初三《圆》基础知识复习专题
初三圆的知识点
初三圆的知识点圆是初中数学中的一个重要内容，也是中考的必考知识点之一。
在初三阶段，我们对圆的认识会更加深入和全面。
接下来，让我们一起系统地学习一下初三圆的相关知识点。
一、圆的基本概念1、圆的定义在平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中，定点称为圆心，定长称为半径。
2、圆的表示方法通常用符号“⊙”表示圆，后面加上圆心的字母，如⊙O 表示以 O 为圆心的圆。
3、弦与直径连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。
直径是圆中最长的弦。
4、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧分为优弧（大于半圆的弧）、劣弧（小于半圆的弧）和半圆。
5、等圆与等弧能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
二、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
三、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OP ＝ d，则有：点 P 在圆外⇔ d ＞ r；点 P 在圆上⇔ d ＝ r；点 P 在圆内⇔ d ＜ r。
2、直线与圆的位置关系设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，则有：直线 l 和⊙O 相离⇔ d ＞ r；直线 l 和⊙O 相切⇔ d ＝ r；直线 l 和⊙O 相交⇔ d ＜ r。
九年级圆的全部知识点归纳
九年级圆的全部知识点归纳圆是几何学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
在九年级的学习中，我们需要对圆的相关知识进行全面的了解，包括定义、性质、定理等方面。
本文将对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结。
一、定义与基本术语1. 圆：由平面上到定点的距离相等的所有点的轨迹称为圆。
2. 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，圆心是圆的中心点。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，用字母r 表示。
4. 直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为直径，直径的长度等于半径的两倍。
5. 弧：圆上的两点间的部分称为弧。
6. 弦：圆上任意两点之间的线段称为弦。
二、圆的性质与定理1. 弧长公式：在圆心角相等的情况下，弧长和半径的乘积是相等的。
即L = rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为对应的圆心角的度数。
2. 弧度制：1个圆周角对应的弧长等于圆周长的2π，使用弧度制时，1个圆周角对应的弧长等于半径的2π，即1圆周角= 2π弧度。
3. 弦弧定理：在圆上，相等弧所对应的弦相等，弦所对应的弧相等。
4. 弦切定理：一条弦上的两个切线所截的弧相等。
5. 切线与半径的关系：切线与半径的垂直分离定理，切线切圆的点与圆心连线垂直。
三、圆的重要定理与推论1. 中心角定理：圆上的中心角的度数等于它所对应的弧的度数。
2. 弧度的定义与利用：弧度是角度制的单位，通过弧长和半径之间的比值得到。
利用弧度可以简便地描述与计算圆的相关问题。
3. 圆周角定理：圆周角的度数等于360度，对应的弧度等于2π。
4. 平行弦定理：平行弦所对应的圆心角相等。
5. 弦割定理：当两条弦交于圆的内部一点时，各自所对应的弧之积相等。
四、圆的应用圆具有广泛的应用价值，在日常生活中有很多应用场景。
比如在建筑领域，圆经常用于设计弧形的拱门、圆顶等；在工程测量中，圆常被用于测量水井、桥梁等的半径；在电子工程中，圆被运用于制作集成电路的微缩线路等。
总结：通过本文对九年级学习中的圆相关知识点进行归纳总结，我们了解了圆的定义与基本术语、性质与定理以及应用。
初三《圆》知识点及定理
《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系1、点在圆内⇒d r<⇒点C在圆内；2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒无交点⇒d R r>+；外切（图2）⇒有一个交点⇒d R r=+；相交（图3）⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切（图4）⇒有一个交点⇒d R r=-；内含（图5）⇒无交点⇒d R r<-；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
初三数学圆的总复习
两个圆有且仅有一个公共点，且该点在两个圆的内部时，称 这两个圆内切。
圆与圆的相交
相交
两个圆有两个不同的公共点时，称这两个圆相交。此时两个公共点连成的线段叫 做两圆的公共弦。
特殊相交
当两个圆的半径相等且相交于两点时，这两点连成的线段既是两圆的公共弦也是 两圆的直径。
05 圆的综合应用
圆的面积与周长计算
01
02
03
圆的面积公式
$S = pi r^{2}$，其中 $r$ 是圆的半径。这个公 式用于计算圆的面积。
圆的周长公式
$C = 2pi r$ 或 $C = pi d$，其中 $r$ 是圆的半径， $d$ 是圆的直径。这两个 公式用于计算圆的周长。
扇形面积公式
$S_{扇形} = frac{npi r^{2}}{360}$，其中 $n$ 是扇形的圆心角，$r$ 是 圆的半径。这个公式用于 计算扇形的面积。
线的性质。
圆的拓展应用问题
圆锥曲线问题
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。在解决这类问题时，需要掌握圆锥曲线的定义、标 准方程和性质等知识点。
极坐标与参数方程问题
极坐标是一种用距离和角度来描述平面上点的方法，参数方程则是用参数来描述曲线上点 的坐标的方法。在解决这类问题时，需要掌握极坐标与直角坐标的互化以及参数方程与普 通方程的互化等知识点。
通过一般方程，可以计算出圆心坐标$left( frac{D}{2},-frac{E}{2} right)$和半径 $r=frac{sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
方程变形
通过配方等方法，可以将一般方程转化为标准方 程。
圆的图形与方程的关系
图形与方程对应
01
九年级圆的知识点详细总结归纳
九年级圆的知识点详细总结归纳一、圆的定义和关键概念圆是一个平面上的简单闭曲线，由与一个固定点的所有点到该点的距离相等的点组成。
下面是一些重要的圆的关键概念：1. 圆心 (Center)：圆心是圆的中心点，标记为O。
2. 圆周 (Circumference)：圆的周长，也称为圆周，用C表示。
3. 直径 (Diameter)：直径是通过圆心的、连接圆上两点的线段。
直径的长度是圆直径的两倍。
直径用d表示。
4. 半径 (Radius)：半径是从圆心到圆上任意一点的线段。
半径的长度是直径的一半。
半径用r表示。
5. 弧 (Arc)：圆上两点之间的一段路径叫做弧。
6. 弦 (Chord)：圆上两点之间的线段叫做弦。
7. 切线 (Tangent)：切线是切于圆的一条直线，且与圆仅有一个交点。
二、圆的性质和定理圆的性质和定理是研究圆的重要基础，下面是一些常见的圆的性质和定理：1. 直径定理：直径是最长的弦，且它把一个圆分成两个半圆。
2. 弧长定理：一个圆的弧长是根据圆的半径和弧度来计算的。
弧长等于半径乘以弧的弧度。
3. 弧心角定理：圆心角是以圆心为顶点的角，它的弧度等于弧长与半径的比值。
4. 切线定理：切线与半径的关系是垂直。
5. 切线和半径的性质：当一条直线与圆相切时，与切点相连的半径垂直于切线。
6. 切割定理：如果一个弦垂直于一个半径，那么它将被切分成两个互为正方向的弧。
7. 切割角度定理：互不相交的弧它们对应的圆心角相等，相交的弧，它们对应切线切割的角相等。
8. 重合弧定理：在同一个圆上，两个重合的弧对应的圆心角相等。
三、圆的应用圆在日常生活和实际问题中有很多应用，下面是一些常见的圆的应用：1. 圆的测量：通过测量圆的直径或半径可以计算圆的周长和面积。
2. 圆的构造：通过给定圆的半径或直径可以构造圆。
3. 圆的几何关系：圆与直线、圆与圆之间有各种几何关系，如相离、相切、相交等。
4. 圆的运动学：在物理学中，圆的运动学广泛应用于描述物体的圆周运动和周期性运动。
九年级初三 圆 知识点大汇总
九年级初三圆知识点大汇总考点一、圆的相关概念1、圆的定义在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
2、圆的几何表示以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”考点二、弦、弧等与圆有关的定义（1）弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
（如图中的AB）（2）直径经过圆心的弦叫做直径。
（如途中的CD）直径等于半径的2倍。
（3）半圆圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
（4）弧、优弧、劣弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示，以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。
大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）考点三、垂径定理及其推论垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
垂径定理及其推论可概括为：过圆心垂直于弦直径平分弦知二推三平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧考点四、圆的对称性1、圆的轴对称性，圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
2、圆的中心对称性，圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。
考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理1、圆心角，顶点在圆心的角叫做圆心角。
2、弦心距，从圆心到弦的距离叫做弦心距。
3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
考点六、圆周角定理及其推论1、圆周角，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
九年级圆基础知识点
九年级圆基础知识点圆是几何学中的重要概念之一，九年级圆基础知识点包括圆的定义、圆的性质以及圆的常见应用。
本文将围绕这些知识点进行详细论述，帮助读者全面理解九年级圆的基础知识。
一、圆的定义圆是平面上的一个几何图形，由平面上所有距离中心点相等于半径的点组成。
圆可以用一个中心点和一个正数半径来确定。
二、圆的性质1. 圆的周长圆的周长又被称为圆周长或者弧长，计算公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示圆的半径。
根据周长的计算公式，我们可以推导出圆的直径和半径之间的关系，即直径等于半径的两倍，即d = 2r。
2. 圆的面积圆的面积表示圆所包围的平面区域的大小，计算公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个数学常数，约等于3.14，r表示圆的半径。
类似于周长的计算公式，我们也可以推导出圆的直径和半径之间的关系，即直径的平方等于面积乘以π的两倍，即d² = 4A/π。
3. 圆上的弦在圆上选择两个点，将它们连结起来的线段称为弦。
圆的直径是一种特殊的弦，它经过圆心，并且长度等于圆的直径。
此外，具有相同长度的弦在圆上所对应的弧相等。
4. 圆心角与弧度圆心角是以圆心为顶点的角，它的两条边分别为两条弧。
在圆的内部，不同的圆心角所对应的弧长是不同的。
圆心角的弧度用弧长与半径的比值来表示，即弧度 = 弧长/半径。
例如，一周角的弧度为2π。
5. 切线与切点切线是与圆相切于圆上一点的直线，切点是切线与圆的交点。
切线与半径的关系如下：切线垂直半径，即切线与半径的交点处垂直于半径。
三、圆的常见应用1. 圆的测量在实际应用中，我们经常需要测量圆的半径、直径、弧长和面积。
通过测量这些参数，我们可以计算出圆的各种性质，并应用于日常生活和工作中。
2. 圆的构造利用圆的性质，可以进行一些常见的圆的构造，例如：以一个已知点为圆心，作一个已知长短的半径；以两个已知点为圆心，作一个已知长短的弦等。
九年级圆知识点归纳
九年级圆知识点归纳在九年级数学学习中，圆是一个非常重要的知识点。
本文将对九年级圆的相关知识进行归纳，包括圆的定义、圆的性质、圆的元素以及圆的应用等内容。
一、圆的定义圆是由平面内和一个确定点距离相等的点的全体组成。
其中，确定点称为圆心，距离称为半径。
二、圆的性质1. 圆心角：圆心角是以圆心为顶点的角，其对应的弧长等于该角的大小。
2. 弦：圆上连接两点的线段称为弦，等长的弦对应的圆心角相等。
3. 切线：切线是与圆只有一点相切的直线，切线与半径垂直。
4. 弧：两个点间的圆弧是连接这两点且完全位于圆内的曲线部分。
5. 弧长：弧长是弧上的一段弧所对应的圆心角的大小乘以半径。
三、圆的元素1. 圆心：圆心是圆上任意一点到圆心的距离都相等。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离，用字母r表示。
3. 直径：直径是通过圆心的任意两点之间的线段，直径等于半径的两倍。
4. 弦：弦是圆上的线段，连接圆上任意两点，但不通过圆心。
5. 弧：弧是弦所对应的曲线部分，也可以用来求解弧长。
四、圆的应用1. 圆的面积：圆的面积可以通过半径或直径来计算，公式分别为πr²和π(d/2)²，其中π是一个常数，取近似值3.1415。
2. 弧长和扇形面积：根据圆的定义，可以推导出弧长和圆心角的关系，进而计算弧长和扇形面积。
3. 圆的切线与切点：通过圆心和切点的连线垂直于切线，可以利用圆的性质求解相关问题。
4. 圆的相交关系：两个圆相交时，可以根据相交的弧长、圆心角等来求解相应的问题。
总结：通过本文的归纳，我们对九年级圆的相关知识点有了一个整体的了解。
圆的定义、性质、元素以及应用都是我们在解题过程中需要掌握的重要内容。
希望同学们能够通过不断练习，熟练掌握圆的相关知识，提高数学解题能力。
初三圆知识点汇总
初三圆知识点汇总圆是初中数学中的一个重要图形，在初三数学中占据着重要的地位。
下面我们来对初三圆的相关知识点进行一个全面的汇总。
一、圆的定义圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
这个定点称为圆心，定长称为圆的半径。
二、圆的相关概念1、弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
2、弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
3、圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的性质1、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
2、圆是中心对称图形，其对称中心是圆心。
3、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
4、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。
5、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
四、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论 2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论 3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
五、圆心角、弧、弦的关系在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
六、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
七、圆内接四边形如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
圆内接四边形的对角互补。
圆九年级圆知识点归纳
圆九年级圆知识点归纳圆是数学中的一个重要概念，在九年级的数学课程中也是必修的内容之一。
本文将主要介绍九年级数学中关于圆的知识点，包括圆的基本概念、圆的性质以及与圆相关的一些定理和公式。
1. 圆的基本概念：圆是平面上所有与一个固定点距离相等的点的集合。
这个固定点称为圆心，用O表示。
而与圆心距离相等的距离称为半径，用r 表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意一点与圆心的连线称为半径。
2. 圆的性质：（1）圆的直径是通过圆心的两个点之间的线段，它的长度等于圆的半径的两倍。
（2）圆的周长是圆周的长度，用C表示。
根据定义，圆周的长度等于半径乘以2π（π是一个常数，约等于3.14），即C = 2πr。
（3）圆的面积是圆内部的所有点组成的区域，用A表示。
圆的面积公式为A = πr²。
3. 圆的相关定理和公式：（1）弧长定理：一个圆周的弧长可以表示为θ/360°乘以圆的周长。
其中，θ是对应的圆心角的度数。
（2）圆心角定理：一个圆心角的度数等于它所对应的弧长的长度除以圆的半径。
（3）切线定理：如果一条直线与圆相切，那么这条直线与圆的半径的斜率相乘的结果等于-1。
（4）切线长定理：从切点到切线外一点的线段与切线相切，这条线段的长度等于这个切点与圆心连线的长度。
4. 圆的应用：圆在日常生活和工程中有着广泛的应用。
例如，轮子和齿轮就是圆的应用之一。
轮子的圆形设计可以减小与地面的摩擦力，使车辆行驶更顺畅。
齿轮是机械设备中的传动部件，由多个圆形齿突出，通过齿与齿之间的啮合来实现动力传递。
总结：通过对九年级数学中与圆相关的知识点的归纳和梳理，我们可以更好地理解和应用这些概念、定理和公式。
圆作为几何学中的一个基础概念，无论是在数学学科中还是在实际中都有着重要的作用。
希望通过学习和掌握这些知识，能够对九年级的数学学习有所帮助。
(完整版)中考初三圆知识点专题复习
、圆中重要的知识点 1、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：( 1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其它3个结论,即:3、如图，已知在O O 中，弦AB CD ，且AB CD ，垂足为H , 0E(1) 求证：四边形OEHF 是正方形.(2) 若CH 3 , DH 9,求圆心0到弦AB 和CD 的距离.以上共4个定理,①AB 是直径 ②AB CD ③ CEDE ④弧BC 弧BD ⑤弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在O O 中，••• AB // CD•••弧 AC 弧 BD例题1、基本概念1. F 面四个命题中正确的一个是( A. 平分一条直径的弦必垂直于这条直径 •平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C. 弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 .在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2. F 列命题中，正确的是().A.过弦的中点的直线平分弦所对的弧B.过弦的中点的直线必过圆心C.弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D.弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、在直径为 52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,为 16cm, 那么油面宽度AB 是cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后,，如果油面宽度是 48cm,那么油的最大深度为 _______ cm.AB 于 E , OF CD 于 F .截面如图所示，如果油的最大深度4、已知：△ ABC内接于O O, AB=AC半径OB=5cm圆心O到BC的距离为3cm,求AB的长.5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是〒的中点，AD丄BC于D,求证：AD=1 BF.2F例题3、度数问题1、已知：在O O中，弦AB 12cm , 0点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB的度数和圆的半径2、已知：O O的半径0A 1，弦AB AC的长分别是J2、J3.求BAC的度数。
初三圆知识点
初三圆知识点圆是初中数学中的一个重要图形，也是中考的重点和热点之一。
在初三阶段，我们对圆的认识会更加深入和全面。
接下来，让我们一起详细了解初三圆的相关知识点。
一、圆的定义圆可以从两个角度来定义。
动态定义：在平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫做圆。
固定的端点 O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
静态定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
二、圆的相关概念1、弦连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。
2、弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
弧分为优弧、劣弧和半圆。
大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧。
3、圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角。
4、圆周角顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
三、圆的基本性质1、圆的对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
2、垂径定理垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。
4、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
四、圆的位置关系1、点与圆的位置关系设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，点在圆外；当 d ＝ r 时，点在圆上；当 d ＜ r 时，点在圆内。
2、直线与圆的位置关系设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d，则有：当 d ＞ r 时，直线与圆相离，没有公共点；当 d ＝ r 时，直线与圆相切，有一个公共点；当 d ＜ r 时，直线与圆相交，有两个公共点。
初三数学圆知识点大全
1、圆的有关概念：(1)、确定一个圆的要素是圆心和半径。
(2)①连结圆上任意两点的线段叫做弦。
②经过圆心的弦叫做直径。
③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
④小于半圆周的圆弧叫做劣弧。
⑤大于半圆周的圆弧叫做优弧。
⑥在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
⑦顶点在圆上，并且两边和圆相交的角叫圆周角。
⑧经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点;直角三角形外接圆半径等于斜边的一半。
⑨与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点。
2、圆的有关性质(1)定理在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
(3)圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
推论1在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。
推论2半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90 。
90 的圆周角所对的弦是圆的直径。
推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
(4)切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线。
性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点;经过切点切垂直于切线的直线必经过圆心。
初三《圆》知识点及定理
（ 3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共 4 个定理， 简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2
个即可推出其它 3 个结论，即：
① AB 是直径 ② AB CD ③ CE DE ④ 弧 BC 弧 BD ⑤ 弧 AC
弧 AD
中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。
即：在⊙ O 中，∵ PB 、 PE 是割线 ∴ PC PB PD PE
十二、两圆公共弦定理 圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆 的的公共弦。
如图： O1O2 垂直平分 AB 。
即：∵⊙ O1、⊙ O2 相交于 A 、 B 两点
A
O1
O2
B
∴ O1O2 垂直平分 AB
十三、圆的公切线
A B
P
即：∵ PA 、 PB 是的两条切线
即：在⊙ O 中，∵ AB 是直径 ∴ C 90
或∵ C 90 ∴ AB 是直径
B
A
O
∴ PA PB PO 平分 BPA
O
A
N
B O
A
推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形 是直角三角形。
即：在△ ABC 中，∵ OC OA OB ∴△ ABC 是直角三角形或 C 90
求： EM的长． 例 4 如图 23-13 ， AB是⊙ O的直径， PB切⊙ O于点 B， PA交⊙ O于点 C， PF 分别交
AB、BC于 E、D，交⊙ O于 F、G，且 BE、BD恰好是关于 x 的方程
( 其中 m为实数 ) 的两根． (1) 求证： BE＝BD；
(2) 若
，求∠ A 的度数．
dr
初三圆知识点
初三圆知识点一、圆的定义圆是平面上到给定点距离相等的点的集合。
二、圆的要素1. 圆心：圆心是圆上所有点到该点的距离相等的点。
2. 半径：半径是圆心到圆上任意一点的距离。
3. 圆周：圆周是圆上所有点的集合。
4. 直径：直径是通过圆心，并且两端点都在圆周上的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
三、圆的公式1. 圆的周长（C）：C = 2πr (其中，r为半径，π取近似值3.14)2. 圆的面积（A）：A = πr²四、圆的性质1. 圆上任意两点之间的线段都属于圆的直径。
2. 圆上相等弧所对的圆心角相等。
3. 圆上相等弧所对的周角相等。
4. 圆心角的度数等于所对弧所对的周角的一半。
5. 位于同弧上的两个圆周角互补，即它们的和为180度。
6. 圆周角的度数等于其所对弧的度数。
五、圆的相关概念与定理1. 切线：切点在圆上的直线称为圆的切线。
切线与半径垂直。
2. 弦：不经过圆心连接圆上两点的线段称为圆的弦。
3. 弧：圆上两点之间的部分称为圆的弧。
4. 弦长定理：一个弦所对的圆周角等于其所对的弧所对的圆周角的一半。
5. 切线定理：切线与半径所成的角是直角。
6. 弧长定理：同样的角度所对应的弧长和圆心角所对应的圆周角的弧长成正比。
六、圆的应用1. 圆的交点：两条圆的交点是满足位于两个圆的圆周上的点。
2. 圆与直线的关系：直线与圆的关系有切线、相交、内含和外切四种情况。
3. 圆的切线的性质：切线与半径垂直、切线与半径所成的角为直角。
七、例题解析例题1：已知圆的半径为5cm，求圆的周长和面积。
解析：根据圆的公式，圆的周长= 2πr = 2 * 3.14 * 5 = 31.4cm，圆的面积= πr² = 3.14 * 5² = 78.5cm²。
例题2：在圆 O 中，弧 AC = 60度，求相应的弧度。
解析：根据圆的性质，圆周角的度数等于其所对弧的度数，所以弧度为π/3。
例题3：已知圆 O 的直径为12cm，求圆的周长和面积。
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《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；
3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念：
1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）
2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；
3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定
长的两条直线；
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离
都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系
1、点在圆内⇒d r
<⇒点C在圆内；
2、点在圆上⇒d r
=⇒点B在圆上；
3、点在圆外⇒d r
>⇒点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离⇒d r
>⇒无交点；
2、直线与圆相切⇒d r
=⇒有一个交点；
3、直线与圆相交⇒d r
<⇒有两个交点；
四、圆与圆的位置关系
A
外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+； 内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；
五、垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴弧AC =弧BD
六、圆心角定理
图1
图2
图4
图5
B
D
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中， 只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；
③OC OF =；④ 弧BA =弧BD
七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。
即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠
2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。
即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵90C ∠=︒ ∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
即：在△ABC 中，∵OC OA OB ==
∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
B
B
A
B
A
O
即：在⊙O 中，
∵四边形ABCD 是内接四边形
∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒ DAE C ∠=∠
九、切线的性质与判定定理
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA 外端 ∴MN 是⊙O 的切线
（2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图） 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
十、切线长定理 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB =
PO 平分BPA ∠
十一 、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆
中进行：
::2OD BD OB =；
P
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆
中进行，::OE AE OA =
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆
中进行，::2AB OB OA =.
十二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式 1、扇形：（1）弧长公式：180
n R
l π=
； （2）扇形面积公式： 21
3602
n R S lR π=
= n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积
2、圆柱：
（1）圆柱侧面展开图
2S S S =+侧表底=2
22rh r ππ+
（2）圆柱的体积：2
V r h π=
（2）圆锥侧面展开图
（1）S S S =+侧表底=2
Rr r ππ+
（2）圆锥的体积：2
13
V r h π=
l
O
C 1
D 1。