椭圆定点定值专题
新高考数学 椭圆中的定点、定值(含解析)
椭圆中的定点、定值
1(2023春·河北石家庄·高二校考开学考试)已知椭圆C :x 2
8+y 24
=1，直线l ：y =kx +n (k >0)与椭圆C 交于M ,N 两点，且点M 位于第一象限.(1)若点A 是椭圆C 的右顶点，当n =0时，证明：直线AM 和AN 的斜率之积为定值；
(2)当直线l 过椭圆C 的右焦点F 时，x 轴上是否存在定点P ，使点F 到直线NP 的距离与点F 到直线MP 的距离相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
2(2023·全国·模拟预测)在平面直角坐标系xOy 中，A -2,0 ，B 2,0 ，M -1,0 ，N 1,0 ，点P 是平面内的动点，且以AB 为直径的圆O 与以PM 为直径的圆O 1内切.(1)证明PM +PN 为定值，并求点P 的轨迹Ω的方程.
(2)过点A 的直线与轨迹Ω交于另一点Q (异于点B )，与直线x =2交于一点G ，∠QNB 的角平分线与直
线x =2交于点H ，是否存在常数λ，使得BH =λBG
恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
3(2023·全国·高三专题练习)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又及其巧
妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将C:x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)由仿射
变换得：x =x
a，y
=
y
b，则椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1变为x 2+y 2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k =a
b
k，然后
联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C:
椭圆题型二--定点
圆锥曲线定点、定直线、定值专题
1.已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程;
，不是左右顶点)，且以AB为直径的圆过椭（Ⅱ）若直线l:y kx m
=+与椭圆C相交于A,B两点（A B
圆C的右顶点，求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标．
解：(1）由题意设椭圆的标准方程为
由已知得a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1,
∴b2=a2—c2=3
∴椭圆的标准方程为。
（2）设A（x1,y1），B（x2,y2）,联立
得
又
因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2,0）
∴
∴
∴
解得m1=—2k，
且均满足3+4k 2-m 2〉0
当m 1=-2k 时，l 的方程为y=k(x —2）,直线过定点（2，0），与已知矛盾；
当时，l 的方程为
直线过定点
所以，直线l 过定点，定点坐标为。
2.已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为21-,离心率为2
e 2
=﹒
(Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ)过点
()1,0作直线
交E 于P 、Q 两点，
试问：在x 轴上是否存在一个定点M ,MP MQ ⋅为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由﹒
解：（1)
， ∴所求椭圆E 的方程为：
。
（2）当直线l 不与x 轴重合时，可设直线l 的方程为：x=ky+1，
，
把（2)代入（1）整理得：
，（3）
∴，
假设存在定点M(m ，0)，使得
为定值,
=
,
当且仅当5—4m=0，即
时，
(为定值）．这时
.
再验证当直线l 的倾斜角α=0时的情形，此时取
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结
一、直线与椭圆问题的常规解题方法：
1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；
4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)
121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”
(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r
数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：
1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：
专题04 椭圆中的定点、定值、定直线问题
专题04 椭圆中的定点、定值、定直线问题
一、单选题
1．过原点的动直线l 与椭圆22
132
x y +=交于A ，
B 两点，D 为椭圆
C 的上顶点，若直线A
D ，BD 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则12k k =（ ）
A ．2
3
-
B ．23
C ．32
D ．32
-
2．已知F 为椭圆22
:132
x y C +=的右焦点，点A 是直线3x =上的动点，过点A 作椭圆C 的切
线AM ，AN ，切点分别为M ，N ，则||||||MF NF MN +-的值为（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
3．椭圆2
214
x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC
过定点（ ） A
．(1,0)
B ．
C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．30,5⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
4．椭圆22
1124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，
切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2
2
31OM
ON
+
=（ ）
A ．54
B ．45
C ．43
D ．34
5．椭圆22
:142
x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交
于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．1
3
B ．3
C ．1
2
D ．2
6．椭圆2
2:13
x C y +=，过x 轴上一定点N 作直线l ，交椭圆C 于A ，B 两点，当直线l 绕点
椭圆定点定值专题
圆锥曲线选讲
1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．
方程为
b=2，离心率
的方程为…
的方程为，代入，
的面积
时，
，
，
，可得
，
…
2．已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率．
）∵椭圆离心率为，
，∴
，∴
的方程是…
联立方程组
=
（）
，∴﹣=m
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，且过点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
，又
的方程为．
，则，
，∴
）在椭圆上，∴，故
的斜率为，直线的斜率为，
的方程为
=
．
4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
）由于，
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结
一、直线与椭圆问题的常规解题方法：
1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组；
4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型：
①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在)
121212100OA OB k k OA OB x x y y ⇔⊥⇔=⇔⋅-⋅=⇔+=u u u r u u u r
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔ “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ⇔+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题”
(如：AQ QB λ=⇔u u u r u u u r
数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”⇔坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略；
①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想：
1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法：
专题椭圆中地定点定值问题
椭圆中的定点定值问题
1．已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，
2
2
）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22
22
2(11)()
22
a=--++，即2
a= --3分
∴2211
b=-=，∴椭圆C方程为
2
21
2
x
y
+=．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A（1，
2
2
），B（1，
2
2
-），由于（
52
1,
42
-）·（
52
1,
42
--）=
7
16
-，
所以
5
4
m=，下面证明
5
4
m=时，
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2
-，0）则（
5
2
4
-，0）∙（
5
2
4
--，0）=
7
16
-，
符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()
11
,x y，B()
22
,x y，
由x=ty+1及
2
21
2
x
y
+=得22
(2)210
t y ty
++-=有0
∆>∴
1212
22
21
,
22
t
y y y y
t t
+=-=-
++
；
11
1
x ty
=+，
22
1
x ty
=+
∴
11221212
5511
(,)(,)()()
4444
x y x y ty ty y y
-⋅-=--+=2(1)
t+
1212
11
()
416
y y t y y
-++=
22
2
222
11212217
(1)
椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)
椭圆中的“定”
二、与椭圆的焦点弦有关
4. 椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ
的中垂线交x 轴于R ，则
22PQ F R e
=. 5.PQ 为过椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K
+=.
6.（1）PQ 为过椭圆12222=+b
y a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.
（2）弦MN （异于长轴）过椭圆
122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N
交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为
直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2
F 关于准线的对称点
.
（3）弦MN 过椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交
椭圆的对称轴于点D ,则
22MDF NDF ∠=∠.
（4）P 为椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切
线交椭圆的右准线于点N ，则
222ON PF b k k a
=-.
7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦
点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的
高考数学《椭圆中的定点、定值问题》
高考数学 椭圆中的定点、定值问题
椭圆中的三定(定点、定值、定线)问题近几年高考题中考察频率降低，但在模考题中依然是热点，这类问题中直线、圆、椭圆、向量共存，考察运算能力和数学思想运用常见题型．
例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，P 1(1，1)，P 2(0,1)，P 3⎝⎛⎭⎫－1，32，P 4⎝⎛⎭⎫1，32四点中恰有三点在椭圆C 上．
(1) 求C 的方程；
(2) 设直线l 不经过点P 2且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．
点评：
例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点⎝⎛⎭⎫1，32，离心率为32. (1) 求椭圆C 的方程；
(2) 直线y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q ，试问：以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
点评：
【思维变式题组训练】
1. 已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为M (0,1)，两条过M 的动弦MA ，MB 满足MA ⊥MB .对于给定的实数a (a >1)，动直线AB 是否经过一定点？如果是，求出定点坐标(用a 表示)；反之，请说明理由．
2. 如图所示，已知椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12
椭圆定点定值专题(精选.)
一．解答题（共30小题）
1．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为
4．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）P（2，n），Q（2，﹣n）是椭圆C上两个定点，A、B是椭圆C上
位于直线PQ两侧的动点．
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B两点在椭圆上运动，且满足∠APQ=∠BPQ时，直线AB的斜率是否为定值，说明理由．
2．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求椭圆C的方程；
（2）已知A为椭圆C的左顶点，直线l过右焦点F与椭圆C交于M，N两点，若AM、AN的斜率k1，k2满足k1+k2=m （定值m≠0），求直线l的斜率．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2，
且过点．（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是
椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．
4．已知F1，F2分别是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，半焦距为c，直线x=﹣与x轴的交点为N，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．
（1）求椭圆的方程及直线AB的斜率k的取值范围；
（2）过A、B两点分别作椭圆的切线，两切线相交于一点P，试问：点P是否恒在某定直线上运动，请说明理由．5．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，其焦点在圆x2+y2=1上．
（1）求椭圆的方程；
椭圆中的定值、定点问题
椭圆中的定值、定点问题
说我之前说的:什么是硬件解码的定理？这个计算太多太多了，刺激！
现在更新很慢，不过我在笔记本里整理了一些模型，准备有空就发。
接下来要给出的结论，可以说是“非常一般”。
在这里先给出结论，可以自己用几何画板验证：
结论给定椭圆 \Gamma:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 与椭圆上的定点 P(x_0,y_0) ，过 P 点作两条射线 PA 和
PB ，与椭圆 \Gamma 交于 A 和 B 两点，记直线 PA 和 PB 的斜率分别为 k_1 和 k_2 ，则有：
（1）若 k_1+k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点 (x_0-
\frac{2y_0}{\lambda},-y_0-
\frac{2b^2x_0}{a^2\lambda}) 。
（2）若 k_1\cdot k_2=\lambda ，则直线 AB 过定点
(\frac{2b^2x_0}{\lambda a^2-b^2}+x_0,\frac{-
2a^2\lambda y_0}{\lambda a^2-b^2}+y_0) 。
这也是各个地区高考、模拟题出题常见的题型，当然，最重要的是，它说明了一个规律：
只要直线过椭圆上的定点，并且斜率有关系，那么就一定有“定点”的出现。
例如以下题目：
例1 （2017年全国1卷）已知椭圆
C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0) ，四点
P_1(1,1) ， P_2(0,1) ， P_3(-1,\frac{\sqrt3}{2}) ，
专题 椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题
1．已知椭圆C：
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）的右焦点为F（1，0），且（1-，
2
2
）在椭圆C上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得22
22
2(11)()
22
a=--++，即2
a= --3分
∴2211
b=-=，∴椭圆C 方程为
2
21
2
x
y
+=．
（2）假设在x轴上存在点Q（m，0），使得
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
当直线l的斜率不存在时，A （1，
2
2
），B（1，
2
2
-），由于（
52
1,
42
-）·（
52
1,
42
--）=
7
16
-，
所以
5
4
m=，下面证明
5
4
m=时，
7
16
QA QB
⋅=-恒成立。
当直线l的斜率为0时，A（2，0）B（2
-，0）则（
5
2
4
-，0）•（
5
2
4
--，0）=
7
16
-，
符合题意。当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A()
11
,x y，B()
22
,x y，
由x=ty+1及
2
21
2
x
y
+=得22
(2)210
t y ty
++-=有0
∆>∴
1212
22
21
,
22
t
y y y y
t t
+=-=-
++
；
11
1
x ty
=+，
22
1
x ty
=+
∴
11221212
5511
(,)(,)()()
4444
x y x y ty ty y y
-⋅-=--+=2(1)
t+
1212
11
()
416
y y t y y
-++=
22
2
222
11212217
(1)
242162(2)1616
椭圆中的定点、定值问题
解析几何中的椭圆是高考中的热点，常见的有求最值、过定点、定值等，这类题型中以直线与椭圆相交为基本模型，处理问题的方法可以是设直线，运用韦达定理求出坐标之间的关系，过椭圆上一点的直线与椭圆相交是可以解出另一个交点的，而过椭圆外一点的直线与椭圆相交只能找到两个交点坐标的关系，不适宜解，再运用题目中的条件整体化简。也可以是设点的坐标，运用坐标在椭圆上或直线上整体代入化简，到底设什么需要根据题目的条件，因题而异。
例1、（2017盐城高三三模18）已知A 、F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左顶点、右焦点，点P 为椭圆
C 上一动点，当PF x ⊥轴时，2AF PF =.
（1）求椭圆C 的离心率；
（2）若椭圆C 存在点Q ，使得四边形AOPQ 是平行四边形（点P 在第一象限），求直线AP 与OQ 的斜率之积；
（3）记圆2
2
22
:ab
O x y a b
+=
+为椭圆C 的“关联圆”.
若b =P 作椭圆C 的“关联圆”的两条切线，切点为M 、N ，直线MN 的横、纵截距分别为m 、n ，求证：2234
m n
+为定值.学科*网
解：（1）由PF x ⊥轴，知P x c =，代入椭圆C 的方程，
得2
2221P y c a b +=，解得2P b y a
=±. 又2AF PF =，所以2
2b a c a +=，解得12e =.
（2）因为四边形AOPQ 是平行四边形，所以PQ a =且//PF x 轴，
所以2P a x =
，代入椭圆C
的方程，解得P y =， 因为点P
在第一象限，所以2P y =
椭圆中的定点、定值问题(教师版)
椭圆中的定点、定值问题
1.已知l 1，l 2是过点0,2 的两条互相垂直的直线，且l 1与椭圆Γ:x 2
4
+y 2=
1相交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线l 1的斜率k 的取值范围；
(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．
【答案】(1)-
233,-32 ∪32,23
3 ；(2)证明见解析；定点0,25 .【解析】(1)根据题意直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0
直线l 1，l 2分别为y =kx +2，y =-1
k
x +2，
联立y =kx +2x 24
+y 2
=1
得4k 2+1 x 2+16kx +12=0，由Δ=16k 2-4×124k 2+1 >0得4k 2>3，则k <-32或k >3
2
，
同理4-1k
2>3，则-233<k <2
33，
所以k 的取值范围为-233,-32 ∪32,2
3
3 ．
(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由(1)得4k 2+1 2+16kx +12=0，
所以x 1+x 2=-16k 4k 2+1，则x M =x 1+x 22=-8k
4k 2+1
，
所以y M =kx M +2=-8k 24k 2+1+2=24k 2+1，则M -8k 4k 2+1,2
4k 2+1
，
同理N 8k k 2+4,2k 2
k 2+4
，
则直线MN 的方程为y -24k 2+1=2k 2k 2+4-2
4k 2
+1
8k k 2+4+8k 4k 2+1
椭圆中定点定值问题(与顶点有关)
椭圆中的“定”
四、与椭圆的顶点有关
22. 已知A 是椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点()
0,m M 的动直线与椭圆相交与不同的两点
C B ,（都不与点A 重合）
，记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则
()()
a m a a m
b k k +-=2221.
23. 已知A 是椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的左顶点，过定点()(),0N a n n ≠的动直线与椭圆相交与不同的两点C B ,（都不与点A 重合），记直线AC AB ,的斜率为21,k k ，则n
a k k 21121=+.
24. 若椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 上任一点P （非短轴端点）与短轴两端
点21B B 、的连线，交x 轴于点M 和
N ，O 为原点，则2a ON OM =⋅.
25. 若椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 上任一点P （非长轴端点）与长轴两端点21A A 、的连
线，交y 轴于点Q 和R ，O 为原点，则
2b OR OQ =⋅.
26.（1） 12,A A 是椭圆()0122
22>>=+b a b
y a x 的左右顶点，直线l 与椭圆交于,C D 两点，并
与x 轴交于点P ，直线1AC 与直线2A D 交于
点Q ，当点P 异于12,A A 两点时，
2OP OQ a =.
27.已知点A 是椭圆122
22=+b
y a x C ：()0>>b a 的左顶点，点C B ,在椭圆上，直线AC AB ,的斜率为21,k k
专题椭圆中的定点定值问题
专题椭圆中的定点定值问题
椭圆中的定点定值问题
1．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点为F （1，0），且（1-，2
2
）在椭圆C 上。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得
7
16
QA QB ?=- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）由题意知c=1．由椭圆定义得2222
2(11)(
)2a =--++
，即2a = --3分∴2
211b =-=，∴椭圆C 方程为2
212
x y +=．
（2）假设在x 轴上存在点Q （m ，0），使得
716
QA QB ?=- 恒成立。当直线l 的斜率不存在时，A （1，
2
），B （1，2-），由于（521,4-）·（521,4--）=716-，
所以5
4m =，下面证明54m =时，716
QA QB ?=- 恒成立。
当直线l 的斜率为0时，A （2，0）B （2-，0）则（524-，0）?
（524--，0）=7
16
-，
符合题意。当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为x=ty+1，A ()11,x y ，B ()22,x y ，
由x=ty+1及2
212
x y +=得22(2)210t y ty ++-=有0?>∴12122
221,22t y y y y t t +=-=-++； 111x ty =+，221x ty =+
∴112212125511(,)(,)()()4444x y x y ty ty y y -?-=--+=2(1)t +121211
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一.解答题(共30小题)
1.已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(Ⅰ)
求椭圆C得标准方程;
(Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ
两侧得动点.
①若直线AB得斜率为,求四边形APBQ面积得最大值;
②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB得斜率就是否为定值,说明理由.
2.已知椭圆得离心率为,且经过点.(1)求椭圆C得方程;
(2)已知A为椭圆C得左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN得斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l得斜率.
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆得焦距为2,且过点.(1)求椭圆E
得方程;
(2)若点A,B分别就是椭圆E得左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P就是椭圆
上异于A,B得任意一点,直线AP交l于点M.
(ⅰ)设直线OM得斜率为k1,直线BP得斜率为k2,求证:k1k2为定值;
(ⅱ)设过点M垂直于PB得直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点得坐标.
4.已知F1,F2分别就是椭圆(a＞b＞0)得左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与
x轴得交点为N,满足,设A、B就是上半椭圆上满足得两点,其中.
(1)求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围;
(2)过A、B两点分别作椭圆得切线,两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动,请说明理由.
5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a＞b＞0)得离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.
(1)求椭圆得方程;
(2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使.
(i)求证:直线OA与OB得斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2.
6.已知椭圆得左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N就是椭圆上得动点.
(Ⅰ)求椭圆标准方程;
(Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON得斜率之积为﹣,问:就是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值？,
若存在,求出F1,F2得坐标,若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证
明:MN⊥MB.
7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).
(1)求P点得坐标;(2)求以F1、F2为焦点且过点P得椭圆C得方程;
(3)设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.
8.已知椭圆得离心率为,且经过点.
(1)求椭圆C得方程;
(2)设直线l:y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A、B两点,D为AB得中点,k OD为直线OD得斜率,求证:k•k OD为定值;
(3)在(2)条件下,当t=1时,若得夹角为锐角,试求k得取值范围.
9.如图所示,椭圆C:得焦点为F1(0,c),F2(0,﹣c)(c＞0),抛物线x2=2py(p＞0)得焦点与F1重合,过F2得直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C相交于A,B两点,且.(1)求证:切线l得斜率为定值;(2)当λ∈[2,4]时,求椭圆得离心率e得取值范围.
10.已知椭圆(a＞b＞0)得右焦点为F1(2,0),离心率为e.
(1)若e=,求椭圆得方程;
(2)设A,B为椭圆上关于原点对称得两点,AF1得中点为M,BF1得中点为N,若原点O在以线段MN为直径得圆上.
①证明点A在定圆上;
②设直线AB得斜率为k,若k,求e得取值范围.
11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a＞b＞0)得焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),左、右顶点分别为
A,B,离心率为,动点P到F1,F2得距离得平方与为6.
(1)求动点P得轨迹方程;
(2)若,,Q为椭圆上位于x轴上方得动点,直线
DM•CN,BQ分别交直线m于点M,N.
(i)当直线AQ得斜率为时,求△AMN得面积;
(ii)求证:对任意得动点Q,DM•CN为定值.
12.(1)如图,设圆O:x2+y2=a2得两条互相垂直得直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求
证:为定值
(2)将椭圆(a＞b＞0)与x2+y2=a2相类比,请写出与(1)类似得命题,并证明您得结论.
(3)如图,若AB、CD就是过椭圆(a＞b＞0)中心得两条直线,且直线AB、CD得斜
率积,点E就是椭圆上异于A、C得任意一点,AE交直线CD于K,CE交
直线AB于L,求证:为定值.
13.作斜率为得直线l与椭圆C:交于A,B两点(如图所示),且
在直线l得左
上方.(1)证明:△PAB得内切圆得
圆心在一条定直线上;(2)若
∠APB=60°,求△PAB得面积.
14.设椭圆C:+=1(a＞b＞0)
得左.右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直得直线交x轴负半轴于点Q,且2+=.
(1)若过A.Q.F 2三点得圆恰好与直线l:x﹣y﹣3=0相切,求椭圆C得方程;
(2)在(1)得条件下,过右焦点F2作斜率为k得直线l与椭圆C交于M.N两点.试证
明:+为定值;②在x轴上就是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边
得平行四边形就是菱形,如果存在,求出m得取值范围,如果不存在,说明理由.
15.已知A,B分别就是椭圆C1:=1得左、右顶点,P就是椭圆上异与A,B得任意一点,Q就是双曲线
C2:=1上异与A,B得任意一点,a＞b＞0.(I)若P(),Q(,1),求椭圆C l
得方程;
(Ⅱ)记直线AP,BP,AQ,BQ得斜率分别就是k1,k2,k3,k4,求证:k1•k2+k3•k4为定值;
(Ⅲ)过Q作垂直于x轴得直线l,直线AP,BP分别交l于M,N,判断△PMN就是否可
能为正三角形,并说明理由.
16.已知椭圆=1得焦点坐标为(±1,0),椭圆经过点(1,)(1)求椭圆方程;
(2)过椭圆左顶点M(﹣a,0)与直线x=a上点N得直线交椭圆于点P,求得值.
(3)过右焦点且不与对称轴平行得直线l交椭圆于A、B两点,点Q(2,t),若K QA+K QB=2与l
得斜率无关,求t得值.
17.如图,已知椭圆得焦点为F1(1,0)、F2(﹣1,0),离心率为,
过点A(2,0)得直线l交椭圆C于M、N两点.(1)求椭圆C得方程;(2)①求直线l得斜率k
得取值范围;
②在直线l得斜率k不断变化过程中,探究∠MF1A与∠NF1F2就是否总相等？若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.