(江苏版)2019年高考数学一轮复习 专题11.6 矩阵与变换(测)理

（江苏版）2019年高考数学一轮复习 专题11.6 矩阵与变换（测）理
1. 已知矩阵1214A ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，求矩阵A 的特征值和特征向量． 【答案】属于特征值12λ=的一个特征向量121α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
属于特征值23λ=的一个特征向量211
α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
2.已知直线1=+y x l ：在矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=10n m A 对应的变换作用下变为直线1=-'y x l ：，求矩阵A . 【答案】1201A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
【解析】
设直线:1l x y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 的变换作用下，变换为点(,)M x y ''' ．
由''01x m n x mx ny y y y +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦,得x mx ny
y y '=+⎧⎨'=⎩
…………5分
又点(,)M x y '''在l '上,所以1x y ''-=,即()1mx ny y +-=
依题意111m n =⎧⎨-=⎩,解得12m n =⎧⎨
=⎩，
1201A ⎡⎤
∴=⎢⎥⎣⎦ …………10分 3.选修4—2：矩阵与变换
求矩阵⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3 11
3的特征值及对应的特征向量．
【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1，属于λ1＝4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11．
4.（选修4—2：矩阵与变换）
设矩阵 02 1a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
M 的一个特征值为2，若曲线C 在矩阵M 变换下的方程为22
1x y +=，求曲线C 的方程.
【答案】2
2
841x xy y ++=
【解析】由题意，矩阵M 的特征多项式()()((1)f a λλλ=--，
因矩阵M 有一个特征值为2，(2)0f =，所以2a =. …………4分
所以 2 0M 2 1x x x y y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即22x x
y x y
'=⎧⎨'=+⎩， 代入方程2
2
1x y +=，得2
2
(2)(2)1x x y ++=，即曲线C 的方程为2
2
841x xy y ++=.…10分 5.选修4 2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知二阶矩阵M 有特征值λ=3及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应的变换将点(-1,2)变换成
(9,15) ，求矩阵M .
【答案】1436-⎡⎤
⎢⎥-⎣⎦
6.已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤
2 a 1 3，其中a ∈R ，若点P (1,2)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P ′(6,7)． (1)求实数a 的值与矩阵A ；
(2)求矩阵A 的特征值及相应的特征向量． 【答案】（1）a ＝2，∴A ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 21 3.（2）属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
【解析】解：(1)由题意知，⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2
a 1
3⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋2a 7＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
67，
∴2＋2a ＝6，∴a ＝2，∴A ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
2 21 3. (2)由(1)知，A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2 21
3，其特征多项式为
f (λ)＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
λ－2 －2－1 λ－3＝(λ－2)(λ－3)－2，
令f (λ)＝0，即λ2
－5λ＋4＝0，解得λ1＝1，λ2＝4.
当λ1＝1时，设对应的特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
m n ，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 21
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
2m ＋2n ＝m ，
m ＋3n ＝n ，取n ＝1，
则m ＝－2，故α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－21；
当λ2＝4时，设对应的特征向量为β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
x y ，
则⎣⎢
⎡⎦⎥⎤2 21
3⎣⎢⎡⎦⎥⎤
x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋2y ＝4x ，x ＋3y ＝4y ，
取x ＝1，
则y ＝1，故β＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
∴矩阵A 的属于特征值1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1，属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
11.
7. 设M 是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y 轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换． (1)求直线4x －10y ＝1在M 作用下的方程； (2)求M 的特征值与相应的特征向量．
【答案】（1）4x －2y ＝1.（2）当λ1＝1时，特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10；当λ2＝5时，特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
01.
8.已知矩阵A ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤6
24
4.
(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；
(2)计算矩阵A n
.
【答案】（1）当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α
2
＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1－2.
（2）
⎣⎢⎢⎦
⎥⎥33
2×8n
－2n ＋1
3
8n
＋2
n ＋1
3
c ＝
2×8n
－2n ＋1
3
，d ＝
8n ＋2n ＋1
3
.
故A n
＝
⎣⎢⎢⎦
⎥⎥33
2×8n
－2n ＋1
3
8n
＋2
n ＋1
3
9.已知a ，b ∈R ，若M =13a b -⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
所对应的变换T M 把直线2x - y = 3变换成自身，试求实数a ，b ． 【答案】4,1-==b a 【解析】
10.已知曲线C ：1xy =
，若矩阵2
2M -
⎥
=⎥⎥⎣
⎦
对应的变换将曲线C 变为曲线C '，求曲线C '的方程. 【答案】2
2
2y x -= 【解析】
试题解析：设曲线C 一点(,)x y ''对应于曲线C '上一点(,)x y ，
∴222
2x x y y '⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎢⎥⎥
⎢⎥⎢⎥⎥'⎣
⎦⎣⎦⎣⎦
，
∴
22x y x ''-=
，22x y y ''+=，……5分
∴x '=
y '=
∴1x y ''=
=，∴曲线C '的方程为222y x -=. …10分 11.变换1T 是逆时针旋转
2π
的旋转变换，对应的变换矩阵是1M ；变换2T 对应用的变换矩阵是21101M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（Ⅰ）求点(2,1)P 在1T 作用下的点'P 的坐标；
（Ⅱ）求函数2
y x =的图象依次在1T ，2T 变换的作用下所得曲线的方程。

【答案】（Ⅰ）'(1,2)P -（Ⅱ）2
y x y -= 【解析】
12.已知二阶矩阵M 有特征值8λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应的变换将点(1,2)-变换
成(2,4)-, 求矩阵M ．.
【答案】6244⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题解析：设M=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a b c d ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦11⎡⎤⎢⎥⎣⎦=811⎡⎤⎢⎥⎣⎦=88⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，故8,8.a b c d +=⎧⎨+=⎩
a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24-⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，故22,2 4.a b c d -+=-⎧⎨-+=⎩
联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，故M=6244⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．………10′ 13.设矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
M （其中00a b ＞，＞），若曲线C ：221x y +=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线2
214x C y '+=：，求a b +的值．
【答案】3． 【解析】。