2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第24讲 解斜三角形
高三数学一轮复习---解斜三角形(复习)公开课教案
解斜三角形（复习）公开课教案[教学目标]一：巩固对正弦、余弦、面积公式的掌握，并能熟练地运用公式解决问题。
二：培养学生分析、演绎和归纳的能力。
[教学重点]正弦、余弦、面积公式的应用。
[教学难点]选择适当的方法解斜三角形。
[教学过程]一：基本知识回顾：1.1、正弦定理及其变形；正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 是三角形外接圆的半径） 变式一：sin 2a A R =、sin 2b B R =、sin 2cC R=变式二：sin :sin :sin A B C ::a b c =1.2、余弦定理及其变形；余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，变式：222cos 2b c a A bc+-=2222cos b a c ac B =+-， 222cos 2a c b B ac+-=2222cos c a b ab C =+-。
222cos 2a b c C ab+-=1.3、面积公式二：例题分析：1、正弦定理（1）在△ABC 中，已知，则 sin B= ( ) （2）在△ABC 中，若a = 2 ,b =030A = , 则B 等于60︒或120︒111sin sin sin 222S ab C bc A ac B===4,303a b A ===︒2、余弦定理（1）在△ABC 中，满足 ,则A ＝ 60°（2）已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为A ．41-B ．41C ．32-D ．32 3、三角形解的个数（1）在△ABC 中，已知 ,这个三角形解的情况是:（ C ）A.一解B.两解C.无解D.不能确定（2）△ABC 中，∠A ，∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°，4,6==b a ，那么满 足条件的△ABC（ ）A ．有一个解B ．有两个解C ．无解D ．不能确定4、判断三角形形状 （1）若cCb B a A cos cos sin ==则△ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．有一个内角为30°的直角三角形D ．有一个内角为30°的等腰三角形（2）关于x 的方程02cos cos cos 22=-⋅⋅-CB A x x 有一个根为1，则△ABC 一定是 A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形5、正余弦定理的实际应用（1）有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要 伸长（ ） A ．1公里 B ．sin10°公里 C ．cos10°公里 D ．cos20°公里 （2）10105/4/o C v v B AB o 某渔船在航行中遇险发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后立即测出该渔船在方向角为北偏东45，距离海里的处，渔船沿着方位角为的方向以海里小时的速度向小岛靠拢，我海军艇舰立即以海里小时的速度前去营救。
2013年数学高考总复习重点精品课件：《1-2-2 三角变换与解三角形》课件
3 ， 2
π 1 B－ ＝－ . ∴sin 3 2
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
栏目导引
π π 2π ∵0＜B＜π，∴－3＜B－3＜ 3 ， π π π ∴B－3＝－6，即 B＝6. 由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B， 3 ∴1＝a ＋3－2×a× 3× ，即 a2－3a＋2＝0， 2
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
栏目导引
53＋ 3· 45° sin 5 3× 3＋1 ＝ ＝ sin 45° 60° cos ＋cos 45° 60° sin 3＋1 2 ＝10 3(海里)， 又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30° ＋(90° －60° )＝60° ， BC＝20 3海里，
边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C.
(1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S.
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
栏目导引
解析： (1)证明：在△ABC 中，由于 sin B(tan A＋tan C) ＝tan Atan C， 所以 sin
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二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
栏目导引
π 2π ∵0＜C＜π，∴C＝3或 3 . π π 当 C＝3时，A＝2； 2π π 当 C＝ 3 时，A＝6.(不合题意，舍) 所以△ABC 为直角三角形．
工具
二轮新课标文科数学 第一部分 专题二
栏目导引
如图，A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3) 海里的两个观测点．现位于 A 点北偏东 45° 点北偏西 60° ，B 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行 速度为 30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
2013届高考理科数学总复习(第1轮)全国版课件：4.5三角函数的性质
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因为|cosx|≤1， 所以cos2x≤1.
y2 1, 即 2 (1- 2 y )
即3y2-4y+1≥0，
1 所以y≤ 或y≥1. 3 cos x 故 y 的值域为 2 cos x 1 (-∞， 1 ］∪［1，+∞). 3
16
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1 sin x , (2)由 y 3 cos x
得sinx-ycosx=3y-1.
y 2 1sin( x ) 3 y -1. 1 -y ,sin . 这里 cos 2 2 1 y 1 y 因为|sin(x+φ)|≤1，所以 | 3 y -1| y 2 1, 3 解得0≤y≤ .4 3 1 sin x 故函数 y 的值域为［0, ］. 4 3 cos x
3
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三角函数的图象、性质 解 析式 图 象
{x | x k , k Z } 2
4 ________
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定
R ______
R ______
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2
8
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3.已知函数f(x)= 3 sinωx+cosωx (ω>0)， y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点间的 距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )
5 A. [ k , k ], k Z 12 12 5 11 B. [ k , k ], k Z 12 12 C. [ k -
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第71讲 相似三角形的判定与性质
三
三角形相似的判定与应用
【例 3】 在△ABC 中， 已知∠B＝∠C＝2∠A， AB＝4， 求 AB· BC＋BC2 的值．
【解析】 如图，延长 BC 到点 D，使 AB＝CD，连接 AD.
因为∠B＝∠ACB，所以 AB＝AC，又 AB＝CD，所以 AC＝CD， 1 所以∠D＝2∠ACB＝∠BAC， AB BC 又∠B＝∠B，所以△ABC∽△DBA，所以BD＝AB. 所以 AB2＝BC· BD＝BC(BC＋CD)＝BC2＋AB· BC＝42＝16.
)
【解析】由于 OB、OG 不是一条直线被平行线截得的 线段，可知 B 选项不正确，故选 B.
3.如图， 在△ABC 中， AD⊥BC 于 D， 2＝BD· AB BC， 则∠BAC＝ 90° .
【解析】 由 AB2＝BD· BC， BC AB 得 AB ＝ BD ， 从 而 △ABD∽△CBA ， 则 ∠ADB ＝ ∠BAC＝90° .
【解析】由题设，AE∶EB＝1∶2， 所以 AE∶AB＝1∶3，所以 AE∶CD＝1∶3. S△AEF AE2 1 又 AE∥CD， 所以△AEF∽△CDF， 所以 ＝ 2＝ ， S△CDF CD 9 所以 S△CDF＝9S△AEF＝54，故选 D.
2.如图，l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是( A．由 AB＝BC，可得 FG＝GH B．由 AB＝BC 可得 OB＝OG C．由 CE＝2CD 可得 CA＝2BC 1 D．由 GH＝2FH 可得 CD＝DE
1．理解相似三角形的定义，会用相似三角形的三个判定定理． 2．会用平行线分线段成比例定理． 3．会用直角三角形射影定理．
1．平行线等分线段定理
1 定理：如果一组平行线在一条直线上截得
的线段相等，那么在其他直线上截得的线段 也① __________ .
高考理科数学第一轮总复习-解斜三角形及其应用举例PPT优质课件
解：由ba＝ccoossAB，得 acosA＝bcosB， 所以 a·b2＋2cb2c－a2＝b·a2＋2ca2c－b2， 所以 a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， 所以 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)， 所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， 所以 a＝b 或 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
2
• 所以a2-b2=ab，所以a2>b2，即a>b，故选A.
• 3.△ABC中,已知 sinA :sinB :sinC 1 :1 : 2,且
S△ABC1 = ( )2 • A. 2
，A 则B B C B C C A C A A B的值C是
2
B.
• C. -2
D. - 2
• 解：△ABC中，已 知
• 别 (1)为若aC、=b、 c，，则且角a=A1=，__c_=___3 _ _._；
• (2)若A=
3
6
，则边b=____2或__61___.
•
解: (1)由正弦定理
a sin
A
sincC得,
sin
A
又a＜c，所以A＜C，所以A= .
a sin C c
1. 2
• (2)同理由
a
c 得,
sin
• tanA=-tan(B+C).
( 2 ) s i n A c o s B C ,c o s A s i n B C ,t a n A c o tB C . 2 22 22 2
• 1.在△ABC中，A>B是sinA>sinB的( C) • A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
• (2010•山东卷)在△ABC中，角A，B，C所对 的边分别为a，b，c.若a= 2 ，b=2 ， sinB+cosB= ，则角A的大小为 __________2 ．
2013届高考理科数学第一轮总复习课件24
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分析：由于数列{an}是等差数列，则可 将条件中的 a3，a7，a4，a6 均用首项 a1 与公 差 d 来表示，进而建立关于 a1 与 d 的方程 组来求解． 解：设{an}的公差为 d， a ＋2da ＋6d＝－16 1 1 则 ， a1＋3d＋a1＋5d＝0
S 10 1 0 a 1 10 9 2d 1 0 0，
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• 3.设数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*),关于数列 {an}有下列四个命题： • ①若an=an+1(n∈N*)，则{an}既是等差数列又是 等比数列； • ②若Sn=an2+bn(a,b∈R)，则{an}是等差数列； • ③a,b,c成等差数列的充要条件是 • ④若{an}是等差数列，则Sm,S2m-Sb a3m-S2m ,S c ； m 2 (m∈N*)也成等差数列.
a1
2
4 9
a 1，
2n 1 n N
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参考题
• 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知 S5=S13，且a1＞0，求当n为何值时，Sn最 大. 解法1：由S5=S13， ［ a 1 ( a 1 4 d )］ 1 ［ a 1 ( a 1 1 2 d )］ 5 3 得 ， 2 2 2 所以 d a 1， 17 2 所以 n ( n 1) d (n 9) 81 S n n a1 a1 . 2 因为a1＞0，所以当n=9时，S1 7 n取最大值.
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件第1讲集合的概念及运算
【解析】 由 x2－3x＋2＝0，得 x1＝1，x2＝2， 即 A＝{1,2}． 由 x2－(a＋3)x＋3a＝0，得(x－3)(x－a)＝0， 则 x1＝3，x2＝a，从而 3∈B，a∈B.
(1)若 A∪B＝{1,2,3}，则 B⊆{1,2,3}． 又 3∈B，则 a＝1 或 a＝2 或 a＝3. (2)A∩(∁UB)＝A，得 A⊆∁UB， 所以 A∩B＝∅， 则 3∉A 且 a∉A，故 a≠1 且 a≠2. 故 a 的取值范围为{a∈R|a≠1 且 a≠2}．
【解析】 (1)由 M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}， 可知 a1∈M，a2∈M，且 a3∉M. 又 M⊆{a1，a2，a3，a4}，从而 M＝{a1，a2} 或 M＝{a1，a2，a4}，共 2 个．
(2)由 x2＋x－6＝0 得 x＝2 或 x＝－3，所以 M＝{2，－3}． N∩M＝N⇔N⊆M. (ⅰ)当 a＝0 时，N＝∅，此时 N⊆M； (ⅱ)当 a≠0 时，N＝{1a}． 由 N⊆M 得1a＝2 或1a＝－3， 即 a＝12或 a＝－13. 故所求实数 a 的值为 0 或12或－13.
【点评】(1)读懂集合语言，化简集合，才能找到解 题的突破口．
(2)解决集合问题，常用韦恩图或数轴直观地表示． (3)理解补集的意义：∁UA 指在全集 U 中但不在集合 A 中的元素组成的集合．
素材1
设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(a ＋3)x＋3a＝0}．
(1)若A∪B＝{1,2,3}，求实数a的值；
且S1 U S2＝I，则下面论断正确的是
A．ðI S1 I S2＝
B．S1 ðI S2
C．痧I S1 I I S2
高考数学第1轮总复习 第24讲 解斜三角形课件 理 (广东专版)
1．正弦定理及变式 c 2 R； 1 ① sinC ，c 2 R sin C； 2 a 2 R sin A，b ② a b sin B ， sin C ③ 3 sin A ， 2R 2R 4 sin A:sin B:sin C: a:b:c. ；
)
3 3× BC AC BCsinB 2 【解析】 由正弦定理得 ＝ ， AC＝ ＝ ＝ 1 sinA sinB sinA 2 3 3，故选 A.
1 2.在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝ ，那么 3 AC 等于( A．6 C．3 6 ) B．2 6 D．4 6
【解析】AC＝ AB2＋BC2－2AB· BCcosB ＝ ＝6. 1 6 ＋4 －2×6×4×3
4 给出答案．
【要点指南】 b ①； ② 2 R sin B； sinB c ③ ；④a 2 c 2 2ac cos B； 2R a 2 b2 c2 1 ⑤ ；⑥ ac sin B 2ab 2
1.△ABC 中，BC＝3，A＝30° ，B＝60° ，则 AC 等于( A．3 3 3 C. 2 B. 3 D ．2 3
1 ＝ －x4＋24x2－16 4 1 ＝ 128－x2－122 . 4
2x＋x>2 由三边关系，得x＋2> 2x 2x＋2>x
，
解得 2 2－2<x<2 2＋2. 故当 x＝2 3时，S△ABC 取最大值为 2 2.
【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问 题，一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值，然后 再利用三角形的面积公式和函数性质求解．
2013届高考数学一轮复习精品学案：第24讲三角恒等变形及应用(精)
2013年普通高考数学科一轮复习精品学案第24讲三角恒等变形及应用一•课标要求：1.经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程， 进一步体会向量方法的作用； 2•能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3•能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公 式，但不要求记忆）。
二.命题走向从近几年的高考考察的方向来看， 这部分的高考题以选择、 解答题出现的机会较多， 有 时候也以填空题的形式出现， 它们经常与三角函数的性质、 解三角形及向量联合考察，主要 题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一， 三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变 换的基本问题。
历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
三•要点精讲1.两角和与差的三角函数sin （ 二 I ） = sin ： cos L 二cos ： sin :；cos© 二 I'J = cos ： cos ：「sin ： sin :；2•二倍角公式sin 2： = 2sin ： cos ：；2 2 2 2 -cos2： -cos sin =2cos 1=1-2sin :，3.三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少; ③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
（1）降幕公式（2）辅助角公式tan （用二 l-'）二tan 二 tan :1 + tan _：tan 2-：s =2ta n :1 -tan 2:1 ' 2sin : cossin2： sin 21 -cos2： ；21 cos 2： °cos :22a sin x bcosx a2b2sin x ：'b a其中sin「：_-------- ,cos ----- -----------4•三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于变角”，如僅=© +0 ）-为血+P）+g ）等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
年高考第一轮复习数学解斜三角形
・知识梳理利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题^(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)2.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余 弦的积的两倍，即a 2=b 2+c 2—2bccosA; ① b 2=c 2+ a 2— 2ca cosB; ② c 2=a 2+ b 2— 2abcosC.③在余弦定理中，令 C=90° ,这时cosC=0,所以c 2=a 2+b 2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广.由①②③可得,222“ b c a cosA= ，2 2 .2 cab cosB= -2ca222八a b c cosC= 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 特别提示两定理的形式、内容、证法及变形应用必须引起足够的重视，通过向量的数量积把三角形和三角函数联系起来， 用向量方法证明两定理， 突出了向量的工具性， 是向量知识应用的 实例.另外，解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边 对大角定理及几何作图来帮助理解”^・点击双基1. (2002年上海)在^ ABC 中，若2cosBsinA=sinC,则△ ABC 的形状一定是 A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形222解析：由 2cosBsinA=sinC 得 a --- c-- — x a=c, a=b.ac答案：C2.下列条件中，△ ABC 是锐角三角形的是 +cosA= 1B. AB - BC > 05 =3, c=3<3 , B=30解斜三角形1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等,即--sin A b _ csin B sin C2bc 2ab+tanB+tanC >01解析：由 sinA+cosA=_5得 2sinAcosA= - 24 < 0, • . A 为钝角.25由 A B • BC >0,得 B A - BC <0, cos 〈 BA , BC> < 0..1.B 为钝角. 由 tanA+tanB+tanC>0,得 tan (A+B) • (1 — tanAtanB) +tanC>0.•••tanAtanBtanOO, A 、B 、C 都为锐角.35.在锐角^ ABC 中，边长a=1, b=2,则边长c 的取值范围是2 小解析：若c 是最大边，则cosC > 0. --- ------ 2ab答案：(1,芯) ・典例剖析【例1】4ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c,如果a 2=b(b+c),求证：A=2B.剖析：研究三角形问题一般有两种思路.一是边化角，二是角化边.sin B sin C 答案：C3. (2004年全国IV,理 c_ ,得 sinC=立，C=」或 22 . 11) AABC 中，a 、 b 、c 成等差数列，/ B=30,△ ABC 的面积为b 、3c 分别为/ A 、/ B 、/C 的对边，如果 ,那么b 等于 a 、A .L_22 2 .3C. -----解析：: a 、b 、c 成等差数列，，2b=a+c.平方得a 2+c 2=4b 2—2ac.又△ ABC 的面积为-,2且/ B=30° ,故由 $△ ABC = - acsinB= — acsin30° =— ac=-,得 ac=6. . . a 2+c 2=4b 2—12.由余弦 2 2 422 2222…钿衿 D a 2c 2b 24b 212 b 2b 24 7E 理,得 cOSB= ------------ = ------------ = -----2 3一,解得b 2=4+2 ,3 .又b 为边长, 2••.b=1+ 3 .答案： 4.已B(a+b+c) (b+c — a) =3bc,贝U/ A=解析: ,22 2由已知得(b+c) 2- a 2=3bc,「. b 2+c 2—a 2=bc.， ---------- —= 2bc 2兀Z A=—.答案:7t2—>0,c< 45 .又 c>b —a=1,证明：用正弦定理，a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC,代入a2=b (b+c)中，得sin2A=sinB (sinB+sinC) sin2A—sin2B=sinBsinC1 cos2A 1 cos2B - =SinBsin (A+B)2 21—(cos2B—cos2A) =SinBsin (A+B)2sin (A+B) sin (A —B) =sinBsin (A+B),因为A、B、C为三角形的三内角，所以sin (A+B) w 0.所以sin (A—B) =sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B. 评述：利用正弦定理，将命题中边的关系转化为角间关系，从而全部利用三角公式变换求解.思考讨论(1)该题若用余弦定理如何解决朝川中人选…工田义2，八、/口“ b2 c2 a2(b2 c2) b( b c) c b斛：利用余弦TE理，由a2=b(b+c)，得cosA= ---------- = ------------------- = ---- .2bc 2bc 2b cos2B=2cos2B- 1=2 (a——c———)2T = ――。
2013届高考理科数学第一轮总复习-解斜三角形及其应用举例课件
• 所以2a2=a2+b2-2ab·cosC，
• 所以a2=b2-2ab·cos120°=b2-2ab·1(-
)=b2+ab，
2
• 所以a2-b2=ab，所以a2>b2，即a>b，故选A.
• 3.△ABC中,已知 sin A:sin B :sinC 1:1: 2 ,且
S△ABC1= ，A则B BC BC CA CA AB ( )2
• 解法1：sinA>sinB
•
sin( A B A - B ) - sin( A B - A - B ) 0
2
2
2
2
2cos A B sin A - B 0.
2
2
• 在△ABC中， 0 A B ,- A- B ,
• 所以sinA>sinB
2 sin
A
-2B
2 0
2 A
理公式的应用.若涉及面积问题时，还
需用到面积S公 式1 ab：sin C 1 ac sin B 1 bc sin A.
2
2
2
在△ABC 中，内角 A，B，C 对边的边 长分别是 a，b，c，已知 c＝2，C＝3π.
(1)若△ABC 的面积等于 3，求 a，b； (2)若 sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ ABC 的面积．
4
• 故选C.
题型1 利用正弦定理解三角形
• 1. (原创)在△ABC中，角A、B、C所对的边分
• 别 (1)为若aC、=b、c，，则且角a=A1=，__c_=___3__._；
• (2)若A= 36，则边b=____2或__61___.
•
解: (1)由正弦定理
a sin
2013届高考理科数学总复习(第1轮)广东专版课件：第19讲 同角三角函数的基本关系与诱导公式
2sin －sinx＋1 2 (2)原式＝ sinx cosx ＋ cosx sinx ＝sinxcosx(2－cosx－sinx) 12 1 108 ＝(－ )×(2－ )＝－ . 25 5 125
2x
1 sinx＋cosx＝ 5 方法 2：(1)联立方程组 sin2x＋cos2x＝1
(2)证明：因为 sin2x＋cos2x＝1， 所以 1＝(sin2x＋cos2x)3,1＝(sin2x＋cos2x)2， 1－sin6x－cos6x 1－sin4x－cos4x sin2x＋cos2x3－sin6x－cos6x ＝ 2 sin x＋cos2x2－sin4x－cos4x 3sin4xcos2x＋3cos4xsin2x ＝ 2sin2xcos2x 3sin2x＋cos2x ＝ 2 3 ＝ . 2
① ②
1 由①得 sinx＝ －cosx，将其代入②， 5 整理得 25cos2x－5cosx－12＝0， 3 4 所以 cosx＝－ 或 cosx＝ . 5 5
sinx＝－ 3 5 π 因为－ <x<0，所以 2 4 cosx＝5
，
7 故 sinx－cosx＝－ . 5
2sin －sinx＋1 2 (2)原式＝ sinx cosx ＋ cosx sinx ＝sinxcosx(2－cosx－sinx) 3 4 4 3 ＝(－ )× ×(2－ ＋ ) 5 5 5 5 108 ＝－ . 125
一
诱导公式的应用
16π 【例 1】(1)求 sin(－ )的值； 3 (2)化简： sin2π＋αcos－αcosπ＋α . 3π tanπ－αcos3－π－αsin －αtan－2π－α 2
16π 16π 4π 4π 【解析】 (1)sin(－ )＝－sin ＝－sin(4π＋ )＝－sin ＝ 3 3 3 3 π π 3 －sin(π＋ )＝sin ＝ . 3 3 2 sin2αcosα－cosα (2)原式＝ sinπ－α sin－2π－α 3 · －cosα －cosα cosπ－α cos－2π－α ＝－1.
[数学]2013届高考数学第一轮讲义复习课件
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∴A 点坐标为2kp2，2kp，B 点坐标为(2pk2，－2pk)，
由 OA＝1，OB＝8，可得4p2k2k＋4 1＝1，
①
4p2k2(k2＋1)＝64， ②
h
8
主页
②÷①解方程组得 k6＝64，即 k2＝4. 则 p2＝k2(k126＋1)＝45.
又
p>0，则
p＝2
5
5，故所求抛物线方程为
y2＝4
点 (x0 ， y0) 关 于 点 (a ， b )对 称 点 (2ax0 ， 2by0) 曲 线 f(x,y) 关 于 点 (a ， b )对 称 曲 线 f(2ax ， 2by)
轴对称
h
主页
点 直 (线 x1A ,y x 1) 与 B 点 y (x C 2, y2 0)对 关 称 于 Ax1 2x2 y2 B y y1 1 2 ( y2A )C 1 0
(a≠0)，从 p＝|a|知准线方程可统一成 x＝－a2的形式，于是从
题设有a2＋m＝5 ， 2am＝9
h
主页
[10 分]
21
解此方程组可得四组解
a1＝1
a2＝－1
a3＝9
a4＝－9
m1＝92 ，m2＝－92 ，m3＝12 ，m4＝－12.
∴y2＝2x，m＝92；y2＝－2x，m＝－92；y2＝18x，m＝12；
轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法、参数法
椭圆
定义及标准方程
双曲线
圆
抛物线
锥
曲
线
直线与圆锥曲 线的位置关系
几何性质
相交 相切 相离
范围、对称性、顶点、焦点、长轴(实轴)、短轴（虚轴） 渐近线（双曲线）、准线、离心率、通径、焦半径
高考数学一轮总复习 4.24 解斜三角形课件 理
【解析】(1)由正弦定理得 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C，
所以cos
A－2cos cos B
C＝2c－b a＝2sinsCin－Bsin
A，
即 sin Bcos A－2sin Bcos C＝2sin Ccos B－sin
Acos B，
第十七页，共33页。
即有 sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，即 sin C＝2sin A， 所以ssiinn CA＝2. (2)由(1)知ssiinn CA＝2，所以有ac＝2，即 c＝2a， 又因为周长为 5，所以 b＝5－3a， 由余弦定理得：b2＝c2＋a2－2accos B， 即(5－3a)2＝(2a)2＋a2－4a2×14， 解得 a＝1，所以 b＝2.
面积，若
S
＝
1 4
(a2
＋
b2)
，
则
△ABC
的形状是
____等__腰__直__角__三__角__形_______．
【解析】∵S＝12absinC(C 是 a，b 两边的夹角)，
∴12absinC＝14(a2＋b2)，
又 0<sinC≤1，a2＋b2≥2ab(当 a＝b 时，取等号)，
∴12ab≤14(a2＋b2)＝12absinC≤12ab，
∴a∶b∶c＝sin B∶sin B∶sin C＝2∶ 6∶( 3＋
1)，∴a 为最小边，∴A 为最小内角，
设 a＝2k，b＝ 6k，c＝( 3＋1)k，
∴cos A＝（ 6）2×2k2＋6×（（3＋3＋1）1）2kk2－2 22k2＝ 22.故
选 B.
第二十五页，共33页。
4．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，且 B＝30°，
2013广东高考卷(理科数学)试题及详解
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。
（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。
（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。
（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。
（）5. 任何两个实数的和都是实数。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。
2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。
3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。
4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。
5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。
2. 解释什么是平面向量的坐标表示。
3. 请写出三角形面积公式。
4. 请列举三种不同的数列。
5. 简述反函数的定义及其性质。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。
广东专用高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形4-3三角恒等变换课件
【点拨】和、差、倍角公式对使公式有意义的任意角都成立，使用中要注意观察角之间 的和、差、倍、互补、互余等关系.
(1)(2021 陕西宝鸡市高三月考)已知角 α 的终边过点 P(1，－2)，则 tanα－π4 的
值为 ( )
A. 3
B. －3
1 C. 3
D. －13
解：由题设，tanα＝－2，所以 tanα－π4 ＝1t＋anαtan－αttaannπ4π4 ＝1＋（－－2－2）1 ×1＝3.
【点拨】 解决非特殊角求值问题的基本思路有：①化非特殊角为特殊角；②化为正负 相消的项，消去后求值；③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值；④当有 α，2
α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将 α 向 2α，3α(或 4α)向 2α 转化，再求关
于 2α 式子的值.
(1)tan255°＝ ( )
故选 A.
(2)【多选题】下列各式的值为12的是 tan22.5°
A. 1－tan222.5° C. 33cos21π2－ 33sin2π12
()
B. tan15°cos215°
1－cos60°
D.
2
解：对于 A，原式＝12×1－2ttaann22222.5.5°°＝12tan45°＝12； 对于 B，原式＝sin15°cos15°＝12sin30°＝14； 对于 C，原式＝ 33cosπ6 ＝12； 对于 D，原式＝sin30°＝12. 故选 ACD.
【教材梳理】
1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式)
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ. S(α＋β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ. S(α－β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ. C(α＋β) cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ. C(α－β) tan(α＋β)＝1t－anαtan＋αttaannββ. T(α＋β) tan(α－β)＝1t＋antαan－ αttaannββ. T(α－β)
2013届高考数学第1轮总复习5.5解斜三角形及其应用举例(第2课时)课件理(广西专版)
题型5 解斜三角形在实际问题中的应用
• 2. 我炮兵阵地位于地面A处， 两观察所分别位于地面点C和D 处 . 已 知 CD=6000 m ， ∠ ACD=45°,∠ADC=75° ， 目 标出现于地面点B处时，测得 ∠ BCD=30°,∠BDC=15°, 如 图 ， 求炮兵阵地到目标的距离.(结 果保留根号)
转化为我们熟悉的数学问题，即数学建模.若 题目背景材料是有关距离和角度的问题，我 们一般转化为解斜三角形问题.
有一块半径为 1 m，中心角为π3的扇形铁皮 材料，为了获得面积最大的矩形铁皮，工 人师傅常让矩形的一边在扇形上，然后作 其最大的内接矩形．请求出最大面积．
解：如图，设∠COB＝α(0<α<3π)， 则 BC＝sinα＝AD，OB＝cosα. 又AODA＝tan3π， 所以 OA＝ 33AD＝ 33sinα，所以 AB＝cosα－ 33sinα，
• (2)由(1)知a=b,
• 所以 AB AC bc cos A bc b2 c2 - a2 c2 ，
• 因为c= ,所2 以k=1.
2bc
2
• 点评：本题应先将向量的关系式表示为三角形
边角的关系式.在含边角关系式的恒等变形中，
一是利用正弦定理将边的式子化为角的正弦式
子，或利用余弦定理将余弦式化为边的式子，
第五章 平面向量
第
讲
（第二课时）
题型4 判定三角形的形状
• 1. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为 a、b、c，若 AB AC BA BC k(k R).
• (1)判断△ABC的形状； • (2)若c= 2,求k的值.
• 解：(1)因为 AB AC cb cos A, BA BC ca cos B, • 又 AB AC BA BC, • 所以bccosA=accosB, • 所以sinBcosA=sinAcosB, • 即sinAcosB-sinBcosA=0, • 所以sin(A-B)=0. • 因为-π<A-B<π, • 所以A=B，所以△ABC为等腰三角形.
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π π π asin －C 2RsinAsin －C sinAsin －C 6 6 6 (3) ＝ ＝ b－c 2RsinB－2RsinC sinB－sinC 31 3 cosC－ sinC 2 2 2 ＝ π sin －C－sinC 3 3 3 cosC－ sinC 4 4 1 ＝ ＝ . 2 3 3 cosC－ sinC 2 2
【例 3】已知圆 O 的半径是 R，它的内接△ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值．
a b c 【解析】由正弦定理得 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ， 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2－ 2)＝( 2a－b)× ， 4R 4R 2R 即 a2－c2＝( 2a－b)b， a2＋b2－c2 2 π 3π 所以 cosC＝ ＝ ，于是 C＝ ，A＋B＝ . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC＝ ab· sinC 2
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB， 1 得 13＝a ＋c －2ac· )， (－ 2
2 2
所以 13＝(a＋c)2－ac，又 a＋c＝4，所以 ac＝3. 1 1 3 3 3 所以 S△ABC＝ ac· sinB＝ ×3× ＝ . 2 2 2 4
三
正弦定理和余弦定理的综合运用
)
3 3× BC AC BCsinB 2 【解析】 由正弦定理得 ＝ ， AC＝ ＝ ＝ 1 sinA sinB sinA 2 3 3，故选 A.
1 2.在△ABC 中，如果 BC＝6，AB＝4，cosB＝ ，那么 3 AC 等于( A．6 C．3 6 ) B．2 6 D．4 6
【解析】AC＝ AB2＋BC2－2AB· BCcosB ＝ ＝6. 1 6 ＋4 －2×6×4×3
素材2
cosB 在△ABC 中，a，b，c 分别是 A、B、C 的对边，且 cosC b ＝－ . 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
cosB b 【解析】(1)因为 ＝－ ， cosC 2a＋c a2＋c2－b2 2ac b 所以 2 2 2＝－ ，所以 a2＋c2－b2＋ca＝0， a ＋b －c 2a＋c 2ab a2＋c2－b2 1 所以 cosB＝ ＝－ ，所以 B＝120° . 2 2ac
备选例题
如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角 形，∠ACB＝90° ，BD 交 AC 于 E，AB＝2. (1)求 cos∠CBE 的值； (2)求 AE.
【解析】(1)因为∠BCD＝90° ＋60° ＝150° ， 又 DC＝AC＝BC， 180° －150° 所以∠CBE＝ ＝15° ， 2 所以 cos∠CBE＝cos15° ＝cos(45° －30° ) ＝cos45°cos30° · ＋sin45°sin30° · 6＋ 2 ＝ . 4
1 ＝ －x4＋24x2－16 4 1 ＝ 128－x2－122 . 4
2x＋x>2 由三边关系，得x＋2> 2x 2x＋2>x
，
解得 2 2－2<x<2 2＋2. 故当 x＝2 3时，S△ABC 取最大值为 2 2.
【点评】此类题属于已知三角形三边关系求面积最值问 题，一般思路是首先由余弦定理求出某个角的余弦值，然后 再利用三角形的面积公式和函数性质求解．
2 2
3.在△ABC 中，若 2cosB· sinA＝sinC 则△ABC 是( A．直角三角形 C．等腰三角形 B．等边三角形
)
D．等腰直角三角形
【 解 析 】 因 为 2cosB· ＝ sinC ＝ sin(A ＋ B) ＝ sinA sinA· cosB＋cosA· sinB， 所以 sin(A－B)＝0，即 A＝B.
二
余弦定理和面积公式的应用
【例 2】满足条件 AB＝2，AC＝ 2BC 的△ABC 的面积的最大 值为____________．
【解析】设 BC＝x，则 AC＝ 2x. AB2＋BC2－AC2 4－x2 由余弦定理，得 cosB＝ ＝ ， 2AB· BC 4x 1 所以 S△ABC＝ AB· sinB BC· 2 1 ＝ ×2x× 2 4－x2 2 1－ 4x
【点评】本题利用两个定理联立求解，结合化归与转化思想， 化异为同，最后水到渠成，本题在三角函数与解三角形交汇 处命题，灵活利用角的联系，减少角的个数，借助三角函数 的性质，求最值．
素材3
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b2 ＋c2－a2＋bc＝0. (1)求角 A 的大小； (2)若 a＝ 3，求 bc 的最大值； π asin －C 6 (3)求 的值． b－c
4 给出答案．
【要点指南】 b ①； ② 2 R sin B； sinB c ③ ；④a 2 c 2 2ac cos B； 2R a 2 b2 c2 1 ⑤ ；⑥ ac sin B 2ab 2
1.△ABC 中，BC＝3，A＝30° ，B＝60° ，则 AC 等于( A．3 3 3 C. 2 B. 3 D．2 3
3．三角形的面积公式 1 1 S ab sin C ⑥ bc sin A. 2 2 4．应用解三角形知识解决实际问题的步骤
1 根据题意画出示意图； 2 确定实际问题所涉及的三角形，并搞清
该三角形的已知条件和未知条件；
3 选用正、余弦定理进行求解，并注意运
算的正确性；
(2)在△ABE 中，AB＝2. AE 2 由正弦定理得 ＝ ， sin45° －15° sin90° ＋15° 1 2× 2sin30° 2 所以 AE＝ ＝ ＝ 6－ 2. cos15° 6＋ 2 4
正、余弦定理体现了三角形中角与边存在一种 内在联系，其主要作用是将已知边、角互化或 统一．一般的，利用公式a 2 R sin A等( R为外 接圆半径)，可将边转化角的三角函数关系，然 后利用三角函数知识进行化简，其中往往用到 b2 c2 a 2 三角形内角和定理；利用公式 cos A 2bc 等，可将有关三角形中的角的余弦化为边的关系， 然后充分利用代数知识求边．
一
正弦定理的应用
【例 1】在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a， b，c，已知 a＝2，b＝ 2，B＝30° ，求 A、C 和 c.
a b 2 2 【解析】由 ＝ ，得 ＝ ， sinA sinB sinA sin30° 2 所以 sinA＝ ，所以 A＝45° 135° 或 . 2 当 A＝45° 时，C＝180° －30° －45° ＝105° . 2 c 又由 ＝ ，得 c＝ 3＋1. sin30° sin105° 当 A＝135° 时，C＝180° －30° －135° ＝15° . 同理 c＝ 3－1.
b2＋c2－a2 －bc 1 【解析】(1)因为 cosA＝ ＝ ＝－ . 2 2bc 2bc 2π 又因为 A∈(0，π)，所以 A＝ . 3 (2)由 a＝ 3，得 b2＋c2＝3－bc， 因为 b2＋c2≥2bc，所以 3－bc≥2bc，所以 bc≤1. 当且仅当 b＝c＝1 时，bc 取最大值为 1.
1 2 2 ＝ ×4R sinAsinB× 2 2 3π ＝ 2R sinAsin( －A) 4
2
1 2 π ＝ R [ 2sin(2A－ )＋1]． 2 4 3π π π 5π 因为 0<A< ，所以－ <2A－ < ， 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A－ ＝ ，即 A＝ 时，S△ABC 取最大值． 4 2 8 2＋1 2 (S△ABC)max＝ R. 2
1 1 3 【解析】由 S＝ bcsinA，即 3＝ ×1×c× ，所以 c＝4. 2 2 2 所以 a＝ b2＋c2－2bccos120° 1 ＝ 16＋1＋2×4×1× 2 ＝ 21. a 21 所以 2R＝ ＝ ＝2 7. sinA 3 2 a＋b＋c 2RsinA＋sinB＋sinC 所以 ＝ ＝ 2R ＝ sinA＋sinB＋sinC sinA＋sinB＋sinC 2 7.
5 在下列条件下，应用正弦定理求解：
ⅰ已知两角和一边，求其他边和角； () (ⅱ已知两边和其中一边的对角，求另一 ) 边的对角及其他边和角．
余弦定理及变式 2． 1 a 2 b 2 c 2 2bc cos A；b 2 ④ c 2 a 2 b 2 2ab cos C. cos cos . 2 cos A ； B ； C ⑤ 3 在下列条件下，应运用余弦定理求解： ⅰ已知三边，求三个角； () (ⅱ已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角； ) (ⅲ)已知两边和其中一边的对角，求第三边和 其他两个角． (此类问题需要讨论) ；
4.在锐角△ABC 中，设 x＝sinA· sinB，y＝cosA· cosB， 则 x，y 的大小关系为( A．x≤y C．x>y ) B．x<y D．x≥y
【解析】 y－x＝cosAcosB－sinAsinB＝cos(A＋B)＝－ cosC<0，所以 y<x.
5. 在 △ ABC 中 ， A ＝ 120° b ＝ 1 ， 面 积 为 3 ， 则 ， a＋b＋c ＝ sinA＋sinB＋sinC 2 7 .
【点评】本题已知两边及一边的对角解三角形，可用正弦定理 求解，但要判定△ABC 是否有解，有几个解；也可用余弦定理 求解．
素材1
已知方程 x2－bcosAx＋acosB＝0 的两根之积等 于两根之和，且 a 和 b 是△ABC 的两边，A 和 B 是其 对角，试判断△ABC 的形状．
【解析】设方程两根为 x1，x2，由根与系数的关系得 x1 ＋x2＝bcosA，x1x2＝acosB. 由题意，bcosA＝acosB， 由正弦定理，2RsinBcosA＝2RsinAcosB， 所以 sin(A－B)＝0， 又－π<A－B<π， 所以 A－B＝0，即 A＝B， 所以△ABC 为等腰三角形．