导数运算与导数公式

(y) 1 . f(x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
例 求函 ya数 rcx的 sin导 . 数 解 xsiyn在 y(,)内单调,、可导
22 且 (sy )i c ny o 0 ,s 在 x(1,1)内有
(aarrccssxi)inn 1 1 (siny) cos y
1 1 sin2 y
y (x (x 1 ) 4 3 )2 x e x 1 [x 1 1 3 (x 1 1 ) x 2 4 1 ]
例9 设 y x sx in (x 0 )求 ,y .
解 等式两边取对数得 ln y sixn ln x
上式两x边 求对 导得
1ycoxslnxsix n1
y
x
yy(cx o ln sxsixn 1) x
5 x 5 6 、 曲 线 y sin x 在 x 0 处 的 切 线 与 x 轴 正 向
2 的 夹 角 为 _________.
二、计算下列各函数的导数：
1、
y
1
1 x
x2
； 2、
y
10 10
x x
1； 1
3 、 y 2 csc x ； 1 x2
4、 f ( x ) 1 t ,求 f (4) ； 1 t
导数的基本公式与运算法则
1. 和、差、积、商的求导法则 2. 反函数的导数 3. 导数的基本公式 4. 复合函数与隐函数求导 5. 取对数求导
1.和、差、积、商的求导法则
定理
设f(x),g(x)在x点可导,则
(1)[f(x)g(x)]f(x)g(x); (2)[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x); (3)[gf((xx))]f(x)g(xg)2(xf)(x)g(x) (g(x)0).
在点 u0 (x0)可导 , 则复合函 y数 f[g(x)]在点
x0可导 , 且其导数为
dy dx|xx0
f(u0)g(x0).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变 量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
写成导函数形式为 : y f[g(x)] g(x)
或dydydu dx du dx
3 、 设 xy e x y , 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ . dx
二、 用对数求导法则求下列函数的导数： 1、 y x x2 ； 2、 y x 2(3 x)4 ； (x 1)5 3 、 y x sin x 1 e x . 4、 Y=x(x-1)(x-2)… (x-2000)
5、
y
a
x
b
a
x
b
(a 0,b 0).
b x a
三 、 求 抛 物 线 y ax 2 bx c 上 具 有 水 平 切 线 的 点 .
四、写出曲线 y x 1 与 x 轴交点处的切线方程. x
练习题答案
一 、 1、
x ( sin x cos 2x
x ) ； 2 、 3 a x ln a e x
ddyxx0
y 2yx0 y11 2例9 求 x2y2xy 4在(2 点 ,2)的切线方 例 1由 0 ln x 2 y 2 ary c 确 ty 是 a x 定 的 n ,求 函 y
x
6 对数求导法
观察函数 y(x (x 1)43)2 xe x1, yxsix n. 方法: 先在方程两边取对数, 然后等式两边求导求出 导数.
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边对x求 导,y看成x的函数.
例8 求由方ex程 ysinx2yy2所确定的隐函 y的导dd数 yx,ddyxx0.
解 方程两边 x求对导 ,
e x ( y x y ) c2 y o( s x 2 y 2 x ) 2 x y y y
解得
y2y2x xy c2coxo2 sxy2 s y yxxeyxey, 由原方 x程 0,y 知 1,
三、设 f (x) 满足，f(x)2f(1)3 求 f (x). xx
思考题
设 g (x)在x=1处连续，f(x)(x991)g(x)
且 g(1)=5 ,求 f '(1) .
练习题
一、填空题： 1 、 设 y x sin x ， 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
2 、 设 y 3 a x e x 2 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . x dx
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
(2)ytaxn 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) sco2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx
即(tx a ) n se 2x.c
推论
n
n
(1) [fi(x)]fi(x);
i1
i1
(2) [ n fi(x)]f1(x)f2(x)fn(x)
i1
f1(x)f2(x)fn(x)
(3)(g1()x)g21(x)g(x)
例 求下列函数的导数
(1) ysexc 解
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
y(sex)c( 1 ) coxs
1 .
1 x2
同理可得 (arcx)cos 1 .
1x2
(arcxt)an11x2; (arccoxt)11x2.
例 求下列函数的导数 (1) y tanx33 xarctaxn xsinx (2) ysecxtan-x2xarcsinx
3. 导数的基本公式
4.复合函数的导数
如果函u数g(x)在点 x0可导 , 而yf(u)
(6 ) y xtanx - cscx (7) y xsinx
1 tanx (8 ) y 1 - lnx
1 lnx
注意:
[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x );
[u(x)] u(x). v(x) v(x)
2.反函数的导数
如果函数 y f(x)在(a,b)内严格单调、可导 则它有反函x数(y),当f(x) 0时,x(y)可导, 且有
同理可得
(cx o) tcs2x c.
( 3 )y la o x ( a g 0 ,a 1 )
解:
(loagx)
(lnx) lna
1 (lnx) lna
1 x ln a
例 求下列函数的导数
(1) y ax b (2) y xlnx (3) y x sinx lnx
(4)y2xx2sinx2 (5) yxaaxaa
3 、 设 y e x ( x 2 3 x 1 ) , 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . dx x 0
4 、 设 y 2 tan x sec x 1 , 则 y = _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 5、 设 y f (x) 3 x 2 ,则 f ( 0 ) =________.
dx du dx u
sin x
例2 求函 y(数 x21)10 的导 . 数
例3 求函 yx数 a2x2a2arc x的 sin 导 .
2
2 a(a0)
例4 求函 y数 lnx21(x2)的导 . 数 3x2
例5 求函y数 esin1x的导.数
5.隐函数的导数
定义: 由方 F(x程 ,y)0所确y定 关x的 于 的 函数称为 . 隐函数
xsix n(cx olsn xsix n ) x
例11 求下列函数的导数 :
(1)
y
x2 2x2
1 x
1
(2) y (1 2x)x , x 0
(3) y xx2 e x2 xex eex , x 0
练习题
一、 填空题： 1 、 设 x 3 2 x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0 确 定 了 y 是 x 的 函 数 ， 则 dy = _ _ _ _ _ _ _ _ . dx ( 1 ,1 ) 2 、 曲 线 x 3 y 3 xy 7 在 点 （ 1 ， 2 ） 处 的 切 线 方 程 是 ___________.
(1 x 2 )2
18
5 、 ( a ) x ( b ) a ( x ) b (ln a a b ) . bxa b x
三 、 ( b , b 2 4 ac ) . 四 、 2 x 2a y 2 4 a0 和 2 x y 2 0 .
推广 设 y f ( u )u ,( v )v ,( x ),
则复合y函 f数 {[(x)]的 } 导数为
dydydudv. dx dudvdx
例1 求函 yl数 n six n的导 . 数 解 y lu n ,u sx i .n
dy dydu 1 cosx cos x coxt
2； x2
3 、 2 ； 4 、 sec x ( 2 sec x tan x ) ； 5 、 3 ； 6 、 .
25
4
二 、 1、
1 2x
；
(1 x x 2 )2
2 、 10 x 2 ln 10 ； (10 x 1 ) 2
3 、 2 csc x [( 1 x 2 ) cot x 2 x ] ； 4 、 1 ；
--------对数求导法 适用范围:
多个函数相乘和 数u幂 (x)指 v(x)的 函情.形
例8 设y(x1)3 x1,求 y. (x4)2ex
解 等式两边取对数得
ly n ln x 1 ) ( 1 ln x 1 ) ( 2 ln x 4 ) ( x 3
上式两边 x求对导得 y1 1 2 1 y x1 3(x1) x4