有一定的认识,中等以上学生能够在第Ⅰ小题取得部分成绩,故本题的得分率比(21)题略高。

存在的主要的问题有: ①时间不够,极少数人能正确完成; ②用数学归纳法证明第Ⅰ小题时, 匆匆走过场, 关键步骤徒有形式，即从n到n＋1这一关键步骤实际上没有证明; ③做第Ⅱ小题时, 大部分考生没有对（－1）n-1中n 的奇偶性进行讨论.
４．试题和答卷的一些启示
03年高考试题和学生的答卷给当前中学数学教学提供了不少启示。

我们希望，在今后数学教学中应该注意：
∙认真学习高中数学课标的新理念，新内容，重视能力、素质与观念的健康发展；
∙重视开展开放性, 探索性的数学学习活动，重视实验、探索、猜想，培养理性的精神；
∙抓好基础知识和基本技能的教学，双基是数学应用的基础，也是实验与探索的基础必须予以落实；
∙把数学思想方法作为正式的学习内容，提高学生的数学表达能力。