概率分布的几种常见题型
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
解读考研数学概率论常见题型及解题思路
解读考研数学概率论常见题型及解题思路概率论是考研数学中的一个重要章节，它涉及到随机事件的发生概率和统计规律。
解题时，考生需要熟悉常见的概率论题型，并且掌握相应的解题思路。
本文将对考研数学概率论常见题型及解题思路进行解读。
一、排列组合问题排列组合是概率论中的常见题型之一。
在解答这类题目时，考生需要了解排列与组合的概念以及它们的计算方法。
排列是指从一组元素中选取若干个元素按一定顺序排列的方式，而组合则是从一组元素中选取若干个元素不考虑顺序的方式。
在解决排列组合问题时，首先需要确定题目中的条件，然后根据条件选择适当的计算方法。
对于组合问题，可以使用组合公式进行计算；而对于排列问题，则需要使用排列公式进行计算。
二、事件的概率计算计算事件的概率是概率论中的重点内容。
在解决这类问题时，考生需要了解事件的概念、试验的基本原理以及概率的定义和性质。
要计算事件的概率，可以使用等可能性原理、频率与概率之间的关系以及概率的加法和乘法原理等方法。
在运用这些方法时，需要注意题目中条件的具体要求，有时需要进行条件概率的计算。
三、独立事件与非独立事件事件的独立性在概率论中是一个重要的概念。
当两个或多个事件之间互不影响时，它们是相互独立的；当事件之间有一定联系时，它们是非独立的。
在解决独立事件和非独立事件的问题时，考生需要根据题目给出的条件进行分析。
对于独立事件，可以直接使用乘法原理计算它们同时发生的概率；而对于非独立事件，需要考虑条件概率的影响，并运用条件概率的公式进行计算。
四、贝叶斯定理与事件的发生贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它描述了已知后验概率时，如何根据先验概率计算事件的发生概率。
在解决贝叶斯定理与事件发生的问题时，考生需要首先了解贝叶斯定理的基本原理，并理解先验概率和后验概率的关系。
然后根据题目中给出的条件，运用贝叶斯定理进行计算。
五、随机变量与概率分布函数随机变量是概率论中的重要概念，它用于描述随机事件的结果。
高考概率题型
高考概率题型高考概率题型是高考数学中常见的一类题目，涉及到概率的计算与理解。
在高考中，这一部分题型所占的比重较大，因此对于考生来说，熟练掌握这类题目的解题技巧和方法至关重要。
下面将为大家详细介绍高考概率题型的题目类型、解题步骤以及一些注意事项。
一、题目类型：高考概率题型主要包括以下几种类型：1. 基本概率问题：计算某一事件出现的概率，一般需要利用有关概率公式进行计算。
2. 条件概率问题：计算在某一条件下事件发生的概率，需要利用条件概率公式进行计算。
3. 互斥事件问题：计算两个互斥事件发生的概率，一般需要利用互斥事件的概率公式进行计算。
4. 独立事件问题：计算两个独立事件同时发生的概率，一般需要利用独立事件的概率公式进行计算。
5. 应用型概率问题：根据题目所给条件，结合概率相关知识进行综合计算，例如排列组合、计数原理等。
二、解题步骤：1. 分析题目：仔细阅读题目，理解题目所要求的内容和给定条件。
2. 确定事件：根据题目中给定条件，找出问题所涉及到的事件，并分析这些事件之间的关系。
3. 计算概率：根据题目所给定的条件和事件之间的关系，选择相应的概率公式进行计算，并注意单位的转化。
4. 综合分析：将计算得到的概率结果与题目中所要求的答案进行比较，进行综合分析，并得出最终的解答。
三、注意事项：1. 在计算概率时，要注意使用正确的公式和概率计算方法，不要盲目使用公式，要根据题目中所给的条件进行判断。
2. 概率的单位要根据题目的要求进行转化，例如将分数转化为百分数等。
3. 在应用型概率问题中，要善于运用排列组合、计数原理等知识来求解问题，尤其是在求解复杂概率问题时，可以通过化简或者建立适当的数学模型来进行计算。
4. 高考概率题型中还可能涉及到一些隐含的条件，要仔细分析题目，并结合所学知识进行综合判断。
总而言之，高考概率题型在高考中占有较大的比重，考生需要熟练掌握这类题目的解题技巧和方法。
通过分析题目、确定事件、计算概率和综合分析的步骤，考生可以有效地解答高考概率题目。
概率统计常见题型及方法总结
概率统计常见题型及方法总结Prepared on 22 November 2020常见大题：1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件iA ”可以导致B这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因iA 的概率问题全概率公式：()()()1B |ni i i P B P A P A ==∑贝叶斯公式：1(|)()()()()ni i i jjj P A B P A P B A P A P BA ==∑｜｜一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。
先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=ii A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球，2分 则ba aB P +=)(1， 2分)()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++++++=b a a b a b b a a b a a ba a+= 2分 依次类推 2分ba aA P i +=)( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n==++，()1P A B =，()12r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12r rr nP B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ⨯+===++⨯+⨯++三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。
高考数学概率统计题型归纳
高考数学概率统计题型归纳高考数学中的概率统计是一个重要的考点，其题型多样，涵盖了众多知识点。
为了帮助同学们更好地应对高考中的概率统计题目，下面对常见的题型进行归纳和分析。
一、古典概型古典概型是概率统计中最基本的题型之一。
其特点是试验中所有可能的结果有限，且每个结果出现的可能性相等。
例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出 2 个球，求取出的 2 个球都是红球的概率。
解决这类问题的关键是要准确计算基本事件的总数和所求事件包含的基本事件数。
在上述例子中，基本事件的总数可以通过组合数计算，即从 8 个球中取出 2 个球的组合数；所求事件包含的基本事件数为从 5 个红球中取出 2 个球的组合数。
然后用所求事件包含的基本事件数除以基本事件的总数，即可得到所求概率。
二、几何概型几何概型与古典概型的区别在于试验的结果是无限的。
通常会涉及到长度、面积、体积等几何度量。
比如，在区间0, 5上随机取一个数，求这个数小于 2 的概率。
解决几何概型问题时，需要确定几何区域的度量，并计算出所求事件对应的几何区域的度量，最后用所求事件对应的几何区域的度量除以总的几何区域的度量，得到概率。
三、相互独立事件与条件概率相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
例如，甲、乙两人分别独立射击，甲击中目标的概率为 08，乙击中目标的概率为 07，求两人都击中目标的概率。
条件概率则是在已知某个事件发生的条件下，求另一个事件发生的概率。
比如，已知某班级男生占 60%，女生占 40%，男生中优秀的比例为30%，女生中优秀的比例为 20%，现从班级中随机抽取一名学生为优秀，求这名学生是男生的概率。
对于相互独立事件，其概率的计算使用乘法公式；对于条件概率，使用条件概率公式进行计算。
四、离散型随机变量离散型随机变量是指取值可以一一列出的随机变量。
常见的离散型随机变量有二项分布、超几何分布等。
二项分布是指在 n 次独立重复试验中，某事件发生的次数 X 服从二项分布。
数的概率分布
数的概率分布概率分布是概率论中重要的概念之一，用于描述一个随机变量取值的可能性。
在数学和统计学领域里，数的概率分布研究了在特定情况下数值出现的概率。
本文将介绍数的概率分布的基本含义、常见的概率分布类型以及其在实际应用中的重要性。
一、概率分布的基本定义概率分布是随机变量的可能取值及其对应概率的描述。
随机变量可以是离散型变量或连续型变量。
离散型变量的取值有限且可数，如掷骰子的点数；连续型变量的取值为无限个且不可数，如人的身高。
概率分布描述了随机变量每个取值的概率。
二、常见的概率分布类型1. 离散型概率分布离散型概率分布用于描述随机变量为离散型的情况。
以下是几种常见的离散型概率分布：（1）伯努利分布伯努利分布是一种简单的离散型分布，常用于描述试验只有两个可能结果的情况，如硬币的正反面。
（2）二项分布二项分布是描述n次成功失败试验的离散型分布，例如n次掷硬币中正面朝上的次数。
（3）泊松分布泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数，如单位时间内电话呼叫次数、交通事故发生次数等。
2. 连续型概率分布连续型概率分布用于描述随机变量为连续型的情况。
以下是几种常见的连续型概率分布：（1）均匀分布均匀分布描述了在一个区间内随机取值时，每个取值的概率相等，如抛硬币的落点在一个平面上的坐标。
（2）正态分布正态分布是最常见的连续型概率分布之一，也称为高斯分布。
它以钟形曲线为特征，广泛应用于自然和社会科学领域，如身高、体重等。
（3）指数分布指数分布用于描述事件发生的时间间隔或等待时间，如设备故障发生的时间间隔、用户等待的响应时间等。
三、概率分布在实际应用中的重要性概率分布在实际应用中具有重要的作用，主要体现在以下几个方面：1. 预测和决策通过分析和建模某个事件或现象的概率分布，可以对未来可能的结果进行预测。
例如，在金融领域中，通过对股票收益率的概率分析，可以帮助投资者做出决策。
2. 风险评估概率分布可以用于评估风险。
在保险行业中，通过对保险索赔次数或大小的概率分析，可以估算保险公司的风险，并确定合理的保费。
概率题题型总结
概率题题型总结概率题是数学中的一个重要部分，它用于描述随机事件发生的可能性大小。
在考试中，概率题通常出现在数学、物理、统计等科目的考试中。
下面是概率题常见的题型总结。
一、排列组合1. 从 n 个元素中选取 r 个元素的组合数为 C(n,r)。
2. 从 n 个元素中选取 r 个元素的排列数为 P(n,r)。
3. 其中，C(n,r)=P(n,r)/r!，即组合数等于排列数除以重复数。
4. 两个集合 A 和 B 的并集大小为 |A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|。
二、基本概率公式1. 事件 A 的概率 P(A)=n(A)/n(S)，其中 n(A) 表示事件 A 的样本点个数，n(S) 表示样本空间的元素个数。
2. 事件 A 与事件 B 的交集概率 P(A∩B)=n(A∩B)/n(S)。
3. 事件 A 与事件 B 的并集概率 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
三、条件概率1. 事件 A 在事件 B 已发生的条件下的概率为 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中 P(A∩B) 表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(B) 表示事件 B 发生的概率。
2. 事件 A 和事件 B 相互独立的概率为 P(A∩B)=P(A)×P(B)，即两个事件同时发生的概率等于它们单独发生的概率的乘积。
四、贝叶斯公式1. 在事件 B 已发生的条件下，事件 A 发生的概率为P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)，其中 P(B|A) 表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率。
2. 贝叶斯公式是一种基于条件概率的推导方法，常用于统计学和机器学习等领域。
五、期望值和方差1. 随机变量 X 的期望值 E(X)=∑xp(x)，其中 p(x) 表示随机变量 X 取值为 x 的概率。
2. 随机变量 X 的方差Var(X)=E[(X-E(X))^2]=E(X^2)-(E(X))^2。
3. 标准差为随机变量的方差的平方根，即Std(X)=sqrt(Var(X))。
高中数学概率与统计题型解答方法
高中数学概率与统计题型解答方法概率与统计是高中数学中的一门重要课程，它涵盖了许多与概率、统计相关的数学题型。
在掌握基础知识的基础上，采用正确的解答方法，可以更好地应对这些题型。
本文将介绍几种常见的概率与统计题型，以及相应的解答方法。
一、事件概率1.求事件的概率求事件的概率是概率与统计中最基础的题型。
对于一个随机试验，事件A发生的概率可以用下列公式表示：P(A) = 事件A的可能性数 / 总的可能性数2.互斥事件的概率互斥事件是指两个事件不可能同时发生的情况。
假设A和B是两个互斥事件，则它们的概率可以用下列公式表示：P(A∪B) = P(A) + P(B)3.独立事件的概率独立事件是指两个事件的发生与否互不影响的情况。
如果A和B是两个独立事件，则它们的概率可以用下列公式表示：P(A∩B) = P(A) × P(B)二、排列与组合1.排列问题排列是指从若干个不同元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
对于从n个元素中选取k个元素进行排列的问题，可以使用下列公式进行计算：A(n,k) = n! / (n-k)!2.组合问题组合是指从若干个不同元素中选取若干个元素进行组合，不考虑其顺序。
对于从n个元素中选取k个元素进行组合的问题，可以使用下列公式进行计算：C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!)三、概率分布1.离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布可以通过列出其取值以及相应的概率来表示。
当给定每个取值对应的概率后，可以计算出该随机变量的期望值、方差等。
2.连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布可以通过概率密度函数来表示。
在解答问题时，常常需要计算某个取值范围内的概率，可以通过计算概率密度函数下的面积来实现。
四、抽样与推断1.简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中随机地选取n个样本进行调查或实验。
在进行统计推断时，可以根据样本数据来估计总体参数。
2.抽样分布抽样分布是指统计量的分布。
考研数学概率重难点及常考题型
考研数学概率重难点及常考题型一、概率的基本概念1.1 概率的定义概率是指某个事件发生的可能性大小。
一般来说，事件发生的可能性大小用0到1之间的实数表示，而0表示不可能事件，1表示必然事件。
1.2 随机事件随机事件是指某个事件的结果不确定，且可能有多种可能性。
例如，掷骰子的结果就是随机事件。
1.3 样本空间与事件样本空间是指一个随机事件所能够产生的所有可能结果的集合。
而事件是样本空间的子集，表示某个事件可能发生的所有结果。
1.4 事件的概率事件的概率等于事件中每个结果的概率之和。
二、概率的计算公式2.1 加法公式加法公式适用于两个事件不会同时发生的情况。
其公式如下：P(A或B) = P(A) + P(B) - P(A且B)其中，A和B是两个事件，P(A)表示事件A发生的概率，而P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.2 乘法公式乘法公式适用于两个事件同时发生的情况。
其公式如下：P(A且B) = P(A) * P(B|A)其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
2.3 条件概率条件概率表示在已知某些条件下，某个事件发生的概率。
其公式如下：P(A|B) = P(A且B) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2.4 独立事件如果事件A和事件B互相独立，则满足以下条件：P(A且B) = P(A) * P(B)其中，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B发生的概率。
三、概率的常见分布3.1 泊松分布泊松分布是一种用来描述稀疏事件的概率分布。
其概率密度函数为：P(x) = (e ^ -μ * μ ^ x) / x!其中，μ表示事件在给定时间或空间单位内发生的平均次数，x表示事件发生的次数。
3.2 二项分布二项分布是一种描述在n次独立实验中成功次数的概率分布。
数学高考概率题型
数学高考概率题型
以下是数学高考中可能出现的概率题型：
1. 事件概率计算：给定一个随机事件，求其发生的概率，可以根据基本概率公式或条件概率公式进行计算。
2. 互斥事件和对立事件：互斥事件指两个事件不可能同时发生，如掷两个骰子得到的点数为偶数和奇数；对立事件指两个事件中必有一个发生，如掷一枚硬币正反面的结果。
3. 独立事件：两个事件相互独立，指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，可根据乘法原理计算其概率。
4. 条件概率：指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率，可根据条件概率公式进行计算。
5. 全概率公式：指在一组互斥但不完全穷尽的事件中，对任意一个事件，求其发生的概率，可根据全概率公式计算。
6. 贝叶斯公式：指在已知某一事件的条件下，求另一事件发生的概率，可根据贝叶斯公式进行计算。
7. 随机变量和概率分布函数：随机变量指一个随机试验的结果，概率分布函数指随机变量的取值及其相应的概率。
8. 期望和方差：期望指随机变量的平均值，方差指随机变量取值与期望的差的平方的平均值。
9. 大数定律和中心极限定理：大数定律指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，样本均值趋近于总体均值；中心极限定理指在独立重复试验中，样本的平均值符合正态分布。
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路数学是一门精确的科学，而概率与统计则是数学中的一个重要分支。
在高中阶段，学生将学习到许多与概率与统计相关的常见题型，本文将介绍这些题型以及解题的思路。
一、概率题型1. 事件的概率计算概率计算是概率论的基本概念之一。
当我们面对一个事件时，首先需要明确事件的样本空间以及事件本身的可能性。
以掷硬币为例，样本空间为{正面，反面}，而事件“掷出正面”有一半的可能性。
解题时，可以使用计数原理或者几何概型来计算概率。
2. 独立事件的概率计算当两个或多个事件相互独立时，可以使用乘法法则来计算它们同时发生的概率。
例如，从一副扑克牌中同时抽出两张牌，求两张牌都是红心的概率。
解题时，需要考虑每个事件的概率，并将它们相乘。
3. 互斥事件的概率计算互斥事件指的是两个事件不可能同时发生。
当两个事件互斥时，可以使用加法法则来计算它们发生的概率。
例如，从一副扑克牌中抽出一张牌，求该牌是红心或者是黑桃的概率。
解题时，需要考虑每个事件的概率，并将它们相加。
4. 条件概率计算条件概率是在已知一定条件下某个事件发生的概率。
例如，某城市早高峰时段交通事故的概率。
解题时，需要将已知条件与事件的概率结合起来计算。
二、统计题型1. 样本调查与数据分析在统计学中，常常需要进行样本调查以获取数据。
例如，假设我们要调查全校学生的身高分布，可以通过随机抽样的方式获得样本数据，并进行统计分析。
解题时，需要了解样本调查的方法和数据分析的技巧。
2. 统计指标计算常见的统计指标包括平均数、中位数、众数、方差等。
解决统计题目时，需要根据给定的数据计算相应的统计指标。
例如，求一组数据的平均值或者方差。
3. 概率分布计算概率分布是指随机变量取各个值的概率。
在统计学中，常见的概率分布包括二项分布、正态分布等。
解决概率分布相关的题目时，需要了解不同概率分布的特点，并运用相应的公式来计算。
4. 假设检验与置信区间假设检验和置信区间是统计学中的两个重要概念。
高考数学概率统计大题题型总结
高考数学概率统计大题题型总结概率统计是数学的一个重要分支，它是理解和研究大量随机事件发生的概率规律的一门学科。
概率统计在高考中也有重要的地位，尤其是概率统计大题，给考生们带来了很大的难度和挑战。
下面，就从数学考试大题概率统计题型总结入手，详细介绍概率统计大题的结构和解题技巧，让考生们更好地应对数学考试。
一、概率统计大题的分类概率统计大题可以分成三大类：1、事件概率：事件概率是指某一事件发生的机会，也就是指某一事件发生的可能性，它是以概率的形式表示的。
这类题型常常会出现在数学考试中，包括随机事件、全概率公式的求解、条件概率、独立事件及其组合事件等。
2、概率分布：概率分布是指在一定的条件下，随机变量的取值和概率之间的关系，它是概率论的基础。
概率分布的种类很多，比较常见的有二项分布、泊松分布、正态分布、负倾斜分布等，考生们在复习时应该重点了解这些概率分布的性质及其应用。
3、抽样技术：抽样技术是指从总体中抽取一定量的样本，从而推断总体的特征。
抽样技术在数学考试中也有很多应用，比如抽样技术的基本原理、简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等。
二、概率统计大题的解题技巧1、了解考题：考生在解答概率统计大题之前，应该充分了解题目的内容，把握题意，明确给出的条件以及要求解的问题，以便找出合适的解题方法。
2、把握关键点：解答概率统计大题也要把握关键点，即找出问题中的关键信息，根据这些关键信息，结合相关的概念和公式，得出正确的结论。
3、注意计算准确性：数学考试要求结果是准确的，因此在计算概率统计大题时，应注意计算的准确性，避免出现因计算错误而导致结果错误的情况。
三、总结概率统计大题在数学考试中扮演着重要的角色，考生要想取得好成绩，就要深入了解概率统计的内容，重点掌握事件概率、概率分布和抽样技术等概率统计的基本概念；同时，要掌握一些有效的解题技巧，以有效的解决高考概率统计大题。
高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)
高中数学必修二概率统计专题训练(经典必练题型)介绍本文档是针对高中数学必修二中的概率统计专题进行的训练，旨在帮助学生巩固和提高概率统计方面的知识和技能。
文档包含一系列经典必练题型，涵盖了该专题的重要内容。
题型一：排列组合1. 有5个不同的苹果和3个不同的橘子，从中任选3个水果，求共有几种选法。
2. 由字母A、B、C、D、E无重复组成的3位数共有多少种？题型二：事件与概率1. 一枚骰子被掷两次，求两次得到的点数之和为7的概率。
2. 从1至10的十个自然数中随机选择两个数，求两数之和为偶数的概率。
题型三：独立事件与复合事件1. 甲、乙、丙三个人独立地作一件事情成功的概率分别是1/2、1/3、1/4，求三人都成功的概率。
2. 一批零件共有100个，其中有5个次品。
从中连续取3个，求取出3个次品的概率。
题型四：条件概率1. 甲、乙两组各选一位同学参加足球比赛，甲组和乙组每组有5名同学，甲组中有两名女生和三名男生，乙组中有4名女生和一名男生。
从两组中各选出一位同学参加比赛，已知参赛者是女生，求该同学来自甲组的概率。
2. 甲、乙两个班级的数学成绩分别如下表所示，学生随机抽取一位，已知该学生是不及格的，求该学生来自乙班的概率。
题型五：概率分布1. 投掷一枚均匀硬币，正面向上为事件A，反面向上为事件B。
设事件A和事件B的概率分别为0.4和0.6，记为P(A)=0.4，P(B)=0.6。
求该硬币投掷一次出现事件A的概率。
2. 掷一个骰子，其点数的概率分布为：P(X=1)=1/6，P(X=2)=1/6，P(X=3)=1/6，P(X=4)=1/6，P(X=5)=1/6，P(X=6)=1/6。
求投掷一次出现点数为奇数的概率。
以上为高中数学必修二概率统计专题训练的经典必练题型，希望能够帮助学生加深对该专题的理解和应用。
概率题型总结
概率题型总结概率是数学中关于事件发生可能性的量度和研究的一门学科。
在生活中，我们经常需要通过概率来估计或预测一些事件的发生。
而在概率问题中，常见的题型有很多，下面将对一些常见的概率题型进行总结和详细解析。
1.基本概率：基本概率是概率学中最基础的概念之一。
可以通过等可能原则来计算基本概率。
例如，如果一个事件有n个等可能的结果，并且我们想知道某个结果的概率是多少，那么这个结果的概率就是1/n。
例如，抛一枚均匀的硬币，正面和反面分别为两种可能结果，因此它们的概率都是1/2。
2.条件概率：条件概率是在某个条件下某个事件发生的概率。
通过条件概率，我们可以计算在已知某个条件的情况下，某个事件发生的概率。
条件概率可以表示为P(A|B)，表示在事件B 发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算可以通过以下公式得出：P(A|B)=P(A∩B)/P(B)。
3.相互独立事件：如果两个事件A和B相互独立，那么它们的概率不会受到对方的影响。
也就是说，事件A的发生与否并不会改变事件B的发生概率，反之亦然。
相互独立事件的概率可以通过以下公式计算：P(A∩B)=P(A)×P(B)。
4.排列组合：在概率题中，我们常常需要计算从n个不同元素中取出m个元素的排列或组合的方法数。
排列和组合是数学中常见的方法，它们可以帮助我们计算事件发生的可能性。
排列是指从一组元素中取出一部分元素进行有序排列的方法数，而组合是指从一组元素中取出一部分元素进行无序组合的方法数。
5.贝叶斯概率问题：贝叶斯概率是指在已知某个条件下，其他的相关条件的概率。
贝叶斯概率可以通过贝叶斯定理来计算。
贝叶斯定理可以表示为P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)，其中A和B分别表示两个事件。
6.抽样与抽签问题：在概率题中，我们常常需要进行抽样或抽签来计算事件的概率。
抽样和抽签是从一组元素中随机选取若干个元素的方法。
在计算事件的概率时，我们需要根据被抽取的元素的情况来计算。
概率论各种分布总结表
概率论各种分布总结表摘要：1.概率论简介2.离散型概率分布a.伯努利分布b.二项分布c.几何分布d.泊松分布3.连续型概率分布a.均匀分布b.正态分布c.指数分布d.伽马分布e.威布尔分布4.分布的性质与应用5.常见概率分布问题解析6.概率论在实际领域的应用正文：概率论是数学的一个重要分支，主要研究随机现象的规律性。
在概率论中，分布是描述随机变量取值规律的重要概念。
根据随机变量的取值范围，概率分布可分为离散型和连续型。
离散型概率分布主要包括伯努利分布、二项分布、几何分布和泊松分布等。
伯努利分布描述的是一个具有两个可能结果的试验，例如抛硬币。
二项分布则用于描述多个独立重复试验中成功次数的概率。
几何分布关注的是离散随机变量在一定条件下达到某个阈值所需的试验次数。
泊松分布则用于描述在一定时间内或空间内随机事件发生的次数。
连续型概率分布主要涉及均匀分布、正态分布、指数分布、伽马分布和威布尔分布等。
均匀分布描述的是随机变量在某个区间内取值的概率。
正态分布，又称高斯分布，是自然界中最常见的分布之一，用于描述许多现实中的随机现象。
指数分布关注的是随机变量在某个值以下的概率，具有“越小越密集”的特点。
伽马分布和威布尔分布则分别用于描述等待时间和服务时间等随机现象。
了解各种概率分布的性质和特点，有助于我们在实际问题中选择合适的分布来描述随机现象。
在解决概率论问题时，首先要根据问题特点选择合适的分布，然后运用相应的概率计算公式求解。
此外，概率论在各个领域都有广泛的应用，如金融、医学、工程等，掌握概率论知识能够帮助我们更好地分析和解决实际问题。
总之，概率论中的各种分布总结了随机变量取值规律，掌握这些分布及其应用，对于解决实际问题具有重要意义。
quant oa常见概率题
在Quantitative Analysis (量化分析)中，概率题是常见的题型之一。
以下是一些常见的概率题类型和示例：
1. 离散概率分布：
●题目描述：一个硬币投掷10次，求正面朝上的次数为3次的概率。
●解题思路：使用二项分布的概率公式计算，其中n表示试验次数，k表示成
功的次数，p表示成功的概率。
2. 连续概率分布：
●题目描述：一个随机变量X服从正态分布N(0,1)，求P(-1 < X < 1)的概
率。
●解题思路：使用正态分布的概率密度函数计算，其中μ表示均值，σ表示
标准差。
3. 条件概率：
●题目描述：在一个等重的骰子中，求投掷两次都出现6点的概率。
●解题思路：使用条件概率公式计算，其中P(A)表示事件A发生的概率，P(AB)
表示事件A和B同时发生的概率。
4. 贝叶斯定理：
●题目描述：已知一个随机变量X服从伯努利分布，求在给定X=1的条件下，
另一个随机变量Y的条件概率。
●解题思路：使用贝叶斯定理计算，其中P(A|B)表示在给定B的条件下A发生
的概率。
5. 组合概率：
●题目描述：有5个红球和3个蓝球放在一个袋子中，求从中随机抽取3个球
都是红球的概率。
●解题思路：使用组合数学计算红球和蓝球的数量，然后使用组合概率公式计
算。
这些是常见的概率题类型和示例，具体的题目可能需要根据实际情况进行变形和扩展。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
(完整版)经典高考概率分布类型题归纳【精选】
经典高考概率类型题总结一、超几何分布类型二、二项分布类型三、超几何分布与二项分布的对比四、古典概型算法五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）六、综合算法一、超几何分布1.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个.（1）若甲、乙二人依次各抽一题，计算：①甲抽到判断题，乙抽到选择题的概率是多少？②甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？（2）若甲从中随机抽取5个题目，其中判断题的个数为X，求X的概率分布和数学期望.二、二项分布1.某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A，B，C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的.（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（3）设4名参加保险人员中选择A社区医院的人数为X，求X的概率分布和数学期望．2.某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是23，出现绿灯的概率都是13.记这4盏灯中出现红灯的数量为X ，当这排装饰灯闪烁一次时： (1)求X ＝2时的概率； (2)求X 的数学期望．解 (1)依题意知：X ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是23， 故X ＝2时的概率P ＝C 24⎝⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝827. (2)法一 X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，依题意知 P(X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫134－k(k ＝0,1,2,3,4)． ∴X 的概率分布列为∴数学期望E(X)＝0×8＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.三、超几何分布与二项分布的对比有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的次数，则P （X ）＝ . 辨析：1.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取3件，若X 表示取到次品的件数，则P （X ）＝2. 有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝3.有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中不放回地依 次任取件，第k 次取到次品的概率，则P （X ）＝四、古典概型算法1.一个均匀的正四面体的四个面分别涂有1，2，3，4四个数字，现随机投掷两次，正四面体底面上的数字分别为x 1,x 2，记X=(x 1-2)2+(x 2-2)2. （1）分别求出X 取得最大值和最小值的概率； （2）求X 的概率分布及方差.2.（2012·江苏高考）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ=0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时ξ=1． （1）求概率P （ξ=0）；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E （ξ）．3.某市公租房的房源位于A ，B ，C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中： （1）恰有2人申请A 片区房源的概率；（2）申请的房源所在片区的个数X 的概率分布与期望.4.设S 是不等式x 2－x －6≤0的解集，整数m ，n ∈S.(1)记“使得m ＋n ＝0成立的有序数组(m ，n)”为事件A ，试列举A 包含的基本事件； (2)设ξ＝m 2，求ξ的概率分布表及其数学期望E(ξ)．解 (1)由x 2－x －6≤0，得－2≤x ≤3， 即S ＝{x|－2≤x ≤3}．由于m ，n ∈Z ，m ，n ∈S 且m ＋n ＝0，所以A 包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)．(2)由于m 的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m 2的所有不同取值为0,1,4,9，且有P(ξ＝0)＝16，P(ξ＝1)＝26＝13，P(ξ＝4)＝26＝13，P(ξ＝9)＝16.故ξ的概率分布表为所以E(ξ)＝0×16＋1×13＋4×13＋9×16＝196.5.在高中“自选模块”考试中，某考场的每位同学都选了一道数学题，第一小组选《数学史与不等式选讲》的有1人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有5人，第二小组选《数学史与不等式选讲》的有2人，选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的有4人，现从第一、第二两小组各任选2人分析得分情况 .(1)求选出的4人均为选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率；(2)设X为选出的4个人中选《数学史与不等式选讲》的人数，求X的分布列和数学期望．解(1)设“从第一小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件A，“从第二小组选出的2人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》”为事件B.由于事件A、B相互独立，所以P(A)＝C25C26＝23，P(B)＝C24C26＝25，所以选出的4人均选《矩阵变换和坐标系与参数方程》的概率为P(A·B)＝P(A)·P(B)＝23×25＝415.(2)X可能的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝415，P(X＝1)＝C25C26·C12·C14C26＋C15C26·C24C26＝2245，P(X＝3)＝C15C26·1C26＝145.P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝2 9.故X的分布列为所以X的数学期望E(X)＝0×15＋1×45＋2×9＋3×45＝1 (人)．6.已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现在从甲、乙两个盒内各任取2个球．（I）求取出的4个球均为黑色球的概率；（II）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；（III）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．解：（I）设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B．∵事件A，B相互独立，且．∴取出的4个球均为黑球的概率为P（AB）=P（A）P（B）=．（II）解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红红，1个是黑球”为事件C，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D．∵事件C，D互斥，且．∴取出的4个球中恰有1个红球的概率为P（C+D）=P（C）+P（D）=．（III）解：ξ可能的取值为0，1，2，3．由（I），（II）得，又，从而P （ξ=2）=1﹣P （ξ=0）﹣P （ξ=1）﹣P （ξ=3）=．ξ的分布列为ξ的数学期望．五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类）1.开锁次数的数学期望和方差有n 把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数的数学期望和方差．分析：求时，由题知前次没打开，恰第k 次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．解：的可能取值为1，2，3，…，n ．；所以的分布列为：ξ)(k P =ξ1-k 3,2,1=ξξ;12112121)111()11()3(;111111)11()2(,1)1(nn n n n n n n n P n n n n n n P nP =-⋅--⋅-=-⋅--⋅-===-⋅-=-⋅-====ξξξnk n k n k n n n n n n n k n k n n n n k P 111212312111)211()211()111()11()(=+-⋅+-+---⋅--⋅-=+-⋅+----⋅--⋅-== ξξ；2. 射击练习中耗用子弹数的分布列、期望及方差某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数的分布列，并求出的期望与方差（保留两位小数）．分析：根据随机变量不同的取值确定对应的概率，在利用期望和方差的定义求解． 解： 该组练习耗用的子弹数为随机变量，可以取值为1，2，3，4，5．＝1，表示一发即中，故概率为＝2，表示第一发未中，第二发命中，故＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故＝4，表示第一、二、三发未中，第四发命中，故＝5，表示第五发命中，故211131211+=⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n n n E ξnn n n n k n n n n n n D 1)21(1)21(1)213(1)212(1)211(22222⋅+-++⋅+-++⋅+-+⋅+-+⋅+-= ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+++++++-++++=n n n n n n 22222)21()321)(1()321(1 1214)1(2)1()12)(1(611222-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++=n n n n n n n n n ξ ξ ξ E ξ D ξ ξ ξ ;8.0)1(==ξ P ξ ;16.08.02.08.0)8.01()2(=⨯=⨯-==ξ P ξ ;032.08.02.08.0)8.01()3(22=⨯=⨯-==ξ P ξ 0064.08.02.08.0)8.01()4(33=⨯=⨯-==ξ P ξ因此，的分布列为3. 在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A 处的命中率q 为0.25，在B 处的命中率为q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为（1）求q 的值；（2）求随机变量的数学期望E ；（3）试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．解:（1）设该同学在A 处投中为事件A ，在B 处投中为事件B ，则事件A ，B 相互独立，且P (A )=0.25，，P (B )= q ，．根据分布列知：=0时=0.03，所以，q =0.8．（2）当=2时，P 1==0.75q ()×2=1.5q ()=0.24．当=3时，P 2 ==0.01，.0016.02.01)8.01()5(44==⋅-==ξ P ξ 0016.050064.04032.0316.028.01⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξ E ,25.1008.00256.0096.032.08.0 =++++=0016.0)25.15(0064.0)25.14(032.0)25.13(16.0)25.12(8.0)25.11(22222⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=ξ D .31.00225.00484.0098.009.005.0 =++++=12ξ2ξξ()0.75P A =22()1P B q =-ξ22()()()()0.75(1)P ABB P A P B P B q ==-210.2q -=2ξ)()()(B B A P B B A P B B A B B A P +=+)()()()()()(B P B P A P B P B P A P +=221q -221q -ξ22()()()()0.25(1)P ABB P A P B P B q ==-当=4时，P 3==0.48， 当=5时，P 4==0.24．所以随机变量的分布列为：随机变量的数学期望． （3）该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率为；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72． 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过3分的概率大．4. 某科技公司遇到一个技术难题，紧急成立甲、乙两个攻关小组，按要求各自单独进行为期一个月的技术攻关， 同时决定对攻关期满就攻克技术难题的小组给予奖励．已知这 些技术难题在攻关期满时被甲小组攻克的概率为32被乙小组攻 克的概率为43. （1）设X 为攻关期满时获奖的攻关小组数，求X 的概率分布及 V(X)；（2）设Y 为攻关期满时获奖的攻关小组数的2倍与没有获奖的 攻关小组数之差，求V(Y).5. 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，且客人是否游览哪个景点互不影响，设表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求的分布列及数学期望；（Ⅱ）记“函数在区间上单调递增”为事件，求事件ξ22()()()()0.75P ABB P A P B P B q ==ξ()()()P ABB AB P ABB P AB +=+222()()()()()0.25(1)0.25P A P B P B P A P B q q q =+=-+ξξ00.0320.2430.0140.4850.24 3.63E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()P BBB BBB BB ++()()()P BBB P BBB P BB =++222222(1)0.896q q q =-+=0.4,0.5,0.6ξξ2()31f x x x ξ=-+[2,)+∞A A的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需即可．解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件． 由已知相互独立，.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以的可能取值为1，3．所以的分布列为（Ⅱ）解法一：因为所以函数 上单调递增，要使上单调递增，当且仅当从而 解法二：的可能取值为1，3.当时，函数上单调递增，当时，函数上不单调递增.所以6.甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为12，乙每次击中目标的概率为23.322ξ≤123,,A A A 123,,A A A 123()0.4,()0.5,()0.6P A P A P A ===ξ123123(3)()()P P A A A P A A A ξ==+123123()()()()()()20.40.50.60.24P A P A P A P A P A P A =+=⨯⨯⨯=(1)10.240.76P ξ==-=ξ()10.7630.24 1.48E ξ=⨯+⨯=2239()()1,24f x x ξξ=-+-23()31[,)2f x x x ξξ=-++∞在区间()[2,)f x +∞在342,.23ξξ≤≤即4()()(1)0.76.3P A P P ξξ=≤===ξ1ξ=2()31[2,)f x x x =-++∞在区间3ξ=2()91[2,)f x x x =-++∞在区间()(1)0.76.P A P ξ===0.76(1)求乙至多击中目标2次的概率；(2)记甲击中目标的次数为Z ，求Z 的分布列、数学期望和标准差． 解 (1)甲、乙两人射击命中的次数服从二项分布，故乙至多击中目标2次的概率为1－C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝1927. (2)P(Z ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18； P(Z ＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝38； P(Z ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎪⎫123＝38； P(Z ＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18. Z 的分布列如下表：E(Z)＝0×18＋1×8＋2×8＋3×8＝2，D(Z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322×18＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－322×38＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－322×18＝34，∴D (Z )＝32.7.某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.5，0.6，0.4.经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为0.6,0.5,0.75. (1)求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；(2)经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为ξ，求随机变量ξ的期望与方差． 解 分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件A 1、A 2、A 3.(1)设E 表示第一次烧制后恰好有一件合格，则 P(E)＝P(A 1A2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A1A 2A 3)＝0.5×0.4×0.6＋0.5×0.6×0.6＋0.5×0.4×0.4＝0.38.(2)因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为p ＝0.3，所以ξ～B(3,0.3)． 故E(ξ)＝np ＝3×0.3＝0.9， V(ξ)＝np(1－p)＝3×0.3×0.7＝0.63.8.某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
几种常见的概率分布
几种常见的概率分布一、 离散型概率分布1. 二项分布n 次独立的贝努利实验，其实验结果的分布（一种结果出现x 次的概率是多少的分布）即为二项分布应用二项分布的重要条件是：每一种实验结果在每次实验中都有恒定的概率，各实验之间是重复独立的平均数： (Y)np X E μ==方差与标准差：2(1)X np P σ=-;X σ=特例：（0-1）分布若随机变量X 的分布律为1(x k)p (1p)k k p -==- k=0,1；0<p<1,则称X 服从参数p 的（0-1）分布2. 泊松分布泊松分布是一种用来描述一定的空间和时间里稀有事件发生次数的概率分布泊松分布变量x 只取零和正整数：0、1、2…..其概率函数为：(x)!x p e x μμ-=泊松分布的平均数：(x)E μμ==泊松分布的方差和标准差：2σμ=、σ=3. 超几何分布 P(X=k)=k n k M N M n N C C C -- 记X~（N ，M ，n ） P=M N期望：E(X)=np方差：D(X)=np(1-p)1N n N -- 适用范围：多次完全相同并且相互独立的重复试验，如果在有限总体中不重复抽样，抽样成功的次数X 的概率分布服从超几何分布，如福利彩票二、 连续型概率分布1. 均匀分布若随机变量X 具有概率密度函数(x)f =则称X 在区间（a ，b ）上服从均匀分布，记为X ~ U(a ，b)在区间（a ，b ）上服从均匀分布的随机变量X 的分布函数为0F(x),1x a x a a x b b a b x ⎧<⎪-⎪=≤<⎨-⎪≤⎪⎩2指数分布若随机变量X 具有概率密度函数,0(x)0,0x e x f x λλ-⎧≥=⎨<⎩ 其中0λ> 是常数，则称X 服从以λ 为参数的指数分布，记作~()X E λ ，X 的分布函数为1,0(x)0,0x e x F x λ-⎧-≥=⎨<⎩3.正态分布正态随机变量X 的概率密度函数的形式如下：22(x )2(x),f x μδ--=-∞<<∞式中，μ 为随机变量X 的均值；2δ 为随机变量X 的方差。
常见概率分布类型解析
常见概率分布类型解析概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率之间的关系。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，每种类型都有其特定的特征和应用场景。
本文将对常见的概率分布类型进行解析，包括离散型分布和连续型分布。
一、离散型分布1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型分布之一，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k为0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布描述了n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
例如，抛硬币n次，正面朝上的次数就是一个二项分布。
二项分布的概率质量函数为：P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生的次数。
例如，单位时间内电话呼叫的次数、单位面积内的交通事故发生次数等。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
二、连续型分布1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的连续型分布之一，它的概率密度函数在一个区间内是常数。
例如，抛硬币的结果可以用均匀分布来描述，因为正面和反面的概率是相等的。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a和b为区间的上下界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的连续型分布之一，也被称为高斯分布。
它的概率密度函数呈钟形曲线，对称分布于均值。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，例如身高、体重等。
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正面出现的频率 0.5069 0.5016 0.5005 0.4979
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【例3-2】 】
某地区几年来新生儿性别的统计资料如下 表所示, 表所示,由此可判断该地区新生儿为男婴 的概率是多少? 的概率是多少?
观察年份 新生儿数(个) 男婴数(个) 男婴比例(%) 新生儿数( 男婴数( 男婴比例(%) 2000 2001 2002 2003
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3.1 随机事件及其概率
随机试验与随机事件 随机事件的概率 概率的运算法则
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3.1.1随机试验与随机事件 随机试验与随机事件
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必然现象与随机现象
必然现象(确定性现象) 必然现象(确定性现象)
设有50件产品,其中有 件次品 件次品, 设有 件产品,其中有5件次品,现从这 件产品 50件中任取 件,求抽到的两件产品均为 件中任取2件 件中任取 合格品的概率是多少? 合格品的概率是多少?抽到的两件产品均 为次品的概率又是多少? 为次品的概率又是多少? 任一件被抽到的机会均等,而且从50 解:任一件被抽到的机会均等,而且从 件产品中抽出2件相当于从 件相当于从50个元素中取 件产品中抽出 件相当于从 个元素中取 2个进行组合,共有 502种可能,所以这 个进行组合, 个进行组合 共有C 种可能, 是一个古典概型. 是一个古典概型.
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相容事件的加法公式
相容事件
两个事件有可能同时发生 没有公共样本点
A
B
相容事件的加法公式 (广义加法公式 )
事件的和(并) 事件的和(
P ( A∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) - P ( AB )
事件的积( 事件的积(交)AB
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学习目标
1. 2. 3. 4. 5. 6.
理解随机事件的概念, 理解随机事件的概念,了解事件之间的关系 理解概率的三种定义, 理解概率的三种定义,掌握概率运算的法则 理解随机变量及其概率分布的概念 掌握二项分布, 掌握二项分布,泊松分布和超几何分布的背 景,均值和方差及其应用 掌握正态分布的主要特征和应用, 掌握正态分布的主要特征和应用,了解均匀 分布的应用 理解大数定律和中心极限定理的重要意义
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1624 1205 1512 1407
827 622 774 715
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0.509 0.516 0.512 0.508
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主观概率
有些随机事件发生的可能性, 有些随机事件发生的可能性,既不能通过等 可能事件个数来计算, 可能事件个数来计算,也不能根据大量重复 试验的频率来近似 主观概率——依据人们的主观判断而估计的 依据人们的主观判断而估计的 随机事件发生的可能性大小
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(补充)关于概率的公理化定义 补充) 补充
概率的以上三种定义,各有其特定的应用范围, 概率的以上三种定义,各有其特定的应用范围,也存在 局限性,都缺乏严密性. 局限性,都缺乏严密性. 古典定义要求试验的基本事件有限且具有等可能性 统计定义要求试验次数充分大,但试验次数究竟应该 取多大,频率与概率有多么接近都没有确切说明 主观概率的确定又具有主观随意性 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于1933年提出了概率的公理化 苏联数学家柯尔莫哥洛夫于 年提出了概率的公理化 定义 ——通过规定应具备的基本性质来定义概率 通过规定应具备的基本性质来定义概率 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础. 公理化定义为概率论严谨的逻辑推理打下了坚实的基础.
(随机性中寓含着规律性) ——统计规律性 统计规律性
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随机试验
严格意义上的随机试验满足三个条件:
试验可以在系统条件下重复进行; 试验的所有可能结果是明确可知的; 每次试验前不能肯定哪一个结果会出现.
广义的随机试验是指对随机现象的观察 (或实验).
根据古典概率定义可算出, 根据古典概率定义可算出,抛一枚质地均 匀的硬币, 匀的硬币,出现正面与出现反面的概率都 是0.5.历史上有很多人都曾经做过抛硬币 . 试验. 试验.
试验者 蒲丰 K.皮尔逊 皮尔逊 K.皮尔逊 皮尔逊 罗曼诺夫斯基
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试验次数 4040 12000 24000 80640
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概率的统计定义
很大时,事件A发生频率 当试验次数 n 很大时,事件 发生频率 m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动,而 上下波动, 且这种波动的幅度一般会随着试验次数增 加而缩小, 为事件A发生的概率 加而缩小,则定义 p 为事件 发生的概率
互斥事件的加法公式
P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) ∪
P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An )
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【例3-3】 】
设有50件产品,其中有 件次品 现从这50件中 件次品, 设有 件产品,其中有5件次品,现从这 件中 件产品 的概率? 任取2件 若问至少抽到一件次品的概率? 任取 件,若问 的概率 解:"至少抽到一件次品"这一事件实质上就是 至少抽到一件次品" "抽取的2件产品中有一件次品"(记为A)与 与 "抽取的两件产品均为次品"(记为B)这两个 这两个 事件的和.由于A与 是两个互斥事件 是两个互斥事件, 事件的和.由于 与B是两个互斥事件,故计算 至少抽到一件次品"的概率采用公式: "至少抽到一件次品"的概率采用公式: P(A∪B) =P(A)+P(B) ∪
P( A) = p ≈ m n
相当大时, 当n相当大时,可用事件发生的频率 相当大时 可用事件发生的频率m/n作 作 为其概率的一个近似值——计算概率的统 为其概率的一个近似值 计算概率的统 计方法(频率方法) 计方法(频率方法)
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例(补充) 补充)
第3章
概率与概率分布
数学定律不能百分之百确切地用在 现实生活里;能百分之百确切地用 数学定律描述的,就不是现实生活
Alber Einstein
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内容
3.1 随机事件及其概率 3.2 随机变量及其概率分布 3.3 大数定律与中心极限定理
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实际应用中多数试验不能同时满足上述条件, 常常从广义角度来理解.
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随机事件(事件) 随机事件(事件)
随机事件(简称事件) 随机事件(简称事件)
随机试验的每一个可能结果 常用大写英文字母A,B,… …,来表示
基本事件(样本点) 基本事件(样本点)
不可能再分成为两个或更多事件的事件
样本空间( 样本空间(Ω)
基本事件的全体(全集)
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随机事件( 随机事件(续)
复合事件
由某些基本事件组合而成的事件 样本空间中的子集 随机事件的两种特例
必然事件
在一定条件下,每次试验都必然发生的事件 只有样本空间 才是必然事件
不可能事件
在一定条件下,每次试验都必然不会发生的事件 不可能事件是一个空集(Φ)
概率的三种定义, 概率的三种定义,给出了确定随机事件概 率的三条途经. 率的三条途经.
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概率的古典定义 古典概型(等可能概型) 古典概型(等可能概型)
——具有以下两特点 每次试验的可能结果有限(即样本空间中基 本事件总数有限) 每个试验结果出现的可能性相同 ——它是概率论的发展过程中人们最早研
例如某经理认为新产品畅销的可能性是80%
人们的经验,专业知识, 人们的经验,专业知识,对事件发生的众多 条件或影响因素的分析等等, 条件或影响因素的分析等等,都是确定主观 概率的依据
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概率的基本性质
非负性: 对任意事件A,有 0 ≤ P(A)≤ 1. 规范性: 必然事件的概率为1,即: P()=1 不可能事件的概率为0 ,即:P(Φ)=0. 可加性: 若A与B互斥,则:P ( A∪B ) = P ( A ) + P ( B ) ∪ 对于多个两两互斥事件A1,A2,…,An,则有: P ( A1∪A2 ∪… ∪An) = P ( A1 ) + P (A2 ) + …+ P (An ) 上述三条基本性质,也称为概率的三条公理. 上述三条基本性质,也称为
究的对象
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概率的古典定义 概率的古典定义
前提:古典概型 定义(公式)
A 事件 中包含的基本事件数 m P( A) = = n 样本空间中基本事件总 数
计算古典概率常用到排列组合知识
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【例3-1】 】
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3.1.3概率的运算法则 3.1.3概率的运算法则
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DR. SHI SHAOBIN
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1. 加法公式