量子力学5优秀PPT
合集下载
量子力学优秀课件
[Fˆ ,Gˆ ] | n 0
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
c | n 0 但由题意知 c | n 0
这是相互矛盾旳， 即全部能级都简并。
23
设能级 En 的简并度为fn（fn 1），
本征态记为 | n v (v 1,2,, fn )，
在此 fn 维态空间中求矩阵 FG 的迹（trace）
tr(FˆGˆ ) fn nv | (FˆGˆ ) | nv v1
即能量本征态必有确定的宇称，其宇称就 是宇称算符Pˆ的本征值：
Pˆ n (x) n (x) (1)n n (x) 即宇称为(1)n
22
推论2 定理中如[Fˆ ,Gˆ ] c（为不等于0的常数）,
则体系全部能级都简并，而且简并度为无穷大
证明：（用反证法） 首先，设某能级 En不简并，上面已证明
10
②量子力学各守恒量不一定都可同步取确 定值，除非在同一种守恒量完全集中。 如中心力场中，
L是守恒量，Lx , Ly , Lz自然都是守恒量
但一般不能同时有确定值.
但特殊情况l 0时，Y00是它们的共同 本征态。因而此时它们同步有拟定值0。
11
③守恒量与定态旳异同
（1）概念不同 a. 定态是能量取拟定值旳状态—能量本征态 b.守恒量是特殊旳力学量，要满足一定条件
Lˆ2Y l(l 1)2Y 的形式,故Lˆ不取确定值。
9
守恒量是否处于某本征态由初始条件拟定: 假设力学量A是守恒量：
测值几率分布不随时间变化
a. 若初始时为A旳本征态，则体系保持本征态；? 本征态相应旳量子数称为好量子数
b. 若初始时没有处于 A 旳本征态，则后来任意 时刻也不会处于本征态，但是测值几 率不随 时间变化。
]
i
( pˆ x2
第五章 量子力学的表象变换与矩阵形式
知c(p,t)，就可以求出ψ(r,t)，反之也一样。即c(p,t)和ψ(r,t)描述 的是粒子态同一个状态。因此，将c(p,t)称为粒子态的动量表象。
那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为
r c (p, t )( i p )c(p, t )d 3 p,
其它观测量的平均值类似可表示出。
在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（Hilbert）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
* 3
ˆ L xpp' p ( x)L2 x p ' ( x)dx
2 *
ˆ ˆ p (r )( ypz zp y ) 2 p ' (r )d 3r
*
4. 2算符的矩阵表示
设算符F有如下关系 ：
ˆ F( x, t ) ( x, t )
在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),…. 将(x,t)和 (x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开
0
( x x )e
2
2 x
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的正交本 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（x）按Q的 本征函数展开为
( x, t ) anun ( x),
n
那么在动量表象中，坐标的平均值可以表示为
r c (p, t )( i p )c(p, t )d 3 p,
其它观测量的平均值类似可表示出。
在量子力学中，选定一个F表象，将Q的本征函数 u1(x), u2(x),… un(x),…看作一组基矢，有无限多个。 大小由a1(t), a2(t), …an(t),…系数决定。 所以，量子力学中态矢量所决定的空间是无限维的 空间函数，基矢是正交归一的波函数。数学上称为 希尔伯特（Hilbert）空间. 常用的表象有坐标表象、动量表象、能量表象和角 动量表象
* 3
ˆ L xpp' p ( x)L2 x p ' ( x)dx
2 *
ˆ ˆ p (r )( ypz zp y ) 2 p ' (r )d 3r
*
4. 2算符的矩阵表示
设算符F有如下关系 ：
ˆ F( x, t ) ( x, t )
在Q表象中，Q的本征值分别为Q1，Q2，Q3，…Qn…, 对应的本征函数分别为u1(x), u2(x),… un(x),…. 将(x,t)和 (x,t)分别在Q表项中由Q的本征函数展开
0
( x x )e
2
2 x
dx
3. 能量表象
考虑任意力学量Q本征值为1, 2,…, n…,对应的正交本 征函数 u1(x), u 2 (x),… u n (x) …, 则任意波函数（x）按Q的 本征函数展开为
( x, t ) anun ( x),
n
高等量子力学 课件 【ch05】开放量子系统动力学
式(5.44)近似处理通常称作玻恩-马尔科夫近似，然而， 一般情况下它并不能保证方程式(5.44)定 义了动力 学半群的生成元。因此，下面做进一步近似处理，即对主方程的快速振荡项做平均，称为旋波近似。为了解 释这个过程，现将薛定谔绘景下的相互作用哈密顿量H, 写为如下形式：
01弱耦合限
其中，
。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H, 分解为系统哈 密顿量H₅ 的
马尔科夫量子主方程 如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L, 即半群的生成元， 可以表示成如下 指数形式： 由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程
02马尔科夫量子主方程
方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L 为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘 维超算符的
由式(5.13)容易看出， V(4)具有描述一般量子测量操作 (见式(2.28))的形式。再者，算符 满足条件
由此，可推导出 因此，我们说， 一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。
02马尔科夫量子主方程
上面给出了t 固定时的动力学映射V(1) 。如果让t 变化，即可得到动力学映射的一个参数簇 {V(t)}t≥0}, 其 中V(0) 为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联 函数衰减的特征时间远小 于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经 典理论那样可以获得马尔科夫型的行 为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。
其中 约化密度矩阵Ps(t) 在t 时刻可表示为
其运动方程为
02
量子马尔科夫过程
01开放量子系统动力学概述
设初始时刻t=0 时，总系统S+B 处于不关联的乘积态
01弱耦合限
其中，
。是相互作用的最一般形式。如果把相互作用哈密顿量H, 分解为系统哈 密顿量H₅ 的
马尔科夫量子主方程 如果量子动力学半群存在，在某种数学条件下(见下面),一个线性映射L, 即半群的生成元， 可以表示成如下 指数形式： 由此，立刻可以得到开放系统约化密度矩阵的一阶微分方程
02马尔科夫量子主方程
方程式(5.19)叫作马尔科夫量子主方程。半群生成元L 为超算符，它可以看成方程式(1.113)中刘 维超算符的
由式(5.13)容易看出， V(4)具有描述一般量子测量操作 (见式(2.28))的形式。再者，算符 满足条件
由此，可推导出 因此，我们说， 一个动力学映射V(t)是凸线性的、完全正和保迹的量子操作。
02马尔科夫量子主方程
上面给出了t 固定时的动力学映射V(1) 。如果让t 变化，即可得到动力学映射的一个参数簇 {V(t)}t≥0}, 其 中V(0) 为单位映射。这个簇描述了开放系统全部的时间演化。然而，如果库关联 函数衰减的特征时间远小 于系统演化的特征时间，则约化系统的记忆效应可以忽略。因此，像经 典理论那样可以获得马尔科夫型的行 为。对于均匀情况这一理论将借助如下半群特征构建。
其中 约化密度矩阵Ps(t) 在t 时刻可表示为
其运动方程为
02
量子马尔科夫过程
01开放量子系统动力学概述
设初始时刻t=0 时，总系统S+B 处于不关联的乘积态
量子力学课件(完整版)
Light beam
metal
electric current
11
能量量子化的假设
造成以上难题的原因是经典物理学认为 能量永远是连续的。
如果能量是量子化的，即原子吸收或发 射电磁波，只能以“量子”的方式进行， 那末上述问题都能得到很好的解释。
12
能量量子化概念对难题的解释
原子寿命 ①原子中的电子只能处于一系列分立的能级之中。
18
当 kT hc（高频区）
E(, T)
2hc2 5
e hc
kT
Wein公式
当 kT hc（低频区）
E(, T)
2c 4
kT
Rayleigh–Jeans公式
19
能量量子化概念对难题的解释
对光电效应的解释
如果电子处于分立能级且入射光的能 量也是量子化的，那么只有当光子的能 量（E =hυ）大于电子的能级差，即E =hυ > En－Em时，光电子才会产生。如 果入射光的强度足够强，但频率υ足够 小，光电子是无法产生的。
2 , k 2 / ,
得到 d 2 0,所以，t x(t)
dk 2 m
物质波包的观点夸大了波动性的一面，抹杀 了粒子性的一面，与实际不符。
45
（2）第二种解释：认为粒子的衍射行为是大 量粒子相互作用或疏密分布而产生的行为。 然而，电子衍射实验表明，就衍射效果 而言， 弱电子密度＋长时间＝强电子密度＋短时间 由此表明，对实物粒子而言，波动性体 现在粒子在空间的位置是不确定的，它是以 一定的概率存在于空间的某个位置。
2
这面临着两个问题：
1、信号电磁波所覆盖的区域包括大量的 元件，每个元件的工作状态有随机性，但 器件的响应具有统计性；
量子力学ppt
详细描述
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子计算和量子通信是量子力学的重要应用之一，具有比传统计算机和通信更高的效率和安全性。
量子计算是一种基于量子力学原理的计算方式，具有比传统计算机更快的计算速度和更高的安全性。量子通信是一种基于量子力学原理的通信方式，可以保证通信过程中的安全性和机密性。这两个应用具有广泛的应用前景，包括密码学、金融、人工智能等领域。
薛定谔方程
广泛应用于原子、分子和凝聚态物理等领域，可以用于描述物质的量子性质和现象。
薛定谔方程的应用
哈密顿算符与薛定谔方程
03
量子力学中的重要概念
是量子力学中的一种重要运算符号，用于描述量子态之间的线性关系，可以理解为量子态之间的“距离”。
狄拉克括号
是一种量子化方法，通过引入正则变量和其对应的算符，将经典物理中的力学量转化为量子算符，从而建立量子力学中的基本关系。
描述量子系统的状态，可以通过波函数来描述。
量子态与波函数
量子态
一种特殊的函数，可以表示量子系统的状态，并描述量子粒子在空间中的概率分布。
波函数
波函数具有正交性、归一性和相干性等性质，可以用于计算量子系统的性质和演化。
波函数的性质
一种操作符，可以用于描述物理系统的能量和动量等性质。
哈密顿算符
描述量子系统演化的偏微分方程，可以通过求解该方程得到波函数和量子系统的性质。
量子优化
量子优化是一种使用量子计算机解决优化问题的技术。最著名的量子优化算法是量子退火和量子近似优化算法。这些算法可以解决一些经典优化难以解决的问题，如旅行商问题、背包问题和图着色问题等。然而，实现高效的量子优化算法仍面临许多挑战，如找到合适的启发式方法、处理噪声和误差等。
量子信息中的量子算法与量子优化
解释和预测新材料的物理性质，如超导性和半导体性质等。
量子力学课件-第5讲
2 2
10
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5) 推论1
对应于能量的某个本征 值E，能量本征方程的解
ψ ( x)不简并，则这个解可取 为实函数。 【证】ψ ( x)是能量本征方程对应 E的一个解，根据
定理1，ψ ( x)也是对应能量E的一个解，如果能级
*
不简并，则ψ ( x)和ψ * ( x)对应的是同一个量子态 →
− a2 x2 / 2
n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅
H n (ax)
7
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2) 3、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。 定义空间反演（反射）算符P为 : Pψ ( x) = ψ (− x)
如果 或 偶宇称 奇宇称 Pψ ( x) = ψ (− x) = ψ ( x) Pψ ( x) = ψ (− x) = −ψ ( x)， P cos( x) = cos(− x) = cos( x) P sin( x) = sin(− x) = − sin( x)
2 0 +∞ −∞
n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅
π
π
2
, ∫ sin nx sin mxdx = 0, (m ≠ n)
0
π
同样有∫ ψ m ( x) n ( x)dx = δ mn ψ
1, m = n = → 正交、归一 0, m ≠ n
由傅立叶级数展开，在 (0, a)内，任何奇函数可表示 为 nπx nπx 2 ∞ 2 π 2 ψ ( x) = ∑ cn sin a , cn = π ∫0 ψ ( x) a sin a dx a n =1
6
一维无限深方势阱中的能量本征值与本征态为 h 2π 2 n 2 E = En = ，n=1， 3 2， 2 2ma 2 nπ x sin( ), 0 < x < a; ψ n ( x) = a a 0, x < 0, x > a. 一个En 对应一个ψ n ( x)：非简并 一维谐振子的能量本征值和本征态为 E = En = (n + 1/ 2)hω , n = 0,1, 2, ⋅⋅⋅，ψ (ξ ) = ψ n (ξ ) = An e 一个En 对应一个ψ n ( x)：非简并 若一个En 对应二个（及以上）ψ n ( x)：称En是简并的
10
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(5) 推论1
对应于能量的某个本征 值E，能量本征方程的解
ψ ( x)不简并，则这个解可取 为实函数。 【证】ψ ( x)是能量本征方程对应 E的一个解，根据
定理1，ψ ( x)也是对应能量E的一个解，如果能级
*
不简并，则ψ ( x)和ψ * ( x)对应的是同一个量子态 →
− a2 x2 / 2
n = 1, 2,3, ⋅⋅⋅
H n (ax)
7
二、一维势场中粒子能量本征态的一般性质(2) 3、宇称－函数在空间反演下表现出的特性。 定义空间反演（反射）算符P为 : Pψ ( x) = ψ (− x)
如果 或 偶宇称 奇宇称 Pψ ( x) = ψ (− x) = ψ ( x) Pψ ( x) = ψ (− x) = −ψ ( x)， P cos( x) = cos(− x) = cos( x) P sin( x) = sin(− x) = − sin( x)
2 0 +∞ −∞
n = 1,2,3,⋅ ⋅ ⋅
π
π
2
, ∫ sin nx sin mxdx = 0, (m ≠ n)
0
π
同样有∫ ψ m ( x) n ( x)dx = δ mn ψ
1, m = n = → 正交、归一 0, m ≠ n
由傅立叶级数展开，在 (0, a)内，任何奇函数可表示 为 nπx nπx 2 ∞ 2 π 2 ψ ( x) = ∑ cn sin a , cn = π ∫0 ψ ( x) a sin a dx a n =1
6
一维无限深方势阱中的能量本征值与本征态为 h 2π 2 n 2 E = En = ，n=1， 3 2， 2 2ma 2 nπ x sin( ), 0 < x < a; ψ n ( x) = a a 0, x < 0, x > a. 一个En 对应一个ψ n ( x)：非简并 一维谐振子的能量本征值和本征态为 E = En = (n + 1/ 2)hω , n = 0,1, 2, ⋅⋅⋅，ψ (ξ ) = ψ n (ξ ) = An e 一个En 对应一个ψ n ( x)：非简并 若一个En 对应二个（及以上）ψ n ( x)：称En是简并的
量子力学课件第五章
§5.1 非简并的定态微扰
在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出： 在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：
(0) En = En
(1) + En
(2) + En
(0) = En
′ + Hnn +
m≠n
∑E
∞
′ |2 | Hnm
(0) n (0) − Em
扰动体系能量本征函数由下式给出： 扰动体系能量本征函数由下式给出：
ak (1) = <ψk (0) |ψn (1) >
代回到
ˆ − E(0) (1)= − H′ − E(1) (0) [H0 n ]ψ [ n n ]ψ n
§5.1 非简并的定态微扰
( ˆ [H0 − En0) ]
∑
k
'
( ( (1 ak1)ψ k0) = − H′ − En ) ] n0) [ ψ(
ˆ ˆ ˆ H = H0 + H′
H0 所描写的体系是可以精确求解的，其本征值 En(0) ， 所描写的体系是可以精确求解的，
( ( 满足如下本征方程： ˆ ( 本征矢 ψn(0) 满足如下本征方程： H 0ψ n0) = En0)ψ n0)
H’是很小的可以看作加于 H0 上的微小扰动。 是很小的可以看作加于 上的微小扰动。
§5.1 非简并的定态微扰
态矢和能量的一级修正
1 En
1 ψn
=
=
∫
* (0) ′ (0) τ ψ Hψ d n n
∑
m
∞
'
(0) ψ (0) (0) m En − Em
′ Hmn
§5.1 非简并的定态微扰
量子力学的五大公设PPT培训课件
性质
测量退相干是量子力 学中的一种独特现象， 与经典物理中的测量 不同。
它表明量子系统与测 量仪器之间的相互作 用会导致量子系统失 去相干性，即失去其 同时处于多个状态的 特性。
测量退相干是量子测 量中不可避免的过程， 是量子系统与测量仪 器相互作用的必然结 果。
测量退相干的几何解释
量子态的几何表示
量子计算
在量子计算中，测量退相干是一个关键问题。由于量子比特与周围环境中的其他粒子发生相互作用，会导致量子比特 的相干性消失，从而影响量子计算的精度和可靠性。
量子通信
在量子通信中，为了确保信息传输的安全性和可靠性，需要克服测量退相干问题。通过对量子态进行编码和解码，可 以减少测量退相干的影响，提高量子通信的传输质量和安全性。
测量的几何解释
总结词
在几何表述中，测量被解释为对量子态的投影，将量子态从高维空间映射到低维空间。
详细描述
在几何表述中，量子态被视为高维空间中的向量。测量被解释为将这个向量投影到一个 低维子空间的过程。这个投影的结果是一个与原始量子态相关的新的量子态，其性质取
决于测量的具体操作。
测量的应用
总结词
量子力学中的测量 在许多领域都有应用， 包括量子计算、量子通信和量子传感等。
算符的应用
量子测量
通过测量算符可以对量子系统进行测量，获取系统的状态信息。测量算符的选择和测量过 程会对系统造成干扰，因此需要遵循一定的原则和限制。
量子纠缠
量子纠缠是量子力学中的一种现象，指两个或多个量子系统之间存在一种特殊的关联，使 得它们的状态无法单独描述，只能用整体状态来描述。纠缠的度量和控制是量子计算和量 子通信中的重要问题，需要用到算符的概念。
状态空间的应用
量子力学第五节、电子的准经典运动
v K 1 K E K 1 K E K 1 K E K v K
一个完全填满电子的能带，电子在 k空间具有中心对称性。 即一个电子处于k态，能量为E（K），则必有另一个与其能量相 同的E（- K）=E（K）电子处于-k态。
（2）当不存在外电场时，尽管每一个电子都带有一定的电流-ev， 但是k态和-k态的电子电流-ev（k）和-ev（-k）正好一对对相互 抵消，所以没有宏观电流。 电场不为零时 （1）对于填满的能带 由k(r)=k+Gh(r)知，从一端离开第一布里渊区的电子，相 当于从另一端进入该区。从总的效果看，电子的分布没有发生变 化，总电流为零 （2）对于未填满的能带 在外场作用下，电子 在布里渊区内不再是对称 分布，因而产生净电流 3、满带对电导没有贡献， 只有未完全填满电子的能 带才对电导有贡献。
二电子的速度按照准经典近似电子的速度可用波包的运动速度群速度表示电子的群速度总是与k空间的等能面垂直三外力作用下电子状态的变化加速度与有效质量1准动量当有外加电磁场时晶体电子受到外力的作用能量发生变化
这时波矢（动量）的不准确度比布里渊区的尺度小得多， 从而波矢k的精度也得到满足
从宏观角度来说，满足上述关系的电子处在某一“点”，或者说 电子是定域在这个点的。
二、电子的速度 按照准经典近似，电子的速度可用波包的运动速度（群速度）表示
dx 1 dE d 一维v dt dK dK 1 三维v K E K
电子的群速度总是与k空间的等能面垂直 三、外力作用下电子状态的变化——加速度与有效质量 1、准动量 当有外加电磁场时，晶体电子受到外力的作用，能量发生变化： dE=Fvdt 单位时间内能量增量dE/dt=Fv=F‧(1/ħ)(dE/dK) 又dE/dt=(dE/dK) ‧（dK/dt) 对比上面两式，得到：F=ħ（dK/dt）=d(ħk)/dt 此式与自由粒子的牛顿第二定律F=dP/dt形式上相当。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3
将要学习的…
角动量 下面，先来学习厄米算符的基本性质。
4
算符的运算规则
1.线性算符 定义见课本。 请注意：“任意波函数”这个规矩。
5
算符的运算规则
其实原来已 经用过这个 性质了。
请问为何可 以这样算？
E dV *Hˆ
dV (
cm
m
(
x)e
iEmt
)*
Hˆ
(
iEnt
cn n (x)e )
关于厄米算符的结论
任何状态下厄米算符的平均值为实数。 已知Aˆ是厄米的。
Aˆ ( , Aˆ ) dv *( Aˆ )
根据厄米性
=( Aˆ , )= dv( Aˆ )*
两者互为共轭 则Aˆ必为实数。
25
厄米算符本征值正交性的证明
需要掌握。 见教材。 简单：使用“能够换位这一性质”。
26
厄米算符的性质和测量
n
相应概率的乘积和来衡量散布的程度：越大，散布越厉害；反之， 散布越小。 这个表示散布程度的量，叫做“涨落”。
29
量子力学中的涨落及其性质
(Aˆ) Aˆ Aˆ ,
(Aˆ )2 ( Aˆ Aˆ )2 它们都是厄米算符
--------
Aˆ ( , ( Aˆ A) )
-------------
4.单位算符
10
算符的运算规则
5.算符之积
注意：一般而言，算符之积不满足交换律。 这件事情在量子力学中有重要的意义。
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
11
算符的运算规则
算符一般不满足交换律量子力学中的 对易关系
12
算符的运算规则
坐标-动量对易关系
[xˆ, pˆ x ] xˆpˆ x pˆ x xˆ i
14
练习
证明：
1.[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
pˆ 2.[
x
2
,
(x)]
2
2
2x
2i
x
pˆ x
15
证明：
练习解答1.
[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
注意，这里 (x)也是一个算符，指的是用 (x)
这个函数去乘的操作。
引入一个任意波函数 ( x)。
[
pˆ
x
,
(
x)
]
(
x)
[i
x
,
(
x)
]
(
x)
i [ (x)(x)] (x)i (x)
回顾力学量的测量假定
27
厄米算符的性质和测量
平均值
A ( , Aˆ ) | cn |2 An
n
童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！
28
厄米算符的性质和测量
新概念：涨落。
用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。
在统计中，使用 [(xn x)2 ] pn，就是偏离均值距离大小的平方与
23
关于厄米算符的结论
如果两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米的。 已知Aˆ、Bˆ分别是厄米的，且二者对易。 即[Aˆ, Bˆ]=Aˆ Bˆ BˆAˆ 0， 也就是Aˆ Bˆ =BˆAˆ。
则( , Aˆ Bˆ) (BˆAˆ ,（) 厄米性质）
由上面
( Aˆ Bˆ ,)所以AˆBˆ是厄米的。 24lˆy zpˆ x xpˆ z lˆz xpˆ y ypˆ x
lˆ2 lˆx 2 lˆy 2 lˆz 2
18
角动量
对易式
请自己总结角动量的对易关系，并请注 意记忆的规律。
19
角动量
[lˆ , xˆ ] ixˆ [lˆ , pˆ ] ipˆ [lˆ , lˆ ] ilˆ
(上式不为零的部分，也写成lˆ lˆ ilˆ) [lˆ 2 ,lˆ ] 0
20
厄米算符
基本性质和定义
设有算符Aˆ ，如果对于任意波函数，，都有 ( , Aˆ ) ( Aˆ ,)
则Aˆ 叫做厄米算符。
积分表达式是什么样子的？
21
练习
1.证明xˆ,V (x)是厄米算符( pˆ x ,lrˆ选做)。 2.若Aˆ是厄米算符，则Aˆ 2也是。 3.若Aˆ是厄米算符，则对于任意态（波函数）下， Aˆ 2 0。
22
关于厄米算符的结论
1.物理量，对应的算符都是厄米的； 2.厄米算符的和也是厄米算符； 3.若两个厄米算符对易，则两个算符的积也是厄米的； 4.任何状态下厄米算符的平均值为实数(证明)； 5.任何状态下，平均值为实数的算符为厄米算符； 6.属于厄米算符的不同本征值的本征函数，彼此正交 (证明)。
x
x
i(x) (x) i (x) (x) (x)i (x)
x
x
x
i(x) (x) [i (x)](x)
x
x
[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
注意这里其实只是一个乘法算子。
16
练习解答
pˆ 2.[
x
2
,
( x)]
2
2
2x
2i
x
pˆ x
计算与上题类似。
17
角动量
定义
基本关系
lˆ rˆ pˆ lˆ (lˆx , lˆy , lˆz ) lˆx ypˆ z zpˆ y
m
n
dV (
cm
m
(
x)e
iEmt
)*
En
(
iEnt
cn n (x)e )
m
n
dV (
iEmt
cm*
* m
(
x)e
)En (
iEnt
cn n (x)e )
n
n
dV (
cm*cn
* m
(
x)
n
(
x)e
iEmt
iEnt
)En
m,n
{cm
*cn
e
iEmt
iEnt
[xˆ , pˆ ] i
13
练习
常用基本公式 [ Aˆ, Bˆ] [Bˆ, Aˆ] [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ 算符中的Jacobi恒等式 [ Aˆ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
第三章 算符
1
引言
前面说过，量子力学中的物理量（或称 力学量）用算符表示。这也是量子力学 的基本假定之一。
本章中，根据量子力学的假定我们将知 道用来表示力学量的算符，其实是一种 特殊的算符-厄米算符。厄米算符具有一 些特点，从而导致力学量也有一些特点。
2
已经学过的算符
坐标 动量 动能 势能 哈密顿量
En
[
dV
* m
(
x)
n
(
x)
]}
m,n
c c e E *
iEmt iEnt
mn
n mn
cn*cn En
| cn |2 En
m,n
n
n
6
算符的运算规则
刻划客观测物理量的算符都是线性算符。
7
算符的运算规则
2.算符相等 见教材。
8
算符的运算规则
3.算符之和
9
算符的运算规则
将要学习的…
角动量 下面，先来学习厄米算符的基本性质。
4
算符的运算规则
1.线性算符 定义见课本。 请注意：“任意波函数”这个规矩。
5
算符的运算规则
其实原来已 经用过这个 性质了。
请问为何可 以这样算？
E dV *Hˆ
dV (
cm
m
(
x)e
iEmt
)*
Hˆ
(
iEnt
cn n (x)e )
关于厄米算符的结论
任何状态下厄米算符的平均值为实数。 已知Aˆ是厄米的。
Aˆ ( , Aˆ ) dv *( Aˆ )
根据厄米性
=( Aˆ , )= dv( Aˆ )*
两者互为共轭 则Aˆ必为实数。
25
厄米算符本征值正交性的证明
需要掌握。 见教材。 简单：使用“能够换位这一性质”。
26
厄米算符的性质和测量
n
相应概率的乘积和来衡量散布的程度：越大，散布越厉害；反之， 散布越小。 这个表示散布程度的量，叫做“涨落”。
29
量子力学中的涨落及其性质
(Aˆ) Aˆ Aˆ ,
(Aˆ )2 ( Aˆ Aˆ )2 它们都是厄米算符
--------
Aˆ ( , ( Aˆ A) )
-------------
4.单位算符
10
算符的运算规则
5.算符之积
注意：一般而言，算符之积不满足交换律。 这件事情在量子力学中有重要的意义。
[ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
11
算符的运算规则
算符一般不满足交换律量子力学中的 对易关系
12
算符的运算规则
坐标-动量对易关系
[xˆ, pˆ x ] xˆpˆ x pˆ x xˆ i
14
练习
证明：
1.[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
pˆ 2.[
x
2
,
(x)]
2
2
2x
2i
x
pˆ x
15
证明：
练习解答1.
[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
注意，这里 (x)也是一个算符，指的是用 (x)
这个函数去乘的操作。
引入一个任意波函数 ( x)。
[
pˆ
x
,
(
x)
]
(
x)
[i
x
,
(
x)
]
(
x)
i [ (x)(x)] (x)i (x)
回顾力学量的测量假定
27
厄米算符的性质和测量
平均值
A ( , Aˆ ) | cn |2 An
n
童鞋：请搞清楚里面的系数是神马含义哦！
28
厄米算符的性质和测量
新概念：涨落。
用以衡量测量值在平均值周围不同的散布情况。
在统计中，使用 [(xn x)2 ] pn，就是偏离均值距离大小的平方与
23
关于厄米算符的结论
如果两个厄米算符对易，则它们的乘积也是厄米的。 已知Aˆ、Bˆ分别是厄米的，且二者对易。 即[Aˆ, Bˆ]=Aˆ Bˆ BˆAˆ 0， 也就是Aˆ Bˆ =BˆAˆ。
则( , Aˆ Bˆ) (BˆAˆ ,（) 厄米性质）
由上面
( Aˆ Bˆ ,)所以AˆBˆ是厄米的。 24lˆy zpˆ x xpˆ z lˆz xpˆ y ypˆ x
lˆ2 lˆx 2 lˆy 2 lˆz 2
18
角动量
对易式
请自己总结角动量的对易关系，并请注 意记忆的规律。
19
角动量
[lˆ , xˆ ] ixˆ [lˆ , pˆ ] ipˆ [lˆ , lˆ ] ilˆ
(上式不为零的部分，也写成lˆ lˆ ilˆ) [lˆ 2 ,lˆ ] 0
20
厄米算符
基本性质和定义
设有算符Aˆ ，如果对于任意波函数，，都有 ( , Aˆ ) ( Aˆ ,)
则Aˆ 叫做厄米算符。
积分表达式是什么样子的？
21
练习
1.证明xˆ,V (x)是厄米算符( pˆ x ,lrˆ选做)。 2.若Aˆ是厄米算符，则Aˆ 2也是。 3.若Aˆ是厄米算符，则对于任意态（波函数）下， Aˆ 2 0。
22
关于厄米算符的结论
1.物理量，对应的算符都是厄米的； 2.厄米算符的和也是厄米算符； 3.若两个厄米算符对易，则两个算符的积也是厄米的； 4.任何状态下厄米算符的平均值为实数(证明)； 5.任何状态下，平均值为实数的算符为厄米算符； 6.属于厄米算符的不同本征值的本征函数，彼此正交 (证明)。
x
x
i(x) (x) i (x) (x) (x)i (x)
x
x
x
i(x) (x) [i (x)](x)
x
x
[
pˆ x
,
(
x)]
i
x
注意这里其实只是一个乘法算子。
16
练习解答
pˆ 2.[
x
2
,
( x)]
2
2
2x
2i
x
pˆ x
计算与上题类似。
17
角动量
定义
基本关系
lˆ rˆ pˆ lˆ (lˆx , lˆy , lˆz ) lˆx ypˆ z zpˆ y
m
n
dV (
cm
m
(
x)e
iEmt
)*
En
(
iEnt
cn n (x)e )
m
n
dV (
iEmt
cm*
* m
(
x)e
)En (
iEnt
cn n (x)e )
n
n
dV (
cm*cn
* m
(
x)
n
(
x)e
iEmt
iEnt
)En
m,n
{cm
*cn
e
iEmt
iEnt
[xˆ , pˆ ] i
13
练习
常用基本公式 [ Aˆ, Bˆ] [Bˆ, Aˆ] [ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ 算符中的Jacobi恒等式 [ Aˆ,[Bˆ,Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
第三章 算符
1
引言
前面说过，量子力学中的物理量（或称 力学量）用算符表示。这也是量子力学 的基本假定之一。
本章中，根据量子力学的假定我们将知 道用来表示力学量的算符，其实是一种 特殊的算符-厄米算符。厄米算符具有一 些特点，从而导致力学量也有一些特点。
2
已经学过的算符
坐标 动量 动能 势能 哈密顿量
En
[
dV
* m
(
x)
n
(
x)
]}
m,n
c c e E *
iEmt iEnt
mn
n mn
cn*cn En
| cn |2 En
m,n
n
n
6
算符的运算规则
刻划客观测物理量的算符都是线性算符。
7
算符的运算规则
2.算符相等 见教材。
8
算符的运算规则
3.算符之和
9
算符的运算规则