2第二讲2009-匹配滤波器

(实)白噪声的定义:均值为0,功率谱密度在范 围 内是正常数的平稳过程.
不是白噪声的噪声都是色噪声
白噪声的特点:
1)实白噪声的功率谱密度 2)实白噪声的功率谱是均匀分布的; 3)实白噪声是一种平稳的随机过程;所谓平稳的随机过程, 是指它的统计特性不随时间的推移而发生变化; 4)实白噪声的任意两个不相同时刻的取样值互不相关: 5)实白噪声如果服从高斯正态分布,称为白高斯噪声,此 时任意两个不相同时刻的取样值相互独立. 6)实白噪声的自相关函数:
t > 2τ
输出波形：
当
ω > 0 匹配滤波器可近似为：
ca − ωτ H (ω ) ≈ [1 − e − jjωτ ] 2 j (ω − ω 0 ) 0
射频矩形脉冲信号匹配滤波器方框图：
s (t )
谐振放大器
ca 2 j (ω − ω 00)
+
s0 (t )
-
延迟线
e
− jωτ
矩形滤波器：宽度B 则：
Gn (ω )
输入端的噪声功率
1 E[n (t )] = 2π
2
∫
∞
−∞
Gn (ω )dω
输出端的噪声功率
1 E[n (t )] = 2π
2 0
∫Baidu Nhomakorabea
∞
−∞
H (ω ) Gn (ω )dω
2
在 t=t0 时输出信噪比：
s (t 0 ) = d0 = 2 E n0 (t )
[
2 0
]
1 2π
∫
∞
−∞
S (ω ) H (ω ) e
信号检测的目:就是设计一种最优的处理器,最 好地从受扰观察获取目标的有关信息.
实践表明：雷达接收机输出的信噪比越大，则 在观察示波器上越容易发现信号。
匹配滤波器：在输入为已知信号加白噪声的条 件下，使得输出的信噪比最大的最佳线性滤波 器。
说明
信号波形已知； 线性滤波； 信躁比最大。
白噪声和色噪声
S H (ω ) = c G
∗
n
(ω ) e (ω )
− jω t0
相频特性：
arg
H ( ω ) = − arg
S (ω ) − ω t 0
− arg
S (ω )
与信号相频特性反相 与频率成线性关系
− ω t0
滤波器的相频特性与信号的相位谱互补(除常数相位和线性 相位之外)。 不管输入信号有怎样复杂的非线性相位谱,经过匹配滤波器 之后,这种非线性相位都被补偿掉了,而输出信号中只留下了线性 的相位谱。
对信号的频移不具有适应性
S 2 (ω ) = S (ω + ω d )
H 2 (ω ) = S (ω + ω d ) e
* − jω t 0
H 2 (ω )与H (ω )是不同的
信号的初相角影响
对于实信号 如果假设初相角是随机的 ,由于 初相角无法匹配掉,输出的峰值功率也 是随机的。 初相角在(0,2π)上是均匀分布的 统计平均之后,将使信噪比损失 .
dω
在t=t0 ，各频率分量同相，得到最大幅度
匹配滤波器
随机噪声为白噪声：
N0 Gn (ω ) = 2
滤波器输出端的噪声功率谱:
N0 2 G (ω ) = H (ω ) 2
平均噪声输出功率:
1 N0 E[n(t )] = 2π 2
∫
∞
−∞
H (ω ) dω
2
S H (ω ) = c G
∗
n
(ω ) e (ω )
− j (ω −ω 0 )τ
− j (ω +ω 0 )τ
1− e 1− e S (ω ) = a[ − ] 2 j (ω − ω 0 ) 2 j (ω + ω 0 )
− jωτ
− jωτ
其频谱为：
1 − e − jωτ 1 − e − jωτ S (ω ) = a[ − ] 2 j (ω − ω 0 ) 2 j (ω + ω 0 )
d
m
=
2 E N 0
（二）t0时刻应当选择在信号结束之后：
一个物理的系统在没有输入时,系统不会有响应 h(t)=0 当 t <0 必然有：s(t0 -t)=0 当 t <0 即： s(t)=0 当t>t0
注意：
t0时刻是指匹配滤波器输出信号形成 峰值的时刻,这一时刻可以在一定的 范围内任意选择. t0的最小值是信号的结束时刻
（三）匹配滤波器对信号的幅度和时延具有适应性
s( t ) ⇔ S(ω)
s 1 ( t ) = as ( t − τ )
s1 ( t ) ⇔ S1 (ω)
− j ωτ
S 1 ( ω ) = aS ( ω ) e
H 1 ( ω ) = aS 1 ( ω ) e
*
− j ω t1
= caS
*
(ω ) e
− j ω ( t1 − τ )
= aH ( ω ) e
− j ω [ t 1 − ( t 0 + τ )]
如果取
t1 = t 0 + τ
H1 (ω ) = aH (ω )
这就证明了 s (t ) 和 s1 (t ) 的匹配滤波器是相同的。 只要信号波形不变,不管什么时间出现,匹配滤波 器的脉冲响应是一样的,匹配滤波器的这一特性称为时 间上的适应性.
d
m
=
=
输出信号：
s 0 (t ) =
∫
∞
−∞
s (t − λ ) h ( λ ) d λ t≤0 0 < t ≤τ
⎧0, ⎪ ⎪ 2 ⎪ ca t cos ω 0 (τ − t ), ⎪ =⎨ 2 ca ( 2τ − t ) cos ω 0 (τ − t ), ⎪ ⎪ ⎪0, ⎪ ⎩
τ ≤ t ≤ 2τ
∗
a − jωτ =c (1 − e ) jω
匹配滤波器的冲激响应 :
⎧ ca, h(t ) = ⎨ ⎩0,
0 ≤ t ≤τ t < 0, t > τ
输出信号为：
s0 (t ) = ∫ s (t − λ )h(λ )dλ
−∞
∞
⎧ ca 2t , ⎪ ⎪ = ⎨ ca 2 (2τ − t ), ⎪ ⎪0, ⎩
4 a = π 2 N = 2 E N 0
/ m m 2
d
/ m
0
B
S
2 i
2π B τ ( ) 4
d
m
=
a 2τ N 0
2 i
ρ
=
d d
4 = π 2B τ
S
2π B τ ( ) 4
S (ω ) G
n
(ω )
输入信号中,幅度大的频率成分,输出信号中该 频率成分也大.或者说.此滤波器的作用是对输入 信号中较强的频率成分给予较大的加权,对较弱的 频率成分给予较小的加权. 由于信号中混叠了噪声,因此滤波器的这个特 性可以从噪声中最佳地滤出有用信号,而这种加权 方式也就是最有效的加权方式.
2
∞
−∞
A(ω ) dω ∫ B(ω ) dω
2 2 −∞
∞
当且仅当A(ω)正比于B*(ω)，即：
A(ω ) = cB (ω )
∗
上式取等号
令
A (ω ) = H (ω ) G n (ω ) e
B (ω ) = S (ω ) G n (ω )
jω t 0
将其代入前式：
∫
∞
−∞
H(ω)S(ω)e dω ≤ ∫ H(ω) Gn (ω)dω•∫
∞ 2
jω t 0
2
dω
1 2π
∫
−∞
H (ω ) G n (ω ) dω
使输出信噪比达到最大的传输函数H(ω)就是我们所要 求的最佳滤波器的传输函数。这是一个泛函求极值的 问题，采用施瓦兹(Schwartz)不等式可以容易地解决该 问题。
施瓦兹(Schwartz)不等式:
∫
∞
−∞
A(ω ) B(ω )dω ≤ ∫
= cs ∗ ( t 0 − t )
匹配滤波器冲激响应与该信号共轭镜像
对于实信号：
h ( t ) = cs ( t 0 − t )
t0 点呈偶对称 h ( t ) 与 s ( t ) 对于 t = 2
dm
N0 N0 1 ∞ 1 ∞ S(ω) 2 = ∫− ∞ G (ω) dω = 2π ∫− ∞ S(ω) dω / 2 = E / 2 2π n
例1 白噪声中矩形脉冲信号的匹配滤波器
设脉冲信号s(t) 为：
⎧ a, s (t ) = ⎨ ⎩0,
信号频谱：
0 ≤ t ≤τ t < 0, t > τ
s(t)
a
0
τ
a − jωτ S (ω ) = (1 − e ) jω
匹配波器的传输函数为:
t0 =τ
− j ωt 0
H (ω ) = cS (ω )e
第二讲
匹配滤波
引言
信号在传递过程中不可避免地要受到自然和人为的各 种干扰,信号检测的目的是用一种最优处理的方法,从 受扰观察中获得所传递的信息。
这种最优处理的方法,有以下主要的特点: ① 最优处理的标准可能是不同的,例如最优的 标准可能是要求获得最大的信噪比,或者是要 求有最小的判决损失等. ② 信号处理的方式与结果,与干扰的形式有关, 也与信号的形式密切相关.
∫
∞ −∞
S (ω )
2
G n (ω )
dω
得到的输出信号波形为：
c s0 (t ) = 2π
∫
∞ −∞
S (ω )
2
G n (ω )
e
jω ( t − t 0 )
dω
当t=t0 ,
输出信号值最大，是波形的尖峰
物理意义
幅频特性：
S H (ω ) = c G
∗
n
(ω ) e (ω )
− jω t0
H (ω ) = c
− jω t0
最佳滤波器的传递函数：
H ( ω ) = cS ( ω ) e
*
− jω t
0
具有与信号频谱的共轭形式，称为匹配滤波器。
在白噪声的干扰下，对于已知信号滤波，当t=t0时给出 最大的信噪比。
匹配滤波器冲激响应
∞ 1 h (t ) = H ( ω )e j ω t d ω 2 π ∫− ∞ ∞ c = S ∗ (ω ) e jω ( t − t 0 ) d ω 2 π ∫− ∞
2
匹配滤波器性质和特点
（一）最大信噪比与信号波形无关 ： 由于匹配滤波器的输出信噪比与输入信号波形 无关,只与信号的能量有关,因此也可以说,匹配滤波 器的检测能力与输入信号波形无关,只与能量有关; 或者说,在同样的白噪声干扰条件下,只要信号能量 相同,并实现匹配滤波,则任何信号形式都能给出相 同的检测能力.这个原理在雷达信号检测理论中称为 能量原理,它对实际有重要的指导意义.譬如在类似 的白噪声的宽带杂波干扰下,要想提高雷达的检测能 力,就只能依靠提高信号的能量,而利用信号波形的 设计是无法提高检测能力的.
jωt0 2 −∞
2
∞
∞
S(ω)
2
−∞
Gn (ω)
dω
得：
1 d0 ≤ 2π
∫
∞
S (ω )
2
−∞
G n (ω )
dω
当且仅当滤波器的传递函数H(ω) 为：
S H (ω ) = c G
∗
n
(ω ) e (ω )
− jω t0
取等号，d0取最大值dm H（ω）就是所求的最佳滤波器的传递函数
d
m
1 = 2π
-
延迟线
e
− jωτ
例2 白噪声中 射频矩形脉冲信号的匹配滤波器
设脉冲信号s(t) 为：
⎧a cos ω0 t, ⎪ s(t ) = ⎨ ⎪ 0, ⎩
0≤t ≤τ t < 0, t > τ
设时间τ内有多个振荡周期T0 ， ω 0 τ = 2 πτ T = 2 m π , m >> 1(整数） 0 加性白噪声功率谱：
1 s0 (t ) = 2π 1 = 2π c = 2π
∫
∞ −∞ ∞ −∞ ∞ −∞
H (ω ) S (ω ) e
jω t
dω
j [arg H ( ω ) + arg S ( ω ) + ω t ]
∫ ∫
H (ω ) S (ω ) e S (ω )
2
dω
G n (ω )
e
jω ( t − t 0 )
H (ω ) = cS * (ω )e − jωt 0
匹配波器的传输函数为：
1− e 1− e ] H (ω ) = ca[ + 2 j (ω − ω0 ) 2 j (ω + ω0 )
− jωτ
− jωτ
输入信号的能量：
aτ E = ∫ s (t )dt = −∞ 2
∞ 2 2
最大信噪比：
2 E N 0 a 2τ N 0
输出信噪比最大的线性滤波器
x (t ) = s (t ) + n (t )
输入信号的频谱:
y (t ) = s 0 (t ) + n 0 (t ) 0 0
S (ω ) = ∫ s (t )e
−∞
∞
− jω t
dt
jω t
输出信号:
s 0 (t ) =
∫
∞
−∞
S (ω ) H (ω ) e
dω
滤波器输入端的噪声功率谱:
0 ≤ t ≤τ
τ ≤ t ≤ 2τ
t < 0, t > 2τ
冲激响应和输出信号的波形
h(t) ca
s0(t)
ca2 τ
0
τ
t
0
τ
2τ
t
匹配滤波器的结构方框图
H (ω ) = cS ∗ (ω )e − jωt0 = c a (1 − e − jωτ ) jω
s (t )
积分器 ca jω
+
s0 (t )
N0 Gn (ω ) = 2
求匹配滤波器的传递函数，输出波形和输出最大信躁比
信号频谱：
S (ω ) = ∫ s (t )e
−∞
∞
− jωt
dt = a ∫ cos ω 0te
0
τ
− j ωt
dt
1− e 1− e = a[ − ] 2 j (ω − ω 0 ) 2 j (ω + ω 0 )
因： ω 0τ = 2mπ ，上式变为: