DFT专题复习

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数字信号处理-离散傅立叶变换(DFT)

N 1
* X ( k ) Y (k ) k 0
N 1
x ( n)
n 0
N 1
2
1 N

k 0
N 1
X (k )
2
表明序列时域、频域能量相等
33
六、圆周卷积和圆周卷积A：设 F (k ) X (k )Y (k ) f (n) F (k )
则
f (n) [ x(m) y ((n m)) N ]RN (n)
22
求x n 的16点DFT N 16
X k X e j
N=4点的DFT？

2 k 16
2 k 3 2 sin 2 j k 16 2 16 e 1 2 sin k 2 16 sin k 3 j k 4 16 e sin k 16

理解频谱分析过程
3
知识回顾
1. Z变换的定义 2. Z变换的收敛域 3. Z变换的性质 4. Z反变换及其求法 5. Z变换与拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 6. 序列的Fourier变换(DTFT)的定义 7. 序列的Fourier变换的主要性质 8. 序列的Fourier变换的对称性质 9. 离散系统的系统函数、系统的频率响应
其中
X (k ) RN (k ) X (k ) ；同理可证另一公式。
~
推论：
2 nl 1 DFT x(n)cos X ((k l )) N X ((k l )) N RN (k ) N 2
2 nl 1 DFT x(n)sin X ((k l )) N X ((k l )) N RN (k ) N 2 j

DFT(密度泛函理论)

PW c
91
H0 t, rS , H1 t, rS ,
H0
t, rS
,
b1
f
3
ln
1
t2 a 1 At2
At 4 A2t 4
H1
t,
rS
,
16
3 2
1/3 C c
f
t e 3 2 dx2 / f 2
t
192
2
1/ 6
2
f
7/6
a
exp
bc rS , / f 3
➢ Glue Model
只适用于单一金属。较好地平衡了表面和内部的结构和能量。
Vi
rij
U
rij
ji
j
3. 化学和生物体系的力场
➢ 成键作用（Bonded Interactions）：Bonds，Valence Angles，Dihedral Angles (Torsional Angles), Improper Dihedral Angles ➢ 非成键作用（Nonbonded Interactions）：范德华力和静电力
➢ DFT 的最大问题在于没有统一的理论方法系统地提高计算精度，即更复杂的泛函形式不一定计算精度越高，而是与被研究体系密切相关。
➢ 运用 DFT 计算的软件包之一：VASP (Vienna Ab-initio Simulation Package)
http://cms.mpi.univie.ac.at/vasp/ 应用周期性边界条件以计算较大的体系。
关联项
Lee, Yang, and Parr （LYP）
LYP c
a
1 d 1/3
ab 9
ec1/ 3 1 d 1/3

离散傅里叶变换DFT 总结

x(n)
x(n)
0 n N 1
0 其他n
为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列 ~x(n)的一个周期，而把~x(n)看成x(n)的以N为周期的周期延拓，
即表示成:
x(n)
~x (n)
0 n N 1
0 其他n
~x (n)
x(n rN )
r
这个关系可以用图2-8来表明。通常把 ~x (n) 的第一个周期n=0
N 1
X (k) DFT[x(n)] x(n)WNnk
n0
0≤k≤N-1
x(n)
IDFT[ X (k)]
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
0≤n≤N-1
x(n)和X(k)是一个有限长序列的离散傅里叶变换对。我们称上面第一式为x(n)的N点离散傅里叶变换(DFT), 称式第二式为X(k) 的N点离散傅里叶反变换(IDFT)。已知其中的一个序列，就能唯一地确定另一个序列。这是因为x(n)与X(k)都是点数为N的序列，都有N个独立值（可以是复数），所以信息当然等量。
例2 已知周期序列 X~ (k )如图3-2所示，其周期N=10, 试求
解它的傅里叶级数系数 X~ (k ) 。
… － 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
~x (n) …
n
图3-2 例3-2的周期序列~x (n（) 周期N=10）
由式（3-6） X~ (k ) 101
~x (n)W1n0k
图 2-8
用((n))N表示（n mod N），其数学上就是表示“n对N取余数”，或称“n对N取模值”。令
n n1 mN
0≤n1≤N-1, m为整数

密度泛函理论(DFT)

一、计算方法密度泛函理论（DFT ）、含时密度泛函理论（TDDFT ）二、计算方法原理1．计算方法出处及原理本计算方法设计来源于量子化学理论中的Born –Oppenheimer 近似，给近似下认为原子核不动, 这样电子就相当于在一个由核产生的外部的静态势场 V 中运动。

那么一个固定的电子态可以用波函数 Ψ(1r , · · · ,N r ), 并且满足多 N 电子体系薛定谔方程:()()22ˆˆˆˆ,2N N N i i j i i i i j H T V U V r U r r E m <⎡⎤⎡⎤ψ=++ψ=-∇++ψ=ψ⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑∑ (2-3) 其中，● Ĥ, 哈密顿算符;● E , 体系总能量;● ˆT, 动能项; ● ˆV, 由带正电的原子核引起的外场势能项; ● Û, 电子电子相互作用能。

通常把 ˆT和 Û 叫做通用算符, 因为对于任何一个 N 电子体系, 表达式都相同.而势能函数 ˆV与体系密切相关。

由于电子相互作用项 Û 的存在, 复杂的多体系的薛定谔方程公式 2-3并不能拆分为简单的单电子体系的薛定谔方程。

根据 DFT 的核心理念, 对于一个归一化的波函数 Ψ, 电子的密度 n(r ) 可以定义为:333*231212()(,,)(,,)N N N n r N d r d r d r r r r r r r =⋅⋅⋅ψ⋅⋅⋅ψ⋅⋅⋅⎰⎰⎰ (2-4)更重要的是, DFT 的核心理念告诉我们, 对于一个给定的基态, 如果基态的电子密度0()n r 是知道的话, 那么基态的波函数012(,,)N r r r ψ⋅⋅⋅就唯一确定。

也就是说, 基态的波函数0ψ是基态电子密度0n 的泛函[11], 表达为:[]00n ψ=ψ (2-5)既然有以上的假定, 那么对于基态的任何一个观测量ˆO, 它的数学期望就应该是0n 的泛函:[][][]000ˆO n n O n =ψψ (2-6) 特别的, 基态的能量也是0n 的泛函:[][][]0000ˆˆˆE E n n T V U n ==ψ++ψ (2-7) 这里外部势能的贡献[][]00ˆn V n ψψ可以通过基态的电子密度0n 来精确表达：300[]()()V n V r n r d r =⎰ (2-8)或者外部势能ˆVψψ可以用电子密度 n 来表达: 30[]()()V n V r n r d r =⎰ (2-9)泛函 T [n ] 和 U [n ] 被称作通用泛函, 而势能泛函 V [n ] 被称做非通用泛函, 因为它与当前研究的系统息息相关。

第三章-离散傅里叶变换(DFT)及其快速算法(FFT)

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x(n)
IDFT[ X (k)]N

1 N
N 1
X (k)WNk n ,
k 0
n 0, 1,
, N 1
也可以表示为矩阵形式:
x DN1 X
DN1称为N点IDFT矩阵，定义为
1
DN1

1 N
1 1
1
1 WN1 WN2
WN( N 1)
线性性质 DFT的隐含周期性循环移位性质复共轭序列的DFT DFT的共轭对称性循环卷积定理离散巴塞伐尔定理
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① 线性性质设有限长序列x1(n)和x2 (n)的长度分别为N1和N2 ， x(n) ax1(n) bx2 (n) ，a和b为常数。
则
)
N M
xN (n) x((n))N X (k ) X ((k ))N
有限长序列x(n)的DFT变换X(k)，就是x(n)的周期延拓序列 ~x(n) 的DFS系数 X~(k ) 的主值序列
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DFS与FT之间的关系:
M 1
X (k) DFS[xN (n)] x(n)WNkn n0
xN (n) xN (n)RN (n)
主值区间序列 N M , xN (n) x(n)
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x8 (n) x4 (n)
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周期序列DFS: N 1 X (k ) DFS[ xN (n)] xN (n)WNkn n0
M 1

x(n)WNkn
k
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xN (n)
n
N
0
N

32 dft的基本性质

无限长序列x(n)的共轭反对称性（共轭反对称序列）：
xo (n) = −xo*(−n), −∞ ≤ n ≤ +∞
有限长序列x(n)的共轭反对称性（共轭反对称序列）：
xop (n) = −xo*p (N − n), 0 ≤ n ≤ N −1
无限长序列： x(n) = xe (n) + xo (n)
有限长序列也可以表示为共轭对称部分和共轭反对称部分之和：
5、DFT的共轭对称性
DTFT的对称性
x(n)无限长
DFT的对称性
x(n)有限长
关于原点的对称性关于N/2点的对称性
无限长序列x(n)的共轭对称性（共轭对称序列）：
xe (n) = xe*(−n), −∞ ≤ n ≤ +∞
有限长序列x(n)的共轭对称性（共轭对称序列）：
xep (n) = xe*p (N − n), 0 ≤ n ≤ N −1 xep (n) 隐含周期性，把 xe*p (−n)右移一个周期使之在0～N-1的主值区间内。
n′=0
= WN−km X (k )
循环时移：
N −1+m
∑ Y (k) =
x((n′))NWNk (n′−m)
n′=m
N −1+m
∑ = WN−km
x((n′))
W kn′
NN
n′=m
x((n
±
m)) N
RN
(n)
↔
W ∓ km N
X
(k)
线性时移：
x(n ± n0 ) ↔ e± jωn0 X (e jω )
~
x(n)
移位
~
x(n
+
m)
取主值

信号与系统复习资料第3章离散傅立叶变换(DFT)

1 2
1 e 12
j 2 ( k 11)
1 e 12
B
Ak
6, 6,
1k 21 k 6 101
…11…22…rr…
10 0
11 0
B 0, 0其 0它的…k… x(n) Xc(oks)6 n 6 0 ……
0 0
6 6, k 112r 6X~(k) 6, k 1112r
NT
T0
1 f0
T0 2 f0
N
1
fs
时域离散化==>频域周期化
时域周期化==>频域离散化
N NΩ0
NT0 fs s T f0 0
-7-
§3.3 离散傅里叶级数DFS
( Discrete Fourier Series )
连续周期信号:
~xa(t) ~xa(t kT0) 基频：0 2/T0
x2 m … 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 0 … 10
x2 1m … 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 1 … 8 x2 2m … 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 2 … 6 x2 3m … 2 1 0 5 4 3 2 1 0 5 4 3 … 10
n 0
n 0
x ( n ) I D F S [ X ( k ) ] N 1 N k 0 1 X ( k ) e j2 N n k N 1 N k 0 1 X ( k ) W N n k
其中：
WN
j 2
e N
-9-
X k 与 z 变换的关系：
x (n ) x (n )R N (n )

x(n) x(nrN)

数字信号处理：第3章离散傅里叶变换(DFT)

N 1
X (k mN ) x(n)WN(kmN )n
n0
N 1
x(n)WNkn X (k)
n0
同理可证明(3.1.2)式中
x(n+mN)=x(n)
~
实际上，任何周期为N的周期序列 x 都可以看
作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
~
x
的一个周期，即
~
x(n) x(n mN )
式和(3.2.10)式代入得到
x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n) =xep(n)-xop(n)
xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］ xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］
(3.2.12) (3.2.13) (3.2.14)
2. DFT的共轭对称性 (1) 如果x(n)=xr(n)+jxi(n) 其中 xr=Re［x(n)］=1/2［x(n)+x*(n)］ jxi(n)=jIm［x(n)］=1/2［x(n)-x*(n)］由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得 DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］
n0
X(k)的离散傅里叶逆变换为
X (k) DFT[x(n)]
1 N
N 1 n0
X (n)WNkn ,
k=0, 1, &, N-1
(3.1.2)
式中，
j 2
eN
， N称为DFT变换区间长度N≥M，
通常称(3.1.1)式和(3.1.2)式为离散傅里叶变换对。下面
证明IDFT［X(k)］的唯一性。
则 ((n))N=n1
~
例如， N 5, x(n) x(n)5,

数字信号处理复习题

基本概念信号离散A/D 采样、混叠、泄漏、Naquist 抽样定理系统函数、信号通过系统后的响应离散傅里叶变换（DFT ）离散傅里叶级数的定义，及其主要性质（线性特性、序列移位特性、周期卷积特性）离散傅里叶变换的定义，及其主要性质频域取样的概念、取样点数的限制、以及相应的内插公式实际应用DFT 存在的一些问题（混叠现象、栅栏效应、频率泄漏）及参数选择加权的作用与常用的加全函数：矩形、三角及海明窗随机信号的分析随机信号的描述、随机信号在时域的数字特征、数学期望(均值函数或一阶原点矩) 、方差(二阶中心矩) 、自相关函数、自协方差函数、互相关函数与互协方差函数、随机信号在频域的描述、随机信号功率密度谱与自相关函数的关系、离散时间随机信号的功率密度谱数字滤波器的结构IIR 滤波器的基本结构：直接 I 型、直接 II 型（典范型）、级联型、并联型、转置定理 FIR 滤波器的基本结构：横截型（卷积型、直接型）、级联型、频率抽样型 IIR 数字滤波器的设计：脉冲响应不变法、双线性变换法 FIR 数字滤波器的设计：窗函数法、频率抽样法、数字优化设计信号的谱分析估计质量的评价、随机信号数字特征的估计功率谱估计的经典方法：周期图法、相关法功率谱估计的改进方法：bartlett 法、welch 法、性能评价功率谱估计的参数方法：ARMA模型参数与自相关函数、功率谱之间的关系，AR 模型参数的估计及Y-W 方程的解法， AR 谱估计各种算法的比较及阶数的选择，ARMA 模型与其他功率谱估计方法复习例题1．考虑离散时间序列： x (n) = cos (n π/ 8 ) 求两个不同的连续时间信号，使它们以频率 fs = 10 Hz 采样产生上述序列。

2．如果一个线性移不变系统的输入为：)1(2)(21)(--+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n u n u n x n n 输出为： )(436)(216)(n u n u n y nn ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=求系统函数H(z)，并判断系统是否稳定和因果。

第三章 DFT——离散付氏变换-3.2

x ( n) z n
而对于
n

x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函数，其 Z 变换：
4
X ( z)
DFS 定义：N 1 正变换
n 0
n （取 x( n) 的一个主周期进行 Z 变换）
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
17
（2）利用矩阵——矢量乘法
设变换表达式由下式给出：
~ ~ (k )和 X (k ) 代表序列 x(n) 和 X(k) 主周期的列向量，则 DFS 的正反 x
~ X W N ~ x
* ~ ~ 1 x 其中矩阵 WN 由下式给出： WNX N
1 1 1 1 WN W W 0 k , n N 1 矩阵 W 为方阵，叫做 DFS 矩阵. 1 W N 1 N

2 k N
—频率取样
– 频率取样：若时间信号有限长，当满足下列条件时，X(ejω) 的样本值 X(k) 能不失真的恢复成原信号。 – 为了避免时间上的混迭：（1）必须是时间限制（有限时宽）
x(n),0 n N 1 x ( n) 其它 0,
（2）取样频率间隔小于
e
k 0
N 1
j
2 k (r m ) N
N 0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
N 1 k 0 2 k (r m ) N
e
j
1 WN 1 e j 2 ( r m ) WN k ( r m ) 0 2 ( r m ) j (r m ) 1 WN k 0 1 e N

(完整word版)离散傅里叶变换(DFT)试题汇总(word文档良心出品)

第一章离散傅里叶变换（DFT ）3.1 填空题（1）某序列的DFT 表达式为∑-==1)()(N n knM W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长度为，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是。

解：N ；Mπ2 （2）某序列DFT 的表达式是∑-==10)()(N k klM W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是。

解： NM π2（3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件。

解：纯实数、偶对称（4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统的极点为；系统的稳定性为。

系统单位冲激响应)(n h 的初值为；终值)(∞h 。

解： 2,2121-=-=z z ；不稳定；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1-z 代表的物理意义是，其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是。

解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k Nk πω2=（6）已知}{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和][n h 的5点循环卷积为。

解：{}]3[]2[][][][][---+⊗=⊗k k k k x k h k x δδδ{}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x（7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--===k n h k n x 则][][n h n x 和的4点循环卷积为。

第三章 (DFT 离散傅里叶变换)

0~x21(−2m)3
~x2 (1 − m )
计算区
m m
m
（4）将 ~x2 (−m) 再右移一位、得到 ~x2 (2 − m) ，
可计算出：
∑ ~y(2) = 5 ~x1(m)x2(2 − m) m=0
=1×2 +1×1+1×0 +1×0 + 0×0 + 0×1 =3
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
∑ ~x ( t ) = ∞ X~ ( k Ω 0 ) e jk Ω 0t k = −∞
对上式进行抽样，得：
∑ ~x (nT ) = ∞ X~ (kΩ0 )e jkΩ0nT k =−∞
∑ =
∞
X~
(kΩ0
)e
j
2π
N
nk
k =−∞
，代入
Ω0T
=
2π
N
因 ~x (nT )是离散的，所以 X~(kΩ0 )应是周期的。
换：
∑ ∑ =
N
−1
~x
(
n
)
e
−
j
2π
N
nk
=
N
−1
~x
(
n
)W
nk N
n=0
n=0
[ ] 反变换： ~x (n) = IDFS X~ (k )
∑ ∑ =
1 N
N
−1
X~
(
k
)e
j
2π
N
nk
k =0
=
1 N
N −1 X~ (k )WN−nk
k =0
4. X~(k )的周期性与用Z变换的求法
∑ 周期性：X~
n=0
j 2π

3.DFT——精选推荐

离散Fourier Discrete Fourier Transform周期序列的离散离散Fourier 抽样z 变换——利用DFT 计算模拟信号的一、序列的分类：无限长序列：有限长序列：由于计算机容量的限制，只能对过程进行逐段分析。

有限长序列在数字信号处理中是很重要的一种序列。

二、DFT 引入由于有限长序列，引入DFT 是反映“DFT 作为有限长序列的一种论上重要之外，由于存在计算(快速Fourier 变换数字信号处理的算法中起着核心的作用。

有限长序列的(DFS) 本质上是一致的。

Fourier 变换：建立以时间为自变量的关系。

所以当自变量或离散值时，就形成各种不同形式的换对。

3.2 Fourier 一、连续时间、连续频率()X j Ω∞−∞=∫1()2x t π∞−∞=∫时域连续函数造成频域是非周期的谱，而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。

二、连续时间、离散频率()(k x t X ∞=−∞=∑001()X jk dtT Ω=∫时域的连续函数造成频域是非周期的频谱函数，而频域的离散频谱就与时域的周期时间函数对应。

频域采样，时域周期延拓三、离散时间、连续频率ωn j e X ∞−∞=∑=)(1()2x n TππωπωΩ−==∫时域的离散化造成频域的周期延拓，而时域的非周期对应于频域的连续。

四、离散时间、离散频率—离散Fourier 变换前面三种Fourier 变换对，都不适于计算机上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中函数是连续的。

从数字计算角度出发，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，这就是离散(X (x n 周期性时间信号造成频谱是离散的；离散时间信号造成频谱是周期性的；总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。

3.3 周期序列的离散( Discrete Fourier Series )我们先从周期序列的离散论，然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散连续周期信号：(~x 周期序列( r 为任意整数∑==k a a t x x t x )(~~)(~()N k xn ==∑%()xn %可写成如下的101()N k xn X N −==∑%%两边同乘以e21021()11N jrn Nn N jrn Nn xn e eNN ππ−−=−====∑∑%周期序列的()[(Xk DFS x =%%()[xn IDFS X =%%N W 其中：函数1、共轭对称性：2、周期性：101(N nk mk N N k W W N −=∑3、可约性：4、正交性：N W e−=周期为N 的周期性序列的∑∞−∞=−i x n ~(δ∑∞−∞==i n x )(~=)(~k X ()Xk z %与变换的关系：()x n ⎧=⎨⎩令()x n z 对作变换:()10N n X k x −==∑%%可看作是对的一个周期做z 换在z 平面单位圆上按等间隔角抽样得到()Xk ∴%()x n 2NπDFS 的图示说明例：周期序列x ~n x 21)(=)(~=N k X ∑=11~)(n k X 解：方法1整理与DFS 定义对比知：在方法2由定义式直接计算，得⎪⎩⎪⎨⎧=−−−−==−×−−=∑k ek X k n n 其它的,012,612,61112121)(~122(121)11111)12πππ-2 -1 0 1 2 11 12 N =12()cos 6xn π=%k k k ,)(~-2 -1 0 1 2 11 12例：已知序列如图所示，试求其的系数。

17第十七讲：DFT的运算量及FFT思想

算计算量 • 问题提出：设有限长序列问题提出：设有限长序列x(n),非零非零值长度为N,计算对计算对x(n)进行一次进行一次DFT 值长度为计算对进行一次运算，共需多大的运算工作量? 运算，共需多大的运算工作量
1.比较比较DFT与IDFT之间的运算量比较与之间的运算量
也为复数
所以DFT与IDFT二者计算量相同。
2.以DFT为例，计算以为例，为例计算DFT复数运算量复数运算量
• 计算一个X(k)(一个频率成分)值，运算量为例k=1则 n=0 要进行N次复数乘法和(N-1)次复数加法所以，要完成整个DFT运算，其计算量为：
X (1) = ∑x(n)W
nk N
k ( N−n) N
X (k ) = +
∑
N −1
{[Re
x ( n ) Re W
nk N
n=0
nk N
− Im x ( n ) Im W
nk N
nk N
]}
∑
N −1
{ j [Re x ( n ) Im W
+ Im x ( n ) Re W
]}
n=0
N 为奇 = N 为偶
nk N
= ReW kn = − ImWN
kn N
k ( N−n) N
Re x(n) ReW + Re x(N − n) ReW nk = [Re x(n) + Re x(N − n)] ReWN
− Imx(n) ImW − Imx(N − n) ImW nk = −[Im x(n) − Imx(N − n)] ImWN
N (WN / 2 ) = e

量子学中的DFT理论-文档资料

. 由此得到Kohn-Sham方程：
2 1 Veff (r ) 2 i (r ) i i (r ) Veff (r ) (r ) Vxc (r )
N 2 i 1
(4.23) (4.24)
16
n '(r ) i' (r )
Kohn-Sham方程
2 ' ( i' , ( 1 v ' ( r )) i) 2 i 1 ' i i 1 2 ' ' ' ( i' , 1 ) ( , v ' ( r ) i i i) 2 i 1 i 1 N N N N
W. Kohn-1
密度泛函理论－物质电子结构的新理论
1。氢原子 1）Bohr: 电子＝粒子 2）Schrodinger: 电子＝波 ψ(r) . 3）DFT: 电子是电子云的密度分布。 n（r）.
6
W. Kohn-2
3）DFT: 电子是电子云的密度分布。
2。DFT中的氢分子。由密度分布表示。
E xc [ n '] n ' E xc [ n ] n
v( r ) dr' const Vxc ( r ) (r)
Veff ( r )
Veff ( r ) const
(4.29)
18
Kohn-Sham方程（续2）
Prof. L.J.Sham
1992
14
局域密度近似（LDA）
LDA: 对于缓变的n(r) 或/和高电子密度情况，可采用如下近似：
E xc [n ] n( r ) xc [n( r )]dr

第三章DFT要点

一、教学目的和要求了解傅立叶变换的几种形式（傅立叶变换、傅立叶级数、序列的傅立叶变换、离散傅立叶变换），加深对傅立叶变换的理解；掌握周期序列的离散傅立叶级数正变换和反变换的表示形式，理解周期序列和有限长序列之间的本质联系；熟练掌握离散傅立叶级数的四个基本性质：线性、序列的移位、调制特性和周期卷积和；掌握离散傅立叶变换（DFT）的正变换和反变换表示形式；理解掌握频域抽样理论。

教学重点和难点教学重点：周期序列的离散傅立叶级数正变换和反变换的表示形式；离散傅立叶级数的四个基本性质；离散傅立叶变换（DFT）的正变换和反变换表示形式。

教学难点：DFT的周期性；循环卷积；DFT的共轭对称性；DFT的应用。

二、学习要点（1）DFT的定义和物理意义，DFT和FT、ZT之间的关系；（2）DFT的重要性质和定理：隐含周期性、循环移位性质、共轭对称性、实DFT的特点、循环卷积定理、离散巴塞伐尔定理；（3）频率域采样定理；三、习题：（一）判断：1、有限长序列的DFT是周期的。

（Χ）2、序列的N点DFT是序列的傅里叶变换在单位圆上的N点等间隔采样。

（Χ）3、实序列的DFT具有共轭对称性质。

（√）4、若序列x(n)的长度为M，只有当频域采样点数MN≥时，可由x(n)的N点DFT恢复x(n)。

（√）5、循环卷积和线性卷积是相等的。

（Χ）6、用DFT对连续信号进行谱分析，会产生栅栏效应。

（√）7、截断效应会导致频谱泄露和谱间干扰。

（√）8、栅栏效应和频率分辨率是同一个概念。

（Χ）9、信号持续时间的长短和谱分辨率没有关系。

（Χ）（二）、选择1、N点IDFT具有隐含周期特性，周期是（D ）：A.4NB.3NC.2ND. N2、N点DFT的共轭对称性指关于（C ）的对称性：A.2NB.NC.N/2D. 03、若序列x(n)和y(n)的长度分别为4，5，要使L点循环卷积和线性卷积相等，则L的最小值为（C ）：A.10B.9C.8D.74、若X(k)是x(n)的N点DFT，则DFT[x*(N-n)]=( B ):A. X*(n)B. X*(k)C. X*(N-k)D. X(N-k)5、若X(k)是x(n)的N点DFT，则DFT[x*(n)]=( C ):A. X*(n)B. X*(k)C. X*(N-k)D. X(N-k)6、若序列x(n)和y(n)的长度分别为N，M，则它们的L点循环卷积和线性卷积相等的条件是（A ）：A. 1-≥ D. 1++L-LNN≥M+N≥M≥ C. ML B. MNL+7、若序列长度为M，采样点数为N，则频域采样定理要求（A）A ．MN≥ B ．MN≤ C ．2MN≥ D ．2MN≤8、关于栅栏效应和频率分辨率，下列说法正确的是（B ）A ．相同的概念B ．增加点数可以改善栅栏效应C ．增加点数可以改善频率分辨率D ．增加信号持续时间并不能改善频率分辨率 9、关于截断效应下列说法正确的是（C ）A ．会引起栅栏效应B ．会导致频谱延拓C ．会引起谱间干扰D ．会导致时域混叠10、用DFT 对连续信号进行谱分析，会出现（D ）A ．频谱展宽B ．泄露C ．截断效应D ．栅栏效应11、用DFT （N 点）对序列进行谱分析，则频率分辨率为（B ） A ．/N π B ．/N 2π C ．/N 3π D ． /N 4π 三：填空题 1、*()()(),()ee e e x n x n x n x n =-如果序列满足则称为（）序列。

信号总复习DFT部分

x(n)e
n 0N 1j源自2 kn N由k值对应的模拟频率值可以计算出两个频率之间的间距即频率分辨率F（两个k之间的频谱未知）： 2 k k k Ts 2 f k / Fs N Tp=NT为截断时间长度 Fs Fs采样频率
fk N k Fs 1 1 F f k f k 1 f k N NT s T p
考help文件。
第三章离散傅立叶变换(DFT)
【例3.1.2】设x(n)=R4(n)，X(ejω)=FT［x(n)］。分别
计算X(ejω)在频率区间［0，2π］上的16点和32点等间隔采样，并绘制X(ejω)采样的幅频特性图和相频特性图。
解由DFT与傅里叶变换的关系知道，X(ejω)在频率区
2 2500 N min 1000 5 1 Tp min 0.2 s 5
用快速算法FFT计算时，选用N=1024点。为提高谱分辨率，又保持谱分析范围不变，必须
增长记录时间Tp，增加采样点数。应当注意，这种提
高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定理，甚至采样速率Fs取得更高。
第三章离散傅立叶变换(DFT)
第三章
离散傅立叶变换(DFT)
第三章离散傅立叶变换(DFT)
3.1 离散傅立叶变换的定义及物理意义
离散序列的连续傅里叶变换(DTFT)
X (e )
j n

x( n)e j n
离散序列的离散傅里叶变换(DFT)
kn X ( k ) x( n)W N x( n)e n 0 n 0 N 1 N 1 j 2 kn N
（3.2.9）
其中 ) DFT[ x1 (n)]N , X 2 (k ) DFT[ x2 (n)]N X 1 (k