初中二次函数知识点
(完整版)初中二次函数知识点汇总(史上最全)
二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b ca≠）的函数，叫做二次函数。
，，是常数，0这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =-的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。
3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。
具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。
另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。
具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。
4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。
5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。
事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。
二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。
而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。
6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。
另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。
以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义和性质：二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c（a ≠ 0）的函数，其中a、b、c为常数，且a 的值决定了抛物线的开口方向。
1. 二次函数的图像是一条抛物线，可以分为三种情况：a）当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值为c；b）当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值为c；c）当a = 0时，函数为线性函数，图像为一条直线。
2. 抛物线的对称轴方程为x = -b/(2a)。
3. 抛物线的顶点坐标为对称轴上的点，可以通过对称轴方程求得。
4. 当抛物线开口向上时，函数的值随着x的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着x的增大而减小。
5. 当二次函数与x轴交点时，即f(x) = 0，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得x的值。
二、二次函数的图像及其性质的应用：1. 求解二次不等式：可以通过函数图像的性质进行解题，即判断图像与x轴的交点的情况。
2. 求解实际问题：如抛物线模型、最值问题等，将实际问题转化为二次函数的问题，再通过函数图像的性质求解。
三、二次函数的基本变形：1. y = a(x - h)² + k：顶点坐标为(h, k)，对称轴方程为x = h，图像开口方向与a 的正负有关。
2. y = ax² + bx + c + d：在基本函数的基础上进行平移，平移量为(d, d)。
3. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移和伸缩，平移量为(d, d)，伸缩量为a。
4. y = a(x - h)² + k + d：在基本函数的基础上进行平移、伸缩和翻转，平移量为(d, d)，伸缩量为a，翻转轴为直线x = h。
四、二次函数的相关概念：1. 零点：即函数与x轴交点的横坐标，可以通过因式分解、配方法或求根公式求得。
2. 最值：当二次函数开口向上时，函数的最小值为c；开口向下时，函数的最大值为c。
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二次函数知识点一、基本概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）3. ()2y a x h =−的性质：（左加右减）4. ()2y a x h k =−+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =−+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y −++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +−+−=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=−+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =−+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a −⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a −=−=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =−+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．当2b x a <−时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >−时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=−时，y 有最小值244ac b a−．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =−，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫−− ⎪⎝⎭，．当2bx a <−时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >−时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=−时，y 有最大值244ac b a −．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =−+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =−−（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac −≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba −<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba −=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba−>，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba −>，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba −=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba−<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2−=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =−−−；()2y a x h k =−+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =−−−；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =−+；()2y a x h k =−+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =−+−； ()2y a x h k =−+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =−+−； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=−−+−；()2y a x h k =−+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =−−+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =−+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =−+−+−根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=−>时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =−② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22−−+−=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12−+=bx kx y 的图像大致是（ ）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
初中二次函数知识点总结
初中二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的函数，其形式可以表示为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
在这个表达式中，x 是自变量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴是对称的。
五、根的判别式二次函数的根（解）可以通过求解一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来确定。
根的情况由判别式Δ = b^2 - 4ac 决定：- 如果Δ > 0，则方程有两个不相等的实根；- 如果Δ = 0，则方程有两个相等的实根（一个实根）；- 如果Δ < 0，则方程没有实根。
六、求根公式二次函数的根可以通过以下公式求得：x1 = (-b + √Δ) / 2ax2 = (-b - √Δ) / 2a七、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次方程转化为完全平方的形式来简化求解过程。
八、二次函数的性质- 二次函数的图像是连续的；- 如果 a > 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递减；当 x > -b/2a 时，f(x) 递增；- 如果 a < 0，当 x < -b/2a 时，f(x) 递增；当 x > -b/2a 时，f(x) 递减；- 二次函数的图像与 x 轴的交点称为零点，与 y 轴的交点可以通过将 x 设为 0 来求得。
九、实际应用二次函数在现实生活中有广泛的应用，如物理中的速度和加速度问题、经济学中的最优化问题等。
初中二次函数知识点总结
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域（自变量范围）是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小（形状）。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：5.2y ax bx c =++的性质三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点 即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下， 当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
初中二次函数知识点
二次函数基础点（一）、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．（二）、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -．（三）、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240b ac-≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.练习1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )A. B. C. D.2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )A. (1，-4)B.(-1，2)C. (1，2)D.(0，3)3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. x轴上D. y轴上4. 抛物线的对称轴是( )A. x=-2B.x=2C. x=-4D. x=45. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )A. ab>0，c>0B. ab>0，c<0C. ab<0，c>0D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第__ 象限( )A. 一B. 二C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )A. 4+mB. mC. 2m-8D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )9、抛物线3y的对称轴是（）=x-(2+)2A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x 10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )A.B. C.D. 二、填空题1、下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y（2）2)1()2)(2(---+=x x x y （3）x x y 12+= （4）322-+=x x y2、二次函数5)3(22---=x y 的图象开口方向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ；3、当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k kx k y 为二次函数？画出其函数的图象．3、函数)32(x x y -=，当x 为 时，函数的最大值是 ；4、二次函数x x y 2212+-=，当x 时， 0<y ;且y 随x 的增大而减小；5. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.6. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________.7. 若抛物线y=x 2-2x-3与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_________.8. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.9、二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．10二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．11抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．12、抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？13．已知抛物线y=﹣21x 2－３x －25 （１） 写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （２） 求抛物线与x 轴、y 轴的交点坐标；（３） 画出草图（４） 观察草图，指出x 为何值时，y ＞0,y ＝0,y ＜0.14、（2010年宁波市）如图，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
初中数学二次函数知识点汇总(史上最全)
小． 2. 一次项系数 b 在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在 a 0 的前提下， 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴左侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧． 2a ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a 当 b 0 时， b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧． 2a 总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置． ab 的符号的判定：对称轴 x b 在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 ，概括的说就 2a
y=a(x-h)2+k
2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，
上加下减”．
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方法 2： ⑴ y ax 2 bx c 沿 y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成 y ax 2 bx c m （或 y ax 2 bx c m ） ⑵ y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， y ax 2 bx c 变成 y a(x m)2 b(x m) c （或 y a(x m)2 b(x m) c ）
中学初中数学二次函数知识点汇总
中学初中数学二次函数知识点汇总一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是以$x$为自变量，$y$为因变量，且它的表达式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$为实数，$a\neq0$。
2. 二次函数的图象：二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象是抛物线。
3. 抛物线的顶点：抛物线$y = ax^2 + bx + c$的顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, f(-\frac{b}{2a}))$。
4. 对称轴：二次函数$y = ax^2 + bx + c$的对称轴方程为$x = -\frac{b}{2a}$。
5. 判别式：二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的判别式为$\Delta =b^2 - 4ac$。
二、基本性质：1.最值问题：当二次函数的开口向上时，最值为最小值；当二次函数的开口向下时，最值为最大值。
2.函数的增减性：当$a>0$时，图象开口向上，为增函数；当$a<0$时，图象开口向下，为减函数。
3. 零点问题：二次函数$y = ax^2 + bx + c$的零点为方程$ax^2 + bx + c = 0$的根，可用判别式$\Delta$来判断有无实根。
4. 平移问题：二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象沿$x$轴平移$h$个单位，可修改为$y = a(x-h)^2 + b(x-h) + c$；沿$y$轴平移$k$个单位，可修改为$y = a(x-k)^2 + b(x-k) + c$。
5. 和差问题：二次函数$y = ax^2 + bx + c$与$y = x^2$的和差为$y = a(x-\frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}$和$y = -a(x-\frac{b}{2a})^2 + c + \frac{b^2}{4a}$。
三、图象的性质：1. 开口方向：二次函数$y = ax^2 + bx + c$的系数$a$的符号决定了图象的开口方向。
初中数学知识点总结二次函数
初中数学知识点总结二次函数
一、二次函数的定义
二次函数是最基本的二次多项式函数，它属于多项式函数的一种，它
的定义为：
二次函数：f（x）=ax2+bx+c（a≠0）。
二、二次函数的一般式
二次函数的一般式为：ax2+bx+c（a≠0），从而可以知道，它由三个
系数a，b，c组成，它由于保持不变的性质，所以对于它的参数，a，b，
c都是可以任意取值的，即a，b，c都可以取任意实数。
三、二次函数的图像
根据上述一般式，二次函数一般都会把它的图像想象成一个平滑的抛
物线图形，又称双曲线，这样的抛物线有三个特殊点：拐点，根点，中点。
1.拐点
对于图形来说，拐点就是一个折点，而二次函数中的拐点则是指函数
图像在特定点的一次导数变种符号，这就是二次函数很重要的特征，即函
数图像的拐点。
2.根点
根点是一种更特殊的拐点，即二次函数的一般式中当x=κ时，函数
值y=0，这时，它成为了一个函数的根点，即出现了函数的等式，它的特
殊性体现在它刚好相等。
3.中点
在二次函数中，中点指的是拐点和根点的中点，这一点其实十分重要，在不同的情况下，中点的位置会发生变化，有时候也会出现二次函数的准
确位置，这就需要我们根据情况来判断了。
初中数学二次函数的知识点
初中数学二次函数的知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，它在初中数学中经常会出现，掌握好二次函数的知识点对于学习数学以及数学解题是非常有帮助的。
下面我将为你详细介绍初中数学中与二次函数相关的知识点。
一、二次函数的定义及基本性质1. 二次函数的定义：二次函数是指自变量的二次函数关系，可以表示成f(x)=ax²+bx+c（a≠0）的形式，其中a、b、c为常数且a为二次函数的二次系数。
2.二次函数的图像特征：a)平移到抛物线的顶点和开口方向：当二次函数为f(x)=a(x-h)²+k 时，顶点为(h,k)。
b)对称性：二次函数关于直线x=h对称。
c)开口情况：当a>0时，二次函数开口向上；当a<0时，二次函数开口向下。
d)零点：即方程f(x)=0的解，可以通过因式分解、配方法等求得。
e) 判别式：Δ=b²-4ac，当Δ>0时，方程f(x)=0有两个实数解；当Δ=0时，方程f(x)=0有两个相等的实数解；当Δ<0时，方程f(x)=0无实数解。
二、二次函数的图像与其参数的关系1.a的大小对图像的影响：a决定了二次函数开口的方向，即a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
当a的绝对值越大时，开口越窄。
2.h的大小对图像的影响：h决定了二次函数图像的平移。
当h>0时，图像在x轴正方向平移；当h<0时，图像在x轴负方向平移。
当，h，越大时，平移的距离越大。
3.k的大小对图像的影响：k决定了二次函数图像的平移。
当k>0时，图像在y轴正方向平移；当k<0时，图像在y轴负方向平移。
当，k，越大时，平移的距离越大。
三、二次函数与二次方程的关系1. 二次函数的零点与二次方程的解：二次函数f(x)=ax²+bx+c的零点就是方程f(x)=0的解。
可以通过因式分解、配方法、求根公式等来求解二次方程。
2.二次方程与二次函数图像的交点：二次方程f(x)=0的解就是二次函数f(x)与x轴的交点，即二次函数的零点。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式1. 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a≠0。
2. 二次函数的顶点二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，抛物线的对称轴与x轴的交点称为顶点。
顶点的横坐标为：-b/2a; 纵坐标为：f(-b/2a)。
3. 二次函数的开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
4. 二次函数的轴线二次函数y=ax^2+bx+c的图象的对称轴，称为轴线，其方程为：x=-b/2a。
5. 二次函数的零点二次函数y=ax^2+bx+c的图象与x轴的交点，称为零点。
二次函数的零点可以用求根公式或配方法求得。
6. 二次函数的图象二次函数y=ax^2+bx+c的图象是一个抛物线，其形状由a的正负决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下；顶点坐标由b，c的值决定。
二、二次函数的性质1. 判断二次函数图象开口方向的方法当二次函数为y=ax^2+bx+c时，通过判断a的正负来判断开口方向。
如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
2. 二次函数的最值二次函数的最大值或最小值为y的极值，可以通过求导数或直接利用顶点的纵坐标得出。
最值的性质有：当a>0时，最值为最小值；当a<0时，最值为最大值。
3. 二次函数的零点二次函数的零点即二次方程ax^2+bx+c=0的实根。
根据求根公式或配方法可以求得二次函数的零点。
4. 二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴即为x=-b/2a，顶点坐标为：(-b/2a, f(-b/2a))。
5. 二次函数的图象二次函数的图象是一个抛物线，通过对称轴和顶点坐标可以直接绘制出抛物线的图象。
三、二次函数的应用1. 求二次函数的最值通过求导数或者用顶点坐标的纵坐标来求得二次函数的最值。
2. 判断二次函数的零点和对称轴通过求根公式可以求得二次方程的零点，通过a、b的值求得对称轴。
初中2次函数知识点
初中2次函数知识点初中二次函数是初中数学的重要内容之一。
它是一种具有特殊形式的函数，由常数项、一次项和二次项构成。
在这篇文章中，我们将介绍初中二次函数的基本知识点。
一、二次函数的定义二次函数是指具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值表示开口向上，负值表示开口向下；b决定了二次函数的平移方向和程度；c决定了二次函数的纵轴截距。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条平滑的曲线，被称为抛物线。
根据二次函数的系数a的不同取值，抛物线可以分为四种类型：开口向上的抛物线、开口向下的抛物线、开口向右的抛物线和开口向左的抛物线。
三、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点。
对于开口向上的抛物线，顶点是最低点；对于开口向下的抛物线，顶点是最高点。
顶点的横坐标可以通过-b/2a求得，纵坐标可以通过将横坐标代入函数中求得。
四、二次函数的轴对称二次函数的图像是关于一条垂直于x轴的直线对称的。
这条直线称为二次函数的轴对称线，它通过顶点。
五、二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点。
可以通过求解ax^2 + bx + c = 0的方程来得到。
根据判别式b^2 - 4ac的值，可以判断二次函数的零点个数和性质。
六、二次函数的平移二次函数的平移是指将函数图像在平面内沿着坐标轴的方向进行移动。
平移的方向和程度由常数项b和c决定。
七、二次函数的最值对于开口向上的二次函数，最小值为顶点的纵坐标；对于开口向下的二次函数，最大值为顶点的纵坐标。
八、二次函数的应用二次函数在现实生活中有许多应用。
例如，抛物线的形状可以用来描述物体的轨迹；二次函数的最值可以用来求解优化问题；二次函数的零点可以用来求解方程等。
初中二次函数是数学学习的重要内容之一。
掌握了二次函数的基本知识点，可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
通过学习和练习，我们可以提高解决问题的能力和数学思维的灵活性。
初中二次函数知识点
初中二次函数知识点二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是初中数学的基础。
掌握了二次函数的知识，对于学习高中数学和解决实际问题都有很大的帮助。
下面我将详细介绍一下初中阶段二次函数的知识点。
一、二次函数的定义及特点二次函数是形如y=ax^2+bx+c(a≠0)的函数，其中a、b、c为常数，a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置和宽度，c决定了抛物线与y轴的交点。
1.函数图像的对称性：二次函数的图像关于x轴对称，即对于函数y=ax^2+bx+c的图像，若(x, y)在图像上，则点(x, -y)也在图像上。
2.零点：二次函数的零点就是函数的根，即方程ax^2+bx+c=0的解。
3.顶点：二次函数的图像的最高点或最低点称为顶点，顶点坐标可以通过顶点公式求得：x=-\frac{b}{2a}, y= -\frac{b^2}{4a}+c。
二、二次函数的图像1.抛物线开口方向：二次函数的图像的开口方向由二次项的系数a的正负决定。
若a>0，则抛物线开口向上，若a<0，则抛物线开口向下。
2.抛物线的位置和宽度：二次函数的图像的位置和宽度主要由一次项的系数b决定。
若b>0，则抛物线向左移动，若b<0，则抛物线向右移动。
抛物线的宽度与1除以a的绝对值有关，即抛物线的宽度取决于平方项的系数a。
3.抛物线与坐标轴的交点：若二次函数的图像与x轴有交点，则称该二次函数有实根；若图像与x轴没有交点，则称该二次函数无实根。
实根的个数由判别式D=b^2-4ac的值决定。
4.抛物线的对称轴：二次函数的图像的对称轴和顶点有关。
对称轴即为经过顶点的直线，它的方程为x=-\frac{b}{2a}。
三、二次函数的性质1.单调性：当a>0时，二次函数是开口向上的抛物线，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数是开口向下的抛物线，函数的值随着自变量的增大而减小。
2.最值：二次函数的最大值或最小值就是顶点的纵坐标，其中a>0时为最小值，a<0时为最大值。
初中2次函数知识点
初中2次函数知识点
1.2次函数的定义：y=ax+bx+c，其中a≠0，a,b,c均为实数。
2. 抛物线的性质：抛物线的对称轴为x=-b/2a，开口朝上或朝下取决于a的正负性。
3. 2次函数的图像和解析式之间的关系：根据a的正负性和大小可以确定抛物线的开口方向和大小，根据对称轴可以确定抛物线的位置，根据顶点可以确定抛物线的最值。
4. 2次函数的零点：y=0时的x值即为函数的零点，可以用求解一元2次方程的方法求出。
5. 2次函数的最值：当a>0时，函数最小值为y=c-b/4a，当a<0时，函数最大值为y=c-b/4a。
6. 2次函数的平移：对于y=a(x-h)+k，平移后的函数为y=a(x-h ±m)+k±n，其中m为横向平移量，n为纵向平移量。
7. 2次函数的相关系数r：r=±(b/2a)，表示抛物线的对称轴与x轴的交点与顶点的距离，可以用于判断抛物线的宽度和陡峭程度。
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初中二次函数知识点
初中二次函数的一些基本知识点：
初中二次函数是一类二元函数，它的函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为实数，x为自变量，y为因变量。
当a>0时，二次函数的图像是一个开口朝上的抛物线，当a<0时，二次函数的图像是一个开口朝下的抛物线。
一、二次函数的标准形式
二次函数的标准形式是y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为实数，x为自变量，y为因变量。
其中a、b、c叫做函数的系数，它们决定着函数的性质，如果a>0，函数的图像开口朝上；如果a<0，函数的图像开口朝下。
二、二次函数的图象
二次函数的图象是一条抛物线，它的形状取决于a的大小，如果a>0，抛物线是开口朝上的，叫做凹抛物线；如果a<0，抛物线是开口朝下的，叫做凸抛物线。
三、二次函数的性质
（1）二次函数的最大值与最小值
二次函数的最大值与最小值取决于a的正负，如果a>0，二次函数的最大值是函数的上端点，最小值是函数的下端点；如果a<0，二次函数的最大值是函数的下端点，最小值是函数的上端点。
（2）二次函数的拐点
二次函数的拐点是指抛物线的顶点，在拐点处函数的导数为0，拐点的横坐标可以用公式x=-b/2a来求得。
（3）二次函数的对称轴
二次函数的对称轴是指抛物线的准线，它的方程为x=-b/2a.。
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知识点一、平面直角坐标系1，平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x 轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y 轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O （即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念点的坐标用（a ，b ）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当b a ≠时，（a ，b ）和（b ，a ）是两个不同点的坐标。
知识点二、不同位置的点的坐标的特征1、各象限内点的坐标的特征点P(x,y)在第一象限0,0>>⇔y x点P(x,y)在第二象限0,0><⇔y x 点P(x,y)在第三象限0,0<<⇔y x 点P(x,y)在第四象限0,0<>⇔y x2、坐标轴上的点的特征点P(x,y)在x 轴上0=⇔y ，x 为任意实数 点P(x,y)在y 轴上0=⇔x ，y 为任意实数点P(x,y)既在x 轴上，又在y 轴上⇔x ，y 同时为零，即点P 坐标为（0，0）3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上⇔x 与y 相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上⇔x 与y 互为相反数4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征点P与点p’关于x轴对称⇔横坐标相等，纵坐标互为相反数点P与点p’关于y轴对称⇔纵坐标相等，横坐标互为相反数点P与点p’关于原点对称⇔横、纵坐标均互为相反数6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x轴的距离等于y（2）点P(x,y)到y轴的距离等于x（3）点P(x,y)到原点的距离等于22yx+知识点三、函数及其相关概念1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
（2）列表法把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。
（3）图像法用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
知识点四，正比例函数和一次函数1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。
这时，y 叫做x 的正比例函数。
2、一次函数的图像所有一次函数的图像都是一条直线3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数b kx y +=的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数kx y =的图像是经过原点（0，0）的直线。
4、正比例函数的性质一般地，正比例函数kx y =有下列性质：（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y 随x 的增大而减小。
5、一次函数的性质一般地，一次函数b kx y +=有下列性质： （1）当k>0时，y 随x 的增大而增大 （2）当k<0时，y 随x 的增大而减小6、正比例函数和一次函数解析式的确定确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k 。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b 。
解这类问题的一般方法是待定系数法知识点五、反比例函数1、反比例函数的概念一般地，函数xk y =（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。
反比例函数的解析式也可以写成1-=kx y 的形式。
自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。
由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
3、反比例函数的性质4、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。
由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。
k S k xy xky ==∴=,, 。
知识点六、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
知识点七、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般 两根 三顶点 （1）一般 一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根 当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
如果没有交点，则不能这样表示。
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
（3）三顶点 顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，知识点八、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值。
如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小。
知识点九、二次函数的性质1、二次函数的性质2、二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，中，c b 、、a 的含义：a 表示开口方向：a >0时，抛物线开口向上 a <0时，抛物线开口向下b 与对称轴有关：对称轴为x=ab 2-c 表示抛物线与y 轴的交点坐标：（0，c ）3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点； 当∆=0时，图像与x 轴有一个交点； 当∆<0时，图像与x 轴没有交点。
知识点十 中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（x 1，y 1）点B 坐标为（x 2，y 2） 则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-2，二次函数图象的平移① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位③平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．函数平移图像大致位置规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）特别记忆--同左上加 异右下减 (必须理解记忆)说明① 函数中ab 值同号，图像顶点在y 轴左侧同左，a b 值异号，图像顶点必在Y 轴右侧异右 ②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：1212tan x x y y k --==α b 为直线在y 轴上的截距4、直线方程：4、①两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式:)()(tan 112121x x x x x y y b x b kx y y ---=+=+=-α 此公式有多种变形 牢记 ②点斜 )(11x x kx y y -=-③斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: y ＝kx ＋b (k ≠0)④截距 由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：1=+bya x 牢记 口诀 ---两点斜截距--两点 点斜 斜截 截距5、设两条直线分别为，1l ：11y k x b =+ 2l ：22y k x b =+ 若12//l l ，则有1212//l l k k ⇔=且12b b ≠。