04-05年上学期高三第一轮复习数学：函数与方程思想(附答案)

2004－2005学年度上学期高中学生学科素质训练高三数学同步测试（12）—《函数与方程思想》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设直线 ax +by +c =0的倾斜角为α，且sin α+cos α=0，则a ,b 满足 （ ）A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．4005B ．4006C ．4007D ．40084．每个顶点的棱数均为三条的正多面体共有 （ ） A ．2种 B ．3种C ．4种D ．5种5．设函数)(1)(R x xxx f ∈+-=，区间M=[a ，b ](a <b )，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b )有 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数多个6．设)(1x f-是函数)1(log )(2+=x x f 的反函数，若8)](1)][(1[11=++--b f a f ，则)(b a f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．3log 27．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当A 、B C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°8．若函数f (x )=(1－m )x 2－2mx －5是偶函数，则f (x ) （ ）A ．先增后减B ．先减后增C ．单调递增D ．单调递减9．定义在（－∞，+∞）上的奇函数f (x )和偶函数g (x )在区间（－∞,0]上的图像关于x 轴对称，且f (x )为增函数，则下列各选项中能使不等式f (b )－f (－a )>g (a )－g (－b )成立的是 （ ）A ．a >b >0B ．a <b <0C ．ab >0D ．ab <010．△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边.如果a 、b 、c 成等差数列，∠B=30°,△ABC 的面积为23，那么b = （ ）A ．231+ B ．31+C ．232+ D ．32+11．两个正数a 、b 的等差中项是5，等比中项是4。

若a ＞b ，则双曲线122=-by a x 的离心率e 等于 （ ）A ．23B ．415C ．25D ．312．天文台用3.2万元买一台观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为1049+n 元（n ∈N *），使用它直至报废最合算（所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少）为止，一共使用了 （ ）A ．800天B ．1000天C ．1200天D ．1400天二、填空题（本题每小题4分，共16分） 13．若1(2)n x x+-的展开式中常数项为－20，则自然数n ＝ . 14．x 0是x 的方程a x =log a x (0<a <1)的解，则x 0,1,a 这三个数的大小关系是 . 15．已知函数y f x y fx ==-()()与1互为反函数，又y f x y g x =+=-11()()与的图象关于直线y x =对称，若f x x x fx ()log ()()()=+>=-122120，则___ __;g ()6=_______ .16．已知矩形ABCD 的边⊥==PA BC a AB ,2,平面,2,=PA ABCD 现有以下五个数据：,4)5(;2)4(;3)3(;1)2(;21)1(=====a a a a a 当在BC 边上存在点Q ，使QD PQ ⊥时，则a 可以取_____________.（填上一个正确的数据序号即可）三、解答题（本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知集合A={x |x 2－ax +a 2－19=0}，集合B={x |log 2(x 2－5x +8)=1}，集合C={x |m 822-+x x =1,m ≠0，|m |≠1}满足A ∩Bφ, A ∩C=φ，求实数a 的值.18．（本小题满分12分）有一组数据)(,,,:2121n n x x x x x x <<< 的算术平均值为10，若去掉其中最大的一个，余下数据的算术平均值为9；若去掉其中最小的一个，余下数据 的算术平均值为11.（1）求出第一个数1x 关于n 的表达式及第n 个数n x 关于n 的表达式;（2）若n x x x ,,,21 都是正整数，试求第n 个数n x 的最大值，并举出满足题目要求且n x 取到最大值的一组数据.19．（本小题满分12分）某公司生产的A 型商品通过租赁柜台进入某商场销售.第一年，商场为吸引厂家，决定免收该年管理费，因此，该年A 型商品定价为每件70元，年销售量为11.8万件.第二年，商场开始对该商品征收比率为p %的管理费（即销售100元要征收p 元），于是该商品的定价上升为每件%170p 元，预计年销售量将减少p 万件.（1）将第二年商场对该商品征收的管理费y （万元）表示成p 的函数，并指出这个函数（2）要使第二年商场在此项经营中收取的管理费不少于14万元，则商场对该商品征收管理费的比率p %（3）第二年，商场在所收管理费不少于14万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p 应为多少？20．（本小题满分12分）求函数241)1ln()(x x x f -+=在[0，2]上的最大值和最小值.21．（本小题满分12分）已知二次函数f(x)=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f(x－1)=f(3－x)且方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m,n（m<n），使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n]，如果存在，求出m,n的值；如果不存在，说明理由.22．（本小题满分14分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n . （1）若首项=1a 32 ，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ；（2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k S S =成立.参 考 答 案（十二）一、选择题（每小题5分，共60分）(1).D (2).C (3).B (4).A (5). A(6).B (7).C (8).B (9).A (10).B (11).C (12).A 二、填空题（每小题4分，共16分） (13). 3； (14). 10或1031- (15).12214⎛⎝ ⎫⎭⎪-<--xx ()，； (16). ①或② 三、解答题（共74分，按步骤得分）17.解：由条件即可得B={2，3}，C={－4，2}，由A ∩Bφ，A ∩C=φ，可知3∈A ，2∉A 。

将x=3代入集合A 的条件得：a 2－3a －10=0 ∴a=－2或a=5 当a=－2时，A={x|x 2+2x －15=0}={－5,3},符合已知条件。

当a=5时,A={x|x 2－5x+6=0}={2，3}，不符合条件“A ∩C ”=φ，故舍去. 综上得：a=－2.18.解：（1） 依条件得：⎪⎩⎪⎨⎧-=+++-=+++=+++-)3()1(11)2()1(9)1(103212121n x x x n x x x nx x x n n n 由)2()1(-得：9+=n x n ，又由)3()1(-得：n x -=111（2）由于1x 是正整数，故 1111≥-=n x ，101≤≤⇒n ，故199≤+=n x n 当n =10时, 11=x ，1910=x ，80932=+++x x x , 此时，62=x ,73=x ,84=x ,95=x ,116=x ,127=x ,138=x ,149=x .19. 解：（1）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8－p ）万件，年销售收入为%170p -（11.8－p则商场该年对该商品征收的总管理费为%170p -（11.8－p ）p %（万元）.故所求函数为:y =p-1007（118－10p ）p .11.8－p ＞0及p ＞0得定义域为0＜p ＜559.（2）由y ≥14，得p-1007（118－10p ）p ≥14.化简得p 2－12p +20≤0，即（p －2）（p －10）≤0，解得2≤p ≤10.故当比率在［2%，10%］内时，商场收取的管理费将不少于14万元. （3）第二年，当商场收取的管理费不少于14万元时， 厂家的销售收入为g （p ）=%170p -（11.8－p ）（2≤p ≤10）.∵g （p ）=%170p -（11.8－p ）=700（10+100882-p∴g （p ）max =g （2）=700（万元）.故当比率为2%时，厂家销售金额最大，且商场所收管理费又不少于14万元. 20. 解：,2111)(x x x f -+=' ,02111=-+x x 化简为,022=-+x x 解得.1),(221=-=x x 舍去当)(,0)(,10x f x f x >'<≤时单调增加；当)(,0)(,21x f x f x <'≤<时单调减少. 所以412ln )1(-=f 为函数)(x f 的极大值. 又因为 ),2()1(,013ln )2(,0)0(f f f f >>-==所以 0)0(=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最小值，412ln )1(-=f 为函数)(x f 在[0，2]上的最大值.21.解：(1)∵方程ax 2+bx －2x=0有等根，∴△=(b －2)2=0，得b=2。

由f(x －1)=f(3－x)知此函数图像的对称轴方程为x=－ab2=1，得a=－1， 故f(x)=－x 2+2x.(2)∵f(x)=－(x －1)2+1≤1，∴4n ≤1，即n ≤41. 而抛物线y=－x 2+2x 的对称轴为x=1，∴当n ≤41时，f(x)在[m,n]上为增函数。

若满足题设条件的m,n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(即⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-nn n m m m 424222⇒⎩⎨⎧-==-==2020n n m m 或或又m<n ≤41. ∴m=－2,n=0，这时，定义域为[－2，0]，值域为[－8，0].由以上知满足条件的m,n 存在,m=－2,n=0. 22. 解：（1）当1,231==d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1(由22242)21(21,)(2k k k k S S k k +=+=得，即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.（2）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即由（1）得 .1011==a a 或 当,60)2(,01===d d a 或得代入时若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a ,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====若成立从而则221)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{a n } : a n =0，即0，0，0，…； ②{a n } : a n =1，即1，1，1，…； ③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，（1） （2）。