2020-2021北京市初三数学上期末试题含答案

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北京市昌平区2020-2021学年度初三数学第一学期期末检测试卷答案

昌平区2020-2021学年第一学期初三年级期末水平测试数学参考答案及评分标准 2021. 1一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）17245°-sin 30°．21()22⨯+-……………………………………………………………………… 3分 =3 …………………………………………………………………………… 5分 18．(1)解：∵AC 分∠BAD ，∵∠BAC =∠CAD ………………………………………………………………………… 1分 ∵∠B =∠ACD ，∵ △ABC ∽△ACD ……………………………………………………………………… 2分(2) ∵△ABC ∽△ACD ∵ACADAB AC =……………………………………………………………… 3分 ∵AB=2 AC=3 ∵AD=29……………………………… 5分19．解：（1）∵y =x 2−2x −3=(x −1)2−4∵顶点为（1，-4） ……………………………………………………………… 1分对称轴为 x =1…………………………………………………………… 2分…………………… 4分（2） -1＜x ＜3………………………………………………………………………… 5分20．（1）补全图形如图…………………………… 3分证明：连接PE 和PF ,∵OE=MN ，OA=OM=12MN. ∴点A 是OE 的中点. ∵PO=PE.∴P A ⊥OA 于点A （三线合一）（填推理的依据）．…… 4分同理PB ⊥OB 于点B. ∵OA ，OB 为⊙O 的半径，∴P A ，PB 是⊙O 的切线．（经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切B AFE N MP线）（填推理的依据）．…… 5分四、解答题（共2道小题，21题5分，22题6分，共11分）21．解：由题可知：GB=DF=CE=1.5，∠AEG =30°,FE=18m，∠AFG=50°. ∴∵GAE＝60° ∠GAF=40°∵在Rt∵AGE中，∵GAE＝60°∴tan∠GAE=GEAGGE=tan60°AG…………………2分∵在Rt∵AFG中，∵GAF＝40°∵tan∠GAF=GFAGGF=tan40°AG………………4分∵EF=EG-GF EF=18m∴tan60°AG-tan40°AG=18m∴AG≈20.2m.∵AB=AG+GB≈21.7m………… 5分答：“弘文阁”AB高约21.7m.22．（1）证明：连接OD.∵AD平分∵BAC∴∠1=∠2…∵OA=OD∴∠1=∠3∵∠1=∠2……∴OD∵AE.. …… 1分∵AC⊥DE∴OD⊥DE …… 2分∵OD是∵O半径∴OD是∵O的切线. …… 3分（2）连接BC，交OD于点M.∵AB是∵O的直径∴∠ACB=90° …… 4分∵∠E=∠ODE=90°∴∠ACB=∠E=∠ODE= 90°∴四边形CEDM是矩形231BACOM132OCABB∴CE=MD ∠F=∠ABC在Rt△OBM中，OB=3 tan∠ABC=34∴OM=95…… 5分∴CE=MD=3 -95= 65…… 6分五、解答题（共3道小题，每小题7分，共21分）23. （1）∵对称轴是：x＝1．…………………………………………………………………… 1分∵b＝－2a．…………………………………………………………………… 3分（2）由题可知：A（0，3）B（2，3）∵若a＞0时∵-8≤-a+3＜-7∴10＜a≤11 ………………………………… 5分∵若a＜0时……当x=-1时，y=3a+3∵恰有7个整数点∴{3a+3≤1−a+3≤4∴-1≤a≤−23………………………………… 7分24.（1）补图如图；…… 2分∠AFE=45°……………… 3分（3）CF+BF=√2AF延长FB至点M使MB=CF①由对称可知：∠ABF=∠AEF，AB=AE∵AB=AC∴AC=AE∴∠ACE=∠AEF；∴∠ACE=∠ABF∴∠ABM=∠ACF②……… 4分∵AB=AC③由①②③可知∵AMB∵∵AFC(SAS) ……… 5分∴∠MAB=∠F AC AM=AF∴∠MAB+∠BAF=∠BAF+∠F AC即∠MAF=∠BAC=90°…… 6分∴MF=√2AF即MB+BF=√2AF∴CF+BF=√2AF …7分25. （1）d（点A，点C）=8…… 1分d（点A，线段BD）=4；… 2分（2）①2√2-1 … 3分②2√2-1 ，5 …… 5分（3）-6＜m ＜2√2-4或4-2√2＜m ＜6 …… 7分。

2020~2021北京市昌平区九年级初三上学期期末数学试卷及答案

北京市昌平区2020-2021学年第一学期初三年级期末水平测试数学试卷2021．1本试卷共5页，共100分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如图，以点P 为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l 相切的是（A ）P A （B ）PB （C ）PC （D ）PD2. 已知3x =4y （y ≠0），那么下列比例式中成立的是（A ）34=x y （B ）43=x y （C ）34=x y （D ） 43=x y3.抛物线2(3)+1=-y x 的顶点坐标是（A ）（3,1）（B ）(3,1)- （C ）(3,1)- （D ）(3,1)-- 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =36°，那么∠BAD 等于（A ） 36° （B ） 44° （C ） 54° （D ） 56°5．已知二次函数221（）=-+y x ，若点A 1(0)y ，和B 2(3)，y 在此函数图象上，则1y 与2y 的大小关系是（A ）12y y > （B ）12y y < （C ）12y y ＝（D ）无法确定 6.小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是（A ）南偏东40度（B ）南偏西40度（C ）北偏东50度（D ）北偏西50度7.如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠ACB 的值为（A ）13（B ） 35 （C ）23 （D ）12B C DP lABACBA8.如图，点M 坐标为（0,2），点A 坐标为（2,0），以点M 为圆心，MA 为半径作⊙M ，与x 轴的另一个交点为B ，点C 是⊙M 上的一个动点，连接BC ，AC ，点D 是 AC 的中点，连接OD ，当线段OD 取得最大值时，点D 的坐标为（A ）（0，1+2）（B ）（1，1+2）（C ）（2，2）（D ）（2，4）二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）9.请写出一个开口向上且过点(0,2)-的抛物线表达式为______________________． 10.点1(2,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6=-y x图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“＞”，“＜”或“=”）11.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则AB 的长为__________． 12.如图，ABCD 中，延长AD 至点E ，使DE =12AD ，连接BE ，交CD 于点F ，若⊙DEF 的面积为2，则⊙CBF 的面积为__________．13. 如图，AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD =16，BE =4，则CE =____，⊙O 的半径为_____. 14．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A =40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则 ∠BOC =__________°，∠DEF =__________°.15. 二次函数y =ax ²+bx +c 图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y…0 4664…﹣6…则这个二次函数的对称轴为直线x =________，m =________（m ＞0）.16.抛物线22y x x m =-++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①抛物线过点（2，m ）； ②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形；③a +b ＝4； ④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ．OABCDEFA BOD EC AB C D EFO 第11题第12题第13题第14题 xyCBAODM其中结论正确的序号是______________________．三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）17. 计算：3tan 60°+cos 245°-sin 30°．18．如图，AC 平分⊙BAD ，⊙B =∠ACD . （1）求证：△ABC ∽△ACD ；（2）若AB =2，AC =3，求AD 的长.19．已知二次函数223=--y x x ．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）结合函数图象，直接写出0<y 时x 的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线P A 和直线PB ，使P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①作射线PO ，与⊙O 交于点M 和点N ； ②以点P 为圆心，以PO 为半径作⊙P ;③以点O 为圆心,以⊙O 的直径MN 为半径作圆，与⊙P 交于点E 和点F ，连接OE 和OF ，分别与 ⊙O 交于点A 和点B ； ④作直线P A 和直线PB .所以直线P A 和PB 就是所求作的直线.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）O-4-3-2-1-1-2-3-4xy 12344321DABC（2）完成下面的证明。

2020-2021学年北京市东城区九年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市东城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（）A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣34．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）A．B．C．D．6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．17．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（）A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r二、填空题（共8小题）.9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是．10．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为（不增加其它未知数）．13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为．14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝﹣1，则点B的横坐标x B的值为．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为．三、解答题（共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）17．已知：如图，线段AB．求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC．△ABC就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝°（）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝°．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C 两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．24．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是，∠BCE与∠A的数量关系是；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M 落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．直角三角形B．圆C．等边三角形D．四边形解：A、直角三角形不一定是轴对称图形，一定不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、四边形不一定是轴对称图形，也不一定是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．2．在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象上存在点P（m，n）（m＞0，n＞0）的是（）A．y＝B．y＝﹣x﹣1C．y＝﹣x2﹣1D．y＝﹣3x解：由题意，图象经过第一、三象限的函数是满足条件的，A、函数y＝的图象在一、三象限，满足条件；B、函数y＝﹣x﹣1的图象经过二、三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；C、函数y＝﹣x2﹣1的图象经过三、四象限，不经过第一象限，不满足条件；D、函数y＝﹣3x的图象经过二、四象限，不经过第一象限，不满足条件；故选：A．3．若关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．1B．﹣1C．﹣D．﹣3解：∵关于x的方程ax2﹣2ax+1＝0的一个根是﹣1，∴a+2a+1＝0，∴3a+1＝0，解得a＝﹣，故选：C．4．若菱形的面积为定值，则它的一条对角线的长与另一条对角线的长满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．反比例函数关系C．一次函数关系D．二次函数关系解：设菱形的面积为S，两条对角线的长分别为x、y，则有，xy＝S，∴y＝，而菱形的面积为定值，即2S为定值，是常数不变，所以y是x的反比例函数，故选：B．5．在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A'B'C'关于原点O成中心对称的是（）A．B．C．D．解：A、△ABC与△A'B'C'关于y轴对称，所以A选项不符合题意；B、△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，所以B选项不符合题意；C、△ABC与△A'B'C'关于（﹣，0）对称，所以C选项不符合题意；D、△ABC与△A'B'C'关于原点对称，所以D选项符合题意；故选：D．6．不透明的袋子里有50张2022年北京冬奥会宣传卡片，卡片上印有会徽、吉祥物冰墩墩、吉祥物雪容融图案，每张卡片只有一种图案，除图案不同外其余均相同，其中印有冰墩墩的卡片共有n张．从中随机摸出1张卡片，若印有冰墩墩图案的概率是，则n的值是（）A．250B．10C．5D．1解：由题意得，＝，解得n＝10，故选：B．7．如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC，BD，设交点为P，点C，D之间有一座假山，为了测量C，D之间的距离，小明已经测量了线段AP和PD的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．小明应该测量的是（）A．线段BP B．线段CP C．线段AB D．线段AD解：如图，连接AB．∵∠DBP＝∠ABP，∠DPC＝∠APB，∴△APB∽△DPC，∴AP：DP＝AB：DC．∴只需再测量AB线段的长度，就可以计算C，D之间的距离．故选：C．8．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是（）A．R＝r B．R＝2r C．R＝3r D．R＝4r解：扇形的弧长是：＝，圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到：＝2πr，即：R＝4r，R与r之间的关系是R＝4r．故选：D．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．写出一个二次函数，使其满足：①图象开口向下；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，这个二次函数的解析式可以是y＝﹣x2﹣2x﹣1．解：二次函数y＝ax2+bx+c，①开口向下，∴a＜0；②当x＞0时，y随着x的增大而减小，﹣≤0，即b＜0；∴只要满足以上两个条件就行，如a＝﹣1，b＝﹣2，c＝﹣1时，二次函数的解析式是y＝﹣x2﹣2x﹣1．故答案为：y＝﹣x2﹣2x﹣1．10．如图，点A在⊙O上，弦BC垂直平分OA，垂足为D．若OA＝4，则BC的长为4．解：连接OC，∵BC⊥OA，∴∠ODC＝90°，BD＝CD，∵OD＝AD，∴OD＝OA＝＝2，∴CD＝＝＝2，∴BC＝2CD＝4，故答案为4．11．A盒中有2个黄球、1个白球，B盒中有1个黄球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别，分别从每个盒中随机取出1个球，取出的2个球都是白球的概率是．解：根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中取出的2个球都是白球的有1种，则取出的2个球都是白球的概率是．故答案为：．12．2017年生产1吨某种商品的成本是3000元，由于原料价格上涨，两年后，2019年生产1吨该商品的成本是5000元，求该种商品成本的年平均增长率．设年平均增长率为x，则所列的方程应为3000（1+x）2＝5000（不增加其它未知数）．解：设这种商品的年平均增长率为x，3000（1+x）2＝5000．故答案为：3000（1+x）2＝5000．13．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y＝x2沿着y轴平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2或y＝x2﹣2．解：将抛物线y＝x2沿着y轴正方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2+2；将抛物线y＝x2沿着y轴负方向平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝x2﹣2；故答案是：y＝x2+2或y＝x2﹣2．14．如图，△ABC是等边三角形，若将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，连接BC'和CC'，则∠BC'C的度数为30°．解：∵将AC绕点A逆时针旋转角α后得到AC'，∴AC＝AC'，∠CAC'＝α，∴∠ACC'＝∠AC'C＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∴AB＝AC'，∴∠AC'B＝＝60°﹣，∴∠BC'C＝∠AC'C﹣∠AC'B＝＝30°．故答案为：30°．15．已知抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，若点A的横坐标x A＝﹣1，则点B的横坐标x B的值为3．解：把x A＝﹣1代入y＝x2﹣2x+c得，y＝1+2+c＝3+c，∴A（﹣1，3+c），∵抛物线y＝x2﹣2x+c与直线y＝m相交于A，B两点，∴B的纵坐标为3+c，把y＝3+c代入y＝x2﹣2x+c得，3+c＝x2﹣2x+c，解得x＝﹣1或x＝3，∴点B的横坐标x B的值为3，故答案为3．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为2．解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，故答案为：，2．三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程17．已知：如图，线段AB．求作：以AB为斜边的直角△ABC，使得一个内角等于30°．作法：①作线段AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OA长为半径画圆；③以点B为圆心，OB长为半径画弧，与⊙O相交，记其中一个交点为C；④分别连接AC，BC．△ABC就是所求作的直角三角形．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝30°．解：（1）如图，△ABC即为所求作．（2）连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°（直径所对的圆周角是直角）（填推理的依据）．∴△ABC是以AB为斜边的直角三角形．∵OC＝OB＝BC，∴△OBC是等边三角形．∴∠COB＝60°．∴∠A＝30°．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角，30．18．在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与y轴交于点A（0，﹣1），且过点B（1，4），C（﹣2，1）．（1）求二次函数的解析式；（2）当﹣1≤x≤0时，求y的取值范围．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A（0，﹣1），B（1，4），C（﹣2，1）代入得，解得，∴二次函数解析式为y＝2x2+3x﹣1；（2）∵y＝2x2+3x﹣1＝2（x+）2﹣，∴当x＝﹣时，y有最小值为﹣，∵x＝﹣1时，y＝2x2+3x﹣1＝﹣2；x＝0时，y＝﹣1，∴当﹣1≤x≤0时，y的取值范围为﹣≤y≤﹣1．19．如图，AM平分∠BAD，作BF∥AD交AM于点F，点C在BF的延长线上，CF＝BF，DC的延长线交AM于点E．（1）求证：AB＝BF；（2）若AB＝1，AD＝4，求S△EFC：S△EAD的值．【解答】证明：（1）∵AM平分∠BAD，∴∠BAM＝∠DAM，∵BF∥AD，∴∠BFA＝∠DAM，∴∠BAM＝∠BFA，∴AB＝BF；（2）∵AB＝1，∴AB＝BF＝CF＝1，∵BF∥AD，∴△CEF∽△DEA，∴＝（）2＝．20．关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0．（1）若方程有两个相等的实数根，用含m的代数式表示n；（2）若方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．①求n的取值范围；②写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，∴△＝m2﹣4n＝0，∴n＝m2；（2）①∵方程有两个不相等的实数根，且m＝﹣4．∴△＝（﹣4）2﹣4n＞0，解得n＜4；②∵n＜4，∴n可以是3，此时方程为x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，解得x1＝3，x2＝1．21．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线y＝过点A（1，1），与直线y＝4x交于B，C 两点（点B的横坐标小于点C的横坐标）．（1）求k的值；（2）求点B，C的坐标；（3）若直线x＝t与双曲线y＝交于点D（t，y1），与直线y＝4x交于点E（t，y2），当y1＜y2时，写出t的取值范围．解：（1）∵双曲线y＝过点A（1，1），∴k＝1×1＝1；（2）解得或，∴B（﹣，﹣2），C（，2）；（3）观察函数的图象，当y1＜y2时，t的取值范围为﹣＜t＜0或t＞．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，以点D为圆心，DC长为半径画⊙D．（1）补全图形，判断直线AB与⊙D的位置关系，并证明；（2）若BD＝5，AC＝2DC，求⊙D的半径．解：（1）图形如图所示，结论AB与⊙D相切．理由：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，∴⊙D与AB相切．（2）设DE＝DC＝r，BE＝x．∵AB，AC是⊙D的切线，∴AC＝AE＝2CD＝2r，∵∠ACB＝∠BED＝90°，则有，解得，∴⊙D的半径为3．23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2bx+1．（1）若此抛物线经过点（﹣2，﹣2），求b的值；（2）求抛物线的顶点坐标（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（m，m）和B（n，n），且|m|＞2，|n|＜2，求b的取值范围．解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，﹣2），∴4+4b+1＝﹣2，解得b＝﹣；（2）∵y＝x2﹣2bx+1＝（x﹣b）2﹣b2+1，∴抛物线的顶点坐标为（b，﹣b2+1）；（3）∵点A（m，m）和B（n，n），∴点A（m，m）和B（n，n）在直线y＝x上，由，消去y得x2﹣2bx+1＝x，整理得x2﹣（2b+1）x+1＝0，∴△＝（2b+1）2﹣4＞0，即（2b+3）（2b﹣1）＞0，∴或，解得b＞或b＜﹣，由x2﹣（2b+1）x+1＝0可知m•n＝1，∴m、n同号，∵|m|＞2，|n|＜2，∴当m＞n＞0时，m+n＞，∴2b+1＞，解得b＞当0＞m＞n时，m+n＜﹣，∴2b+1＜﹣，解得b＜﹣，综上，b的取值范围为b＞或b＜﹣．24．在△ABC中，AB＝2，CD⊥AB于点D，CD＝．（1）如图1，当点D是线段AB的中点时，①AC的长为；②延长AC至点E，使得CE＝AC，此时CE与CB的数量关系是CE＝CB，∠BCE 与∠A的数量关系是∠BCE＝2∠A；（2）如图2，当点D不是线段AB的中点时，画∠BCE（点E与点D在直线BC的异侧），使∠BCE＝2∠A，CE＝CB，连接AE．①按要求补全图形；②求AE的长．解：（1）①如图1中，∵AD＝DB＝AB＝，CD⊥AB，∴CA＝CB，∠ADC＝90°，∵CD＝，∴AC＝＝＝．故答案为：．②连接BE．∵CA＝CE，CA＝CB，∴CE＝CB，∵CA＝CB，∴∠A＝∠CBA，∴∠ECB＝∠A+∠CBA＝2∠A，故答案为：CE＝CB，∠BCE＝2∠A．（2）①图形如图2所示：②如图2中，在AC的上方作△ACT，使得CT＝CA，∠ACT＝∠BCE，过点C作CH⊥AT于H．∵CA＝CT，CH⊥AT，∴AH＝HT，∠ACH＝∠TCH，∵∠BCE＝2∠CAB，∠ECB＝∠ACT，∴∠ZCH＝∠CAB，∴CH∥AB，∴∠CHA＝∠HAB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCH是矩形，∴CD＝AH＝HT＝，∴AT＝2AH＝2，∵∠ACT＝∠ECB，∴∠ACE＝∠TCB，∵CA＝CT，CE＝CB，∴△ACE≌△TCB（SAS），∴AE＝BT，∵BT＝＝＝2，∴AE＝BT＝2．25．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．给出如下定义：记线段AB的中点为M，当点M不在⊙O上时，平移线段AB，使点M 落在⊙O上，得到线段A'B'（A'，B'分别为点A，B的对应点）线段AA'长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）已知点A的坐标为（﹣1，0），点B在x轴上．①若点B与原点O重合，则线段AB到⊙O的“平移距离”为；②若线段AB到⊙O的“平移距离”为2，则点B的坐标为B（﹣5，0）或（7，0）；（2）若点A，B都在直线y＝x+4上，且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若点A的坐标为（3，4），且AB＝2，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．解：（1）①∵A（﹣1，0），B（0，0），AM＝BM，∴M（﹣，0），∴线段AB到⊙O的“平移距离”＝线段AM的长＝，故答案为：．②∵线段AB到⊙O的“平移距离”为2，∴M（﹣3，0）或（3，0），∵MA＝MB，∴B（﹣5，0）或（7，0）．故答案为：B（﹣5，0）或（7，0）．（2）如图1中，设直线y＝x+4交x轴于F，交y轴于E，则E（0，4），F（﹣3，0）．过点O作OH⊥EF于H，交⊙O于K．∵OE＝4，OF＝3，∴EF＝＝＝5，∵S△OEF＝×OE×OF＝×EF×OH，∴OH＝，观察图像可知，当AB的中点M与H重合时，线段AB到⊙O的“平移距离”最小，最小值＝OH﹣OK＝．即d1＝．（3）如图2中，由题意，AB的中点M的运动轨迹是A为圆心1为半径是圆，d2的最小值＝PQ＝5﹣2＝3，d2的最大值＝PR＝5+1＝6，∴3≤d2≤6．。

2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷及答案解析

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2020-2021学年北京市西城区九年级上学期期末数学复习试卷
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．（2分）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AD 与BC 的延长线交于点E ，BA 与
CD 的延长线交于点F ，∠DCE ＝85°，∠F ＝28°，则∠E 的度数为（）
A ．38°
B ．48°
C ．58°
D ．68°
2．（2分）将抛物线y ＝x 2﹣2向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则所得抛
物线的解析式为（）
A ．y ＝（x +3）2
B ．y ＝（x ﹣3）2
C ．y ＝（x +2）2+1
D ．y ＝（x ﹣2）2+1
3．（2分）圆心角为60°，半径为1的弧长为（）
A ．π2
B ．π
C ．π6
D ．π3 4．（2分）如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边
AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，其中有：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝DE ；④∠A ＝∠EBC ，四个结论，则结论一定正确的有（）个．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．（2分）如图，点A 为⊙O 上一点，OD ⊥弦BC 于点D ，如果∠BAC ＝60°，OD ＝1，则
BC 为（）。

2020-2021年北京市昌平区初三数学上学期期末试卷(含答案)

昌平区2020-2021学年第一学期初三年级期末水平测试数学试卷2021．1本试卷共5页，共100分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题（共8道小题，每小题3分，共24分）下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1. 如图，以点P 为圆心，以下列选项中的线段的长为半径作圆，所得的圆与直线l 相切的是（A ）P A （B ）PB （C ）PC （D ）PD2. 已知3x =4y （y ≠0），那么下列比例式中成立的是（A ）34=x y （B ）43=x y （C ）34=x y （D ） 43=x y3.抛物线2(3)+1=-y x 的顶点坐标是（A ）（3,1）（B ）(3,1)- （C ）(3,1)- （D ）(3,1)-- 4. 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，如果∠ACD =36°，那么∠BAD 等于（A ） 36° （B ） 44° （C ） 54° （D ） 56°5．已知二次函数221（）=-+y x ，若点A 1(0)y ，和B 2(3)，y 在此函数图象上，则1y 与2y 的大小关系是（A ）12y y > （B ）12y y < （C ）12y y ＝（D ）无法确定 6.小英家在学校的北偏东40度的位置上，那么学校在小英家的方向是（A ）南偏东40度（B ）南偏西40度（C ）北偏东50度（D ）北偏西50度7.如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan ∠ACB 的值为（A ）13（B ） 35 （C ）23 （D ）12B C P lBACBA8.如图，点M 坐标为（0,2），点A 坐标为（2,0），以点M 为圆心，MA 为半径作⊙M ，与x 轴的另一个交点为B ，点C 是⊙M 上的一个动点，连接BC ，AC ，点D 是 AC 的中点，连接OD ，当线段OD 取得最大值时，点D 的坐标为（A ）（0，1+2）（B ）（1，1+2）（C ）（2，2）（D ）（2，4）二、填空题（共8道小题，每小题3分，共24分）9.请写出一个开口向上且过点(0,2)-的抛物线表达式为______________________． 10.点1(2,)A y ，2(3,)B y 是反比例函数6=-y x图象上的两点，那么1y ，2y 的大小关系是1y ______2y ．（填“＞”，“＜”或“=”）11.如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，⊙O 的半径为6，则AB 的长为__________． 12.如图，ABCD 中，延长AD 至点E ，使DE =12AD ，连接BE ，交CD 于点F ，若⊙DEF 的面积为2，则⊙CBF 的面积为__________．13. 如图，AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， CD =16，BE =4，则CE =____，⊙O 的半径为_____. 14．如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ，已知∠A =40°，连接OB ，OC ，DE ，EF ，则 ∠BOC =__________°，∠DEF =__________°.x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … m … y…0 4664…﹣6…则这个二次函数的对称轴为直线x =________，m =________（m ＞0）.16.抛物线22y x x m =-++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①抛物线过点（2，m ）； ②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形；③a +b ＝4； ④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ．OABCDEFA OD EC AC D FO 第11题第12题第13题第14题 xyCBAODM其中结论正确的序号是______________________．三、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分）17. 计算：3tan 60°+cos 245°-sin 30°．18．如图，AC 平分⊙BAD ，⊙B =∠ACD . （1）求证：△ABC ∽△ACD ；（2）若AB =2，AC =3，求AD 的长.19．已知二次函数223=--y x x ．（1）写出该二次函数图象的对称轴及顶点坐标，再描点画图；（2）结合函数图象，直接写出0<y 时x 的取值范围．20．下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O 及⊙O 外一点P ．求作：直线P A 和直线PB ，使P A 切⊙O 于点A ，PB 切⊙O 于点B ．作法：如图，①作射线PO ，与⊙O 交于点M 和点N ； ②以点P 为圆心，以PO 为半径作⊙P ;③以点O 为圆心,以⊙O 的直径MN 为半径作圆，与⊙P 交于点E 和点F ，连接OE 和OF ，分别与 ⊙O 交于点A 和点B ； ④作直线P A 和直线PB .所以直线P A 和PB 就是所求作的直线.（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）O-4-3-2-1-1-2-3-4xy 12344321DABC（2）完成下面的证明。

北京市丰台区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(解析版)

丰台区2020-2021学年度第一学期期末练习初三数学一、选择题1. 函数y=(x+1)2-2的最小值是（）A. 1B. －1C. 2D. －2【答案】D【解析】【分析】抛物线y=(x+1)2-2开口向上，有最小值，顶点坐标为(-1，-2)，顶点的纵坐标-2即为函数的最小值.【详解】解：根据二次函数的性质，当x=-1时，二次函数y=(x+1)2-2的最小值是-2.故选D.【点睛】本题考查了二次函数的最值.2. 下面是利用图形变化的知识设计的一些美丽的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．【详解】A、既是轴对称图形又是中心对称图形，选项正确；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3. 若一个扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的面积为（）A. 32πB. 3πC. 6πD. 9π【答案】D 【解析】【分析】根据扇形公式S 扇形=2360n R π，代入数据运算即可得出答案．【详解】解：由题意得，n=90°，R=6，S 扇形=229069360360n R πππ==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，另外要明白扇形公式中，每个字母所代表的含义． 4. 点()11,A y -，()21,B y ，()32,C y 是反比例函数2y x=图象上的三个点，则123y y y ，，的大小关系是（） A. 321y y y << B. 132y y y <<C. 231y y y <<D. 312y y y <<【答案】B 【解析】【分析】将三点坐标分别代入函数解析式中，求出y 1、y 2、y 3的值，再比较大小即可．【详解】解：∵点()11,A y -，()21,B y ，()32,C y 是反比例函数2y x=图象上的三个点， ∴y 1=﹣2，y 2=2，y 3=1， ∴y 1＜y 3＜y 2，故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点的坐标满足此函数的解析式是解答的关键．5. 直径为10分米的圆柱形排水管，截面如图所示．若管内有积水（阴影部分），水面宽AB 为8分米，则积水的最大深度CD 为（）A. 2分米B. 3分米C. 4分米D. 5分米【答案】A 【解析】【分析】先求出OA 的长，再由垂径定理求出AC 的长，根据勾股定理求出OC 的长，进而可得出结论．【详解】O 的直径为10分米，5OA ∴=（分米）， OD AB ⊥，8AB =（分米）， 142AC BC AB ∴===（分米）， ∴2222534OC OA AC ==-=-（分米）， ∴积分的最大深度532CD OD OC =-=-=（分米）．故选：A ．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，根据勾股定理求出OC 的长是解答此题的关键．6. 二次函数2++y ax bx c =（0a ≠）的图象是抛物线G ，自变量x 与函数y 的部分对应值如下表：x ... ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 ... y (4)﹣2 ﹣2 04 …下列说法正确的是（） A. 抛物线G 的开口向下B. 抛物线G 的对称轴是直线2x =-C. 抛物线G 与y 轴的交点坐标为(0，4)D. 当x ＞﹣3时，y 随x 的增大而增大【答案】C 【解析】【分析】由表格信息，及二次函数图象的对称性可得抛物线的对称轴，及与x 、y 轴的交点，继而判断抛物线的开口方向及增减性．【详解】由表中数据可得，抛物线与y 轴交点为：(0,4)，故C 正确；x 轴的交点坐标为：(4,0),(1,0)--，因此可得抛物线的对称轴为 2.5x =-，故B 错误；由上可知，抛物线开口向上，故A 错误；当 2.5x >-时，y 随x 的增大而增大，当 2.5x <-时，y 随x 的增大而减小，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．7. 如图，点O 为线段AB 的中点，点B ，C ，D 到点O 的距离相等，连接AC ，BD ．则下面结论不一定成立的是（）A. ∠ACB=90°B. ∠BDC=∠BACC. AC 平分∠BADD. ∠BCD+∠BAD=180°【答案】C 【解析】【分析】以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．再根据圆周角定理及其推论逐项判断即可．【详解】如图，以点O 为圆心，OA 长为半径作圆．由题意可知： OA=OB=OC=OD ．即点A 、B 、C 、D 都在圆O 上．A ．由图可知AB 为经过圆心O 的直径，根据圆周角定理推论可知90ACB ∠=︒．故A 不符合题意． B ．BC BC =，所以根据圆周角定理可知BAC BDC ∠=∠．故B 不符合题意． C ．当BC CD ≠时，BAC DAC ∠≠∠，所以此时AC 不平分BAD ∠．故C 符合题意． D ．根据圆周角定理推论可知，180BCD BAD ∠+∠=︒．故D 不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，充分理解圆周角定理是解答本题的关键．8. 函数211+2y x=的图象如图所示，若点()111,P x y ，()222,P x y 是该函数图象上的任意两点，下列结论中错误的是（）A. 10x ≠ ，20x ≠B. 112y >，212y > C. 若12y y =，则12||||x x = D. 若12y y <，则12x x < 【答案】D 【解析】【分析】根据函数的解析式，结合图象的对称性、图象与坐标轴的关系、点的位置与图象的关系等逐项分析判断即可．【详解】解：A 、根据图象与y 轴没交点，所以10x ≠ ，20x ≠，此选项正确；B 、∵x 2＞0，∴21x ＞0，∴211+2y x =＞12，此选项正确；C 、∵图象关于y 轴对称，∴若12y y =，则12||||x x =，此选项正确；D 、∵图象关于y 轴对称，∴若12y y <，则12||||x x >，此选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查了函数的图象与性质，能从图象上获取有效信息是解答的关键．二、填空题9. 将抛物线y=x 2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为______．【答案】y=x 2-2 【解析】【分析】根据“上加下减”可得答案．【详解】将抛物线y=x 2向下平移2个单位长度，平移后拋物线的解析式为y=x 2-2. 故答案为y=x 2-2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移.抛物线平移变换的规律：左加右减（在括号内），上加下减（在末梢）. 10. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，AC BE ，交于点O ，若:1:2AE ED =，则:AOE COB S S △△=_______．【答案】1:9 【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AD=BC ，AD ∥BC ，从而得到△AOE ∽△COB ，再根据相似三角形的性质定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ， ∴△AOE ∽△COB ，2⎛⎫∴= ⎪⎝⎭AOE BOCS AE SBC ∵:1:2AE ED =， ∴:1:3AE AD =， ∴:1:3AE BC =， ∴:1:9△△=AOE COB S S 故答案为：1:9【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．11. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组统计数据：估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为________．(精确到0.01) 【答案】0.88 【解析】因为（0.865+0.904+0.888+0.875+0.882+0.878+0.879+0.881）÷8≈0.88,所以这种幼树移植成活率的概率约为0.88,故答案为:0.88.12. 抛物线2+4y x bx =+与x 轴有且只有1个公共点，则b=_______________．【答案】±4 【解析】【分析】根据抛物线与x 轴有且只有1个公共点可知，当0y =时，此方程有且有两个相等的实数根，根据=240b ac -=算出b 的值即可．【详解】∵抛物线2+4y x bx =+与x 轴有且只有1个公共点，∴令2+4y x bx =+=0，∴24140b =-⨯⨯=△， ∴b =±4，故答案为：±4．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴交点的知识，正确把握抛物线与x 轴交点个数确定方法是解题的关键． 13. 如图，O 是ABC ∆的外接圆，D 是AC 的中点，连结,AD BD ，其中BD 与AC 交于点E . 写出图中所有与ADE ∆相似的三角形：________.【答案】BCE ；BDA ．【解析】【分析】由同弧所对的圆周角相等可得CBE EAD ∠=∠，可利用含对顶角的8字相似模型得到~CBE DAE ∆∆，由等弧所对的圆周角相等可得EAD ABE ∠=∠，在BDA ∆和ADE ∆含公共角ADB ∠，出现母子型相似模型BDAADE ∆∆．【详解】∵∠ADE =∠BCE ， ∠AED =∠CEB ， ∴~ADE BCE ；∵D 是AC 的中点， ∴AD DC =， ∴∠EAD =∠ABD ， ∠ADB 公共， ∴~ADE BDA ．综上：~ADE BCE ；~ADE BDA ．故答案为：BCE ；BDA ．【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等的应用是解题的关键．14. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是________m．【答案】8【解析】【分析】入射角等于反射角，两个直角相等，那么图中的两个三角形相似，利用对应边成比例可求得树高．【详解】如图：∵∠ABC=∠DBE，∠ACB=∠DEB=90°，∴△ABC∽△DBE，∴BC：BE=AC：DE，即1：5=1.6：DE，∴DE=8m，故答案为：8．【点睛】本题考查了相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15. 如图，ABC是⊙O的内接三角形，OD⊥BC于点D．下面是借助直尺，画出ABC中∠BAC的平分线的步骤：①延长OD交BC于点M；②连接AM交BC于点N．所以∠BAN=∠CAN．即线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．请回答，得到∠BAN=∠CAN的依据是______．【答案】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．【解析】【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，可得到∠BAN=∠CAN．【详解】如图所示：根据题目的步骤，延长OD交BC于点M，∴由垂径定理得到点M为BC的中点，∴BM CM=，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BAN=∠CAN，∴线段AN为所求ABC中∠BAC的平分线．故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．【点睛】本题考查圆的基本性质，属于基础题，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．16. 2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day）．历史上求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔⋅卡西的计算方法是：当正整数n充分大时，计算某个圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n边形(各边均与圆相切的正6n边形)的周长，再将它们的平均数作为2π的近似值．当n=1时，右图是⊙O及它的内接正六边形和外切正六边形．（1）若⊙O的半径为1，则⊙O的内接正六边形的边长是_______；（2）按照阿尔⋅卡西的方法，计算n=1时π的近似值是_______．（结果保留两位小数）（参考数据：3 1.732≈）【答案】(1). 1(2). 3.23【解析】【分析】（1）如图，根据正六边形的性质可证得△AOB为等边三角形，再根据等边三角形的性质即可求解；（2）利用锐角三角函数分别计算出圆的内接正六边形的周长和外切正六边形的周长，再利用它们的算术平均数作为2π的近似数值即可解答．【详解】解：（1）如图，∵该多边形为圆内接正六边形，∴∠AOB=60°，∵OA=OB=1，∴△AOB为等边三角形，∴AB=1，即则⊙O的内接正六边形的边长是1,故答案为：1；（2）如图，设圆的半径为1，当n=1时，可得∠AOB=60°，∠BOC=30°，则圆内接正六边形的边长为1，周长为6，圆外切正六边形的边长为232tan30=3根据题意得：2π= 6+432，则π= 1.5+3≈1.5+1.732=3.232≈3.23，故答案为：3.23．【点睛】本题考查了圆周率π的近似值的计算、圆的内接和外切正多边形的性质、锐角三角函数解直角三角形，根据题意，结合图形，计算出单位圆内接正六边形和外切正六边形的边长是解答的关键．三、解答题17. 已知二次函数24+3y x x =-．（1）求二次函数24+3y x x =-图象的顶点坐标；（2）在平面直角坐标系x O y 中，画出二次函数24+3y x x =-的图象；（3）当14x <<时，结合函数图象，直接写出y 的取值范围．【答案】（1）(2，-1)；（2）见解析；（3） -1≤y <3．【解析】【分析】（1）将二次函数一般式改为顶点式即可直接写出顶点坐标．（2）求出二次函数的顶点，与x 轴、y 轴的交点，即可画出图象．（3）根据图象即可知y 的取值范围．【详解】（1） ∵2243(2)1y x x x =-+=--，∴该二次函数图象顶点坐标为(2，-1).（2）如图,（3）根据图象可知当2x =时，y 最小为-1；当4x =时，3y =．所以13y -≤<．【点睛】本题考查二次函数的顶点式、画二次函数的图象和图象的性质，根据二次函数的解析式求出顶点、与x 轴、y 轴的交点坐标是解答本题的关键．18. 如图，在ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，连接DE ，且AD AB AE AC ⋅=⋅．（1）求证：ADE ∽ACB ；（2）若∠B=55°，∠ADE =75°，求∠A 的度数．【答案】（1）见解析；（2）50°【解析】【分析】（1）由AD AB AE AC ⋅=⋅得AD AE AC AB=，由两边对应成比例且夹角相等得△ADE ∽△ACB ；（2）由△ADE ∽△ACB ，得∠ADE =∠ACB =75°，再由∠B =55°及三角形的内角和为180°可求出∠A ．【详解】（1）证明：∵AD AB AE AC ⋅=⋅， ∴AD AE AC AB=. 又∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB ；（2）解：∵△ADE ∽△ACB ，∴∠ADE =∠ACB ，∵∠ADE =75°，∴∠ACB =75°. 又∵∠B =55°，∴∠A =180°-∠ACB -∠B =50°．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，熟记定理是解题的关键．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的顶点坐标分别是A(1，0)，O(0，0)，B(2，2)．（1）画出A 1OB 1，使A 1OB 1与AOB 关于点O 中心对称；（2）以点O 为位似中心，将AOB 放大为原来的2倍，得到A 2OB 2，画出一个满足条件的A 2OB 2．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）分别找到A(1，0)，B(2，2)关于原点中心对称的点A1，B1，再连接O、A1，B1即可；（2）以点O为位似中心，根据相似比为1：2找到点A2，B2再连接A2，B2，O即可．【详解】解：（1）如图：A1OB1即为所求作的图形．（2）如图：A2OB2即为所求作的图形．【点睛】本题考查作位似图形、中心对称图形等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(4，0)，C(0，2)．点D 是矩形OABC 对角线的交点．已知反比例函数k y x=（0k ≠）在第一象限的图象经过点D ，交BC 于点M ，交AB 于点N ．（1）求点D 的坐标和k 的值；（2）反比例函数图象在点M 到点N 之间的部分（包含M ， N 两点）记为图形Ｇ，求图形Ｇ上点的横坐标x 的取值范围．【答案】（1）D(2，1)；k =2；（2）14x ≤≤【解析】【分析】（1）根据矩形的性质即可求解D 的坐标，从而求解k ；（2）结合矩形的性质可得到M 的纵坐标，以及N 的横坐标，从而得出结论．【详解】（1）∵点D 是矩形OABC 的对角线交点，∴点D 是矩形OABC 的对角线AC 的中点，又∵A (4，0)，C (0，2)，∴点D 的坐标为(2，1)，∵反比例函数k y x =的图象经过点D ， ∴12k =，解得：k =2；（2）由题意可得：点M 的纵坐标为2，点N 的横坐标为4.∵点M 在反比例函数2y x=的图象上， ∴点M 的坐标为(1，2)，∴14x ≤≤．【点睛】本题考查矩形的性质，求反比例函数的解析式以及反比例函数图像上点的特征，熟练掌握矩形的性质，理解反比例函数图象上点的特征是解题关键．21. 如图， AC 与⊙O 相切于点C ， AB 经过⊙O 上的点D ，BC 交⊙O 于点E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【答案】（1）见解析；（2）6【解析】【分析】（1）连接OD ，根据平行线性质得出∠ODE=∠AOD ，∠DEO=∠AOC ，根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE ，即可得出∠AOC=∠AOD ，进而证得△AOD ≌△AOC （SAS ），得到∠ADO=∠ACB=90°，即可证得结论；（2）由题意，先得到OD=3，然后利用勾股定理求出BO ，由切线长定理得到AD=AC ，再根据勾股定理，即可求出答案．【详解】（1）证明：连接OD ，如图：∵OE =OD ，∴∠OED =∠ODE ，∵DE ∥OA ，∴∠OED =∠AOC ，∠ODE =∠AOD ，∴∠AOC =∠AOD .在△AOD 和△AOC 中，AO AO AOD AOC OD OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △AOD ≌△AOC ，∴ ∠ADO =∠ACO .∵AC 与⊙O 相切于点C ，∴ ∠ADO =∠ACO =90°，又∵OD 是⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）解：∵CE =6，∴OE =OD =OC =3.在Rt △ODB 中，BD =4，OD =3，∴222BD OD BO +=，∴BO =5，∴BC =BO +OC =8.∵⊙O 与AB 和AC 都相切，∴AD =AC .Rt △ACB 中，222AC BC AB +=，即：2228(4)AC AC +=+，解得：AC =6；【点睛】本题考查了切线的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．22. 在倡议“绿色环保，公交出行”的活动中，学生小志对公交车的计价方式进行了研究．他发现北京公交集团的公交车站牌中都写有：“10公里以内（含）票价2元，每增加5公里以内（含）加价1元”，如下图．小志查阅了相关资料，了解到北京公交车的票价按照乘客乘坐公交车的里程（公里）数计算，乘客可以按照如下方法计算票价：①站牌中每一站上面标注的数字表示该站的站位号，乘客可以通过计算上、下车站的站位号的差，得到乘车的大致里程数，然后按照下面具体标准得出票价：若里程数在0至10之间(含0和10，下同)，则票价为2元；若里程数在11至15之间，则票价为3元；若里程数在16至20之间，则票价为4元，以此类推． ②为了鼓励市民绿色出行，北京公交集团制定了票价优惠政策：使用市政公交一卡通刷卡，普通卡打5折，学生卡打2.5折．请根据上述信息，回答下列问题：（1）学生甲想去抗战雕塑园参观，他乘坐339路公交车从云岗站上车，到抗战雕塑园站下车，那么原票价应为元，他使用学生卡实际支付元；（2）学生乙使用学生卡乘339路公交车去北京西站，若下车刷卡时实际支付了1元，则他在佃起村上车的概率为．【答案】（1）3，0.75；（2）16 【解析】【分析】（1）由题意可得里程数为11公里，则里程数在11到15公里之间，进而问题可求解；（2）由题意易得学生乙应在里程数为16到20公里之间，则他可能在云岗北区和北京十中之间的站台上车，由此可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：学生甲乘坐公交车的里程数为14-3=11＜15，∴票价为3元，使用学生卡打2.5折，即3×0.25=0.75（元），故答案为：3，0.75；（2）实际支付了1元，则票价为：140.25=(元)， ∴里程数在16和20公里之间，∴24-8=16，24-4=20，∴学生乙可能在云岗北区和北京十中之间的六个站台上车， ∴他在佃起村上车的概率为16；故答案为：16．【点睛】本题主要考查了概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键．23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+y ax bx =（0a ≠）过点(4，0)．（1）用含a 的代数式表示b ；（2）已知点A(0，a)，将点A 绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，再将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，若线段AC 与抛物线有公共点，求a 的取值范围．【答案】（1）4b a =-；（2）(a +2，0)；（3）2a ≥或2a ≤-【解析】【分析】（1）根据已知条件抛物线2+y ax bx =（0a ≠）过点(4，0)，将该点代入到抛物线中即可用含a 的代数式表示b ；（2）根据旋转的角度和平移的单位长度，即可在平面直角坐标系中表示出点C 的坐标；（3）若线段AC 与抛物线有公共点，则线段AC 有交点，此时可分a >0和a <0两种情况，分别列式计算即可．【详解】（1）∵抛物线y =ax 2+bx 过点(4，0)，∴0164a b =+，∴4b a =-.（2）∵点A (0，a )绕原点O 顺时针旋转90°得到点B ，∴点B 的坐标为(a ，0)，∵点B 向右平移2个单位长度得到点C ，∴点C 的坐标为(a +2，0).（3）（i ）如图1，当a >0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向上，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0)，若线段AC 与抛物线有公共点（如图），只需满足：024a a >⎧⎨+≥⎩，解得：2a ≥，（ii ）如图2，当a <0时，抛物线y =ax 2-4ax 开口向下，与x 轴交于两点(0，0)，(4，0).若线段AC 与抛物线有公共点（如图），只需满足：020a a <⎧⎨+≤⎩，解得：2a ≤-，综上所述，a 的取值范围为2a ≥或2a ≤-.【点睛】本题考查了点的平移、旋转、二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数开口方向、图像上点的特征，数形结合讨论交点是解题的关键．24. 如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B 作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．（1）求证：∠FBC=∠CDF ．（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明．【答案】(1)见解析；(2) ①见解析；②BF=DF+CG ，理由见解析．【解析】【分析】（1）由∠FBC +∠COB =90°，∠CDF +∠DOF =90°，根据等角的余角相等证明即可；（2）①根据题意画出图形即可；②结论：BF =DF +CG ．利用截长补短法，构造相似三角形解决问题即可；【详解】（1）如图1中，设CD 交BF 于点O ．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BCO=90°，∵BF ⊥DE ，∴∠OFD=∠OCB=90°，∴∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，∵∠DOF=∠BOC ，∴∠FBC=∠CDF ．（2）①如图2，②结论：BF=DF+CG ．理由：在线段FB 上截取FM ，使得FM=FD ．∵∠BDC=∠MDF=45°，∴∠BDM=∠CDF ， ∵2BD DM DC DF== ∴△BDM ∽△CDF ，∴2BM DM CF DF==，∠DBM=∠DCF ， ∴BM=2CF ，∴∠CFE=∠FCD+∠CDF=∠DBM+∠BDM=∠DMF=45°，∴∠EFG=∠EFC=45°，∴∠CFG=90°，∵CF=FG ，∴CG=2CF ，∴BM=CG ，∴BF=BM+FM=CG+DF ．【点睛】本题考查了正方形的性质，余角的性质，轴对称作图，相似三角形的判定与性质，勾股定理，通过截长补短法作出辅助线构造相似三角形是解答本题的关键．25. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下定义：若在图形M 上存在点Q ，使得OQ=kOP ，k 为正数，则称点P 为图形M 的k 倍等距点．已知点A(－2，2)，B(2，2)．（1）在点C(1，0)，D(0，-2)，E(1，1)中，线段AB 的2倍等距点是；（2）画出线段AB 的所有2倍等距点形成的图形（用阴影表示），并求该图形的面积；（3）已知直线y=－x+b 与x 轴，y 轴的交点分别为点F ， G ，若线段FG 上存在线段AB 的2倍等距点，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）点C 和点E ；（2）见解析；4；（3）22b -≤≤．【解析】【分析】（1）先设Q 为线段AB 上一点，再根据图可知，OQ 的取值范围，由题意可得2OQ OP =，可求出OP 的取值范围，即可求出满足条件的点；（2）由（1）知，线段AB 的所有2倍等距点形成的图形，再根据图形求得面积；（3）已知y x b =-+，且该直线上线段FG 上存在线段AB 的2倍等距点，可得该直线必在如图所示的两条直线内，且平行于这两条直线，即可求出b 的取值范围．【详解】（1）设Q 为线段AB 上一点，则由图可知，OQ 的取值范围是222OQ ≤≤，()1,0C ，()0,2D -，()1,1E ，∴1OC =，2OD =，2OE =，设线段AB 的2倍等距点为P ，则2OQ OP =，12OP ∴≤≤，∴点C 和点E 为线段AB 的2倍等距点；故答案为：点C 和点E ；（2）由（1）知，12OP ≤≤，∴线段AB 的所有2倍等距点形成的图形如图所示，由图可知，该图形是边长为2的正方形，∴由等距点围成图形的面积224S =⨯=；（3）对于直线y x b =-+，令0y =得x b =，则(),0F b ，令0x =得y b =，则()0,G b ，线段FG 存在线段AB 的2倍等距点，∴线段FG 必过线段AB 所有2倍等距点形成的图形，∴FG 在图中的两条直线内，且平行于这两条直线，∴b 的取值范围是22b -≤≤．【点睛】本题主要考查了一次函数图象的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．。

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2020-2021学年北京市西城区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上的一个点的坐标为（）A．（0，﹣4）B．（2，0）C．（1，0）D．（﹣1，0）2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm3．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3 4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：15．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68°B．64°C．58°D．32°6．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝47．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（）A．2.44（1+x）＝6.72B．2.44（1+2x）＝6.72C．2.44（1+x）2＝6.72D．2.44（1﹣x）2＝6.728．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（）A．﹣5≤a≤4B．﹣1≤a≤4C．﹣4≤a≤1D．﹣4≤a≤5二、填空题（共8小题）.9．若正六边形的边长为2，则它的半径是．10．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sin B＝．12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则a0，b0，c0（填“＞”，“＝”或“＜”）．13．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则EB＝．14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝．15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA＝（180°﹣∠ODA），∠COE＝（180°﹣∠）；②四边形ABCD为平行四边形（理由是）；③∠DOA＝∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3），⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）⊙O的半径为；（2）tanα＝．三、解答题（共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分）17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．18．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k＝1，求该方程的根．19．借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；（2）填空：∠BEC＝°，理由是；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．21．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求DE的长．22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM＝（用含x的式子表示），x的取值范围是；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．23．已知抛物线y＝x2+x．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝°，AA'＝；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．25．对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2）．（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点A和点B的等距点是；（2）已知直线y＝﹣2．①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为；②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．参考答案一、选择题（共24分，每小题3分）1．在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上的一个点的坐标为（）A．（0，﹣4）B．（2，0）C．（1，0）D．（﹣1，0）解：当x＝0时，y＝﹣5，因此（0，﹣4）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5，当x＝2时，y＝4﹣8﹣5＝﹣9，因此（2，0）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，当x＝1时，y＝1﹣4﹣5＝﹣8，因此（1，0）不在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，当x＝﹣1时，y＝1+4﹣5＝0，因此（﹣1，0）在抛物线y＝x2﹣4x﹣5上，故选：D．2．在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是（）A．πcm B．2πcm C．3πcm D．6πcm解：弧长为：＝2π（cm）．故选：B．3．将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x﹣3）2+5C．y＝（x+5）2+3D．y＝（x﹣5）2+3解：将抛物线y＝x2先向右平移3个单位长度，得：y＝（x﹣3）2；再向上平移5个单位长度，得：y＝（x﹣3）2+5，故选：B．4．2020年是紫禁城建成600年暨故宫博物院成立95周年，在此之前有多个国家曾发行过紫禁城元素的邮品．图1所示的摩纳哥发行的小型张中的图案，以敞开的紫禁城大门和大门内的石狮和太和殿作为邮票和小型张的边饰，如果标记出图1中大门的门框并画出相关的几何图形（图2），我们发现设计师巧妙地使用了数学元素（忽略误差），图2中的四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA的中点，那么以下结论正确的是（）A．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：1B．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为1：2C．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的周长比为3：1D．四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为4：1解：∵四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是位似图形，点O是位似中心，点A'是线段OA 的中点，∴OA′：OA＝1：2，∴A′B′：AB＝1：2，∴四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的相似比为2：1，周长的比为2：1，面积比为4：1．故选：D．5．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠CDB＝32°，则∠ABC等于（）A．68°B．64°C．58°D．32°解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC+∠CDB＝90°，∴∠ADC＝90°﹣∠CDB＝90°﹣32°＝58°，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ABC＝58°，故选：C．6．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（）A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，故选：B．7．近年来我国无人机产业迅猛发展，无人机驾驶员已正式成为国家认可的新职业，中国民用航空局的现有统计数据显示，从2017年底至2019年底，全国拥有民航局颁发的民用无人机驾驶执照的人数已由约2.44万人增加到约6.72万人．若设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为（）A．2.44（1+x）＝6.72B．2.44（1+2x）＝6.72C．2.44（1+x）2＝6.72D．2.44（1﹣x）2＝6.72解：设2017年底至2019年底，全国拥有民用无人机驾驶执照人数的年平均增长率为x，则可列出关于x的方程为2.44（1+x）2＝6.72，故选：C．8．现有函数y＝如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，y＝n，那么实数a的取值范围是（）A．﹣5≤a≤4B．﹣1≤a≤4C．﹣4≤a≤1D．﹣4≤a≤5解：令x+4＝x2﹣2x，整理得，x2﹣3x﹣4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，由图象可知，当﹣1≤a≤4时，对于任意的实数n，都存在实数m，使得当x＝m时，函数y＝n，故选：B．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．若正六边形的边长为2，则它的半径是2．解：如图所示，连接OB、OC；∵此六边形是正六边形，∴∠BOC＝＝60°，∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝2．故答案为：2．10．若抛物线y＝ax2（a≠0）经过A（1，3），则该抛物线的解析式为y＝3x2．解：把A（1，3）代入y＝ax2（a≠0）中，得3＝a×12，解得a＝3，所以该抛物线的解析式为y＝3x2．故答案为：y＝3x2．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sin B＝．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝9，则sin B＝＝＝，故答案为：．12．若抛物线y＝ax2+bx+c（a+0）的示意图如图所示，则a＞0，b＜0，c＜0（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：∵抛物线开口方向向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0．故答案为＞，＜，＜．13．如图，AB为⊙O的直径，AB＝10，CD是弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，则EB＝1．解：连接OC，如图所示：∵弦CD⊥AB于点E，CD＝6，∴CE＝ED＝CD＝3，∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，CE＝3，OC＝AB＝5，∴OE＝＝4，∴BE＝OB﹣OE＝AB﹣OE＝5﹣4＝1，故答案为：1．14．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，若OA＝2，∠APB＝60°，则PB＝2．解：∵PA、PB是⊙O的两条切线，∠APB＝60°，OA＝OB＝2，∴∠BPO＝∠APB＝30°，BO⊥PB．∴PO＝2AO＝4，∴PB＝＝＝2．故答案是：2．15．放缩尺是一种绘图工具，它能把图形放大或缩小．制作：把钻有若干等距小孔的四根直尺用螺栓分别在点A，B，C，D处连接起来，使得直尺可以绕着这些点转动，O为固定点，OD＝DA＝CB，DC＝AB＝BE，在点A，E处分别装上画笔．画图：现有一图形M，画图时固定点O，控制点A处的笔尖沿图形M的轮廓线移动，此时点E处的画笔便画出了将图形M放大后的图形N．原理：若连接OA，OE，可证得以下结论：①△ODA和△OCE为等腰三角形，则∠DOA＝（180°﹣∠ODA），∠COE＝（180°﹣∠OCE）；②四边形ABCD为平行四边形（理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③∠DOA＝∠COE，于是可得O，A，E三点在一条直线上；④当时，图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的倍得到的．解：①∵△ODA和△OCE为等腰三角形，∴∠DOA＝（180°﹣∠ODA），∠COE＝（180°﹣∠OCE）；②∵AD＝BC，DC＝AB，∴四边形ABCD为平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）；③连接OA，AE，∵∠DOA＝∠COE，∴O，A，E三点在一条直线上；④∵＝，∴设CD＝AB＝BE＝3x，OD＝AD＝BC＝5x，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△AOD∽△EOC，∴＝＝，∴图形N是以点O为位似中心，把图形M放大为原来的，故答案为：OCE；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，P（4，3），⊙O经过点P．点A，点B在y轴上，PA＝PB，延长PA，PB分别交⊙O于点C，点D，设直线CD与x轴正方向所夹的锐角为α．（1）⊙O的半径为5；（2）tanα＝．解：（1）连接OP.∵P（4，3），∴OP＝＝5，故答案为：5．（2）设CD交x轴于J，过点P作PT⊥AB交⊙O于T，交OC于E，连接CT，DT，OT．∵P（4，3），∴PE＝4，OE＝3，在Rt△OPE中，tan∠POE＝＝，∵OE⊥PT，OP＝OT，∴∠POE＝∠TOE，∴∠PDT＝∠POT＝∠POE，∵PA＝PB．PE⊥AB，∴∠APT＝∠DPT，∴＝，∴∠TDC＝∠TCD，∵PT∥x轴，∴∠CJO＝∠CKP，∵∠CKP＝∠TCK+∠CTK，∠CTP＝∠CDP，∠PDT＝∠TDC+∠CDP，∴∠TDP＝∠CJO，∴∠CJO＝∠POE，∴tan∠CJO＝tan∠POE＝故答案为：．三、解答题（本题共52分，第17、18、20～22题每小题5分，第19题6分，第23～25题每小题5分）17．计算：2sin60°﹣tan45°+cos230°．解：原式＝＝＝．18．已知关于x的方程x2+2x+k﹣4＝0．（1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若k＝1，求该方程的根．解：（1）△＝22﹣4×1×（k﹣4）＝20﹣4k．∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0．∴20﹣4k＞0，解得k＜5；（2）当k＝1时，原方程化为x2+2x﹣3＝0，（x﹣1）（x+3）＝0，x﹣1＝0或x+3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3．19．借助网格画图并说理：如图所示的网格是正方形网格，△ABC的三个顶点是网格线的交点，点A在BC边的上方，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2，AD＝3．以BC为直径作⊙O，射线DA交⊙O于点E，连接BE，CE．（1）补全图形；（2）填空：∠BEC＝90°，理由是直径所对的圆周角是直角；（3）判断点A与⊙O的位置关系并说明理由；（4）∠BAC＜∠BEC（填“＞”，“＝”或“＜”）．解：（1）补全图形见图1．（2）∵BC是直径，∴∠BEC＝90°（直径所对的圆周角是直角）．故答案为：90，直径所对的圆周角是直角．（3）点A在⊙O外．理由如下：连接OA．∵BD＝4，CD＝2，∴BC＝BD+CD＝6，r＝＝3．∵AD⊥BC，∴∠ODA＝90°，在Rt△AOD中，AD＝3，OD＝BD﹣OB＝1，∴．∵，∴OA＞r，∴点A在⊙O外．（4）观察图像可知：∠BAC＜∠BEC．故答案为：＜．20．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（3，0）点，当x＝1时，函数的最小值为﹣4．（1）求该二次函数的解析式并画出它的图象；（2）直线x＝m与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）和直线y＝x﹣3的交点分别为点C，点D，点C位于点D的上方，结合函数的图象直接写出m的取值范围．解：（1）∵当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值为﹣4，∴二次函数的图象的顶点为（1，﹣4），∴二次函数的解析式可设为y＝a（x﹣1）2﹣4（a≠0），∵二次函数的图象经过（3，0）点，∴a（3﹣1）2﹣4＝0．解得a＝1．∴该二次函数的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4；如图，（2）由图象可得m＜0或m＞3．21．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，点D在⊙O外，∠BCD＝∠A，OD交⊙O于点E．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若CD＝4，AC＝2.7，cos∠BCD＝，求DE的长．【解答】（1）证明：如图，连接OC．∵AB为⊙O的直径，AC为弦，∴∠ACB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°．∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A．∵∠BCD＝∠A，∴∠ACO＝∠BCD．∴∠OCB+∠BCD＝90°．∴∠OCD＝90°．∴CD⊥OC．∵OC为⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵∠BCD＝∠A，cos∠BCD＝，∴cos A＝cos∠BCD＝．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2.7，cos A＝．∴AB＝＝＝6．∴OC＝OE＝＝3．在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，OC＝3，CD＝4，∴．∴DE＝OD﹣OE＝5﹣3＝2．22．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上，BE＝1，F为BC边的中点．将正方形截去一个角后得到一个五边形AEFCD，点P在线段EF上运动（点P可与点E，点F重合），作矩形PMDN，其中M，N两点分别在CD，AD边上．设CM＝x，矩形PMDN的面积为S．（1）DM＝4﹣x（用含x的式子表示），x的取值范围是0≤x≤1；（2）求S与x的函数关系式；（3）要使矩形PMDN的面积最大，点P应在何处？并求最大面积．解：（1）∵正方形ABCD的边长为4，CM＝x，BE＝1，∴DM＝DC﹣CM＝4﹣x，其中0≤x≤1．故答案是：4﹣x，0≤x≤1；（2）如图，延长MP交AB于G，∵正方形ABCD的边长为4，F为BC边的中点，四边形PMDN是矩形，CM＝x，BE＝1，∴PM∥BC，BF＝FC＝BC＝2，BG＝MC＝x，GM＝BC＝4，∴△EGP∽△EBF，EG＝1﹣x，∴＝，即＝．∴PG＝2﹣2x，∴DN＝PM＝GM﹣PG＝4﹣（2﹣2x）＝2+2x，∴S＝DM•DN＝（4﹣x）（2x+2）＝﹣2x2+6x+8，其中0≤x≤1．（3）由（2）知，S＝﹣2x2+6x+8，∵a＝﹣2＜0，∴此抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣＝，即，∴当x＜时，y随x的增大而增大．∵x的取值范围为0≤x≤1，∴当x＝1时，矩形PMDN的面积最大，此时点P与点E重合，此时最大面积为12．23．已知抛物线y＝x2+x．（1）直接写出该抛物线的对称轴，以及抛物线与y轴的交点坐标；（2）已知该抛物线经过A（3n+4，y1），B（2n﹣1，y2）两点．①若n＜﹣5，判断y1与y2的大小关系并说明理由；②若A，B两点在抛物线的对称轴两侧，且y1＞y2，直接写出n的取值范围．解：（1）∵y＝x2+x，∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，令x＝0，则y＝0，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，0），（2）x A﹣x B＝（3n+4）﹣（2n﹣1）＝n+5，x A﹣1＝（3n+4）﹣1＝3n+3＝3（n+1），x B ﹣1＝（2n﹣1）﹣1＝2n﹣2＝2（n﹣1）．①当n＜﹣5时，x A﹣1＜0，x B﹣1＜0，x A﹣x B＜0．∴A，B两点都在抛物线的对称轴x＝1的左侧，且x A＜x B，∵抛物线y＝x2+x开口向下，∴在抛物线的对称轴x＝1的左侧，y随x的增大而增大．∴y1＜y2；②若点A在对称轴直线x＝1的左侧，点B在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得，∴不等式组无解，若点B在对称轴直线x＝1的左侧，点A在对称轴直线x＝1的右侧时，由题意可得：，∴﹣＜n＜1，综上所述：﹣＜n＜1．24．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝．将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点A，点C旋转后的对应点分别为点A'，点C'．（1）如图1，当点C'恰好为线段AA'的中点时，α＝60°，AA'＝2；（2）当线段AA'与线段CC'有交点时，记交点为点D．①在图2中补全图形，猜想线段AD与A'D的数量关系并加以证明；②连接BD，请直接写出BD的长的取值范围．解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，∠ABC＝30°，∴AC＝BC•tan30°＝1，∴AB＝2AC＝2，∵BA＝BA′，AC′＝A′C′，∴∠ABC′＝∠A′BC′＝30°，∴△ABA′是等边三角形，∴α＝60°，AA′＝AB＝2．故答案为：60，2．（2）①补全图形如图所示：结论：AD＝A'D．理由：如图2，过点A作A'C'的平行线，交CC'于点E，记∠1＝β．∵将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α得到Rt△A'BC'，∴∠A'C'B＝∠ACB＝90°，A'C'＝AC，BC'＝BC．∴∠2＝∠1＝β．∴∠3＝∠ACB﹣∠1＝90°﹣β，∠A'C'D＝∠A'C'B+∠2＝90°+β．∵AE∥A'C'∴∠AED＝∠A'C'D＝90°+β．∴∠4＝180°﹣∠AED＝180°﹣（90°+β）＝90°﹣β．∴∠3＝∠4．∴AE＝AC．∴AE＝A'C'．在△ADE和△A'DC'中，，∴△ADE≌△A'DC'（AAS），∴AD＝A'D．②如图1中，当α＝60°时，BD的值最大，最大值为．当α＝120°时，BD的值最小，最小值BD＝AB•sin30°＝2×＝1，∴1≤BD≤．25．对于平面内的图形G1和图形G2，记平面内一点P到图形G1上各点的最短距离为d，点P到图形G2上各点的最短距离为d2，若d1＝d2，就称点P是图形G1和图形G2的一个“等距点”．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），B（0，2）．（1）在R（3，0），S（2，0），T（1，）三点中，点A和点B的等距点是S（2，0）；（2）已知直线y＝﹣2．①若点A和直线y＝﹣2的等距点在x轴上，则该等距点的坐标为（4，0）或（8，0）；②若直线y＝a上存在点A和直线y＝﹣2的等距点，求实数a的取值范围；（3）记直线AB为直线l1，直线l2：y＝﹣x，以原点O为圆心作半径为r的⊙O．若⊙O上有m个直线l1和直线l2的等距点，以及n个直线l1和y轴的等距点（m≠0，n≠0），当m≠n时，求r的取值范围．解：（1）∵点A（6，0），B（0，2），R（3，0），S（2，0），T（1，），∴AR＝3，BR＝，AS＝4，BS＝4，AT＝2，BT＝2，∴AS＝BS，∴点A和点B的等距点是S（2，0），故答案为：S（2，0）；（2）①设等距点的坐标为（x，0），∴2＝|x﹣6|，∴x＝4或8，∴等距点的坐标为（4，0）或（8，0），故答案为：（4，0）或（8，0）；②如图1，设直线y＝a上的点Q为点A相直线y＝﹣2的等距点，连接QA，过点Q作直线y＝﹣2的垂线，垂足为点C，∵点Q为点A和直线y＝﹣2的等距点，∴QA＝QC，∴QA2＝QC2∵点Q在直线y＝a上，∴可设点Q的坐标为Q（x，a）∴（x﹣6）2+a2＝[a﹣（﹣2）]2．整理得x2﹣12x+32﹣4a＝0，由题意得关于x的方程x2﹣12x+32﹣4a＝0有实数根．∴△＝（﹣12）2﹣4×1×（32﹣4a）＝16（a+1）≥0．解得a≥﹣1；（3）如图2，直线l1和直线l2的等距点在直线l3：上．直线l1和y轴的等距点在直线l4：或l5：上．由题意得或r≥3．。

2020~2021北京市昌平区九年级初三上学期期末数学试卷及答案

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2020-2021学年北京市海淀区九年级(上)期末数学试卷(附解析)

2020-2021学年北京市海淀区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k=()A. 2B. 3C. −6D. 62.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是()A. B.C. D.3.不透明袋子中有1个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，恰好是红球的概率为()A. 13B. 12C. 23D. 14.如图，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC.若AE=2，AC=4，AD=3，则AB为()A. 9B. 6C. 3D. 325.在下列方程中，有一个方程有两个实数根，且它们互为相反数，这个方程是()A. x−1=0B. x2+x=0C. x2−1=0D. x2+1=06.如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF的边长为1，则BC⏜的长为()A. 14πB. 13ππC. 23D. π7.已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则使得函数值y大于2的自变量x的取值可以是()A. −4B. −2C. 0D. 28.下列选项中，能够被半径为1的圆及其内部所覆盖的图形是()A. 长度为√5线段B. 斜边为3的直角三角形C. 面积为4的菱形D. 半径为√2，圆心角为90°的扇形二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.写出一个二次函数，使得它有最小值，这个二次函数的解析式可以是______ ．10.若点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，则a，b的大小关系是：a______xb(填“>”、“=”或“<”)．11.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，若腰AB与⊙O相切，则AC与⊙O的位置关系为______ (填“相交”、“相切”或“相离”)．12.若关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，则m的值为______．13.某城市启动“城市森林”绿化工程，林业部门要考察某种树苗在一定条件下的移植成活率.在同样条件下，对这种树苗进行大量移植，并统计成活情况，数据如下表所示：移植总数10270400750150035007000900014000成活数量8235369662133532036335807312628成活频率0.8000.8700.9230.8830.8900.9150.9050.8970.902估计树苗移植成活的概率是______ (结果保留小数点后一位)．14.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面AB=1.5m，同时量得BC= 2m，CD=12m，则旗杆高度DE=______ m.15.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=3，点D在AC上，且AD=2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则旋转角的度数为______ ，CE的长为______ ．与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).16.已知双曲线y=−3x(1)若x1+x2=0，则y1+y2=______ ；(2)若x1+x2>0时，y1+y2>0，则k______ 0，b______ 0(填“>”，“=”或“<”)．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：x2−4x+3=0．四、解答题（本大题共8小题，共47.0分）18.如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．(1)证明：△ABC∽△ACD；(2)若AB=4，AC=5，求BC和CD的长．19.如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼⋅考工记》记载：“…故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸…”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整．如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点.其推理依据是：______ ．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=______ cm；用含r的代数式表示OD，OD=______ cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=______ ，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．20.文具店购进了20盒“2B”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔.店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“HB”铅笔，具体数据见下表：(1)用等式写出m，n所满足的数量关系______ ；(2)从20盒铅笔中任意选取1盒：①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是______ 事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)；②若“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为1，求m和n的值．421.如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A(1,2)，B(4,2)，以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD.已知点(x>0)的图象上．B在反比例函数y=kx(1)求反比例函数的解析式，并画出图象；(2)判断点C是否在此函数图象上；(3)点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N.若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．22.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC边上，以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，且E是AB中点，连接OA．(1)求证：OA=OB；(2)连接AD，若AD=√7，求⊙O的半径．23.在平面直角坐标系xOy中，点P(m,y1)在二次函数y=x2+bx+c的图象上，点Q(m,y2)在一次函数y=−x+4的图象上．(1)若二次函数图象经过点(0,4)，(4,4)．①求二次函数的解析式与图象的顶点坐标；②判断m<0时，y1与y2的大小关系；(2)若只有当m≥1时，满足y1⋅y2≤0，求此时二次函数的解析式．24.已知∠MAN=45°，点B为射线AN上一定点，点C为射线AM上一动点(不与点A重合)，点D在线段BC的延长线上，且CD=CB，过点D作DE⊥AM于点E．(1)当点C运动到如图1的位置时，点E恰好与点C重合，此时AC与DE的数量关系是______ ；(2)当点C运动到如图2的位置时，依题意补全图形，并证明：2AC=AE+DE；(3)在点C运动的过程中，点E能否在射线AM的反向延长线上？若能，直接用等式表示线段AC，AE，DE之间的数量关系；若不能，请说明理由．25.如图1，对于△PMN的顶点P及其对边MN上的一点Q，给出如下定义：以P为圆心，PQ为半径的圆与直线MN的公共点都在线段MN上，则称点Q为△PMN关于点P的内联点．在平面直角坐标系xOy中：(1)如图2，已知点A(7,0)，点B在直线y=x+1上．①若点B(3,4)，点C(3,0)，则在点O，C，A中，点______ 是△AOB关于点B的内联点；②若△AOB关于点B的内联点存在，求点B纵坐标n的取值范围；(2)已知点D(2,0)，点E(4,2)，将点D绕原点O旋转得到点F.若△EOF关于点E的内联点存在，直接写出点F横坐标m的取值范围．答案和解析1.【答案】D的图象经过点(2,3)，【解析】解：∵反比例函数y=kx∴k=2×3=6．故选：D．直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．(k为常数，k≠0)的图本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．2.【答案】A【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：A．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3.【答案】A【解析】解：∵袋子中共有3个小球，其中红球有1个，∴摸出一个球是红球的概率是1，3故选：A．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=m．n4.【答案】B【解析】解：∵点D，E分别在边AB，AC的反向延长线上，且DE//BC，∴AEAC =ADAB，即24=3AB，解得AB=6，故选：B．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例，据此可得结论．本题主要考查了平行线分线段成比例的推论，平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．5.【答案】C【解析】解：A、x−1=0是一次方程，方程有一个实数根，故选项不合题意；B、∵一次项的系数为1，故选项不合题意；C、∵△=0−4×1×(−1)=4>0，且一次项系数为0，故此选项符合题意；D、∵△=0−4×1×1=−4<0，故此选项不合题意．故选：C．根据题意一次项系数为0且△>0．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=−ba ，x1⋅x2=ca.也考查了一元二次方程的根的判别式．6.【答案】B【解析】解：∵ABCDEF为正六边形，∴∠COB=360°×16=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=OC=BC=1，弧BC的长为60π×1180=13π.故选：B．连接OC、OB，求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可；本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是能够求得扇形的圆心角，难度不大．7.【答案】B【解析】解：∵抛物线的对称轴为x=−1.5，∴点(0,2)关于直线x=−1.5的对称点为(−3,2)，当−3<x<0时，y>2，即当函数值y>2时，自变量x的取值范围是−3<x<0．故选：B．利用抛物线的对称性确定抛物线与(0,2)的对称点，然后根据函数图象写出抛物线在直线y=2上方所对应的自变量的范围即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键．8.【答案】D【解析】解：半径为1的圆的直径为2，A、∵√5>2，∴长度为√5线段不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；B、∵3>2，∴斜边为3的直角三角形不能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；C、∵面积为4的菱形的长的对角线>2，∴面积为4的菱形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；D、∵半径为√2，圆心角为90°的扇形的弦为2，∴半径为√2，圆心角为90°的扇形能够被半径为1的圆及其内部所覆盖；故选：D．根据图形中最长的的线段与圆的直径相比较即可判断．本题考查了三角形的外接圆，菱形的性质，求得图形中最长的线段是解题的关键．9.【答案】y=x2【解析】解：∵二次函数有最小值，∴a>0，∴这个二次函数的解析式可以是y=x2，故答案为y=x2．根据二次函数有最小值，即可得出a>0，据此写出一个二次函数即可．本题主要考查了二次函数的性质，熟练运用性质是解此题的关键．此题是一道开放型的10.【答案】>【解析】解：∵反比例函数y=4中，k=4>0，x∴在每个象限内，y随x的增大而减小，∵点(1,a)，(2,b)都在反比例函数y=4的图象上，且2>1，x∴a>b，故答案为：>．直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．11.【答案】相切【解析】解：连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，∵O是等腰△ABC的底边BC的中点，∴AO平分∠BAC，∵OE⊥AB，OF⊥AC，∴OE=OF，∵腰AB与⊙O相切，∴OE为⊙O的半径，∴OF为⊙O的半径，而OF⊥AC，∴AC与⊙O相切．故答案为相切．连接OA，过O点作OE⊥AB，OF⊥AC，如图，根据等腰三角形的性质得到AO平分∠BAC，则利用角平分线的性质得OE=OF，接着根据切线的性质可判断OE为⊙O的半径，然后根据切线的判定定理可判断AC与⊙O相切．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质和切线的判定．12.【答案】2【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的一个根为1，∴x=1满足一元二次方程x2−3x+m=0，∴1−3+m=0，解得，m=2．故答案是：2．根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于m的方程，然后解方程即可．此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．13.【答案】0.9【解析】解：由表格中的数据可以估计树苗移植成活的概率是0.9，故答案为：0.9．根据表格中的数据和概率的含义，可以估计树苗移植成活的概率．本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，写出相应概率．14.【答案】9【解析】解：∵AB⊥BD，DE⊥BD，∴∠ABC=∠EDC=90°，∵∠ACB=∠DCE，∴△ABC∽△EDC，∴ABDE =BCCD，∴1.5DE =212，∴DE=9(m)，故答案为：9．根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．15.【答案】45°√10【解析】解：如图，连接CE，∵∠ABC=90°，AB=BC，∴∠BAC=45°，∵将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，∴旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，∴BE=1，∴CE=√BE2+CB2=√1+9=√10，故答案为：45°，√10．由旋转的性质可得旋转角为∠BAC=45°，AD=AE=2，由勾股定理可求解．本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．16.【答案】0 <>【解析】解：(1)∵双曲线y=−3x与直线y=kx+b交于点A(x1,y1)，B(x2,y2).∴y1=−3x1，y2=−3x2，∵x1+x2=0，∴x2=−x1，∴y2=−3x2=−3−x1=−y1，∴y1+y2=0，故答案为0；(2)∵双曲线y=−3x在二、四象限，∴设A(x1,y1)在第二象限，B(x2,y2)在第四象限．则x1<0，y1>0，x2>0，y2<0，∵x1+x2>0，y1+y2>0，∴|x2|>|x1|，|y1|>|y2|，如图，∴直线y=kx+b经过一、二、四象限，故答案为<，>．(1)根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论；(2)根据题意画出图象，根据图象即可得出结论．本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．17.【答案】解：x2−4x+3=0(x−1)(x−3)=0x−1=0，x−3=0x1=1，x2=3．【解析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．属于基础题．利用因式分解法解出方程．18.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，又∵∠B=∠ACD=90°，∴△ABC∽△ACD；(2)解：∵∠B=90°，AB=4，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−42=3，由(1)得：△ABC∽△ACD，∴BCCD =ABAC，即3CD =45，解得：CD=154．【解析】(1)由角平分线定义得∠BAC=∠CAD，再由∠B=∠ACD=90°，即可得出结论；(2)先由勾股定理求出BC=3，再由相似三角形的性质求出CD即可．本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键．19.【答案】垂直弦的直径平分弦45 (r−15)452+(r−15)2【解析】解：如图2所示，在车轮上取A、B两点，设AB⏜所在圆的圆心为O，半径为r cm．作弦AB的垂线OC，D为垂足，则D是AB的中点．其推理依据是：垂直弦的直径平分弦．经测量：AB=90cm，CD=15cm，则AD=45cm；用含r的代数式表示OD，OD=(r−15)cm．在Rt△OAD中，由勾股定理可列出关于r的方程：r2=452+(r−15)2，解得r=75．通过单位换算，得到车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为兵车之轮．故答案为：垂直弦的直径平分弦，45，(r−15)，452+(r−15)2．根据垂径定理，利用勾股定理构建方程求解即可．本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】m+n=14随机【解析】解：(1)观察表格发现：6+m+n=20，∴用等式写出m，n所满足的数量关系为m+n=14，故答案为：m+n=14；(2)①“盒中没有混入‘HB’铅笔”是随机事件，故答案为：随机；②∵“盒中混入1支‘HB’铅笔”的概率为14，∴m20=14，∴m=5，n=9．(1)根据表格确定m，n满足的数量关系即可；(2)①根据事件的性质进行解答即可；②利用概率公式列式计算即可．此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．21.【答案】解：(1)将点B(4,2)代入反比例函数y=k中，得k=2，∴反比例函数的解析式为y=8，x图象如图1所示，(2)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A(1,2)，∴C(1×2,2×2)，即C(2,4)，，由(1)知，反比例函数解析式为y=8x=4，当x=2时，y=82∴点C在反比例函数图象上；(3)∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B(4,2)，∴D(4×2,2×2)，即D(8,4)，由(2)知，C(2,4)，∴直线CD的解析式为y=4，)，∵点M的横坐标为m，则M(m,4)，N(m,8m|，∴MN=|4−8m∴AB=3，∵MN≥AB，|≥3，∴|4−8m∴m≥8或m≤8，7或m≥8．即0<m≤87【解析】(1)将点B代入反比例函数解析式中，解方程求解，即可得出结论；(2)先求出点C的坐标，再判断，即可得出结论；(3)先表示出点M，N的坐标，进而利用MN≥AB，建立不等式，解不等式，即可得出结论．此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解绝对值不等式，掌握解绝对值不等式的方法是解本题的关键．22.【答案】(1)证明：连接OE，如图，∵以CD为直径的⊙O与直线AB相切于点E，∴OE⊥AB，∵E是AB中点，∴OE垂直平分AB，∴OA=OB；(2)解：设⊙O的半径为r，∵OE⊥AB，OC⊥AC，OE=OC，∴AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∵OA=OB，∴∠B=∠OAB，∴∠OAC=∠B=∠OAB=30°，在Rt△OAC中，AC=√3OC=√3r，在Rt△ACD中，(√3r)2+(2r)2=(√7)2，解得r=1，即⊙O的半径为1．【解析】(1)连接OE，如图，根据切线的性质得OE⊥AB，则可判断OE垂直平分AB，(2)设⊙O 的半径为r ，先证明AO 平分∠BAC ，再证明∠OAC =∠B =∠OAB =30°，所以AC =√3OC =√3r ，利用勾股定理得到(√3r)2+(2r)2=(√7)2，然后解方程即可．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了角平分线的性质． 23.【答案】解：(1)①∵二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(0,4)，(4,4)， ∴{c =416+4b +c =4，解得{b =−4c =4， ∴二次函数的解析式为y =x 2−4x +4，∵y =x 2−4x +4=(x −2)2，∴图象的顶点坐标为(2,0)；②画出函数的图像如图：由图像可知，m <0时，y 1>y 2；(2)由题意可知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，把(1,0)和点(4,0)代入得{1+b +c =016+4b +c =0，解得{b =−5c =4， ∴此时二次函数的解析式为y =x 2−5x +4．【解析】(1)①待定系数法即可求得解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；②画出二次函数和一次函数y =−x +4的图像，根据图像即可得到结论；(2)由题意可知，只有二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点(1,0)和点(4,0)，才能满足m ≥1时，y 1⋅y 2≤0，然后根据待定系数法求得即可．本题考查了二次函数的图像预下载，待定系数法求二次函数的解析式，明确题意是解题24.【答案】AC=DE【解析】(1)解：∵CD=CB，DE⊥AM，∴△ABD是等腰三角形，∴AB=AD，在△ABC和△ADC中，{AB=AD CB=CD AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠CAD=∠BAC=45°，∴∠BAD=45°+45°=90°，∴AC=CD=CB，∵点E恰好与点C重合，∴AC=DE，故答案为：AC=DE；(2)证明：过点B作BF⊥AM于F，如图2所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴AE+DE=AF+CF+CE+DE=AC+ CF+AF=AC+AC=2AC，∴2AC=AE+DE；(3)解：能，2AC+AE=DE；理由如下：过点B作BF⊥AM于F，如图3所示：则∠BFC=∠DEC=90°，在△BFC和△DEC中，{∠BFC=∠DEC ∠BCF=∠DCE CB=CD，∴△BFC≌△DEC(AAS)，∴BF=DE，CF=CE，∵∠MAN=45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴BF=AF，∴AF=DE，∴2AC+AE=AC+CE=AC+CF=AF=DE．(1)易证△ABD是等腰三角形，得AB=AD，由SSS证得△ABC≌△ADC，得出∠CAD=∠BAC=45°，则∠BAD=90°，由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案；(2)依题意即可补全图形，过点B作BF⊥AM于F，则∠BFC=∠DEC=90°，由AAS证得△BFC≌△DEC，得出BF=DE，CF=CE，易证△ABF是等腰直角三角形，再BF=AF，推出AF=DE，即可得出结论；(3)过点B作BF⊥AM于F，同(2)△BFC≌△DEC(AAS)，得出BF=DE，CF=CE，证得AF=DE，即可得出结果．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．25.【答案】O，C【解析】解：(1)①如图1中，根据点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，观察图像可知，点O，点C是是△AOB关于点B的内联点．故答案为：O，C．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B 的内联点，观察图像可知，满足条件的N的值为1≤n≤8．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N．∵E(4,2)，∴OH =4，EH =2，∴OE =√OH 2+EH 2=2√5，当OF ⊥OE 时，点O 是△OEF 关于点E 的内联点， ∵∠EOF =∠NOH =90°，∴∠FON =∠EOH ，∵∠FNO =∠OHE =90°，∴△FNO∽△EHO ，∴OF OE =FN EH =ON OE ， ∴22√5=FN 2=ON 4，∴FN =2√55，ON =4√55， ∴F(−2√55,4√55)，观察图像可知当−2√55≤m ≤0时，满足条件．作点F 关于点O 的对称点F′(2√55,−4√55)，当OF″⊥EF″时，设OH 交F″E 于P ，∵∠EF″O =∠EHO =90°，OE =EO ，EH =OF″，∴Rt △OHE≌△EF″O(HL)，∴∠EOH =∠OEF″，∴PE =OP ，s3PE =OP =t ，在Rt △PEH 中，则有t 2=22+(4−t)2，解得t =52，∴OP =52，PH =PF″=32，可得F″(85,−65)，观察图像可知，当2√55≤m≤85．综上所述，满足条件的m的值为−2√55≤m≤0或2√55≤m≤85．(1)①分别以B为圆心，BO，BC BA为半径作圆，观察图像根据线段OA与圆的交点的位置，可得结论．②如图2中，当点B(0,1)时，此时以OB为半径的圆与线段OA有唯一的公共点，此时点O是△AOB关于点B的内联点，当点B(7,8)时，以AB为半径的圆，与线段OA有公共点，此时点A是△AOB关于点B的内联点，利用图像法即可解决问题．(2)如图3中，过点E作EH⊥x轴于H，根点F作FN⊥y轴于N.利用相似三角形的性质求出点F的坐标，再根据对称性求出F′的坐标，当OF″⊥EF″时，设OH交F″E于P，想办法求出F″的坐标，结合图像法可得结论．本题属于圆综合题，考查了点Q为△PMN关于点P的内联点的定义，一次函数的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷及解析

2020-2021学年北京市朝阳区初三数学第一学期期末试卷一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1．（3分）下列自然能源图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．2．（3分）用配方法解方程23620x x -+=，将方程变为21()3x m -=的形式，则m 的值为( )A ．9B ．9-C ．1D ．1-3．（3分）正方体的棱长为x ，表面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式为( ) A ．16y x =B ．6y x =C ．26y x =D ．6y x=4．（3分）若O 的内接正n 边形的边长与O 的半径相等，则n 的值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．75．（3分）下列方程中，无实数根的方程是( ) A ．230x x +=B ．2210x x +-=C ．2210x x ++=D ．230x x -+=6．（3分）如图，一个可以自由转动的转盘被分为8个大小相同的扇形，颜色标注为红，黄，绿，指针的位置固定，转动转盘停后，其中某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则下列说法正确的是( )A ．指针指向黄色的概率为23B ．指针不指向红色的概率为34C ．指针指向红色或绿色的概率为12D ．指针指向绿色的概率大于指向黄色的概率 7．（3分）如图，在半径为1的扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，点P 是AB 上任意一点（不与点A ，B 重合），OC AP ⊥，OD BP ⊥，垂足分别为C ，D ，则CD 的长为( )A ．12B ．22C ．32D ．18．（3分）如图，平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与直线y kx =交于M ，N 两点，则二次函数2()y ax b k x c =+-+的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．（3分）如图，利用垂直于地面的墙面和刻度尺，可以度量出圆的半径为 cm ．10．（3分）如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若APB α∠=，则BPC ∠的度数为（用含α的式子表示）．11．（3分）一元二次方程2310x x -+=的根为．12．（3分）下列事件：①通常加热到100C ︒，水沸腾；②人们外出旅游时，使用手机app 购买景点门票；③在平面上，任意画一个三角形，其内角和小于180︒．其中是随机事件的是（只填写序号即可）． 13．（3分）在同一个平面直角坐标系xOy 中，二次函数211y a x =，222y a x =，233y a x =的图象如图所示，则1a ，2a ，3a 的大小关系为．14．（3分）为响应国家号召打赢脱贫攻坚战，小明利用信息技术开了一家网络商店，将家乡的土特产销往全国，今年6月份盈利24000元，8月份盈利34560元，求6月份到8月份盈利的月平均增长率．设6月份到8月份盈利的月平均增长率为x ，根据题意，可列方程为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边ABC ∆的顶点A 在y 轴的正半轴上，(5,0)B -，(5,0)C ，点(11,0)D ，将ACD ∆绕点A 顺时针旋转60︒得到ABE ∆，则BC 的长度为，线段AE 的长为，图中阴影部分面积为．16．（3分）不透明的盒子中装有红、黄色的小球共20个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果．下面有四个推断：①当摸球次数是300时，记录“摸到红球”的次数是99，所以“摸到红球”的概率是0.33；②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在0.35附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是0.35；③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球7个；④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为500时，“摸到红球”的频率一定是0.40．所有合理推断的序号是．三、解答题（本题共31分，第17-20题，每小题5分，第21题6分，第22题5分） 17．（5分）关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m +-++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，写出一个符合条件的m 的值并求出此时方程的根．18．（5分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了ABC ∆和点(D A ，B ，C ，D 是网格线交点）．（1）画出一个DEF ∆，使它与ABC ∆全等，且点D 与点A 是对应点，点E 与点B 是对应点，点F 与点C 是对应点（要求：DEF ∆是由ABC ∆经历平移、旋转得到的，两种图形变化至少各一次）．（2）在（1）的条件下，在网格中建立平面直角坐标系，写出点C 和点F 的坐标．19．（5分）已知：如图，ABC ∆中，90C ∠=︒．求作：CPB A ∠=∠，使得顶点P 在AB 的垂直平分线上．作法：①作AB 的垂直平分线l ，交AB 于点O ；②以O 为圆心，OA 为半径画圆，O 与直线l 的一个交点为P （点P 与点C 在AB 的两侧）； ③连接BP ，CP ，CPB ∠就是所求作的角．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接OC ， l 为AB 的垂直平分线， OA ∴= ． 90ACB ∠=︒， OA OB OC ∴==．∴点A ，B ，C 都在O 上．又点P 在O 上，(CPB A ∴∠=∠ )（填推理依据）． 20．（5分）12月4日是全国法制宣传日．下面是某校九年级四个班的学生（各班人数相同）在一次“宪法知识竞答”活动中的成绩的频数分布表：成绩x 人数班级 7075x < 7580x < 8085x < 8590x < 9095x < 95100x一班 2 0 3 7 8 0 二班 0 1 5 7 7 0 三班 01 4 7 7 1 四班m3752（1）频数分布表中，m = ；（2）从7075x <中，随机抽取2名学生，那么所抽取的学生中，至少有1人是一班学生的概率是多少？ 21．（6分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，D 是BC 的中点，过点D 作AC 的垂线，交AC 的延长线于点E ，连接AD ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）连接CD ，若30CDA ∠=︒，2AC =，求CE 的长．22．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =+-与直线1y x =--交于点(1,0)A -，(,3)B m -，点P 是线段AB 上的动点．（1）①m = ； ②求抛物线的解析式．（2）过点P 作直线l 垂直于x 轴，交抛物线23y ax bx =+-于点Q ，求线段PQ 的长最大时，点P 的坐标．四、解答题（本题共21分，每小题7分）23．（7分）在等腰直角ABC ∆中，AB AC =，90A ∠=︒，过点B 作BC 的垂线l ．点P 为直线AB 上的一个动点（不与点A ，B 重合），将射线PC 绕点P 顺时针旋转90︒交直线l 于点D ．（1）如图1，点P 在线段AB 上，依题意补全图形． ①求证：BDP PCB ∠=∠；②用等式表示线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系，并证明．（2）点P 在线段AB 的延长线上，直接写出线段BC ，BD ，BP 之间的数量关系．24．（7分）已知抛物线22234y ax ax a =++-．（1）该抛物线的对称轴为；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求抛物线的解析式；（3）设点1(,)M m y ，2(2,)N y 在该抛物线上，若12y y >，求m 的取值范围．25．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为2，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB，使线段AB的一个端点落在O上，其他部分不在O外，点A，B的对应点分别为点A'，B'，线段AA'长度的最大值称为线段AB到O的“极大距离”，记为(,)d AB O．（1）若点(4,0)A-．①当点B为(3,0)-，如图所示，平移线段AB，在点1(2,0)P-，2(1,0)P-，3(1,0)P，4(2,0)P中，连接点A 与点的线段的长度就是(,)d AB O；②当点B为(4,1)-，求线段AB到O的“极大距离”所对应的点A'的坐标．（2）若点(4,4)A-，(,)d AB O的取值范围是．参考答案与试题解析一.选择题（本题共24分每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷(含答案解析)

2020-2021学年北京市西城区九年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.关于函数y=x2，下列说法不正确的是()A. 当x<0时，y随x增大而减小B. 当x≠0时，函数值总是正的C. 当x>0时，y随x增大而增大D. 函数图象有最高点2.120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是()A. 3B. 4C. 9D. 183.已知：二次函数y=x2−4x−a，下列说法中错误的个数是()①若图象与x轴有交点，则a≤4②若该抛物线的顶点在直线y=2x上，则a的值为−8③当a=3时，不等式x2−4x+a>0的解集是1<x<3④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1,−2)，则a=−1⑤若抛物线与x轴有两个交点，横坐标分别为x1、x2，则当x取x1+x2时的函数值与x取0时的函数值相等．A. 1B. 2C. 3D. 44.在平面直角坐标系中，点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为()A. (2m,2n)B. (2m,2n)或(−2m,−2n)C. (12m,12n) D. (12m,12n)或(−12m,−12n)5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E在劣弧AD上，则∠BEC等于()A. 45°B. 60°C. 30°D. 55°6.下列函数中，y随x的增大而减小的是()A. y=x+1B. y=2x2(x>0)C. y=−x2(x<0)D. y=−x2(x>0)7.某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是()A. 580(1+x)2=1185B. 1185(1−x)2=580C. 580(1−x)2=1185D. 1185(1+x)2=5808.抛物线y=x2−2x−8的最小值为()A. −8B. 7C. −7D. −9二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是______．10.如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过坐标原点，且与x轴、y轴分别相交于点A(−8,0)，B(0,−6)两点.若抛物线对称轴过点M，顶点C在圆上，开口向下，且经过点B，交x轴于点D、E两点，P在抛物线上，S△ABC，则满足条件的P点有______ 个.若S△PDE=1511.如图，线段AB=BC=CD=DE=1厘米，那么图中所有线段的长度之和等于____________厘米．12.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，a≠0)的图象如图所示，下面四个结论，①abc<0；②a+c<b；③2a+b=1；④a+b≥m(am+b)，其中全部正确的是()13.如图，小正方形边长为2，连接小正方形的三个顶点可得△ABC，则AC边上的高为______ ．14.如图，⊙O与平行四边形的两边CD、BC分别相切于点E、F，与∠ADC的角平分线DG相切于点H，若DH=3，∠A=60°，则阴影部分面积是______．15.已知一个三角形的周长和面积分别是84、210，一个单位圆在它的内部沿着三边匀速无摩擦地滚动一周后回到原来的位置(如图)，则这个三角形的内部以及边界没有被单位圆滚过的部分的面积是______ (结果保留准确值)．16.如图，AB为⊙O的直径，AD//OC，∠AOD=84°，则∠BOC=______ ．三、解答题（本大题共9小题，共52.0分）17.计算：(π−2019)0−|−22|+tan45°18.解方程：3x(x+1)=2x+2．19.如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线CD交AB的延长线于点D，点E在直径AB上，且DE=DC，连接CE并延长交⊙O于点F，连接AF，BF，试判断AF与BF的数量关系，并说明理由．20.抛物线y=ax2+bx经过点A(4,0)，B(2,2)，连结OB，AB．(1)求a、b的值；(2)求证：△OAB是等腰直角三角形；(3)将△OAB绕点O按顺时针方向旋转l35°得到△OA′B′，写出A′B′的中点P的出标．试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由．21.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：BC是⊙D的切线；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB=2√3，求图中阴影部分的面积；(3)假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM<90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD=3：4时，求动点M经过的弧长．22.如图，已知矩形ABCD的边AB=4，BC=3，在直线BC上取点E(在点B左侧)，使得BE=AB，点P是边AB上的一点，点Q是直线BC上位于点E右侧的一点，且有EQ=2AP，连接PQ，以Q为中心将PQ顺时针旋转90°得到QF，连接PF，设AP=m．(1)当m=1时，求点F到直线BC的距离；(2)当点Q在线段BE上，且线段PF被直线BC分成1：2的两部分时，求m的值；(3)如图2，连接BD，在点P的移动过程中．①当点F恰好落在△BCD的角平分线所在的直线上时，求所有满足要求的m值；②当△PQF与△ABD的重叠部分的图形为锐角三角形时，则m的取值范围为______.(直接写出答案)23.若点P(x,y)的坐标满足方程组(1)求点P的坐标(用含m，n的式子表示)；(2)若点P在第四象限，且符合要求的整数m只有两个，求n的取值范围；(3)若点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，求m，n的值(直接写出结果即可)．24.如图在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数．25.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，点D是BC⏜上任一点，连接BD，CD．(1)设∠BAC=α，用含α的式子表示∠ADB；(2)若∠BAC=60°，求证：AD=BD+CD；(3)当BC经过圆心O时，BC=10，BD=6，求AD的长．参考答案及解析1.答案：D解析：解：由题意得，图象开口向上，对称轴为y轴，∴当x<0时，y随x增大而减小，A选项说法正确，当x>0时，y随x增大而增大，C选项说法正确，当x=0时，函数取最小值为0，∴B选项正确，∵二次项的系数大于0，∴函数图象有最低点，∴D选项错误，故选：D．根据二次项的系数确定开口方向，再根据对称轴确定增减性．本题主要考查二次函数的图象的性质，要牢记解析式中的系数和图象性质的关系．2.答案：C解析：，将n及l的值代入即可得出半径r的值．根据弧长的计算公式l=nπr180此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．解：根据弧长的公式l=nπr180得到：6π=120πr180解得r=9．故选C．3.答案：B解析：①和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；②求出二次函数定点的表达式，代入直线解析式即可求出a的值；③将a=3代入不等式，即可求其解集；④将解析式化为顶点式，利用解析式平移的规律解答；⑤利用根与系数的关系将x1+x2的值代入解析式进行计算即可．解：①当△=b2−4ac=16+4a≥0，即a≥−4时，二次函数和x轴有交点，故①错误；②∵二次函数y=x2−4x−a的顶点坐标为(2,−a−4)，代入y=2x得，−a−4=2×2，a=−8，故②正确；③当a=3时，y=x2−4x+3，图象与x轴交点坐标为：(1,0)，(3,0)，故不等式x2−4x+a>0的解集是：x<1或x>3，故③错误；④将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后解析式为：y=(x+1)2+a−3，∵图象过点(1,−2)，∴将此点代入得：−2=(1+1)2+a−3，解得：a=−3.故④正确；⑤由根与系数的关系，x1+x2=4，当x=4时，y=16−16+a=a，当x=0时，y=a，故⑤正确．故选B．4.答案：B解析：本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．根据位似变换的性质计算即可．解：点P(m,n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(m×2,n×2)或(m×(−2),n×(−2))，即(2m,2n)或(−2m,−2n)．故选B．5.答案：A解析：解：∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BEC等于90°÷2=45°．故选A．由此图可知，正方形正好把圆周长平分为四等分，即把圆心角平分为四等份，所以∠BEC等于90°÷2=45°．此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6.答案：D解析：解：A.在y=x+1中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B.在y=2x2，x>0时，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意；C.在y=−x2，x<0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；D.在y=−x2，x>0时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．本题考查一次函数的性质、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次例函数和二次函数的性质解答．7.答案：B解析：解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，1185(1−x)2=580．故选：B．设出平均每次下调的百分率为x，利用原价×(1−每次下调的百分率)2=实际售价列方程解答即可．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，基本数量关系：原价×(1−每次下调的百分率)2=实际售价．8.答案：D解析：把二次函数配方，把一般形式的二次函数转化成顶点式，考查学生的运算能力，二次方程中的配方。

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试卷及参考答案

2020—2021年北师大版九年级数学上册期末考试卷及参考答案班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．下列运算正确的是（）A ．224a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．3412()a a =D ．22()ab ab =2．关于x 的一元二次方程2(1)210k x x +-+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．0k ≥B ．0k ≤C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤且1k ≠-3．关于x 的一元一次不等式≤﹣2的解集为x ≥4，则m 的值为（）A ．14B ．7C ．﹣2D ．24．下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．4237x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．2311546a b b c -=⎧⎨-=⎩C ．292x y x ⎧=⎨=⎩D ．284x y x y +=⎧⎨-=⎩5．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2）6．把函数2(1)2y x =-+的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A ．22y x =+B ．2(1)1y x =-+C ．2(2)2y x =-+D ．2(1)3y x =--7．如图，▱ABCD 的周长为36，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 是CD 的中点，BD=12，则△DOE 的周长为（）A ．15B ．18C ．21D ．248．如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆∆≌的是（）A ．CB CD = B ．BAC DAC ∠=∠C ．BCA DCA ∠=∠D ．90B D ∠=∠=︒9．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，AB=10，S △ABD =15，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．610．在同一坐标系中，一次函数2y mx n =-+与二次函数2y x m =+的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1368______________．2．分解因式：2x 3﹣6x 2+4x =__________．3．函数32y x x =-+x 的取值范围是__________．4．如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是_______（结果用含a 、b 代数式表示）.5．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥AB ，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B 的大小是__________．6．如图，在菱形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，已知BO=4，S 菱形ABCD =24，则AH =__________．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解分式方程（1）232x x =+ （2）21124x x x -=--2．先化简，再求值：2443(1)11m m m m m -+÷----，其中22m =.3．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA=EC ．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如果BE=BC，且∠CBE：∠BCE=2：3，求证：四边形ABCD是正方形．4．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣12x与反比例函数y＝kx的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；（1）求反比例函数的表达式；（2）根据图象直接写出﹣12x＞kx的解集；（3）将直线l1：y＝﹣12x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝kx在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．5．“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．根据图中信息回答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有______人，条形统计图中m的值为______；（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为______；（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为______人；（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．6．某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为20000，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到24200个．（1）求口罩日产量的月平均增长率；（2）按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、C2、D3、D4、A5、D6、C7、A8、C9、A10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）12、2x （x ﹣1）（x ﹣2）．3、23x -<≤4、a+8b5、40°6、245三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）4x =；（2）32x =-2、22m m-+ 1． 3、（1）略；（2）略. 4、（1）y= 8x ；（2）y=﹣12x+152； 5、（1）60，10；（2）96°；（3）1020；（4）23 6、（1）10%；（2）26620个。

2020-2021年北京市大兴区初三数学上学期期末试卷(含答案)

大兴区2020-2021学年度第一学期期末检测试卷初三数学2021.1一、选择题（本题共24分，每小题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,AB =5，BC =4，则sin A 的值为 A ．35B ．34C ．45D ．542．若52x y =，则x yy +的值是 A ．72B ．2C ．32D ．13.如图，直线l 1‖l 2‖l 3，直线l 4,l 5被直线l 1，l 2，l 3所截，截得的线段分别为AB ，BC ，DE ，EF .若AB=4，BC=6，DE=3，则EF 的长是A ．4B ．4.5C ．5D ．5.54.将抛物线22x y -=先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是 A.()22+1+3y x =- B.()22-13y x -=- C.()22+1-3y x =-D. ()22-1+3y x =-5.如图，点A 是函数6y x=（x >0）图象上的一点，过点A 分别向x 轴,y 轴作垂线，垂足为B ,C ，则四边形ABOC 的面积是A ．3B ．6C ．12D ．24 6.如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ．若30A ∠=︒，AC =2，则CD 的长是A ．4B ．C ．2D 7.抛物线2y ax bx c =++经过点（1，0），且对称轴为直线1x =-，其部分图象如图所示.下列说法正确的是A. 0ac >B. 240b ac -<C. 930a b c -+>D. 2am bm a b +<-(其中1m ≠-)8.如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是⊙O 上一个动点（点P 不与点A ，B 重合），在点P 运动的过程中，有如下四个结论:①至少存在一点P ，使得P A >AB ； ② 若2PB PA =，则PB=2P A ； ③∠P AB 不是直角； ④∠POB=2∠OP A . 上述结论中，所有．．正确结论的序号是 A ．①③ B ．③④ C. ②③④ D ．①②④ 二、填空题(本题共24分，每小题3分) 9.已知反比例函数y =mx的图象分布在第二、第四象限，则m10.如图所示的网格是正方形网格，A ,B,C,D 是网格线的交点，则ABC ∠∠与的大小关系为: ABC ∠ BCD ∠ (填“＞”，“=”或“＜”). 11.抛物线()2324y x =---的顶点坐标是.12.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，BD 是AC tan ∠ADB 的值是.13.若扇形的圆心角为120°，半径为2，则该扇形的面积是(结果保留π)．14.请你写出一个函数，使得当自变量x>0时，函数y 随x 的增大而增大，这个函数的解析式可以是.15.如图，在△ABC 中，AB >AC ,将△ABC 以点A 为中心顺时针旋转，得到△AED ，点D 在BC 上，DE 交AB 于点F ．如下结论中， ①DA 平分∠EDC ； ②△AEF ∽△DBF ； ③∠BDF =∠CAD ； ④EF=BD.所有．．正确结论的序号是__________. 16．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>经过A (2，0)，B (4，0)两点.若P (5，y 1),Q (m ，y 2)是抛物线上的两点，且y 1 > y 2，则m 的取值范围是__________.三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：()02sin451tan60π2︒+-︒+-.18.已知抛物线2+y x bx c =+经过点（1，-4），（0，-3）. （1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线与x 轴的交点坐标.19.下面是小青设计的“作一个30°角”的尺规作图过程.∴∠ACB= °.∵P 是优弧AB 上一点,∴∠APB=12ACB ∠（）（填写推理依据）．∴∠APB=30°.20.在数学活动课上，老师带领学生测量校园中一棵树的高度.如图，在树前的平地上选择一点C ，测得树的顶端A 的仰角为30º，在C ，B 间选择一点D （C ，D ，B 三点在同一直线上），测得树的顶端A 的仰角为75º，CD 间距离为20m ，求这棵树AB 的高度.（结果保留根号）．21.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l :1(0)y kx k =+≠与函数)0(>=x xmy 的图象G 交于点A （1，2），与x 轴交于点B . (1) 求k ,m 的值；(2)点P 为图象G 上一点，过点P 作x 轴的平行线PQ 交直线l 于点Q ，作直线P A 交x 轴于点C ，若S∆APQ :S ∆ACB =1:4,求点P 的坐标.22.如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以O 为圆心，OC 的长为半径的⊙O 与AC ，CD 分别交于点E ，F ，且∠DAF ＝∠BAC .(1)求证：直线AF 与⊙O 相切； (2)若tan ∠DAF ＝22，AB ＝4，求⊙O 的半径．23. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax bx a a =+++<（0）的对称轴为直线1x =. (1)用含有a 的代数式表示b ； (2)求抛物线顶点M 的坐标；(3)横、纵坐标都是整数的点叫整点.过点P (0,a )作x 轴的平行线交抛物线于A ，B 两点. 记抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 围成的区域（不含边界）为W . ① 当1a =-时，直接写出区域W 内整点的个数；② 若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，求a 的取值范围.24.在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°，D 是射线CA 上一点，连接BD ，以点B 为中心，将线段BD 顺时针旋转60°，得到线段BE ，连接AE.(1)如图1，当点D 在线段CA 上时，连接DE ，若DE ⊥AB ，则线段AE ，BE 的数量关系是；(2)当点D 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图形2. ①探究线段AE ，BE 的数量关系，并证明； ②直接写出线段CD ，AB ，AE 之间的数量关系.图1 图225. 在平面直角坐标系xOy 中，已知线段AB 和点P ，给出如下定义：若PA=PB 且点P 不在线段AB 上，则称点P 是线段AB 的等腰顶点.特别地，当∠APB ≥90°时，称点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点. (1)已知A (2，0)，B (4，2)①在点C (4，0) ，D (3，1) ，E (－1，5) ，F (0，5)中，是线段AB 的等腰顶点的是； ②若点P 在直线3(0)y kx k =+≠上，且点P 是线段AB 的非锐角等腰顶点，求k 的取值范围；(2)直线3y x =-与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N .⊙P 的圆心为P (0，t )，，若⊙P 上存在线段MN 的等腰顶点，请直接写出t 的取值范围.大兴区2020~2021学年度第一学期期末检测初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共24分，每小题3分）二、填空题（本题共24分，每小题3分） 9. 0m <； 10. =；11. （2，-4）；12. 2； 13.43π； 14. 答案不唯一，例如：y x =；15. ①②③；16. 1<m <5.三、解答题（本题共52分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23-25题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.解：)211.=原式··········································4分11-=+=···························································5分18.解：（1）∵抛物线2+y x bx c =+经过点（1，-4），（0，-3），∴1+43b c c +=-⎧⎨=-⎩.······················································2分解得-2-3b c =⎧⎨=⎩.∴2-2-3y x x =． ····················································3分（2）令y =0, ∴2-2-30x x =. 解得: 121,3x x =-=.∴ 抛物线与x 轴的交点坐标是（-1,0），（3,0）. ··················5分19. 解:（1）补全的图形如图所示：（2）60. ·········································································3分一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.······················5分20.解:作DE⊥AC，垂足为E，在Rt△CED中，sin C＝EDCD，∵∠C=30º,CD=20,∴DE＝10. ····················································∵cos C＝CECD，=.∴CE＝10 3 . ··················································2分∵∠ADB是△ACD的外角，∠ADB=75º,∠C=30º，∴∠CAD＝45°.∴在Rt△ADE中，tan∠EAD＝1EDAE=，∴AE＝10. ·······················································3分∴AC＝AE+CE＝10+10 3 . ········································4分∴在Rt△ABC中，sin∠C＝ABAC，∴AB＝5+5 3 .答:这棵树AB的高度是(5+5 3 )米. ··································5分21.解：（1）将点A （1，2）代入1(0)y kx k =+≠中得k =1.···················································1分将点A （1，2）代入()0my m x=>中得m =2.·············································2分（2）①当点P 在点A 下方时,过点A 作AG ⊥x 轴，交直线PQ 于点H ， ∵PQ 平行于x 轴， ∴∆APQ ∽∆ACB∴214PQ B A AC S AH S AG ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ 214PQ B A AC S AH S AG ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭214PQ B A AC S AH S AG ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭ ∴12AH AG =∵点A （1，2），∴点P 纵坐标为1.2m =，2y x∴=. ∴P 点坐标为（2，1）. ····································4分 ②当点P 在点A 上方时，过点A 作AG ⊥x 轴，交直线PQ 于点H. ∵PQ 平行于x 轴， ∴∆APQ ∽∆ACB.∴214PQB A AC S AH S AG ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭214PQ B A AC S AH S AG ∆∆⎛⎫== ⎪⎝⎭ ∴12AH AG = ∵点A （1，2），∴P 点纵坐标为3.代入2y x =得，23x =∴P 点坐标为233,⎛⎫⎪⎝⎭. ···································5分 ∴P 点坐标为（2，1）或（23x =，3）.2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛AC AP 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛AC AP22.(1)证明：连接OF . ∵OC =OF ， ∴∠OCF ＝∠OFC. ∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝∠D =∠DCB =90°. 又∵∠DAF ＝∠BAC ，∴∠AFD =∠ACB. ···········································1分 ∵∠ACB ＋∠ACD ＝90°， ∴∠AFD ＋∠OFC ＝90°. ∴∠AFO ＝90°. ∴OF ⊥AF 于F .∴直线AF 与⊙O 相切．·······································2分 (2)解： ∵tan ∠DAF ＝22，∠DAF ＝∠BAC ， ∴tan ∠BAC ＝22. ∵∠B =90°， ∴tan ∠BAC ＝AB BC＝22. ∵AB ＝4，∴BC ＝2 2.························································3分∴AC ==又∵四边形ABCD 是矩形， ∴BC =AD =2 2.又∵∠D ＝90°，tan ∠DAF ＝22， ∴DF ＝AD ·tan ∠DAF ＝22×22＝2. ·······················4分 ∴AF ＝2 3.设⊙O 的半径为r ，在Rt △AFO 中，∠AFO ＝90°. ∴OA 2＝OF 2＋AF 2.即(26－r )2＝r 2＋12. ········································5分解得r ＝26. ∴⊙O 的半径为26.········································6分 23.解：（1）∵12ba-=， ∴2b a =-.·····································1分（2）把b =-2a 代入y =ax 2+bx +a +1得：y =ax 2-2ax +a +1. 配方得：y =a （x -1）2+1.∴顶点M （1，1）. ································2分（3）①1个.············································3分② 由①得，1a =-时，区域W 内有1个整点. （Ⅰ）当抛物线过（-1，0）时，区域W 内恰有3个整点.将（-1，0）代入y =ax 2-2ax +a +1,得14a =-. ············································4分结合图象可得-1-14a <≤-.··························5分（Ⅱ）当抛物线过（0，-2）时，区域W 内恰有3个整点.将（0，-2）代入y =ax 2-2ax +a +1, 得3a =-.综上所述，a 的值范围是114a <≤--或3a =-.···············7分24.（1）AE = BE. ·························································1分（2）依题意补全图形：········································2分①AE = BE. ·························································3分如图，作EM ⊥AB 于M.∵∠DBC = ∠ABC + ∠ABD = 60°+ ∠ABD ，∠EBM = ∠EBD + ∠ABD = 60°+ ∠ABD ，∴∠DBC = ∠EBM.在△DBC 与△EBM 中，DBC EBM C EMBBD BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DBC ≌ △EBM.∴ BC = BM.在△ABC 中，∠C = 90°，∠BAC = 30°，∴12BC AB =. ∴12BM AB =. ∴EM 垂直平分AB.∴AE = BE.∴AE = BD.···································································5分 ② 22214CD AB AE +=.··················································7分25.解：（1）①C(4，0)，E(－1，5). ··················································2分②（Ⅰ）当点（4，0）在直线y=kx+3上时，4k+3=0，k=3 4 -.（Ⅱ）当点（3，1）在直线y=kx+3上时，3k+3=1，k=23-.（Ⅲ）当点（2，2）在直线y=kx+3上时，2k+3=2，k=1 2 -.（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）结合图象可得3142k-≤≤-且23k≠-. ························5分（2）t-≤······················································7分。

2020-2021学年北京密云区初三第一学期数学期末试卷及答案

2020-2021学年北京密云区初三第一学期数学期末试卷及答案一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的．1. 抛物线的顶点坐标是（） 2(2)1y x =+-A. （﹣2，1） B. （﹣2，﹣1） C. （2，1） D. （2，﹣1）【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数解析式的顶点式即可解答．【详解】解：抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣1）， 2(2)1y x =+-故选：B ．【点睛】本题考查了根据二次函数解析式的顶点式求顶点坐标，熟练掌握和运用求二次函数顶点坐标的方法是解决本题的关键．2. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线l 4被l 1，l 2，l 3所截得的两条线段分别为CD 、DE ，直线l 5被l 1，l 2，l 3所截得的两条线段分别为FG 、GH ．若CD ＝1，DE ＝2，FG ＝1.2，则GH 的长为（）A. 0.6B. 1.2C. 2.4D. 3.6【答案】C 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，代入数值即可求得的值 CDDE FG GHGH 【详解】∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴＝， CD DE FG GH∵CD＝1，DE ＝2，FG ＝1.2， ∴＝， 12 1.2GH∴GH＝2.4，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 3. 已知点是反比例函数图像上的两点，则（） 12(1,),(2,)P y Q y 3y x=A.B.C.D.120y y <<210y y <<120y y <<210y y <<【答案】D 【解析】【分析】直接利用反比例函数的性质求解即可．【详解】，3,30y k x==>Q ∴反比例函数位于第一、三象限，且在每个象限内都是y 随着x 的增大而减小，21> ，210y y ∴<<故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 4. 将的各边长都缩小为原来的，则锐角A 的正弦值（） Rt ABC 12A. 不变 B. 缩小为原来的C. 扩大为原来的2倍D. 缩小为12原来的14【答案】A 【解析】【分析】根据正弦的定义计算即可求解．【详解】设AC ＝b ，AB ＝c ，BC ＝a ， ∴ sin a A c=当各边长都缩小为原来的时，，，， 121112B C a =1112A C b =1112A B c =∴112sin 12aa A c c ==∴锐角A 的正弦值不变，故选：A ．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握正弦的定义．5. 如图，二次函数的图像经过点，，，则下列结2y ax bx c =++(1,0)A -(3,0)B (0,1)C -论错误的是（）A. 二次函数图像的对称轴是1x =B. 方程的两根是， 20ax bx c ++=11x =-23x =C. 当时，函数值y 随自变量x 的增大而减小 1x <D. 函数的最小值是 2y ax bx c =++2-【答案】D 【解析】【分析】A ：由点A 、B 的坐标得到二次函数图象的对称轴，即可求解；B ：由函数图象知，与x 轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），即可求解； 2y ax bx c =++C ：抛物线的对称轴为x=1，根据对称轴左侧函数的增减性，即可求解；D ：由点A 、B 、C 的坐标求出抛物线表达式，即可求解．【详解】解：A ：由点A 、B 的坐标知，二次函数图象的对称轴是x=（3-1）=1，故不符合题意；B ：由函数图象知，与x 轴交点坐标为（-1，0）、（3，0），故方程ax2＋bx 2y ax bx c =++＋c=0的两根是，，故不符合题意；11x =-23x =C ：抛物线的对称轴为x=1，从图象看，当x ＜1时，函数值y 随自变量x 的增大而减小，故不符合题意；D ：设抛物线的表达式为， ()()()()1213y a x x x x a x x =--=+-当x=0时，y=a （0＋1）（0-3）=-1，解得a=， 13故抛物线的表达式为y=（x ＋1）（x-3）， 13当x=1时，函数的最小值为，故符合题意； 2y ax bx c =++()()141113233+-=-≠-故选：D ．【点睛】本题考查的是抛物线与x 轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 6. 如图，AB 是的直径，C ，D 是上的两点，，则的度数为O O 20CDB ∠=︒ABC ∠（）A. B. C. D.20︒40︒70︒90︒【答案】C 【解析】【分析】首先根据AB 是直径得出，然后利用圆周角定理的推论得出90ACB ∠=︒，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．20CAB CDB ∠=∠=︒【详解】解：∵AB 是的直径， O ．90ACB ∴∠=︒∵和都是所对的圆周角， CAB ∠CDB ∠ BC， 20CAB CDB ∴∠=∠=︒，9070ABC CAB ∴∠=︒-∠=︒故选：C ．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论，掌握圆周角定理及其推论的内容是解题的关键．7. 如图，在平面直角坐标系中有两点A （-2，0）和B （-2，-1），以原点O 为位似中心xOy 作△COD，△COD 与△AOB 的相似比为2，其中点C 与点A 对应，点D 与点B 对应，且CD 在y 轴左侧，则点D 的坐标为（）A. B.C.D.(4,2)(4,2)--1(1,21(1,)2--【答案】B 【解析】【分析】直接利用位似图形的性质即可得出答案．【详解】∵B（-2，-1），以原点O 为位似中心作△COD，△COD 与△AOB 的相似比为2，点D 与点B 对应，且CD 在y 轴左侧，∴点D 的横坐标为，纵坐标为， ()224-⨯=-()122-⨯=-∴点D 的坐标为， ()4,2--故选：B ．【点睛】本题主要考查位似变换，掌握位似图形的性质是解题的关键．8. 如图，AB 是的直径，，P 是圆周上一动点（点P 与点A 、点B 不重合），O 4AB =，垂足为C ，点M 是PC 的中点．设AC 长为x ，AM 长为y ，则表示y 与x 之间函PC AB ⊥数关系的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】证明∠PAC＝∠BPC，则，进而求解．()24PC AC BC x x =⋅=-【详解】解：∵AB 是直径，则∠APB=90°，则∠BPC＋∠APC=90° 而∠APC＋∠PAC=90°， ∴∠PAC=∠BPC，则tan∠PAC=tan∠BPC， ∴，即， PC BC AC PC=()24PC AC BC x x =⋅=-∵点M 是PC 的中点，则， 2221144CM PC x x ==-则， 22222213(04)44y MC AC x x x x x x =+=-+=+<<∴（0<x<4）， y =可知y 与x 之间的函数图像不是一次函数，故排除C ，当x=1时，，故排除D ， 1y =>=当x=3时，，故排除A ， 3y =>=故选：B ．【点睛】本题考查动点问题的函数图像，确定函数的表达式是解题的关键．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9. 若扇形的圆心角为60°，半径为2，则该扇形的弧长是_____（结果保留） π【答案】23π【解析】【分析】已知扇形的圆心角为，半径为2，代入弧长公式计算． 60︒【详解】解：依题意，n=，r=2， 60︒∴扇形的弧长=． 6022==1801803n r πππ⨯︒︒故答案为：． 23π【点睛】本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长=． 180n rπ10. 已知中，D 是BC 上一点，添加一个条件使得，则添加的条件ABC ABC DAC △△可以是_________．【答案】（本题答案不唯一） B DAC ∠=∠【解析】【分析】由相似三角形的判定定理即可求解．【详解】添加：∠B＝∠DAC 在△ABC 和△DAC 中, ∵∠BAC＝∠C，∠B＝∠DAC ∴△ABC∽△DAC故答案为：∠B＝∠DAC（答案不唯一）【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 11. 已知点是反比例函数图像上的两点，其中，则1122(,),(,)P x y Q x y 2y x=120x x +=_________．12y y +=【答案】0 【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，把两个点的坐标分别代入解析式得出：，，然后利用即可求解． 112y x =222y x =()121212122+22x x y y x x x x +=+=【详解】∵点是反比例函数图像上的两点， 1122(,),(,)P x y Q x y 2y x=∴， 112y x =222y x =∵ 12+=0x x ∴()121212122+22=0x x y y x x x x +=+=故答案为：0【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的满足反比例函数解析式．12. 如图，中，E 是AD 中点，BE 与AC 交于点F ，则与的面积比为ABCD Y AEF △CBF V _________．【答案】14【解析】【分析】由平行四边形的性质可知AE∥BC，可证△AEF∽△CBF，相似比为，12EF AE BF BC ==由相似三角形的性质可求与的面积比． AEF △CBF V 【详解】解：∵平行四边形ABCD 中，AE∥BC， ∴△AEF∽△CBF， ∴， 12EF AE BF BC ==∴， 21()4AEF CBF S AE S BC == 故答案为：． 14【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得出相似三角形，利用相似比求相似三角形的面积．13. 二次函数的最小值是_________． 2=23y x x --【答案】 4-【解析】【分析】求开口向上的抛物线的最小值即求其顶点的纵坐标，再由二次函数的顶点式解答即可．【详解】∵二次函数y=x 2-2x-3可化为y=（x-1）2-4， ∴最小值是-4．【点睛】本题考查二次函数的最值问题，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．14. 如图，是上三点，，垂足为D ，已知，，则BC ,,A B C O BC OA ⊥3OA =1AD =长为_________．【答案】【解析】【分析】连接OB ，先由垂径定理得BD=CD ，再由勾股定理求出，即可得出答案．【详解】解：连接OB ，如图所示：∵BC⊥OA， ∴BD=CD， ∵OB=OA=3，AD=1， ∴OD=OA-AD=2，==故答案为：【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 15. 如图是某商场自动扶梯的示意图，自动扶梯AB 的倾斜角为30°，在自动扶梯下方地面C 处测得扶梯顶端B 的仰角为60°，A 、C 之间的距离为6m ，则自动扶梯的垂直高度BD=_________m ．（结果保留根号）．【答案】【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质得到BC ＝AC ＝6cm ，根据三角函数定义即可求解．【详解】解：∵∠BAC＋∠ABC＝∠BCD＝60°，又∠BAC＝30°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝AC ＝6cm ，在Rt△BCD 中，cm n 6si B B B CD D C ∠===⋅故答案为：【点睛】本题考查解直角三角形的应用-俯角仰角问题，坡度坡角问题、含30°角的直角三角形，解题的关键是掌握仰俯角的定义，求得BC ＝AC ＝6cm ．16. 《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为____步．【答案】2【解析】【分析】连接，可知四边形为正方形，设半径为，根据切线长定理列方OD OE 、ODCE r 程求解即可．【详解】解：连接，如下图：OD OE 、由题意可得：， 90C OED ODC ∠=∠=∠=︒BD BF CD CE AF AE ===，，，12AC =5BC =∴四边形为矩形， ODCE 13AB ==又∵OD OE =∴矩形为正方形ODCE 设半径为，则r CD OD CE r ===∴，12AF AE r ==-5BF BD r ==-∴12513r r -+-=解得2r =故答案为：2【点睛】此题考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．三、解答题（本题共52分，其中17-21每题5分，22题6分，23-25题每题7分）17.2sin 452cos 60|1++【答案】【解析】【分析】先进行二次根式化简、求三角函数值、绝对值化简，再计算．【详解】解：原式 12212=-+⨯11=-=【点睛】本题考查了包含二次根式、三角函数值、绝对值的实数运算，解题关键是准确的进行二次根式化简，知道特殊角三角函数值．18. 已知抛物线经过两点A （4，0），B （2，-4）．2y x bx c =++（1）求该抛物线的表达式；（2）在平面直角坐标系xOy 内画出抛物线的示意图；（3）若直线y=mx+n 经过A ，B 两点，结合图象直接写出不等式的解2x bx c mx n ++<+集．【答案】（1）；（2）见解析；（3）24y x x =-24x <<【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A 、B 坐标代入解析式即可求解；（2）根据二次函数解析式画出函数图象即可；（3）根据已求的图象即可求解．【详解】解：（1）∵抛物线经过两点2y x bx c =++(4,0),(2,4)-∴ 1640424b c b c ++=⎧⎨++=-⎩解得： 40b c =-⎧⎨=⎩∴该抛物线的表达式为；24y x x =-（2）画出函数图象，如图所示：（3）由图象可知：即抛物线图象在直线y=mx ＋n 图象的2x bx c mx n ++<+24y x x =-上方，即点A 、B 之间的部分符合题意，∴不等式的解集：．2x bx c mx n ++<+24x <<【点睛】本题考查待定系数法求解析式、二次函数的图象和性质，正确画出二次函数图象，利用数形结合的思想是解题的关键．19. 如图，AB⊥BC，EC⊥BC，点D 在BC 上，AB ＝1，BD ＝2，CD ＝3，CE ＝6．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）求∠ADE 的度数．【答案】（1）见解析（2）∠ADE＝90°【解析】【分析】（1）根据两边对应成比例夹角相等证明两三角形相似即可；（2）根据（1）的结论可得∠BAD＝∠EDC，进而求得∠ADB+∠EDC＝90°，进而求得ADE ∠的度数【小问1详解】证明：∵AB⊥BC，EC⊥BC，点D 在BC 上，∴∠ABD＝∠DCE＝90°．∵AB＝1，BD ＝2，CD ＝3，CE ＝6， ∴＝，＝． A B B D 12DC CE 12∴＝． A B B D DC CE ∴△ABD∽△DCE；【小问2详解】由（1）知，△ABD∽△DCE，则∠BAD＝∠EDC．∵∠BAD+∠ADB＝90°，∴∠ADB+∠EDC＝90°．∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠EDC＝90°．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．20. 如图，四边形ABCD 中，，，，90CBA CAD ∠=∠= 45BCA ∠= 60ACD ∠=AD 的长．BC =【答案】【解析】【分析】首先在中利用求出AC 的长度，然后在中再利用Rt ABC sin 45BC AC︒=Rt ACD即可求解． tan 60AD AC︒=【详解】解：∵，，， 90CBA ∠=︒45BCA ∠=︒BC =∴， 2AC ==∵，，90CAD ∠=︒60ACD ∠=︒∴， tan 60AD AC=︒=∴AD =【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．21. 已知双曲线与直线交于，． k y x=1l (1,2)A (2,)B m -（1）求k ，m 值；（2）将直线，平移得到：，且与双曲线围成的封闭区域内（不含边界）1l 2l y ax b =+12,l l 恰有3个整点（把横纵坐标均为整数的点称为整点）结合图象，直接写出b 的取值范围．【答案】（1），；（2）或2k =1m =-10b -≤<23b <≤【解析】【分析】（1）由A 点坐标可求出反比例函数解析式，从而求出B 点的坐标，即可得出结论；（2）作图并观察，若直线在直线的下方时，则有整点（1，1），（0，0），（-1，-1），若2l 1l 直线在直线的上方时，则有整点（-2，0），（-1，1），（0，2），据此解答即可．2l 1l 【详解】解：（1）∵点在双曲线上， (1,2)A k y x=∴， 21k =∴， 2k =∴双曲线的表达式为， k y x=2y x =∵点在双曲线上， (2,)B m -k y x =∴， 212m ==--∴，；2k =1m =-（2）如图所示，当直线在直线的下方时，，2l 1l 10b -≤<当直线在直线的上方时，，2l 1l 23b <≤∴b 的取值范围是：或．10b -≤<23b <≤【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，主要考查待定系数法求解析式，数形结合的思想是解题关键．22. 如图，AB 是的直径，C 、D 是圆上两点，CD=BD ，过点D 作AC 的垂线分别交AC ，AB O 延长线于点E ，F ．（1）求证：EF 是的切线；O （2）若AE-3，，求的半径． 4sin 5EAF ∠=O 【答案】（1）见解析；（2）158【解析】【分析】（1）连接OD ，AD ，由等腰三角形的性质得出∠CAD=∠DAB，∠ADO=∠DAB，由直角三角形的性质可得出EF⊥OD，则可得出结论；（2）设EF=4k ，AF=5k （k ＞0），则AE=3k ，求出k=1，证明△FOD∽△FAE，由相似三角形的性质得出，则可求出答案． FO OD FA AE=【详解】解：（1）证明：连接OD ，AD∵CD BD =∴CAD DAB ∠=∠∵OA OD =∴ADO DAB ∠=∠∴CAD ADO ∠=∠∵AE ED ⊥∴90AED ∠= ∴90EAD EDA ∠+∠= ∴90ADO EDA ∠+∠= ∴EF OD ⊥∴是的切线EF O （2）在中，Rt AEF ∆90AEF ∠= ∴ sin EF EAF AF ∠=∵ 4sin 5EAF ∠=∴设，（），解得4EF k =5AF k =0k >3AE k =∵3AE =∴1k =∴5AF =∵，EF OD ⊥EF AE ⊥∴//OD AE ∴FOD FAE ∆∆ ∴ FO OD FA AE=∴ 553r r -=解得： 158r =【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握切线的判定．23. 已知抛物线与y 轴交于点P ，将点P 向右平移4个单位得到点Q ，点23y ax bx a =++Q 也在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是直线；x =（2）用含的代数式表示b ；a （3）已知点，，抛物线与线段MN 恰有一个公共点，求的取值范(1,1)M (4,41)N a -a 围．【答案】（1）2；（2）；（3）或4b a =-a<001a <≤【解析】【分析】（1）先求得点P 的坐标，再根据平移的性质得到点Q 的坐标；由于点P 、点Q 的坐标关于对称轴对称，可以求得该抛物线的对称轴；（2）根据对称轴公式即可求得；（3）根据题意，可以画出相应的函数图象，然后利用分类讨论的方法即可得到a 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+3a 与y 轴交于点P ，∴P（0，3a ），∵将点P 向右平移4个单位得到点Q ，∴Q（4，3a ）；∵P 与Q 关于对称轴x=2对称，∴抛物线对称轴直线x=2，故答案为2；（2）∵抛物线的对称轴是直线2x =∴ 22b a-=∴；4b a =-（3）解：由（2）知，抛物线的表达式为243y ax ax a =-+令，解得：0y =121,3x x ==∴抛物线经过和(1,0)(3,0)设点，在抛物线上，则，，故此点M 在R 上方1(1,)R y 2(4,)S y 10y =23y a =①当时，若抛物线与线段恰有一个公共点，需满足点N 与点S 重合（如图1）或点N 在0a >点S 下方（如图2），即，解得：，即341a a ≥-1a ≤01a <≤②当时，，故此点N 在点S 下方，此时抛物线与线段恰有一个公共点（如a<0341a a >-图3）综上所述：的取值范围是：或a a<001a <≤【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合是解题的关键．24.如图，矩形ABCD 中，AD>AB ，DE 平分∠ADC 交BC 于点E ，将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，连接EF ，AD 与FE 交于点O ．（1）①补全图形；②设∠EAB 的度数为，直接写出∠AOE 的度数（用含的代数式表示）．αα（2）连接DF ，用等式表示线段DF ，DE ，AE 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）①见解析；②；（2），证明见解析45α+ 2222DF DE AE +=【解析】【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②首先根据旋转的性质和等腰直角三角形的性质得出，然后通过等量代45F AEF ∠=∠=︒换得出，最后利用即可求解；FAO EAB α∠=∠=AOE F AFO ∠=∠+∠（2）延长DE ，AB 交于点G ，首先利用矩形的性质和角平分线的定义得出，则，进而得出，FAD EAG ≅△△45FDA EGA ∠=∠=︒90FDE FDA ADE ∠=∠+∠=︒根据勾股定理有，然后再通过等量代换即可得出222DF DE FE +=．2222DF DE AE +=【详解】（1）①如图，②∵将线段AE 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AF ，，90,EAF AE AF ∴∠=︒=．45F AEF ∴∠=∠=︒∵四边形ABCD 是矩形，∴．90DAB ∠=︒，90OAE EAB OAE FAO ∠+∠=∠+∠=︒ ，FAO EAB α∴∠=∠=；45AOE F AFO α∴∠=∠+∠=︒+（2），2222DF DE AE +=证明：延长DE ，AB 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形，∴．90ADC DAB ∠=∠=︒∵平分，DE ADC ∠∴，45ADE ∠=︒∴．AD AG =∵，90=︒∠FAE ∴．90FAD DAE ∠+∠=︒∵，90DAE EAG ∠+∠=︒∴．FAD EAG ∠=∠∵，AF AE =∴，FAD EAG ≅△△∴，45FDA EGA ∠=∠=︒∴，90FDE FDA ADE ∠=∠+∠=︒∴．222DF DE FE +=∵，22222FE AF AE AE =+=∴．2222DF DE AE +=【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，掌握这些性质及定理是解题的关键．25. 对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 是图形M 上的任意一点，Q 是图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间距离有最小值，则称这个最小值为图形M ，N 的“最小距离”，记作d （M ，N ）．已知的半径为1．O （1）如图，P （4，3），则（点，）= ，d （点P ，）d O O O = ．（2）已知A 、B 是上两点，且弧AB 的度数为60°．O①若轴且在x 轴上方，直线，求d （，AB ）的值；//AB x :2l y =-l②若点R ，1），直接写出点d(点R ，AB ）的取值范围．【答案】（1）1，4；（2≤d(点R ，AB1-1+【解析】【分析】（1）根据定义可知，（点，）=r ，d （点P ，）=PO-r ，求解即可；d O O O （2）①假设设点B 在点A 右侧，AB 与轴交于点P ，连接OA 、OB ，可求得y∴，直线与轴交于点C ，与轴交于点D ，则点，，60BOC ∠=︒l x y C (0,2)D -继而求出，可知点B 到CD 的距离就是AB 与直线的“最小距离”，然后过点O 60OCD ∠=︒l 作，垂足为E ，即可求得；OE CD ⊥(,)1d l AB =②d(点R ，AB ）最短为：OR-r ，最长为：OR+r ，求出OR 即可求解．【详解】解：（1）（点，）=r=1， d O Od （点P ，），O 故答案为：1，4；（2）①如图，不妨设点B 在点A 右侧，AB 与轴交于点P ，连接OA 、OB ，y∵AB 的度数为，60︒∴，60AOB ∠=︒∴，30POB ∠=︒∴，60BOC ∠=︒设直线与轴交于点C ，与轴交于点D ，则点，， l x y C (0,2)D -∴，tan OCD ∠==∴，60OCD ∠=︒∴，//OB CD 观察图形可知，点B 到CD 的距离就是AB 与直线的“最小距离”，l 过点O 作，垂足为E ，OE CD ⊥∵，60OCD ∠=︒∴，30ODC ∠=︒∴，1OE =∴；(,)1d l AB =②d(点R ，AB ）最短为：OR-r ，最长为：OR+r ，∵，OR ==≤d(点R ，AB ．11【点睛】本题考查点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，解题的关键是综合运用相关知识解决问题．。