地图投影第三章方位投影
第四节常见的地图投影
（3）高斯-克吕格投影 ）高斯为了提高地图的精确度，数学家高 斯和地图学家克吕格设计了一套方案。 每次投影，只使用中央经线两侧3 每次投影，只使用中央经线两侧3º范 围内的图，即一次投影的宽度为6 围内的图，即一次投影的宽度为6°， 全球投影60次，形成60个投影带，东 全球投影60次，形成60个投影带，东 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 西半球各30个带，以赤道为轴线，把 这些带连接在一起，形成一个类似西 瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯瓜切开形态的分瓣投影，称为高斯-克 吕格投影。带的编号从本初子午线向 东，第一带的中央经线是3 东，第一带的中央经线是3°经线。
2、横轴圆柱投影 圆柱轴与地轴垂直，一个经 圈与圆柱内侧相切。
(1)经纬网形状 (1)经纬网形状 与圆柱相切的经线投影成直线，长度比为 1，称中央经线，其它经线为对称于中央经线 的曲线，所有经线交于极点。赤道投影成垂 直于中央经线的直线，其它纬线为对称于赤 道的曲线。
（2）变形规律
中央经线不变形，离中央经线越远 变形越大。 等高圈为平行于中央经线的直线， 即等变形线平行于中央经线，垂直圈 垂直于中央经线，即从中央经线向两 侧变形增大。与中央经线经差90º 侧变形增大。与中央经线经差90º的经 线变形为无穷大。 离中央经线越远的图形使用价值越 小。
（2）变形规律
纬线上的长度比n=1/cosφ 纬线上的长度比n=1/cosφ，等角性 质的投影n=m， 质的投影n=m，相同纬差的两纬线间的 间距向高纬增大。等积投影mn=1， 间距向高纬增大。等积投影mn=1，相 mn=1 同纬差的两纬线间距向高纬变小。等距 投影m=1， 投影m=1，纬线间距不变。 等高圈（等变形线）就是纬线，垂直 圈（变形增大的方向）就是经线。
再看平射方位投影，经线上的长度比m 再看平射方位投影，经线上的长度比m、 纬线上的长度比n 纬线上的长度比n都是纬度的函数，与经度 没关系。即纬度相等，长度比相等，等变 形线与纬线平行，也可以说等变形线就是 纬线。切点长度比为1 纬线。切点长度比为1，是不变形的点，向 外变形增大，经线是变形增大的方向。 球心投影，经线上的长度比m 球心投影，经线上的长度比m、纬线上 的长度比n 的长度比n也都只是纬度的函数，与经度无 关。同样，纬线就是等变形线，切点不变 形，经线是变形增大的方向。
地图投影第三章方位投影
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
从区域所在的地理位置来说，两极地区和南、北半球图采 用正轴方位投影；赤道附近地区和东、西半球图采用横轴 方位投影；其他地区和水、陆半球图采用斜轴方位投影。
横轴、斜轴方位投影变形分布规律
投影面在p点与地球面相切，过新极点p可做许多大圆， 命名为垂直圈，再作垂直于垂直圈的各圈，命名为等高圈。 这样垂直圈相当于地理坐标系的经线圈，等高圈相当于纬 线圈，等高圈和垂直圈投影后的形式和变形分布规律和正 轴方位投影时，情况完全一致。
3 21ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径p
的形式，而ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
地图投影第三节——第六节
第四节 常用地图投影
4.1 世界地图常用投影
墨卡托投影(正轴等角圆柱投影)
航海地图 赤道附近国家地区地图
等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度 的曲线。 在地球表面上除经线和纬线以外的等角航线，都是 以极点为渐近点的螺旋曲线。
大圆航线：在地球表面上各航点间的最短连线。 即地球表面二点与球心构成的平面相交形成的大 圆圈的的一部分。
第三节 地图投影概述
3.1 地图投影概念
球面上任一点位置用地理坐标(λ,φ)表示,平 面上点的位置用直角坐标(x,y)表示,要将地 球球面上的点转移到平面上必须采用一定 数学方法来确定地理坐标与平面坐标之间 的关系
在球面和平面之间建立点与点之间函数关 系的数学方法称为地图投影
X=f1 (λ、φ) Y=f2 (λ、φ)
面积变形有正有负,为零表示投影后面积无 变形;面积变形为正表示投影后面积增加;面 积变形为负表示投影后面积缩小 3.3.5 角度变形 角度变形:投影面上任意两方向线所夹角与 球面上相应两方向线夹角之差 角度变形与变形椭圆的长短轴差值成正比, 即长短轴差值越大,角度变形越大,形状变化 越大
目视观察分析经纬网形状 1)经纬线不成直角一定不是等角投影 2)同纬度带同经差的梯形面积不同非等积投影 3)中央经线同纬差的纬线间隔不等 非等距投影 4)等角投影经纬线一定正交但经纬线正交的投 影不一定是等角投影 对经纬网进行量算(不要求)
5.2 地图投影的选择
投影性质、经纬网形状和编图要求选合适投影 主要针对中小比例尺地图(除国家基本比例尺地 形图).大比例尺地图用任何投影变形都很小 5.2.1 制图区域形状和地理位置 原则:投影无变形点或线在图中心 等变形线尽量和制图区轮廓形状一致 近圆形地区－方位投影 中纬度东西伸展如中国美国－正轴圆锥投影 赤道附近东西伸展－正轴圆柱投影 南北延伸如智利阿根廷－横轴圆柱/多圆锥投影
第三四五六章 方位圆柱圆锥+GK投影(重点)
第三章方位投影方位投影:以平面作投影面，使平面与球面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上而成。
正轴方位投影投影表象a、纬线投影后成为同心圆，b、经线投影后成为交于一点的直线束(同心圆的半径)，c、两经线间的夹角与实地经度差相等。
方位投影分类：A、透视投影：正射、外心、球面（平射）、球心（日晷）等投影（视点位置不同）B、非透视投影：等角、等面积、任意（包括等距离）投影（投影性质）按投影面与地球相对位置的不同，可分为：正轴方位投影，此时Q与P重合，又称为极方位投影；横轴方位投影，此时Q点在赤道上，又称赤道方位投影；斜轴方位投影，此时Q点位于上述两种情况以外的任何位置，又称水平方位投影。
根据投影面与地球相切或相割的关系又可分为切方位投影与割方位投影。
第四章圆柱投影圆柱投影（Cylindrical projections ）：假定以圆柱面作为投影面，把地球面上的经纬线网投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的母线把圆柱切开展成平面，就得到圆柱投影。
墨卡托投影－－正轴等角切圆柱投影∙经纬网形状：∙经纬距变化规律：纬距从赤道向两极急剧扩大。
∙特性：等角航线投影为直线∙用途：制作航海图正轴圆柱投影经纬线网特点1、经线投影为平行直线，平行线间的距离和经差成正比。
2、纬线投影成为一组与经线正交的平行直线，平行线间的距离视投影性质（等角、等积或任意）和投影条件（透视、切或割等）而异。
3、和圆柱面相切的赤道弧长或相割的两条纬线的弧长为正长无变形。
高斯－－克吕格投影（即横轴等角切椭圆柱椭圆）∙经纬网形状：中央经线，赤道为直线；其它经纬线均为曲线。
∙经纬距变化规律：中央经线上纬距相等；赤道上经距从中央经线向东西扩大。
∙变形分布规律：中央经线无长度变形，同纬线距中经愈远变形愈大，同经度距赤道愈近变形愈大。
圆柱投影投影表象在正轴圆柱投影中，纬线投影为平行直线，经线也是投影为平行直线且与纬线正交，两经线间的间隔与实地的经度差成正比。
地图投影的基本原理(1)
地图投影的实质： 建立地球面上点的坐标与地图平面上点的坐标之
间一一对应的函数关系。
地图投影基本概念
2、地图投影基本方法
1）几何透视法 将测图地区按一定比例缩小成一个地形模型，然后将其上的一些特
征点用垂直投影的方法投影到图纸上。 小区域范围可视地表为平面，采用垂直投影方式，可认为投影没有
sin( ') a b sin( ')
ab
显然当（a +a ′）= 90°时，右端取最大值，则最大方向变形：
sin( ') a b
ab
以ω表示角度最大变形： 令
2( ')
sin a b
2 ab
地图投影基本理论
五、地图投影条件
地图投影一般存在长度变形、面积变形和角度变形，一种投影可以同时 存在以上三种变形，但在某种条件下，可以使某一种变形不发生，如投影后 角度不变形，或投影后面积不变形，或使某一特定方向投影后不产生长度变 形。
E、F、G、H称为一阶基本量， 或称高斯系数。
地图投影基本理论
对角线A′C′与x轴之夹角Ψ的 表达式：
sin dy ds
cos dx
tg
dsddmαyxds dsdxysndd
y x
d dLeabharlann x D'x'
dy
C'
（x+dx,y+dy）
dx
ds'
dsm'
Ψ
B'
dsn'
A' （x,y）
O
y
地图投影基本理论
tan tan ' tan b tan (1 b) tan
方位投影
面积变形为零的投影。为满足这个条件，必须使变形椭圆的最大长度比a与最小长度比b互为倒数，即a=1/b 或b=1/a，这样才能使微分圆投影前后保持面积不变。因此，变形椭圆的长轴越长，其短轴就越小，与投影前的 圆形相比，其视觉变形就越大，即“非正形”。等积投影具有以下特点：①所有的面状要素投影前后面积保持不 变，因此可以直接在等积投影图上进行面积量算；②角度变形大，等积投影适用于对面积要求较高的自然地图和 社会经济地图，如行政区划图、土地利用类型图等。但不适用于制作航海、航空、军事等对方向精度要求较高的 地图。
用途
以平面作为投影面，使平面与地球相切(或相割)，将地球面上的经纬线投影到平面上所得到的图形。由于投 影面与地球面的关系位置不同，又分为正轴方位投影、横轴方位投影和斜轴方位投影。正轴方位投影是投影平面 与地轴垂直(即投影平面切于极点，设以φ0表示切点的纬度，φ0=90°)；横轴方位投影是投影平面与地轴平行 (投影平面与地球面相切于赤道，φ0=0°)；斜轴方位投影是投影平面与地轴斜交(投影平面与地球面相切点的纬 度，小于90°，大于0°，0°<0<90°)。正轴投影的经纬线形状比较简单，称为标准。纬线为同心圆，经线为同 心圆的半径，经线间的夹角等于相应的经度差。纬线半径ρ随纬度φ的变化而变化，即ρ是纬度的函数，一般用 ρ=f(φ)式表达。故正轴方位投影的一般公式为：ρ=f(φ)，δ=λ，δ为投影平面上经线夹角，λ为地球面上 经线间的夹角。
方位投影
分为非透视方位投影和透视方位投影
01 概念
03 地图投影
目录
02 用途 04 分类
方位投影分为非透视方位投影和透视方位投影。前者按变形性质又分为等角、等积和任意（包括等距离）投 影；后者随视点位置不同又分为正射、外心、球面和球心投影。方位投影的特点是：在投影平面上由投影中心向 各方向的方位角与实地相等。这种投影适用于区域轮廓大致为圆形的地图。
3.3常用地图投影
摩尔维特投影常用来编制世界，大洋图，由于离中央 经线经差±900的经线是一个圆，且圆面积恰好等于半 球面积，因此，该投影也用来编制东、西半球地图。
4、分瓣伪圆柱投影
——古德投（Goode
•
Projection）
1923年美国地理学家古德（J.Paul Goode）提出了一种对伪圆柱投影进行分 瓣的投影方法，即古德投影。 • 全图被分成几瓣，各瓣通过赤道连接在 一起，地图上仍无面积变形，核心区域的 长度、角度变形和相应的伪圆柱投影相比 明显减小，但投影的图形却出现了明显的 裂缝，这种尽量减少投影变形，而不惜图 面的连续性是古德投影的重要特征
17
3、伪圆柱投影
（1）桑逊投影（Sanson Projection）
•
桑逊投影是一种经线为正炫曲线的正轴等 积伪圆柱投影，又称桑逊-弗兰斯蒂德 （Sanson- Flamsteed）投影。该投影的纬线 为间隔相等的平行直线，经线为对称于中央经 线的正弦曲线（图2-27）。中央经线长度比为 1，即m0＝1，且n=1， p=1。桑逊投影为等面 积投影，赤道和中央经线是两条没有变形的线， 离开这两条线越远，长度、角度变形越大。因 此，该投影中心部分变形较小，除用于编制世 界地图外，更适合编制赤道附近南北延伸地区 的地图，如非洲、南美洲地图等。
• 彭纳投影 4、伪圆柱投影
3.3.3 中国地图常用投影
斜轴方位投影
正轴割圆锥投影
1、斜轴方位投影
（1）斜轴等积方位投影 全中国地图，亚洲地图，半球地图 （2）斜轴等角割方位投影 中国全图 （3）斜轴等距方位投影 行政区图，交通地图
2、正轴割圆锥投影
1）正轴等角割圆锥投影 全中国及各省或大区域的地势图、气象 图与气候图，专题图。 2）正轴等积割圆锥投影 行政区划图、土地利用图、土壤图。森 林分布图。 3）正轴等距割圆锥投影 交通图及要求距离不变形的图
第3章12第2节方位投影PPT课件
光源置于无穷远——正射方位投影 属于任意投影
光源置于另一极——平射方位投影 投影图上的角度可与实际球面上相应的角度相等
属于等角投影
（一）投影条件
原理：投影面与地球椭球面切于极点， 将光源置于另一极进行几何投影
条件：使投影图上的角度与实际球面 上相应的角度相等。
（一）投影条件
原理：投影面与地球椭球面切于极点， 将光源置于另一极进行几何投影
三、等积方位投影
(一) 投影条件 (二) 变形规律 (三) 用途
投影条件
原理：投影面与地 球椭球面切于极点， 数学解析法进行投 影
条件：使投影图上 的面积与实际球面 上相应的面积相等
正轴等积方位投影极坐标公式
球冠面积 PAB=2RH = 2*R*R(1-cosZ)
=4R2sin2 (Z/2)
极坐标 ρ=f(Z) δ=λ
平面直角坐标 x=ρcosδ y=ρsinδ
变形分布规律
投影中心是没有变形的点，以投影中心 向外变形逐渐增大，等变形线呈同心圆 状分布
变形分布规律
方位投影的特性：在方位投影，过投影 中心的球面上的大圆弧均投影为直线， 从中心到任何点的方位角没有变形
等变形线和方位角
第二节 方位投影
一、方位投影 二、平射方位投影(等角方位投影) 三、等积方位投影 四、等距投影
一、方位投影
构成原理 一般公式 变形分布规律 用途
构成原理
投影面为平面，投影面切或割地球表面。
正方位
φ=900
横方位 切点纬度φ φ= 00
斜方位
00<φ<900
方位投影
Байду номын сангаас轴
横轴
斜轴
一般公式
第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系
第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系§3.1 地图投影概述3.1.1 地图投影的意义与实现由椭球面投影到平面,大地经纬度B,L,与平面坐标x,y的关系因椭球面是不可展曲面,要建立一一对应的关系,必然会产生投影变形,控制投影变形有各种不同的方法,对应于不同的投影.3.1.2 地图投影变形及其表述1,投影长度比,等量纬度及其表示式长度比:投影平面上微分长度与椭球面上相应微分长度之比.投影平面上微分长度:椭球面上微分长度:3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述上式中q为等量纬度,计算公式为引入等量纬度后,使相同角度量的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同.3.1.2 地图投影变形及其表述引入等量纬度后,投影公式为:求微分,得:其中:l = L - L03.1.2 地图投影变形及其表述根据微分几何,其第一基本形式为:其中:3.1.2 地图投影变形及其表述则,长度比公式为:将代入上式,得:3.1.2 地图投影变形及其表述当A=0°或180 °,得经线方向长度比:当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比:要使长度比与方向无关,只要:F = 0, E = G,则长度比可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述长度比与1之差,称为长度变形,即:vm>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短.3.1.2 地图投影变形及其表述2,主方向和变形椭圆主方向:在椭球面上正交的两个方向投影到平面上后仍然正交,则这两个方向称为主方向.性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比.对照第一基本形式,得:且:3.1.2 地图投影变形及其表述代入长度比公式,得:若使:使长度比为极值的方向:由三角公式得:3.1.2 地图投影变形及其表述由此得,长度比极值为:将三角展开式代入得:因此,最大长度比a与最小长度比b可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述不难得出下列关系:3.1.2 地图投影变形及其表述若对应于最大和最小长度比方向在椭球面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x1和y1方向,则有:椭球面上投影面上3.1.2 地图投影变形及其表述3,方向变形与角度变形某方向(以主方向起始) 投影后为1,则有:由三角公式,得:显然,当+ 1 = 90°或270 °时,方向变形最大3.1.2 地图投影变形及其表述若与1表示最大变形方向,则最大变形量可表示为:顾及:解得最大变形方向为:3.1.2 地图投影变形及其表述两方向, 所夹角的变形称为角度变形,用表示.即:显然,当+ 1 = 90°, + 1 = 270 °或+ 1 = 270°, + 1 = 90 °时,角度变形最大,最大角度变形可表示为:3.1.2 地图投影变形及其表述4,面积比与面积变形椭球面上单位圆面积为,投影后的面积为ab,则面积变形为:3.1.3 地图投影的分类1,按投影变形的性质分类(1). 等面积投影a b = 1(2). 等角投影a = b(3). 等距离投影某一方向的长度比为1.3.1.3 地图投影的分类2,按采用的投影面和投影方式分类(1). 方位投影投影面与椭球面相切,切点为投影中心,按一定条件将椭球面上的物投影到平面上.3.1.3 地图投影的分类(2). 正轴或斜,横轴圆柱投影正轴圆柱投影:投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投影),或相割(割圆柱投影)切圆柱投影:投影圆柱面与赤道相切,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.割圆柱投影:投影圆柱面与两条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的另一组平行直线.3.1.3 地图投影的分类横轴圆柱投影:投影圆柱面与某经线相切.斜轴圆柱投影:用于小比例尺投影,将地球视为圆球,投影圆柱体斜切于圆球进行投影.(3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面.根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影.3.1.3 地图投影的分类习题1. 给出等量纬度的定义,引入等量纬度有何作用.2. 投影变形与长度无关时应满足哪些条件并给出证明.3. 变形主方向有什么性质4. 最大方向变形与最大角度变形的方向满足什么条件5. 地图投影按变形性质分哪几类按投影方式分哪几类§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影3.2.1 正形投影的概念和投影方程长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足条件E = G, F = 0,即:由第二式解得:13.2.1 正形投影的概念和投影方程代入第一式,得:考虑到导数的方向,开方根得:再代入式,得:1233.2.1 正形投影的概念和投影方程2, 式称为Kauchi-Rimann方程,满足该方程的复变函数为解析函数,可展开成幂级数,即有:3其反函数也是复变函数,可以写成:3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯-克吕格投影的条件:1. 是正形投影2. 中央子午线不变形3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质高斯投影的性质:1. 投影后角度不变2. 长度比与点位有关,与方向无关3. 离中央子午线越远变形越大为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度带或6度带分带,城市或工程控制网坐标可采用不按3度带中央子午线的任意带.3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质中央子午线在平面上的投影是x 轴,赤道的投影是y 轴,其交点是坐标原点.x 坐标是点至赤道的垂直距离;y 坐标是点至中央子午线的垂直距离,有正负.为了避免y 坐标出现负值,其名义坐标加上500 公里.为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上加带号N所以点的横坐标的名义值为y = N 1000000+500000+y§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式3.2.1 高斯投影正算公式赤道因正形投影的导数与方向无关,将投影点坐标在H点展开,得:3.3.1 高斯投影正算公式因此,高斯投影级数展开式可表示为:其各阶导数为:3.3.1 高斯投影正算公式将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下:3.3.1 高斯投影正算公式为便于编程计算,可将正算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式在中央子午线投影成的x轴上取点Xf = x,该点称为底点,用子午弧长反算公式求得底点的纬度Bf 和相应的等量纬度qf ,以底点为展开点进行级数展开,得:3.3.2 高斯投影反算公式相应的各阶导数为:3.3.2 高斯投影反算公式代入级数展开式,虚实分开得:43.3.2 高斯投影反算公式将大地纬度展开成等量纬度的级数式其中:53.3.2 高斯投影反算公式由式,得:4代入式,得:53.3.2 高斯投影反算公式将各系数代入上式,得纬度B 的反算公式:3.3.2 高斯投影反算公式为便于编程计算,可将反算公式改写成如下形式:3.3.2 高斯投影反算公式利用高斯投影的正反算公式,亦可进行不同投影带坐标的换带计算.其计算步骤如下:1. 根据高斯投影坐标x, y,反算得纬度B和经度差l;2. 由中央子午线的经度L0, 求得经度L = L0 +l;3. 根据换带后新的中央子午线经度L0' ,计算相应的经差:4. 由高斯投影正算,求得新的高斯投影坐标x',y'.习题1. 高斯投影的条件是什么2. 简述高斯投影投影正算公式的推导;3. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带和6 带带号;2). 该点的3 带高斯投影坐标并反算检核;§3.4 平面子午线收敛角和长度比3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式平行圈子午线沿平行圈纬度不变,求微分得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式对高斯投影公式求偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式由此可见, 是经差的奇函数,在x 轴为对称轴,东侧为正,西侧为负.子午线收敛角在赤道为0,在两极等于经差l,其余点上均小于经差l .3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式子午线收敛角也可以表示成高斯平面坐标的级数展开式.平行圈L =常数L+dl = 常数P点沿与y轴平行方问微分变动到P 点,子午线收敛角可表示为:沿y坐标的微分,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入子午线收敛角公式,得:由高斯投影反算公式求出偏导数,得:3.4.1 平面子午线收敛角的计算公式代入上式子午线收敛角计算公式,得:将展开成tg 的级数,得:3.4.2 长度比计算公式由高斯投影长度比的定义式,得:将前面的偏导数代入上式,得:开方后得出以大地坐标表示的长度比公式:3.4.2 长度比计算公式为给出由高斯投影坐标表示的长度比公式,反解高斯投影的y 坐标正算公式,得:对上式求平方和四次方,得:3.4.2 长度比计算公式代入用大地坐标表示的长度比公式,得:顾及:代入上式,得:可见,长度比是y坐标的偶函数,且只与y坐标有关.§3.5 高斯投影距离与方向改化以及坐标方位角3.5.1 高斯投影的距离改化椭球面上的大地线投影到高斯平面上为曲线,与平面上两点相连的直线相比, 其微分线段间的差异极小,可表示为:其中:3.5.1 高斯投影的距离改化此弧线与直线间的最大偏角即为方向投影改化,本为二次小项,故此相对长度差异仅为4次项,相对于距离测量的最高精度亦可忽略,因此可认为:用辛卜生公式数值积分得:3.5.1 高斯投影的距离改化将长度比公式代入上式,得:3.5.1 高斯投影的距离改化距离改化S可表示为:其中:在城市及工程应用中测边离中央子午线不会超过45公里,则距离改化公式可进一步简化为:3.5.2 高斯投影方向改化1,高斯投影曲线的形状高斯投影曲线的形状向x 轴弯曲,并向两极收敛.3.5.2 高斯投影方向改化2,高斯投影方向改化保角投影前后角度相同,即:3.5.2 高斯投影方向改化将球面角超计算公式代入上式,得:因方向值顺时针方向增加,考虑其正负号后,方向改化公式可表示如下: 上式具有0.1 的计算精度,适用于三,四等控制网的方向改化计算.改化公式中的曲率半径可足够近似地取6370km3.5.3 坐标方位角和大地方位角的关系式A12T12习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带高斯投影后的中央子午线收敛角;2). 该点的3 带高斯投影的长度比.2. 已知起始点坐标:x3 = 3239387.624 my3 = 40446822.368m起始平面方位角T31=192 37 08.51 ,距离S31=7619.245m,各方向观测值如下:1~3:0 00 00.00 2~3:0 00 00.00 3~1: 0 00 00.001~2:257 17 47.71 2~1:39 51 12.50 3~2:37 26 36.65将上述边长和方向归算到高斯平面上.312§3.6 通用横轴墨卡托投影3.6.1 墨卡托投影墨卡托投影为等角割圆柱投影,圆柱与椭球面相割于B0的两条纬线,投影后不变形.特性:等角航线在投影平面上为直线.因此,该投影便于在航海中应用.3.6.2 通用横轴墨卡托投影简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子午线的尺度比为0.9996,其投影公式如下:3.6.2 通用横轴墨卡托投影长度比和子午线收敛角计算公式.3.6.2 通用横轴墨卡托投影通用横轴墨卡托投影的反算步骤:1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标;2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度.3.6.2 通用横轴墨卡托投影与高斯投影的比较§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球局部区域中常采用地方独立坐标系,其高斯坐标以往并非由经纬度求得,而是直接将边长投影到边长归算的高程基准面(投影面), 再选定过测区中心附近的坐标纵轴,计算高斯投影边长和方向改正,在平面上由起始点坐标,起始方位角来平差计算各控制点坐标.§3.7 局部区域中的高斯投影及其相应的区域性椭球地方独立坐标系的参数:1. 投影面:一般采用区域的平均高程面;2. 中央子午线的经度或位置:一般取用过区域中心附近一控制点的经度,或采用整分或整度的经度.3. 起始坐标,起始方位角,起始边长.§3.7 局部区域中的高斯投影及相应的区域性椭球城市及工程控制网采用地方独立坐标系,边长的投影面是区域的边长归算的高程基准面而并不是国家参考椭球面.其高斯坐标所对应的椭球面应是与投影面相接近的区域性椭球面,而不是国家参考椭球面.习题1. 已知某点的坐标:B = 29 04 05.3373L = 121 10 33.2012计算:1). 该点的3 带UTM投影坐标;2). 该点UTM投影的长度变形.。
地图学投影
18
我国的大地原点
建国初期，我国使用的大地测量坐标系统是从前苏联测过来 的，其坐标原点是前苏联玻尔可夫天文台 。５４北京坐标系。
上个世纪70年代，中国决定建立自己独立的大地坐标系统。 通过实地考察、综合分析，最后将我国的大地原点，确定在 咸阳市泾阳县永乐镇北洪流村境内，具体坐标在：34°32′27. 00″N，108°55′25.00″E。 《中华人民共和国大地原点选点报告》：“为了使大地测量 成果数据向各方面均匀推算，原点最好在我国大陆的中部。” 而陕西泾阳县永乐镇石际寺村的确处在祖国大陆的中部。这里 距我国边界正北为880公里，距东北2500公里，距正东1000公 里，距正南1750公里，距西南2250公里，距正西2930公里，距 西北2500公里。同时，这里的地质条件比较理想。
5
6
全国水准网
7
地图投影中的地球体
大地水准面
静止海平面 地球数学表面
1．地球自然表面：地球是一个近似球体，其自然表面是一个极其复杂而 又不规则的曲面。
2. 地球物理表面：是假定海水处于 “完全” 静止状态，把海水面延伸到 （大地水准面）大陆之下形成包围整个地球的连续表面。
• 地球数学表面：假想以一个大小和形状与地球极为接近的旋转椭球面
64
65
2) 条件投影（非几何投影或解析投影）
不是借助于几何承影面，而是根据制图的 具体要求，有条件地应用数学解析的方法确定 球面与平面之间对应点的函数关系，把球面转 换为平面的投影。
66
2) 条件投影（非几何投影或解析投影） (1) 多圆锥投影
设想有更多的圆锥面与球面相切，投影后沿一 母线剪开展平。纬线投影为同轴圆弧，其圆心都在 中央经线的延长线上。中央经线为直线，其余经线 投影为对称于中央经线的曲线。
常用地图投影及其应用
2.2 常用地图投影及其应用
主要特点：
● 没有角度变形，图上方位与实地保持一致； ● 标准纬线上没有变形； ● 标准纬线之间长度缩小，标准纬线之外长度放大； ● 随着纬度增高变形迅速增大； ● 面积变形是长度变形的平方倍； ● 两极变形趋向无穷大。
2.2 常用地图投影及其应用
等角航线：是指地球面上一条与所有经线相交成等 方位角的曲线；等角航线在航海中是决定航向的重 要依据之一。
2.2 常用地图投影及其应用
横方位投影
2.2 常用地图投影及其应用
在斜方位投影中，等高圈投 影为同心圆，垂直圈投影为 同心圆的半径，两条垂直圈 的夹角与实地相等。
斜方位投影
2.2 常用地图投影及其应用
方位投影的等变形线形状为圆形，适合 制作形状为圆形区域地图。
2.2 常用地图投影及其应用
正轴方位投影适合作两极地区地图
2.2 常用地图投影及其应用
几何上称等角横割椭圆柱投影，习惯又称通 用横墨卡托投影，Universal Transverse Mercator Projection，简称UTM投影。
2.2 常用地图投影及其应用
● 与高斯-克吕格投影相比，UTM投影的中央经线长 度比缩短为0.9996，其它条件都一样，两者具有相 似关系。
2.2 常用地图投影及其应用
3. 等面积方位投影
按数学方法探求，满足等面积投影条件
T
Q ρ A•′
•A(Z,a)
R
•
2.2 常用地图投影及其应用
等面积方位投影适合制作要求保持面积正确 的近似圆形地区的区域地图，如普通地图、行政 区划图、政治形势图等。
2.2 常用地图投影及其应用
4. 等距离方位投影
0°— 60° 60°— 68° 68°— 76° 76°— 88°
方位投影及其应用
3.3 透视方位投影
3.4 等角、等积、等距方位投影
3
3.1 球面坐标系
Q：极点 P
新轴：过Q的直径QQ1
垂直圈：过QQ1的平面与地球 所截大圆（QPQ1） 等高圈：垂直于QQ1的平面与 地球相交所截的圆 球面坐标系： Q为极点，垂直 圈与等高圈两组正交曲线构成。
Q
Q1 P1
4
（ 0） 2
11
方位投影一般公式：
δ
X
ρ
Y
A点地理坐标： （ , ）
Q´ A´ Q
A平面极坐标 : ( , )
A点球面坐标：
z aA
P
Z ,
f (Z ) a
12
O
Q'
一般公式：
：等高圈投影半径
：两垂直圈的夹角
Z : 极距
：方位角 1 , 2 ：沿垂直圈、等高圈
20
(2)
球面透视方位投影
Q
•
视点位于地球面上
R
R
Z 2 R tan 2
•
Z
Z
S2
21
Z x cos 2 R tan cos a 2 Z y sin 2 R tan sin a 2 2 Z 1 sec 2 2 Z 2 sec 2 4 Z p sec 2 0 Z 2 R tan 2 a
p cos Z Z sin tg 2 2
2等角、等积、等距方位投影
根据不同要求按数学方法探求
方位投影。
27
(1)等角方位投影
按等角投影条件（投影后角度不变形）确定
函数 f ( Z ) 形式。
《地图投影》课件
随着实时数据处理技术的发展，动态地图投影将 成为未来的重要趋势，能够实时反映地理信息的 动态变化。
跨学科融合
地图投影将与计算机科学、物理学、数学等学科 进一步融合，推动地图投影技术的创新发展。
地图投影的挑战与机遇
数据处理和计算能力
01
随着地图投影的数据量不断增加，对数据处理和计算能力提出
02
地图投影在导航系统中的应用需 要考虑到地球的椭球形状和地球 的自转效应，以保证导航的准确 性和可靠性。
地图投影在城市规划中的应用
城市规划中需要使用地图投影来将地理坐标转换为城市平面坐标，以便进行城市 布局和规划设计。
城市规划中使用的地图投影需要考虑到城市规模、地形地貌和规划要求等因素， 以确保城市规划的科学性和合理性。
亚尔勃斯投影
总结词
等面积正圆锥投影
详细描述
亚尔勃斯投影是一种等面积正圆锥投影，它将地球视为一个正圆锥体，并沿经线 方向展开，保持面积不变。这种投影在制作世界地图时特别有用，因为它可以较 好地表现各大陆的面积比例。
兰勃特等面积投影
总结词
等面积方位投影
详细描述
兰勃特等面积投影是一种等面积方位投影，它将地球投影到一个椭球体上，并保持各方向上的面积相 等。这种投影在制作各种比例尺地图时非常有用，因为它可以较好地表现各区域的面积比例和相对位 置。
01
坐标系
介绍地理坐标系、投影坐标系等 概念，以及它们在地图投影中的 作用。
几何基础
02
03
坐标变换
阐述投影几何的基本原理，如平 行线、相似形等，以及它们在地 图投影中的应用。
介绍如何将地理坐标转换为投影 坐标，以及投影坐标与平面直角 坐标之间的关系。
地图投影类型课件
三类主要的地图投影—圆柱投影
-176 -160 -144 -128 -112 - 96 - 80 - 64 - 48 - 32 - 16
++6840 +48 +32
+16 0 + 16 + 32 + 48 + 64 + 80 + 96 +112 +128 +144 +160 +176
0
-16
-32 -48 --8604
三类主要的地图投影—圆锥投影
三类主要的地图投影—圆锥投影
• 进一步的发展是多圆锥投影，采用一系列 切圆锥、割圆锥对应接连一起纬圈系列， 从而产生变形更小的投影。上图显示一个 圆锥投影，是亚尔勃斯等积投影，极向 （Albers equal-area projection,polar aspect）
三类主要的地图投影—圆柱投影
一些常见的圆柱投影： • 等积圆柱投影 Equal-area cylindrical projection • 等距圆柱投影 Equidistant cylindrical projection • 墨卡托投影 Mercator projection • 横轴墨卡托投影（高斯-克吕格投影）Transverse
0
-16
-32
-48
-64
-80
三类主要的地图投影—圆柱投影
• 墨卡托投影 Mercator projection
+80
+64 +48 +32 -17-616-014-412-8112- 96-80-64-48-32-16 0+ 1+63+24+86+4+8+10069+611+212+814+416+0176 -16 -32 -48 -64
方位投影的概念
方位投影的概念方位投影，这听起来是不是有点像一种神秘的魔法呢？其实啊，它就是地图投影的一种类型。
咱就把地球想象成一个大皮球，这皮球上有各种各样的图案和标记，就像地球表面有山川河流、城市乡村一样。
现在呢，我们想要把这个皮球上的图案平平整整地画在一张纸上，这可不容易啊，就好像要把一个鼓鼓囊囊的大包裹里的东西，一点不皱巴地铺在一个小盒子里一样难。
方位投影做的就是这个事儿，它是想办法把地球这个球面上的东西，投影到一个平面上。
方位投影有好多有趣的特点呢。
它有点像那种从一个固定的点去看整个地球的感觉。
比如说，你站在一个高塔上，然后向四周看，你看到的东西在你的视野里的样子，就有点像方位投影在平面上展现地球的样子。
这个固定的点就像是投影的中心，从这个中心往外，把地球表面的东西映射到平面上。
那它具体是怎么做到的呢？这就像是把地球表面的每一个小部分，都像是捏橡皮泥一样，按照一定的规则，把它们拉到平面上。
不过这个规则可不像我们捏橡皮泥那么随意。
有些方位投影会让靠近中心的地方变形比较小，越往边缘呢，变形就越大。
这就好比你在一个池塘里扔了一颗石子，涟漪从中心往外扩散，中心的水波很整齐，可是到了边缘就变得比较乱了。
再比如说，有一种方位投影就像是聚光灯打在地球上的某个点上，以这个点为中心进行投影。
在这种投影下，如果这个点是北极点，那北极附近的地区就会在平面上看起来比较准确，形状和实际的比例比较接近。
可是离北极越远的地方，就像那些靠近赤道的地方，就会被拉得变形比较厉害。
这就像你在拍照的时候，你把焦点对在一个近处的花朵上，那花朵很清晰，背后的风景就变得模糊而且变形了。
方位投影在很多地方都有用呢。
航海的时候就经常会用到。
你想啊，船员们在茫茫大海上，他们需要知道自己的位置，还需要知道周围的岛屿、大陆在哪里。
方位投影的地图就像是他们的指南针一样。
虽然它可能有些变形，但是只要船员们知道这个投影的规则，他们就能根据地图找到自己要去的地方。
第3章地图投影的基本原理
α ds
m
ds
dsn
利用上式可以获得平面上经 纬线微分线段的表达式：
Ed dλ=0时， AD dsm
Gd dΦ=0时， AB dsn
q dsn'
B'
y
地图投影基本理论
将投影的一般表达式取x、y对Φ、λ的全微分：
x x d d y y dy= d d dx=
2 2 3 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
子午圈截面：包含子午圈的截面。 子午圈曲率半径通常用字母M表示，它是A点上所有法截 弧的曲率半径中的最小值
为纬度
地图投影基本理论
N
2
a (1 e sin B)
2 1 2
式中： a 椭球的长半径
e 第一偏心率
B
卯酉圈截面：垂直于子午圈的截面。 卯酉圈曲率半径是所有法截弧的曲率半径中的最大值， 以字母N表示：
地图投影基本理论
沿经线微分线段
x
x'
dy dx
AD Md
C'
D'
沿纬线微分线段
AB ds' rd
α ds
m
ds
dsn
对角线
dsm'
ds AC M 2 d 2 r 2 d 2
Ψ
A' C点对A点方位角α为：
rd sin O ds
q dsn'
B'
Md cos ds
P=1
由面积变形公式得： H=M*r 或 ab=1
地图投影基本理论
（三）等距离投影条件 使某一组特定方向投影后不产生长度变形，这种 投影叫做等距离投影。在经纬线正交的投影中，等距
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变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长 度变形增大，面积变形、角度变形都不大 。
四. 透视方位投影
?透视方位投影可以分为 ?(1)正射投影 ?(2)外心投影 ?(3)球面投影 ?(4)球心投影
4
3 21
?并根据投影面与地球面的不同关系可以分成 : ?正轴、斜轴和横轴投影 。
? ? LR sin Z D ? R cos Z
1. 方位投影分类
? 根据投影面和地球球体相切位置不同 ? 当投影面切于地球极点时，为 正轴投影 。 ? 当投影面切于赤道时，为 横轴方位投影 。 ? 当投影面切于既不在极点也不在赤道时， 斜轴方位投影 。
2、正轴方位投影
? 投影中心为极点，纬线为同心 圆，经线为同心圆的半径，两 条经线间的夹角与实地相等。
3 21
七. 球心投影（日晷投影）
对于等角方位投影而言,D=0,L=R, 因此有:
投影变形公式为:
4
3 21
七. 球心投影（日晷投影）
4 3
21
八. 方位投影的分析和应用
方位投影的差别是取决于纬圈或等高圈投影半径 p
的形式，而 ρ的具体形式是取决于变形性质或透
视条件。
4
根据方位头因的长度比、面积比和角度最大变形的
? 角度、面积等变形线为以投影中心为圆线的同心圆。 ? 球面上的微圆投影为椭圆，且误差椭圆的
长半径和纬线方向一致，短半径与经线方 向一致，且等于微圆半径 r，又因自投影中 心，纬线扩大程度越来越大，所以变形 椭圆的长半径也越来越长，椭圆越来越扁。 ? 常用来做两极的投影。
横轴方位投影 ——等距
经纬线形状
中央经线为直线，其它经线是对 称于中央经线的曲线。中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央 纬线的曲线。在中央经线上纬线 间隔相等。在中央纬线上经线间 隔相等。
变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变形增 大 ，面积变形、角度变形都不大。
斜轴方位投影 ——等距
经纬线形式
中央经线为直线，其它 经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔相等 。
? 概念：方位投影是以平面作为投影面，使平面与地球 表面相切或相割，将球面上的经纬线投影到平面上所 得到的图形。
? 投影平面上，由投影中心（平面与球面相切的点，或 平面与球面相割的割线圆心点）向各个方向的方位角 与实地相等，等变形线是以投影中心为圆心的同心圆， 切点或相割的割线无变形。适合制作形状大致为圆形 区域的地图。
公式来看，在正轴投影中，它们是纬度3 φ的函数， 在斜轴和横轴投影中，它们是天顶距 Z的函数1
方位投影变形性质的图形判别
? 方位投影经纬线形式具有共同的特征，判别时 先看构成形 式（经纬线网），判别是正轴、横轴、斜轴方位投影。
? 正轴投影，纬线为以投影中心为圆心的同心圆，经线为放 射状直线，夹角相等。横轴投影，赤道与中央经线为垂直 的直线，其他经纬线为曲线。斜轴投影，除中央经线为直 线外，其余的经纬线均为曲线。
? 根据中央经线上经纬线图的间隔变化，判别变形性质 。等 角投影，中央经线上，纬线间隔从投影中心向外逐渐增大； 等积投影，逐渐缩小；等距投影，间隔相等。
方位投影总结
? 特点：投影平面上，由投影中心（平面与球面的切点）向 各方向的方位角与实地相等，其等变形线是以投影中心为 圆心的同心圆。
? 绘制地图时，总是希望地图上的变形尽可能小，且分布较 均匀。一般要求等变形线最好与制图区域轮廓一致。因此， 方位投影适合绘制区域轮廓大致为圆形的地图。
?因为Z=0时ρ=0,
?最大角度变形值为:
三. 等距方位投影
?此投影为波斯托于 1581年所创.又称波斯托投影。
三. 等距方位投影
? 等距方位投影属于任意投影，它既不等积也不等角。投影后经 线保持正长，经线上纬距保持相等。
? 纬线投影后为同心圆，经线投影为交于纬线圆心的直线束， 经 线投影后保持正长，所以投影后的纬线间距相等。经纬线投影 后正交，经纬线方向为主方向。
变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远 角度、长度变形增大 。
斜轴方位投影——等积
经纬线形式
中央经线为直线，其它 经纬线均是曲线。在中 央经线上纬线间隔自投 影中心向外逐渐减小 。 变形分布规律 投影中心无变形，离开投影中心愈远角度、长度变 形增大 。
三. 等距方位投影
?等距离条件为: ?因此有:
第三章 方位投影
? 3.1 方位投影的种类和基本原理 ? 3.2 等面积方位投影 ? 3.3 等距离方位投影 ? 3.4 透视方位投影的种类和一般公式 ? 3.5 正射投影 ? 3.6 球面投影（等角方位投影） ? 3.7 球心投影（日晷投影） ? 3.8 方位投影的分析和应用
第三章 方位投影
? 一、方位投影的种类和基本原理
带入上式:
四. 透视方位投影
A′ 4
P
Z
3 21
四. 透视方位投影
由此得到直角坐标公式为: 变形公式为:
4
3 21
最大角度变形公式为:
五. 正射投影
对于正射投影而言,D=∞，因此
直角坐标公式为 投影变形公式为:
4
3 21
六. 球面投影（等角方位投影）
对于等角方位投影而言,D=R,L=2R, 因此有:
?因为当Z=0时 ?因此有: ?开方得:
二. 等面积方位投影
?因此长度比公式为:
??? 面0 积比为:P=1
? ?0
?由于secZ＞cosZ,因此
?最大角度变形值为:
二. 等面积方位投影
?等面积方位投影为兰勃特于1772年所创, 故又称为兰勃特等面积方位投影.
横轴方位投影 ——等积
经纬线形式
中央经线为直线，其它经线是对称 于中央经线的凹向曲线；中央纬线 为直线，其它纬线是对称于中央纬 线的凸向曲线。在中央经线上纬线 间隔自投影中心向外逐渐减小。在 中央纬线上经线间隔自投影中心向 东、向西方向逐渐减小。
? 等变形线都是以投影中心为圆 心的同心圆。 包括等角、等积、 等距三种变形性质，主要用于 制作两极地区图。
?1 ?
A' D ' AD
?
d? RdZ
?面积变形为 ?最大角度变形为:
?m和n分别是经纬线长度比
二. 等面积方位投影
?等面积投影的条件为: ?因此有:
??? 对0 上式积分得:
? ?0