中考之专项：重要的几何模型

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2024年中考数学常见几何模型(全国通用)：三角形中的重要模型等积模型(原卷版)

专题07三角形中的重要模型-等积模型三角形的面积问题在中考数学几何模块中占据着重要地位，等积变形是中学几何里面一个非常重要的思想，下面的五大模型也都是依托等积变形思想变化而成的，也是学生必须掌握的一块内容。

本专题就三角形中的等积模型（蝴蝶（风筝）模型，燕尾模型，鸟头模型，沙漏模型，金字塔模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.等积变换基础模型1）等底等高的两个三角形面积相等；如图1，当AB //CD ，则ACD BCD S S △△；反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB //CD 。

图1图2图32）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如图2，当点D 是BC 边上的动点时，则S △ABD ∶S △ADC ＝BD ∶DC 。

如图3，当点D 是BC 边上的动点，BE ⊥AD ，CF ⊥AD 时，则S A ．4B ．例2．（河北省石家庄市2023-2024的边BD 上的中线，BF 是例4．（浙江省杭州市2023-2024 E为BC边上一点且BE例5．（2023春·江西萍乡如图1，AD是ABC理由：因为AD是又因为12ABDS BD所以三角形中线等分三角形的面积．基本应用：在如图(1)如图2，延长ABC 的边BC 到点D ，使CD BC ，连接DA 含a 的代数式表示）；(2)如图3，延长ABC 的边BC 到点D ，延长边CA 到点E ，使面积为2S ，则2S （用含a 的代数式表示）；(3)在图3的基础上延长AB 到点F ，使BF AB ，连接FD ，积为3S ，则3S（用含a 的代数式表示）；作CE AB ∥，连接AE 、BE模型2.蝴蝶（风筝）模型蝴蝶模型（定理）提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-半角模型(教师版)

专题16全等与相似模型-半角模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。

本专题就半角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.半角模型半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半。

思想方法：通过旋转（或截长补短）构造全等三角形，实现线段的转化。

解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。

半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论。

【模型展示】1）正方形半角模型条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④ AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。

2）等腰直角三角形半角模型条件： ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°；结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2；3）等边三角形半角模型（120°-60°型）条件： ABC 是等边三角形， BDC 是等腰三角形，且BD =CD ，∠BDC =120°，∠EDF =60°；结论：①△BDE ≌△CDG ；②△EDF ≌△GDF ；③EF ＝BE ＋FC ；④ AEF 的周长=2AB ；⑤DE 、DF 分别平分∠BEF 和∠EFC 。

4）等边三角形半角模型（60°-30°型）条件： ABC 是等边三角形，∠EAD =30°；结论：①△BDA ≌△CFA ；②△DAE ≌△FAE ；③∠ECF =120°；④DE 2＝(12BD ＋EC)2+2；5）半角模型（2 - 型）条件：∠BAC =2 ，AB =AC ，∠DAE = ；结论：①△BAD ≌△CAF ；②△EAD ≌△EAF ；③∠ECF=180°-2 。

中考数学几何模型大汇总

中考数学几何模型大汇总
当涉及到中考数学几何模型时，以下是一些常见的模型大汇总：
1. 三角形模型：
-等边三角形：三边长度相等的三角形。

-等腰三角形：两边长度相等的三角形。

-直角三角形：一个角度为90度的三角形。

-平面内角和为180度。

2. 四边形模型：
-正方形：四边相等且角度为90度的四边形。

-长方形：相对边相等且角度为90度的四边形。

-平行四边形：对边平行的四边形。

-梯形：有一对平行边的四边形。

-菱形：四边相等的四边形。

3. 圆模型：
-圆的面积和周长计算。

-弧长和扇形面积计算。

4. 空间几何模型：
-立体图形的表面积和体积计算：
-立方体：六个面都是正方形。

-直方体：六个面都是矩形。

-圆柱体：底面是圆形，侧面是矩形。

-圆锥体：底面是圆形，侧面是三角形。

-球体：所有点到球心的距离相等。

5. 相似模型：
-相似三角形：具有相同形状但不同大小的三角形。

-相似多边形：具有相同形状但不同大小的多边形。

6. 坐标几何模型：
-直角坐标系：平面上的点通过x轴和y轴的坐标进行定位。

-坐标点之间的距离和斜率计算。

这只是一些中考数学几何模型的大致汇总，其中还有很多其他模型和概念。

掌握这些模型和概念将有助于解决与几何相关的中考数学问题。

2024年中考数学常见几何模型(全国通用)圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(原卷版)

专题35圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。

实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。

而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。

模型1.米勒最大张角（视角）模型【模型解读】已知点A ，B 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的动点，则当C 在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

米勒定理：已知点AB 是∠MON 的边ON 上的两个定点，点C 是边OM 上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM 相切于点C 时，∠ACB 最大。

【模型证明】如图1，设C’是边OM 上不同于点C 的任意一点，连结A ，B ，因为∠AC ’B 是圆外角，∠ACB 是圆周角，易证∠AC ’B 小于∠ACB ，故∠ACB 最大。

在三角形AC’D 中，’’=+ADB AC D DAC’ADB AC D 又=ACB ADB ∵’ACB AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。

若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。

否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

A． 2,0B．例3．（2023·江苏南京·九年级统考期中）如图，在矩形是BC上一个动点，若∠DPM(1)如图，O 的半径为1，①已知点(1,1)A ，直接写出点已知直线2y ，直接写出直线2y 关于O 的“视角”；合条件的B 点坐标；(2)C 的半径为1，①点C 的坐标为若直线关于C 的“视角”为60 ，求k 的值；②圆心C 在模型2.定角定高模型（探照灯模型）定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：全等与相似模型-一线三等角(K字)模型(学生版)

专题14全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。

相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.一线三等角（K 型图）模型【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。

【常见模型及证法】同侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角（“K 型图”）钝角一线三等角条件：A CED B +CE=DE证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE异侧型一线三等角：锐角一线三等角直角一线三等角钝角一线三等角条件：FAC ABD CED +任意一边相等证明思路：,A B C BED +任一边相等BED ACE例1．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，8cm AB ，12cm AD ，点P 从点B 出发，以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 运动，到达点C 停止，同时，点Q 从点C 出发，以cm/s v 的速度沿CD 边向点D 运动，到达点D 停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v 为_____时，ABP △与PCQ △全等．例2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC= ，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．例3．（2022·广东·汕头市潮阳区一模）（1）模型建立，如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于D，过B作BE⊥ED于E．求证：△BEC≌△CDA；，OB=4，将线段AB绕（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin∠ABO=35点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x 5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．例4．（2023·湖南岳阳·统考一模）如图，在ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于点E ．（1）当∠BDA =115°时，∠EDC =______°，∠AED =______°；（2）线段DC 的长度为何值时，△ABD ≌△DCE ，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．例5．（2022·浙江杭州·一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD 是正方形，点E 在BC 上，DF ⊥AE 于F ，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF ≌△EAB ．理由如下：因为ABCD 是正方形（已知）所以∠B ＝90°且AD ＝AB 和AD ∥BC又因为DF ⊥AE （已知）即∠DFA ＝90°（垂直的意义）所以∠DFA ＝∠B （等量代换）又AD ∥BC 所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF 和△EAB 中12DFA B AD AB所以△ADF ≌△EAB （AAS ）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF 全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．例6．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ，AC BC ，AD CE ，BE CE ，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD ， 1.7cm DE ．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN 的边AM 、AN 上，AB AC ，点E ，F 在MAN 内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ．求证：ABE CAF ≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC 中，AB AC ，AB BC ．点D 在边BC 上，2CD BD ，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ．若ABC 的面积为15，则ACF 与BDE 的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）例7．（2023·贵州遵义·八年级统考期末）过正方形ABCD （四边都相等，四个角都是直角）的顶点A 作一条直线MN ．（1）当MN 不与正方形任何一边相交时，过点B 作BE MN 于点E ，过点D 作DF MN 于点F 如图（1），请写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系，并证明你的结论．（2）若改变直线MN 的位置，使MN 与CD 边相交如图（2），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明；（3）若继续改变直线MN 的位置，使MN 与BC 边相交如图（3），其它条件不变，EF ，BE ，DF 的关系又会发生变化，请直接写出EF ，BE ，DF 的数量关系，不必证明．模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1）一线三等角模型（同侧型）（锐角型）（直角型）（钝角型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED.2）一线三等角模型（异侧型）条件：如图，∠1=∠2＝∠3，结论：△ADE∽△BEC.3）一线三等角模型（变异型）图1图2图3①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，结论：△ACE∽△BED∽△ECD.②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM.例1．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，ABC，为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，60ADE若4DE ，则AD的长为（）BD DC， 2.4A．3B．5C．2例3．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在 ABC中，∠BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD⊥直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在 ABC中，沿 ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI之间的数量关系：．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图（2），当90 时，直接写出GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图（1），求GCF 与的数量关系．问题拓展：(3)将图（1）特殊化，如图（3），当120 时，若12DG CG ，求BE CE 的值．例5．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC中，90ACB，AC BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：ADC CEB△≌△．（1）探究问题：如果AC BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB△∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x与直线CD交于点 2,1M，且两直线夹角为，且3tan2，请你求出直线CD的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB ，5BC ，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90 ，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD 外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．【观察与猜想】(1)如图1，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，AD则DECF的值为___________；(2)如图2，在矩形ABCD中，7AD ，BD，若CE BD，则CEBD的值为___________；【类比探究】(3)如图3，在四边形ABCD中，90A B，E为线交ED的延长线于G，交AD的延长线于F，求证：DE AB CF课后专项训练1．（2022·湖南·长沙市二模）如图，等腰直角三角形ABC 的直角顶点C 与坐标原点重合，分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足为D 、E ，点A 的坐标为（-2，5），则线段DE 的长为（）A ．4B ．6C ．6.5D ．72．（2022·贵州·凯里一模）如图，在平面直角坐标系中 0,4A 、 6,0C ，BC x 轴，存在第一象限的一点 ,25P a a 使得PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标（）．A ． 3,1或 3,3B ． 5,5C ． 3,1或 5,5D ．3,3A ． 9,3B ． 9,24．（2023·湖南长沙·九年级专题练习）如图，在矩形CD 或延长线上运动，且∠BEF5．（2021·浙江台州·中考真题）如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG．若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝_____．7．（2022·安徽·九年级专题练习）如图，矩形取BE的中点G，点G绕点E运动路径=，△CEF10．（2023·浙江·九年级期末）如图，已知ABC 和CDE 均是直角三角形，Rt ACB CED ，AC CE ，AB CD 于点F ．（1）求证：ABC ≌CDE ；（2）若点B 是EC 的中点，10cm DE ，求AE 的长．11．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ，AE =BD ，则AED ≌_______；②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF ，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l 于E ，CF l 于F ．若1AE ，2CF ，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，BE CE 于E ，AD ⊥CE 于D ，4cm DE ，6cm AD ，求BE 的长．12．（2022·江苏镇江·二模）模型构建：如图1，AM MN 于点M ，BN MN 于点N ，AB 的垂直平分线交MN 于点P ，连接AP 、BP ．若90APB ，求证：AM BN MN ．数学应用：如图2，在ABC 中，D 是BC 上一点，AC AD BD ，90CAD ，8AB ，求ABC 的面积．实际运用：建设“交通强国”是满足人民日益增长的美好生活需要的必然要求．建设“美丽公路”是落实美丽中国建设、回应人民日益增长的美好生活对优美生态环境的需要．如图3是某地一省道与国道相交处的示意图，点Q 处是一座古亭，鹅卵石路QA 、QB 以及 AB 两旁栽有常青树，其它区域种植不同的花卉；设计要求QA QB ，QA QB ， AB 是以Q 为圆心、QA 为半径的圆弧（不计路宽，下同）．请在图4中画出符合条件的设计图，要求尺规作图，保留作图痕迹，标注必要的字母，写出详细的作法，不要求说明理由；13．（2022·黑龙江·桦南县九年级期中）如图1，在ABC 中，90ACB ，AC BC ，直线MN 经过点C ，且AD MN 于D ，BE MN 于E ．(1)由图1，证明：DE AD BE ；(2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，请猜想出DE ，AD ，BE 的等量关系并说明理由；(3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．14．（2022·黑龙江佳木斯·三模）在ABC 中，90ABC ，AB BC ，D 为直线AB 上一点，连接CD ，过点B 作BE CD 交CD 于点E ，交AC 于点F ，在直线AB 上截取AM BD ，连接FM ．（1）当点D ，M 都在线段AB 上时，如图①，求证：BF MF CD ；（2）当点D 在线段AB 的延长线上，点M 在线段BA 的延长线上时，如图②；当点D 在线段BA 的延长线上，点M 在线段AB 的延长线上时，如图③，直接写出线段BF ，MF ，CD 之间的数量关系，不需要证明．15．（2022·安徽·合肥二模）（1）如图1，等腰直角ABC 中，90ACB ，CB CA ，线段ED 经过点C ，过A 作AD ED 于点D ，过B 作BE ED 于.E 求证：BEC △≌CDA ．（2）如图2，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为 0,4，点C 的坐标为 3,0 ，点B 是平面直角坐标系中的一点，若ABC 是以AC 为直角边的等腰直角三角形，求点B 的坐标；（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，在等腰直角OAB 中，90OAB ，4OA AB ，点M 在线段OB 上从O 向B 运动(运动到点B 停止)，以点M 为直角顶点向右上方做等腰直角AMN ，求点N 移动的距离．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当FEC ②如图2，当2tan 3FCE 时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点时，求证：AE AF ．18．（2023·广东深圳·九年级校考阶段练习）如图，在ABC 中6cm AB AC ，8cm BC ，点E 是线段BC 边上的一动点（不含B 、C 两端点），连接AE ，作AED B ，交线段AB 于点D ．(1)求证：BDE CEA △∽△(2)设BE x ，AD y ，请求y 与x 之间的函数关系式．(3)E 点在运动的过程中，ADE V 能否构成等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由．19．（2023·浙江·九年级专题练习）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线AB 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，2OA ，AOB 的面积为2．(1)如图1，求直线AB 的解析式．(2)如图2，线段OA 上有一点C ，直线BC 为2(0)y kx k k ，AD y 轴，将BC 绕点B 顺时针旋转90 ，交AD 于点D ，求点D 的坐标．（用含k 的式子表示）(3)如图3，在（2）的条件下，连接OD ，交直线BC 于点E ，若345ABC BDO ，求点E 的坐标．20．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB ，6BC ．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM 的最小值；②当AG GM 取最小值时，求线段DE 的长．。

中考必会几何模型,31个模型轻松搞定所有中考几何题无答案

中考必会几何模型——31个模型轻松搞定所有中考几何题目录第一章8字模型与飞镖模型 (2)第二章角平分线四大模型 (5)第三章截长补短 (10)第四章手拉手模型 (13)第五章三垂直全等模型 (15)第六章将军饮马 (18)第七章蚂蚁行程 (24)第八章中点四大模型 (27)第九章半角模型 (33)第十章相似模型 (37)第十一章圆中的辅助线 (47)第十二章辅助圆 (54)第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。

模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。

热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。

2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。

OD CBA图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBA模型2 角的飞镖模型如图所示，有结论： ∠D =∠A +∠B +∠C 。

模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。

模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。

探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。

HG EF DCBADCBAMDCBAO135EFDC BA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：AC +BD >AD +BC 。

中考数学几何模型大汇总

中考数学几何模型大汇总下面是中考几何模型的大汇总：1、平面直角坐标系模型平面直角坐标系模型中，我们可以使用坐标系来描述平面上图形和点的位置关系。

这个模型常用于图形的平移、旋转、对称等问题。

2、矩形模型矩形模型用于讨论四边形的性质、面积、周长等问题。

在这个模型中，我们将四边形近似为一个矩形，从而使问题更易解决。

3、三角形模型三角形模型是中考中最常见的模型之一、它可以用于计算三角形的面积、周长，讨论三角形的性质。

在这个模型中，我们通常使用海伦公式、正弦定理、余弦定理等方法来求解。

4、圆形模型圆形模型用于讨论圆、弧、扇形等问题。

在这个模型中，我们通常使用圆的周长、面积公式，以及角度与弧长的关系来进行计算。

5、球体模型球体模型用于讨论球体的体积、表面积以及球冠、球缺等问题。

在这个模型中，我们通常使用球的体积、表面积公式，以及球冠、球缺的体积和表面积公式来求解。

6、棱锥模型棱锥模型用于讨论棱锥的体积、表面积、正棱锥、锥台等问题。

在这个模型中，我们通常使用棱锥的体积、表面积公式，以及正棱锥、锥台的体积和表面积公式来求解。

7、棱柱模型棱柱模型用于讨论棱柱的体积、表面积、正棱柱、柱台等问题。

在这个模型中，我们通常使用棱柱的体积、表面积公式，以及正棱柱、柱台的体积和表面积公式来求解。

8、立体几何模型立体几何模型用于讨论正方体、长方体、正六面体等立体图形的体积、表面积、对角线等问题。

在这个模型中，我们通常使用立体图形的体积、表面积公式，以及对角线长的求法来计算。

总之，几何模型是中考数学中重要的一环，通过利用这些模型，我们可以更好地理解几何知识，更好地应对考试。

中考几何48个模型及题型

中考几何48个模型及题型中考几何常见的48个模型及题型主要包括以下几类：
1. 直线与角。

a. 直线与角的性质，如同位角、对顶角等。

b. 直线间的夹角关系，如邻补角、对顶角等。

2. 三角形。

a. 三角形的性质，如三角形内角和为180度、三角形的外角性质等。

b. 三角形的全等与相似，如全等三角形的判定条件、相似三角形的性质等。

c. 三角形的高、中线、角平分线等线段的性质。

3. 四边形。

a. 平行四边形的性质，如对角线互相平分、对角线长度关系等。

b. 矩形、菱形、正方形和长方形的性质，如对角线长度关系、边长关系等。

c. 梯形的性质，如梯形的中位线、高的性质等。

4. 圆。

a. 圆的性质，如圆心角、弧、切线等。

b. 圆的相交关系，如相交弦定理、相交弧的性质等。

5. 相似。

a. 图形的相似性质，如相似三角形的判定条件、相似多边形的性质等。

b. 相似三角形的应用，如相似三角形的边比例定理、高线定理等。

6. 地理中的几何。

a. 地图的比例尺计算。

b. 方位角的计算。

c. 测量角度、距离等。

以上是中考几何常见的48个模型及题型，涵盖了直线与角、三角形、四边形、圆、相似和地理中的几何等多个方面。

希望这些信息能够帮助到你。

中考数学几何五大模型

一、等积变换模型⑴等底等高的两个三角形面积相等;其它常见的面积相等的情况⑵两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。

如上图12::S S a b =⑶夹在一组平行线之间的等积变形,如下图ACD BCD S S =△△；反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD 。

⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半;⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；二、鸟头定理（共角定理）模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图,在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点（如图1）或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上（如图2），则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△五大模型1S 2S图1 图2三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。

梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”）①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +.四、相似模型相似三角形性质：金字塔模型沙漏模型 ①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22::ADE ABC S S AF AG =△△。

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方.五、燕尾定理模型S △ABG :S △AGC =S △BGE :S △EGC =BE :EC S △BGA :S △BGC =S △AGF :S △FGC =AF :FC S △AGC :S △BCG =S △ADG :S △DGB =AD :DB典型例题精讲例1 一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积是长方形面积的0。

中考必会几何模型：倍长中线模型

倍长中线模型模型讲解【结论】如图所示，AD是△ABC的中线，延长AD至点A'，使得DA'=AD，连接CA'，则AB= A'C，AB∥A'C.【证明】在△ABD和△A'CD中，{DB=CD .∠BDA=∠CDA′，AD=A′D.∴△ABD ≌△A'CD(SAS).∴AB=A'C.∠ABD=∠A'CD，∴AB//A'C.模型拓展【模型1】(直接倍长）△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD 到点E，使DE=AD，连接BE.【模型2】(间接倍长)△ABC中，AD是BC边上的中线.(1)如图，作CF⊥AD于点F. 作BE⊥AD交AD的延长线于点E.(2)如图，点M（不与A，B重合)是AB上一点，连接MD并延长至点N，使DN=MD，连接CN.典型例题典例1如图，△ABC中，若AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD长度的取值范围为（）.A. 6＜AD＜8B. 6≤AD≤8C. 1＜AD＜7D. 1≤AD≤7典例2如图，AD是△ABC的中线，E，F分别在边AB，AC上(E，F不与端点重合)，且DE⊥DF，则（）.A.BE+CF>EFB.BE+CF=EFC.BE+CF<EFD.BE+CF与EF的长短关系不确定典例3如图所示，E是BC 的中点，∠BAE=∠CDE.若AB=6.则CD=（）.A.6B.3C.12D.无法确定典例4已知AD是△ABC的边BC上的中线，AB=12，AC=8，则边BC及中线AD的取值范围分别是（）.A. 4<BC<20，2<AD<10B. 4<BC<20，4<AD<20C. 2<BC<10，2<AD<10D. 2<BC<10，4<AD<20初露锋芒1.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，则中线AD长度的取值范围（）.A.1<AD<6B.2<AD<12C.5<AD<7D.无法确定2.阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明.已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE.求证；AB=CD.分折：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形成等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等.因此，要证AB=CD.必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形. 现给出如下三种添加辅助线的方法，请任意选择其中一种，对原题进行证明.感受中考1.（2020山东德州中考真题）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6.AC=4.AD是中线，求AD的取值范围.她的做法是：延长AD到E，使DE=AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决.请回答下列各题.（1）小红证明△BED≌△CAD的判定理由是____________________.（2）AD的取值范围是_______________________________________.方法运用：（3）如图2，AD是△ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证；BF=AC.（4）如图3.在矩形ABCD中,ABBC =12，在BD上取一点F，以BF为斜边作Rt△BEF，且FEBE =12，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG.答案典例1【答案】C【解析】如图，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线模型可知BE=AC.∵AB-BE<AE<AB+BE，∴AB-AC<AE<AB+AC.∵AB=8，AC=6，∴8-6<AE<8+6，∴2<AE<14.∵AD=ED，∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，即2<2AD<14，1<AD<7.故选C.典例2【答案】A【解析】如图，延长ED至点G，使DG=ED.连接CG，FG.∵AD是BC边上的中线，∴由倍长中线的拓展模型可得CG=BE.又∵DE⊥DF，DG⊥ED，∴FD是EG的垂直平分线，∴FG=EF.∵GC+CF>FG ，∴BE+CF>EF. 故选A. 典例3 【答案】A【解折】如图，延长DE 至点G ，使得DE=EG ，连接 BG. 由模型知△GBE ≌△DCE. 所以∠BAE=∠CDE=∠BGE. 所以BG=AB=DC=6. 故选A. 典例4 【答案】A【解析】在△ABC 中.则AB-AC ＜BC ＜AB+AC. 即12-8＜BC ＜12+8，4＜BC ＜20, 延长AD 至点E ，使AD=DE ，连接BE ， ∵AD 是△ABC 的边BC 上的中线， ∴BD=CD.又∠ADC=∠BDE ，AD=DE ∴△ACD≌△EBD(SAS). ∴BE=AC.在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，即AB-AC ＜AE ＜AB+AC.12-8＜AE＜12+8.即4＜AE＜20.∴2＜AD＜10.故选A.初露锋芒1.【答案】A【解折】如图，延长AD至点E，使AD=ED.连接CE.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD.∴根据倍长中线模型结论可知△ABD≌△ECD.∴AB=EC.∵AC-EC<AE<AC+EC，∴AC-AB<AE<AC+AB.∵AC=7，AB=5,∴7-5＜AE＜7+5,∴2<AE<12.∵AD=ED.∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD，∴2<2AD<12.∴1<AD<6.故选A.2. 【答案】D【解折】方法一；作BF⊥DE交DE的延长线于点F，作CG⊥DE于点G，∴∠F=∠CGE=90°.又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE.∴△BFE≌△CGE(AAS).∴BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°,∠BAE=∠CDE.BF=CG，∴△ABF≌△DCG(AAS).∴AB=CD.方法二：作CF∥AB.交DE的延长线于点F，则∠F=∠BAE.又∵∠BAE=∠D，∴∠F=∠D.∴CF=CD.∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE,∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴АВ=СF.∴AB=CD.方法三：延长DE 至点F ，使EF=DE ，连接BF.∵BE=CE ，∠BEF=∠CED ，EF=DE.∴△BEF ≌△CED(SAS),∴BF=CD. ∠D=∠F.又∵∠BAE=∠D,∴∠BAE=∠F.∴AB=BF.∴AB=CD.感受中考1.【解折】（1）∵AD 是中线，∴BD=CD.在△HED 和△CAD 中，{ED =AD,∠EDB =∠ADC.BD =CD∴△BED ≌△CAD(SAS).故答案为SAS:（2）∵△BED ≌△CAD.∴AC=BE=4.又∵AB=6.∴2<AE<10.∵AE=2AD.∴1<AD<5.故答案为1<AD<5.（3）如图，延长AD至点A'.使A'D=AD.∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ADC 和△A'DB中.{AD=A′D.∠ADC=∠A′DBCD=BD∴△ADC≌△A'DB.∴∠CAD=∠A'，AC=A'B.又∵AE=EF.∴∠CAD=∠AFE.∴∠A'=∠AFE.又∵∠AFE=∠BFD.∴∠BFD=∠A'，∴BF=A'B.又∵A'B=AC.∴BF=AC.（4）如图，延长CG至点H，使HG=CG.连接HF，HE，CE.∵G为FD的中点，∴FG=DG，在△HGF 和△CGD中，{HG−CG，∠HGF=∠CGD FG=DG.∴△HGF≌△CGD.∴HF=CD，∠HFG=∠CDG.在Rt△BEF中，∵EFBE =12，∴tan∠EBF= 12.又在矩形ABCD中，ABBC =1 2.∴ABAD =1 2.∴tan∠ADB= 12.∴∠EBF=∠ADB.又AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.∴∠EBF=∠ADB=∠DBC.∵∠EFD为△BEF的外角。

中考几何综合压轴题十大模型

中考几何综合压轴题十大模型包括：
1. “12345”模型：适用于和为30度、60度的证明，以及倍长中点的相关证明。

2. “半角”模型：说明上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

3. “角平分线”模型：角平分线定理的应用，以及角平分线+垂线=等腰三角形，角分线+平行线=等腰三角必呈现等的应用。

4. “手拉手”模型：适用于两个等腰三角形，顶角相等，顶点重合的情况，可以证明三角形全等，手的夹角相等，顶点连手的交点得平分。

5. “将军饮马”模型：最短路径问题，适用于解决两点之间距离最短的问题。

6. “中点”模型：中点旋转的模型，可以解决旋转全等问题。

7. “垂直”模型：垂直也可以做为轴进行对称全等。

8. “旋转全等”模型：通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

9. “自旋转”模型：遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角。

10. “共旋转”模型：通过“8”字模型可以证明。

以上就是中考几何综合压轴题的十大模型，希望对你有所帮助。

中考数学题中的几何模型

有关“中考数学题”中的几何模型
有关“中考数学题”中的几何模型如下：
1.直角三角形模型：直角三角形是初中数学中常见的几何模型之一，它涉及到勾股定
理、直角三角形的性质等知识点。

在中考数学题中，直角三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。

2.相似三角形模型：相似三角形是初中数学中另一个重要的几何模型，它涉及到相似三
角形的性质、相似三角形的判定条件等知识点。

在中考数学题中，相似三角形模型通常会出现在与三角形、四边形、圆等相关的题目中。

3.梯形模型：梯形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到梯形的性质、梯形的面
积计算等知识点。

在中考数学题中，梯形模型通常会出现在与四边形、圆等相关的题目中。

4.圆与扇形模型：圆与扇形是初中数学中常见的几何图形之一，它涉及到圆的性质、扇
形的面积计算等知识点。

在中考数学题中，圆与扇形模型通常会出现在与圆、扇形、三角形等相关的题目中。

中考数学常见的11种几何模型

中考数学常见的11种几何模型一、三角形的不等关系模型：A字型、K字型、X字型1. 三角形两边之和大于第三边；2. 三角形两边之差小于第三边；3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；4. 直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半；5. 三角形三个内角之和等于180度。

二、全等、相似模型模型：A字型全等、A字型相似、8字型全等、8字型相似、蝴蝶型全等、蝴蝶型相似、平行型全等、平行型相似、等积模型等。

三、平行四边形模型模型：平行四边形ABCD中，E为AB中点，则：AC、DE互相平分；模型：平行四边形ABCD中，AC、BD交于O，则：AO=CO，BO=DO；模型：平行四边形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

四、梯形模型模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BE=FE；模型：梯形ABCD中，A、B在直线EF上，则：延长DC交AB延长线于F，则：梯形ABCD面积等于三角形面积的2倍；模型：梯形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

五、矩形模型模型：矩形ABCD中，E为BC中点，则：AE平分角BAD；模型：矩形ABCD中，E为AD中点，则：AF平分角ABC；模型：矩形ABCD中，AC平分角BAD，则：四边形ABCD为菱形。

六、多边形模型模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，则：延长BE交DC延长线于F，则：BF=FE；模型：任意多边形ABCD中，E为AD中点，延长BE交DC延长线于F，则：EF=FC。

七、燕尾模型模型：在三角形ABC中，BD平分角ABC，CE平分角ACB，则：点D、E在BC同旁，则：三角形ADE的面积等于三角形ABC面积的一半。

八、风筝模型模型：在三角形ABC中，点D、E在BC上，且AD平分角BAE，则：三角形ABC与三角形ADE的面积相等。

九、铅笔模型模型：在矩形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，则：EF平行于AD，则：矩形ABFE与矩形EFCD相似。

(完整版)中考数学常见几何模型简介

、
均为等腰直角三角形；②
；
? 结论： ①
；②
第4页
（ 2）任意相似直角三角形 360°旋转模型 - 补全法
? 条件： ① ? 结论： ①
；② ；②
;③
。
（ 2）任意相似直角三角形 360°旋转模型 - 倍长法
? 条件： ① ? 结论： ①
；② ；②
;③
。
模型七：最短路程模型
（ 1）最短路程模型一（将军饮马类）
，即
.
，交轴于点，即为所求；
模型八：二倍角模型
第6页
模型九：相似三角形模型
（ 1）相似三角形模型 - 基本型
（ 2）相似三角形模型 - 斜交型
（ 3）相似三角形模型 - 一线三角型
（ 4）相似三角形模型 - 圆幂定理型
第7页
（ 2）全等型 -120 ° ? 条件：① ? ② 平分 ? 结论：①
；；②
；；
?③ ? 证明提示： ①可参考“全等型 -90°”证法一；
② 如图：在 OB 上取一点 F ，使 OF=OC ，证明为等边三角形。
（ 3）全等型 -任意角
? 条件：①
? 结论：①
平分
；②
；②
；
；
?③
.
?当
的一边交 AO 的延长线于点 D 时（如右上图）：
。
（ 2）倍长中线类模型 -2
? 条件： ①平行四边形 ? 结论：
；②
；③
；④
.
模型六：相似三角形 360°旋转模型
（ 1）相似三角形（等腰直角） 360°旋转模型 - 倍长中线法
? 条件： ① ? 结论： ①
、
均为等腰直角三角形；②

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：13 全等模型-倍长中线与截长补短模型(学生版)

专题13全等模型-倍长中线与截长补短模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.倍长中线模型【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【常见模型及证法】1、基本型：如图1，在三角形ABC 中，AD 为BC 边上的中线.证明思路：延长AD 至点E ，使得AD =DE .若连结BE ，则BDE CDA ；若连结EC ，则ABD ECD ；2、中点型:如图2，C 为AB 的中点.证明思路：若延长EC 至点F ，使得CF EC ，连结AF ，则BCE ACF ;若延长DC 至点G ，使得CG DC ，连结BG ，则ACD BCG .3、中点+平行线型：如图3,//AB CD ，点E 为线段AD 的中点.证明思路：延长CE 交AB 于点F (或交BA 延长线于点F )，则EDC EAF .例1．（2023·江苏徐州·模拟预测）（1）阅读理解：如图①，在ABC 中，若8AB ，5AC ，求BC 边上的中线AD 的取值范围．可以用如下方法：将ACD △绕着点D 逆时针旋转180 得到EBD △，在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD 的取值范围是______；（2）问题解决：如图②，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE DF 于点D ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：BE CF EF ；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，180BCD，以C为顶点作，100，CB CDB D一个50 的角，角的两边分别交AB、AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并说明理由．例2．（2023·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．例3．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF DE ，连接CF ，证明ADE CFE ≌，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．类比迁移：（1）如图2，AD 是ABC 的中线，E 是AC 上的一点，BE 交AD 于点F ，且AE EF ，求证：AC BF ．小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD FD ，连接MC ，……请根据小亮的思路完成证明过程．方法运用：（2）如图3，在等边ABC 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，F 是线段BE 的中点，连接DF 、CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明．例4．（2022·河南商丘·一模）阅读材料如图1，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE 到点F ，使EF ＝DE ，连接CF ，证明△ADE ≌△CFE ，再证四边形DBCF 是平行四边形即得证．(1)类比迁移：如图2，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ，且AE ＝EF ，求证：AC ＝BF ．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD 至点M ，使MD ＝FD ，连接MC ，……请根据小明的思路完成证明过程．(2)方法运用：如图3，在等边△ABC 中，D 是射线BC 上一动点（点D 在点C 的右侧），连接AD ．把线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ．F 是线段BE 的中点，连接DF ，CF ．请你判断线段DF 与AD 的数量关系，并给出证明；模型2.截长补短模型【模型解读】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。

2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)专题40 重要的几何模型之12345模型(原卷版)

专题40重要的几何模型之12345模型初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开直角三角形。

今天我们要重点介绍的“12345”模型就是中考（选填题）解题神器，需要我们反复断钻研、领悟。

现在带领大家领略一下，“12345”模型的独特魅力。

【模型解读】模型1、12345模型及其衍生模型【模型来源】2019年北京市中考如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB +∠PBA ＝（）°（点A ，B ，P 是网格交点）．该类问题解法很多，这里我们就根据现有的方格纸来构造一个等腰直角三角形。

如图，即：∠PAB +∠PBA =∠BPQ =45°。

上面的∠PAB 和∠PBA 便是今天要说的特殊角，除了它们的和为45°之外，用三角函数的观点来看：tan ∠PAB =12，tan ∠PBA =13，对于这里的数据，为了便于记忆，总结为“12345”模型。

∠α+∠β＝45°；∠α+45°＝∠GAF ；∠DAF +45°＝∠EAH ；∠α+∠β＝135°；∠α+∠β＝90°；∠ADB +∠DBA ＝∠BAC ；∠ADB +∠DBA ＝∠BAC ；切记：做题不光要知道题目告诉我什么，还要根据已知的信息，思考这里需要什么，而“12345”模型用来解决相关的选填题非常方便。

下面所列举的个别题，利用“12345”解题也许未必是最简，最巧妙的，但至少可以成为一种通性通法，可以在短时间内快速破题。

毕竟在考试的时候时间非常宝贵的。

例1．（2022·四川乐山·中考真题）如图，在Rt ABC 中，90C ，BC D 是AC 上一点，连接BD ．若1tan 2A，1tan 3ABD ，则CD 的长为（）A ．B ．3CD ．2例3.（2023.湖北黄冈.中考真题）如图，矩形弧，分别交BC ，BD 于点过点C 作BP 的垂线分别交A ．10B ．例5.（2022.四川泸州中考真题）过点E作DE的垂线交正方形外角MN的长为（）A．2B．5例7.（2023.呼和浩特中考真题）如图，正方形M，F是AD上一点，连接MH ．课后专项训练A ．14B ．122.（2018湖北中考真题）如图，正方形ABCD 中，AB =6，G 是BC 的中点，将△ABG 沿AG 对折至△AFG ，延长GF 交DC 于点E ，则DE 长是()A ．1B ．1.5C ．2D ．2.53.（2021宜宾中考真题）如图，在矩形纸片ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，AD 上，将矩形纸片沿CE ，CF 折叠，点B 落在H 处，点D 落在G 处，点C ，H ，G 恰好在同一直线上，若AB ＝6，AD ＝4，BE ＝2，则DF 的长是（）．A ．2B ．74C D ．3CD BAEF G H4.（2023.湖北九年级期中）如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 是AB 边延长线上一点，BE ＝2，FA ．①②③B 6.（2023.山东九年级期中）如图，将已知矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 上，记为点B'，折痕为CE ，再将CD 边斜向下对折，使点D 落在B'C 上，记为点D'，折痕为CF ，若B'D'＝2，BE ＝13BC ，则矩形纸片ABCD 的面积为_________．A DBCE FD′B′8.（2023.成都市九年级期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 在BC 上，点F 是CD 的中点，∠EAF ＝45°，连接AE 与BF 交于点G ，连接AF 与DG 交于点H ，则DHHG的值为_________．AD BCEF G H 9.（2022.北部湾中考真题）如图，在正方形ABCD 中，AB＝AC ，BD 相交于点O ．点E 是对角线AC 上一点，连接BE ，过点E 作EF ⊥BE ，分别交CD ，BD 于点F ，G ，连接BF 交AC 于点H ，将△EFH 沿EF 翻折，点H 的对应点H′恰好落在BD 上，得到△EFH′．若点F 为CD 的中点，则△EGH′的周长是_________．A D EH′FGHO BC 10.（2023.成都市九年级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，点E 、F 分别在BC 、CD 上，若AE =5，∠EAF =45°，则AF 的长为.11.（2019盐城中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y =2x -1的图像分别交x 、y 轴于点A 、B ，将直线AB 绕点B 顺时针旋转45°，交x 轴于点C ，则直线BC 的函数表达式是_______________．12.（2017无锡中考真题）在如图的正方形方格纸上，每个小的四边形都是相同的正方形，A 、B 、C 、D 都在格点处，AB 与CD 相交于O ，则tan ∠BOD 的值等于__________．13.（2023甘肃天水中考模拟）如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接OB ，将纸片OABC 沿OB 折叠，使点A 落在点A ’位置，OB，tan ∠BOC =12，则点A’的坐标为____________．14.（2023.广东九年级期中）如图，折叠边长为4cm 的正方形纸片ABCD ，折痕是DM ，点C 落在点E 处，分别延长ME ，DE 交AB 于点F ，G ，若点M 是BC 边的中点，则FG ＝_________cm ．DC ABFMEG 15.（2017浙江丽水中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-x +m 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，已知点C （2，0），点P 为线段OB 的中点，连接PA 、PC ，若∠CPA =∠ABO ，则m 的值是__________．16.（2023·龙华区九年级上期末）如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为BC的中点，将△ABE沿直线AE折叠后，点B落在点F处，AF交对角线BD于点G，则FG的长是________．17.（2023·山东·中考模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，BE＝2，则DF的长为_________．A DFEB C19．（21·22·深圳·模拟预测）的图象上．作射线AB，再将射线20．（2023上·绍兴·期中）如图，已知点93的图象上，作射线AB的坐标为．21．（21·22下·江苏·专题练习）23．（22·23上·齐齐哈尔·期末）则sin BAD 的值为解析：连接AE ,EF ，导出BOD 题.具体解法如下：连接AE ,EF ，则AE FAE BOD ，根据勾股定理可得：222(2)(32)(25) ∵，FAE 是直角三角形，32tan 32FE FAE AE即tan BOD 任务：（1）如图2，M ,N ,G ,H 四点均在边长为的值.中HPN的正切值；（2）如图3，A,B,C均在边长为1的正方形网格的格点上，请直接写出tan BAC。

2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)圆中的重要模型之阿基米德折弦(定理)模型(原卷版)

如图 2，△ABC 中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D 是 AB 上一点，BD＝1，作 DE⊥AB 交△ABC 的外
接圆于 E，连接 EA，则∠EAC＝
°．
例 2．（2023·浙江温州·九年级校考阶段练习）阿基米德是古希腊最伟大的数学家之一，他曾用图 1 发现了
阿基米德折弦定理．如图 2，已知 BC 为⊙O 的直径，AB 为一条弦(BC AB)，点 M 是 ABC 上的点，MD⊥BC
如图 1 所示，AB 和 BC 是⊙O 的两条弦(即 ABC 是圆的一条折弦)，BC>AB，M 是 A BC 的中点，则从 M
向 BC 所作垂线之垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD=AB+BD。
M B
D
C
F
M
B
D
C
M
HM C
C
B
DG
B
DG
A
A
A
A
图1 常见证明的方法：
图2
图3
图4
1）补短法：如图 2，如图，延长 DB 至 F，使 BF=BA；
例 4．（2023·江苏·九年级假期作业）问题呈现：阿基米德折弦定理：如图 1， AB 和 BC 是 O 的两条弦（即折线 ABC 是圆的一条折弦），BC AB ，M 是 ABC 的中点，则从 M 向 BC 所作垂线的垂足 D 是折弦 ABC 的中点，即 CD AB BD ．下面是运用“截长法”证明 CD AB BD 的部分证明过程．
例 5．（2023·河南商丘·统考二模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周

2024年中考数学几何模型归纳(全国通用)：三角形中的导角模型-飞镖模型风筝模型角内翻模型(学生版)

专题02三角形中的导角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型近年来各地中考中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。

熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。

本专题就飞镖型、风筝模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型）图1图2图3条件：如图1，凹四边形ABCD ；结论：①BCD A B D ；②AB AD BC CD 。

条件：如图2，线段BO 平分∠ABC ，线段OD 平分∠ADC ；结论：∠O =12（∠A +∠C ）。

条件：如图3，线段AO 平分∠DAB ，线段CO 平分∠BCD ；结论：∠O =12（∠D-∠B ）。

飞镖模型结论的常用证明方法：例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务：有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和．A．19 B．20例4.（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形ABC 中，AB AC BC ，为三角形内任意一点，连结AP ，并延长交BC 于点D .求证：（1）AB AC AD BC ；（2）AB AC AP BP CP . AB D CP 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究BDC 与A 、B 、C 之间的关系，并说明理由；应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点60A ，则ABX ACX ；②如图o 3，ABE 、ACE 的2等分线（即角平分线）CF 相交于点F ，若60BAC ，130BEC ，求BFC 的度数；模型2、风筝模型（鹰爪模型）图1图21）风筝（鹰爪）模型：结论：∠A +∠O =∠1+∠2；2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠A +∠O=∠2-∠1。

2024年中考数学几何模型(全国通用)三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型(教师版)

专题10.三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578模型模型1、垂美四边形模型规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形图1图2图3条件：如图1，已知四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC ⊥BD ；结论：①AB 2+CD 2＝AD 2+BC 2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。

【变形1】条件：如图2，在矩形ABCD 中，P 为CD 边上有一点，连接AP 、BP ；结论：DP 2+BP 2=AP 2+PC 2【变形2】条件：如图3，在矩形ABCD 中，P 为矩形内部任意一点，连接AP 、BP ，CP ，DP ；结论：AP 2+PC 2=DP 2+BP 2用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。

例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ．若AD =3，BC =5，则22AB CD ____________．【答案】34【分析】在Rt △COB 和Rt △AOB 中，根据勾股定理得BO 2+CO 2=CB 2，OD 2+OA 2=AD 2，进一步得BO 2+CO 2+OD 2+OA 2=9+25，再根据AB 2=BO 2+AO 2，CD 2=OC 2+OD 2，最后求得AB 2+CD 2=34．【详解】解：∵BD ⊥AC ，∴∠COB =∠AOB =∠AOD =∠COD =90°，在Rt △COB 和Rt △AOB 中，根据勾股定理得，BO 2+CO 2=CB 2，OD 2+OA 2=AD 2，∴BO 2+CO 2+OD 2+OA 2=9+25，∵AB 2=BO 2+AO 2，CD 2=OC 2+OD 2，∴AB 2+CD 2=34；故答案为：34．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．例2．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 互相垂直，若2AD ，4AB ，5BC 则CD 的长为（）A ．2.5B ．3C ．4D例3．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形ABCD 的两条对角线互相垂直，AC 、BD 是方程216600x x 的两个解，则四边形ABCD 的面积是（）A ．60B ．30C ．16D ．32【答案】B 【分析】对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，二次方程的两根乘积可以利用韦达定理例4．（2023·湖北·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB 的最小值为_____．(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称________(2)如图（1），已知格点（小正方形的顶点）(0,0)O ，(3,0)A ，(0,4)B OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB 的顶点M 的坐标为(3)如图（2），将ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到DBE 222DC BC AC ，即四边形ABCD 是勾股四边形；(4)若将图（2）中ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转a 度0(a∵60CBE ，∴CBE △是等边三角形，∴BC BE ，60BCE ，∵30DCB ，∴306090DCE DCB BCE ，∴222DC EC DE ，∴22DC BC AC ，∴四边形ABCD 是勾股四边形；（4）解：如图（3），DCB 12，四边形BECD 是勾股四边形．理由如下：连接CE ，由旋转得：ABC ≌DBE ，∴AC DE ，BC BE ∵CBE ，∴1902BCE BEC ，∴119022DCE DCB BCE ，∴222DC EC DE ，∴22DC BC AC ，∴四边形ABCD 是勾股四边形；故答案为【点睛】本题属于四边形的综合题，主要考查了勾股定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．例6．（2022秋·江西抚州·九年级校考阶段练习）(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）(2)【概念理解】如图2，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=CB CD ，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形ABCD 的两对角线交于点O ，试探究AB ，CD ，BC ，AD 之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以Rt ACB △的直角边AC和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接CE ，BG ，GE ，已知8AC ，10AB ，求GE ．模型2、378和578模型当我们遇到两个三角形的三边长分别为3，7，8和5，7，8的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为8的等边三角形。