4.2量子力学02

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量子力学第二章总结

第二章1.波函数/平面波：（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。

（2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。

在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.3.波函数的几率解释/波恩解释：（1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。

由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。

（2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。

4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|25.平方可积：由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况），所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。

故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。

量子力学第二章知识点

量子力学第二章知识点基本概念波粒二象性量子力学中的粒子既可以表现出粒子性，也可以表现出波动性。

这种既是粒子又是波动的性质被称为波粒二象性。

波函数波函数是量子力学中描述粒子状态的数学函数。

波函数的模的平方表示在某一位置发现粒子的概率密度。

叠加原理量子力学中，两个波函数的线性叠加仍然是一个有效的波函数。

这个原理被称为叠加原理。

量子态所有可能的状态（波函数）构成了量子力学中的量子态。

一个量子态可以通过线性叠加得到另一个量子态。

算符和测量算符算符是描述量子系统性质变化的数学操作。

在量子力学中，算符通常用来描述物理量的测量和演化。

算符的本征值和本征态对于一个算符，它的本征值是测量该物理量时可能得到的值；而本征态是对应于这些本征值的一组特定的波函数。

观测量和平均值观测量是指用来测量物理量的实际实验装置，而平均值则是对同一量子态进行多次测量得到的结果的平均值。

不确定性原理不确定性原理是量子力学的基本原理之一，它描述了在某些物理量的测量中，有些对应物理量无法同时精确确定的限制。

氢原子壳层和轨道氢原子中，电子围绕原子核运动的轨道被称为壳层。

氢原子的壳层用主量子数 n 来标记。

能级和能量氢原子中电子的能量是量子化的，称为能级。

能级由主量子数 n 决定，能级越高，能量越大。

轨道角动量氢原子中，电子的轨道运动导致了其具有轨道角动量。

轨道角动量用量子数 l 来标记。

磁量子数氢原子中，轨道角动量的分量在某一方向上的投影用磁量子数 m 来标记。

自旋和电子态自旋自旋是粒子固有的一种角动量，与粒子的旋转运动无关。

电子具有自旋角动量。

自旋量子数自旋量子数用 s 来标记，对于电子，其自旋量子数为 1/2。

自旋态自旋态是描述粒子自旋状态的波函数。

对于电子，自旋态可以是自旋向上的态，记作|↑⟩，也可以是自旋向下的态，记作|↓⟩。

自旋磁量子数自旋磁量子数用 m_s 来标记，对于电子，其自旋磁量子数可以是 1/2 或 -1/2。

总结本文介绍了量子力学第二章的知识点，包括波粒二象性、波函数、叠加原理、量子态、算符和测量、算符的本征值和本征态、观测量和平均值、不确定性原理、氢原子的壳层和轨道、能级和能量、轨道角动量、磁量子数、自旋和电子态等内容。

量子力学——第二章作业参考答案

+
⎛ ⎜ ⎝
∂ψ ∂t
*
Vψ
+
∂ψ ∂t
Vψ
*
⎞ ⎟
，
⎠
（2）
ψ 、ψ * 满足薛定谔方程
i
∂ψ ∂t
=
⎛ ⎜ ⎝
−
2
2m
∇2
+V
⎞⎟ψ ⎠
，
−i
∂ψ * ∂t
=
⎛ ⎜
−
⎝
2
∇2 2m
+V
⎞⎟ψ * ， ⎠
（3）（4）
用 ∂ψ * 乘以（3）式加上用 ∂ψ 乘以（4）式得
∂t
∂t
∂ψ ∂t
Vψ *
dt
s
通常 < 2V2 >≠ 0 ，也就是说在整个区域找到粒子的概率随时间发生变化，概率守恒破缺；
即使 < 2V2 >= 0 ，由（8）式知概率守恒也存在局域破缺除非V2 (r ) = 0
（b）证明如下：由（a）得
d dt
∫∫∫ d 3rψ τ
*ψ
=
−∫∫ dsi s
j
+
∫∫∫ d 3rψ τ
*
2V2 ψ
第二章作业参考答案
(曾谨言著《量子力学教程》(第二版) 习题 1 P24-P26)
∫ 1.1 证明：（a）能量的平均值 < E >= d 3rψ *Hˆψ ，
哈密顿量 Hˆ = Pˆ 2 2m +V (r ) ，波函数ψ =ψ (r ,t ) ，（1）式变为
（1）
∫ < E >=
d 3r
⎛ ⎜ψ
*
Pˆ 2
+
∂ψ ∂t

第二章量子力学

原子的总角动量总角动量量子数 J 原子的总角动量 PJ = J ( J + 1) h 总角动量z分量量子数 mJ = − J , − J + 1,L, J − 1, J 原子总角动量的z分量 PJz = mJ h 角动量及其z分量与量子数之间关系的一般规律性： ⎯⎯角动量与量子数的关系为
PJ = J ( J + 1) h
远远不够。如：四个量子数的物理含义是什么？固体中电子态与孤立原子相比有何差别？ ——结合成键过程中电子态如何改变
各类材料的电导率σ与载流子
材料类超导体导体 107～105 半导体 105～10-5 绝缘体 10-9～10-18
σ (Ω-1m-1) ≥1015
载流子
电子对自由电子电子、空穴电子和/或离子
量子力学基础
1. De Broglie假设——微观粒子的波动性
（1） De Broglie假设(1924)
自由粒子 (E 、 p )∼平面波 (ν 、λ ) ，其中：
E = hν = hω
p = hk
间的关系为：
h = 2 π h = 6.623 × 10 −34 Js 为普朗克常数，k为粒子的波矢，它与波长之
PS = 6h
PJ = 2 5h
PSz = −2h, − h, 0, h, 2h
PJ Z = −4h, − 3h,L, 3h, 4h
亚电子层未达或超过半满时：轨道角动量与自旋角动量分别为反平行和平行。
氢分子中的电子态与原子结合能固体中原子结合能一般可用下面公式表达：
a b U (r) = − m + n r r
三、孤立原子中电子的排布与角动量合成例：基态Fe原子(Z=26)的核外电子排布及角动量全满的亚电子层—如3p6：L＝S＝J＝0，各角动量都为0；未满的亚电子层为3d6：电子的排布情况

量子力学4-2

F21 F22 - ... F2n ...
................................
0
4.3-6
Fn1 Fn2 ... Fnn - ...
...............................
此式称为久期方程。求解可得到一组解：1,2 ,...n ...,
4.4-12
n
则态矢量u x 在A、B表象中的表示分别为
a1 a2
t t
a
ant
b t ux,t xdx
m
x
Sm
u
x
,
t
dx
m
Sm
m
x
u
x,
t
dx
m
Sm am t (S )m am t
m
m
b1 b2
t t
b
b t
即
b S†a
第四章态和力学量的表象
§4.3 量子力学公式的矩阵表述
1、平均值公式
x,t ant unx
n
x,t an t un x
n
F
x,t Fˆ
x,
i
x
x, t dx
4.3-1
F
mn
am
t
um
x
Fˆ
x,
i
x
an t un xdx
mn
am
t
um
x Fˆ
x,
i
x
un
x
dxan
Hm1
Hm2
... H mn
...
...............................

量子力学第二章

第二章波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 粒子波性如何描述波函数薛定谔方程
光子 E = hv = hω 粒子
E v= h
u hr r r p = n = hk
λ
h h λ= = p 2 E
第二章波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
第二章波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
怎么理解？
分析
经典物理中粒子有确定的质量坐标轨道仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念，仔细分析粒子有确切的轨道是牛顿力学的概念，从来没有无限精确地为实验证实过所以很可能坐标和轨道地概念是宏观情况下的近视同时电荷、质量、同时电荷、质量、体现出的粒子性与确切坐标和轨道无必然联系
第二章波函数和薛定谔方程(波函数的理解) 波函数和薛定谔方程(波函数的理解)
到底电子是什么？波函数是什么？到底电子是什么？波函数是什么？人们所普通接受的观点为即不是粒子也不是波电子即不是粒子也不是波->确切地说不是经典粒子，也不是经典的波但人我们说，即是粒子，又是波，但人我们说，即是粒子，又是波，它是粒子和波动两重性的矛盾统一，两重性的矛盾统一，这个波不是经典概念下的波
dτ
r r r 2 dw(r , t ) 空间，几率密度正比与 ω (r , t ) = dτ = c φ (r , t ) 空间，
几率正比与
直接系坐标中空间区域
r r 2 dw(r , t ) = c φ (r , t ) dτ
2
dw( x, y, z, t ) = c φ ( x, y, z , t ) dxdydz

量子力学课件第二章

2 dW ( p, t ) | c( p, t ) | dp t时刻粒子出现在动量点附近 p dp体积元内的几率。
2.2 态叠加原理
若(r , t )是归一化的，则 p, t 也是归一化的 c
若 ( r , t ) ( r , t )dr 1
率成比例。
量子力学的第一条基本假定（或公设）
强度大强度小或为0 粒子出现的概率大
粒子出现的概率小
2.1 波函数的统计解释
假设衍射波用 (x) 描述，衍射花样的强度则用振
幅的平方
2 描述。就可以得到粒子在空间任意 ( r ) ( r ) ( r ) *
一点出现的概率。
波函数（概率幅）描写体系的量子状态（态或状态）
动量算符
2 2 i t 2m
2.3 薛定谔方程
三、力场中粒子的波函数方程
P2 力场中E U(r ) 2m P2 E 【 U(r )】 2m
p i，E i t
2 2 i (r , t ) [ U(r , t )] (r , t ) t 2m
波叠加原理称为态叠加原理。
解释电子双缝干涉
S1 Ψ= C1Ψ1 + C2Ψ2 也是电子可能状态。
电子源
Ψ1
P
S2
Ψ2
感光屏
空间找到电子的几率则是： |Ψ|2 = |C1Ψ1+ C2Ψ2|2
= (C1*Ψ1*+ C2*Ψ2*) (C1Ψ1+ C2Ψ2)
= |C1 Ψ1|2+ |C2Ψ2|2 + [C1*C2Ψ1*Ψ2 + C1C2*Ψ1Ψ2*]
薛定谔波动方程

量子力学(2)答案

作业11 量子物理基础Ⅱ(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子)一. 选择题[ ]1. 直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是(A) 康普顿实验． (B) 卢瑟福实验(C) 戴维孙－革末实验(D) 斯特恩－革拉赫实验．[ ]2. 氢原子中处于2p 状态的电子，描述其量子态的四个量子数(n ，l ，m l ，m s )可能取的值为(A) (2，2，1，21-) (B) (2，0，0，21)(C) (2，1，-1，21-)(D) (2，0，1，21)．[ ]3. 粒子在外力场中沿x 轴运动，如果它在力场中的势能分布如附图所示，对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子，若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0，0 < x <a ，x > a 三个区域发现粒子的概率，则有(A) ρ1 ≠ 0，ρ2 = ρ3 = 0． (B) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 = 0． (C) ρ1 ≠ 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0．（D)ρ1 = 0，ρ2 ≠ 0，ρ3 ≠ 0． [ ]4. 在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性，而不能提高激光束的单色性． (B) 可提高激光束的单色性，而不能提高激光束的方向性． (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性.(D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性．二. 填空题1.在主量子数n =2，自旋磁量子数21=s m 的量子态中，能够填充的最大电子数是___2. 在下列各组量子数的空格上，填上适当的数值，以便使它们可以描述原子中电子的状态：(1) n =2，l =___ __，m l = -1，21-=s m ． (2) n =2，l =0，m l =__ __，21=s m ．(2) n =2，l =1，m l = 0，m s =___ __．3. 在下列给出的各种条件中，哪些是产生激光的条件，将其标号列下：．(1)自发辐射．(2)受激辐射．(3)粒子数反转．(4)三能极系统．(5)谐振腔． 4. 有一种原子，在基态时n = 1和n = 2的主壳层都填满电子，3s 次壳层也填满电子，而3p 壳层只填充一半．这种原子的原子序数是 ;它在基态的电子组态为：三. 计算题1. 试求出一维无限深方势阱中粒子运动的波函数x an A x n π=sin)(ψ ( n = 1, 2, 3, …)的归一化形式．式中a 为势阱宽度．解：2. 已知氢原子的核外电子在1s 态时其定态波函数为 ar a/3100eπ1-=ψ式中 220em ha e π=ε ．试求沿径向找到电子的概率为最大时的位置坐标值．解：参考答案：一. 选择题:1.D 2.C 3. C 【提示】隧道效应4.C二. 填空题:1. 4 2.(1)n =2，l =___1___，m l = -1，21-=s m ． (2)n =2，l =0，m l =__0___，21=s m ．(3)n =2，l =1，m l = 0，m s =1122或- 3. (2) (3 ) (4) (5) 4、15 ;1s 2 2s 2 2p 6 3s 2 3p 3三. 计算题 1. 解：2. 解：221sin 122()sin()1,2,3n n xA a A an x x a an ψψππψ∞∞∞∞ == =⋅⋅⋅⎰⎰*--归一化条件是：dx＝由此：dx＝推得：故归一化波函数：2210022222221002142()(2)00.52910()r a r r a a e s r r dr w r drw r e w dw d r r e r e dr dr a hr =a =m m eψπεπ---- →+=∝==-==⨯氢原子态的定态波函数为球对称的，在径向区间找到电子的概率为：即：沿径向对求极大值，令：得：。

量子力学（物理学理论）—搜狗百科

量子力学（物理学理论）—搜狗百科理论的产生及其发展量子力学是描述物质微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。

它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。

19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。

德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。

德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hf为最小单位，一份一份交换的。

这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且跟'辐射能量与频率无关，由振幅确定'的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。

当时只有少数科学家认真研究这个问题。

爱因斯坦于1905年提出了光量子说。

1916年，美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。

1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定性（按经典理论，原子中电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq=nh，n称之为量子数。

玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差确定，即频率法则。

这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铪的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。

这在物理学史上是空前的。

由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。

量子力学的几率解释等都做出了贡献。

量子力学教学大纲

量子力学教学大纲量子力学教学大纲引言量子力学是现代物理学中的一门重要学科，它研究微观世界的粒子行为和能量转移规律。

量子力学的发展为我们理解原子、分子、固体和光学等领域提供了重要的理论基础。

为了更好地教授量子力学，制定一份合理的教学大纲是必要的。

本文将探讨量子力学教学大纲的内容和结构。

一、量子力学基础1.1 量子力学的起源和发展- 描述量子力学的历史背景和重要里程碑- 介绍量子力学的基本概念和原理1.2 波粒二象性- 解释波粒二象性的概念和实验观测- 探讨波函数和粒子性质的关系1.3 不确定性原理- 阐述不确定性原理的基本思想和数学表达- 解释不确定性原理对测量和观测的影响二、量子力学的数学基础2.1 波函数和薛定谔方程- 介绍波函数的定义和性质- 推导薛定谔方程及其解的物理意义2.2 算符和测量- 解释算符的概念和作用- 讨论测量在量子力学中的意义和方法2.3 变换和对称性- 探讨变换和对称性在量子力学中的重要性- 介绍旋转、平移和时间平移等变换的量子力学描述三、量子力学的应用领域3.1 原子物理学- 讨论量子力学在描述原子结构和光谱学中的应用 - 介绍原子核和电子的量子力学模型3.2 分子物理学- 探讨量子力学在分子结构和化学反应中的应用- 介绍分子振动、转动和电子结构等的量子力学描述3.3 固体物理学- 解释量子力学在固体材料中的应用和理解- 介绍晶格、能带和电子输运等的量子力学模型四、实验方法和技术4.1 量子力学实验基础- 介绍量子力学实验的基本原理和装置- 探讨实验技术在验证量子力学理论中的作用4.2 量子计算和量子通信- 介绍量子计算和量子通信的基本原理- 探讨量子技术在信息科学中的前沿应用结论量子力学教学大纲的制定需要综合考虑学生的背景知识和学习能力，以及量子力学的核心概念和应用领域。

通过合理的教学大纲，可以帮助学生系统地学习和理解量子力学的基本原理和数学工具，培养学生的物理思维和实验技能。

陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章力学量算符

陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符陈鄂生《量子力学教程》习题答案第二章_力学量算符含答案第一节算符理论基础1.量子力学中的基本假设包括哪些？它们各自的物理意义是什么？答：量子力学中的基本假设包括：(1) 波函数假设：用波函数Ψ(x)描述微观粒子的运动状态，波函数的模的平方表示找到粒子在空间中某一点的概率。

(2) 物理量算符假设：每个物理量都对应一个算符，而对应的测量值是算符的本征值。

(3) 波函数演化假设：波函数随时间的演化遵循薛定谔方程。

(4) 基态能量假设：系统的最低能量对应于基态，且能量是量子化的。

这些基本假设反映了量子力学的基本原理和规律。

2.什么是算符的本征值和本征函数？答：算符的本征值是指对应于某个物理量的算符的一个特征值，它代表了该物理量的一个可能的测量结果。

本征函数是对应于某个物理量的算符的一个特征函数，它表示的是该物理量的一个可能的状态。

3.什么是算符的厄米性？答：算符的厄米性是指一个算符与其共轭转置算符相等。

对于一个算符A，如果满足A†=A，则称该算符是厄米算符。

4.什么是算符的厄米共轭？答：算符的厄米共轭是指将算符的每一项的系数取复共轭得到的新算符。

对于一个算符A，它的厄米共轭算符A†可以通过将A的每一项的系数取复共轭得到。

5.什么是算符的共同本征函数？答：算符的共同本征函数是指对于两个或多个算符A和B，存在一组波函数Ψ(x)使得同时满足AΨ(x)=aΨ(x)和BΨ(x)=bΨ(x)。

其中a和b分别是A和B的本征值。

6.什么是算符的对易性？答：算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序不改变它们的结果。

如果两个算符A和B满足[A,B]=AB-BA=0，则称它们对易。

第二节动量算符1.什么是动量算符？它的本征值和本征函数分别是什么？答：动量算符是描述粒子动量的算符，用符号p表示。

动量算符的本征值是粒子的可能动量值，本征函数则是对应于这些可能动量的波函数。

动量算符的本征函数是平面波函数，即Ψp(x)=Nexp(ipx/ħ)，其中N是归一化常数，p是动量的本征值。

量子力学四大方程

量子力学四大方程引言量子力学是物理学中的一个重要分支，用于描述微观世界中微粒的行为。

在量子力学中，有四个基本的方程，被称为量子力学四大方程。

这四大方程是：薛定谔方程、海森堡方程、狄拉克方程和密度矩阵方程。

本文将详细讨论这四个方程的含义、应用和重要性。

薛定谔方程（Schrödinger Equation）1.1 定义与形式薛定谔方程是量子力学的核心方程之一，描述了系统波函数的时间演化。

它由奥地利物理学家爱尔温·薛定谔于1925年提出，成为量子力学的基石。

薛定谔方程的一般形式为：iℏ∂∂tΨ(r,t)=Ĥ(r,t)Ψ(r,t)其中，i是虚数单位，ℏ是约化普朗克常数，r是位置矢量，t是时间，Ψ(r,t)是波函数（描述了系统在不同位置和时间的状态），Ĥ(r,t)是哈密顿算符（描述了系统的能量和相互作用）。

1.2 物理意义与应用薛定谔方程揭示了微观粒子（如电子、光子等）的波粒二象性和量子跃迁行为。

它允许我们计算粒子的能谱、波函数的空间分布以及系统在不同时间的演化情况。

薛定谔方程在固体物理、原子物理、量子力学和化学等领域具有广泛应用，例如帮助解释原子的光谱、电子行为以及材料的电子结构等。

海森堡方程（Heisenberg Equation）2.1 定义与形式海森堡方程是量子力学的另一个基本方程，由德国物理学家维尔纳·海森堡于1925年提出。

海森堡方程的一般形式为：∂∂t Â(t)=iℏ[Ĥ(t),Â(t)]+∂∂tÂ(t)其中，Â(t)是算符（描述了物理量的测量），Ĥ(t)是哈密顿算符。

2.2 物理意义与应用海森堡方程描述了算符随时间的演化规律。

与薛定谔方程不同，海森堡方程着重于物理量的演化，而不是波函数的演化。

海森堡方程在量子力学中具有重要的实用性，特别在与实验测量结果相联系的物理量的变化关系中发挥关键作用。

它为计算和解释物理量的测量结果提供了理论基础。

狄拉克方程（Dirac Equation）3.1 定义与形式狄拉克方程由英国物理学家保罗·狄拉克于1928年提出，描述了自旋为1/2的粒子，如电子的运动。

量子力学(二)习题参考答案

ψ 1 (− a ) = ψ 2 (− a ) → −C sin ka = A1e −α a
比较以上两式可以得到
B2 = − A1
A1eα x , x < − a 于是有 ψ 0 ( x) = C sin kx, −a < x < a − A e −α x , x > a 1
——奇宇称态！
+∞
( p x x − Et )
4）、由归一化条件 ψ * ( x)ψ p ' ( x )dx = δ ( p ' − p '' ) 可定出归一化常数 p'
−∞
∫
A= 1
2π h h2 d 2 ,U = 0 2 I dϕ 2
µ =− 4、平面转子（见教科书）—— H
其解为： E m =
m2 h2 , m = 0, ±1, ±2 …… 2I 1 imϕ e ， 2π
比较得到：
B2 ＝ A1
于是得
A1eα x , x < − a ψ e ( x) = C cos kx, − a < x < a −α x A1e , x > a
——偶宇称态！
（23）
其中的 C，A1 可由归一化条件和连续性条件定出。 7、 δ 形势—— U ( x ) = f ( x )δ ( x) U(x) E 1 0 2 x （1）
①
②
由①和②消去 B
→ 2 A = (1 +
2k1 k2 k +k )C = 1 2 C → C = A k1 k1 k1 + k 2
③
由①和②消去 C
→
A − B k2 = → A + B k1

量子力学2

双缝干涉
电子干涉不是电子之间相互作用引起的，是电子自己和自己干涉的结果。 r
r点附近花样的强度：在r点附近感光点子的数目在r点附近出现电子的数目单个电子出现在r附近的概率
干涉花样取决于概率分布，而概率分布是确定的。所以电子的波动性是大量电子出现几率的统计结果。电子的波动性：是许多电子在同一个实验中的统计结果； or 是一个个电子在许多次相同实验中的统计结果。 1926年德国物理学家玻恩首先提出概率波的概念：粒子落在屏上哪一点具有偶然性；在某一时刻，空间某点附近粒子出现的概率与该时、该处物质波的强度成正比。峰值处粒子出现的概率大，暗纹处粒子出现的概率小
朱振和 “关于量子力学完备性的跨世纪之争 ” 117~123 2003 中央民族大学学报（自然科学版） Vol:12(2)
4、统计解释对波函数提出的要求根据波函数的统计解释，它应有以下性质： 1）有限性：在空间任何有限体积元V中找到粒子的概率
( Ψ d V ) 必须为有限值。
V
2
（2）经典的波遵从迭加原理
只开上缝光强 I1 只开下缝光强 I2
双缝齐开
I12 I1 I 2
通过上缝的光波用 E1 A1 ( x)e 描述通过下缝的光波用E2 A2 ( x)e 描述
i t
i t
I1 A1 I 2 A2
2
2
双缝齐开时的光波为
光强为
( A1 A2 )e

A 2 p p' 1 A 3/ 2 2
2 3
注意：这样归一化后的平面波其模的平方不表示几率密度，只是表示平面波所描写的状态在空间各点找到粒子的几率相同。
（3）箱归一化：设粒子的运动限制在边长为L的立方形“箱子”内，然后取L∞. 三维箱限制+周期性边界条件

§4.2量子力学的矩阵表示

§4.2量子力学的矩阵表示Dψ∑Φ=ψΦ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡n n nψ∑Φ=n n nψ∑Φ=n n n*⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ψψΦΦ= 21,2,1**ΨΦ+=若 0ΨΦ=+，则称态Ψ和Φ正交。

而1ΨΨ=+则是指态Ψ是归一化的。

基底m 在自身表象上的表示为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010Φ m ← 第m 行基底的正交归一化写成 mn n mδ=+ΦΦ.态向基底的展开写成++=∑=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡1001ΦΨ21n C C C nn展开系数ΨΦn +=n C .对于连续谱情况本征方程： λλλ=Fˆ 基底： }{λ 正交归格化： )(λλδλ'-=' 封闭关系： I =⎰∞+∞-λλλd态ψ在Fˆ表象上的表示矩阵成为本征值λ的函数 ψ=ψλλ)(态ψ和Φ的内积为λλλd )()(*ψ⎰Φ=ψ∞+∞-因为λλλλλλλλd d d )()(][*ψ⎰Φ=⎰ψΦ=ψ⎰=ψ∞+∞-∞+∞-∞+∞-归一化条件为1)()(*=ψ⎰ψ=ψψ∞+∞-λλλd .而基底λ'在自身表象上表示为)(λλδλλ'-='.二、算符的表示 1．算符用矩阵表示算符是通过对态的作用定义的。

因为态用列矩阵表示，所以算符应该用矩阵表示。

Φ=ψLˆ Φ=ψ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑m n n L m n ˆ Φ=∑ψm n n Lm nˆ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=ψψ 212122211211L L L LΦL Ψ=矩阵L 是算符Lˆ在F ˆ表象上的表示 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=22211211L L L L L矩阵元为n Lm L mn ˆ= 可以在坐标表象上计算。

下面会看到，在坐标表象上矩阵元mn L 的计算公式为dx x xi x L x L n mmn )(),(ˆ)(*ϕϕ∂∂-⎰=∞+∞-式中n x x n =)(ϕ.【例】用包括Hamilton 量在内的力学量完全集的共同本征态的集合作基底的表象，称为能量表象。

第二章量子力学基本原理

2. 光能的不连续性—光电效应和爱因斯坦（Einstein）的光子说 3. 原子能量的不连续性—氢原子光谱和玻尔的原子结构理论
~
1 ~ 1 RH ( 2 2 ) n1 n2
1
n2 n 1
二、
实物微粒的波动性
1. 从光子说到物质波
E mc 2
E h

c

hc hc h h 2 h mc mc p
3. 本征态、本征值若某一力学量 A 的算符 A 作用于某一状态函数 ψ 后，等于某一常数 a 乘以 ψ，即 Aψ=aψ 那么对 ψ 所描述的这个微观体系的状态，其力学量 A 具有确定的数值 a，a 称为力学量算符 A 的本征值，ψ 称为 A 的本征态或本征波函数，上式称为 A 的本征方程。
2
若 a=b=c，则：
h2 2 2 E (n x ny n z2 ) 2 8ma
n x , n y , n z 1,2,3,.........
(3) 环中的粒子 0 V rR rR
dinger 方程为：其 Schro

d2 ( x) E ( x) 8 2 m dx 2
c1 1 c 2 2 c n n ci i
i
式中，c1，c2，…，cn 为任意常数。
5. Pauli 原理在同一原子轨道或分子轨道上，至多只能容纳两个电子，这两个电子的自旋状态必须相反。两个规则：（1） Pauli 不相容原理——在一个多电子体系中，两个自旋相同的电子不能占据同一个轨道。（2） Pauli 排斥原理——在一个多电子体系中，自旋相同的电子尽可能分开、远离。
dinger 方程三、实物微粒的运动规律—— Schro