高考等高线题

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高考地理例析几种特殊地貌等高线图的判读复习

例析几种特殊地貌等高线图的判读等高线地形图的判读与分析是高考地理能力考查的重要内容之一，特殊地貌等高线地形图的判读又是一个难点，如火山、风蚀蘑菇等，下面分别剖析之。

一、火山火山是岩浆活动中岩浆喷出地表冷却凝固而形成的锥状形态山体。

火山停止喷发后，火山口内常积水而形成火山湖，如我国长白山顶的天池就是著名的火山湖，火山湖一般面积小、深度大。

例1 图1是某种地貌的等高线图，该种地貌最有可能是。

解析：图中等高线大致呈同心圆状分布，由示坡线可知海拔由四周向中心升高，但中心处海拔又降低，故可示意为锥状火山，中心为火山口，其剖面图如图2所示。

答案：火山。

二、地上河地上河也称悬河，在河流中下游地区，由于地形平坦，水流变缓，加上河道弯曲，水流不畅，以及中上游来水泥沙含量大等原因，泥沙在河床大量淤积，使河床抬高，人们为了防洪而加固加高河堤，从而成为河床底部高于河流两岸地面的“地上河”，如黄河下游、长江荆江河段等。

地上河河床底部高于河流两岸而低于两侧大堤，剖面示意图如图3，等高线、等潜水位线如图4，地上河的等高线也可以如图5所示。

地上河河流水位高于地下潜水位，河流永远补给地下潜水，其等潜水位向下游弯曲。

例2 图6为我国南方某地区等高线示意图，请据图说明河流甲、乙段的典型特征。

解析：图中河流甲、乙段登高线分布符合地上河等高线特征，故示意为地上河，等潜水位向下游弯曲，河水补给地下水。

答案：甲、乙河段位于平原上，水流平缓，是地上河，河水补给地下水，无支流汇入。

三、凹坡、凸坡、等齐斜坡等高线地形图中关于两点间的“通视”问题，是学生难以理解和容易出错的一个知识点，了解几种坡的等高线分布特征有助于突破这一难点。

凹坡是坡度由大到小（先陡后缓）的坡，等高线分布特征为先密后疏；凸坡是坡度由小到大（先缓后陡），等高线分布特征为先疏后密；等齐斜坡是坡度变化小的坡，等高线分布均匀。

例3图7中，从A点观察a、b、c各点，不能观察到的点是。

解析：a点所在坡面Aa，其等高线间距沿A→a由密到疏，应为凹坡，转化为地形剖面图如图8，凹坡Aa两间完全通视；b点所在坡面Ab，其等高线间距沿A→b由疏到密，应为凸坡，转化为地形剖面图如图9，可知，凸坡Ab两点不通视；c点所在坡面Ac，其等高线间距沿A→c分布均匀，应为等齐斜坡，转化为地形剖面图如图10.可知，等齐斜坡Ac两间完全通视。

等高线

③ 选择工业区和居民点工业区宜建在地形平坦开阔,且交通便利,水源充足,接近资源的地区,且在下风向，河的下游.居民区应建在向阳坡，上风向，河的上游，以减少大气和水的污染
D.吐鲁番盆地－155米
⑤
⑥
等高线—— 地面上海拔高度相同的各点的连线
等高线地形图
等高线地形图的基本特征
(1)同线等高：同一等高线上的各点高度相等。 (2)等高距全图一致：等高距即指两条相邻等高线之间的高度差。 (3)等高线均为闭合曲线。 (4)等高线一般不相交、不重叠；有时也看到重合，那只有在陡崖处出现。 (5)等高线疏密反映坡度缓陡：在同一幅图中，等高线愈稀，则坡度愈缓；等高线愈密，则坡度愈陡。 (6)示坡线表示降坡方向：在等高线图上如果画着垂直于等高线的短直线，叫示坡线，它总是指向坡度降低的方向。
等高线地形图
记笔记
高度的表示方法
⑴绝对高度：某个地点高于平均海平面的垂直距离，
即海拔高度。地图上的高度注记
⑵相对高度：某个地点高出另一地点的垂直距离。 A hAB=? HA=50m 习题:
1、下列描叙表示相对高度的是（） A.学校教学楼高20米
B
HB=20m
海平面
B.死海－400米
C.珠穆朗玛峰8844.43米
⑤
⑥
• 闭合曲线
难点突破
等值线共性：
在两条等值线间若还有一条闭合等值线，则其数值只可能大于大的，或小于小的。
如上图，判断图中A、B的海拔范围各是多少？
150米>HA>100米；50米>HB>0米。
读等高线示意图，已知a＞b。读图回答1—3（双选） 1．有关P、Q两处地形的正确叙述（ bc ） A．P为山坡上的洼地 B．Q为山坡上的洼地 C．P为山坡上的小丘 D．Q为山坡上的小丘 2．若b的海拔高度为200米，a的海拔高度为 300米，则P、Q处的海拔高度为（ bc ） A．200＜P＜300 B．300＜P＜400 C．100＜Q＜200 D．200＜Q＜300 3．若图中闭合等高线的高度同为a或同为b，则P、Q处的地形可能（ab ） A．同为洼地 B．同为小丘 C．同为缓坡 D．一处为洼地，一处为小丘

专题02 等高线地形图(精选练习)-备战2023年高考地理一轮复习全考点精讲练(浙江专用)(解析版)

专题02等高线地形图考点帮你练一、单选题（2022·浙江金华·高二期末）某地质研究所到贵州省凉风垭地区进行地质勘察，通过钻孔记录某岩层顶部海拔。

读凉风垭地区等高线地形图（单位：米），据此完成下面小题。

1．该岩层顶部距地表最浅的钻孔号是（）A．1号B．2号C．3号D．4号2．图示地区的地质构造与地貌类型分别是（）A．背斜鞍部B．向斜鞍部C．背斜山谷D．向斜山脊【答案】1．A2．A【解析】1．根据图中相关数据可知，1号钻孔地表海拔是280米，岩层顶部海拔是125米，因此岩层顶部距地表深度是155米；2号钻孔地表海拔大于300米小于320米，岩层顶部海拔是90米，因此岩层顶部距地表深度大于210米，小于230米；3号钻孔地表海拔280米，岩层顶部海拔是65米，因此岩层顶部距地表深度是215米；4号钻孔地表海拔大于260米，小于280米，岩层顶部海拔是100米，因此岩层顶部距地表深度大于160米，小于180米，因此岩层顶部距地表最浅的钻孔号是1号，A正确，BCD错误。

故本题选A。

2．根据图片，图示地貌东北和西南地势较高，西北和东南地势较低，中部是鞍部地貌，据此可排除CD；根据某岩层顶部海拔，该岩层在1号钻孔附近海拔较高、周边地区该岩层的海拔较低，说明岩层向上凸出，是背斜构造，A正确，B错误。

故本题选A。

【点睛】岩层的埋藏深度，即岩层距离地面的垂直距离，可以用来帮助恢复岩层的形态，所以结合海拔和深度数据分析，可以确定岩层的走向、弯曲方向等并确定地质构造。

（2022·浙江·高二期末）2022年北京冬季奥运会于2022年2月4日开幕，张家口赛区承办大部分滑雪项目。

下图为张家口某滑雪场等高线图。

完成下面小题。

3．该滑雪场选址的有利条件是（）①林木茂盛，环境优美②山高坡陡，起伏剧烈③冬季严寒，降雪丰富④坡面朝东，减少阳光干扰A．①④B．②③C．③④D．①②4．关于图中四条赛道，下列叙述正确的是（）A．L1赛道落差可达240米B．L2赛道较适合初学者C．L3赛道主要沿山谷修建D．L4赛道先陡后缓再陡【答案】3．C4．B【解析】3．观察图中信息可知，该区域海拔较高，气温较低，冬季降雪量比较丰富，且积雪时间长，不易融化，故③正确；冬季太阳直射南半球，从东南方向升起，西南放下落下，按照图中显示的方向，该区域坡面向东，减少阳光的干扰程度，故④正确；冬季的北方气温较低，树木属于温带落叶阔叶林，植被萧条，且冬奥会的滑雪场主要不是用来观赏的，故①不属于有利条件；图中显示该区域内等高差较小，坡度相对和缓，故②不选。

等高线专题

多条等高线重叠在一起处
山顶和盆地
山脊和山谷
鞍
部
悬
崖
如右图：顶部Ａ：底部Ｂ：
500 ≤ ＨA
＜600
Ａ
200 ＜ＨB ≤ 300 200 ≤ Ｈ＜崖高Ｈ： 400 陡崖高差的计算公式：
d (ｎ－1) ≤Ｈ＜ d (ｎ＋1)
Ｂ
其中n为重合的等高线的条数，d为等高距
（2）根据等高线判断河流的位置及流向。
在不同的等高线图上如何判断坡度大小？ ②比例尺相同、等高距不同的等高线地形图上
在相同的水平范围内等高距越大，坡度越大；
等高距越小，坡度越小。
坡度由大到小的顺序为: B>D>A>C
在不同的等高线图上如何判断坡度大小？
③在等高线稀疏程度相同，等高距相同的情况下比例尺越大，坡度越大；比例尺越小，坡度越小
B
D
二、等高线判读---等高线的疏密
陡坡：等高线密集的地方
缓坡：等高线稀疏的地方
坡陡的地方
坡缓的地方
等高线
密集。
等高线
稀疏。
在不同的等高线图上如何判断坡度大小？ ①比例尺和等高距相同的等高线地形图上
在相同的水平距离上等高线越密集，坡度越大；等高线越稀疏，坡度越小
坡度由大到小的顺序为: C>A>D>B
6
【解析】本组题主要考查等高线的判读和应用以及文本解读能力，难度中等，区分度不大。本组题用图解法最为简便。
7
【解析】第(1)题，据文字材料中“图中等高距为100 米”，可得出各等高线数值，如图所示，故Q地海拔应该在400～500米之间，只有D项符合题意。第(2)题，据上图可知河流海拔低于300米，联系文字材料中“瀑布的落差为72米”，再根据等高线分布得出桥梁位于瀑布下游，故桥梁附近河岸海拔为200～228米，与山顶(580米) 之间高差为352～380米，与之最接近的为C项。

2021高考地理— 等高线专题习题含答案

等高线专题下图为我国东南沿海某地等高线地形图，当地打算大力发展旅游业。

读图完成下面小题。

1．玻璃栈道能让游客体验悬空、惊险、刺激，图中①～④处最合适的是（）A．①B．②C．③D．④2．关于图中信息的叙述，正确的（）A．A处适合观赏日出B．BC段河流自东北流向西南C．D处攀岩墙的高度约为135米D．甲处能看到乙处公路上的车辆【答案】1．C2．B波浪谷是一种岩石上的纹路像波浪的地貌，主要岩石为红色石英砂岩。

20世纪80年代,人们在美国亚利桑那州发现了波浪谷,神奇的外观和极高的科研价值使其成为世界八大岩石奇观之一。

下图是美国波浪谷某地的等高线地形图及某旅游团2019年7月18-25日在该地旅游时拍摄的景观图。

据此完成下面小题。

3．该旅游团旅游期间，下列现象正确的是（）A．非洲草原动物正向南迁徙B．地球公转速度越来越慢C．南极地区正值极昼D．地中海沿岸森林火险等级高4．图中A．B．C．D四地中最适宜露营的是（）A．A地B．B地C．C地D．D地5．波浪谷的形成过程可能是（）A．沉积作用→地壳抬升→流水溶蚀→风力堆积B．地壳下沉→沉积作用→地壳抬升→侵蚀作用C．地壳下沉→岩浆侵入→地壳抬升→流水溶蚀D．沉积作用→地壳抬升→变质作用→侵蚀作用【答案】3．D4．C5．B图一为某岛屿等高线地形图（单位：m），图二为某摄影师元旦在该岛屿某处日出时所拍照片。

据此完成下面小题。

6．照片拍摄地点最有可能位于（）A．甲地B．乙地C．丙地D．丁地7．关于图示区域说法正确的是（）A．乙处建设港口的条件比甲处更优越B．图中两条河流的流向基本一致C．此日过后该岛屿白昼变长D．丙处降水量小于乙地【答案】6．B7．A下图为“某区域等高线(单位：m)地形图”，读图，回答下面小题。

8．图示区域内M山与甲村之间的高差可能为（）A．290m B．300m C．490m D．500m9．有关图示区域的叙述，正确的有（）①地形以山地、平原为主②R河段的流向是从西北到东南③从P点能看到甲村④甲村所在地形区地势四周高、中间低A．①③B．①④C．②③D．②④【答案】8．C9．D下图为“世界某区域等高线及某时刻等压线分布图”，读图完成下面小题。

2023届新高考数学复习：专项(等高线问题)经典题提分练习(附答案)

2023届新高考数学复习：专项（等高线问题）经典题提分练习一、单选题1．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（）A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-3．（2023秋ꞏ四川泸州ꞏ高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,34．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）5．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知定义域为()0,6的函数()y f x =的图象关于3x =对称，当(]0,3x ∈时，()ln f x x =，若方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<时，都有()223412190k x x x x -++-≥成立，则实数k 的最小值为（）A ．724 B ．13C ．12D ．1136．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()22,0,()2,0xx x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（） A ．ln 33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-7．（2023ꞏ吉林长春ꞏ东北师大附中校考模拟预测）已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x=-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（）A ．31ln 4+B ．41ln 3+C ．3ln 3-D ．3ln 3+8．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()22322,,log ,,x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，其中01m <<，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()()5222g x g x -+=有四个不等根1234,,,x x x x ，则()()()()12341234x x x x g x g x g x g x +++++++的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．810．（2023秋ꞏ宁夏ꞏ高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数22,0(){|log |,0x x f x x x +≤=>，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为（） A ．1(2,4-B ．1[2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞11．（2023秋ꞏ湖北武汉ꞏ高一期末）已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（） A ．72B ．8C ．92D ．1212．（2023秋ꞏ河南郑州ꞏ高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 13．（2023秋ꞏ江西上饶ꞏ高一统考期末）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()3122342x x x x x -+的取值范围是（） A ．()4,5 B ．(]4,5C ．()4,+∞D ．[)4,+∞14．（2023春ꞏ全国ꞏ高三校联考专题练习）已知函数11()||||f x x a x b xa x=++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为（）A ．1B ．3C ．5D ．7二、多选题15．（2023秋ꞏ云南昆明ꞏ高一统考期末）已知函数ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，函数()y f x m =-有四个不同的零点，且从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（）A ．121=x xB ．1201≤<x xC ．341x x =D ．2410-<≤x x16．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()e ,0,lg ,010,11,10,x x x f x x x x x ⎧⋅≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩，若22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点分别为123456,,,,,x x x x x x ，且()()()123456345,x x x x x x f x f x f x <<<<<==，则下列说法正确的是（）A ．当0x ≤时，()10ef x -≤≤B ．34x x +的取值范围为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．当0m <时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．当0m >时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为20,3e ⎛⎫⎪⎝⎭17．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，则下列命题中正确的是（）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a-++=的不同实根的个数只能是1，2，3，618．（2023秋ꞏ辽宁大连ꞏ高一育明高中校考期末）已知函数()()22log 2,241617,42x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（）A ．()121242x x x x +=+B ．3412x x +=C ．()3432,34x x ∈D ．函数()()()()21g x f x m f x m =+--的零点为12346,,,,x x x x19．（2023秋ꞏ山西太原ꞏ高一古交市第一中学校校考阶段练习）已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（） A ．0<a <1B．12922x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣20．（2023秋ꞏ重庆铜梁ꞏ高一校考期中）已知奇函数()f x 的定义域为R ，()3f x +为偶函数，且()f x 在[]0,3上单调递减．若关于x 的方程()f x a =在区间[]12,12-上有4个不同的根1234,,,x x x x ，则（） A ．()()6f x f x =+B ．()f x 的图象关于直线3x =对称C ．1234x x x x +++的值可能为12-D ．1234x x x x +++的值可能为1221．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（） A ．0B ．1C ．99D ．100三、填空题22．（2023秋ꞏ石河子一中校考阶段练习）已知函数()2e ,0ln ,>0x x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x b=-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则以下结论正确的是_____.①22342x x +>；②20eb <<； ③122x x +=-； ④()13422x x x x +<-.23．（2023ꞏ贵州贵阳ꞏ校联考模拟预测）已知函数()()22log 1,13,1910,3,22x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则()()()()34121111x x x x ----的取值范围是______.24．（2023秋ꞏ河南郑州ꞏ高一郑州市第七中学校考期末）已知函数()()2121xx f x f x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，，，若方程()f x a =有四个不相等的实数根1x ，2x ，3x ，4x ，则22222341x x x x +++的取值范围为__________.25．（2023春ꞏ广东揭阳ꞏ高一校考阶段练习）已知函数()()ln ,036,36x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若当方程()f x m =有四个不等实根()12341234,,,x x x x x x x x <<<时，不等式22341230kx x x x k ++≤+恒成立，则实数k 的最大值为____________.26．（2023秋ꞏ江西宜春ꞏ高一江西省丰城中学校考阶段练习）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩若方程()f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，且1234x x x x <<<，则()2221234x x x x +++的取值范围为___________.27．（2023秋ꞏ湖北ꞏ高一赤壁一中校联考阶段练习）()22log ,0269,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若关于x 的方程()()()()222100f x t f x t t t -+++=≤有且仅有四个不相等的实数根1x 、2x 、3x 、()41234x x x x x <<<，则1234x x x x t +++的取值范围为__________.28．（2023ꞏ江苏ꞏ高一期末）已知函数22122,0()2log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程 f （x ） =a 有四个不同的解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则212344x x x x x ++的取值范围是 _________ 29．（2023秋ꞏ河南濮阳ꞏ高三濮阳南乐一高校考阶段练习）已知函数()()()333322f x x a x b x a x =++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为______．30．（2023秋ꞏ福建福州ꞏ高一福州四中校考期末）已知函数22sin (10)()44(01)log (1)x x f x x x x x x π-<⎧⎪=-<⎨⎪-⎩………，若()()h x f x a =-有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是____________．四、双空题31．（2023秋ꞏ江西抚州ꞏ高二校联考阶段练习）已知函数ln ,02()(4),24x x f x f x x ⎧<≤=⎨-<<⎩，若当方程()f x m =有四个不等实根1x 、2x 、3x 、4x ，(1x ＜2x ＜3x ＜4x ) 时，不等式22341211kx x x x k ⋅++≥+恒成立，则x 1ꞏx 2=________，实数k 的最小值为___________．32．（2023秋ꞏ天津和平ꞏ高三耀华中学校考阶段练习）设()()ln ,024,24x x f x f x x ⎧<≤⎪=⎨-<<⎪⎩，若方程() f x m =恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为________；若方程() f x m =有四个不相等的实根()1,2,3,4i x i =，则()2221234x x x x +++的取值范围为______. 33．（2023ꞏ全国ꞏ高三专题练习）已知函数()12,011,04x e x f x x x x -⎧>⎪=⎨--+≤⎪⎩ ，若函数3()()2g x f x =-有4个零点1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++=____________；若关于x 的方程25()()02f x f x a -+= ()a R ∈有8个不相等的实数根，则a 的取值范围是____________． 34．（2023秋ꞏ广东汕头ꞏ高一统考期末）设函数()22122,02log ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的解，1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则m 的取值范围是_____，1234244x x x x x ++的取值范围是__________．参考答案一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）设函数()22,0ln ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩①若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是()0,1②若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是()0,∞+ ③若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭④方程()()2110f x a f x a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭的不同实根的个数只能是1，2，3，6四个结论中，正确的结论个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【过程解析】对于①：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<，则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =，所以1234(0,1)x x x x a =∈，故①正确；对于②：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<，所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,e ex x x x +=+∈+，所以12341(0,e e2)x x x x +++∈+-，故②错误；对于③：方程()f x ax =的实数根的个数，即为函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当a<0时最多2个交点，所以0a >，当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ，即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e>a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11ax g x a x x-'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a>时()0g x '<，即()g x 单调递减，所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故③错误；对于④：21()(()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=，所以()f x a =或1()f x a =，由图可知，当1m >时，()f x m =的交点个数为2，当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3，当01m <<时，()f x m =的交点个数为4，当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个，若1a =时，则11a=，交点的个数为3个，若01a <<，则11a>，交点有426+=个，若a<0且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能有1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故④正确；故选：B ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解1234,,,,x x x x 且1234x x x x <<<，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（） A ．(]1,1- B ．[]1,1-C ．[)1,1-D ．()1,1-【答案】A【过程解析】21log 12x x =-⇒=. 先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数， 11121,2111212-⨯+=-⨯+=-，从而()(]31223411,1x x x x x ⋅++∈-⋅. 故选：A3．（2023秋·四川泸州·高一四川省泸县第四中学校考阶段练习）已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则()()341233x x x x --的取值范围是（）A ．()0,3B ．(]0,4C ．(]3,4D ．()1,3【答案】A【过程解析】作出函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩的图象，如图所示：方程()f x m =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，则01m <<，()33,4x ∈3log x m =即：3231log ,log x m x m ==-，所以3231log log 0x x +=， 321log 0x x =，所以211x x =，根据二次函数的对称性可得：3410x x +=，()()()()341212343423333391*********x x x x x x xx x x x x x x --==-+--=-+-+，()33,4x ∈考虑函数()21021,3,4y x x x =-+-∈单调递增，3,0x y ==，4,3x y ==所以()33,4x ∈时2331021x x -+-的取值范围为()0,3.故选：A4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…，若互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3），则123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝的取值范围是（）A ．（95,42）B ．（1，4）C ．4）D ．（4，6）【答案】A【过程解析】画出分段函数f (x )＝11,1211,12xx x x ⎧⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪-+>⎪⎩…的图像如图：令互不相等的实数x 1，x 2，x 3满足f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝t ，t ∈（0，12），则x 1∈22(log ,0)3，x 2∈（0，1），x 3∈（1，2），则123111222xxx⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝＝1+t +1﹣t +22t ﹣2＝2+22t ﹣2，又t ∈（0，12），∴123111222x x x⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎭⎝∈（95,42）．故选：A ．5．（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为()0,6的函数()y f x =的图象关于3x =对称，当(]0,3x ∈时，()ln f x x =，若方程()f x t =有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<时，都有()223412190k x x x x -++-≥成立，则实数k 的最小值为（）A ．724 B ．13C ．12D ．113【答案】A【过程解析】作出函数()f x 的图象，如图，作直线y t =，它与()f x 图象的四个交点的横坐标依次为1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，因为函数()y f x =的图象关于3x =对称，所以32416,6x x x x =-=-，12ln ln x x -=，即121=x x ，且213x <<，显然341x x >，不等式()223412190k x x x x -++-≥变形为2212349()1x x k x x -+≥-，3421121212(6)(6)366()376()x x x x x x x x x x =--=-++=-+，222212121212()2()2x x x x x x x x +=+-=+-，所以222121234129()11()1366()x x x x x x x x -+-+=--+，由勾形函数性质知12221x x x x +=+在2(1,3)x ∈时是增函数，所以12221102,3x x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，令12t x x =+，则102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，211()6(6)t g t t -=-2116(6)t t -=-，22(6)25()6(6)t g t t --'=-，当102,3t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g t '<，()g t 单调递减，所以7()(2)24g t g <=，所以724k ≥，即k 的最小值是724．故选：A ．6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22,0,()2,0xx x f x g x x x e x >⎧==-+⎨≤⎩（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则21322x x x --的最小值为（）A ．ln 33-B ．3ln 22-C ．ln 23-D ．1-【答案】A【过程解析】由题意设()f x t =，根据方程(())0g f x m -=恰有三个不等实根，即2()20g t t t m =-+-=必有两个不相等的实根12,t t ，不妨设12t t <122t t ∴+=，则212t t =-，作出()f x 的图象，函数y t =与()f x 三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，那么1221xx e t ==，可得312x t =-，101t <≤，所以21311223ln 4x x x t t --=--，构造新函数1()3ln 4(01),()3h t t t t h t t'=--<≤=-当()0h t '<时，10,,()3t h t ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭在10,3⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；当()0h t '>时，1,1,()3t h t ⎛⎫∈∴ ⎪⎝⎭在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增；∴当13t =时，(t)h 取得最小值为ln 33-，即21322x x x --的最小值为ln 33-；故选：A7．（2023·吉林长春·东北师大附中校考模拟预测）已知函数3e ,0()3,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()22g x x x =-+（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则12333x x x -+的最大值为（）A ．31ln 4+B ．41ln 3+C ．3ln 3-D ．3ln 3+【答案】A【过程解析】由()f x 过程解析式，在(,0]-∞上()f x 单调递增且值域为(0,1]，在(0,)+∞上()f x 单调递增且值域为(0,)+∞，函数()f x 图象如下：所以，()f x 的值域在(0,1]上任意函数值都有两个x 值与之对应，值域在(1,)+∞上任意函数值都有一个x 值与之对应，要使()(())F x g f x m =-恰有三个不同的零点123,,x x x ，则()g x 与y m =的交点横坐标一个在(0,1]上，另一个在(1,)+∞上，由2()2g x x x =-+开口向下且对称轴为1x =，由上图知：01m <<，此时12()()g t g t m ==且12012t t <<<<，122t t +=，结合()f x 图象及123x x x <<有1321e 3xx t ==，323x t =，则112123ln ,,333t t tx x x ===，所以11123121433ln ln 233t tx x x t t t -+=-+=-+，且101t <<，令4()ln 23h x x x =-+且01x <<，则1434()33xh x x x -=='-，当3(0,4x ∈时()0h x '>，()h x 递增；当3(,1)4x ∈时()0h x '<，()h x 递减；所以max 33()()ln 144h x h ==+，故12333x x x -+最大值为3ln 14+.故选：A8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22322,,log ,,x mx m x m f x x x m ⎧-++≤⎪=⎨>⎪⎩，其中01m <<，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（） A ．1,14⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,19⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【过程解析】因为01m <<，所以()f x 的大致图象，如图所示：当x m ≤时，()()222f x x m =-+≥，因为存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，所以3log 2m >，又01m <<，解得109m <<，故选：D9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，若关于x 的方程()()5222g x g x -+=有四个不等根1234,,,x x x x ，则()()()()12341234x x x x g x g x g x g x +++++++的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．8【答案】A【过程解析】由方程()()5222g x g x -+=可得()1g x =±，因为函数lg ,0()lg(),0x x g x x x ⎧>⎪=⎨--<⎪⎩，设0x >，则0x -<，则()()|lg |(|lg ()|)|lg ||lg |0g x g x x x x x +-=+---=-=，所以()g x 为奇函数且1x ，2x ，3x ，4x 是()1g x =±的根，所以12340x x x x +++=，不妨有12()()1g x g x ==-，34()()1g x g x ==，所以1234()()()()0g x g x g x g x +++=．故12341234()()()()x x x x g x g x g x g x +++++++的值是0．故选：A ．10．（2023秋·宁夏·高三宁夏大学附属中学校考阶段练习）已知函数22,0(){|log |,0x x f x x x +≤=>，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个不同实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则1234x x x x +++的取值范围为（） A ．1(2,4-B ．1[2,]4-C ．[2,)-+∞D ．(2,)-+∞【答案】A【过程解析】作出函数()f x 的图象，如图，作直线y a =，当02a <≤时，直线y a =与函数()f x 图象有四个交点，由图象知124x x +=-，2324log log x x -=，即341x x =，(0)2f =， 2log 2x -=，14x =，所以3114x ≤<，所以12343314x x x x x x +++=-++，由对勾函数性质知函数3314y x x =-++在31,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上是减函数，所以31,14x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，331142,4y x x ⎛⎤=-++∈- ⎥⎝⎦．故选：A ．11．（2023秋·湖北武汉·高一期末）已知函数()()2242,1,log 1,1,x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩，若关于x 的方程()f x t =有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则)1234122x x x x ++的最小值为（） A ．72B ．8C ．92D ．12【答案】D【过程解析】函数图像如图所示，()17f =，(]0,7t ∈，1234212x x x x <-<≤<<<，124x x +=-，由()()()()()()333433434log 1log 1log 110111x x x x x x --=-⇒--=⇒--=，∴()()34342112122251x x x x =-+++-5922≥=，当且仅当343,32x x ==时，等号成立，此时1t =；)()2212121212422x x x x x x x x ⎛⎫+⎛⎫-=-≥-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1222x x =-=-+1t =.所以)1234122x x x x ++的最小值为91422-=. 故选：D12．（2023秋·河南郑州·高一新密市第一高级中学校考阶段练习）已知函数()()22log 1,131255,322x x f x x x x ⎧+-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若关于x 的方程()f x m =有四个不同的实数解1234,,,x x x x ，且满足1234x x x x <<<，则下列结论正确的是（）A ．121x x =-B ．[]3421,25x x ∈C ．3422x x +=D ．12111x x +=- 【答案】D【过程解析】作函数()y f x =和y m =的图象，如图所示：当1m =时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 11,log 11x x +=-+=，解得121,12x x =-=，此时1212x x =-，故A 错误；结合图象知，02m <<，当3x >时，可知34,x x 是方程()2125522f x x x m =-+=，即2102520x x m -+-=的二根，故3410x x +=，()3425221,25x x m =-∈，端点取不到，故BC错误；当13x -<≤时，()()2122log 1log 1x x +=+，即()()2122log 1log 1x x -+=+，故()2221log log 111x x =++，即21111x x =++，所以()()21111x x ++=，故1212x x x x +=-，即12121x x x x +=-，所以12111x x +=-，故D 正确. 故选：D.13．（2023秋·江西上饶·高一统考期末）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x 且1234x x x x <<<，则()3122342x x x x x -+的取值范围是（）A ．()4,5B ．(]4,5C ．()4,+∞D ．[)4,+∞【答案】B【过程解析】作出函数()221,0()log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩的图象如下：因为方程()f x a =有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，所以有122x x +=-，341x x =，故3123234322()2x x x x x x x -+=+，再由2log 1x =可得2x =或12x =，即3112x <≤，令2()2g x x x =+，（112x ≤<），任取12112x x ≤<<，则120x x -<，12110x x ->，所以()12121212122211()()2222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12121210x x x x ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，即12()()<g x g x ，所以函数2()2g x x x =+在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又152g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，4(1)g =，所以()(4,5]g x ∈.即3122342()x x x x x -+的取值范围是(4,5]. 故选：B.14．（2023春·全国·高三校联考专题练习）已知函数11()||||f x x a x b x a x=++-+--有五个不同的零点，且所有零点之和为52，则实数b 的值为（） A ．1 B ．3 C ．5 D ．7【答案】C【过程解析】因为11()||||f x x a x b x a x =++-+--，11()||||()f a x a x x b f x a x x-=-+++-=-，所以函数()f x 的图象关于直线2ax =对称，设五个零点分别为12345,,,,x x x x x ，且12345x x x x x <<<<，则15243,,2a x x a x x a x +=+==，所以1234555222a a x x x x x a a ++++=++==,所以1a =，则312x =，由3333311()|||1|01f x x x b x x =++-+-=-，可得11|2||12|22b ++-+=，则5b =.故选：C. 二、多选题15．（2023秋·云南昆明·高一统考期末）已知函数ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，函数()y f x m =-有四个不同的零点，且从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，则下列结论正确的是（）A ．121=x xB ．1201≤<x xC ．341x x =D ．2410-<≤x x【答案】BCD【过程解析】因为ln(2),(2,0]()(2),(0,2]x x f x f x x ⎧+∈-=⎨-∈⎩，所以当(2,0]x ∈-时，()ln(2)f x x =+，当2(]0,x ∈时，()(2)f x f x =-，所以2(2,0]x -∈-时，(2)ln(22)ln f x x x -=-+=，所以ln(2),(2,0]()ln ,(0,2]x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈⎪⎩，作出()f x 的图象如图所示，若()f x m =有4个解，则()y f x =与y m =的图象有4个交点，如图(0,ln 2]m ∈，所以1113,1,()ln(2)2x f x x ⎡⎫∈--=-+⎪⎢⎣⎭，(]2221,0,()ln(2)x f x x ∈-=+，由12()()f x f x =，得12ln(2)ln(2)x x -+=+，即12ln(2)ln(2)0x x +++=，所以12ln[(2)(2)]0x x ++=，所以12(2)(2)1x x ++=，所以12122()30x x x x +++=，当20x =时，120x x =；当20x <时，由基本不等式可得12x x +<-所以1230x x ->，解得01<<3>（舍）；所以12[0,1)x x ∈，所以A 错误，B 正确，对于C ，3331,1,()ln 2x f x x ⎡⎫∈=-⎪⎢⎣⎭，(]4441,2,()ln x f x x ∈=，因为34()()f x f x =，所以34ln ln x x -=，所以34ln ln 0x x +=，即()34ln 0x x =，所以341x x =，所以C 正确，对于D ，因为2424(1,0],(1,2],2x x x x ∈-∈+=，所以()()224222211(1,0]x x x x x =+=+-∈-，所以D 正确. 故选：BCD16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()e ,0,lg ,010,11,10,x x x f x x x x x ⎧⋅≤⎪=<<⎨⎪-+≥⎩，若22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点分别为123456,,,,,x x x x x x ，且()()()123456345,x x x x x x f x f x f x <<<<<==，则下列说法正确的是（）A ．当0x ≤时，()10ef x -≤≤B ．34x x +的取值范围为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭C ．当0m <时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．当0m >时，()()()()1234563f x f x f x x x f x +++的取值范围为20,3e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】AC【过程解析】当0x ≤时，()e x f x x =⋅，此时()(1)e x f x x '=+⋅，令()0f x '>，解得10-<≤x ，令()0f x '<，解得1x <-，可得()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，且1(1),(0)0ef f -=-=，∴当0x ≤时，1()0ef x -≤≤，故A 正确；作出如图所示图像：由22()3()()2g x f x mf x m =--有6个不同的零点，等价于223()()20f x mf x m --=有6个不同的实数根，解得()f x m =或2()3m f x =-， ∵341x x ⋅=，∴若343311012,10x x x x ⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，可得31110x <<，而当0m >时，120e 3m -<-<，可得302e m <<，而3112e 10f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭；当0m <时，10e m -<<，可得22033e m <-<而2113e 10f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故3x 的范围为1,110⎛⎫ ⎪⎝⎭的子集，34x x +的取值范围不可能为1012,10⎛⎫⎪⎝⎭，故B 选项错误；该方程有6个根，且()()()345f x f x f x ==，知341x x ⋅=且()()()126f x f x f x ==，当0m <时，()()()1261,0e f x f x f x m ⎛⎫===∈- ⎪⎝⎭，()()()3452(0,1)3m f x f x f x ===-∈，联立解得1,0e m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， ()()()()()()12345615133332,0e f x f x f x x x f x f x f x m m m ⎛⎫+++=+=-=∈- ⎪⎝⎭，故C 正确；当0m >时，()()()12621,03e m f x f x f x ⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭， ()()()345(0,1)f x f x f x m ===∈，联立解得30,2e m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()()()()()123456153333230,2e f x f x f x x x f x f x f x m m m ⎛⎫+++=+=-+=∈ ⎪⎝⎭．故D 错误.故选：AC.17．（2023·全国·高三专题练习）设函数22,0()ln ,0x x x f x x x ⎧--⎪=⎨>⎪⎩…，则下列命题中正确的是（）A ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是(0,1)B ．若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则1234x x x x +++的取值范围是(0,)+∞C ．若方程()f x ax =有四个不同的实根，则a 的取值范围是10,e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．方程21()()()10f x a f x a -++=的不同实根的个数只能是1，2，3，6【答案】AD【过程解析】对于A ：作出()f x 的图像如下：若方程()f x a =有四个不同的实根1x ，2x ，3x ，4x ，则01a <<，不妨设1234x x x x <<<，则1x ，2x 是方程220x x a ---=的两个不等的实数根，3x ，4x 是方程|ln |x a =的两个不等的实数根，所以12x x a =，34ln ln x x -=，所以43ln ln 0x x +=，所以341x x =，所以1234(0,1)x x x x a =∈，故A 正确；对于B ：由上可知，122x x +=-，34ln ln x x a -==，且01a <<，所以341x x =，所以31,1ex ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4e (1,)x ∈，所以344411(2,1)e x x x x +=+∈+，所以12341(0,1)ex x x x +++∈+，故B 错误；对于C ：方程()f x ax =的实数根的个数，即可函数()y f x =与y ax =的交点个数，因为y ax =恒过坐标原点，当0a =时，有3个交点，当a<0时最多2个交点，所以0a >，当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，设切点为()00,ln x x ，即1y x '=，所以0000ln 1|x x x y x x ='==，解得0e x =，所以0e 1|x x y ='=，所以1ea =，所以当y ax =与ln (1)y x x =>相切时，即1ea =时，此时有4个交点，若()f x ax =有4个实数根，即有4个交点，当1e>a 时由图可知只有3个交点，当10e a <<时，令()ln g x x ax =-，()1,x ∈+∞，则()11ax g x a x x-'=-=，则当11x a <<时()0g x '>，即()g x 单调递增，当1x a >时()0g x '<，即()g x 单调递减，所以当1x a =时，函数取得极大值即最大值，()max 1ln 10g x g a a ⎛⎫==--> ⎪⎝⎭，又()10g a =-<及对数函数与一次函数的增长趋势可知，当x 无限大时()0g x <，即()g x 在11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内各有一个零点，即()f x ax =有5个实数根，故C 错误；对于D ：21()()()10f x a f x a -++=，所以1[()][()]0f x a f x a--=，所以()f x a =或1()f x a=，由图可知，当1m >时，()f x m =的交点个数为2，当1m =，0时，()f x m =的交点个数为3，当01m <<时，()f x m =的交点个数为4，当0m <时，()f x m =的交点个数为1，所以若1a >时，则1(0,1)a∈，交点的个数为246+=个，若1a =时，则11a=，交点的个数为3个，若01a <<，则11a>，交点有426+=个，若a<0且1a ≠-时，则10a<且1a a ≠，交点有112+=个，若11a a=-=，交点有1个，综上所述，交点可能由1，2，3，6个，即方程不同实数根1，2，3，6，故D 正确；故选：AD ．18．（2023秋·辽宁大连·高一育明高中校考期末）已知函数()()22log 2,241617,42x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若方程()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，满足1234x x x x <<<，则下列说法正确的是（）A ．()121242x x x x +=+B ．3412x x +=C ．()3432,34x x ∈D ．函数()()()()21g x f x m f x m =+--的零点为12346,,,,x x x x【答案】BCD【过程解析】由过程解析式可得()f x 图象如下图所示：若()f x m =有四个不同的实数根，则()f x 与y m =有四个不同的交点，由图象可知：123423468x x x x <<<<<<<<，01m <<；对于A ，()()12f x f x = ，即()()2122log 2log 2x x -=-，()()2122log 2log 2x x ∴--=-，()22211log log 22x x ∴=--，()()12221x x ∴--=，整理可得：()1212412x x x x +=++，A 错误；对于B ，()()34f x f x = ，3x ∴与4x 关于直线6x =对称，3412x x ∴+=，B 正确；对于C ，3x 与4x 是方程()2161702x m f m x x -+-==-的两根， ()34217342x x m m ∴=-=-，又01m <<，()3432,34x x ∴∈，C 正确；对于D ，()()()()()()211g x f x m f x m f x m f x =+--=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，由()0g x =得：()f x m =或()1f x =-，()f x m =的根为1234,,,x x x x ；()1f x =-的根为6，()g x ∴的零点为12346,,,,x x x x ，D 正确.故选：BCD.19．（2023秋·山西太原·高一古交市第一中学校校考阶段练习）已知函数22log ,02()813,2x x f x x x x ⎧<<=⎨-+≥⎩，若f (x )=a 有四个不同的实数解x 1，x 2，x 3，x 4，且满足x 1<x 2<x 3<x 4，则下列命题正确的是（）A ．0<a <1B．12922x x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭C ．12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭D．)122x x ⎡+∈⎣【答案】ACD 【过程解析】函数()f x 的图象如上所示，方程()f x a =的解可以转化为函数()f x 与y a =图象交点的横坐标，由图可知01a <<，故A 正确；由题意可知2122log log x x -=，即212log 0x x =，解得121=x x ，由图可知212x <<，所以1222122x x x x +=+，令2212=+y x x ，则函数2212=+y x x 在()1,2上单调递增，当21x =时，3y =，22x =时，92y =，所以122xx +的范围为93,2⎛⎫⎪⎝⎭，故B 错；函数2813y x x =-+的对称轴为4x =，所以348x x +=，又121=x x ，所以12342218x x x x x x +++=++，函数()22218g x x x =++在()1,2上单调递增，()110g =，()2122g =，所以12342110,2x x x x ⎛⎫+++∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；122222x x x x +=+，函数()2222h x x x =+在(上单调递减，)2上单调递增，h=，()13h =，()23h =，所以)122x x ⎡+∈⎣，故D 正确.故选：ACD.20．（2023秋·重庆铜梁·高一校考期中）已知奇函数()f x 的定义域为R ，()3f x +为偶函数，且()f x 在[]0,3上单调递减．若关于x 的方程()f x a =在区间[]12,12-上有4个不同的根1234,,,x x x x ，则（）A ．()()6f x f x =+B ．()f x 的图象关于直线3x =对称C ．1234x x x x +++的值可能为12-D ．1234x x x x +++的值可能为12【答案】BCD【过程解析】()()()()()12939366f x f x f x f x f x +=++=--+=--=-+()()()()3333f x f x f x f x =-++=---+=--=.所以()()12f x f x =+，A 错误．因为()()33f x f x +=-+，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，B 正确．画出()f x 的一种可能图象，如图所示，不妨假设1234x x x x <<<．根据对称性有：当()03a f <<-时，126x x +=-，3418x x +=，123412x x x x +++=，C 正确．当()30f a <<时，1218x x +=-，346x x +=，123412x x x x +++=-，D 正确．故选：BCD21．（2023·全国·高三专题练习）设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（）A ．0B ．1C ．99D ．100【答案】BC【过程解析】如图所示：因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-，所以1210x x +=-. 因为34lg lg x x =，所以34lg lg 0x x +=，即341x x =，431x x =. 因为3lg 1x ≤，所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1110x ≤<为减函数，所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：BC 三、填空题22．（2023秋·石河子一中校考阶段练习）已知函数()2e ,0ln ,>0xx x f x x x ⎧-≤⎪=⎨⎪⎩，若函数()y f x b=-有四个不同的零点1x 、2x 、3x 、4x ，且1234x x x x <<<，则以下结论正确的是_____.①22342x x +>；②20eb <<； ③122x x +=-； ④()13422x x x x +<-. 【答案】①②④【过程解析】设()2e xg x x =-，其中x ∈R ，则()()21e xg x x '=-+，当1x <-时，()0g x ¢>，此时函数()g x 单调递增，当1x >-时，()0g x ¢<，此时函数()g x 单调递减，所以，函数()g x 的极大值为()21eg -=，且当0x <时，()0g x >，作出函数()f x 、y b =的图象如下图所示：。

高考地理等高线地形图练习(含答案)

等高线地形图练习02（2018江苏）“地坑院”是黄土高原上的特色民居。

2017年2月，《航拍中国》以空中视角立体化展示了这个“地平线下古村落，民居史上活化石”的全貌。

图1为“某地坑院村落景观图”，图2为“某黄土塬地形示意图”。

读图回答1～2题。

1．图9中，适合建造地坑院村落的是A．甲B．乙C．丙D．丁2．作为“民居史上活化石”的地坑院，今后应A．有选择地作为旅游资源开发B．对各处地坑院完整保护C．对废弃的地坑院大力修复D．加速地坑院的推广建造(2012·课标卷)下图示意某小区域地形。

图中等高距为100 m，瀑布的落差为72 m。

据此完成3～4题。

3.Q地的海拔可能为( )A．90 m B．230 m C．340 m D．420 m4.桥梁附近河岸与山峰的高差最接近( )A．260 m B．310 m C．360 m D．410 m图4示意某地的等高线分布，从a河谷到b、c河谷的地层均由老到新。

读图完成5-6题。

5.图中X地的地质构造地貌最可能为A.背斜谷B.背斜山C.向斜谷D.向斜山6.若a、c两河的支流相连，则流量显著增大的地点是A.①B.②C. ③D.④7.某中学地理小组对右图所示区域进行考察。

在同学们绘制的地形剖面图中，依据右图甲、乙两处连线绘制的是（）8．（2018海南）阅读图文资料，完成下列要求。

（10分）下图示意我国某地区主要交通线和城镇的分布。

从地表形态影响的角度，概括甲乙两地间主要交通线的分布特点并简析原因。

9.下图是“某地区等高线地形图”，某中学地理兴趣小组到该地进行了野外考察，读图回答下列问题：⑴兴趣小组沿河谷从M点到N点进行考察，这两点之间的高差是米。

⑵为解决用水问题，A村计划修建一条自流引水管道。

在L1、L2、L3、L4四条引水路线方案中，兴趣小组认为最适宜的线路是。

试说明理由。

⑶该地区拟建两个火情瞭望台，通过它们两个视野能覆盖整个区域，a、b、c、d、e中适合的两个地点是。

(高考地理)等高线专题练习(100题)及答案

等高线专题训练一、选择题在下图所示区域内，准备修建从 A 城（120.5 °E，28°N）到 B 城的铁路，分析回答1—2 题。

1、在图中所示的四条线路备选方案中，最佳方案为A 、①B、②C、③D、④2、在 A 城附近的山区，最适宜种植的用材林为A、毛竹B、红松C、兴安落叶松D、白桦树根据下图的等高线图判断第3-4 题：3、关于图中河流与地势的正确说法是A、河流自南向北流B、地势北高南低C、若图示为北半球，则河流西岸冲刷比东岸严重D、若图示为南半球较高纬度，则河流可能出现凌汛现象4、若图中等高距为300m，且B 点的气温为15℃时，则 A 点的气温是A、11.6 ℃B、18.6 ℃C、20.4 ℃D、9.6 ℃图中左侧等高线的高度分别为100m、200m、300m、400m。

试判断第5-6 题：5、图中城镇与H 地的相对高度的最大值为h，则h 的值是A、199<h<200B、289<h<290C、299<h<300D、300<h<3016、下列判断正确的是A、图中的三条支流中有一条画错了B、图中G处海拔为100m ，H 处海拔为400mC、a、b、G、H的海拔由大到小排序是：H> b > a > GD、图中河流西岸冲刷比东岸严重读等高线示意图, 已知 a > b ，读图回答第7-9 题：7、有关M、N两处地形的正确叙述是①M为山坡上的洼地②N为山坡上的洼地③M为山坡上的小丘④N为山坡上的小丘A、①②B、①③C、②③D、②④8、若 b 海拔高度为200m，a 海拔高度为300m，则M、N处的海拔高度为① 200<M<300②300<M<400③100<N<200 ④200<N<300A、①②B、①③C、②③D、②④9、若图中闭合等高线的高度同为 a 或同为b，则M 、N 处的地形可能①同为洼地②同为小丘③同为缓坡④一处为小丘，一处为洼地A、①②B、①③C、①④D、②④10、下图为巴西东南部的等高线图，那么降水量最为丰富的地点是A、甲地B、乙地C、丙地D、丁地11、下面四幅等高线地形图中的等高距相同，水平比例尺不同，请判断坡度最缓的是12、下列等高距不同、水平比例尺相同四幅等高线地形图中，坡度最陡的是13、在等高距为50 米的地形图中， 5 条等高线重叠于某断崖处，该断崖相对高度可能是A.150 米B.190 米C.290 米D.320 米读图8 的等高线地形图，完成14～16 小题。

等高线高考真题09——11高考必备

一、（2020）读我国北方某区域等高线地形图（图2），回答3-4题。

3. 甲成为图中区域规模最大的村落和集市，最要紧的条件是A. 地处河流上游，水质良好B. 周围地貌多样，风光优美C. 地形平坦开阔，交通方便D. 背靠丘陵缓坡。

滑坡很少4. 地质队员发觉乙处有金矿出露，考虑流水的侵蚀、搬运作用，能找到沙金（沉积物中的细小金粒）的地址是A. aB. bC. c考点：聚落的区位分析解析：从等高线图中可以看出，甲地地形平坦开阔。

参考答案：C考点：等高线图的判读解析：河流一般形成在山谷（等高线特征为由低处向高处弯曲），abcd四地均可能有河流发育，但能与乙地相通的只有d处的河流，且d处位于该河流下游地区，由于流速减慢，沙金可大量沉积。

参考答案：D二、（2020）图1是亚热带欧亚大陆东部某地等高线散布图，读图回答1-3题。

1.图示区域内拥有且最突出的旅行资源是A.瀑布飞流B.湖光山色C.云海日出D.奇峰峡谷2.以下四地的农业生产活动，合理的是A.甲——育用材林B.乙——培育橡胶C.丙——种植棉花D.丁——进展茶园3.对图示区域地理事象的表达，正确的选项是A.①地位于三角洲B.河流②与河流③流向相反C．盛夏晴朗的夜晚④地常吹偏北风 D.暮秋的早晨乙地比甲地更易显现雾【解析】图中的河流②、④在200米等高线处注入湖泊，湖泊周围是山脉。

【答案】B【解析】橡胶树对生长环境的要求极为严格，它是典型的热带雨林树种，喜高温、高湿、静风、沃土。

目前，要紧的橡胶产地是海南岛和云南的西双版纳。

丙处等高线密集，坡度大，不能种植棉花，应当种植林木。

甲处地形相对平坦，能够进展种植业。

【答案】D【解析】①地位于两条河流的交汇处，河流②与河流③流向相同。

暮秋的早晨甲地临近湖泊，更易显现雾。

【答案】C四、（2020）图2中。

H地恰与某高压天气系统中心吻合，该天气系统以天天约200千米的速度东移。

据此完成6～8题。

地与甲聚落的相对高差约为A. 800米米 C. 1800米米7.上午10时，H地气温为12℃，甲聚落气温为17℃。

【高考地理】等高线地形图与地形剖面图

1千米
5千米
5千米
C、假设比例尺和等高线疏密相等的情况下：例:观察以下图分析，水力资源丰富的河流是
等高距大
等高
的坡陡；
距大
等
等高距小
高距
的坡缓
小
等高线图上的坡度判断法则
判定等高线地形图中坡陡、坡缓的因素有三个：比例尺、等高距、等高线的疏密
假定其中的两个因素相同，一个因素不同的情况
★比例尺、等高距相同，（同一幅图）等高线越密，坡越陡；等高线越疏，坡越缓
是( )
A．新月形沙丘
B．山地梯田
C．三角洲平原
D．滨海沙滩
4．图中河流的流向及河流与水渠的关系
是( )
A．河流自南向北流，河流水补给水渠
B．河流自北向南流，河流水补给水渠
C．河流自北向南流，水渠水汇入河流
D．河流自南向北流，水渠水汇入河流
（二）读疏密
1.等高线图上的坡度判断 A、假设比例尺、等高距相等
应建在地势坡度较缓(等高线稀疏)、向阳坡、背山面水(河疗养院流、湖泊、海洋)、气候宜人、空气清新的地方，且有交通
线经过，交通便利(图中③地适合建疗养院)
气象站
应建在坡度适中、地形开阔的地方
图示
三、等高线地形图的实践应用
2.选线
线的类型
区位要求
公路、铁路线
一般要求坡度平缓、尽量在等高线之间穿行，线路较短，尽量少占农田、少建桥梁，避开陡崖、陡坡等，通往山顶的公路，往往需建盘山路等(图中公路选线为EHF)
A．①
B．② C．③
D．④
C 必备知识 (四)判读自然地理特征
1.水系、水文特征
规律：水系特征：山地：常形成放射状水系盆地：常形成向心状水系山脊：常形成河流的分水岭（山脊线）山谷：常有河流发育（山谷线）

等高线等温线雪线高中地理题

等高线等温线雪线高中地理题1. 下列关于等高线的说法，正确的是 ( )A. 等高线的高度是指该点相对于海平面的垂直距离B. 等高线的数值总是大于高程C. 等高线的数值可以出现小数和负数D. 等高线是闭合曲线2. 下列关于雪线的描述，正确的是 ( )A. 雪线是常年积雪的下界线，即多年冰川的融化与积累的平衡线B. 雪线以上的高度是指雪融化后的高度C. 雪线的高度与气温和降水量的关系密切D. 雪线以上是一个稳定的高度范围，不会有大的变化3. 下列关于等温线的描述，正确的是 ( )A. 等温线是表示气温相等的各点的连线B. 等温线的数值总是等于气温的平均值C. 等温线的数值总是出现极值D. 等温线的数值与地形地貌无关4. 下列关于等高线与地形地貌关系的描述，正确的是 ( )A. 等高线密集的地方地形平坦B. 等高线闭合的地方是山地或盆地C. 等高线的弯曲程度可以反映地形的起伏D. 等高线的数值可5. 下列关于等温线与季风关系的描述，正确的是 ( )A. 季风区的等温线通常呈东西走向B. 季风区的等温线通常呈南北走向C. 季风区的等温线通常呈闭合曲线D. 季风区的等温线通常呈不规则曲线6. 下列关于雪线的描述，错误的是 ( )A. 雪线高度与纬度位置密切相关B. 雪线高度与地形地貌无关C. 雪线高度与气候条件密切相关D. 雪线高度与季节变化有关7. 下列关于等温线与洋流关系的描述，正确的是 ( )A. 暖流经过地区的等温线向北凸出B. 寒流经过地区的等温线向南凸出C. 暖流经过地区的等温线向南凸出D. 寒流经过地区的等温线向北凸出8. 下列关于等高线地形图的应用，不正确的是 ( )A. 可以计算出山顶和山脚间的相对高度B. 可以计算出两地的气温差C. 可以确定一条最短路线D. 可以计算出两地的水平距离9. 下列关于等温线的描述，错误的是 ( )A. 等温线的密集程度可以反映气温的差异B. 等温线的弯曲程度可以反映地形的高低起伏C. 等温线的闭合圈可以反映气温的变化趋势D. 等温线的数值10. 下列关于雪线和冰川融化的描述，正确的是 ( )A. 雪线以上的地区不会有冰川存在B. 冰川融化主要发生在雪线以下的地区C. 雪线以上的地区冰川融化量大于积累量D. 雪线以下的地区冰川积累量大于融化量。

高考地理专题复习：等高线的判读

高考地理专题复习：等高线的判读一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

如图为某山地的局部等高线图，比例尺为1∶5 000，等高距为30米，AB为空中索道。

据此完成1～3题。

1. 乘索道上行的方向是（）A. 东北B. 西南C. 正北D. 正南2. 图中有一瀑布，瀑布及选择观赏的位置分别位于（）A. 甲、乙B. 丙、丁C. 丙、甲D. 乙、丁3. 某旅行社计划在甲地举办攀岩比赛，需要制作陡崖剖面图海报，想宣传陡崖“险、奇”效果，绘图时应采用的做法是（）A. 比例尺不变，适当扩大图幅B. 水平比例尺不变，适当增大垂直比例尺C. 比例尺不变，适当缩小图幅D. 垂直比例尺不变，适当增大水平比例尺下图示意为某小区域地形图（单位∶米）。

据此完成4～6题。

4. 图中等高线M的数值可能是（）A.300米B.400米C.500米D.600米5. 甲、乙、丙、丁四地最可能形成较大瀑布的是（）A.甲B.乙C.丙D.丁6. 图中区域相对高度最大可能是（）A.399米B. 499米C.599米D.609米右图为某区域等高线分布图，等高距为200米。

完成7～8题。

7. 图中箭头正确表示河流集水方向的是（）A. ①B. ②C. ③D. ④8. 图中a和b的数值可能是（）A. 100和250B. 100和350C. 500和280D. 500和350 我国某区域等高线地形示意图”。

读图回答9～10题。

9. 图中（）A．等高距为150米B．P山峰海拔可能大于1500米C．地形以平原为主D．丙乙间的相对高度可能为750米10. 图示区域（）A．MN河流的流向大致为北向南再转东南B．四个村镇中，发生滑坡可能性最大的是丙C．甲发展成为中心城镇的原因是海拔低D．从蓄水量角度考虑，M处比N处更适合建水库大坝下图是中国南方某区域等高线地形图（单位：米），读图完成11～13题。

11. AB河段的河流流向是（）A.先大致向西南，再大致向东南B.先大致向南，再大致向东C.先大致向西北，再大致向东北D.先大致向西，再大致向北12. 甲聚落与朝阳峰之间的相对高度是（）A.800-1200米B.1200-1600米C.600-1000米D.1000-1400米13. 当地最高峰朝阳峰无法看到的村镇是（）A.甲B.乙C.丙D.丁下图示意大西洋某旅游岛等高线地形，等高距是100 m。

高考数学等高线问题与整数解问题

高考数学等高线问题知识与方法对于函数()y f x =，若()()()f a f b f c t ===，则直线y t =叫做函数()f x 的等高线．函数的等高线问题，一般涉及的参数较多，基本的处理策略是通过统一变量，化为一元函数来研究．典型例题【例1】已知函数()23ex f x -=，()1ln 42xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为()A 、1ln22+B 、ln2C 、12ln22+D 、2ln2【例2】已知函数()2cos2f x x =，()g x a x =-，当()()f xg x ≥对[]x n m ∈，恒成立时，m n -的最大值为53π，则a =_______．【例3】已知函数()()e ,ln x f x x g x x x==，若()()12,0f xg x t t ==>，则12ln tx x 的最大值为()A 、21e B 、24e C 、1e D 、2e【例4】已知函数()ln xf x x =，()e xg x x -=，若存在()10x ∈+∞，，2x ∈R ，使得()()()120f x g x k k ==<成立，则321e k x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为()A 、21e -B 、24e -C 、39e -D 、327e-【例5】(多选)已知函数()e xf x =，()1ln 22x g x =+的图象与直线y m =分别交于A B 、两点，则()A 、()f x 图象上任一点与曲线()g x 上任一点连线线段的最小值为2ln2+B 、存在m 使得曲线()g x 在B 处的切线平行于曲线()f x 在A处的切线C 、函数()()f x g x m-+不存在零点D 、存在m 使得曲线()g x 在点B 处的切线也是曲线()f x 的切线强化训练1.已知函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+>=⎨--+≤⎩，，，若存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d k====，则k 的取值范围是_______，a b c d +++的取值范围是______________．2.已知()012sin 13x f x x x π≤≤=<≤⎪⎩，，，若存在实数123x x x 、、满足12303x x x ≤<<≤．且()()()123f x f x f x ==，则2x 的取值范围为；23164x x x π-的最大值为______________．3.已知函数()()ln 1f x x x =+-，()ln g x x x=，若()112ln f x t=+，()22g x t =，则()122ln x x x t-的最小值为()A 、21e B 、2e C 、12e-D 、1e-导数中的整数解问题知识与方法导数中整数解问题是一般含参问题的特殊化．可延用一般策略，但更常用半分离技术解决．而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式(组)求出参数的取值范围．整数解的问题，关键是找出相应的整数解，再求出参数的取值范围．典型例题【例1】设函数()()2111ln 2f x x a x x=-+++，其中0a >，若存在唯一的正整数0x 使得f ()00x <，则a 的取值范围是()A 、()01，B 、(]01，C 、()02ln2+，D 、11ln222+⎛⎤⎥⎝⎦，【例2】已知函数()()()ln 10f x x a x a a =+-+>，若有且只有两个整数12x x 、使得()10f x >，且()20f x >，则a 的取值范围是()A 、3ln302+⎛⎫ ⎪⎝⎭， B.()02ln2+，C.2+ln 2D.【例3】已知函数op =ln r1−B 2有两个零点s s 且存在唯一的整数0∈(s p,则实数的取值范围是A.0,B.1C.D.【例4】已知函数op的导函数为'(p,且对任意的实数都有'(p=e−(2+3)−op(e是自然对数的底数),且o0)=1,若关于的不等式op−<0的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是（）A.[−e,0)B.−e2,0C.(−e,0]D.−e2,0【例5】函数op=e(13p+B−其中<1,若有且只有一个整数0,使得00,则的取值范围是（）A. B. C.1 D.1【例6】在关于的不等式e22−x2x+2e=2.71828⋯为自然对数的底数)的解集中,有且仅有一个大于2的整数,则实数的取值范围为A. B. C. D.强化训练1.332>(0,+内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是().A. B. C. D.+∞2.已知函数op=En s op=−+(+12)+2s若不等式op⩽op的解集中恰有两个整数,则实数的取值范围是.3.已知函数op=e(−1),若关于的方程|op−+|op−−1|=1有且仅有两个不同的整数解,则实数的取值范围是（）A.−2e−1,−3e2−1B.−2e,C.−1,−D.0,e24.已知函数op=ln (2p,关于的不等式2(p−B(p>0只有2个整数解,则实数的取值范围是.5.−有且仅有两个正整数解(其中e≈2.71828⋯为自然对数的底数),则实数的取值范围是（）A. B. C. D.6.已知函数op=ln +B2若op⩾0的解集中恰有一个整数,则围为（）A.−1,−B.−∞,C.−ln 2+24,D.−ln 2+24,参考答案【例1】【解析】解法1：消元+构造函数由()23e x f x -=，()1ln 42x g x =+可得231e ln 42m n -=+，所以13ln ln 422n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，令()14113ln ln 2e 2422n h n n m n n -⎛⎫⎛⎫=-=-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()1112ln 42h n n n =-⎛⎫+ ⎪⎝⎭'点睛意到()20h '=，且12ln 42n y n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在142e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，所以()h n 在142e 2-⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在()2+∞，单调递增．所以()()min 12ln22h n h ==+．故n m -的最小值为1ln22+．解法2：换元统一变量令()()f m g n t ==，0t >，则()13ln 2m t =+，142e t n -=．所以14132e ln 22t n m t --=--．令()14132e ln 22t h t t -=--，则()1412e 2t h t t -=-'，()14212e 02t h t t -=+'>'，所以()h t '在()0+∞，上单调递增．观察知104h ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，则104t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0h t '<，()h t 单调递减；14t ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0h t '>，()h t 单调递增．所以()min 11ln242h t h ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，所以n m -的最小值为1ln22+，故选A ．解法3：平移图象已知()23ex f x -=，()1ln42xg x =+，设()()()23e x a F x f x a --=-=，设函数()F x 与()g x 的图象相切于点001ln 42x A x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，则()()002302301e ln 4212e x a x a x x ----⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得0011ln 242x x =+，即0011ln 0224x x -+=．令()11ln 224x h x x =-+，则()2112h x x x =+>'．所以()h x 为增函数，又()20h =，于是函数()h x有唯一零点，因此02x =．进而得1ln22a =+．故n m -的最小值为1ln22+．【例2】【解析】()()f xg x ≥对[]x n m ∈，恒成立，即2cos2x a x ≥-，得24sin 20x x a -+-≤，所以(22sin 5x a-≤-，显然50a ->，于是3535sin 22x ≤≤．因为m n -的最大值53ππ>(最大值大于函数sin y x =的半个周期)，∴351215sin 223ππ+≥⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯== ⎪⎪⎝⎭⎩或3512315sin 223ππ≤-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯== ⎪⎪⎝⎭⎩，解得7a =-或5a =(舍去)．两种情况分别对应下图：【点睛】本题通过解不等式()()f x g x ≥，将其化简为3535sin 22a ax --+-≤≤，然后分两种情况寻找满足题意的条件，点睛意图象分析的重要作用，这里考虑了等高线(如上图所示)．【例3】【答案】C【解析】解法1：由题意得，11e x x t ⋅=，22ln x x t ⋅=，即2ln 2e ln x x t ⋅=，()()1e x f x x =+'，易得()f x 在()1-∞-，上单调递减，在()1-+∞，上单调递增，又当()0x ∈-∞，时，()0f x <，()0x ∈+∞，时，()0f x >，作出函数()exf x x =的图象如图所示．由图可知，当0t >时，()f x t=有唯一解，故12ln x x =，且10x >．所以1222ln ln ln ln t t tx x x x t ==⋅．设()ln t h t t =，0t >，则()21ln th t t -='，令()0h t '=，解得e t =，易得()h t 在()0e ，上单调递增，在()e +∞，上单调递减，所以()()1e e h t h ≤=，即12ln t x x 的最大值为1e ，故选C ．解法2：由题意可得：11e x x t ⋅=，22ln x x t ⋅=，即11e x tx =，22ln t x x =，故12x x 、分别为函数e xy =，ln y x =与函数ty x =图象交点A B 、的横坐标；又由对称性可知，点B 坐标为()21x x ，，代入函数ty x =可得12x x t =．下同解法1．【例4】【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为()0+∞，，()21ln xf x x -='，所以当()0e x ∈，时，()0f x '>，()f x 单调递增，当()e x ∈+∞，时，()0f x '<，()f x 单调递减，又()10f =，所以()01x ∈，时，()0f x <；同时()()lne e e e xxx x x g x f ===，若存在()10x ∈+∞，，2x ∈R，使得()()()120f x g x k k ==<成立，则101x <<且()()()212e f x g x f ==，所以21e x x =，即21ln x x =，又11ln x k x =，所以2111ln x x k x x ==，故3321e e k k x k x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令()3e k h k k =，0k <，则()()()2323e 3e k k h k k k k k '=+=+，令()0h k '<，解得3k <-，令()0h k '>，解得30k -<<，所以()h k 在()3-∞-，单调递减，在()30-，单调递增，所以()()3min 273e h k h =-=-．故选：D ．【例5】【答案】BCD【解析】在函数()e x f x =，()1ln 22x g x =+，上分别取点()01P ，，122Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则PQ =，而2ln2(<+点睛ln20.7)≈，故A选项不正确；因为()e xf x =，()1ln 22x g x =+，则()e x f x '=，()1g x x '=，曲线()y f x =在点A处的切线斜率为()ln f m m '=，曲线()y g x =在点B 处的切线斜率为121212e 2e m m g --⎛⎫= ⎪⎝⎭'，令()12ln 2e m f m g -⎛⎫= ⎪⎝'⎭'，即1212em m -=，即122e1m m -=，则12m =满足方程122e 1m m -=，所以存在m 使得曲线()y f x =在B 处的切线平行于曲线()y g x =在B 处的切线，B 选项正确；构造函数()()()1e ln 22x x F x f x g x m m =-+=-+-，可得()1e x F x x =-'，函数()1e x F x x =-'在()0+∞，上为增函数，由于120eF ⎛⎫=< ⎪⎝⎭'，()1e 10F =->'，则存在112t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()1e 0t F t t =-='，可得ln t t =-，当0x t <<时，()0F x '<；当x t >时，()0F x '>．所以()()min 11e ln e ln ln2222t t t F x F t m t m ==-+-=-++-1113ln2ln2ln20222t m m m t =+++->+-=++>，所以函数()()()F x f x g x m=-+没有零点，C 选项正确；设曲线()y f x =在点A 处的切线与曲线()y g x =相切于点()()C n g n ，，则曲线()y f x =在点A 处的切线方程为()ln e ln my m x m -=-，即()1ln y mx m m =+-，同理可得曲线()y g x =在点C 处的切线方程为11ln 22n y x n =+-，所以()111ln ln 22m n n m m ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，消去n 得()11ln ln202m m m --++=，令()()11ln ln22G x x x x =--++，则()111ln ln x G x x x x x -=--=-'，函数()y G x ='在()0+∞，上为減函数，因为()110G '=>，()12ln202G =-<'，则存在()12s ∈，，使得()1ln 0G s s s =-='，且1e s s =．当0x s <<时，()0G x '>，当x s >时，()0G x '<．所以函数()y G x =在()2+∞，上为减函数，因为()5202G =>，()17820ln202G =-<，由零点存定理知，函数()y G x =在()2+∞，上有零点，即方程()11ln ln202m m m --++=有解．所以存在m 使得曲线()y f x =在点A 处的切线也是曲线()y g x =的切线．故选：BCD ．强化训练1.【答案】12k ≤<；)314e e 2e 1---⎡+--⎣，【解析】作出函数()22ln 0210x x f x x x x ⎧+>=⎨--+≤⎩，，，图象如下，存在互不相等实数a b c d 、、、，有()()()()f a f b f c f d k ====，所以直线y k =与函数()f x 的图象有四个交点，由图象可得：12k ≤<；不妨设a b c d <<<，则12a b+=-，即2a b +=-，由()()f c f d k==得：2ln c k --=，即ln 2c k =--；所以2ekc --=；同理可得2e k d -=；所以222122e e 2e e e k k k k a b c d c d ----⎛⎫+++=-++=-++=-++ ⎪⎝⎭，令e k t =，()1g t t t =+，因为12k ≤<，所以)2e e t ⎡∈⎣，，则()21g t t t =-+'，当2e e t ≤≤时，()0g t '>，所以函数()1g t t t =+在)2e e t ⎡∈⎣，上单调递增，故()()()2e e g g t g ≤<，即()122e e e e g t --+≤<+，所以31241e e 22e e e 1e k k ----⎛⎫+-≤-++<- ⎪⎝⎭．即a b c d +++的取值范围是)314e e 2e 1---⎡+--⎣，．故答案为：12k ≤<；)314e e 2e 1---⎡+--⎣，．2.【答案】723⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，991162π-【解析】()f x 的图象如图所示，由图象知：2723x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，235x x +=，122sin x π=，所以()223122222255442x x x x x x x x x πππππ-=--=--，令()252g x x x x ππ=--，723x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则()522g x x x π'=--因为()2sin 2g x x π=-+''在723⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()768034g x g -⎛⎫≤=< ⎪⎝⎭''''，所以()g x '在723⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，又因为904g ⎛⎫= ⎪⎝⎭'，所以()g x 在924⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，在9743⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以()max 99914162g x g π⎛⎫==-⎪⎝⎭．3.【答案】C【解析】由题意，()()111ln 112ln f x x x t =+-=+，得()2111ln 1ln x x t -+-=，所以()1121ln 1e ln x x t -⎡⎤-=⎣⎦，即()11211e 0x t x -=->，又()2222ln g x x x t ==，得2ln 22e ln 0x t x =⋅>因为e xy x =⋅在[)0+∞，上单调递增，所以综上知：21ln 1x x =-，所以()212222ln ln ln ln x x x t x x t t t -=⋅⋅=⋅，今()()2ln 0h t t t t =⋅>，则()2h t t t t =+'所以()0h t '>，得()12e ;0t h t ->'<，得120et -<<；故()h t 在120e -⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在12e -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增．所以()12min1e 2e h t h -⎛⎫==-⎪⎝⎭，故选：C ．导数中的整数解问题【例1】【答案】D【解析】因为()()2111ln 2f x x a x x=-+++，故2111e 2e e e a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，因为0a >，21102e e -<，故10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．又()()211x a x f x x -++='，若01a <≤，则()2140a ∆=+-≤，故()2110x a x -++≥恒成立且不恒为零，所以()0f x '≥恒成立且不恒为零，故()f x 在()0+∞，为增函数，因为存在唯一的正整数0x 使得()00f x <，故()()1020f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得11ln222a +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，．若1a >，则()1102f a =-<，()21ln22ln210f a =+-<-<，与题设矛盾，故舍去1a >．故选：D ．【点睛】本题根据函数解析式可得10ef ⎛⎫< ⎪⎝⎭，求出()f x '后就01a <≤，1a >分别讨论，前者可得()f x 为()0+∞，上的增函数，结合10e f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，可判断出()()1020f f ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，从而得到a 的取值范围，后者可得到与题设矛盾的结果()10f <，()20f <，两者结合可得实数a 的取值范围．【例2】【答案】C【解析】op =ln +(1−p +o >0),'(p =1+(1−p,o1)=ln 1+(1−p +=1,当N1时,函数单调递增,不成立;当>1时,函数在上单调递增,在K1+∞上单调递减;有且只有两个整数1,2使得1>0,且2>0,故o2)>0且o3)⩽0即ln 2+2−2+>0,ln 3+3−3+N0,解得ln 3+32⩽<ln 2+2;故选:u【点睛】本题求导得到'(p =1+(1−p,计算o1)=1,讨论N1,>1两种情况,得到函数单调区间,得到o2)>0且o3)⩽0,计算得到答案.【例3】【答案】【解析】由题意op =ln r1−B 2=0,得=ln r12,设ℎ(p =ln r12(>0),ℎ'(p =K2oln r1)4=1−2(ln r1)3=−(2ln r1)3令ℎ'(p=0,解得=e−12当0<<e−12时,ℎ'(p >0,ℎ(p 单调递增;当>e−12时,ℎ'(p <0,ℎ(p 单调递减;故当=e−12时,函数取得极大值,且ℎe=e2又=1e时,ℎ(p=0;当→+∞时,ln +1>0,2>0,故ℎ(p→0;作出函数大致图象,如图所示:又ℎ(1)=1,ℎ(2)=ln 2+14=ln 2e4,因为存在唯一的整数0∈(s p,使得=与ℎ(p=ln r12的图象有两个交点,由图可知:ℎ(2)⩽<ℎ(1),即ln 2e4⩽<1.故选:.【点睛】本题可知=ln r12,构造函数ℎ(p=ln r12(>0),利用导数研究函数ℎ(p的单调性及极值,又=1e时,ℎ(p=0;当→+∞时,ℎ(p→0,作出函数ℎ(p的图象,利用数形结合思想即可求解.【例4】【答新】【解析】由'(p=2r3e−e'(p op+3,所以e op'=2+3,则e op=2+3+s2+3r e1,所以o0)=e0==1,所以op=2+3r1e,'(p===−(r2)(K1)e,由'(p>0得−2<<1,此时op单调递增,由'(p<0得<−2或>1,此时op单调递减,所以=1时,op取得极大值为o1)=5e,当=−2时,op取得极小值o−2)=−e2<0,又因为o−1)=−e<0,o0)=1>0,o−3)=e3>0,且>1时,op>0,op−<0的解集中恰有两个整数等价于op=2+3r1e在=下方的图象只有2个横坐标为整数的点,结合函数图象可得:o−1)<N0,解得−e<N0,所以−e<N0时,op−<0的解集中恰有两个整数−1,−2,故实数的取值范围是(−e,0].故选:u【点睛】本题由op−<0的解集中恰有两个整数,需求出op解析式,所以对已知条件'(p=e−(2+3)−op变形可得e op'=2+3,即e op=2+3+s 结合o0)=1丁求出op=2+3r1e,op−<0的解集中恰有两个整数等价于op=2+3r1e在=下方的图象只有2个横坐标为整数的点,对op求导,数形结合即可求出实数的取值范围.【例5】【答案】C【解析】已知函数op=e(1−3p+B−s则op>0⇔e(3−1)<B−有且只有一个整数解.令op=e(3−1),则'(p=e(3+2),当<−23时,'(p<0,当>−23时, '(p>0,所以op在−∞,−上递减,在−23,+∞上递增,所以当=−23时,op取得最小值−3e−23.设ℎ(p=B−=o−1),则ℎ(p恒过点(1,0).在同一坐标系中分别作出=op 和=ℎ(p的简图,因为<1,所以o0)=−1<−=ℎ(0),所以0=0,依题意得o−1)⩾ℎ(−1)即−4e⩾−2s解得O2e,又<1,所以2e⩽<1.故选:u【点睛】本题由op>0⇔e(3−1)<B−有且只有一个整数解,令op= e(3−1),ℎ(p=B−s在同一坐标系中分别作出其图象,数形结合可得结果.【例6】【答案】【解析】e22−x+4e2+x+4e2>0等价于(K2)2e K2>o−1),令op=(K2)2e K2,op=o−1)故op的图象在op图象的上方有且只有一个横坐标大于2且为整数的点.又'(p=(K2)(4−p e K2,当<2时,'(p<0,当2<<4时,'(p>0,当>4时,'(p<0,故op在(−∞,2)为减函数,在(2,4)为增函数,在(4,+∞)为减函数,而op=(K2)2e K2⩾0恒成立,op的图象为过o1,0)的动直线,故op,op的图象如图所示:其中3,,,5,,当>0时,B=12e,B=43e2,B=94e3,故B> B>B,因为op的图象在op图象的上方有且只有一个横坐标大于2且为整数的点,故43e2⩽<12e.当N0时,op的图象在op图象的上方有无穷多个横坐标大于2且为整数的点,此时不合题意,舍.故选:u【点睛】本题原不等式可化为(K2)2e K2>o−1),令op=(K2)2e K2,op=o−1),在坐标平面中画出它们的图象,结合图象可得所求的参数的取值范围.遇到较为复杂的函数不等式的整数解问题,可根据不等式的结构特点转化为两个函数图象的位置关系问题(其中一个函数的图象为动直线),图象刻画时点睛意利用导数研究其性质.强化训练1.【答案】C【解析】不等式En (+1)−23+32>0,即En (+1)>23−32,令op=En (+1),op=23−32,则'(p=62−6=6o−1).令'(p>0,得>1或<0;'(p<0,得0<<1,所以op在(−1,0)(1,+∞)上单调递增,在(0,1)上单调递减,所以op min=o1)=−1,且o0)==0.如图所示当N0时,op >op 至多有一个整数解.当>0时,op >op 在区间(0,+∞)内的解集中有且仅有三个整数,只需o3)>o3),o4)⩽o4),,即En 4>2×33−3×32,En 5⩽2×43−3×42,解得272ln 2<N80ln 5.故选:C 2.【答案】ln 2−1024ln 2−163【解析】由En N −2+(+12)+2s 可得O En r 2−12r2,设ℎ(p =En r 2−12r2,则ℎ'(p =2+2ln r5K22(r2)2,令op =2+2ln +5−22,>0,则'(p =2+2+5>0,所以op 在(0,+∞)上单调递增.由于o2)<0,o3)>0,所以∃0∈(2,3),0=0,所以ℎ(p 在0,0单调递减:在0,+∞单调递增.要使不等式op⩽op 的解集中恰有两个整数,即Oℎ(p 的解集中恰有两个整数,此二整数位2和 3.所以<ℎ(1),Oℎ(2),Oℎ(3),<ℎ(4),解得∈ln 2−1024ln 2−1633.【答案】A【解析】方程|op −U +|op −−1|=1等价于op⩽−op −op ++1=1或<op⩽+1,op −−op ++1=1或op >+1,op −+op −−1=1,即op⩽，op =s或<op⩽+1，1=1,或op >+1，op =+1,所以Nop⩽+1.因为op =e (−1),所以'(p =x ,所以当<0时,'(p <0,op,单调递减;当>0时,'(p >0,op 单调递增.所以当=0时,op取得最小值,且op min=o0)=−1.画出函数op的图象,如下图所示.于是可得,当<1时,op<0恒成立.由图象可得,要使方程|op−U+|op−−1|=1有且仅有两个不同的整数解,只需o−1)⩽+1<o−2),即−2e⩽+1<−3e2,解得−2e−1⩽<−3e2−1,所以实数的取值范围是−2−1,−3e2−1.故选u4.【答案】ln 2op的图象:(1)若>0,由2(p−B(p>0,可得op<0或op>s显然op<0没有整数解,则op>有2个整数解,由图可知:ln 63⩽<ln 2; (2)若<0,由2(p−B(p>0,可得op>0或op<s显然op<没有整数解,而op>0有无数多个整数解,不符题意,舍去;(3)若=0,由2(p−B(p>0,可得op≠0,有无数多个整数解,不符题意,舍去.综上可知∈ln 2.5.【答案】【解析】当>0时,由−x>x可得x<2r1(>0),显然当N0时,不等式x<2r1(>0),在(0,+∞)恒成立,不符合题意;当>0时,令op=x,则op在(0,+∞)上单调递增,令op=2r1(>0),则'(p=2or1)−2(r1)2=2r2(r1)2>0,所以op在(0,+∞)上单调递增,因为o0)=>0,o0)=0,且op <op 有两个正整数解,所以o1)<o1),o2)<o2),o3)⩾o3),即x <12,x 2<43,x 3⩾94,解得∈故选u6.【答案】【解析】op⩾0,即ln +B 2+O0,即B 2+O −ln s 因为>0,所以B +1⩾−ln .令op =−ln ,则'(p =−1−ln 2.当1<<e 时,'(p <0;当>e 时,'(p >0.所以op 在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增.画出op 的大致图象,如图所示.当直线=B +1与op 图象相切时,设切点为0,−,则1−ln 002=ln 0−10=ln 002−10,解得0=1,故=−1.=B +1过点2,时,=−ln 22−12=−ln 2+24,故的取值范围为−1,−。