必修一奇偶性1
高一必修一数学奇偶性知识点
高一必修一数学奇偶性知识点在高一必修一的数学学习中，奇偶性是一个非常重要的知识点。
奇偶性在数学中具有广泛的应用，不仅在解方程、证明等数学题目中有用，还在实际生活中有很多应用。
下面我们将详细介绍高一必修一数学中与奇偶性相关的知识点。
一、整数的奇偶性整数的奇偶性是指整数的性质，可以判断一个数是奇数还是偶数。
整数的奇偶性是通过整除2来确定的。
当一个整数除以2的余数为0时，它是一个偶数；当余数为1时，它是一个奇数。
二、四则运算中的奇偶性在四则运算中，奇数与奇数相加、相乘，结果仍为奇数；偶数与偶数相加、相乘，结果也是偶数。
而奇数与偶数相加、相乘，结果则是偶数。
三、幂的奇偶性在幂的运算中，奇数的任意次幂都是奇数，而偶数的任意次幂都是偶数。
四、多项式的奇偶性对于多项式来说，奇次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相同；偶次幂项的系数的奇偶性与整体多项式的奇偶性相反。
五、函数的奇偶性在函数的奇偶性中，如果对于任意的x，函数f(-x) = f(x)，则称函数是偶函数；如果对于任意的x，函数f(-x) = -f(x)，则称函数是奇函数。
六、图形的奇偶性在几何图形中，奇函数的图形关于坐标原点对称，偶函数的图形关于y轴对称。
七、应用举例1. 在解一元二次方程时，可以根据方程中各项的系数的奇偶性，来判断方程的根的奇偶性，从而简化解题过程。
2. 在证明数学命题时，奇偶性也经常被用到。
通过分析题目中给出的条件和结论的奇偶性，可以选择合适的方法进行证明。
3. 在计算机科学中，奇偶性也常常被用于数据校验，如奇偶校验位、CRC校验等。
综上所述，高一必修一数学中的奇偶性知识点涉及整数、四则运算、幂、多项式、函数和图形等方面。
掌握奇偶性的规律和应用，可以帮助我们更好地理解和解决数学问题，提高数学思维能力和解题能力。
因此，我们要认真学习和掌握这一知识点，为接下来的学习打下良好的基础。
人教版高一数学必修一函数的奇偶性课件PPT
总之,他们不是老老实实地坐在座位上听讲,而是急不可耐地 挨过上课时间，显然,你已经知道,从上课铃到下课铃的整个 课堂时段中,只有那些高效教师才能保持课堂不被琐事中断, 并且保证学生能够集中注意力。在高效教师的课堂上,没有 一分钟被浪费,没有学生无事可做。也正是因为这个原因,高 效的教师很少遇到有关课堂纪律的问题。 那么,高效教师是如何让整个课堂从头到尾一直保持饱满的 状态呢?他们仔细规划课堂上的每一分钟,以保证没有时间 被浪费;他们仔细规划讲课过程,力求简明扼要(因为他们知 道长时间维持学生的注意力是件很不容易的事。)他们为领 先的学生着想,他们也为后进的学生着想。
奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
理论迁移
例1 判断下列函数的奇偶性:
(1)
; (2)
.
例2 已知定义在R上的函数f(x)满足：对任
意实数，都有
成立.
（1）求f(1)和f(-1)的值；
（2）
确定f(x)的奇偶性.
例3 确定函数
y
-1 o 1
的单调区间.
x
1.3.2 奇偶性 第一课时 函数的奇偶性
f(x)=-f(-x)
思考4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x， 都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数f(x)为奇 函数.
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样表 述？
自变量相反时对应的函数值相反
思考6:函数
是奇函数吗？
偶函数的定义域关于原点对称
知识探究（二）
考察下列两个函数：
(1)
;
(2)
.
y
y
o
高一数学必修一函数专题：奇偶性
高一数学必修一函数专题：奇偶性第一部分：常见的奇函数和偶函数常见奇函数：第一种：nx x f =)(（n 为奇数）例：x x f =)(；x x x f 1)(1==-；3)(x x f =；331)(xx x f ==-。
第二种：n x x f =)(（n 为奇数）例：331)(x x x f ==；515)(x x x f ==。
第三种：)sin()(x A x f ϖ=例：)2sin()(x x f =；)sin()(x x f --=；x x f sin 21)(=。
第四种：)tan()(x A x f ϖ=例：x x f tan )(=；)21tan(2)(x x f --=；x x f tan 3)(=。
常见偶函数：第一种：n x x f =)(（n 为偶数）例：2)(x x f =；221)(x x x f ==-；4)(x x f =；441)(x x x f ==-。
第二种：c x f =)(（c 为常数）例：2)(=x f ；21)(-=x f 。
第三种：)cos()(x A x f ϖ=例：)cos(3)(x x f -=；)2cos(21)(x x f =；)cos()(x x f -=。
第四种：|)(|)(x g x f =（)(x g 为奇函数或者偶函数）例：|)sin(2|)(x x f -=；||)(4x x f =；|tan |)(x x f =；|)21cos(|)(x x f -=。
两种特殊的奇偶函数：第一种：)()()()(x f x g x g x f ⇒-+=是偶函数例：x x e e x f -+=)(，假设：)()()()()()(x f x g x g x f e x g e x g x x ⇒-+=⇒=-⇒=-是偶函数。
第二种：)()()()(x f x g x g x f ⇒--=是奇函数例：x x x f 313)(-=，假设：)()()()(313)(3)(x f x g x g x f x g x g xx x ⇒--=⇒==-⇒=-是奇函数。
高一数学必修一,函数的奇偶性题型归纳
函数的奇偶性 题型归纳题型一、函数奇偶性的概念➢ 函数奇偶性的定义：设函数D x x f y ∈=，)(，（D 为关于原点对称的区间）：①如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f -=，则称)(x f y =为偶函数；②如果对于任意的D x ∈,都有)()(x f x f --=，则称)(x f y =为奇函数。
➢ 函数奇偶性的性质：①函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。
②奇偶函数的图像：奇函数关于原点对称；偶函数关于y 轴对称。
③奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则必有0)0(=f 。
④偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =。
1. 若)(x f 是奇函数，则其图象关于（ ）【答案：C 】A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线x y =对称2. 若函数))((R x x f y ∈=是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数)(x f y =图象上的是（ ）【答案：C 】A ．))(,(a f a -B ．))(,(a f a --C ．))(,(a f a ---D ．))(,(a f a -3. 下列说法错误的是（ ）【答案：D 】A.奇函数的图像关于原点对称B.偶函数的图像关于y 轴对称C.定义在R 上的奇函数()x f y =满足()00=fD.定义在R 上的偶函数()x f y =满足()00=f题型二、判断函数的奇偶性➢ 定义法：➢ 运算函数奇偶性的规律：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×÷奇=偶；奇×÷偶=奇；偶×÷偶=偶。
➢ 复合函数奇偶性判断：内偶则偶，两奇为奇。
➢ 抽象函数奇偶性：赋值法。
1、定义法：1. 下列函数中为偶函数的是（ ）【答案：C 】A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y2. 判断函数的奇偶性 ①)3,1(,)(2-∈=x x x f ②2)(x x f -=；③25)(+=x x f ； ④)1)(1()(-+=x x x f .⑤()xx x f 1-= ⑥()13224+-=x x x f 【答案：】（1）非奇非偶函数.（2）偶函数.（3）非奇非偶函数.（4）偶函数.（5）奇函数（6）偶函数.2、奇偶函数的四则运算法则：3. 下列函数为偶函数的是（ ）【答案：D 】A.()x x x f +=B.()xx x f 12+= C.()x x x f +=2 D.()2x x x f =4. 判断函数的奇偶性①53)(x x x x f ++=； ②1y 2+=x x【答案：（1）奇函数. （2）奇函数. 】5. 已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 （填序号）。
高中数学必修一课件 第一章集合与函数概念 1.3.2.1 奇偶性
[规律方法] 1.(1)首先考虑定义域是否是关于原点对称，如 果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数；(2)在定 义 域 关 于 原 点 对 称 的 前 提 下 ， 进 一 步 判 定 f( － x) 是 否 等 于 ±f(x)． 2．分段函数的奇偶性应分段说明f(－x)与f(x)的关系，只有 当对称区间上的对应关系满足同样的关系时，才能判定函数 的奇偶性．
4．若函数f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 解析 f(x)＝x2＋(a－4)x－4a， 又f(x)为偶函数， ∴a－4＝0，则a＝4. 答案 4
5．(1)如图①所示，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y 轴右侧的图象并求出f(3)的值； (2)如图②所示，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，比较f(1) 与f(3)的大小，并试作出y轴右侧的图象．
|1－m|＜|m|.
－2≤m≤2， 即－1≤m≤3，
m＞12.
因此，m 的取值范围为12＜m≤2.
易错辨析 忽视定义域，错判函数的奇偶性 【示例】 判断函数 f(x)＝(x－1) 11＋ －xx的奇偶性． [错解] f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx＝－ 1＋x1－x ＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
互动探究 探究点1 奇函数、偶函数的定义域一定关于原点对称吗？为 什么？ 提示 一定关于原点对称．由定义知，若x是定义域内的一 个元素，－x也一定是定义域内的一个元素，所以函数y＝f(x) 具有奇偶性的一个必不可少的条件是：定义域关于原点对 称． 探究点2 有没有既是奇函数又是偶函数的函数？ 提示 有．如f(x)＝0，x∈R.
∴－－22≤≤m1－≤m2，≤2， 1－m>m，
2019新版高中数学人教A版必修一第三章 函数的概念与性质 第6节 函数的奇偶性(1)
例 2：若 f(x)＝ax2＋bx＋3x＋b 是偶函数，其定义域为[a－3,2a]，则 a＝________， b＝________.
解析：∵f(x)是偶函数，故定义域关于原点对称，即有 2a＋a－3＝0，∴a＝1. 又∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 故有 b＝－3.答案：1 －3
解：令 g（x）=ax3﹣bx，则由奇函数的定义可得函数 g（x）为 R 上的奇函数， ∴由 f（﹣3）=g（﹣3）+1=1 得，g（﹣3）=0， ∴f（3）=g（3）+1=﹣g（﹣3）+1=1．
4.已知函数
是奇函数，则 a= ．
解：∵y=f（x）=
的定义域为（﹣1，1），且函数为奇函数,∴f（0）=|2+0|+a=0，解
A．﹣3
B．﹣1
C．1
D．3
解：因为 f（x）为定义在 R 上的奇函数，所以 f（0）=20+2×0+b=0， 解得 b=﹣1，所以当 x≥0 时，f（x）=2x+2x﹣1，又因为 f（x）为定义在 R 上的 奇函数，所以 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（21+2×1﹣1）=﹣3，故选 A．
例 6：已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝2x－1，求函数 f(x) 的解析式．
8.定义域为 R 的函数 f(x)满足：对于任意的实数 x、y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) 成立，且当 x＞0 时，f(x)＜0 恒成立，判断函数 f(x)的奇偶性。
解：f(x)为奇函数，
高一数学必修一函数知识点
【导语】考试是检测学⽣学习效果的重要⼿段和⽅法，考前需要做好各⽅⾯的知识储备，对于数学更加要进⾏复习归纳。
下⾯就让给⼤家分享⼀些⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结吧，希望能对你有帮助!⾼⼀数学必修⼀函数知识点总结篇⼀1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可⽤于求参数);(3)判断函数奇偶性可⽤定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题⼀定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或⽅程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中⼼(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的⽅程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2⽅程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成⽴，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)恒成⽴,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像⼜关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;5.⽅程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x) 恒成⽴ a≥[f(x)]max,; a≤f(x) 恒成⽴ a≤[f(x)]min;7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+); (2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);(3) l og a b的符号由⼝诀“同正异负”记忆; (4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且;(2)B中元素不⼀定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9. 能熟练地⽤定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
人教版高一数学必修一知识点梳理
【导语】⾼⼀新⽣要作好充分思想准备，以⾃信、宽容的⼼态，尽快融⼊集体，适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。
记住：是你主动地适应环境，⽽不是环境适应你。
因为你⾛向社会参加⼯作也得适应社会。
以下内容是⽆忧考为你整理的《⼈教版⾼⼀数学必修⼀知识点梳理》，希望你不负时光，努⼒向前，加油！1.⼈教版⾼⼀数学必修⼀知识点梳理 函数的奇偶性 (1)偶函数 ⼀般地，对于函数f(x)的定义域内的任意⼀个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 ⼀般地，对于函数f(x)的定义域内的任意⼀个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数. 注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数⼜是偶函数。
○2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的⼀个必要条件是，对于定义域内的任意⼀个x，则-x也⼀定是定义域内的⼀个⾃变量(即定义域关于原点对称). (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结：利⽤定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○1⾸先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称; ○2确定f(-x)与f(x)的关系; ○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数. 注意啊：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.⾸先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是⾮奇⾮偶函数.若对称， (1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)⽐较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利⽤定理，或借助函数的图象判定.2.⼈教版⾼⼀数学必修⼀知识点梳理 定义： x轴正向与直线向上⽅向之间所成的⾓叫直线的倾斜⾓。
高一数学必修一函数知识点总结归纳
高一数学必修一函数知识点总结归纳1.函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x);(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x=对称;4.函数的周期性(1)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2的周期函数;(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=，则y=f(x)是周期为2的周期函数;5.方程k=f(x)有解k∈D(D为f(x)的值域);6.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;7.(1)(a>0,a≠1,b>0,n∈R+);(2)logaN=(a>0,a≠1,b>0,b≠1); (3)logab的符号由口诀“同正异负”记忆;(4)alogaN=N(a>0,a≠1,N>0);8.判断对应是否为映射时，抓住两点：(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
高中数学必修一-函数的奇偶性
函数的奇偶性知识集结知识元根据奇偶性求值知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据奇偶性求值例1.设y=f（x）是定义域为R的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=|x-1|，则f（-1）=（）A．0B．1C．-1D．2例2.已知定义域为R的奇函数f（x）的图象关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f（x）=x3，则=（）A．B．C．D．例3.下列函数，既是偶函数，又在（-∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=-（x-1）2B．C．f（x）=3|x|D．f（x）=cos x例4.已知函数f（x）和f（x+2）都是定义在R上的偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x，则=（）A．2B．C．D．函数的奇偶性中的含参数问题知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲函数的奇偶性中的含参数问题例1.已知函数f（x）为R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x（x＋1）．若f（a）＝﹣2，则实数a＝．例2.若f（x）＝2x＋a•2﹣x为奇函数，则a＝．例3.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝．根据函数的奇偶性求函数解析式知识讲解一、奇函数1、定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．2.点拨（1）如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；（2）若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；（3）已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f （x），当x＞0时，f（x）＝x2＋x，那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2＋（﹣x）⇒﹣f（x）＝x2﹣x⇒f（x）＝﹣x2＋x3.命题方向奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．二、偶函数1.定义如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．2.点拨（1）运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3＋bx2＋cx＋d，那么a＋c是多少？（2）结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f （﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．3.命题方向与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．例题精讲根据函数的奇偶性求函数解析式例1.设f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x（1＋）＋1，则f（x）表达式为．例2.'已知函数y＝f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，，求f（x）在R上的解析式.'例3.已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（0，＋∞）时，，则f（x）的解析式为．备选题库知识讲解本题库作为知识点“函数奇偶性的定义”的题目补充.例题精讲备选题库例1.已知一个奇函数的定义域为{-1，2，a，b}，则a+b=（）A．-1B．1C．0D．2例2.已知函数y=f（x）在R上为奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2-2x，则当x<0时，f（x）的解析式是（）A．f（x）=-x（x+2）B．f（x）=x（x-2）C．f（x）=-x（x-2）D．f（x）=x（x+2）例3.若函数f（x）（f（x）≠0）为奇函数，则必有（）A．f（x）∙f（-x）>0B．f（x）∙f（-x）<0C．f（x）<f（-x）D．f（x）>f（-x）例4.y=f（x）为奇函数，当x>0时f（x）=x（1-x），则当x<0时，f（x）=______。
高中必修一函数的奇偶性详细讲解及练习(详细答案)
函数的单一性和奇偶性例 1（1）画出函数y＝ -x2+2｜ x｜+3 的图像，并指出函数的单一区间．解：函数图像以以下图所示，当 x≥0时，y＝ -x2+2x+3 ＝ -（ x-1）2+4；当 x＜ 0 时，y＝ -x2-2x+3 ＝ -（ x+1）2+4 ．在（ -∞，-1］和［ 0， 1］上，函数是增函数：在［-1， 0］和［ 1， +∞）上，函数是减函数．评析函数单一性是对某个区间而言的，对于单唯一个点没有增减变化，所以对于区间端点只需函数存心义，都能够带上．（ 2）已知函数 f（ x）＝ x2+2 （ a-1）x+2在区间（ -∞， 4］上是减函数，务实数 a 的取值范围．剖析要充足运用函数的单一性是以对称轴为界限这一特点．解： f（ x）＝ x2+2（ a-1）x+2 ＝［ x+ （ a-1）］２x＝ 1-a．因为-（ a-1）2+2，此二次函数的对称轴是在区间（ -∞， 1-a］上 f（ x）是单一递减的，若使f（ x）在（ -∞，4］上单一递减，对称轴x＝1-a 一定在 x=4 的右边或与其重合，即 1-a≥4， a≤-3．评析这是波及逆向思想的问题，即已知函数的单一性，求字母参数范围，要注意利用数形联合．例 2判断以下函数的奇偶性：（ 1） f （ x）＝-（ 2） f （ x）＝（ x-1）．解：（ 1）f （ x）的定义域为R．因为f （ -x）＝｜ -x+1 ｜ -｜ -x-1 ｜＝｜ x-1｜ -｜ x+1 ｜＝ -f （x）．所以 f（ x）为奇函数．（2） f （ x）的定义域为｛ x｜ -1≤x＜ 1｝，不对于原点对称．所以f（ x）既不是奇函数，也不是偶函数．评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法以下：（1）求函数的定义域，并考察定义域能否对于原点对称．（ 2）计算 f（ -x），并与f（ x）比较，判断 f （ -x）＝ f（ x）或 f（-x）＝ -f（ x）之一能否建立．f （ -x）与 -f （ x）的关系其实不明确时，可考察f（ -x）±f（x）＝ 0 能否建立，从而判断函数的奇偶性．例 3已知函数f（ x）＝．（1）判断 f（ x）的奇偶性．（2）确立 f（ x）在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?在区间（ 0，+∞）上呢 ?证明你的结论．解：因为 f （ x）的定义域为R，又f （ -x）＝＝＝ f （ x），所以 f（ x）为偶函数．（ 2）f（ x）在（ -∞，0）上是增函数，因为f（ x）为偶函数，所以f（x）在（ 0，+∞）上为减函数．其证明：取 x1＜ x2＜ 0，f （ x1） -f （ x2）＝-＝＝．因为 x1＜ x2＜ 0，所以x2-x1＞ 0， x1+x 2＜ 0，x21 +1＞ 0， x22+1＞ 0，得 f （ x1） -f （ x2）＜ 0，即 f （ x1）＜ f（x2）．所以 f（ x）在（ -∞， 0）上为增函数．评析奇函数在（ a,b）上的单一性与在（ -b,-a）上的单一性同样，偶函数在（ a,b）与（ -b,-a）的单一性相反．例 4 已知 y=f （ x）是奇函数，它在（ 0， +∞）上是增函数，且 f（ x）＜ 0，试问 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是增函数仍是减函数 ?证明你的结论．剖析依据函数的增减性的定义，能够任取x1＜ x2＜ 0，从而判断F（ x1）-F（ x2）＝-＝的正负．为此，需分别判断f（ x1）、 f （ x2）与 f （ x2）的正负，而这能够从已条件中推出．解：任取 x1、x2∈（ -∞，0）且 x1＜ x2，则有 -x1＞ -x2＞ 0．∵ y＝f （x）在（ 0，+∞）上是增函数，且 f （ x）＜ 0，∴ f （ -x2）＜ f（ -x1）＜ 0．①又∵ f（ x）是奇函数，∴ f （ -x2）＝ -f（ x2）， f（ -x1）＝ -f （ x1）②由①、②得f（ x2）＞ f（x1）＞ 0．于是F（x1） -F（ x2）＝＞ 0，即F（x1）＞ F（ x2），所以 F（ x）＝在（ -∞， 0）上是减函数．评析本题最简单发生的错误，是受已知条件的影响，一开始就在（0， +∞）内任取 x1＜ x2，睁开证明．这样就不可以保证-x1，-x2，在（ -∞， 0）内的随意性而致使错误．防止错误的方法是：要明确证明的目标，有针对性地睁开证明活动．-1， 1）内的单一性．例 5 议论函数 f（ x）＝（ a≠0）在区间（剖析依据函数的单一性定义求解．解：设 -1＜ x1＜ x2＜１，则f （ x1） -f （ x2）＝-＝∵ x1， x2∈（ -1，1），且 x1＜ x２，∴x1-x2＜ 0， 1+x1x2＞ 0，（ 1-x 21）（ 1-x 22）＞ 0于是，当a＞ 0 时， f （x1）＜ f（ x2）；当 a＜ 0 时， f （x1）＞ f（ x2）．故当 a＞0 时，函数在（-1， 1）上是增函数；当a＜0 时，函数在（-1， 1）上为减函数．评析依据定义议论（或证明）函数的单一性的一般步骤是：（ 1）设 x1、x2是给定区间内随意两个值，且x1＜ x2；（2）作差 f（ x1） -f （ x2），并将此差式变形；（3）判断 f（ x1） -f （ x2）的正负，从而确立函数的单一性．例 6 求证： f（ x）＝ x+（k＞0）在区间（0，k］上单一递减．解：设 0＜x1＜x2≤k，则f （ x1） -f （ x2）＝ x1+-x2-＝∵ 0＜ x1＜ x2≤k，∴x1-x2＜ 0， 0＜ x1x2＜ k2，∴f （ x1） -f （ x2）＞ 0∴f （ x1）＞ f （ x2），∴f （ x）＝ x+中（0，k］上是减函数．评析函数 f （ x）在给定区间上的单一性反应了函数 f （x）在区间上函数值的变化趋向，是函数在区间上的整体性质．所以，若要证明f（ x）在［ a,b］上是增函数（减函数），就一定证明对于区间［ a,b］上随意两点x1， x2，当 x1＜ x2时，都有不等式f（ x1）＜ f（ x2）（ f （x1）＞ f （ x2））近似能够证明：函数 f（ x）＝ x+（k＞0）在区间［k，+∞］上是增函数．例 7剖析判断函数f（ x）＝的奇偶性．确立函数的定义域后可脱去绝对值符号．解：由得函数的定义域为［-1，1］．这时，｜x-2 ｜＝ 2-x．∴ f （ x）＝，∴ f （ -x）＝＝＝f（x）．且注意到 f （x）不恒为零，从而可知， f （x）＝是偶函数，不是奇函数．评析因为函数分析式中的绝对值使得所给函数不像拥有奇偶性，若不作深入思虑，便会作出其非奇非偶的判断．但隐含条件（定义域）被揭露以后，函数的奇偶性就特别显然了．这样看来，解题中先确立函数的定义域不单能够防止错误，并且有时还能够避开议论，简化解题过程．函数奇偶性练习一、选择题1．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠ 0）是偶函数，那么g（ x）＝ ax3＋ bx2＋ cx（）A．奇函数B．偶函数C．既奇又偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则（）A．1a， b＝0． a＝－， b＝0． a＝，b＝0．a＝， b＝0C D33．已知f（x）是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时，f（x）＝x2－ 2x，则f（x）在 R 上的表达式是（）A．y＝ x（ x－ 2）B．y ＝ x（｜ x｜－ 1） C．y ＝｜ x｜（ x－2）D．y＝ x（｜ x｜－ 2）4．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－ 8，且f（－ 2）＝ 10，那么f（ 2）等于（）A．－ 26B．－ 18C．－ 10D．105．函数1x 2x1）f ( x)x 2是（1x1A．偶函数B．奇函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数6．若(x) ，g（x）都是奇函数， f ( x)a bg ( x) 2 在（0，＋∞）上有最大值5，则 f （ x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－ 5B．最大值－ 5C．最小值－ 1D．最大值－ 3二、填空题x22 7．函数f ( x)1的奇偶性为 ________（填奇函数或偶函数）．x 28．若y ＝（－1）x2＋2＋ 3 是偶函数，则＝ _________．m mx m9．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，若1，则 f （ x）的分析式为_______．f (x) g (x)x110．已知函数f（ x）为偶函数，且其图象与 x 轴有四个交点，则方程 f（ x）＝0的全部实根之和为________．三、解答题11．设定义在［－ 2，2］上的偶函数f （）在区间［ 0， 2］上单一递减，若f（1－）＜f（），务实x m m数 m的取值范围．12．已知函数 f （ x）知足 f （x＋ y）＋ f （ x－ y）＝2f （ x）· f （ y）（x R，y R），且f（0）≠0，试证 f （ x）是偶函数．13. 已知函数f （）是奇函数，且当x＞0 时，f（）＝x3＋2 2—1，求f（）在 R上的表达式．x x x x14. f（x）是定义在（－∞，－5］［5，＋∞）上的奇函数，且 f （x）在［5，＋∞）上单一递减，试判断 f （x ）在（－∞，－ 5］上的单一性，并用定义赐予证明．15. 设函数 y ＝ f （ x ）（ x R 且 x ≠0）对随意非零实数x 1、 x 2 知足 f （ x 1· x 2）＝ f （ x 1）＋ f （ x 2），求证 f （ x ）是偶函数．函数的奇偶性练习参照答案1． 分析： f （ x ）＝ ax 2＋ bx ＋ c 为偶函数， ( x) x 为奇函数，∴ g （ x ）＝ ax 3＋ bx 2＋ cx ＝ f （ x ）· ( x) 知足奇函数的条件． 答案： A2．分析： 由f（ ）＝2＋ bx＋ 3 ＋ b 为偶函数，得 b ＝ 0．xax a1 ．应选 A ．又定义域为［ a －1， 2a ］，∴ a － 1＝2a ，∴ a33．分析： 由 x ≥ 0 时， f （ x ）＝ x 2－ 2x ， f （ x ）为奇函数，∴当 x ＜ 0 时， f （ x ）＝－ f （－ x ）＝－（ x 2＋2x ）＝－ x 2－ 2x ＝ x （－ x －2）．x(x 2) ( x 0) ,∴ f ( x)2) ( x 0) 即 f （x ）＝ x （| x | － 2）x( x,答案： D4．分析： f （x ）＋ 8＝x 5＋ ax 3＋ bx 为奇函数，f （－ 2）＋ 8＝ 18，∴ f （2）＋ 8＝－ 18，∴ f （ 2）＝－ 26．答案： A5．分析： 本题直接证明较烦，可用等价形式f （－ x ）＋ f （x ）＝ 0．答案： B6．分析：( x) 、 g （x ）为奇函数，∴ f (x)2 a ( x) bg (x) 为奇函数．又 f （x ）在（ 0，＋∞）上有最大值5，∴ f （ x ）－ 2 有最大值3．∴ f （ x ）－ 2 在（－∞， 0）上有最小值－ 3， ∴ f （ x ）在（－∞， 0）上有最小值－ 1． 答案：C7．答案： 奇函数8．答案： 0 分析： 因为函数 y ＝（ m － 1） x 2＋ 2mx ＋ 3 为偶函数，∴ f （－ x ）＝ f （x ），即（ m － 1）（－ x ） 2＋ 2m （－ x ）＋ 3＝（ m — 1） x 2＋ 2mx ＋ 3，整理，得 m＝ 0．9．分析： 由 f （ x ）是偶函数， g （ x ）是奇函数，可得f (x)g( x) 1 ，联立 f ( x) g ( x)1x 1x，∴1 (1111f ( x)x 11 ) ．2 x x 2 1答案： f (x)1 10．答案： 011 ． 答案： m1x21212． 证明： 令 x ＝ ＝ 0，有 f （ 0）＋f （0）＝ 2 （ 0）· （0），又 f （ 0）≠ 0，∴可证 f （ 0）＝ 1．令xyf f＝ 0，∴ f （ y ）＋ f （－ y ）＝ 2f （0）· f （ y ） f （－ y ）＝ f （ y ），故 f （ x ）为偶函数．13． 分析： 本题主假如培育学生理解观点的能力．f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2－ 1．因 f （x ）为奇函数，∴ f （ 0）＝ 0．当 x ＜0 时，－ x ＞ 0， f （－ x ）＝（－ x ） 3＋ 2（－ x ） 2－1＝－ x 3＋ 2x 2－ 1， ∴ f （ x ）＝ x 3－ 2x 2＋ 1．x 3 2 x 21 ( x 0) , 所以， f (x)( x 0) ,x 32x 21( x0) .评论： 本题主要考察学生对奇函数观点的理解及应用能力．14． 分析： 任取 x 1＜ x 2≤－ 5，则－ x 1＞－ x 2≥－ 5．因 f （x ）在［ 5，＋∞］上单一递减，所以f （－ x 1）＜ f （－ x 2） f （ x 1）＜－ f （ x 2） f （ x 1）＞f （ x 2），即单一减函数．评论： 本题要注意灵巧运用函数奇偶性和单一性，并实时转变．15． 分析： 由 x 1， x 2 R 且不为 0 的随意性，令 x 1＝ x 2＝ 1 代入可证，f （ 1）＝ 2f （ 1），∴ f （ 1）＝0．又令 x 1＝x 2＝－ 1，∴ f ［－ 1×（－ 1）］＝ 2f （1）＝ 0，∴（－ 1）＝ 0．又令 x 1＝－ 1， x 2＝ x ，∴ f （－ x ）＝ f （－ 1）＋ f （ x ）＝ 0＋ f （ x ）＝ f （ x ），即 f （ x ）为偶函数．评论： 抽象函数要注意变量的赋值，特别要注意一些特别值，如，x 1＝ x 2＝ 1， x 1＝x 2＝－ 1 或 x 1＝x2＝0等，而后再联合详细题目要求结构出合适结论特点的式子即可．。
2019-2020学年高中数学新教材必修一第3章 3.1.3 第1课时 奇偶性的概念
关于y轴对称，其图像如图所示．
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利用函数的奇偶性求值
[探究问题] 1．对于定义域内的任意 x，若 f(－x)＋f(x)＝0，则函数 f(x)是否具 有奇偶性？若 f(－x)－f(x)＝0 呢？ 提示：由 f(－x)＋f(x)＝0 得 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 由 f(－x)－f(x)＝0 得 f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．
(1)画出在区间[－5,0]上的图像； (2)写出使f(x)<0的x的取值集合．
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[解] (1)因为函数f(x)是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图像关 于原点对称．
由y＝f(x)在[0,5]上的图像，可知它在[－5,0]上的图像，如图所 示．
(2)由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2，0)∪(2,5)．
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3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________. 4 [法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋ a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，两式恒相等，则a－4＝0，即a＝4. 法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函数为偶函 数，只需多项式的奇次项系数为0，即a－4＝0，则a＝4. 法三：根据二次函数的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶 函数，因而本题只需将解析式看成是平方差公式，则a＝4.]
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1．下列函数是偶函数的是( )
A．y＝x
B．y＝2x2－3
C．y＝
1 x
D．y＝x2，x∈[0,1]
B [选项 C、D 中函数的定义域不关于原点对称，选项 A 中的函
高中数学必修一课件：奇偶性(第1课时)
(5)由x2－1≠0，得x≠±1，
∴f(x)＝
1 x2－1
【分析】 讨论函数的奇偶性首先要确定函数的定义域，如果定义域不关 于原点对称，那么可判定为非奇非偶函数，如果定义域关于原点对称，那么看 f(－x)＝±f(x)(或f(－x)±f(x)＝0)是否成立．
【解析】 (1)f(x)的定义域为R，∀x∈R，都有－x∈R，
且f(－x)＝－x5－x3－x＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)如图2是偶函数y＝f(x)的部分图象，比较f(1)与f(3)的大小的结果为 __f(_3)_>_f(_1)__．
【解析】 ∵偶函数f(x)满足f(－3)>f(－1)， ∴f(3)>f(1)．
(3)已知函数y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所
有实根之和是( D )
课后巩固
1．函数f(x)＝x2＋ x的奇偶性为( D )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析 定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称．
2．【多选题】下列函数中是偶函数的是( AD )
A．y＝x4－3
B．y＝x2，x∈(－3，3]
C．y＝－x－3x
D．y＝x2－1 1
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)( B )
探究2 (1)如果函数图象经过原点，那么此函数不论是奇函数还是偶函数， 其图象与x轴的交点个数必为奇数．如果函数图象不经过原点，那么此函数不论 是奇函数还是偶函数，其函数图象与x轴的交点个数必为偶数．
人教A版数学必修一1.3.2第1课时函数奇偶性的概念
误区：判断函数的奇偶性时，因忽略定义域而出错
【典例】判断函数 f(x)＝(x－1)
11＋ －xx的奇偶性．
【错误解答】f(x)＝－ 1－x2·11＋－xx ＝－ 1＋x1－x＝－ 1－x2， ∴f(－x)＝－ 1－－x2＝－ 1－x2＝f(x)， ∴f(x)为偶函数．
【正确解答】函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜1}，不关于原 点对称，故此函数既不是奇函数又不是偶函数．
(2)用定义判断函数奇偶性的步骤为： ①求函数f(x)的定义域；
Байду номын сангаас
②判断函数f(x)的定义域是否关于原点对称，若不关于原点 对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对 称，则进行下一步；
③结合函数f(x)的定义域，化简函数f(x)的解析式； ④求f(－x)； ⑤根据f(－x)与f(x)之间的关系，判断函数f(x)的奇偶性． (3)函数的奇偶性也可以用图象法判断，即若函数的图象关 于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函 数为偶函数．此法多用在解选择、填空题中．
(3)∵4|x－＋x22|≥－02，≠0， ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，关于原点对称． 此时 f(x)＝|x＋42－|－x22＝ 4－x x2． 又 f(－x)＝ 4－－－x x2＝－ 4－x x2＝－f(x)， ∴f(x)＝|x＋42－|－x22为奇函数．
x2＋2x＋3 x<0， 已知函数 f(x)＝0 x＝0，
4分
(2)f(x)的定义域是 R，
6分
又 f(－x)＝|－x＋1|＋|－x－1|
＝|x－1|＋|x＋1|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
8分
(3)函数f(x)的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，10分 不关于原点对称， ∴f(x)是非奇非偶函数．12分
高中数学必修一3.函数的奇偶性
授课内容 函数的奇偶性教学内容知识梳理了解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，掌握函数的奇偶性的定义及图象特征，并能判断和证明函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决问题 【知识点梳理】1.函数的奇偶性的定义 ：一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
2.奇偶函数的性质： （1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称； （3）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =（4）设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇⨯奇=偶，偶+偶=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇 【注意】1.判断函数的奇偶性，必须按照函数的奇偶性定义进行，为了便于判断，常应用定义的等价形式：f(-x)= ±f(x) f(-x) +f(x)=0；2.讨论函数的奇偶性的前提条件是函数的定义域关于原点对称，也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称，要重视这一点；3.若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0,因此，“f(x)为奇函数”是"f(0)=0"的非充分非必要条件；4.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，因此根据图象的对称性可以判断函数的奇偶性5.奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；6.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
高中数学-必修一5.2.1函数奇偶性-知识点
高中数学-必修一5.2.1函数奇偶性-知识点1、偶函数：对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称；奇函数：对于定义域内任意实数x，都有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。
奇函数若在x=0时有定义，则必有f(0)=0 .2、函数奇偶性的判断：①看定义域是否关于原点对称，若不对称，则非奇非偶，若对称，则进行下一步，②验证f(x)= -f(-x) 还是= f(-x) ，③下结论。
3、f(x)=0既是奇函数，又是偶函数。
4、函数奇偶性的运算法则：（1）加/减法法则：①偶函数±偶函数=偶函数；②奇函数±奇函数=奇函数；③偶函数±奇函数=非奇非偶。
（2）乘/除法法则：①偶函数×/÷偶函数=偶函数；②奇函数×/÷奇函数=偶函数；③偶函数×/÷奇函数=奇函数。
5、常见函数的奇偶性：①一次函数y=kx+b，当b=0时是奇函数，②反比例函数y=k/x是奇函数，③二次函数y=ax2+bx+c，当b=0时是偶函数。
6、对于复合函数f[g(x)]，g(x)称为内函数，f(x)称为外函数，复合函数奇偶性的判断口诀：①内偶则偶，内奇同外；②有偶则偶，无偶则奇。
7、可以通过函数（或函数的某部分）的奇偶性，由f(a)求f(-a)的值。
典例：已知f(x)=x5+ax3+bx-8，且f(-2)=10，求f(2)。
解析：令g(x)=x5+ax3+bx ，因为是奇函数，可求得g(-2)= 18，所以g(2)= -18，所以f(2)= -26。
8、根据奇偶性求函数解析式.典例：f(x)为R的奇函数，当x>0时，f(x)=-2x2+3x+1,求f(x)在x<0时的解析式。
解法：令x<0 ，则-x>0 ，f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1,因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)=-f(-x)=-(-2x2-3x+1)=2x2+3x+1 .9、含参数的函数的奇偶性，需要分类讨论，既可以讨论奇偶性，也可以讨论a 的取值。
人教版高中数学必修一第二章函数的奇偶性及周期性XS
第三节 函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性2.(1)周期函数：对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x ，均有f (－x )＝－f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，f (－x 0)＝f (x 0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的．[试一试]1．(广东高考)定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．12．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－121．判断函数奇偶性的两个方法(1)定义法： (2)图像法：2．周期性常用的结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ； (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ； (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a .(a >0) [练一练]已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝________.判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1；(2)f (x )＝3－2x ＋2x －3；(3)f (x )＝3x －3－x ；(4)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.[类题通法]判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体如下： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶； (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶； (3)“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．[典例] (1)(山东高考)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时， f (x ) ＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2(2)已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．[类题通法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图像和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性． [针对训练]1．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．2．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是________．3.(江苏)已知f(x)是定义在R 上的奇函数.当x>0时,f(x)=x 2-4x,则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为 .[典例] 定义在2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝( )A ．335B ．338C ．1 678D ．2 012[类题通法]函数周期性的判定与应用(1)判断函数的周期只需证明f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期．[针对训练]1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数； (2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．2．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (3)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积．[巩固练习]1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上是减函数的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x 2 C ．y ＝cos x xD ．y ＝－x 22．(湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝4．下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( ) A ．y ＝－1x B ．y ＝log 2|x | C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－15．若函数f (x )＝x(2x ＋1)(x －a )为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34 D ．16．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )，满足对任意t ∈R ，都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于( ) A ．－12 B ．－13 C ．－14 D ．－15 选C7．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________.8．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.9．若偶函数y ＝f (x )为R 上的周期为6的周期函数，且满足f (x )＝(x ＋1)(x －a )(－3≤x ≤3)，则f (－6)等于________．10．设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[－2,0]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，求m 的取值范围．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．选做题1．已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)2．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．3．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．。
人教新课标版数学高一-必修一 1.3.2奇偶性
数学人教A 必修1第一章1．3.2 奇偶性1．了解奇函数、偶函数的定义，明确定义中“任意”两字的意义． 2．了解奇函数、偶函数图象的对称性． 3．会用定义判断函数的奇偶性．1．偶函数和奇函数偶函数奇函数定义条件如果对于函数f (x )的定义域内______一个x ，都有f (－x )＝______ f (－x )＝______结论 函数f (x )叫做偶函数 函数f (x )叫做奇函数 图象特征 图象关于______对称 图象关于______对称(1)奇函数和偶函数的定义中的“任意”是指定义域中所有的实数；由于f (－x )与f (x )有意义，则－x 与x 同时属于定义域，即具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称．(2)函数f (x )是偶函数对定义域内任意一个x ，有f (－x )－f (x )＝0f (x )的图象关于y 轴对称．(3)函数f (x )是奇函数⇔对定义域内任意一个x ，有f (－x )＋f (x )＝0f (x )的图象关于原点对称．【做一做1－1】 函数y ＝f (x )，x [－1，a ](a ＞－1)是奇函数，则a 等于( )．A ．－1B ．0C ．1D ．无法确定【做一做1－2】下列条件，可以说明函数y＝f(x)是偶函数的是()．A．在定义域内存在x使得f(－x)＝f(x)B．在定义域内存在x使得f(－x)＝－f (x)C．对定义域内任意x，都有f(－x)＝－f(x)D．对定义域内任意x，都有f(－x)＝f(x)2．奇偶性基本初等函数的奇偶性如下：【做一做2－1】函数y＝x是()．A．奇函数B．偶函数C．奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【做一做2－2】函数f(x)＝x2－2mx＋4是偶函数，则实数m＝__________.答案：1．任意f(x)－f(x)y轴原点【做一做1－1】 C【做一做1－2】D2．奇偶性【做一做2－1】A【做一做2－2】0理解函数的奇偶性剖析：函数f (x )的奇偶性的定义是用f (－x )＝±f (x )来刻画函数f (x )的图象的特征(图象关于原点或y 轴对称)的；函数的奇偶性是对于函数的整个定义域来说的，这一点与函数的单调性不同．从这个意义上来讲，函数的单调性是函数的局部性质，而奇偶性是函数的整体性质．只有对函数f (x )的定义域的每一个值x ，都有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，才能说f (x )为偶函数或奇函数；定义中要求“对于函数f (x )的定义域内任意一个自变量x ，都有f (－x )＝f (x ) (f (－x )＝f (x ))”成立，其前提为f (－x )和f (x )都有意义，所以－x 也属于f (x )的定义域，即自变量x 的取值要保持关于原点的对称性，于是奇(偶)函数的定义域是一个关于原点对称的数集，这是函数存在奇偶性的前提．例如将函数f (x )＝x 2＋1，f (x )＝x 的定义域分别限定为(0，＋)与(－3,3]，那么它们都为非奇非偶函数；函数的奇偶性定义中的等式f (－x )＝－f (x )〔或f (－x )＝f (x )〕是其定义域上的恒等式，而不是对部分x 成立．如：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，|x |≤1，x ＋1，|x |>1，尽管当|x |≤1时，都有f (－x )＝f (x )，但当|x |＞1时，f (－x )≠f (x )，所以它不是偶函数．题型一 判断函数的奇偶性 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1) f (x )＝2x 2＋2xx ＋1；(2)f (x )＝x 3－2x ；(3)f (x )＝x 4＋x 2＋1.分析：先求出定义域，再判断f (－x )与f (x )的关系． 反思：判断函数奇偶性的方法： (1)定义法：(2)图象法：如果函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图象关于原点和y 轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．本题(1)容易错解为：由题意得f (x )＝2x 2＋2xx ＋1＝2x ，f (－x )＝－2x ＝－f (x )，则函数f (x )＝2x 2＋2xx ＋1是奇函数．其错误原因是没有讨论该函数的定义域．避免出现此类错误的方法是在讨论函数的奇偶性时，要遵循定义域优先的原则．题型二 利用函数奇偶性作图 【例2】 已知函数f (x )＝1x 2＋1在区间[0，＋∞)上的图象如图所示，请在坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图象，并说明作图依据．分析：先证明f (x )是偶函数，再依据其图象关于y 轴对称作图．反思：利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称．题型三 利用函数的奇偶性求函数的解析式【例3】 若f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＜0时，f (x )＝x (1－x )，求函数f (x )的解析式．反思：(1)若f (x )是奇函数，f (0)有意义，则f (0)＝0；(2)已知函数的奇偶性和函数在某区间上的解析式，求对称区间上的解析式时，首先设出所求区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知解析式的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．题型四 易混易错题易错点 分段函数奇偶性的判断【例4】 判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x 3，x ≥0的奇偶性．答案：【例1】 解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，所以f (x )既不是奇函数又不是偶函数．(2)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．(3)函数的定义域为R ，关于原点对称， f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＋1＝x 4＋x 2＋1＝f (x )，所以f (x )是偶函数．【例2】 解：∵f (x )＝1x 2＋1，∴f (x )的定义域为R .又对任意x R ，都有f (－x )＝1(－x )2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数．则f (x )的图象关于y 轴对称，其图象如图所示．【例3】 解：∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0， ∴f (x )＝－f (－x )＝x (1＋x )．当x ＝0时，f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝－f (0)， ∴f (0)＝0.∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1＋x )，x >0，0，x ＝0，x (1－x )，x <0.【例4】 错解：∵当x ＜0时，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )；当x ≥0时，f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，∴当x ＜0时，函数f (x )是偶函数；当x ≥0时，函数f (x )是奇函数．错因分析：“当x ＜0时，函数是偶函数；当x ≥0时，函数是奇函数”这种说法是错误的．函数的奇偶性是函数的一个整体性质，是针对函数的整个定义域而言的．因此判断函数的奇偶性时，要考虑整个定义域，依据定义进行判断．正解：显然f (x )的定义域关于原点对称．当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3，f (x )＝x 2，于是f (－x )≠±f (x )，故函数f (x )既不是奇函数又不是偶函数．1函数f (x )＝x 4＋x 2( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数2函数y ＝2(1)1x x x ++( )．A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 3若函数f (x )满足()()f x f x -＝1，则f (x )图象的对称轴是( )．A ．x 轴B ．y 轴C ．直线y ＝xD ．不能确定 4已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝21x +，试求f (x )的解析式． 5定义在[－3，－1][1,3]上的函数f (x )是奇函数，其部分图象如图所示．(1)请在坐标系中补全函数f (x )的图象． (2)比较f (1)与f (3)的大小．答案：1． B 定义域是R ，f (－x )＝(－x )4＋(－x )2＝x 4＋x 2＝f (x )，所以函数是偶函数． 2． D 定义域是(－，－1)∪(－1，＋)，不关于原点对称，所以函数既不是奇函数又不是偶函数．3． B 由于f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称． 4．解：当x ＜0时，－x ＞0，此时f (x )＝f (－x )＝21x -+， ∴f (x )＝2,0,12,0,1x x x x ⎧≥⎪⎪+⎨⎪<⎪-+⎩即f (x )＝21x +.5．解：(1)因为f (x )是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示．(2)观察图象，知f (3)＜f (1)．。
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兴和一中高一数学导学案
课型：新授课课题：1.3.2函数的奇偶性编写人：孟凡光时间：2016.10.11—10.12 使用班级：372/376
【学习目标】1.理解函数的奇偶性及其几何意义；
2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
3.学会判断函数的奇偶性；
【定向导学·互动学习·当堂反馈】
【当堂反馈】 1、函数)1,0(,1
)(∈=
x x
x f 的奇偶性是 （ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
2、 若函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 是偶函数，则cx bx ax x g ++=23)(是（ ） A ．奇函数 B. 偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
3、若函数R x x f y ∈=),(是奇函数，且)2()1(f f <，则必有 （ ） A ．)2()1(-<-f f B. )2()1(->-f f C.)2()1(-=-f f D.不确定
4、函数)(x f 是R 上的偶函数，且在),0[+∞上单调递增，则下列各式成立的是（ ） A ．)1()0()2(f f f >>- B. )0()1()2(f f f >->- C.)2()0()1(->>f f f D.)0()2()1(f f f >->
5、已知函数)(x f y =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程0)(=x f 的所有实数根的和为 （ ）
A ．4 B.2 C.1 D.0
6、函数0,)(≠=a a x f 是_______函数.
7、若函数)(x g 为R 上的奇函数，那么=-+)()(a g a g ______________.
8、如果奇函数)(x f 在区间[3，7]上是增函数，且最小值是5，那么)(x f 在区间[-7,-3]上的最______________值为____________. 【当堂小结】 1.作业 ： 课本习题2
【学后记】。