三角函数应用题

几何背景下的三角函数应用题（2）

一、小题热身：

1、如图，在半径为R、圆心角为60度的扇形AB弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q 在OA上，点M、N在OB上，则当∠AOP= ．这个矩形面积的最大值为

2、如图，在半径为30cm的半圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上．怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大？并求最大面积；

3、屋顶的断面图是等腰三角形ABC，其中AB=BC,横梁AC的长为定值2L。问：当屋顶面的倾斜角a为时雨水从屋顶（光滑）上流下所用的时间最短。

4、如图，在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，E,F,将BC三等分，则∠EAF，∠FAC的正切值分别为

5、如图，在某开发区内新建两栋高楼AB,CD(AC为水平地

面)，P是AC的中点，在点P处测得两楼顶的张角0

∠=,AB=AC=50m,求楼CD的高度为（测量仪器的高度不计）

BPD

45

二、例题精讲：

1、如图，将矩形纸片的右下角折起。使得该角的顶点落在矩形的左边上，

那么折痕长度l取决于角θ的大小。探求l，θ之间的关系式，并导出θ表示

l的函数关系式

2、、如图,某小区准备在一直角围墙ABC 内的空地上植造一块“绿地ABD ∆”,其中AB 长为定值a ,BD 长可根据需要进行调节(BC 足够长).现规划在ABD ∆的内接正方形BEFG 内种花,其余地方种草,且把种草的面积1S 与

种花的面积2S 的比值

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S S 称为“草花比y ”. (Ⅰ)设DAB θ∠=,将y 表示成θ的函数关系式；

(Ⅱ)当BE 为多长时,y 有最小值?最小值是多少?

3、如图一块长方形区域ABCD ，AD ＝2（km ），AB ＝1（km ）．在边AD 的中点O 处，

有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF 始终为π4

，设∠AOE ＝α，探照灯O 照射在长方形ABCD 内部区域的面积为S ．

（1）当0≤α＜π2

时，写出S 关于α的函数表达式； （2）当0≤α≤π4

时，求S 的最大值． （3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE 自OA 转到OC ，再回到OA ，称“一个来回”，忽略OE 在OA 及OC 反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB

边上有一点G ，且∠AOG ＝π6

，求点G 在“一个来回”中，被照到的时间．

E D （第2题） 第17题 G

F E

D C B

A

4、如图，ABCD 是块边长为100m 的正方形地皮，其中AST 是一半径为90m 的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在弧ST 上，相邻两边CQ 、CR 落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值。

5、如下图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，ABC ∆的内接正方形PQRS 为一水池，ABC ∆外的地方种草,其余地方种花. 若BC=a, ABC=θ∠，设ABC ∆的面积为1S ，正方形PQRS 的面积为2S ，将比值

21S S 称为“规划合理度”. （1）试用a ,θ表示1S 和2S ；

（2）若a 为定值，当θ为何值时,“规划合理度”最小？并求出这个最小值．

A B C

P Q R S

T Q C P S D R A B