量子力学5优秀PPT

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回顾力学量的测量假定
27
厄米算符的性质和测量
平均值
A ( , Aˆ ) | cn |2 An
n
童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！
28
厄米算符的性质和测量
新概念：涨落。
用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。
在统计中，使用 [(xn x)2 ] pn，就是偏离均值距离大小的平方与
22
关于厄米算符的结论
1.物理量，对应的算符都是厄米的； 2.厄米算符的和也是厄米算符； 3.若两个厄米算符对易，则两个算符的积也是厄米的； 4.任何状态下厄米算符的平均值为实数(证明)； 5.任何状态下，平均值为实数的算符为厄米算符； 6.属于厄米算符的不同本征值的本征函数，彼此正交 (证明)。
n
相应概率的乘积和来衡量散布的程度：越大，散布越厉害；反之， 散布越小。 这个表示散布程度的量，叫做“涨落”。
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量子力学中的涨落及其性质
(Aˆ) Aˆ Aˆ ,
(Aˆ )2 ( Aˆ Aˆ )2 它们都是厄米算符
--------
Aˆ ( , ( Aˆ A) )
-------------
lˆy zpˆ x xpˆ z lˆz xpˆ y ypˆ x
lˆ2 lˆx 2 lˆy 2 lˆz 2
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角动量
对易式
请自己总结角动量的对易关系，并请注 意记忆的规律。
19
角动量
[lˆ , xˆ ] ixˆ [lˆ , pˆ ] ipˆ [lˆ , lˆ ] ilˆ
第三章 算符
1
引言
前面说过，量子力学中的物理量（或称 力学量）用算符表示。这也是量子力学 的基本假定之一。
本章中，根据量子力学的假定我们将知 道用来表示力学量的算符，其实是一种 特殊的算符-厄米算符。厄米算符具有一 些特点，从而导致力学量也有一些特点。
2
已经学过的算符
坐标 动量 动能 势能 哈密顿量
关于厄米算符的结论
任何状态下厄米算符的平均值为实数。 已知Aˆ是厄米的。
Aˆ ( , Aˆ ) dv *( Aˆ )
根据厄米性
=( Aˆ , )= dv( Aˆ )*
两者互为共轭 则Aˆ必为实数。
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厄米算符本征值正交性的证明
需要掌握。 见教材。 简单：使用“能够换位这一性质”。
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厄米算符的性质和测量
(上式不为零的部分，也写成lˆ lˆ ilˆ) [lˆ 2 ,lˆ ] 0
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厄米算符
基本性质和定义
设有算符Aˆ ，如果对于任意波函数，，都有 ( , Aˆ ) ( Aˆ ,)
则Aˆ 叫做厄米算符。
积分表达式是什么样子的？
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练习
1.证明xˆ,V (x)是厄米算符( pˆ x ,lrˆ选做)。 2.若Aˆ是厄米算符，则Aˆ 2也是。 3.若Aˆ是厄米算符，则对于任意态（波函数）下， Aˆ 2 0。
23
关于厄米算符的结论
如果两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米的。 已知Aˆ、Bˆ分别是厄米的，且二者对易。 即[Aˆ, Bˆ]=Aˆ Bˆ BˆAˆ 0， 也就是Aˆ Bˆ =BˆAˆ。
则( , Aˆ Bˆ) (BˆAˆ ,（) 厄米性质）
由上面
( Aˆ Bˆ ,)
所以Aˆ Bˆ是厄米的。 24
4.单位算符
10
算符的运算规则
5.算符之积
注意：一般而言，算符之积不满足交换律。 这件事情在量子力学中有重要的意义。
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
11
算符的运算规则
算符一般不满足交换律量子力学中的 对易关系
12
算符的运算规则
坐标-动量对易关系
[xˆ, pˆ x ] xˆpˆ x pˆ x xˆ i
x
x
i(x) (x) i (x) (x) (x)i (x)
x
x
x
i(x) (x) [i (x)](x)
x
x
[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
注意这里其实只是一个乘法算子。
16
练习解答
pˆ 2.[
x
2
,
( x)]
2
2
2x
2i
x
来自百度文库
pˆ x
计算与上题类似。
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角动量
定义
基本关系
lˆ rˆ pˆ lˆ (lˆx , lˆy , lˆz ) lˆx ypˆ z zpˆ y
[xˆ , pˆ ] i
13
练习
常用基本公式 [ Aˆ, Bˆ] [Bˆ, Aˆ] [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ 算符中的Jacobi恒等式 [ Aˆ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
3
将要学习的…
角动量 下面，先来学习厄米算符的基本性质。
4
算符的运算规则
1.线性算符 定义见课本。 请注意：“任意波函数”这个规矩。
5
算符的运算规则
其实原来已 经用过这个 性质了。
请问为何可 以这样算？
E dV *Hˆ
dV (
cm
m
(
x)e
iEmt
)*
Hˆ
(
iEnt
cn n (x)e )
14
练习
证明：
1.[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
pˆ 2.[
x
2
,
(x)]
2
2
2x
2i
x
pˆ x
15
证明：
练习解答1.
[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
注意，这里 (x)也是一个算符，指的是用 (x)
这个函数去乘的操作。
引入一个任意波函数 ( x)。
[
pˆ
x
,
(
x)
]
(
x)
[i
x
,
(
x)
]
(
x)
i [ (x)(x)] (x)i (x)
En
[
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(
x)
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(
x)
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| cn |2 En
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6
算符的运算规则
刻划客观测物理量的算符都是线性算符。
7
算符的运算规则
2.算符相等 见教材。
8
算符的运算规则
3.算符之和
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算符的运算规则