上海大学春季学期《微积分A3》(A卷)答案
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 已知,)(lim 1A x f x =+
→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当
时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知22
35
lim
2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β
β
α0
lim
x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a
x 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h
x f h x f h )
()3(lim
000
______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='⎰
))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2
224Q Q R -=，52
+=Q C ，则当利润最大时产
量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)
1. 若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a
(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1
1
)(-=x arctg
x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点
(完整word版)《微积分》各章习题及详细答案
第一单元 函数与极限
一、填空题
1、已知x x
f cos 1)2
(sin +=，则=)(cos x f 。
2、=-+→∞)
1()34(lim 22
x x x x 。
3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。
4、01
sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。
5、=-∞
→x e x x arctan lim 。
6、⎩⎨⎧≤+>+=0
,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。
7、=+→x
x x 6)
13ln(lim
0 。
8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(
lim =-+∞
→x
x a
x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3
12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x
x
x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13、____________22lim
22=--++∞
→x x n 。
14、设8)2(
lim =-+∞
→x
x a
x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞
→=____________。
二、选择题
1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。
微积分试卷(附答案)
微积分试卷
一、填空题（每题3分，共30分） 1、函数)1ln(3-+-=x x y 的定义域是____________.
2、设x
x f -=
11
)(则=))(1(
x f f ________________. 3、已知65
4lim
25=-+-→x k
x x x ，则k =________________. 4、=+-∞
→x
x x x )1
1(
lim ____________. 5、设函数⎪⎩⎪
⎨⎧=≠=0
,0,1sin )(x a x x
x x f 为),(+∞-∞上的连续函数，则a =____________ . 6、设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=→x
x f x )
(lim 0
. 7、已知x
x
x f +=
1)1(，求)(ln x f '= . 8、曲线)1ln(2
x y +=的在区间__________________单调减少。 9、若x
e
-是)(x f 的原函数，则=⎰
dx x f x )(ln 2_____________.
10、⎰
=xdx x ln _____________. 二、单选题（每题3分，共15分）
1、下列极限计算正确的是（ ）
A ． 111lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x B. e x x
x =⎪⎭
⎫
⎝⎛++→11lim 0
C ． 1sin lim
=∞→x x x D. 11
sin lim 0=→x
x x
2、函数1
1
arctan )(-=x x f 在x =1处是( ).
A. 连续
B. 可去间断点
C. 跳跃间断点
D. 第二类间断点
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)
班级 学号 姓名 成绩
一、
求解下列各题（每小题7分，共35分） 1
设,1arctan 1
22---=
x x x x y 求.y '
2 求不定积分.)ln cos 1sin (2
dx x x x
x
⎰++ 3
求极限.)(tan
lim ln 110
x x x ++→ 4 计算定积分,)
(20
2
322⎰
-=
a x a dx
I 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、
完成下列各题（每小题7分，共28分）
1 设当0→x 时，c bx ax e x
---2
是比2
x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2
求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.
3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰0
1cos sin )cos(20t t y du t u x t
所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：
.sin sin
4222
2⎰
⎰ππ
ππ
=dx x
x
dx x
x
.
三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方
程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =
的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的
图形为D ，
（1） 求图形D 的面积；
（2） 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
五、（7分）求证：方程
《微积分》课程期末考试试卷(A)及参考答案
七、
2n n3n
2n 3n
(2分)
级数
n1
2n 3n
为几何级数，
q
2 3
1收敛。
（5来自百度文库分）
2n 收敛（6 分）。
n1 n3n
4、 方程 dy 3dx x2dx 是＿＿阶微分函数
5、 点（2，-3，1）关于 xoy 平面的对称点是＿＿。
6、
二元函数
z
1 ln(x
y)
的定义域是＿＿。
7、 f (x, y) x2 xy y 2 ，则 f x (10) ＿＿
8、 f (x, y) x3 y e xy ，则 f y (01) =＿＿
)dy
（6
分）。
四、 x2 ydxdy 2 dx x x2 ydy(3分)
0
0
D
2 0
1x2 y2 2
|0x
dy(5分）
1 10
x5
|02
(7分）
32 10
156（10分）
五、{
f f
1 x 1 y
( (
x x
, ,
y y
) )
42 x 42
0 y0
得驻点(2,2)
D、 1 y
微积分课后题答案习题详解
第二章
习题2-1
1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞
x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞
x n +k =a .
证：由lim n n x a →∞
=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有
取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞
=.
2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞
x n =a ,则lim n →∞
∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上
述结论反之不成立. 证：
而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>
n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<
由数列极限的定义得 lim n n x a →∞
=
考察数列 (1)n
n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞
=，
所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：
(1) lim n →∞
2221
11(1)
(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭
=0； (2) lim n →∞2!n
n =0.
证：（1）因为
222
222111
112
(1)(2)n n n n n n n n n n
++≤+++
≤≤=+ 而且 21lim
0n n →∞=，2
lim 0n n
→∞=，
所以由夹逼定理，得
22211
1lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫
微积分试卷及标准答案6套
微积分试题 (A 卷)
一. 填空题 (每空2分,共20分)
1. 已知,)(lim 1A x f x =+
→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当
时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知22
35
lim
2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→β
β
α0
lim
x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a
x 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→h
x f h x f h )
()3(lim
000
______________。
7. 曲线y = x 2
＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='⎰
))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2
224Q Q R -=，52
+=Q C ，则当利润最大时产
量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的
邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a
(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极
限一定不存在 2. 设1
1
)(-=x arctg
x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+
2023年上海市春季高考数学试卷及答案
2023年上海市春季高考数学试卷
（2023•上海）已知集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2
．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．【解答】解：集合A={1，2}，B={1，a}，且A=B ，则a=2．
故答案为：2．
（2023•上海）已知向量a =（3，4），b =（1，2），则a -2b =（1，0）．
→→→→
【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．【分析】根据平面向量的坐标运算法则，计算即可．【解答】解：因为向量a =（3，4），b =（1，2），
所以a -2b =（3-2×1，4-2×2）=（1，0）．故答案为：（1，0）．
→→→→
（2023•上海）不等式|x-1|≤2的解集为：[-1，3]．（结果用集合或区间表示）
【专题】计算题；不等式的解法及应用．
【分析】运用|x|≤a ⇔-a≤x≤a,不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，解出即可．【解答】解：不等式|x-1|≤2即为-2≤x-1≤2，即为-1≤x≤3，则解集为[-1，3]，故答案为：[-1，3]．
（2023•上海）已知圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，则圆C 的半径为 1
．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】把圆C 的一般方程化为标准方程，可得圆C 的圆心和半径．
【解答】解：根据圆C 的一般方程为x 2+2x+y 2=0，可得圆C 的标准方程为（x+1）2+y 2=1，故圆C 的圆心为（-1，0），半径为1，故答案为：1．
微积分上期末测验考试试题A卷附答案
、选择题(选出每小题的正确选项，每小题2分，共计10分)
1
1.
lim 2x _
x 0
--------------------------
(A ) - (B ) +
(C ) 0
(D )不存在
X x
2.
当X ------------------ 0时，f(x) _________ 的极限为 。
x
1
3.
设f (x)的一个原函数是 ___ ,那么f (x)dx 。
ln x
4. 设f (x) xe x ,那么2阶导函数f (x)在x _点取得极 _______________ 值
1
1、求
lim (lnx)帀
x e
(A ) 极小值
(B )极大值(
C )拐点
(D ) 不是极值点也不是拐点
5.若f (x) g (x),则下列各式
成立。
(A) f(x) (x) 0 (B) f(x) (x) C
(C)
df(x) d (x)
(D)
d d f(x)dx
(x)dx
dx
dx
、填空题(每小题3分，共18分)
.设f
(x)在x 0处可导，f(0)
0,且 lim x 0
f(2x) sin x
1，那么曲线y f (x)在原点处的
x 切线方程是
O
2 .函数f(x) x 3—x 在区间［0 ,
则定理中的
3］上满足罗尔定理,
1 (A ) 0
3.下列极限存在，
(A) lim 竺
x 0
(B ) 1 则成立的是_
x) f(a) x
(C ) 2
(D )不存在
f (a) (B) f (x 0 t) f(X o t)
(C) lim
t 0
2f (x o )
..f(tx) f(0) lim
tf (0) x 0 x
f (x) f (a)
(D) lm
1516第一学期微积分III期末试卷A卷评分标准
一、计算下列各题（每题5分，共20分）：
1.θ
θ
θ
θ
d
⎰2
sin
cos
2.⎰+dx
x
x)1
(
1
2
3.
dx
e
x x
⎰+∞-
53
4.[]dx x
x
x sin
|
|
)1,
min(2015
2016
2
2
+
⎰-
解： 1. 22;C
θ===+
----------------3分 ----------- 5分
2. 由待定系数法，或者加一项减一项，有
1
1
)1
(
1
2
2+
-
+
=
+x
x
x
x
x
⎰
⎰+
+
-
=
+
-
+
=
+
C
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x
)
1
ln(
2
1
|
|
ln
1
1
)1
(
1
2
2
2
------------3分 -----------5分
另解：令
2
11
,d(dt)
x x
t t
==-，
3
2
2222
1111
()d=d(+1)
(1)(1)2(1)
t
dx t t
x x t t t
=--
+++
⎰⎰⎰
---------------- 3分
2222
1111
=ln(+1)ln(+1)ln()ln||ln(+1).
2222
t C x x C x x C
-+=-++=-+
-------------5分
3.
33
533
000
1111
(2)
3333
x x u
x e dx x e dx ue du
+∞+∞+∞
---
===Γ=
⎰⎰⎰
------------
3分 ---------- 5分
4. 由偶倍奇零准则[]⎰
⎰=
+
-
2
2016
2015
2016
2
2
)1,
min(
2
sin
|
|
)1,
min(dx
x
dx
x
x
x
----------------3分
厦门大学《微积分III-1》课程期末试卷
试卷类型：（经管类A卷）考试日期 2016.1.12
20174036210212016=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰dx dx x ---------------- 5分
微积分试卷及答案4套
微积分试卷及答案4套
微积分试题(A卷)
一.填空题(每空2分,共20分)
1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于
$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。
2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。
3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。
4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\to
a}f(x)=f(a)$。
5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。
6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则
$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。
7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。
8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。
9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。
二.单项选择题(每小题2分,共18分)
1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-
上海大学2015--2016学年春季学期《微积分3》试卷(A卷)
2015 ~ 2016学年春季学期《微积分3》试卷(A 卷)
一. 单项选择题(5小题, 每小题3分, 共15分)
1. 下列级数中条件收敛的是( ).
A.
12
(1)
n n n
∞
=-∑
B. 1
2(1)1n
n n n ∞
=⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭∑
C.
1
2
1
(1)
ln n n n
∞
-=-∑
D.
1
1
(1)
!
n
n n n n ∞
-=-∑ 2. 设1
0(1,2,3,)n a n n
<<
=, 则下列级数中肯定收敛的是( ).
A. ∑∞
=1
n n
a
B.
∑∞
=-1
)
1(n n n
a
C. ∑∞
=2ln n n n
a
D.
∑∞
=2
2ln n n
n a
3. 已知
π,0π,
()0,
π0.x x f x x -≤≤⎧=⎨
-≤<⎩ 则()f x 的傅立叶级数在0x =处收敛于( ). A.
π
2
B. π
C. π
2
-
D. π-
4. 微分方程3
2y xy x '=+是( ).
A. 齐次方程 B . 线性非齐次方程 C. 变量可分离方程 D. 全微分方程 5. 若方程0)(=+'y x p y 的一个特解为x y 2cos =, 则该方程满足初值条件2)0(=y 的特解为( ). A. cos22x +
B. cos21x +
C. 2cos x
D. 2cos2x
二. 填空题(5小题, 每小题3分, 共15分)
6. 设幂级数
20
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在点2=x 处条件收敛, 则其收敛域为 .
7. 幂级数
∑∞
=-+12)
3(2
n n
n
n
x n 的收敛半径为 . 8. 幂级数
211ln 2n
n n x n n
2 0 0 3级常微分方程期末试题(A卷)答案及评分标准.doc
2 0 0 3级常微分方程期末试题（A卷）答案及评分标准%1.填空题（每题2分，共1 0分）
1.y2 +x2 =c（c为任意常数）,y2 + x2 = 1
2.y = ce^x］＜，x c为任意常数
3.r~i=o
4.x = n（/） + c2x2（/） + ... + c n x n⑴ + x（r）,其屮C］
心，…,c“ 是任意常数
5・①⑴①"O o）7 +①⑴［①（$）心
%1.选择题（每题2分，共10分）
1、（C）
2、（B）
3、（A）
4、（C）
5、（D）
%1.判断题（每题2分，共10分）
1.错，
2.对，3・对，4.对，5・错
%1.计算题（每题6分，共30分）
z/v /+3x I y2+3x , ,
1.由空+ ——=0,分离变量得型=一一-ye~y~dy = e ix dx.
dx y dx y
（2分）
1 2 1, , ，
积分有-厂 =一产+C,即通解为2庄一3厂=c, c为任意常数
2 3
（4分）
2.◎ — "），= £*〃为常数，对应齐方程为—--y = 0 ,即
dx x dx x
吐聖y,0 = 心,积分得y=cx"（2分）.应用常数变易法，dx x y x
令y = c（x）x n微分整理得虫⑷c（x） = ^x+c （2分），
dx
设原方程的通解为
c/(z) = 1-sinr £‘(()=
cos/-c/gf
积分得
3. 由（x + 2y ）dx + xdy = 0 , 知积分因了为兀（2分），从而
Ixyclx + x~dy - -x~dx , clx 2 y = -d - A *3 （ 2 分） ，通解为 . 1 2
微积分A习题+答案
x3 ax 2 bx c 2 ，求常数 a, b, c x x 1
2 2 2
5、设当 x 0 ， 4 x 4 x k sin x ，求常数 k 七、有关闭区间上连续函数的性质 1、证明方程 x 3 x 1 至少有一个根介于 1 和 2 之间。 2、证明方程 sin x x 1 0 在开区间
h 0
D． f ( x ) 是 x 的低阶无穷小
5、 f ( x)在点x0 处有定义是极限 lim f ( x)存在的
x x0
A．必要条件; B．充分条件 ; C．充分必要条件; D．既非必要又非充分条件．
6、 若 lim f ( x) A( A为常数），则当x x0时，函数f ( x) A是
1 A．； 0 B． ； C． 1； D．不存在． 2
13、 下列极限计算正确的是
A； lim
x 2n 1； n 1 x 2 n
B lim
x
x sin x 1； x sin x
n
C lim
tan x sin x 1 0 ； C lim1 e 2 3 x 0 n x 2n
8、 当x 0 时， 2 sin x(1 cos x)与x 2 比较是（ ）
A．同阶但不等价无穷小； C．高阶无穷小；