八年级数学上册 第9讲 等腰三角形培优(无答案)(新版)湘教版
培优专题等腰三角形(含答案)
9、等腰三角形【知识精读】（－）等腰三角形的性质1. 有关定理及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。
推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。
等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；2. 定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。
等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。
（二）等腰三角形的判定1. 有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。
）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
2. 定理及其推论的作用。
等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。
3. 等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。
【分类解读】例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。
八年级数学上册第9讲等腰三角形培优(无答案)(新版)湘教版
第9讲等腰三角形姓名：________一、知识点1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.2.相关概念：（1）在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边.（2）两腰的夹角叫做顶角.（3）腰和底边的夹角叫做底角.3.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）.（3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线.4.等腰三角形的判定：（1）定义；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.5.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.6.等边三角形的性质：（1）具有一般等腰三角形的所有性质；（2）三条边都相等；（3）三个角都相等，都等于60°.7.等边三角形的判定：（1）定义；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.二、典型例题【例1】已知等腰三角形两边分别是10cm 和5cm，那么它的周长是A．15cmB．20cmC．25cmD．20cm或25cm变式练习：1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________【例2】如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D 变式练习：1.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。
第1题第2题第3题2.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________3.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-【例3】如图,已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．变式练习：1.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________- 2.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________【例4】已知，如图，点D为等边△ABC内一点，将△BDC绕点C旋转到△AEC的位置，问△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.变式练习：如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AB上，BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE交于点F. （1）求证：BA=BC（2）判断△AFC的形状，并说明理由。
2.3.1等腰三角形的性质课件ppt湘教版八年级上
You made my day!
我们，还在路上……
例2、如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点， ∠B = 30°，求 ∠1 和 ∠ADC的度数。
解：
A
∵ AB = AC
12
∴ ∠B = ∠C =30°
∵ D是BC边上的中点
∴AD⊥BC， ∠1= ∠2 B
D
C
∴ ∠ADC = ∠ADB= 90°
∵ ∠ 1 =180° - ∠ADB - ∠B = 60°
∟
∴ Rt△ADA=BADD≌（R公t△共A边C）D（H.L.）B
D
C
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等） 思考1：还有其他的证明方法吗？
思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？
问题2、结论（3）、（4）、（5）用一句话可以归纳 为什么？
等腰三角形的底边上的高、中线及顶角的平分线
互相重合，简称“三线合一” A (1)“等腰三角形”是三线合一的 大前提
B D C (2)要注意是哪三线?
思考2：你有办法证明等腰三角形的“三线合一”吗？
等腰三角形的性质
1、等腰三角形的两个底角相等 （简称“等边对等角”） 2、等腰三角形的 底边上的高、底边上的中线和顶角的平分线 互相重合（简称“三线合一”）
一般的三角 形有这种性
质吗？
要注意是指顶角 的平分线、底边 上的高、底边上 的中线这三线重
问题1、结论（2）用文字如何表述？
等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
如何证明：等腰三角形的两个底角相等（简写“等边对等角”）
已知：如图△ABC中AB=AC
求证：∠B=∠C
证明：过A作AD⊥BC于D
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∠ADB=∠ADC.
12
沿AD所在直线折叠， 由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，
所以射线DB与射线DC重合，
射线AB与射线AC重合.
D
从而点B与点C重合，于是AB=AC.
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角
所对的边也相等
结论：等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.A (简称“等角对等边”)
3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。
4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。
5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午5时14分21.11.817:14November 8, 2021
7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观 察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一5时14分54秒17:14:548 November 2021
证明： ∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵EF ∥BC,
E
∴ ∠2=∠5，∠3=∠6,
∴ ∠1=∠5，∠4=∠6,
B
∴EO=CO,FO=CO, ∴EO=FO.
A
5 O 6F
2 1 43
CD
1. 已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和
练习
∠ACB的平分线相交于点O.
求证：△OBC为等腰三角形.
例2 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形.
证明 ∵△ABC是等边三角形，
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B D
已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B= ∠C
C 分析：1.如何证明两个角相等？ 2.如何构造两个全等的三角形？
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A
证明: 作△ABC 的中线AD
则有 BD＝CD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC BD＝CD
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一、剪一剪
(课本第75页)如图，把一张长方形的纸按图中的 虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开得△ABC.
B
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A
D
C
设问1： △ABC 有什么特点？
谈谈你的收获！
这节课你又学到 了什么知识？
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轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上
的高互相重合，简称“三线合一” 2. 能根据等腰三角形的概念与性质求等腰三角 形的周长或知道一角求其它两角或证线段、角 相等。
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数学符号：
性质 1 在△ABC中， ∵ AB=AC
∴ ___∠_B____= ___∠__C___
性质 2 ( 1 ) ∵ AB=AC，AD是角平分线，
∴__A_D___⊥___B__C_，__B__D__=___C_D___ ；
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（2）三线合一：
等腰三角形__顶__角__平__分__线____、_底__边__上__的__中__线___ 及_底__边__上__的__高____互相重合.
（3）等边对等角：
上午10时，一条船从A处出发以20海里每小 时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、 B望灯塔C，测得∠NAC=40º，∠NBC=80º， 求从B处到灯塔C的距离．
北 N
C
80º
B
40º
A
8.已知：如图,在等边三角形ABC的AC边上取 中点D,BC的延长线上取一点E,使得CE=CD. 求证：BD=DE.
4.等腰直角三角形的两个底角分别为_4_5_°__, _4_5°___
5.已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的
周长为（ B ）
A.12或9
B.12 C.9 D.7
6.如图,在等边三角形ABC的AC边上取 中点D,连接BD，则∠ABD=__3_0__°__
A
D
3
D
1
B2
C
7、已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC。 求证：AB=AD
证明：∵△ABC是等边三角形,D是AC中点 ∴∠ABC=∠ACB=60°,∠CBD=30° ∵CD=CE ∴∠E =∠CDE ∵∠BCD=∠E+∠CDE
=2∠E=60° ∴∠E = 30°=∠CBD ∴BD=DE
9.如图,D是等边三角形ABC的AC边上的中 点,在BC的延长线上取一点E,如果DE=6， ∠DCB=2∠CDE，求BD的长.
2.3.3
1. __有__两_边__相__等___的三角形叫等腰三角形.
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有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
为__3_5_°__,35°__。
谈谈你的收获！
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线、和底边上的高
互相重合，简称“三线合 一”
课
一、习题 2.3
外
A组 第1，2，3题
作 业
二、预习新课
：
A
重合的线段
重合的角
AB＝AC BD＝CD AD＝AD
∠B ＝ ∠C.
∠BAD ＝ ∠CAD
B
∠ADB ＝∠ADC =90°
D
C
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• 任意画一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，如图，作 Δ ABC关于顶
角的平分线AD所在直线的轴反射，
• 由于∠1= ∠2 AB=AC 因此：
A
顶
腰
角
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰， 另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰 和底边的夹角叫做底角.
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想一想:
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等腰三角形ABC，其中 AB=AC 作
Δ ABC顶角的平分线AD并以AD对折 你会发现什么?
八年级上册数学思维训练培训(培优)试题：等腰三角形
八年级上册数学思维训练培训（培优）试题：等腰三角形【思维入门】例如图，BD是等腰AABC底边AC 上的高线，DE〃BC角AB于点E,求证：ΔBED是等腰三角形。
例1—1：如图，ZABC的平分线BF与AABC中ZACB相邻的外角的平分线CF相交于点F,过点F作DF〃BC, 交AB 于点D,交AC于点E, （1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。
（2） BD, CE, DE之间存在着什么关系？请证明。
【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30。
，则等腰三角形的顶角为例3：如图，在AABC 中，AB=AC, ZBAD=20°,且AD=AE,则ZCDE=例4：如图，在ZkABC 中，AB=AC, AD=DE, ZBAD=20% ZEDC=IO0,则ZDAE 的度数为 ______________________________________________________________________________________________【思维升华】例5：老师布宜了一道思考题: 如图1,点M, N分别在正三角形ABC的BC, AC边上，⅛ BM=CN, AM. BN交于点Q,求证：ZBQM = 60%（1）请你完成这道思考题;（2）做完（I）后，同学们在老师的启发下进行了反思.提岀了许多问题，如:①若将题中“BM=CK'与2BQM = 60尸的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BG AC的延长线，是否仍能得到ZBQM=60。
？③若将题中的条件“点卜1, N 分别在正三角形ABC的BGAC边上'改为“点MN分别在正方形ABCD的BGCD边上，，是否仍能得到ZBQM =60°?请你作出判断，在下列横线上填写“是"或“否① __________出证明。
_____ U对②，③的判断，选择一个给【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一泄可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成 几何图形，如图1，∆ABC 中，设ZA= α , ZB=0, ZC=/。
八年级数学上册2.3等腰三角形课件(新版)湘教版.3等腰三角形课件(新版)湘教版
∴∠ABC=∠ACB,∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∵在△ABD中，BD=AD
∴∠ABD=∠A，∠BDC=∠A+∠ABD, 即∠BDC=2∠A
∵ 在△BDC中，BD=BC ∴∠BDC=∠BCD, ∠A+2∠ACB=180° 即 ∠A+4∠A=180° ∴∠A=36° ∠ABC=∠BCA=2∠A=72°
. 中线
由于射线DB的像是射DC, 射线DA的像是
射线DA , 因此∠BDA=∠CDA=90 °,
从而AD是底边BC上的 高 .
由于射线BA 的像是射线CA , 射线BC 的
像是射线 CB ,因此∠B = ∠C.
1.等腰三角形是轴对称图形，对称轴是 顶角平分线所在的直线.
2.等腰三角形的两底角相等（简称 “等边对等角”） 3.等腰三角形底边上的高、中线及顶角 平分线重合（简称“三线合一”）．
3.一腰上的高与另一腰的夹角为30°， 则其顶角为 60或12。0
解： (1)当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°； (2)当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°． 故答案为：60°或120°．
4. 在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ ABC各角的度数 .
等腰三角形除了具有这些一般三角形的性质外， 还有哪些特殊的性质呢？
如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折， 并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有 什么特点？
B
A
D
C
AC和AB有什么关系?这个三角形有什么特点?
任意画一个等腰三角形ABC， 其中AB =AC， 如图, 作△ABC 关于顶角平分线AD 所在直线的轴 反射， 由于∠1 =∠2， AB=AC， 因此：
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7如图，△ABC中，以B为圆心，BC长为半径画弧，分别交AC、
AB于D，E两点，并连接BD，DE.若∠A＝30°，AB＝AC，则
∠BDE的度Байду номын сангаас是 (
A.45°
B.52.5°
C.67.5°
D.75°
C )
分层作业
8如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝
102°，则∠ADC＝
52 度.
称轴过哪个顶点，哪条边？
是.对称轴过两条腰相交的顶点，过底边.
预习导学
2.通过上述的“操作”，试视察右图，AD为折痕(即对称轴)，
思考:
(1)底角∠B与底角∠C能完全重合吗？说明了什么？
能，两底角相等.
(2)BD与CD能完全重合吗？说明AD是△ABC的什
么特殊线段？
能，是底边上的中线.
预习导学
(3)∠CAD与∠BAD能完全重合吗？说明了AD是△ABC的什
36°，则∠1的度数为
A.36°
B.60°
C.72°
D.108°
( C
)
5等腰三角形中有一个角是50°，那么其他两个角的度数是
50°，80°或65°，65° .
分层作业
6腰长与底边长不相等的等腰三角形中，三角形的中线、角平分
线和高共有(重合的算一条)
A.9条
B.3条
C.7条
D.3条或7条
(
C
)
分层作业
等腰三角形底边中线、 顶角平分线
、 底
，三线合一，在证明或计算中，一定要记得使用，
因为不需要再添辅助线，这条线本身就具有多重“身份”.
合作探究
·方法点拨·
等腰三角形性质定理的常用运用方法:由两边相等推导出两角
湘教版数学八上能力培优2.3等腰三角形
2．3 等腰三角形专题一 等腰三角形的性质1．如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ )A ．30° D．32° C 36° D．40°2.已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=AF ，BC=BE ，则∠ECF=（ ）A ．60° B．45° C30° D．不能确定3. 等腰三角形的两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为_________.4. 若等腰三角形被一条直线分割成两个较小的三角形也是等腰三角形，求原等腰三角形的顶角度数.专题二 等腰三角形的判定5. 设a 、b 、c 是三角形的三边长，且ca bc ab c b a ++=++222，关于此三角形的形状有以下判断：①是等腰三角形；②是等边三角形；③是锐角三角形；④是等腰直角三角形. 其中真命题的个数是 （ ）A.4个B.3个C.2个D.1个6.如图，已知：∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线 OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，若OA 1=1，则△A 2013B 2013A 2014的边长为 （ ）A.2013B. 2014C.20122D. 201327.如图，点O 是等腰直角三角形ABC 内一点，∠ACB=90°，∠AOB=140°，∠AOC=α．将△AOC 绕顶点C 按顺时针方向旋转90°得△BDC，连接OD ．（1）试说明△COD 是等腰直角三角形；（2）当α=95°时，试判断△BOD 的形状，并说明理由．8.如图,在等边△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线相交于点O ，且OD∥AB，OE∥AC．（1）试判定△ODE 的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．O MN B 11 B2 B 3A 2 A 3 A 4状元笔记【知识要点】1．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；（2）等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形的两底角相等（简称“等角对等边”）．2．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°．3．等腰三角形的判定：（1）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称为“等角对等边”）．（2）三个角都是60°的三角形是等边三角形．（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．【温馨提示】1．等边三角形任意一边上的三线合一．2．等边也是轴对称图形，且有三条对称轴，对称轴都是直线．【方法技巧】1．等边对等角或等角对等边必须在同一个三角形中．2．判断一个三角形的形状一般要考虑：①等腰三角形；②直角三角形；③等边三角形；④等腰直角三角形．3．“等边对等角”和“等角对等边”成为今后证明角或边相等又一新方法．参考答案：1. C 解析：∵AB=AC，BG=BH ，AK=KG ，∴∠ABC=∠ACB，∠G=∠H，∠A=∠G，∴∠ABC=2∠A，∠HKC=2∠A .∵∠H+∠HKC+∠HCK=180°,∠HCK=∠ACB，∴5∠A=180°，∴∠A=36°，故选C ．2. B 解析：设∠AFC=x ，∠BEC=y ，∵AC=AF，BC=BE ，∴∠ACF=x ，∠BCE=y ，又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴180°-2x +180°-2y =90°，∴135x y +=︒，∴∠ECF=45°.3. 45°或72°解析：在△ABC 中，设∠A=X，∠B=2X，分情况讨论：当∠A=∠C 为底角时，X+X+2X=180°，解得X=45°，顶角∠B=2X=90°；当∠B=∠C 为底角时，2X+X+2X=180°，解得X=36°，顶角∠A=X=36°．故这个等腰三角形的底角度数为45°或72°．4.解：（1）如图，△ABC 中，AB=AC ，BD=AD ，AC=CD ，求∠BAC 的度数．∵AB=AC，BD=AD ，AC=CD ，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD .∵∠CDA=2∠B，∴∠CAB=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．（2）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=BD=CD ，求∠BAC 的度数．∵AB=AC，AD=BD=CD ，∴∠B=∠C=∠DAC=∠DAB ,∴∠BAC=2∠B .∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠B=45°，∴∠BAC=90°．（3）如图，△ABC 中，AB=AC ，BD=AD=BC ，求∠BAC 的度数．∵AB=AC，BD=AD=BC ，∴∠B=∠C，∠A=∠ABD，∠BDC=∠C .∵∠BDC=2∠A，∴∠C=2∠A=∠B .∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴5∠A=180°，∴∠A=36°．（4）如图，△ABC 中，AB=AC ，BD=AD ，CD=BC ，求∠BAC 的度数．假设∠A=x ，AD=BD ，∴∠DBA=x .∵AB=AC， ∴∠C=1802x -. ∵CD=BC， ∴∠BDC=2x=∠DBC=1802x -－x ， 解得：x=1807︒． ∴∠A=1807︒． 故答案为：36°，90°，108°，1807︒.5. C 解析：由ca bc ab c b a ++=++222得：222()()()0a b b c a c -+-+-=，所以000a b b c a c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，所以a b c ==，所以②、③是真命题，故选C.6. C 解析：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠1=60°.∵∠MON=30°，∴∠2=30°=∠MON ，∴A 1B 1 =OA 1=1= A 1A 2，同理可证：A 2B 2 =OA 2 =2，A 2A 3=OA 2 =2，A 3A 4=OA 3 =4=22，A 4A 5=OA 4=8=32，以此类推：A2013A2014=22012．故选：C．7.解：（1）∵△AOC绕顶点C按顺时针方向旋转90°得△BDC，∴∠OCD=90°，CO=CD，∴△COD是等腰直角三角形.（2）△BOD为等腰三角形．理由如下：∵△COD是等腰直角三角形，∴∠COD=∠CDO=45°，而∠AOB=140°，α=95°，∠BDC=95°，∴∠BOD=360°-140°-95°-45°=80°，∠BDO=95°-45°=50°，∴∠OBD=180°-80°-50°=50°．∴△BOD为等腰三角形．8.解：（1）△ODE是等边三角形，其理由是：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°, ∴△ODE是等边三角形；（2）BD=DE=EC，其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°.∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°，∴∠DBO=∠DOB，∴DB=DO .同理，EC=EO.∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．。
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例3 已知：如图，△ABC是等边三角形，点D，E 分别在BA，CA的延长线上，且AD=AE.
求证：△ADE是等边三角形. 证明 ∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=∠C= 60°. ∵∠EAD=∠BAC= 60°， 又 AD =AE， ∴△ADE是等边三角形
射线AC的像是射线
AB
线段AB的像是线段AC，
线段AC的像是线段 AB
点B的像是点C，
点C的像是点
B
线段BC的像是线段CB.
从而等腰三角形ABC关于直线
； ； ； AD 对称.
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由于点D的像是点D， 因此线段DB的像是线段 DC ， 从而AD是底边BC上的 中线 . 由于射线DB的像是射线DC， 射线DA的像是射线 DA ， 因此∠BDA = ∠CDA= 90 °， 从而AD是底边BC上的 高 . 由于射线BA的像是射线CA， 射线BC的像是射线 CB ， 因此∠B = ∠C.
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2. 如图，点P为等边三角形ABC的边BC上一 点，且∠APD= 80°，AD=AP，求∠DPC 的度数.
答：∠DPC =20°.
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等腰三角形的两底角相等( 简称“等边对 等角”).
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湘教版八年级数学上册《等腰三角形性质》课件
本节课你学习了等腰三角形的哪些重要性质?
等腰三角形的三个特殊性质：
对称性：________________________________ 三线合一：______________________________
等边对等角：______________________________
等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角____，都等于 _____
（3）等边对等角：
等腰三角形的两底角相__等____.或在一个三角形 中相等的边所对的角_相__等____
3.强化理解：
（1）如图，在△ABC中， 如果AC=AB，则
∠B=_∠__C___，根据是__等__边_对__等__角____
（2）如图△ABC中，AB =AC, 点 D在BC上 ①如果AD ⊥ BC 那么∠BAD = ∠CAD ，_B_D__=_C_D__ 根据是___三__线__合__一_____ ②如果AD是中线， 那么 AD ⊥BC ，∠_B_A__D_=∠_C_A__D_. 根据是__三__线__合__一_____ ③如果AD是角平分线， 那么 AD ⊥BC ， BD = CD . 根据是_三__线__合__一_____
注意：“等边对等角”在同一个三角形中才成立. 理解：在一个三角形中相等的边所对的角相等，
对吗？ 正确
2.小结：由上得到等腰三角形的性质定理
（1）对称性：
等腰三角形是_轴__对__称_____图形， 对称轴是__顶__角__平__分__线__所__在__的__直__线__.___.
（2）三线合一：
等腰三角形__顶__角__平__分__线____、_底__边__上__的__中__线___ 及_底__边__上__的__高____互相重合.
湘教版初中数学八年级上册等腰三角形教学课件
折纸要求：边AB与AC重合，得折痕AD
量一量：相等的角有： 相等的线段有：
B
D
C
猜测：折痕上AD可能是∆ABC的三条线段中的哪一条线段
湘教版（2012）初中数学八年级上册2 .3 等腰三角形 课件
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相等关系 相等的角
个内角平分线所在的直线。
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反馈练习
如图，∆ABC是等边三角形，点E在AC上，点D在线段BC的延 长线上，且CD=CE，求∠D的度数
A
∵∆ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝60〫 ∵∠ACB=∠D+∠DEC ∴∠D+∠DEC=60〫 ∵CE=CD ∴∠D=∠DEC=30〫
E
B
C
D
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数学思想
例2：如图，在∆ABC中，AB=AC，点D在AB上，且 AD=DC=BC，求∆ABC各内角的度数。
解：设∠A为x〫
∵AD=DC
A
∴∠ACD=∠A=x〫
∵∠BDC=∠A+∠ACD
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巩固练习 1、已知等腰三角形 的两边长分别是3和5，则该三角形的周 长是（ D ） A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或13
2、等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是 B （）
A． 80° B． 80°或20° C． 80°或50° D． 20°
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第9讲 等腰三角形
姓名：________
一、知识点
1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2.相关概念：
（1）在等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边. （2）两腰的夹角叫做顶角. （3）腰和底边的夹角叫做底角.
3.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）. （3）等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角平分线所在的直线.
4.等腰三角形的判定：（1）定义；（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.
5.等边三角形的定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.
6.等边三角形的性质：（1）具有一般等腰三角形的所有性质；（2）三条边都相等；（3）三个角都相等， 都等于60°.
7.等边三角形的判定：（1）定义；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60°的 等腰三角形是等边三角形. 二、典型例题
【例1】已知等腰三角形两边分别是10 cm 和5 cm ，那么它的周长是 A ．15 cm
B ．20 cm
C ．25 cm
D ．20 cm 或25 cm
变式练习：1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________ 2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________ 3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________
【例2】如图，已知AB=AC=AD,且AD ∥BC ，求证：∠C=2∠D
变式练习：1.如图，AB ∥CD ，点E 在BC 上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B 的度数
为_________。
第1题 第2题 第3题 2.如图，在△ABC 中，AB=AC,AD ∥BC ，若∠1=70°，则∠BAC=___________
3.如图，△ABC 中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-
【例3】如图,已知等边△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上的一点，且CE=CD ，DM ⊥BC ， 垂足为M ，求证：M 是BE 的中点．
变式练习：1.在△ABC 中，AB=AC,AD ⊥BC 于点D ，若AB=6，CD=4，则△ABC 的周长为_________- 2.在△ABC 中，AB=AC,D 为BC 的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________
【例4】已知，如图，点D 为等边△ABC 内一点，将△BDC 绕点C 旋转到△AEC 的位置，问△CDE 是怎样的三角形？请说明理由.
变式练习：如图，在△ABC 中，点D,E 分别在BC,AB 上，BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD 与CE 交于点F. （1）求证：BA=BC
（2）判断△AFC 的形状，并说明理由。
三、课堂练习
1.（1）已知等腰三角形的一个角是40°，则它的底角是_____________．
（2）一个等腰三角形的一个外角等于110°，则顶角的度数为___________.
2．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是28°，则顶角是 ．
3． 如图，下列三角形中，若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
E
D
C B
A
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①③④
4．如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，且AB=AD ，∠ABC=∠C+30°，求∠CBD 的度数.
5.如图，AE 是等腰△ABC 底边BC 上的高，AB=AC ，过点E 作EF ∥AB.证明：∠EAF=∠FEA.
6．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ， 则∠E ＝______度．
7．如图，在△ABC 中，点P ，Q 是BC 上的点，且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC.
8. 如图，P 是等腰△ABC 的底边BC 上一点，过P 点作BC 的垂线，交AB 于点Q ，交CA 的延长线
于点R ，判断△ARQ 的形状，并说明理由.
9.如图所示，在等腰三角形ABC 中，底边BC 上有任意一点P ，过P 作两腰的垂线交两腰于D 、E ，
CF 为AB 边上的高. （1）PD+PE 和CF 相等吗？为什么？
（2）如图所示，点P 在BC 边的延长线上，那么PD 、PE 和CF 之间有什么关系？写出你的猜想并证明.
四、课外作业
1.如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于D,EF ∥AD,交AC 于E,交BA 的延长线于F, 求证：△AEF 为等腰三角形。
2.如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,MN 经过点O ，且MN ∥BC 分别交AB,AC 于M,N.
(1)求证：MN=BM+CN
(2)若AB=12，AC=18，求△AMN 的周长。
3.如图，点F 是∠ABC 的平分线和外角∠ACG 的平分线的交点，线段DE 、DB 、EC 之间有何数量关系，并证明。
4. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＞90°，AB=20cm ，AC=12cm ，点p 从点B 出发以每秒3cm 的速度向点A 运动，点Q 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当运动时间为多少时△APQ 为等腰三角形？
D
C
B
A
F
E
C
B
A
R
Q
P C B A A A
Q P
C
B A。