2018数学中考专题--5-角平分线问题专题

2018年数学中考 角平分线专题

下面就以五种情况进行专题研究

1. 如图1，角平分线遇平行必有等腰三角形；

2. 如图2，垂直角平分线的直线与该角两边交成等腰三角形，并且垂足F 是GH 的中点(三线合一) ；

3. 如图3，角平分线定理；

4. 补半角成倍角，或分倍角为半角；

5. 角平分线与圆.

D

C E

B

A O

H

F G O

C B

A

K

N

M

Q

P

O

A C B

图1 图2 图3

一、 角平分线遇平行找等腰三角形

1 . 探究1 如图①，AD 为等边△ABC 的内角平分线，显然有

AC CD AB

DB

=

.

探究2 如图 ②，若△ABC 为任意三角形，线段AD 为其内角平分线，

AC

CD

AB DB

=

一定成立吗？证明你的判断.

应用：如图③，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=24，AB=40，E 为AB 上一点且AE=15，CE 交其内角平分线

AD 于F. 试求DF

FA

的值.

C

A B

D

A

B D

C

A E

B

C

D

F

① ② ③

2. 如图 1 ，点O 是△ABC 的内心，过点O 作EF ∥AB ，与AC 、BC 分别交于点E 、F ，则（ ） A. EF AE BF >+ B. EF AE BF <+ C. EF AE BF =+ D. EF AE BF ≤+

E

D A

B C

图1 图2

3. 如图2，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=3，BC=5，连接BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE ∥CD ，则AD 的长为 .

4. 如图3，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，P在射线EF上，BP交CE于D，Q在CE上且BQ平分∠CBP. 设BP=y，PE=x.

（1）当

1

3

CQ CE

=时，求y与x之间的函数关系式；

（2）当

1

CQ CE

n

=（n为不小于2的常数）时，直接写出y与x之间的函数关系式.

Q

P F

E

A

B C

D

图3

5.（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与CD相交于F点. 试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；

A

B E

F

C

D D

C

F

E

B

A

图①图②

（2）如图②，当F在DC的延长线上时（其他条件不变），请你直接写出线段AB与AF、CF之间的数量关系.

二、遇垂直角平分线找等腰三角形 (角平分线遇垂直，补全成三线合一)

6 . 在△ABC 中，点D 是BC 边的中点，AM 是△ABC 的角平分线，CE ⊥AM ，垂足为E ，连接DE. （1）当AB AC >时（如图①），求证：2AB AC DE -=；

M

A

B

C

D E

M A

B

C

D

E

A

B

D

M

E

C

图① 图② 图③

（2）当AB AC <时（如图②），请你写出AB 、AC 与DE 之间的数量关系： ；

（3）如果改AM 为△ABC 的外角平分线，其他条件不变（如图③），请写出AB 、AC 与DE 之间的数量

关系： .

7. 如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BE 平分∠ABC 交AC 于D ，过C 作BE 的垂线交BE 于E ， 求证：BD=2CE.

A

B

D

C

E

8.（1）如图①，已知BD 、CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD 于F ，AG ⊥CE 于G ，连接FG ，延长AF 、AG 与直线BC 相交于M 、N. 则FG 与△ABC 三边具有的数量关系是： .

N

M

G

A

B

C

D E F

F

A

D B

C

G E

图① 图②

（2）如图②，若BD 为△ABC 的内角平分线，其他条件不变，线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请证明你的猜想.

三、遇倍角或半角

见半角补成倍角或等分倍角；见倍角等分之或造半角的等腰三角形

14 . 在△ABC 中，∠A=90°，点D 在线段BC 上，∠C=2∠EDB ，BE ⊥DE 于E ，DE 交AB 于点F.

（1）如图①，当AB=AC 时，1）∠EBF= ；2）探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；

（2）如图②，当AB=k AC 时，求BE

FD

的值（用含k 的式子表示）.

A

B

C D E F

E

A

B

C

D

F

图① 图②

15 . 阅读材料：如图①，在△ABC 中，∠A=2∠B ，且∠A=60°. 小明通过以下计算：

由题意知∠B=30°，∠C=90°，2c b =

，a =

，得：22222)2a b b b bc -=-==，即2

2a b bc -=.

于是小明猜想：对于任意的△ABC ，当∠A=2∠B 时，关系式2

2a b bc -=都成立.

b c

a

b c

a

c

b a A

B

C

A

B

C

A B

C

图① 图 ② 图③

（1）如图 ②，请你用等腰Rt △进行验证，判断小明的猜测是否正确，并写出验证过程； （2）如图③，你认为小明的猜想是否正确，若认为正确，请你证明；否则，请说明理由； （3）若某三角形的三边长恰为三个连续偶数，且∠A=2∠B ，请直接写出这个三角形三边的长.