椭圆定点定值专题

一.解答题(共30小题)

1.已知椭圆C得中心在原点,焦点在x轴上,离心率为,短轴长为4.(Ⅰ)

求椭圆C得标准方程;

(Ⅱ)P(2,n),Q(2,﹣n)就是椭圆C上两个定点,A、B就是椭圆C上位于直线PQ

两侧得动点.

①若直线AB得斜率为,求四边形APBQ面积得最大值;

②当A、B两点在椭圆上运动,且满足∠APQ=∠BPQ时,直线AB得斜率就是否为定值,说明理由.

2.已知椭圆得离心率为,且经过点.(1)求椭圆C得方程;

(2)已知A为椭圆C得左顶点,直线l过右焦点F与椭圆C交于M,N两点,若AM、AN得斜率k1,k2满足k1+k2=m(定值m≠0),求直线l得斜率.

3.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆得焦距为2,且过点.(1)求椭圆E

得方程;

(2)若点A,B分别就是椭圆E得左、右顶点,直线l经过点B且垂直于x轴,点P就是椭圆

上异于A,B得任意一点,直线AP交l于点M.

(ⅰ)设直线OM得斜率为k1,直线BP得斜率为k2,求证:k1k2为定值;

(ⅱ)设过点M垂直于PB得直线为m.求证:直线m过定点,并求出定点得坐标.

4.已知F1,F2分别就是椭圆(a＞b＞0)得左、右焦点,半焦距为c,直线x=﹣与

x轴得交点为N,满足,设A、B就是上半椭圆上满足得两点,其中.

(1)求椭圆得方程及直线AB得斜率k得取值范围;

(2)过A、B两点分别作椭圆得切线,两切线相交于一点P,试问:点P就是否恒在某定直线上运动,请说明理由.

5.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆(a＞b＞0)得离心率为,其焦点在圆x2+y2=1上.

(1)求椭圆得方程;

(2)设A,B,M就是椭圆上得三点(异于椭圆顶点),且存在锐角θ,使.

(i)求证:直线OA与OB得斜率之积为定值;(ii)求OA2+OB2.

6.已知椭圆得左焦点为F(﹣,0),离心率e=,M、N就是椭圆上得动点.

(Ⅰ)求椭圆标准方程;

(Ⅱ)设动点P满足:,直线OM与ON得斜率之积为﹣,问:就是否存在定点F1,F2,使得|PF1|+|PF2|为定值？,

若存在,求出F1,F2得坐标,若不存在,说明理由.

(Ⅲ)若M在第一象限,且点M,N关于原点对称,点M在x轴上得射影为A,连接NA 并延长交椭圆于点B,证

明:MN⊥MB.

7.一束光线从点F1(﹣1,0)出发,经直线l:2x﹣y+3=0上一点P反射后,恰好穿过点F2(1,0).

(1)求P点得坐标;(2)求以F1、F2为焦点且过点P得椭圆C得方程;

(3)设点Q就是椭圆C上除长轴两端点外得任意一点,试问在x轴上就是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB得斜率之积为定值？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件得定点A、B得坐标;若不存在,请说明理由.

8.已知椭圆得离心率为,且经过点.

(1)求椭圆C得方程;

(2)设直线l:y=kx+t(k≠0)交椭圆C于A、B两点,D为AB得中点,k OD为直线OD得斜率,求证:k•k OD为定值;

(3)在(2)条件下,当t=1时,若得夹角为锐角,试求k得取值范围.

9.如图所示,椭圆C:得焦点为F1(0,c),F2(0,﹣c)(c＞0),抛物线x2=2py(p＞0)得焦点与F1重合,过F2得直线l与抛物线P相切,切点在第一象限,且与椭圆C相交于A,B两点,且.(1)求证:切线l得斜率为定值;(2)当λ∈[2,4]时,求椭圆得离心率e得取值范围.

10.已知椭圆(a＞b＞0)得右焦点为F1(2,0),离心率为e.

(1)若e=,求椭圆得方程;

(2)设A,B为椭圆上关于原点对称得两点,AF1得中点为M,BF1得中点为N,若原点O在以线段MN为直径得圆上.

①证明点A在定圆上;

②设直线AB得斜率为k,若k,求e得取值范围.

11.在平面直角坐标系xOy中,椭圆=1(a＞b＞0)得焦点为F1(﹣1,0),F2(1,0),左、右顶点分别为

A,B,离心率为,动点P到F1,F2得距离得平方与为6.

(1)求动点P得轨迹方程;

(2)若,,Q为椭圆上位于x轴上方得动点,直线

DM•CN,BQ分别交直线m于点M,N.

(i)当直线AQ得斜率为时,求△AMN得面积;

(ii)求证:对任意得动点Q,DM•CN为定值.

12.(1)如图,设圆O:x2+y2=a2得两条互相垂直得直径为AB、CD,E在弧BD上,AE交CD于K,CE交AB于L,求

证:为定值

(2)将椭圆(a＞b＞0)与x2+y2=a2相类比,请写出与(1)类似得命题,并证明您得结论.

(3)如图,若AB、CD就是过椭圆(a＞b＞0)中心得两条直线,且直线AB、CD得斜

率积,点E就是椭圆上异于A、C得任意一点,AE交直线CD于K,CE交

直线AB于L,求证:为定值.

13.作斜率为得直线l与椭圆C:交于A,B两点(如图所示),且

在直线l得左

上方.(1)证明:△PAB得内切圆得

圆心在一条定直线上;(2)若

∠APB=60°,求△PAB得面积.

14.设椭圆C:+=1(a＞b＞0)

得左.右焦点分别为F1F2,上顶点为A,过点A与AF2垂直得直线交x轴负半轴于点Q,且2+=.

(1)若过A.Q.F 2三点得圆恰好与直线l:x﹣y﹣3=0相切,求椭圆C得方程;

(2)在(1)得条件下,过右焦点F2作斜率为k得直线l与椭圆C交于M.N两点.试证

明:+为定值;②在x轴上就是否存在点P(m,0)使得以PM,PN为邻边

得平行四边形就是菱形,如果存在,求出m得取值范围,如果不存在,说明理由.

15.已知A,B分别就是椭圆C1:=1得左、右顶点,P就是椭圆上异与A,B得任意一点,Q就是双曲线

C2:=1上异与A,B得任意一点,a＞b＞0.(I)若P(),Q(,1),求椭圆C l

得方程;

(Ⅱ)记直线AP,BP,AQ,BQ得斜率分别就是k1,k2,k3,k4,求证:k1•k2+k3•k4为定值;

(Ⅲ)过Q作垂直于x轴得直线l,直线AP,BP分别交l于M,N,判断△PMN就是否可

能为正三角形,并说明理由.

16.已知椭圆=1得焦点坐标为(±1,0),椭圆经过点(1,)(1)求椭圆方程;

(2)过椭圆左顶点M(﹣a,0)与直线x=a上点N得直线交椭圆于点P,求得值.

(3)过右焦点且不与对称轴平行得直线l交椭圆于A、B两点,点Q(2,t),若K QA+K QB=2与l

得斜率无关,求t得值.

17.如图,已知椭圆得焦点为F1(1,0)、F2(﹣1,0),离心率为,

过点A(2,0)得直线l交椭圆C于M、N两点.(1)求椭圆C得方程;(2)①求直线l得斜率k

得取值范围;

②在直线l得斜率k不断变化过程中,探究∠MF1A与∠NF1F2就是否总相等？若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.