第四章 振动波动作业
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4
0.1 2 2 m 7.07 102 m 2 20
返回
v Asin(t ) 20 0.1 sin
4
2 m / s 4.44m / s a 2 Acos(t ) (20 )2 0.1 cos
4
20 2 2m / s2 2.79102 m / s2
返回
作业2. 一质量忽略不计的弹簧下端悬挂质量为
A
0
x 0.1cos 7t m
返回
作业3.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振 幅A=2.0×10-2m，周期T=0.50s。当t=0时，1） 物体在平衡位置向负方向运动；2）物体在x= -1.0×10-2m处向正方向运动.求：以上各情况的 运动方程.
解：1）设振动方程为 x Acos(t )
o
•
•
0.5
x 4cos(t )
t 求 ：
2 2
t 0, x0 2 2,v0 0
cos x0 2 3
A2
4
v0
0
, sin
0
3
4
返回
x
4
o
•
•
0.5
2 2
则方程可写为 x 4cos( t - 3 )
4
求：t 0.5s ,x0.5 0, v0.5 0
t
0
4 cos(
3
)
2 T 4 rad / s
x 2.0102 cos(4 t )
返回
t 0 时，x0 0, v0 0
x 2.0102 cos(4 t )
cos 0
2
v0 Asin 0,sin 0
2
则 x 2.0 102 cos(4 t ) (m)
2
返回
2） t 0, x0 1.0 102 m, v0 0
100Hz,
P
Q
2
,u
400m / s,QS
r.
求：1）两波源在S点的分振动；2）PQ延长线上
Q点一侧各点的干涉情况
u
•
•
P 3m Q
r
•
S
x
解：取如图波线为x轴；选 适 则当的P 计2时，零并点设，P使为原Q点 。0
由已知条件可求出角频率为
2 v 200 rad s1
返回
ur
•
•
22
返回
返回
返回
作业1.若简谐振动方程 x 0.1cos(20t 0.25 )
m,求：1）振幅、频率、角频率、周期、初相;2） t=2s时的位移、速度、加速度.
解：1) A 0.1m 20 rad s1 T 2 0.1s
1 10Hz 0.25 rad
T
2) t 2s x 0.1cos(20 2 0.25 ) 0.1cos
y Acos(t 2x )
A点振动方程
yA
A cos(t
2xA
)
B点振动方程
yB
A cos(t
2xB
)
返回
(t 2xA ) (t 2xB )
2
(xB
xA)
2
(xB
xA)
4
0.28m
u 0.15 0.54Hz 0.28
返回
作业11 已知两波源 P、Q , PQ = 3 m,
求：t 0, x0 0.05,v0 0
t
cos 1 ,
2
3
v0
0
3
则 x 0.1cos(t )
3
返回
x
0.1 0.05 •
o
•
4
求：t 4s , x4 0,v4 0
0 0.1cos(4 )
3
t
4
32
v4 0 ,
4
32
5 rad / s
24
方程为
cos 0
v0 0, 则
2
2
返回
所以波动方程为
y 0.04 cos[ (t 5x) ] m
2
返回
作业10.已知平面简谐波传播的波线上相距 3.5cm的A、B两点，B点的相位落后A点π/4， 波速为15cm/s.求此波的频率和波长.
y
u
A
B
o
•
•
x xB xA
x
解： 波动方程为
２）由于波形向右传播，根据下一时刻的 波形图可确定ａ、ｂ的运动方向
a, b
返回
y(m)
u 0.2m / s
0.04
a • •b
３）设波动方程为
y Acos[(t x ) ]
u
o 0.2
x(m) 0.04 cos[ (t x ) ]
0.2
0.04 cos[ (t 5x) ] m
求初相位 ： t=0时, x=0处, y=0
1 k( A)2 22
1E 4
EK
E EP
3E 4
返回
作业7.已知波动方程y=2×10-2 cosπ(0.5x-200t)
m，求：A, , ,u 。
解： y Acos[2 ( t x )] T
2
将原方程写成上式的形式
y 2102 cos[2 ( t x )] (m)
1 100 4
A 2102 m, T 0.01s , 1 100Hz
返回
则波动方程为
y
0.5
cos
1 2
(t
x 0.5
)
m
y(m)
由图可知t=2s时，x=0
u 处质点的位移为y=0，代入
波动方程
o•
t 2s
x(m)
y
0.5 cos
1 2
(t
x) 0.5
得
cos( ) 0
返回
y(m)
u
o•
x(m)
t 2s
2
v0 0
2
3
22
则方程为
另解：设振动方程为 y Acos(t )
2 2 1 rad / s T u 2
y 0.5cos(1 t )
2
返回
t=2s 时，y = 0, v2 > 0
0 0.5cos(1 2 )
2
cos( ) 0
2
v2 0
2
3
22
y 0.5cos(1 t 1 ) m
2
返回
作业9．已知一平面简谐波在ｔ＝０时的波动
曲线。求：１）波长、周期和频率；２）ａ、ｂ 两点的运动方向；３）波动方程。
y(m)
u 0.2m / s
0.04
a • •b
o 0.2
x(m)
解：1) 2 0.2 0.4m
T 0.4 2s
u 0.2
1 0.5Hz
T
2v rad s1
x 2.0102 cos(4 t )
1.0102 2.0102 cos
cos 1 2
2
3
v0
0,
sin
0 ,
2
3
x 2.0 102 cos(4 t 2 ) (m)
3 返回
作业4.已知某质点作简谐振动的振动曲线如图 所示.求：该质点的振动方程
x
解：设振动方程为
4
x Acos(t )
24
3
24
2
v0.5
Asin(
2
3
4
)
0
3
24 2
返回
x
4
o
•
•
0.5
2 2
3
24 2
t
rad / s
2
所以方程为
x
4 cos(
t
3
)
24
返回
作业5.某振动质点的x-t曲线如图所示.求：该质
点的运动方程.
x
0.1
0.05 •
o
•
4
解：设振动方程为
x 0.1cos(t )
两个分振动在S点的相位差为
[200 (t 3 r ) ] [200 (t r )]
400 2
400
3
22
则 A合 0
这一结果满足干涉相消条件，因此S点静止
不动。结果中 与r无关，实际上S可视为波线
上Q点右侧任意一点。所以，x轴上Q点右侧的 所有点都满足干涉相消条件，均静止不动。
•
P 3m Q S
则波源P在S点的分振动为
x
yP
A cos[ (t
PS u
)
P
]
Acos[200 (t 3 r ) ]m
400 2
波源Q在S点的分振动为
yQ
A cos[ (t
QS u
Βιβλιοθήκη Baidu
)]
Acos[200 (t r )] m
400
返回
２）这两个分振动的合振动仍是一个同频 率的简谐振动，合振动的振幅由两个分振动的 相位差决定。
y
0.5 cos
1 2
(t
x) 0.5
1
2
m
代入x=0，可得原点处质点的振动方程为
y 0.5cos(1 t 1 ) m
22
返回
例题.习题4-19.平面简谐波以波速u=0.5m/s
沿x轴负向传播，在t=2s时,位于原点处的质点 位于平衡位置向y轴正向运动。 求原点处质点
的运动方程。已知 A 0.5m, 2m
4kg的物体，静止时弹簧伸长20cm，再把物体由
静止的平衡位置向下拉10cm，然后由静止释放并
开始计时.证明此振动为简谐振动并求物体的振
动方程.
o
解： mg kx0
•
x0 •
mg 49.8
k
196N / m
x0 0.2
x k 196 7rad / s m4
返回
t=0时，x0=A
cos x0 1
解：1）
am 2 A 2）
am , T 2 2
A
A 0.1 s
am
E
1 2
m 2 A2
1 2
m
am A
A2
1 2
mam A
2 103 J
返回
3） 当 Ek EP 时，有
1 kA2 1 kx2 1 kx2
2
2
2
x2 A2 , x 2 A 7.07 103 m
2
2
4）
EP
1 kx2 2
y 0.03cos[4 (t x xA ) ]
u2
0.03cos[4 (t x 0.05) ]
0.2 2
0.03cos[4 (t 5x) ] m
2
返回
2）代入x=-0.05m,则得P点的振动方程为
yP
0.03 cos{4 [t
5 (0.05)]
}
2
0.03cos(4 t 3 ) m
5
x 0.1cos( t )
24
3
返回
作业6.质量为0.1kg的物体，以振幅1.0×10-2m 作简谐运动.其最大加速度为4.0m·s-2.求：1） 振动的周期；2）物体通过平衡位置时的总能量 ；3）物体在何处其动能和势能相等； 4）当物 体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各 占总能量的多少？
T
4m,u 400m / s
返回
作业8．一平面简谐波在媒质中以速度u=0.20m/s
沿x轴正向传播.已知波线上A点xA=0.05m的振动方 程为 yA 0.03cos(4 t 2)m 。求：1）波动方程； （2）x=-0.05m处质点P的振动方程。
yu
解：波动方程为
xP
o
•A
•
x
xA 0.05m
返回
例题.习题4-19.平面简谐波以波速u=0.5m/s
沿x轴负向传播，在t=2s时,位于原点处的质点 位于平衡位置向y轴正向运动。 求原点处质点
的运动方程。已知 A 0.5m, 2m
y(m)
解：在t=2s时的波形图如图
u
所示.
设波动方程为
o•
t 2s
x(m)
y
A
cos
(t
x) u
2 2 1 rad / s T u 2
0.1 2 2 m 7.07 102 m 2 20
返回
v Asin(t ) 20 0.1 sin
4
2 m / s 4.44m / s a 2 Acos(t ) (20 )2 0.1 cos
4
20 2 2m / s2 2.79102 m / s2
返回
作业2. 一质量忽略不计的弹簧下端悬挂质量为
A
0
x 0.1cos 7t m
返回
作业3.一放置在水平桌面上的弹簧振子，振 幅A=2.0×10-2m，周期T=0.50s。当t=0时，1） 物体在平衡位置向负方向运动；2）物体在x= -1.0×10-2m处向正方向运动.求：以上各情况的 运动方程.
解：1）设振动方程为 x Acos(t )
o
•
•
0.5
x 4cos(t )
t 求 ：
2 2
t 0, x0 2 2,v0 0
cos x0 2 3
A2
4
v0
0
, sin
0
3
4
返回
x
4
o
•
•
0.5
2 2
则方程可写为 x 4cos( t - 3 )
4
求：t 0.5s ,x0.5 0, v0.5 0
t
0
4 cos(
3
)
2 T 4 rad / s
x 2.0102 cos(4 t )
返回
t 0 时，x0 0, v0 0
x 2.0102 cos(4 t )
cos 0
2
v0 Asin 0,sin 0
2
则 x 2.0 102 cos(4 t ) (m)
2
返回
2） t 0, x0 1.0 102 m, v0 0
100Hz,
P
Q
2
,u
400m / s,QS
r.
求：1）两波源在S点的分振动；2）PQ延长线上
Q点一侧各点的干涉情况
u
•
•
P 3m Q
r
•
S
x
解：取如图波线为x轴；选 适 则当的P 计2时，零并点设，P使为原Q点 。0
由已知条件可求出角频率为
2 v 200 rad s1
返回
ur
•
•
22
返回
返回
返回
作业1.若简谐振动方程 x 0.1cos(20t 0.25 )
m,求：1）振幅、频率、角频率、周期、初相;2） t=2s时的位移、速度、加速度.
解：1) A 0.1m 20 rad s1 T 2 0.1s
1 10Hz 0.25 rad
T
2) t 2s x 0.1cos(20 2 0.25 ) 0.1cos
y Acos(t 2x )
A点振动方程
yA
A cos(t
2xA
)
B点振动方程
yB
A cos(t
2xB
)
返回
(t 2xA ) (t 2xB )
2
(xB
xA)
2
(xB
xA)
4
0.28m
u 0.15 0.54Hz 0.28
返回
作业11 已知两波源 P、Q , PQ = 3 m,
求：t 0, x0 0.05,v0 0
t
cos 1 ,
2
3
v0
0
3
则 x 0.1cos(t )
3
返回
x
0.1 0.05 •
o
•
4
求：t 4s , x4 0,v4 0
0 0.1cos(4 )
3
t
4
32
v4 0 ,
4
32
5 rad / s
24
方程为
cos 0
v0 0, 则
2
2
返回
所以波动方程为
y 0.04 cos[ (t 5x) ] m
2
返回
作业10.已知平面简谐波传播的波线上相距 3.5cm的A、B两点，B点的相位落后A点π/4， 波速为15cm/s.求此波的频率和波长.
y
u
A
B
o
•
•
x xB xA
x
解： 波动方程为
２）由于波形向右传播，根据下一时刻的 波形图可确定ａ、ｂ的运动方向
a, b
返回
y(m)
u 0.2m / s
0.04
a • •b
３）设波动方程为
y Acos[(t x ) ]
u
o 0.2
x(m) 0.04 cos[ (t x ) ]
0.2
0.04 cos[ (t 5x) ] m
求初相位 ： t=0时, x=0处, y=0
1 k( A)2 22
1E 4
EK
E EP
3E 4
返回
作业7.已知波动方程y=2×10-2 cosπ(0.5x-200t)
m，求：A, , ,u 。
解： y Acos[2 ( t x )] T
2
将原方程写成上式的形式
y 2102 cos[2 ( t x )] (m)
1 100 4
A 2102 m, T 0.01s , 1 100Hz
返回
则波动方程为
y
0.5
cos
1 2
(t
x 0.5
)
m
y(m)
由图可知t=2s时，x=0
u 处质点的位移为y=0，代入
波动方程
o•
t 2s
x(m)
y
0.5 cos
1 2
(t
x) 0.5
得
cos( ) 0
返回
y(m)
u
o•
x(m)
t 2s
2
v0 0
2
3
22
则方程为
另解：设振动方程为 y Acos(t )
2 2 1 rad / s T u 2
y 0.5cos(1 t )
2
返回
t=2s 时，y = 0, v2 > 0
0 0.5cos(1 2 )
2
cos( ) 0
2
v2 0
2
3
22
y 0.5cos(1 t 1 ) m
2
返回
作业9．已知一平面简谐波在ｔ＝０时的波动
曲线。求：１）波长、周期和频率；２）ａ、ｂ 两点的运动方向；３）波动方程。
y(m)
u 0.2m / s
0.04
a • •b
o 0.2
x(m)
解：1) 2 0.2 0.4m
T 0.4 2s
u 0.2
1 0.5Hz
T
2v rad s1
x 2.0102 cos(4 t )
1.0102 2.0102 cos
cos 1 2
2
3
v0
0,
sin
0 ,
2
3
x 2.0 102 cos(4 t 2 ) (m)
3 返回
作业4.已知某质点作简谐振动的振动曲线如图 所示.求：该质点的振动方程
x
解：设振动方程为
4
x Acos(t )
24
3
24
2
v0.5
Asin(
2
3
4
)
0
3
24 2
返回
x
4
o
•
•
0.5
2 2
3
24 2
t
rad / s
2
所以方程为
x
4 cos(
t
3
)
24
返回
作业5.某振动质点的x-t曲线如图所示.求：该质
点的运动方程.
x
0.1
0.05 •
o
•
4
解：设振动方程为
x 0.1cos(t )
两个分振动在S点的相位差为
[200 (t 3 r ) ] [200 (t r )]
400 2
400
3
22
则 A合 0
这一结果满足干涉相消条件，因此S点静止
不动。结果中 与r无关，实际上S可视为波线
上Q点右侧任意一点。所以，x轴上Q点右侧的 所有点都满足干涉相消条件，均静止不动。
•
P 3m Q S
则波源P在S点的分振动为
x
yP
A cos[ (t
PS u
)
P
]
Acos[200 (t 3 r ) ]m
400 2
波源Q在S点的分振动为
yQ
A cos[ (t
QS u
Βιβλιοθήκη Baidu
)]
Acos[200 (t r )] m
400
返回
２）这两个分振动的合振动仍是一个同频 率的简谐振动，合振动的振幅由两个分振动的 相位差决定。
y
0.5 cos
1 2
(t
x) 0.5
1
2
m
代入x=0，可得原点处质点的振动方程为
y 0.5cos(1 t 1 ) m
22
返回
例题.习题4-19.平面简谐波以波速u=0.5m/s
沿x轴负向传播，在t=2s时,位于原点处的质点 位于平衡位置向y轴正向运动。 求原点处质点
的运动方程。已知 A 0.5m, 2m
4kg的物体，静止时弹簧伸长20cm，再把物体由
静止的平衡位置向下拉10cm，然后由静止释放并
开始计时.证明此振动为简谐振动并求物体的振
动方程.
o
解： mg kx0
•
x0 •
mg 49.8
k
196N / m
x0 0.2
x k 196 7rad / s m4
返回
t=0时，x0=A
cos x0 1
解：1）
am 2 A 2）
am , T 2 2
A
A 0.1 s
am
E
1 2
m 2 A2
1 2
m
am A
A2
1 2
mam A
2 103 J
返回
3） 当 Ek EP 时，有
1 kA2 1 kx2 1 kx2
2
2
2
x2 A2 , x 2 A 7.07 103 m
2
2
4）
EP
1 kx2 2
y 0.03cos[4 (t x xA ) ]
u2
0.03cos[4 (t x 0.05) ]
0.2 2
0.03cos[4 (t 5x) ] m
2
返回
2）代入x=-0.05m,则得P点的振动方程为
yP
0.03 cos{4 [t
5 (0.05)]
}
2
0.03cos(4 t 3 ) m
5
x 0.1cos( t )
24
3
返回
作业6.质量为0.1kg的物体，以振幅1.0×10-2m 作简谐运动.其最大加速度为4.0m·s-2.求：1） 振动的周期；2）物体通过平衡位置时的总能量 ；3）物体在何处其动能和势能相等； 4）当物 体的位移大小为振幅的一半时，动能、势能各 占总能量的多少？
T
4m,u 400m / s
返回
作业8．一平面简谐波在媒质中以速度u=0.20m/s
沿x轴正向传播.已知波线上A点xA=0.05m的振动方 程为 yA 0.03cos(4 t 2)m 。求：1）波动方程； （2）x=-0.05m处质点P的振动方程。
yu
解：波动方程为
xP
o
•A
•
x
xA 0.05m
返回
例题.习题4-19.平面简谐波以波速u=0.5m/s
沿x轴负向传播，在t=2s时,位于原点处的质点 位于平衡位置向y轴正向运动。 求原点处质点
的运动方程。已知 A 0.5m, 2m
y(m)
解：在t=2s时的波形图如图
u
所示.
设波动方程为
o•
t 2s
x(m)
y
A
cos
(t
x) u
2 2 1 rad / s T u 2