1.1.1集合的概念练习题
1.1.1集合的概念习题
题型 1 如何判断所给对象是否能构成集合
(1)数学课本中所有的难题; 数学课本中所有的难题; (2)不超过30的所有非负数; 不超过30的所有非负数 的所有非负数; (3)某一班级不满17周岁的学生; 某一班级不满17周岁的学生 周岁的学生; (4)著名的数学家. 著名的数学家.
练习: 练习: 1.设x2+(b+2)x+1=0,b∈R构成集合 求集 设 构成集合A,求集 ∈ 构成集合 中所有元素的积; 合A中所有元素的积; 中所有元素的积 2.设ax2+2x+1=0构成集合 ,若B中只有 设 构成集合B, 构成集合 中只有 一个元素, 的值; 一个元素,求a的值; 的值 3.若2是集合 x, +x中的元素 3.若2是集合1,x,x2+x中的元素,求实 是集合1, 中的元素, 的值; 数x的值; 的值 4.方程 方程ax+b=0,当a,b满足什么条件时, 满足什么条件时, 方程 , , 满足什么条件时 解集为有限集;满足什么条件时, 解集为有限集;满足什么条件时,解集为 无限集. 无限集.
Hale Waihona Puke 题型 2 运用集合中元素互异性
1.集合 ,x,x2-2x中,x应满足的条件是什 集合3, , 集合 中 应满足的条件是什 么? 2.由数 ,-x,|x|, x 2 , 3 x 3 所组成的集合 由数x, , , 由数 最多含有的元素个数是几? 最多含有的元素个数是几?
题型 3 元素与集合的关系 1.用符号∈或 填写 用符号∈ 用符号 (1)1 ) N* 0 N 3.14 Q (2) 3 + 5 ) (3)sin300 ) (4)tan450 ) Q N
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x> 2+ 6
人教A版高中数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》同步练习题 答案和解析
人教A 版高中数学必修一1.1.1《集合的含义与表示》同步练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( ) A ．0∈A B ．a ∉AC ．a∈AD ．a ＝A2．设x ∈N ，且1x∈N ，则x 的值可能是( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．0或13．下面四个关系式：π∈{x|x 是正实数}，0.3∈Q，0∈{0}，0∈N，其中正确的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．14．集合{x∈N|－1<x<112}的另一种表示方法是( ) A ．{0，1，2，3，4} B ．{1，2，3，4} C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{1，2，3，4，5}5．已知集合A ＝{x∈N *|，则必有( ) A ．－1∈A B ．0∈AC ．D ．1∈A6．集合M ＝{(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( ) A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集 C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集7．若集合{},,a b c 中的三个元素可构成某个三角形的三条边长，则此三角形一定不是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形8．已知A ＝{x|3－3x>0}，则有( ) A ．3∈A B ．1∈A C ．0∈A D ．－1∉A二、填空题9．集合A ＝{x|x∈N 且42x-∈Z}，用列举法可表示为A ＝________. 10．一边长为6，一边长为3的等腰三角形所组成的集合中有________个元素.11．点(1,3)P 和集合},)(2{|Ax y y x =+＝之间的关系是________. 12．用列举法表示集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝3，x∈N，y∈N *}为________. 13．若{}2,2,3,4A =-，{}2|,B x x t t A ==∈，用列举法表示B = .14．下列集合中：A ＝{x ＝2，y ＝1}，B ＝{2，1}，C ＝{(x ，y)| 31x y x y +=⎧⎨-=⎩}，D ＝{(x ，y)|x ＝2且y ＝1}，与集合{(2，1)}相等的共有________个.三、解答题15．“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会”.(选自《孙子算经》)，请将三女前三次相会的天数用集合表示出来.16．设A 是由满足不等式x <6的自然数组成的集合，若a ∈A 且3a ∈A ，求a 的值． 17．已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.18．已知集合A ＝{0，2，5，10}，集合B 中的元素x 满足x ＝ab ，a∈A，b∈A 且a≠b，写出集合B ．19．已知集合S 满足条件：若a S ∈，则1(0,1)1aS a a a+∈≠≠±-．若3S ∈，试把集合S 中的所有元素都求出来． 20．集合A ＝{x|2y x y x=⎧⎨=⎩ }可化简为___以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？试说明理由. 学生甲：由2y xy x=⎧⎨=⎩得x ＝0或x ＝1，故A ＝{0，1}； 学生乙：问题转化为求直线y ＝x 与抛物线y ＝x 2的交点，得到A ＝{(0，0)，(1，1)}.参考答案1．C 【解析】分析：根据集合A 的表示，判断出a 是A 的元素，根据元素与集合的关系，是属于与不属于，从而得到答案. 详解：集合{}A a =，a A ∴∈.故选C.点睛：在解决元素与集合的关系时，注意它们的关系只有“属于”与“不属于”两种. 2．B 【解析】首先x≠0，排除A ，D ；又x∈N，排除C ，故选B. 3．A 【解析】本题考查元素与集合之间的关系，由数集的分类可知四个关系式均正确.选A. 4．C 【解析】 ∵x∈N，且－1<x<112，∴集合中含有元素0，1，2，3，4，5，故选C. 点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集．列举法应用于有限集，特别为单元素集合. 5．D 【解析】∵x∈N *1，2，即A ＝{1，2}，∴1∈A.选D. 6．D 【解析】根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集7．D 【分析】根据集合中元素的互异性可知，D 正确；给,,a b c 取特值可知，,,A B C 不正确. 【详解】根据集合中元素的互异性可知，a b c ≠≠，所以此三角形一定不是等腰三角形，故D 正确； 当3,4,5a b c ===时，三角形为直角三角形，故A 不正确； 当 6.8.9a b c ===时，三角形为锐角三角形，故B 不正确； 当6,8,11a b c ===时，三角形为钝角三角形，故C 不正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 8．C 【解析】因为A ＝{x|3－3x>0}＝{x|x<1}，所以0∈A.选C. 9．{0，1，3，4，6} 【解析】 注意到42x-∈Z，因此，2－x ＝±2，±4，±1，解得x ＝－2，0，1，3，4，6，又∵x∈N，∴x＝0，1，3，4，6. 10．1 【解析】这样的三角形只有1个，是两腰长为6，底边长为3的等腰三角形. 11．P A ∈ 【详解】在2y x =+中，当1x =时，3y =， 因此点P 是集合A 的元素，故P A ∈. 故答案为：P A ∈.12．{(0，3)，(1，2)，(2，1)} 【解析】集合A 是由方程x ＋y ＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝1时，y ＝2；当x ＝2时，y ＝1.故A ＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}. 13．{}4,9,16 【分析】解决该试题的关键是对于t 令值，分别得到x 的值，然后列举法表示. 【详解】因为集合{}2,2,3,4A =-，而集合B 中的元素是将集合A 中的元素一一代入，通过平方得到的集合，即{}2|,B x x t t A ==∈，2,4t x ∴=±=；3,9t x ==；4,16t x ==,{}4,9,16B ∴=，那么用列举法表示B ={}4,9,16.本试题主要是考查了集合的描述法与列举法的准确运用，属于基础题. 14．2 【解析】因为集合{(2，1)}的元素表示的是有序实数对，由已知集合的代表元素知，元素为有序实数对的是C ，D ，而A 表示含有两个元素x ＝2，y ＝1的集合，B 表示含有2个元素的集合. 15．{60，120，180}. 【解析】试题分析：先判断三女相会的日数必为5，4，3的公倍数，再求最小的三个整数，并用集合形式表示试题解析：三女相会的日数，即为5，4，3的公倍数，它们的最小公倍数为60，因此三女前三次相会的天数用集合表示为{60，120，180}. 16．a ＝0或1. 【解析】 试题分析：试题解析：∵a∈A 且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2. 又∵a 是自然数∴a ＝0或1. 17．a ＝－1.【解析】试题分析：本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，最后注意集合中元素的互异性，进行验证. 试题解析：若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a=-1.点睛：利用元素的性质求参数的方法，已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 18．B ＝{0，10，20，50}. 【解析】试题分析：先按是否取零进行讨论，再根据乘积结果，利用集合元素互异性进行取舍 试题解析：解析 当或时，x ＝0；当或时，x ＝10； 当或时，x ＝20； 当或时，x ＝50.所以B ＝{0，10，20，50}.点睛：常利用集合元素的互异性确定集合中的元素，根据题目一一列举可能取值(应用列举法和分类讨论思想)，然后根据集合元素的互异性进行检验，相同元素重复出现只算作一个元素，判断出该集合的所有元素，即得该集合元素的个数． 19．113,2,,32-- 【分析】由条件“若a S ∈，则11aS a+∈-”可进行一步步推导，根据所得值循环出现可得答案． 【详解】∵3S ∈，∴13213S +=-∈-，从而1(2)11(2)3S +-=-∈--，则11131213S ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=∈⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴1123112S +=∈-，出现循环，根据集合中元素的互异性可得集合S 中的所有元素为113,2,,32--．【点睛】本题考查了集合中元素的互异性，属于基础题. 20．甲正确 【解析】试题分析：先解方程组得解集，再根据集合代表元素得应为数集，不是点集，因此选甲 试题解析：同学甲正确，同学乙错误.由于集合A 的代表元素为x ，因此满足条件的元素只能为x ＝0，1；而不是实数对故同学甲正确.。
.1.1.1集合的概念练习题2
〖帮你读书〗1. 集合的概念：有某些 的对象组成的 叫做集合，简称 ；组成集合的对象叫做这个集合的 。
2. 集合的表示：一般采用 表示集合，3. 采用 表示集合中的元素。
4. 几个常用数集的表示：自然数集记作 ；正整数集记作 ；整数集记作 ；有理数集记作 ；实数集记作 ；空集记作 。
5. 集合与元素之间的关系：如果a 是集合A 的元素，就说aA ，记作 ， 6. 如果a 不是集合A 的元素，就说a A ，记作 ，7. 集合的分类：含有 元素的集合，叫做有限集，含有无限多个元素的集合叫做 ，不含 叫空集，记作: .〖疑难解惑〗1.只含有元素0的集合是空集吗？〖技能训练〗1.用符号""""∉∈或填空：R (2)(3)21N (4)-2 N (5)3 Q (6)π R2.选择题：（1） 以下对象能组成集合的是〔 〕； A,大于5的自然数C.班上个子很高的同学（2） 以下对象不能组成集合的是〔 〕.A.不大于8的自然数C.班上身高超过1.8米的同学D.班上数学小测中得分在85分以上的同学。
3.以下对象能否组成集合？假设能组成集合，判断哪些是有限集？哪些是无限极？那些事空集？（1）.某班学习成绩好的同学；（2）绝对值不小于3的所有整数；（3）的解集方程06=-x（4）的解集方程022=+x4.判断以下集合是有限集、无限集还是空集：（1）的奇数且小于所有大于200 （2）的解集不等式01<-x（3）的解集022=+x（4）所有大于3且小于4的实数；（5）的解集方程0652=--x x .。
1.1集合的基本概念练习题(含答案)
集合的基本概念练习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合M={(x,y)|xy>0,x+y<0,x∈R,y∈R}是（）A．第一象限的点集B．第二象限的点集C．第三象限的点集D．第四象限的点集【答案】C【分析】利用不等式的性质可得x<0,y<0，进而判断出集合的意义．【详解】由xy>0,x+y<0⇔x<0,y<0，故集合M={(x,y)|xy>0,x+y<0,x∈R,y∈R}是第三象限的点集．故选：C.2．集合{x∈N|x−2<2}用列举法表示是（）A．{1,2,3}B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4}D．{0,1,2,3}【答案】D【分析】解不等式x−2<2，结合列举法可得结果.【详解】{x∈N|x−2<2}={x∈N|x<4}={0,1,2,3}.故选：D．3．已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【答案】A【分析】根据x,y为整数，分析所有可能的情况求解即可【详解】当x=−1时，y2≤2，得y=−1,0,1，当x=0时，y2≤3，得y=−1,0,1当x=1时，y2≤2，得y=−1,0,1即集合A中元素有9个，故选：A．4．已知集合M={x∣x2+x=0}，则（）A．{0}∈M B．∅∈M C．−1∉M D．−1∈M 【答案】D【分析】先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.【详解】因为集合M={x∣x2+x=0}={0，−1}，所以−1∈M，故选：D.5．已知集合A={−1,0,1}，B={a+b|a∈A,b∈A}，则集合B=（）A．{−1,1}B．{−1,0,1}C．{−2,−1,1,2}D．{−2,−1,0,1,2}【答案】D【分析】根据A={−1,0,1}求解B={a+b|a∈A,b∈A}即可【详解】由题，当a∈A,b∈A时a+b最小为(−1)+(−1)=−2，最大为1+1=2，且可得(−1)+0=−1,0+0=0,0+1=1，故集合B={−2,−1,0,1,2}故选：D6．若集合A={1,m2}，集合B={2,4}，若A∪B={1,2,4}，则实数m的取值集合为（）A．{−√2,√2}B．{2,√2}C．{−2,2}D．{−2,2,−√2,√2}【答案】D【分析】由题中条件可得m2=2或m2=4，解方程即可.【详解】因为A={1,m2}，B={2,4}，A∪B={1,2,4}，所以m2=2或m2=4，解得m=±√2或m=±2，所以实数m的取值集合为{−2,2,−√2,√2}.故选：D.二、多选题7．下列结论不正确的是（）A．1∈N B．√2∈Q C．0∈N∗D．−3∈Z【答案】BC【分析】根据N、Q、N∗、Z表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断.【详解】由N表示自然数集，知1∈N，故A正确；由√2为无理数且Q表示有理数集，知√2∉Q，故B错；由N∗表示正整数集，知0∉N∗，故C错；由Z表示整数集，知−3∈Z，故D正确.故选：BC.8．已知集合A={y|y=x2+1}，集合B={x|x>2}，下列关系正确的是（）A．B⊆A B．A⊆B C．0∉A D．1∈A【答案】ACD【解析】求出集合A，利用元素与集合、集合与集合的包含关系可得出结论.【详解】∵A={y|y=x2+1}={y|y≥1}，B={x|x>2}，所以，B⊆A，0∉A，1∈A.故选：ACD.三、填空题9．在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]= {5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4；给出下列四个结论:①2015∈[0]；①−3∈[3]；①Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；①“整数a,b属于同一‘类’”的充要条件是“a−b∈[0]”.其中，正确结论的个数．．是_______.【答案】3【分析】根据2015被5除的余数为0，可判断①；将−3=−5+2，可判断①；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断①；令a=5n1+m1，b=5n2+m2，根据“类”的定理可证明①的真假.【详解】①由2015÷5=403，所以2015∈[0]，故①正确；①由−3=5×(−1)+2，所以−3∉[3]，故①错误；①整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，故①正确；①假设a=5n1+m1，b=5n2+m2，a−b=5(n1−n2)+m1−m2，a，b要是同类.则m1=m2，即m1−m2=0，所以a−b∈[0]，反之若a−b∈[0]，即m1−m2=0，所以m1=m2，则a，b是同类，①正确；故答案为：3【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理，属中档题.10．已知集合A={12,a2+4a,a−2}，且−3∈A，则a=_________．【答案】-3【分析】由集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，得a2+4a=−3或a−2=−3，由此能求出结果．【详解】解：∵集合A={12，a2+4a，a−2}，且−3∈A，∴a2+4a=−3或a−2=−3，解得a=−1，或a=−3，当a=−1时，A={12，−3，−3}，不合题意，当a=−3时，A={12，−3，−5}，符合题意．综上，a=−3．故答案为：−3.11．用∈或∉填空：0________N【答案】∈【解析】可知0是自然数，即可得出.【详解】∵0是自然数，∴0∈N.故答案为：∈.12．集合{2a,a2−a}中实数a的取值范围是________【答案】{a|a≠0且a≠3}【分析】由2a≠a2−a得结论．【详解】由题意2a≠a2−a，a≠0且a≠3，故答案为{a|a≠0且a≠3}.【点睛】本题考查集合中元素的性质：互异性，属于基础题．四、解答题13．已知集合A={x|x=m+√6n,其中m,n∈Q}．(1)试分别判断x1=−√6，x2=√2−√3√2+√3与集合A的关系；(2)若x1，x2∈A，则x1x2是否一定为集合A的元素？请说明你的理由．14．试分别用描述法和列举法表示下列集合：（1）方程x2−2=0的所有实数根组成的集合A；（2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B.{11,12,13,14,15,16,17,18,19}.【解析】（1）用描述法表示集合A，再解方程求出对应根，用列举法表示即可；（2）用描述法表示集合B，再列举出大于10且小于20的所有整数，用列举法表示集合B即可.【详解】（1）设x∈A，则x是一个实数，且x2−2=0.因此，用描述法表示为A={x∈R|x2−2=0}.方程x2−2=0有两个实数根√2，−√2，因此，用列举法表示为A={√2,−√2}.（2）设x∈B，则x是一个整数，即x∈Z，且10<x<20.因此，用描述法表示为B={x∈Z|10<x<20}.大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.【点睛】本题主要考查了用描述法以及列举法表示集合，属于基础题.15．已知集合A={x∈R|ax2−3x+1=0,a∈R}．(1)若1∈A，求实数a的值；(2)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值；(3)若集合A中仅含有两个元素，求实数a的取值范围．【答案】(1)a=2(2)a=0或a=94,a≠0}(3){a|a<94【分析】（1）将x=1代入方程求解即可；（2）分a=0、a≠0两种情况求解即可；（3）由条件可得a≠0，且Δ=(−3)2−4a>0，解出即可.（1）①1∈A，①a×12−3×1+1=0，①a=2；（2）当a=0时，x=13，符合题意；当a≠0时，Δ=(−3)2−4a=0，①a=94．综上，a=0或a=94；（3）集合A中含有两个元素，即关于x的方程ax2−3x+1=0有两个不相等的实数解，①a≠0，且Δ=(−3)2−4a>0，解得a<94且a≠0，①实数a的取值范围为{a|a<94,a≠0}．16．用列举法表示下列集合(1)11以内非负偶数的集合；(2)方程(x+1)(x2−4)=0的所有实数根组成的集合；(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合．【答案】(1){0,2，4，6，8，10}；(2){−2，−1，2}(3){(1，2)}【分析】（1）根据偶数的定义即可列举所有的偶数，（2）求出方程的根，即可写出集合，（3）联立方程求交点，进而可求集合.（1）11以内的非负偶数有0,2,4,6,8,10，所以构成的集合为{0,2,4,6,8,10}，（2）(x+1)(x2−4)=0的根为x1=−1,x2=2,x3=−2，所以所有实数根组成的集合为{−2,−1,2}，（3）联立y=x+1和y=2x，解得{x=1y=2，所以两个函数图象的交点为(1,2)，构成的集合为{(1,2)}。
高一数学1.1集合的概念练习
1.1集合的概念练习学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}212,4,2A a a a =+-，3A -∈，则=a （ ）A ．1-B ．3-或1C ．3D ．3-2．已知集合{}(,),,2M x y x y N x y *=∈+≤，则M 中元素的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．03．下列能构成集合的是（ ）A ．中央电视台著名节目主持人B ．我市跑得快的汽车C ．上海市所有的中学生D ．数学必修第一册课本中所有的难题4．设集合{}21,25A a a =--+，若4∈A ，则a ＝（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．35．下列各组集合表示同一集合的是（ ）A ．{}{}(3,2),(2,3)M N ==B ．{}{}(,)1,1M x y x y N y x y =+==+=C ．{}4,5M =，{}5,4N =D ．{}{}1,2,(1,2)M N ==二、多选题6．下列结论不正确的是（ ）A ．1N ∈B QC ．*0N ∈D ．3Z -∈ 7．已知集合{2M =-，2334x x +-，24}x x +-，若2M ∈，则满足条件的实数x 可能为（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．1三、填空题8．已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求实数a 的值_______9．集合{}2320,M x ax x a =--=∈R 中只有一个元素，则实数a 的值是___________．10．若集合{}220x ax x ++=有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为______________．11．已知集合32A x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣，用列举法表示集合A ，则A =__________.四、解答题12．已知集合{}2320A x x x =-+=，集合()(){}222150B x x a x a =+++-=. （1）若{}2A B ⋂=，求实数a 的值.（2）若A B A ⋃=，求实数a 的取值范围.（3）若U =R ，A B A =，求实数a 的取值范围.13．已知全集{}4U x x =≤，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，求（1）()U A B（2）()U A B .参考答案：1．D【分析】依题意可得234a a -=+或32a -=-，分别求出a 的值，再代入检验是否满足集合元素的互异性，即可得解.【详解】∈3A -∈，∈234a a -=+或32a -=-．若234a a -=+，解得1a =-或3a =-．当1a =-时，2423a a a +=-=-，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当3a =-时，集合{}12,3,5A =--，满足题意，故3a =-成立．若32a -=-，解得1a =-，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，3a =-．故选：D ．2．A【分析】由列举法表示M 即可求解【详解】集合{}(,),,2{(1,1)}M x y x y N x y *=∈+≤=∣， M 中只有1个元素.故选：A3．C【分析】根据集合的定义可直接确定结果. 【详解】构成集合的元素具有确定性，选项ABD 中没有明确标准，不符合集合定义，选项C 正确.故选：C.4．C【分析】由4∈A ，可得2254a a -+=，解方程即可得到答案.【详解】因为4∈A ，所以2254a a -+=，解得1a =.故选：C5．C【分析】根据集合的表示法一一判断即可；【详解】解：对于A ：集合{}(3,2)M =表示含有点()3,2的集合，{}(2,3)N =表示含有点()2,3的集合，显然不是同一集合，故A 错误；对于B ：集合M 表示的是直线1x y +=上的点组成的集合，集合N R =为数集，故B 错误；对于C ：集合M 、N 均表示含有4,5两个元素组成的集合，故是同一集合，故C 正确； 对于D ：集合M 表示的是数集，集合N 为点集，故D 错误；故选：C6．BC【分析】根据N 、Q 、N *、Z 表示的数集，结合元素与集合之间的关系即可做出判断.【详解】由N 表示自然数集，知1N ∈，故A 正确；Q Q ，故B 错；由N *表示正整数集，知*0N ∉，故C 错；由Z 表示整数集，知3Z -∈，故D 正确.故选：BC.7．AC【解析】根据集合元素的互异性2M ∈必有22334x x =+-或224x x =+-，解出后根据元素的互异性进行验证即可．【详解】解：由题意得，22334x x =+-或224x x =+-，若22334x x =+-，即220x x +-=，2x ∴=-或1x =，检验：当2x =-时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去；当1x =时，242x x +-=-，与元素互异性矛盾，舍去．若224x x =+-，即260x x +-=，2x ∴=或3x =-，经验证2x =或3x =-为满足条件的实数x ．故选：AC ．【点睛】本题主要考查集合中元素的互异性，属于基础题．8．32-## 1.5- 【分析】根据题意，可得23a +=或223+=a a ，然后根据结果进行验证即可.【详解】由题可知：集合{}22,2A a a a =++，3A ∈所以23a +=或223+=a a ，则1a =或32a =-当1a =时，222a a a +=+，不符合集合元素的互异性， 当32a =-时，1,32⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A ，符合题意 所以32a =-， 故答案为：32- 9．0或98- 【分析】根据a 的取值分类讨论可得．【详解】0a =时，2{|320}{}3M x x =--==-，满足题意； 0a ≠时，980a ∆=+=，98a =-． 综上，0a =或98-． 故答案为：0或98-． 10．10,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭##1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】分0a =、0a ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于a 的等式，进而可求得实数a 的取值.【详解】当0a =时，则有{}{}{}220202x ax x x x ++==+==-，合乎题意；当0a ≠时，由题意可得180a ∆=-=，解得18a =. 综上所述，实数a 的取值集合为10,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 故答案为：10,8⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 11．{1,1,3,5}-【分析】根据集合的描述法即可求解. 【详解】32A x Z Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣, {1,1,3,5}A ∴=-故答案为：{1,1,3,5}-12．（1）1a =-或3-；（2）(],3-∞-；（3）()()(),33,1313,1-∞-------(()1,113,---++∞.【分析】（1）将2x =代入集合B 中，解方程可求得a 的值，验算可得结果； （2）由A B A ⋃=知B A ⊆，由此得到B 所有可能的结果，由此分类讨论B 每种可能性即可得到结果；（3）由A B A =知A B =∅，分别在B =∅，1B ∈和2B ∈三种情况下确定A B =∅的解，综合可得结果. 【详解】{}()(){}{}23201201,2A x x x x x x =-+==--==（1）{}2A B =，()244150a a ∴+++-=，即2430a a ++=，解得：1a =-或3-；当1a =-时，{}{}2402,2B x x =-==-，满足{}2A B ⋂=；当3a =-时，{}{}24402B x x x =-+==，满足{}2A B ⋂=；综上所述：1a =-或3-；（2）A B A =，B A ∴⊆，B ∴可能的结果为∅，{}1，{}2，{}1,2；∈当B =∅时，()()2241450a a ∆=+--<，解得：3a <-；∈当{}1B =时，()()212150a a +++-=，解得：1=-a若1a =-{}{}2101,1B x x =-+==，不满足B A ⊆；若1a =-{}{}2101B x x =+-==--，不满足B A ⊆； ∈当{}2B =时，()()244150a a +++-=，解得：1a =-或3-；若1a =-，则{}{}2402,2B x x =-==-，不满足B A ⊆；若3a =-，则{}{}24402B x x x =-+==，满足B A ⊆；∈当{}1,2B =时，()21221125a a ⎧+=-+⎨⨯=-⎩，方程组无解； 综上所述：实数a 的取值范围为(],3-∞-； （3）A B A =，A B ∴⋂=∅；当B =∅时，由（2）知：3a <-，满足A B =∅；当1B ∈时，由（2）知：1=-±a A B =∅，则1≠-a 当2B ∈时，由（2）知：1a =-或3-；若A B =∅，则1a ≠-且3a ≠-；综上所述：实数a 的取值范围为()()(),33,1313,1-∞-------(()1,113,---++∞. 13．（1）{|2x x ≤或}34x ≤≤；（2）{|3x x <-或34}x ≤≤.【分析】根据集合交集和补集，并集的定义分别进行计算即可．【详解】（1）{|2U A x x =≤-或}34x ≤≤，{()|2U A B x x ⋃=≤或}34x ≤≤，．（2）{|33}A B x x =-< (){|3U A B x x =<-或34}x ．。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)
1.1 集合的概念1．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B 解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．设集合M=x|x 2-3x≤0}，则下列关系式正确的是（ ）A ．2⊆MB ．2∉MC ．2∈MD ．2}∈M答案：C解析：本题已知集合M ，先将相应的不等式化简，得到集合中元素满足的条件，再看元素2是否满足条件，可得到正确选项．详解：230x x -，03x ∴， 2{|30}{|03}M x x x x x ∴=-=．又023<<，2M ∴∈．故选：C ．点睛：本题考查的是集合知识，重点是判断元素与集合的关系，难点是对一元二次不等式的化简．计算量较小，属于容易题．3．已知集合{}012M =,,，则M 的子集有（ ） A ．3个B ．4个C ．7个D ．8个答案：D 解析：根据集合子集的个数计算公式求解.详解：因为集合{}012M =,,共有3个元素，所以子集个数为328=个. 故选：D.4．已知集合{}1,2A =，{}2,4B =，则集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈中元素的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：C解析：根据集合{},,M z z x y x A y B ==⋅∈∈列举求解.详解：因为集合{}1,2A =，{}2,4B =，所以集合{}2,4,8M =，故选：C5．设全集为U ，定义集合M 与N 的运算：{()*|M N x x M N =∈⋃且()}x M N ∉⋂，则()**N N M = A ．MB ．NC ．U MN D ．U N M答案：A 解析：先由题意得出*N M 表示区域，再由题中的定义，即可得出()**N N M 表示的区域，从而可得出结果.详解：如图所示，由定义可知*N M 为图中的阴影区域，()**N N M ∴为图中阴影Ⅰ和空白的区域，即()**N N M M =.故选A.点睛：本题主要考查集合的交集与并集的应用，熟记概念即可，属于常考题型.6．对于集合{}22,,M a a x y x y ==-∈∈Z Z ，给出如下三个结论：①如果{}21,P b b n n ==+∈Z ，那么P M ⊆；②如果42,c n n =+∈Z ，那么c M ∉；③如果1a M ∈，2a M ∈，那么12a a M ∈.其中正确结论的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：①根据2221(1)n n n +=+-，得出21n M +∈，即P M ⊆；②根据42c n =+，证明42n M ，即c M ∉；③根据1a M ∈，2a M ∈，证明12a a M ∈．详解：解：集合22{|M a a x y ==-，x ∈Z ，}y Z ∈，对于①，21b n =+，n Z ∈，则恒有2221(1)n n n +=+-，21n M ∴+∈，即{|21P b b n ==+，}n Z ∈，则P M ⊆，①正确；对于②，42c n =+，n Z ∈， 若42n M ，则存在x ，y Z ∈使得2242x y n， 42()()n x y x y ∴+=+-， 又x y +和x y -同奇或同偶，若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，42n M ∴+∉，即c M ∉，②正确；对于③，1a M ∈，2a M ∈，可设22111a x y =-，22222a x y =-，i x 、i y Z ∈；则2222121122()()a a x y x y =--222212121221()()()()x x y y x y x y =+--2212121221()()x x y y x y x y M =+-+∈那么12a a M ∈，③正确．综上，正确的命题是①②③．故选D ．点睛：本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题．7．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>，则集合T 中元素的个数为A ．9B ．10C ．11D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可.详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a ==∈>， 则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 则集合T 中元素的个数为11，故选C.点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．下列关系中正确的个数是（ ）①12Q ∈ R ③*0N ∈ ④π∈ZA ．1B ．2C ．3D ．4答案：A解析：根据集合的概念、数集的表示判断．详解：120不是正整数，π是无理数，当然不是整数．只有①正确． 故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系，掌握常用数集的表示是解题关键．10．已知集合{}1,2,3M =，(){},,,N x y x M y M x y M =∈∈+∈，则集合N 中的元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．9答案：B解析：由,,x M y M x y M ∈∈+∈即可求解满足题意的点(),x y 的坐标.详解：解：由题意，满足条件的平面内以(),x y 为坐标的点集合()()(){}1,1,1,2,2,1N =，所以集合N 的元素个数为3.故选：B.11．设集合{}12|M x x =<<，{}|3N x x =<，则集合M 和集合N 的关系是（ ）A ．N M ∈B ．M N ∈C ．M N ⊆D ．N M ⊆答案：C解析：由子集的概念进行判断结合选项得出答案．详解：集合{}12|M x x =<<中的每一个元素都是集合{}|3N x x =<中的元素，∴集合M 是集合N 的子集 故选：C12．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算，当m 、n 都为正偶数或正奇数时，m n m n ∆=+；当m 、n 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m n mn ∆=.则在上述定义下，(){}**,36,,M x y x y x y =∆=∈∈N N ，集合M 中元素的个数为（ ） A ．40B ．48C ．39D ．41答案：D 解析：分x 、y 都为正偶数或正奇数和x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数，两种情况，根据运算列举求解.详解：当x 、y 都为正偶数或正奇数时，36x y x y ∆=+=，集合M 中的元素有()()()()()()1,35,2,34,3,33,4,32,...,34,2,35,1，共35个；当x 、y 中一个为正奇数，另一个为正偶数时，36x y x y ∆=⋅=，，集合M 中的元素有()()()()()()1,36,3,12,4,9,9,4,36,1,12,3共6个，所以集合M 中元素的个数为35641+=，故选：D点睛：本题主要考查集合的概念和表示方法，属于基础题.13．已知元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}，则a 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：由题意，根据集合中元素与集合的关系，即可求解，得到答案.详解：由题意，元素a∈0，1，2，3}，且a ∉1，2，3}， ∴a 的值为0．故选A ．点睛：本题主要考查了集合中元素与集合的关系的应用，其中解答中牢记集合的元素与集合的关系，合理应用是解答本题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.14．已知集合1{|,Z}24k M x x k ==+∈,*1{|,N }42k N x x k ==+∈,若0x M ∈,则0x 与N 的关系是（ ）A ．0x N ∈或0x N ∉B ．0x N ∈C ．0x N ∉D ．不能确定答案：A解析：用列举法表示集合,M N ,最后可以选出正确答案.详解：131357{|,Z},,,,,2444444k M x x k ⎧⎫==+∈=--⎨⎬⎩⎭, *1353{|,N },1,,,42442k N x x k ⎧⎫==+∈=⎨⎬⎩⎭,当01,4x M =-∈但0x N ∉, 当03,4x M =∈有0x N ∈.故选：A点睛：本题考查了列举法表示集合,考查了元素与集合的关系,属于基础题.15．已知,,a b c 均为非零实数，集合{|}a b ab A x x a b ab ==++，则集合A 的元素的个数为． A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：当0a >，0b >时，1113a b ab x a b ab =++=++=；当0a >，0b <时，1111ab ab x a b ab =++=--=-，当0a <，0b >时，1111a b ab x a b ab=++=-+-=-，；当0,0a b <<时，1111ab ab x a b ab =++=--+=-，故x 的所有值组成的集合为{}1,3-，故选A. 16．若集合A ＝x|kx 2＋4x ＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k 的值为( )A ．1B ．0C ．0或1D ．以上答案都不对答案：C解析：当k ＝0时，A ＝－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k ＝0，k ＝1.故k ＝0或k ＝1.选C.17．集合M ＝(x ，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是( )A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、四象限内的点集答案：D详解：根据描述法表示集合的特点，可知集合表示的是横、纵坐标异号的点的集合，这些点在第二、四象限内.选D.点睛：集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．其中描述法要注意代表元素，是点集还是数集18．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为 A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算19．设由“我和我的祖国”中的所有汉字组成集合A ，则A 中的元素个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：列举出集合A 中的元素，由此可得出结论.详解：由题意可知，集合A 中的元素分别为：我、和、的、祖、国，共5个元素. 故选：B.20．已知集合{}21,A a =，实数a 不能取的值的集合是（ ） A ．{}1,1-B ．{}1-C ．{}1,0,1-D ．{}1答案：A 解析：根据元素的互异性可得出关于实数a 的不等式，由此可求得结果. 详解：由已知条件可得21≠a ，解得1a ≠±.故选：A.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(158)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列各对象可以组成集合的是（ ） A ．与1非常接近的全体实数B ．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C ．高一年级视力比较好的同学D ．与无理数π相差很小的全体实数 答案：B解析：根据集合定义与性质一一判断即可. 详解：A 中对象不确定，故错；B 中对象可以组成集合；C 中视力比较好的对象不确定，故错；D 中相差很小的对象不确定，故错. 故选：B2．若用列举法表示集合27(,)2y x A x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{1,3}x y =-= B ．{(-1,3)} C ．{3,-1} D ．{-1,3}答案：B解析：由题意知，集合A 代表点集，解方程组即可求解. 详解：由272y x x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =-⎧⎨=⎩， 用列举法表示为：{(-1,3)}， 故选：B.3．已知集合{1}A x Nx k =∈<<∣，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．3k > B ．3k ≥ C ．4k > D ．4k ≥答案：C解析：由集合A 中至少有3个元素，即可得到k 的取值范围. 详解：解：{1}A x Nx k =∈<<∣且集合A 中至少有3个元素，4k ∴>.故选：C.4．设数集31{|},{|}43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，且M 、N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M∩N 的“长度”的最小值是 A ．13B ．23C ．112D ．512答案：C 详解：试题分析：根据题意，M 的长度为34，N 的长度为13，当集合M∩N 的长度的最小值时， M 与N 应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N 的长度的最小值是31114312+-=，故选C ． 考点：新定义；集合运算5．已知集合{|21,}A x x m m ==-∈Z ，{|2,}B x x n n ==∈Z ，且123,,x x A x B ∈∈，则下列判断不正确的是（ ） A ．12x x A ⋅∈ B ．23x x B ⋅∈ C ．12x x B +∈ D ．123x x x A ++∈答案：D解析：集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集，所以12,x x 是奇数，3x 是偶数，奇数加奇数为偶数可判断D 选项错误. 详解：集合A 表示奇数集，集合B 表示偶数集， ∴12,x x 是奇数，3x 是偶数，∴12x x ⋅为奇数，23x x ⋅为偶数，12x x +为偶数，123x x x ++为偶数. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合的关系，解题的关键是充分运用奇数、偶数相加或相乘的性质，属于基础题.6．已知集合(){}21220A x R a x x =∈+-+=,且A 中只有一个元素,则实数a 的值为A ．12- B ．0或12C ．1-D ．1-或12-答案：D解析：由条件可得方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，对二次项系数是否为0，结合根的判别式，即可求解. 详解：A 中只有一个元素，所以方程()21220a x x +-+=只有一个实数解，当10,1a a +==-时，方程为220,1x x -+==，满足题意； 当10,1a a +≠≠-时，148(1)840,2a a a ∆=-+=--==-， 所以1a =-或12a =-. 故选:D. 点睛：本题考查集合的表示，以及对集合元素的理解，属于基础题. 7．下列关系正确的是( ) A ．3∈y|y＝x 2＋π，x∈R} B ．(a ，b)}＝(b ，a)} C ．(x ，y)|x 2－y 2＝1}(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1} D ．x∈R|x 2－2＝0}＝答案：C解析：试题分析：2{y |y x x R}{y |y }ππ∈≥＝＋，＝， ∵3＜π，∴23{y |y x π∉＝＋｝. (a ，b)}与(b ，a)}中元素不相同， ∴(a，b)}与(b ，a)}不一定相等.(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1}＝(x ，y)|x 2－y 2＝1或x 2－y 2＝－1}， ∴C 是正确的.x∈R|x 2－2＝0}＝2，－2}≠.考点：元素与集合、集合与集合的关系 点评：此类问题要先确定集合，再进行判断． 8．集合3，x ，x 2–2x}中，x 应满足的条件是（ ） A ．x≠–1B ．x≠0C ．x≠–1且x≠0且x≠3D ．x≠–1或x≠0或x≠3答案：C解析：利用集合元素的互异性求解. 详解：集合3，x ，x 2–2x}中，x 2–2x≠3，且x 2–2x≠x，且x≠3， 解得x≠3且x≠–1且x≠0， 故选：C ．9．下列关系中*102Q R N Z π∈∈∈①，③④，正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：根据元素与集合的关系进行判断. 详解：解：对于①：12是一个有理数，Q 是有理数集，12Q ∴∈；故①正确．R 是实数集；R ；故②正确．对③：0是一个自然数，但不是正整数，*N 是正整数集，*0N ∴∉；故③错误． 对于④：π是实数但不是整数，Z 是整数集，Z π∴∉； 故④错误； 故正确的有2个 故选：B ． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，属于基础题 10．下列四个集合中，不同于另外三个的是（ ） A ．{}2y y = B ．{}2x = C ．{}2D ．{}2440x x x -+=答案：B解析：选项A ，C ，D 中元素都是实数2，而选项B 中元素为等式2x =，即可得到答案. 详解：对选项A ，{}{}22y y ==，元素为实数2； 对选项B ，{}2x =，元素为等式2x =； 对选项C ，{}2，元素为实数2；对选项D ，{}{}24402x x x -+==，元素为实数2.故选：B 点睛：本题主要考查集合的概念，属于简单题. 二、填空题1．已知集合A=1，2，3，4，5，6，7}，则集合{|,,,}2x B x x a b a A b A N +==⨯∈∈∈中元素的个数为_____．答案：15解析：试题分析：B 表示任取的两个元素a ，b （a ，b 可以相同）之积为偶数的集合，又1×6=2×3，3×4=2×6，1×4=2×2，所以集合B 的元素的个数为11124333315C C C C ++-=．故答案是：15．考点： 元素与集合关系的判断．2．已知集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，则a 的值为 ．答案：0或1 详解：因为集合{}2|210,A x ax x x R =++=∈的子集只有两个，所以中只有一个元素，0a =合题意， 4401a a ∆=-=⇒=，所以．3．2{|420}A x ax x =-+=至多有一个元素，则a 的取值范围是___________.答案：{|2a a 或0}a =解析：由集合A 为方程的解集，根据集合A 中至多有一个元素，转化为方程至多有一个解求解. 详解：当0a =时，方程2420ax x -+=，即为12x =，1{}2A =，符合题意； 当0a ≠时，因为2420ax x -+=至多有一个解， 所以△1680a =-， 解得2a ，综上，a 的取值范围为：2a 或0a =. 故答案为：{|2a a 或0}a =. 点睛：本题主要考查集合元素的个数以及方程的解，还考查了分类讨论思想，属于基础题. 4．用描述法表示被4除余3的正整数集合：______．答案：x|x ＝4n+3，n∈N}解析：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 详解：设该数为x ，则该数x 满足x ＝4n+3，n∈N； ∴所求的正整数集合为x|x ＝4n+3，n∈N}． 故答案为：x|x ＝4n+3，n∈N}． 点睛：本题主要考查集合的表示方法，属于基础题.5．数集{}22,a a a -中a 的取值范围是___________()a ∈R .答案：(,0)(0,3)(3,)-∞⋃⋃+∞解析：由集合的互异性可得22a a a ≠-,计算可得a 不能取得的取值,再表示出a 的取值范围即可. 详解：由集合的互异性可知,22(3)0a a a a a ≠-⇒-≠,所以0a ≠且3a ≠, 故(,0)(0,3)(3,)a ∈-∞⋃⋃+∞. 故答案为：(,0)(0,3)(3,)-∞⋃⋃+∞. 点睛：本题主要考查集合中元素的互异性,最后的答案可以写成集合或者区间的形式. 三、解答题1．已知集合A ＝x∈R|ax 2＋2x ＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A 中的一个元素，请用列举法表示集合A.答案：1,13A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭解析：把1代入方程求得a ，然后再解方程得解集． 详解：∵1是集合A 中的一个元素，∴1是关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0的一个根，∴a×12＋2×1＋1＝0，即a ＝－3.方程即为－3x 2＋2x ＋1＝0，解这个方程，得x 1＝1，x 2＝－13，∴集合A ＝－13，1}.故答案为：1,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查集合的概念，属于简单题． 2．已知3,⎛⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,求实数,a b 的值.答案：1,14a b ==解析：把3,⎛ ⎝⎭和代入方程221ax by -=列出方程组，即可求出实数,a b 的值. 详解：由题：3,⎛ ⎝⎭和都是集合{}22(,)|1A x y ax by =-=中的元素,所以3,⎛ ⎝⎭和满足方程221ax by -=， 59141631a b a b ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩，解得：141a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以1,14a b ==. 点睛：此题考查根据集合中的元素求参数的值，关键在于准确代值列出方程组，解方程组即可得解. 3．已知集合{|37},{|210}A x x B x x =≤<=<<，求()()R R ()(),,R R A B A B A B A B ⋃⋂⋂⋃，.答案：(){|2R A B x x ⋃=≤或10},(){|3R x A B x x ⋂=<或7}x ，(){|23R A B x x ⋂=<<或710}x <，(){|2R A B x x ⋃=或37x <或10}x解析：直接根据交集，并集和补集的运算法则得到答案. 详解：{|210},{|37}A B x x A B x x ⋃=<<⋂=≤<，{|3RA x x =<或 7}x ≥，{|2RB x x =≤或10}x ≥，(){|2R A B x x ∴⋃=≤或10},(){|3R x A B x x ≥⋂=<或7}x ≥，(){|23R A B x x ⋂=<<或710}x ≤<，(){|2R A B x x ⋃=≤或37x ≤<或10}x ≥.点睛：本题考查了交并补的混合运算，意在考查学生的计算能力. 4．设P 表示平面内的动点，属于下列集合的点组成什么图形？ (1){|}P PA PB =(A,B 是两个不同定点)； (2){|3}P PO cm =(O 是定点)答案：(1)线段AB 的垂直平分线；(2)以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆. 解析：(1)PA PB =指平面内到,A B 距离相等的点的集合； (2)3PO cm =指平面内到定点O 的距离为3cm 的点的集合． 详解：(1) PA PB =指平面内到,A B 距离相等的点的集合，这样的点在线段AB 的垂直平分线上，即集合的点组成的图形是线段AB 的垂直平分线；(2) 3PO cm =指平面内到定点O 的距离为3cm 的点的集合，这样的点在以O 为圆心，以3cm 为半径的圆上，即集合的点组成的图形是以点O 为圆心,3cm 长为半径的圆． 点睛：本题考查描述法表示集合，是基础题． 5．用区间表示下列的集合{|12}x x -<≤ 1{|}6x x -≤<- {|7}x x < {}|3x x ≥ {} 5|2x x ≤≤答案：(12]-，；[61)-，；(7)-∞，；[3)+∞，；[2]5， 解析：由集合的意义及区间的定义直接写出每个集合的区间表达形式. 详解：{|12}x x -<≤的区间表达为(12]-，; 1{|}6x x -≤<-的区间表达为[61)-，; {|7}x x <的区间表达为(7)-∞，; {}|3x x ≥的区间表达为[3)+∞， ; {} 5|2x x ≤≤的区间表达为[2]5，. 点睛：本题考查集合与区间的转换，属于基础题.。
1.1.1 集合的概念与表示(北师大版2019必修第一册)分册训练解析版
1.1.1集合的概念与表示分层练习基础巩固一、单选题1．已知M 是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M 可表示为（ ） A ．{x |x =1} B ．{x |x =2} C ．{1，2} D ．{1，2，3}【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的知识确定正确选项. 【详解】由于集合M 是由1,2,3三个元素构成， 所以{}1,2,3M =. 故选：D2．下面给出的四类对象中，构成集合的是（ ） A ．某班视力较好的同学 B ．长寿的人 C ．π的近似值D ．倒数等于它本身的数【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的定义分析判断即可. 【详解】对于A ，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于B ，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合； 对于C ，π 的近似值没有明确近似到小数点后面几位， 不是明确的定义，故不能构成集合；对于D ，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合； 故选：D.3．已知集合{}0,1A =，则集合{},B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据,x A x B ∈∈，所以x y -可取1,0,1-，即可得解. 【详解】由集合{}0,1A =，{},B x y x A y A =-∈∈， 根据,x A y B ∈∈， 所以1,0,1x y -=-， 所以B 中元素的个数是3. 故选：C4．已知集合()(){}110A x x x x =-+=，则A =（ ） A ． {}0,1 B ． {}1,0-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1-【答案】D 【解析】 【分析】通过解方程进行求解即可. 【详解】因为(1)(1)00x x x x -+=⇒=，或1x =-，或1x =， 所以{}1,0,1A =-， 故选：D5．给出下列四个关系：π∈R ， 0∉Q ，0.7∈N ， 0∈∅，其中正确的关系个数为（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】D 【解析】 【分析】根据自然数集、有理数集、空集的含义判断数与集合的关系. 【详解】∵R 表示实数集，Q 表示有理数集，N 表示自然数集，∅表示空集， ∴π∈R ，0∈Q ，0.7∉N ，0∉∅， ∴正确的个数为1 . 故选:D .6．已知{1}A x x m =∈-<Z ∣，若集合A 中恰好有5个元素，则实数m 的取值范围为（ ）A ．4<m ≤5B ．4≤m<5C ．3≤m<4D ．3<m ≤4【答案】D 【解析】 【分析】由已知求出集合A ，进一步得到m 的范围. 【详解】由题意可知{}1,0,1,2,3A =-，可得3<m ≤4. 故选：D 二、多选题7．给出下列说法，其中正确的有（ ） A ．中国的所有直辖市可以构成一个集合；B ．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C ．正偶数的全体可以构成一个集合；D ．大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据集合的确定性依次判断每个选项得到答案. 【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A 正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B 错误； 正偶数的全体可以构成一个集合，C 正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D 错误. 故选：AC.8．已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值可能是（ ）A ．98B ．1C ．0D ．23【答案】AC 【解析】 【分析】对a 进行分类讨论，结合A 有且只有一个元素求得a 的值. 【详解】当0a =时，{}2|3203A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意.当0a ≠时，9980,8a a ∆=-==，符合题意.故选：AC 三、填空题9．用符号∈或∉填空：3.1___N ，3.1___Z ， 3.1____*N ，3.1____Q ，3.1___R . 【答案】 ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 【解析】 【分析】由元素与集合的关系求解即可 【详解】因为3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数， 所以有：3.1N ∉；3.1Z ∉；*3.1N ∉；3.1Q ∈；3.1R ∈. 故答案为：∉，∉，∉，∈，∈.10．设集合{}1A x xy xy =-，，，其中x ∈Z ，y Z ∈且0y ≠，若0A ∈，则A 中的元素之和为_____. 【答案】0 【解析】 【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解. 【详解】因为0A ∈，所以若0x =，则集合{}0,0,1A =-不成立．所以0x ≠． 若因为0y ≠，所以0xy ≠，所以必有0xy -1=，所以1xy =． 因为x ∈Z ，y Z ∈，所以1x y ==或1x y ==-． 若1x y ==，此时{}1,1,0A =不成立，舍去．若1x y ==-，则{}1,1,0A =-，成立．所以元素之和为1100-+=． 故答案为：0. 四、解答题11．设集合{}22,3,42A a a =++，集合{}20,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且7A ∈，求集合B ． 【答案】B ＝{0，7，3，1}． 【解析】 【分析】解方程2427a a ++=即得解. 【详解】解：由题得2427a a ++=， 解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．12．判断下列各组对象能否构成集合．若能构成集合，指出是有限集还是无限集；若不能构成集合，试说明理由． (1)北京各区县的名称； (2)尾数是5的自然数；(3)我们班身高大于1.7m 的同学． 【答案】(1)能；有限集； (2)能；无限集； (3)能；有限集. 【解析】 【分析】根据集合的基本概念即得. (1)因为北京各区县的名称是确定的，故北京各区县的名称能构成集合；因为北京各区县是有限的，故该集合为有限集； (2)因为尾数是5的自然数是确定的，故尾数是5的自然数能构成集合；因为尾数是5的自然数是无限的，故该集合为无限集； (3)因为我们班身高大于1.7m 的同学是确定的，故我们班身高大于1.7m 的同学能构成集合；因为我们班身高大于1.7m 的同学是有限的，故该集合为有限集.培优提升一、单选题1．定义集合,A B 的一种运算：2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，若{}1,0A =-，{}1,2B =，则A B ⊗中的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素. 【详解】因为2{|,,}A B x x a b a A b B ⊗==-∈∈，{}1,0A =-，{}1,2B =， 所以{0,1,2}A B ⊗=--， 故集合A B ⊗中的元素个数为3， 故选：C.2．若{}22,a a a ∈-，则a 的值为（ ）A ．0B ．2C ．0或2D ．2-【答案】A 【解析】 【分析】分别令2a =和2a a a =-，根据集合中元素的互异性可确定结果. 【详解】若2a =，则22a a -=，不符合集合元素的互异性；若2a a a =-，则0a =或2a =（舍），此时{}{}22,2,0a a -=，符合题意；综上所述：0a =. 故选：A.3．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式||||||||x y z xyz x y z xyz +++的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是（ ） A ．4∈M B ．2M ∈ C ．0M ∉ D ．4M -∉【答案】A 【解析】【分析】分别对x ，y ，z 的符号进行讨论，计算出集合M 的所有元素，再进行判断. 【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、x y 、、z 全部为负数时，则xyz 也为负数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=-； ②、x y 、、z 中有一个为负数时，则xyz 为负数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ③、x y 、、z 中有两个为负数时，则xyz 为正数，则0||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； ④、x y 、、z 全部为正数时，则xyz 也正数，则4||||||||x y z xyz x y z xyz +++=； 则{4,0,4}M =-；分析选项可得A 符合． 故选：A. 二、填空题4．集合12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，的元素个数为_________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据集合得表示可知：3x + 是12的因数，即可求解. 【详解】由12ZZ 3A x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭∣，可知，3x + 是12的因数，故31,2,3,4,6,12x +=±±±±±± ，进而可得x 可取0,1,3,9,1,2,4,5,6,7,9,15--------，故答案为：125．若集合{}2210A xax x =-+=∣有且只有一个元素，则a 的取值集合为__________． 【答案】{}0,1##{}1,0 【解析】 【分析】讨论集合A 中的条件2210ax x -+=属于一次方程还是二次方程即可求解. 【详解】①若0a =，则210x -+=，解得12x =，满足集合A 中只有一个元素，所以0a =符合题意；②若0a =/，则2210ax x -+=为二次方程，集合A 有且只有一个元素等价于2=(2)410a --⨯⨯=∆，解得1a =.故答案为：{}0,1. 三、解答题6．已知{}2|20,R M x ax x x =-+=∈．根据下列条件，求实数a 的值构成的集合．(1)当M =∅；(2)当M 是单元素集（只含有一个元素的集合）； (3)当M 是两个元素的集合. 【答案】(1)1,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)1,08⎧⎫⎨⎬⎩⎭(3)1,08a a a ⎧⎫<≠⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由判别式小于0可得（方程为一元二次方程）； （2）由二次项系数为0或一元二次方程的判别式为0柯得； （3）由方程为一元二次方程，且判别式大于0可得． (1)M =∅，180a ∆=-<，18a >，所以a 的范围是1(,)8+∞；(2)0a =时，{2}M =，满足题意，180a ∆=-=，18a =，此时{4}M =，满足题意，(3)由题意方程有两个不等实根，0a ≠且0∆>，解得18a <且0a ≠，所以a 的范围是1{|8a a <，0}a ≠．拓展创新1．已知集合2{,}A m m =，若1A ∈，则实数m 的值是__________ 【答案】1-【解析】 【分析】由1A ∈，分1m =，21m =两种情况讨论，结合集合中元素的互异性分析，即得解 【详解】 由题意，1A ∈（1）若1m =，则{1,1}A =，和集合中元素的互异性矛盾，不成立； （2）若21m =，则1m =±，由（1）1m ≠ 若1m =-，则{1,1}A =-，1A ∈，成立 故实数m 的值是1- 故答案为：1- 2．已知*k N ∈，记集合{1101100112222,1,,,,01}k k k k k k k A x x a a a a a a a a ---==⨯+⨯++⨯+⨯==或，例如{{}110102,1,01}2,3A x x a a a a ==+===或，…．现有一款名称为“解数学题获取软件激活码”网络游戏，它的激活码为集合A 2的各元素之和，则该游戏的激活码为________． 【答案】22 【解析】 【分析】由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1，由此求得集合{}24,5,6,7A =，故而可得答案. 【详解】解：由已知得{22102104+2+,1,,0A x x a a a a a a ====或}1， 所以当100a a ==时，41+0+04x =⨯=； 当1010a a ==，时，41+21+06x =⨯⨯=； 当1001a a ==，时，41+20+115x =⨯⨯⨯=， 当1011a a ==，时，41+21+117x =⨯⨯⨯=，所以{}24,5,6,7A =，该游戏的激活码为4+5+6+722=， 故答案为：22.3．已知集合{}0,2A =，()()(){}21110B x ax x x ax =---+=，用符号A 表示非空集合A中元素的个数，定义,,A B A BA B B A A B ⎧-≥=⎨-<⎩※，若1A B =※，则实数a 的所有可能取值构成集合P ，则P =______．（请用列举法表示） 【答案】{}0,1,2- 【解析】 【分析】由集合的新定义结合题意求出a 的值，再用列举法表示即可 【详解】∵2A =，1A B =※， ∴1B =或3B =， 当1B =时，0a =或1a =.当3B =时，()()()21110ax x x ax ---+=有3个解，所以210x ax -+=只有一个解不为1和1a， 则240a ∆=-=，解得2a =±，当2a =时，2210x x -+=，则此时1x =，不符合题意； 当2a =-时，2210x x ++=，则此时1x =-，符合题意； 所以2a =-，11,,12B ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，故{}0,1,2P =-. 故答案为：{}0,1,2-．4．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数：定义()(),()()*()(),()()C A C B C A C B A B C B C A C B C A -≥⎧=⎨->⎩，若{1,2}A =，{}22()(2)0,B x x ax x ax x R =+++=∈，且*1A B =，设实数a 的所有可能取值构成集合S ，S =__________； 【答案】{0,22,2}- 【解析】 【分析】根据新定义得出集合B 中元素个数，再由方程根的个数分析求解． 【详解】由已知()2C A =，而*1A B =，则()1C B =或3，试卷第11页，共11页 11显然22()(2)0x ax x ax +++=的一个解是0x =， 若()1C B =，则0a =，满足题意；若()3C B =，则0a ≠，方程已有两个根0x =和x a =-，220x ax ++=有两个相等的实根且不为0和a -，280a ∆=-=，22a =±22a =220x ax ++=的解为342x x ==- 22a =-220x ax ++=的解为342x x ==．均满足题意． 综上{0,2,22}S =-． 故答案为：{0,2,2}-．12 试卷第12页，共1页。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(143)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列关系正确的是（ ）A ．{}10,1∉B ．{}10,1⊆C ．{}10,1∈D ．{}{}10,1∈答案：C解析：利用元素与集合的关系逐项判断后可得正确的选项.详解：对于A ，{}10,1∈，故A 错.对于B ，{}10,1∈，故B 错.对于C ，因为1为集合中的元素，故C 正确.对于D ，{}1不是{}0,1中的元素，故D 错.故选：C.2．已知集合22{(,)|}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈4，，，则A 中元素的个数为（）A ．15B ．14C ．13D ．12答案：C解析：根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果.详解：224x y +≤24x ∴≤，x Z ∈2,1,0,1,2x ∴=--，当2x =-时，0y =；当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，2,1,0,1,2y =--当1x =时，1,0,1y =-；当2x =时，0y =；所以共有13个，故选：C.3．集合x∈N*|x–3<1}用列举法可表示为A ．0，1，2，3}B ．0，1，2，3，4}C ．1，2，3}D ．1，2，3，4}答案：C 解析：解不等式求得x 的范围，再用列举法求得对应的集合.详解：由31x -<解得4x <，由于x N *∈，所以1,2,3x =，故集合为{}1,2,3，故选C.点睛：本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查列举法表示集合，属于基础题.4．若{}212,x x ∈+，则实数x 的值为 A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或3答案：B 解析：分类讨论21x +=或21x =，求出x ，检验即可.详解：因为{}212,x x ∈+，所以21x +=或21x =，所以1x =或1x =-， 当1x =-时，22x x +=，不符合题意，所以1x =-舍去；故以1x =，选B点睛：本题主要考查元素与集合之间的关系，注意集合中元素的互异性，属于基础题型.5．下列各项中，能组成集合的是（ ）A ．高一（3）班的好学生B ．嘉兴市所有的老人C ．不等于0的实数D ．我国著名的数学家答案：C解析：根据集合中的元素具有确定性可得选项.详解：∵对于A 、B 、D 选项中“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．∴A、B 、D 选项不能构成集合．故选:C ．点睛：本题考查集合的元素的特征之一：确定性，属于基础题.6．下列写法正确的是（ ）A ．∅ {}0B ．0 ∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅答案：A解析：根据空集定义、空集为任意非空集合真子集、元素与集合关系、集合与集合之间的关系的表示方法依次判断各个选项即可得到结果.详解：空集是任意非空集合的真子集，故∅ {}0，A 正确；元素与集合关系不能用“包含”符号，B 错误；集合与集合关系不能用“属于”符号，C 错误；空集中不含有任何元素，故0∉∅，D 错误.故选：A点睛：本题考查集合中元素与集合、集合与集合之间的关系的辨析，属于基础题.7．已知集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．{0,2}D ．{2,0,2}-答案：D解析：根据集合的交集的概念及运算，即可求得A B ，得到答案.详解：由题意，集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，根据集合的交集的概念及运算，可得{2,0,2}A B =-.故选：D.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及集合交集的概念及运算，属于基础题.8．以下说法中正确的个数是①0与{}0表示同一个集合；②集合{}3,4M =与(){}3,4N =表示同一个集合； ③集合{}45x x <<不能用列举法表示．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 解析：①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，可判定不正确；②中，根据集合表示的意义，可判定是不正确的；③中，集合{}45x x <<是一个无限数集，可判定是正确的，即可求解.详解：由题意，可得①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，所以不正确；对于②中，根据集合的表示方法，可得{}3,4M =表示数集，(){}3,4N =表示点集,所以不正确； 对于③中，集合{}45x x <<是一个无限数集且无规律，不能用列举法表示，所以是正确的. 故选B.点睛：本题主要考查了集合的概念，以及集合的表示方法，其中熟记集合的概念，以及集合的表示方法是解答的关键.9．设集合{1A =，2，3，4}，{3B =，4，5，6，7}，集合{|M x x B =∈且}x A ∉，则M =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{5，6，7}D ．{3，4，5，6，7}答案：C解析：直接利用已知{|M x x B =∈且}x A ∉，依次验证元素，即可得到答案．详解：解：因为集合{|M x x B =∈且}x A ∉，所以M 中的元素在B 集合中，但是该元素不在A 集合中，因为{3B =，4，5，6，7}，依次检验元素，可得元素5，6，7满足题意，所以{5,6,7}M =．故选：C ．点睛：本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理能力，属于基础题．10．把集合{}2450x x x --=用列举法表示为（ ） A ．{}1,5x x =-= B ．{}15x x x =-=或C ．{}245=0x x --D ．{}1,5-答案：D解析：先解方程，再用列举法表示.详解：24501x x x --=∴=-或5x = 所以{}2450x x x --=={}1,5-故选：D点睛：本题考查列举法，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题1．已知非空集合{}|1A x ax ==，则a 的取值范围是____________．答案：0a ≠详解：略2．（上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模））已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是_________．答案：2解析：由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,2,m m -==则符合题意；若33,0,m m -==则不符合题意.故答案为23．方程组26x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________.答案：(){}4,2-解析：先求出方程组的解，根据列举法，可直接得出结果.详解：由26x y x y +=⎧⎨-=⎩解得42x y =⎧⎨=-⎩， 则方程组26x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为(){}4,2-. 故答案为：(){}4,2-.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.4．设集合{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．答案：3-解析：先通过已知可得219a -=或29a =，解方程求出a ，然后带入集合验证，满足互异性即可.详解：∵{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意；当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性．若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B A B =-=--=-=，∴3a =-．故答案为：3-．点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题.5．用列举法表示集合{}220,x x x x R -=∈为__________________.答案：{}0,2解析：解出集合中的方程，然后用列举法表示出来.详解： 解：{}{}220,0,2x x x x R -=∈=，故答案为{}0,2.点睛：本题考查集合的表示，列举法，是基础题.三、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）已知集合P ＝x|x ＝2n ，0≤n≤2且n∈N}；（2）抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合；（3）直线y ＝x 上去掉原点的点的集合.答案：答案见解析解析：（1）用列举法即可求得集合的元素；（2）直接用描述法表示公共点的集合；（3）用描述法即可表示.详解：（1）因为02,n n N ≤≤∈，则0,2,4x =，故用列举法表示为：P ＝0，2，4}.（2）直接用描述法表示为：()22{,|}0y x x x y y ⎧=-⎨=⎩. （3）描述法：(x ，y)|y ＝x ，x≠0}.点睛：本题考查集合的表示方法，选择适当的方法即可，属简单题.2．已知集合{|1A x x =≤-或}5x ≥，{}22B x a x a =≤≤+.（1）若1a =-，求A B 和A B ；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.答案：（1）{}21x x -≤≤-，{|1x x ≤或}5x ≥；（2）(](),32,-∞-⋃+∞.解析：（1）先求出集合B ，再求A B 和A B 得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分两种情况讨论得解.详解：（1）若1a =-，则{}21B x x =-≤≤，{}21A B x x ∴⋂=-≤≤-，{|1A B x x ⋃=≤或}5x ≥.（2）A B B =，B A ∴⊆.①若B =∅，则22a a >+，2a ∴>；②若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨≥⎩3a ∴≤-. 综上，实数a 的取值范围为(](),32,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查集合的交集、补集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知(){}2210,,A x x p x x R A R +=+++=∈⋂=∅，求实数p 的取值范围.答案：()4,-+∞详解：：因为A R +⋂=∅，所以集合A 分两种情况：（1）A 为空集，即方程()2210x p x +++=无解，()2240p ∆=+-<，解得40p -<<；（2）A 非空，即方程()2210x p x +++=有两负根，()21212402010p p x x p x x ⎧∆=+≥⎪+=-+<⎨⎪⋅=>⎩，解得042p p p ≥≥-⎧⎨>-⎩或，即0p ≥， 综上，实数p 的取值范围是()4,-+∞.4．设A 为实数集，且满足条件：若a∈A，则11a-∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：（1）见解析； （2）见解析.解析：(1) 由2∈A 得到－1∈A.由－1∈A 得到12∈A.由12∈A 得到2∈A.即得证.(2)假设a ＝11a -，则a 2－a ＋1＝0，方程无解，所以集合A 不可能是单元素集． 详解：(1)若a∈A，则11a -∈A. 又∵2∈A，∴112-＝－1∈A. ∵－1∈A，∴()111--＝12∈A.∵12∈A，∴1112-＝2∈A. ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11a -， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11a-，∴集合A 不可能是单元素集． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.5．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.答案：（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）1,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（3）（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}. 解析：（1）利用列举法求解即可；（2）先解出方程的解，然后利用列举法；（3）利用描述法即可详解：解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：21020x y +=⎧⎨-=⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 因此该方程的解集为（﹣12，2）}.（3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(99)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合2{|2}M x R x =∈，1a =，则下列关系正确的是（ ）A ．a MB ．a M ∉C ．{}a M ∈D ．{}a M2．以下六个命题中：0{0}∈；{0}⊇∅；0.3Q ∉；0N ∈；{,}{,}a b b a ⊆；{}220,xx x Z -=∈∣是空集.正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．5D ．2 3．已知集合{(2)(2)0}M x x x x =+-=∣，则M =（ ） A ．{0,2}-B ．{0,2}C ．{0,2,2}-D ．{2,2}- 4．下列集合表示正确的是A ．2，4}B ．2，4，4}C ．1，3，3}D ．漂亮女生} 5．已知集合{}1,2A =，{}1,1,1B a =-+且A B ⊆，则a =A ．1B ．0C ．1-D ．2 6．设集合A ＝（x ，y ）|x 2+y 2＝1}，B ＝（x ，y ）|x+y ＝1}，则A∩B 中元素的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．方程组31x y x y +=⎧⎨-=-⎩的解集不能表示为． A ．()3,1x y x y x y ⎧⎫+=⎧⎪⎪⎨⎨⎬-=-⎩⎪⎪⎩⎭ B ．()1,2x x y y ⎧⎫=⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭ C ．{}1,2 D ．(){},1,2x y x y ==8．下列对象能确定为一个集合的是（ ）A ．第一象限内的所有点B ．某班所有成绩较好的学生C ．高一数学课本中的所有难题D ．所有接近1的数9．给出下列关系，其中正确的个数为（ ）①0N ∈Q ⊄；③{}0=∅；④(),R =-∞+∞A ．1B ．0C ．2D ．3二、填空题1．已知集合{}2,1,0,1A =--，集合{},B y y x x A ==∈，则B =_______________.2．由||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合是________．3．给出下列关系：①12R ∈Q ；③3N *∈；④0Z ∈．其中正确的序号是______．4．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为___________.5．已知集合A=1，2，a 2-2a}，若3∈A，则实数a=______．三、解答题1．（1）已知{}221,251,1A a a a a =-+++，2A -∈，求实数a 的值； （2）已知集合{}2340A x R ax x =∈--=，若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围．2．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<．（1）若A B A =，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．3．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-．若2a =，求出A 中其他所有元素．参考答案一、单选题1．D解析：先求解集合M ，即可确定a 与M 的关系．详解：解：22x ，22x，{|22}M x R x ∴=∈， 又1a =，a M ∴∈，{}a M ．故选：D.2．C解析：根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定排除得到答案.详解：根据元素与集合间的关系可判定0{0}∈、0N ∈正确，0.3Q ∉不正确，根据集合与集合之间的关系可判定{0}⊇∅、{,}{,}a b b a ⊆、{}220,x x x Z -=∈∣是空集正确. 故选：C ．3．C解析：直接利用方程的解法化简求解.详解：因为集合{(2)(2)0}{2,0,2}M xx x x =+-==-∣， 故选：C4．A解析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，利用元素的三个特性对四个命题逐一的进行判断，能够得到答案．详解：对于选项A ，由集合的定义可知，一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，显然A 项符合定义．故A 项正确．对于B 项和C 项，根据集合中元素的互异性可知，对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的，故B 项和C 项错误．对于D 项，根据集合中元素的确定性可知，作为一个集合中的元素，必须是确定的，而D项中的元素显然不是确定的．故D项错误．点睛：本题主要考查集合的含义与表示，以及集合中元素的特性．5．A解析：由题知：12a+=，解得：1a=.详解：因为A B⊆，所以，解得：1a=.故选：A点睛：本题考查集合的子集关系，理解子集的概念是关键，属于简单题.6．C解析：可画出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1的图象，从而可看出它们交点的个数，从而得出A∩B中的元素个数．详解：画出x2+y2＝1和x+y＝1的图象如下：可看出圆x2+y2＝1和直线x+y＝1有两个交点，∴A∩B的元素个数为2.故选：C．点睛：考查了描述法的定义，交集的定义及运算，数形结合解题的方法，考查了计算能力，属于容易题．7．C解析：由方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，得到解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解．详解：由题意，方程组31x yx y+=⎧⎨-=-⎩，解得12xy=⎧⎨=⎩，其解集中只含有一个元素，根据集合的表示方法，其中A，B．D项表示都是正确的，其中选项C是表示由两个元素组成的熟记，不符合要求，所以不能表示为{}1,2．故选C．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中正确理解集合的表示方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．8．A解析：根据元素是否具备确定性逐项分析即可.详解：A ．具备集合中元素的确定性，可以构成一个集合，故正确；B．“较好”不满足集合中元素的确定性，故错误；C．“难题”不满足集合中元素的确定性，故错误；D．“接近”不满足集合中元素的确定性，故错误.故选：A.点睛：本题考查集合中元素的特征，着重考查了集合中元素的确定性，难度较易.集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性.9．C解析：根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案.详解：对于①：0为自然数，所以0N∈，故①正确；Q，故②错误；对于③：0含有元素0，不是空集，故③错误；对于④：R为实数集，所以④正确；故选：C二、填空题1．{}0,1,2解析：根据题意，由列举法，即可得出结果.详解：因为{}2,1,0,1A =--， 所以{}{},0,1,2B y y x x A ==∈=. 故答案为：{}0,1,2.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.2．{}202-，， 解析：根据a b 、的正负性分类讨论进行求解即可.详解：当0,0a b >>时，||||2a b a b a b a b +=+=； 当0,0a b ><时，||||0a b a b a b a b +=-=； 当0,0a b <>时，||||0a b a b a b a b +=-+=； 当0,0a b <<时，||||2a b a b a b a b+=--=-， 故答案为：{}202-，，3．①③④解析：根据元素与集合间的关系和特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素可得选项.详解： 对于①: 12是分数，所有的分数都是实数，故①正确；对于③：3是自然数，故③正确；对于④：0是整数，故④正确；所以①③④正确，故选①③④．点睛：本题考查特殊集合：有理数集，自然数集，整数集，实数集所含的元素和元素与集合的关系，属于基础题.4．2解析：利用集合的互异性，分类讨论即可求解详解：因为a∈1，a 2﹣2a+2}，则：a=1或a=a 2﹣2a+2，当a=1时：a 2﹣2a+2=1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；当a≠1时：a=a 2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案为：2点睛：本题考查集合的互异性问题，主要考查学生的分类讨论思想，属于基础题5．3或-1解析：根据3∈A 即可得出a 2-2a=3，解方程得到a 即可．详解：∵3∈A，A=1，2，a 2-2a}，∴a 2-2a=3，解得a=-1或3故答案为-1或3．点睛：本题考查了列举法的定义，元素与集合的关系，考查了推理和计算能力，属于基础题．三、解答题1．（1）32a =-；（2）9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >． 解析：（1）分析可得12a -=-或22512a a ++=-，结合集合中元素的互异性可求得实数a 的值；（2）根据已知条件得出09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩，即可解得实数a 的取值范围. 详解：（1）因为210a +>，故212a +≠-，因为2A -∈，则12a -=-或22512a a ++=-.①当12a -=-时，即当1a =-时，此时212512a a a -=++=-，集合A 中的元素不满足互异性；②当22512a a ++=-时，即22530a a ++=，解得32a =-或1a =-（舍）， 此时512a -=-，21314a +=，集合A 中的元素满足互异性. 综上所述，32a =-；（2）因为集合{}2340A x R ax x =∈--=中有两个元素，则09160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩， 解得916a 且0a ≠， 因此，实数a 的取值范围是9016a a ⎧-<<⎨⎩或}0a >.2．（1）2a >；（2）1a ≤-解析：（1）由A B A =，可得A B ⊆，即可列出不等关系，求出a 的取值范围；（2）由A B =∅，且B ≠∅，可列出不等关系，求出a 的取值范围.详解：（1）由集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<，因为A B A =，所以A B ⊆，则2a >，即实数a 的取值范围为2a >.（2）因为A B =∅，且B ≠∅，所以1a ≤-，故实数a 的取值范围为1a ≤-. 3．113,,23-- 解析：根据定义依次计算即可得答案.详解：解：因为若a A ∈，则11a A a +∈-， 所以当2a =时，11a a +=-12312A +=-∈-； 当3a =-时，11a a +=-131132A -=-∈+， 当12a =-时，11a a +=-11121312A -=∈+，当13a=时，11aa+=-1132113A+=∈-，综上A中其他所有元素为：11 3,,23 --.点睛：本题考查集合的元素的求解，是基础题.。
学生用《1.1.1 集合的概念》评估训练
1．下列对象不能构成集合的是 ( )．
①我国近代著名的数学家②联合国常任理事国③空气中密度大的气体
A．①② B．②③
C．①②③ D．①③
2．下列关系正确的是 ( )．
A．6∈N B.∉R
C.∈Q D．－3∉Z
3．下面有三个命题：
①集合N中最小的数是1
②若－a∉N，则a∈N
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2
其中正确命题的个数是 ( )．
A．0 B．1
C．2 D．3
4．集合A中含有三个元素0,1，x，且x2∈A，则实数x的值为
________．
5．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．
6．数集A满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)，若∈A，求集合中的其他元素．
7．已知集合M中的元素a、b、c是△ABC的三边，则△ABC一定不是( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
8．由实数x、－x、|x|、及－所组成的集合，最多含有 ( )．A．2个元素 B．3个元素
C．4个元素 D．5个元素
9．若m∈N，但m∉N*，则m________Q(填“∈”，或“∉”)．
10．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．
11．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求a.
12．(创新拓展)设非空集合A满足以下条件：若a∈A，则∈A，且1∉A.
(1)若2∈A，你还能求出A中哪些元素？
(2)求证：若a∈A，则1－∈A.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含解析)(55)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}22(,)|1,,A x y x y x y Z =+≤∈，{}(,)|2,2,,B x y x y x y Z =≤≤∈，定义集合{}12121122(,)|(,),(,)A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕中元素的个数为A ．77B ．49C ．45D ．302．设集合{|11,}A x x a x =-<-<∈R ，{|15,}B x x x =<<∈R ，若A B =∅，则实数a 的取值范围是（ ） A ．06a ≤≤B ．2a ≤或4aC ．0a ≤或6a ≥D ．24a ≤≤3．已知集合{}21,21,1P a a =-+-，若0P ∈，则实数a 的取值集合为（ ）A ．1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭B ．{}1,1-C ．1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,12⎧⎫--⎨⎬⎩⎭4．已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）A ．[]1,1-B ．[1,)(,1]+∞-∞-C ．[]{}1,10-D ．{}[)1,,10(]+∞-∞-5．设集合{}0A x x =>，则（ ） A ．A φ∈B ．1A ∉C ．1A ∈D ．1A ⊆6．点的集合(){},0M x y xy =≥是指 A ．第一象限内的点集 B ．第三象限内的点集．C ．第一、第三象限内的点集D ．不在第二、第四象限内的点集．7．集合{}21,A x x x Z =-<<∈中的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．对集合1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（ ） A ． x |是小于18的正奇数} B ．{}|41,5x x k k Z k =+∈<且C ．{}|43,,5x x s s N s =-∈≤且D ．{}|43,,5x x s s N s *=-∈≤且9．设{}1,2,3,4P =，{}4,5,6,7,8Q =，定义(){},|,,P Q a b a P b Q a b *=∈∈≠，则P Q *中元素的个数为（ ） A ．4 B ．5 C ．19 D ．20二、填空题1．如果{}{},1,2a b =，则a b=_______．2．已知集合A ＝a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3}，且1∈A，则2017a 的值为_________． 3．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B ⊗==∈∈，设，，则集合A B ⊗的所有元素之和为______________．4．列举法表示方程()22x 2a 3x a 3a 20-++++=的解集为______．5．已知x R ∈，[]x 表示小于x 的最大整数，{}[]x x x =-，令{}{}M x 0x 100,1x =≤≤=，则M 中元素之和为________. 三、解答题1．已知集合{2,5,12}A x x =-+，且3A -∈，求x 的值.2．设2y x ax b =-+，{}|0A x y x =-=，{|0}B x y ax =-=，若{3,1}A =-，试用列举法表示集合B ．3．已知由实数组成的集合A ，1A ∉，又满足:若x A ∈，则11A x∈-． （1）设A 中含有3个元素，且2,A ∈求A ；（2）A 能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；（3） A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．参考答案一、单选题 1．C 详解： 因为集合，所以集合中有5个元素（即5个点），即图中圆中的整点，集合中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合的元素可看作正方形中的整点（除去四个顶点），即个．考点：1．集合的相关知识，2．新定义题型．2．C解析：由题意可得{|11,}A x a x a x R ，∵11a a +>-，∴A ≠∅，又A B =∅，用数轴表示集合A 、B ，即可求出结果. 详解：由11x a -<-<得11a x a -<<+.∵11a a +>-，∴A ≠∅，用数轴表示集合A 、B 如图所示，或由数轴可知，11a +≤或15a -≥，所以0a ≤或6a ≥.故选：C. 点睛：本题主要考查了集合间的子集关系，以及数形结合的应用，属于基础题. 3．C解析：分别令210a +=和210a -=，求得a 后，验证是否满足集合元素的互异性即可得到结果. 详解：当210a +=时，12a =-，此时2314a -=-，满足题意； 当210a -=时，1a =或1-；若1a =，213a +=，满足题意；若1a =-，211a +=-，不满足互异性，不合题意；∴实数a 的取值集合为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：C . 点睛：本题考查根据元素与集合关系求解参数值的问题，易错点是忽略求得参数值后，需验证集合中元素是否满足互异性. 4．D解析：将问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，对a 分0a =和0a ≠两种情况讨论，即可求解． 详解：解：由题意，原问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，当0a =时，方程为20x -=，解得0x =，此时方程只有一个实数根，符合题意； 当0a ≠时，方程220ax x a -+=为一元二次方程， 所以2440a ∆=-≤，解得1a ≤-或1a ≥．综上，实数a 的取值范围为{}(][,11),0-∞-+∞． 故选：D ． 5．C解析：由10,>可判断1A ∈，进而得解. 详解：集合{}0A x x =>，10,1A >∴∈故选: C 点睛：本题考查元素与集合的关系，是基础题. 6．D解析：0xy ≥指x 和y 同号或至少一个为零，结合象限的概念可得结果． 详解：0xy ≥指x 和y 同号或至少一个为零，故为第一或第三象限内的点或坐标轴上的点．即不为第二、第四象限内的点，故选D ． 点睛：本题主要考查对集合的概念和表示的理解，属于基础知识的考查． 7．B解析：表示出集合A 中的元素，即可得出个数. 详解：{}{}21,1,0A x x x Z =-<<∈=-， ∴集合A 中有2个元素.故选：B. 点睛：本题考查集合元素个数的求解，属于简单题. 8．D解析：对照四个选项一一验证：对于A ： x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，即可判断； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且即可判断； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且即可判断；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且即可判断.详解：对于A ： x |是小于18的正奇数}={}1,3,5,7,9,11,13,15,17，，故A 错误； 对于B ：{}{}|41,53,1,5,9,13,17x x k k Z k =+∈<=-且，故B 错误； 对于C ：{}{}|43,,53,1,5,9,13,17x x s s N s =-∈≤=-且，故C 错误；对于D ：{}{}|43,,51,5,9,13,17x x s s N s *=-∈≤=且，故D 正确.故选：D 9．C解析：采用列举法，分别列举1a =、2、3、4时，集合P Q *中的元素，即可求解. 详解：当1a =时，集合P Q *中元素为()1,4，()1,5，()1,6，()1,7，()1,8共5个， 当2a =时，集合P Q *中元素为()2,4，()2,5，()2,6，()2,7，()2,8共5个， 当3a =时，集合P Q *中元素为()3,4，()3,5，()3,6，()3,7，()3,8共5个， 当4a =时，集合P Q *中元素为()4,5，()4,6，()4,7，()4,8共4个， 所以集合P Q *中共有555419+++=个， 故选：C.二、填空题 1．12或2解析：根据已知条件可得出a 、b 的值，即可得出结果. 详解：因为{}{},1,2a b =，则12a b =⎧⎨=⎩或21a b =⎧⎨=⎩，因此，12a b =或2.故答案为：12或2. 2．1解析：对集合A 中的元素分情况讨论，结合集合中元素的互异性可求得结果. 详解：当a ＋2＝1时，a ＝－1，此时有(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1，不满足集合中元素的互异性； 当(a ＋1)2＝1时，a ＝0或a ＝－2，当a ＝－2，则a 2＋3a ＋3＝1，舍去，经验证a ＝0时满足；当a 2＋3a ＋3＝1时，a ＝－1或a ＝－2，由上知均不满足，故a ＝0，则2017a ＝1． 故答案为：1 3．54解析：试题分析：由新定义运算可知集合A B ⊗中所有的元素是由集合，中的元素的乘积得到的，所有元素依次为0,4,5,8,10,12,15，求和得54 考点：新定义集合问题4．{}a 1,a 2++解析：根据题意，求出方程的解，用集合表示即可得答案． 详解：根据题意，方程()22x 2a 3x a 3a 20-++++=变形可得()()x a 1x a 20⎡⎤⎡⎤-+-+=⎣⎦⎣⎦，有2个解：1x a 1=+，2x a 2=+， 则其解集为{}a 1,a 2++； 故答案为{}a 1,a 2++． 点睛：本题考查集合的表示方法，关键是求出方程的解，属于基础题． 5．5050解析：本题首先可根据题意确定集合{}0,1,2,3,4,,100M =，然后根据等差数列求和公式即可得出结果. 详解：因为{}[]x x x =-，0x 100≤≤，{}1x =， 所以集合{}0,1,2,3,4,,100M =， 则M 中元素之和为010001210010150502， 故答案为：5050. 点睛：本题考查求集合中所有元素的和，能否确定集合中包含的元素是解决本题的关键，考查等差数列求和公式，考查推理能力与计算能力，是中档题.三、解答题 1．1-或8-解析：由题意知A 集合中必有元素-3，则23x -=-或53x +=-，求得1x =-或8x =-，分别代入集合A 验证是否能构成集合. 详解：∵3A -∈，∴23x -=-或53x +=-，∴1x =-或8x =-.当1x =-时，{3,4,12}A =-，满足集合元素的互异性，∴1x =-符合题意； 当8x =-时，{10,3,12}A =--，也满足集合元素的互异性，∴8x =-也符合题意. 综上，x 的值为1-或8-. 点睛：本题考查根据元素与集合的关系求参数，属于基础题.2．{33B =---+解析：将2y x ax b =-+带入集合A 的方程化简整理，由{3,1}A =-利用韦达定理求出参数,a b ，再利用一元二次方程的解法求解集合B. 详解：将2y x ax b =-+代入集合A 中的方程并整理得2(1)0x a x b -++=. 因为{3,1}A =-，所以方程2(1)0x a x b -++=的两根为-3，1，由韦达定理得311,31,a b -+=+⎧⎨-⨯=⎩解得3,3,a b =-⎧⎨=-⎩所以233y x x =+-.将233y x x =+-，3a =-代入集合B 中的方程并整理得2630x x +-=，解得3x =--或3x =-+{33B =---+.点睛：本题考查了集合的表示方法，准确的利用韦达定理求参数是解题的关键，属于一般难度的题.3．（1）12,1,2A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭；（2）不存在这样的A ，理由见解析；（3）是，证明见解析.解析：（1）根据题意得，1112A =-∈-，()11112A =∈--，故11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭； （2）假设集合A 是单元数集合，则210x x -+=，根据矛盾即可得答案； （3）根据已知条件证明x ，11x-，11x -是集合A 的元素即可.详解：解：（1）因为若x A ∈，则11A x∈-，2,A ∈， 所以1112A =-∈-，()11112A =∈--，12112A =-∈， 所以11,,22A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭.（2）假设集合A 是仅含一个元素的单元素集合，则11x x=-，即：210x x -+=， 由于30∆=-<，故该方程无解， 所以A 不能是仅含一个元素的单元素集.（3）因为1A ∉，x A ∈，则11A x∈-，则1111111x A x x x-==-∈--， 所以111x Ax x =∈--，故该集合有三个元素，下证x ，11x-，11x -互不相等即可.假设11x x =-，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x-不相等， 假设11x x-=，则210x x -+=，该方程无解，故x ，11x -不相等，假设1111x x =--，则210x x -+=，该方程无解，故11x-，11x -不相等. 所以集合A 中含元素个数一定是*3()n n N ∈个. 点睛：本题考查集合与元素的关系，其中第三问解题的关键在于根据已知证明x ，11x-，11x -互不相等且属于集合A 即可.考查运算求解能力与逻辑推理能力，是中档题.。
人教A版数学第一册第一单元《1.1.1 集合的含义与表示》同步检测(含答案)
《1.1.1 集合的含义与表示》同步检测一、基础达标1.下列各组对象不能构成一个集合的是( )A.不超过20的非负实数B.方程x 2-9=0在实数范围内的解C.√3的近似值的全体D.某校身高超过170厘米的同学的全体2.下列各组中集合P 与Q 表示同一个集合的是( )A.P 是由元素1,√3,π构成的集合,Q 是由元素π,1,|-√3|构成的集合B.P 是由π构成的集合,Q 是由3.141 59构成的集合C.P 是由2,3构成的集合,Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D.P 是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q 是方程x 2=1的解集3.集合M 是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( )A.√5∈MB.0∉MC.1∈MD.-π2∈M4.已知集合Ω中的三个元素l,m,n 分别是△ABC 的三边边长,则△ABC 一定不是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形5.(多选)下面几个命题中正确的命题有( )A.集合N *中最小的数是1B.若-a ∉N *,则a∈N *C.若a∈N *,b∈N *,则a+b 的最小值是2D.x 2+4=4x 的解集中有2个元素6.已知a,b 是非零实数,代数式|a |a +|b |b +|ab |ab 的值组成的集合是M,则下列判断正确的是( )A.0∈MB.-1∈MC.3∉MD.1∈M7.已知集合A是由全体偶数组成的,集合B是由全体奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b A,ab A(填“∈”或“∉”).8.若集合A中有两个元素-1和2,集合B中有两个元素x,a2,若A与B相等,则x= ,a= .9.设集合A是由1,k2为元素构成的集合,则实数k的取值范围是.10.已知-3是由x-2,2x2+5x,12三个元素构成的集合中的元素,求x的值.二、能力提升11.已知集合M是方程x2-x+m=0的解组成的集合,若2∈M,则下列判断正确的是( )A.1∈MB.0∈MC.-1∈MD.-2∈M所以方程为x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.故方程的另一个解为-1.选C.12.由实数x,-x,|x|,√x2,-√x33所组成的集合,其元素的个数最多为( )A.2B.3C.4D.513.已知关于x的不等式x-a≥0的解组成的集合为A,若3∉A,则实数a的取值范围是.14.已知集合A含有三个实数,分别为a2,ba,a,若0∈A且1∈A,则a2 020+b2020= .15.集合A中共有3个元素-4,2a-1,a2,集合B中也共有3个元素9,a-5,1-a,已知9∈A,且集合B中再没有其他元素属于A,根据上述条件求出实数a的值.三、素养综合16.已知集合M中有两个元素x,2-x,若-1∉M,则下列说法一定错误的是.(填序号)①2∈M;②1∈M;③x≠3.参考答案一、基础达标1.答案 CA项,不超过20的非负实数,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.B项,方程x2-9=0在实数范围内的解,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.C项,√3的近似值的全体,元素不具有确定性,不能构成一个集合.D项,某校身高超过170厘米的同学,元素具有确定性、互异性、无序性,能构成一个集合.故选C.2.答案 A3.答案 D√5>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-π<1,故D正确.24.答案 D因为集合中的元素是互异的,所以l,m,n互不相等,即△ABC不可能是等腰三角形,故选D.5.答案ACN*是正整数集,最小的正整数是1,故A正确;当a=0时,-a∉N*,且a∉N*,故B错误;若a∈N*,则a的最小值是1,又b∈N*,b的最小值也是1,当a和b都取最小值时,a+b取最小值2,故C正确;x2+4=4x的解集为{2},故D错误.故AC正确.6.答案 B当a,b全为正数时,代数式的值是3;当a,b全是负数时,代数式的值是-1;当a,b 是一正一负时,代数式的值是-1.综上可知B正确.7.答案∉;∈解析∵a是偶数,b是奇数,∴a+b是奇数,ab是偶数,故a+b∉A,ab∈A.8.答案-1;±√2解析由集合相等的概念可知x=-1,a2=2,即a=±√2.9.答案k≠1且k≠-1解析∵1∈A,k2∈A,结合集合中元素的互异性可知k2≠1,解得k≠1且k≠-1.10.解析由题意知x-2=-3或2x2+5x=-3.当x-2=-3,即x=-1时,集合中的三个元素为-3,-3,12,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1舍去.当2x2+5x=-3,即x=-32或x=-1(舍去)时,集合中的三个元素为-72,-3,12,满足集合中元素的互异性.综上可知x=-32.二、能力提升11.答案 C由2∈M可知,2为方程x2-x+m=0的一个解,所以22-2+m=0,解得m=-2.所以方程为x2-x-2=0,解得x1=-1,x2=2.故方程的另一个解为-1.选C.12.答案 A当x>0时,x=|x|=√x2,-√x33=-x,此时集合中共有2个元素;当x=0时,x=|x|=√x2=-√x33=-x,此时集合中共有1个元素;当x<0时,√x2=|x|=-√x33=-x,此时集合中共有2个元素.综上,此集合中最多有2个元素,故选A.13.答案a>3解析因为3∉A,所以3是不等式x-a<0的解,所以3-a<0,解得a>3.14.答案 1解析由0∈A,“0不能做分母”可知a≠0,故a2≠0,所以ba=0,即b=0.由1∈A,可知a2=1或a=1.当a=1时,得a2=1,由集合中元素的互异性,知a=1不符合题意; 当a2=1时,解得a=-1或a=1(舍去).故a=-1,b=0,所以a2 020+b2 020的值为1.15.解析∵9∈A,∴2a-1=9或a2=9,①若2a-1=9,则a=5,此时A中的元素为-4,9,25,B中的元素为9,0,-4,显然-4∈A且-4∈B,与已知矛盾,故舍去.②若a2=9,则a=±3.当a=3时,A中的元素为-4,5,9,B中的元素为9,-2,-2,B中有两个-2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去;当a=-3时,A中的元素为-4,-7,9,B中的元素为9,-8,4,符合题意.综上所述,a=-3.三、素养综合16.答案②解析依题意得{x≠-1,2-x≠-1,x≠2-x,解得x≠-1,x≠1且x≠3,当x=2或2-x=2,即x=2或x=0时,集合M中的元素为0,2,故①正确;当x=1或2-x=1,即x=1时,集合M中的元素为1,1,不满足集合中元素的互异性,故②不正确;③显然正确.。
必修第一册1.1.1集合的含义与表示练习题及答案
1.1.1集合的含义与表示课后配餐一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1.已知3∈{1,a,a−2}，则实数a的值为()．A. 3B. 5C. 3或5D. 无解2.定义集合运算：A∗B={z|z=xy,x∈A,y∈B}.设A={1,2}，B={0,2}，则集合A∗B中的所有元素之和为()．A. 0B. 2C. 3D. 63.下列各组对象：(1)接近于0的数的全体；(2)比较小的正整数的全体；(3)平面上到点O的距离等于1的点的全体；(4)正三角形的全体；(5)√2的近似值的全体.其中能构成集合的组数是()A. 2B. 3C. 4D. 54.下列说法中正确的是()A. 2019年某汽车制造厂生产的所有汽车组成一个集合B. 某中学年龄较小的学生组成一个集合C. {1,2，3}与{2,1，3}是不同的集合D. 由1，0，5，1，2，5组成的集合有六个元素5.已知x2∈{1,0，x}，则实数x的值为()A. 0B. 1C. −1D. ±16.给出下列命题：①√2∈Q；②{1,2}={(1,2)}；③2∈{1,2}；④{⌀}⊆{1,2}，其中真命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 37.对于数集M，N，定义M+N={x|x=a+b,a∈M,b∈N}，M÷N={x|x=ab,a∈M,b∈N}.若集合P={1,2}，则集合(P+P)÷P的所有元素之和为()A. 272B. 232C. 212D. 152二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）8.下面说法正确的是()①{2,3}≠{3,2}；②{(x,y)|x+y=1}={y|x+y=1}；③{x|x>1}={y|y>1}；④{x|x+y=1}={y|x+y=1}A. ①B. ②C. ③D. ④第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）9.若A={2,3,a2+2a−3},B={a+3,2}，若5∈A,5∉B，则a=．∈Z}，用列举法表示集合A，则A=______．10.已知集合A={x∈Z|32−x四、解答题（本大题共4小题，共48.0分）11.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0}，其中a∈R．(1)若1是集合A中的一个元素，用列举法表示集合A．(2)若集合A中有且仅有一个元素，求实数a组成的集合B．(3)若集合A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．∈A，且1∉A．12.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则11−a(1)若3∈A，求A；∈A．(2)证明：若a∈A，则1−1a13.用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y =2x −3图象上所有点的集合；(4)方程组{x +y =1x −y =−1的解集．14. 设集合A ={x ∈N|63+x ∈N}．(1)试判断0，2与集合A 的关系;(2)用列举法表示集合A ．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查集合中元素的性质，属于基础题．根据元素与集合的关系和元素的性质进行求解即可．【解答】解：因为3∈{1,a,a−2}，所以a−2=3或a=3．当a−2=3，即a=5时，满足题意；当a=3时，不满足集合元素的互异性，故舍去．综上可得a的值为5，故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了集合中元素的性质，元素与集合的关系，属中档题.根据题意求出集合A∗B中所有的元素即可得解．【解答】解：依题意，A={1,2}，B={0,2}，当x=1，y=0时，z=0，当x=1，y=2时，z=2，当x=2，y=0时，z=0，当x=2，y=2时，z=4，则A∗B={0,2，4}，其所有元素之和为6，故选D．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，属于基础题．根据集合元素的“确定性”，各组进行分析，即可得正确选项．【解答】解：(1)“接近于0的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(2)“比较小的正整数的全体”的对象不确定，不能构成集合；(3)“平面上到点O的距离等于1的点的全体”的对象是确定，能构成集合；(4)“正三角形的全体”的对象是确定，能构成集合；(5)“√2的近似值的全体”的对象不确定，不能构成集合；故(3)(4)正确．故选A．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查集合的含义及集合中元素的性质，属于基础题．根据集合的含义即可得．【解答】解：A项中因为标准明确所以可以构成一个集合；B项中“较小”标准不明确不能构成集合；C项中三个元素组成的集合相等；D项中组成的集合有4个元素．故选A．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意要利用元素的互异性进行检验．属于较易题．根据集合元素和集合的关系确定x的值，注意元素的互异性的应用．【解答】解：∵x2∈{1,0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1,0，0}不成立．当x=1时，集合为{1,0，1}不成立．当x=−1时，集合为{1,0，−1}，满足条件．故x=−1．故选C．6.【答案】B【解析】解：①√2为无理数，∴√2∉Q，故①是假命题；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，故两个集合不相等，所以②是假命题；③由元素与集合的关系，知③是真命题；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，所以{⌀}⊈{1,2}，故④是假命题．故真命题的个数是1，故选：B．①根据√2为无理数，即可判断出①的真假；②{1,2}是以1，2为元素的集合，{(1,2)}可以看成是以点(1,2)为元素的集合，即可判断出真假；③由元素与集合的关系，即可判断出真假；④集合{⌀}包含了一个元素⌀，而集合{1,2}包含了元素1，2，即可判断出真假．本题考查了元素与集合之间的关系、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵P ={1,2}，∴a =1或2，∴P +P ={x|x =a +b,a ∈P,b ∈P}={2,3，4}，∴(P +P)÷P ={x|x =2,3，4，1，32}，∴元素之和为2+3+4+1+32=232， 故选：B ．根据定义分别求出(P +P)÷P 中对应的集合的元素即可得到结论．本题主要考查集合元素的确定，根据定义分别求出对应集合的元素是解决本题的关键．8.【答案】CD【解析】【分析】本题考查集合的概念和性质，解题时要熟练掌握基本知识和基本方法．集合中的元素具有无序性，故①不成立；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②不成立；③④正确．【解答】解：∵集合中的元素具有无序性，∴①{2,3}={3,2}，故①错误；{(x,y)|x +y =1}是点集，而{y|x +y =1}不是点集，故②错误；由集合的性质知③④正确．故选CD ．9.【答案】−4【解析】【分析】本题考查了元素与集合的关系，由题意得{a 2+2a −3=5a +3≠5，解出即可． 【解答】解：若A ={2,3,a 2+2a −3},B ={a +3,2}，若5∈A,5∉B ，则{a 2+2a −3=5a +3≠5，解得a =−4， 故答案为−4．10.【答案】{−1,1，3，5}【解析】解：∵x ∈Z ，32−x ∈Z ，∴2−x =±1或±3，即x =1，3，−1，5， 故A ={−1,1，3，5}，故答案为：{−1,1，3，5}．由x ∈Z 且32−x ∈Z 知2−x =±1或±3，从而求得．本题考查了集合的化简与列举法的应用，属于基础题．11.【答案】解：(1)∵1是A 的元素，∴1是方程ax 2+2x +1=0的一个根， ∴a +2+1=0，即a =−3，此时A ={x|−3x 2+2x +1=0}．∴x 1=1，x 2=−13，∴此时集合A ={−13,1};(2)若a =0，方程化为x +1=0，此时方程有且仅有一个根x =−12，若a ≠0，则当且仅当方程的判别式△=4−4a =0，即a =1时，方程有两个相等的实根x 1=x 2=−1，此时集合A 中有且仅有一个元素，∴所求集合B ={0,1};(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素，由(2)可知此时a =0或a =1， ②A 中一个元素也没有，即A =⌀，此时a ≠0，且△=4−4a <0，解得a >1， 综合 ① ②知a 的取值范围为{a|a ≥1或a =0}【解析】本题考查的知识点是集合中元素与集合的关系，一元二次方程根的个数与系数的关系，难度不大，属于基础题.(1)若1∈A ，则a =−3，解方程可用列举法表示A;(2)若A 中有且仅有一个元素，分a =0，和a ≠0且△=0两种情况，分别求出满足条件a 的值，可得集合B ．(3)集合A 中至多有一个元素包括有两种情况， ①A 中有且仅有一个元素， ②A 中一个元素也没有，分别求出即可得到a 的取值范围．12.【答案】解：(1)因为3∈A ，所以11−3=−12∈A ，所以11−(−12)=23∈A ， 所以11−23=3∈A ，所以A ={3,−12,23}.(2)证明：因为a ∈A ，有11−a ∈A ，所以11−11−a =1−a −a =1−1a ∈A ．【解析】(1)根据集合A 的定义，找出A 的所有元素即可；(2)有集合A 的定义证明即可．本题是新概念的题目，考查了元素与集合的关系的判断与应用，属于中档题．13.【答案】解：(1){−2,0，2}，(2){m|m =3k +1,k ∈N}，(3){(x,y)|y =2x −3}，(4)由{x +y =1x −y =−1，解得x =0，y =1，所以集合为{(0,1)}．【解析】本题考查了集合的概念，数集和点集，属于基础题．(1)根据条件直接表示集合即可；(2)根据条件直接表示集合即可；(3)根据条件直接表示集合即可；(4)先求出方程的解，再表示集合即可；14.【答案】解：(1)因为0，2∈N ，当x =0时，63+0=2∈N ，所以0∈A;当x =2时，63+2=65∉N ，所以2∉A .∈N，x∈N，(2)因为63+x所以x只能取0，3，所以A={0,3}．【解析】本题主要考查了集合的表示法，元素与集合的关系，属于基础题．(1)分情况讨论当x=0时，当x=2时，即可求解．∈N，x∈N，只能取0，3，即可得到结论．(2)由题可得63+x。
人教A版数学必修一内蒙古师范大学附属中学b版《1.1.1集合的概念》同步练习(答案)
集合的概念一、选择题1．下列说法正确的是( B )A ．2011年上半年发生的大事能构成一个集合B ．小于100的整数构成的集合是无限集C ．空集中含有元素0D ．自然数集中不含有元素0解析：“大事”是不确定的对象，故A 错；空集中不含有任何一个元素，故C 错误；自然数集中含有元素0，2．若元素a ∈Q ，但a ∉Z ，则a 的值可以是( D ) A.3B ．－5C ．0D.13解析：由题意可知，元素a 是有理数，但a 不是整数，所以a 是分数．3．以方程x 2－5x ＋6＝0和方程x 2－x －2＝0的解组成的集合中的元素个数为( C )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，方程x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1.所以由上述两方程的解组成的集合中有2,3，－1三个元素．4．下列描述的对象组成的集合是无限集的是( B )A ．方程x 2－6x ＋5＝0的根B ．大于0且小于2的实数C ．小于20的质数D ．倒数等于它本身的实数解析：A 中描述的集合中只有1,5两个元素；B 中大于0且小于2的实数有无限多个；C 中小于20的质数有8个；D 中描述的对象只有±1.故B 中所描述的集合是无限集．5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合中，最多含有元素的个数为( D )A ．5B ．4C ．3D ．2解析：当x ≠0时，x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3表示x 与－x 两个元素；当x ＝0时，它们都等于0，故只能表示1个元素，所以它们最多表示两个元素，故选D.6．已知a ，b 为非零实数，代数式a |a |＋b |b |＋ab |ab |的值组成集合A ，则下列判断正确的是( B ) A ．－3∈A B ．－1∈A C ．1∈A D ．2∈A解析：∵a ，b 为非零实数，∴代数式a |a |＋b |b |＋ab |ab |的取值为－1和3，∴－1∈A,3∈A . 7．一个集合A 中的元素a 满足a ∈N ，且4－a ∈N ，则集合A 的元素最多有( C )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个解析：∵a ∈N ，且4－a ∈N ，∴集合A 中的元素为小于等于4的自然数，∴集合A 中的元素最多有5个．8．若集合A 中的元素满足条件：对于集合A 中任意两个元素a ，b ，都有a ＋b ∈A ，a －b ∈A ，a ×b ∈A ，则称集合A 为数环．下面数集能称为数环的是( C )A ．N *B ．NC ．ZD ．无理数集解析：取a ＝1，b ＝2，则a －b ∉N *，a －b ∉N ；取a ＝2，b ＝22，则a ×b ＝4不属于无理数集，故A 、B 、D 均错误二、填空题1．已知集合A 为双元素集合，且只含有元素2a ＋3和7－4a ，则实数a 的取值范围为________．a ≠23解析：令2a ＋3≠7－4a ，∴6a ≠4，∴a ≠23. 2．集合A 中的元素为2,3，a 2＋2a －3，集合B 中的元素为a ＋3,2.若5∈A ，且5∉B ，则a ＝________.－4解析：∵5∈A ，∴a 2＋2a －3＝5，则a ＝2或a ＝－4.当a ＝2时，集合B 中的元素为5,2，不满足5∉B ，故a ＝2舍去．当a ＝－4时，集合B 中的元素为－1,2，满足5∉B ，故a ＝－4成立．综上所述，a ＝－4.三、解答题1．已知集合A 中的元素为a ＋2，(a ＋1)2，a 2＋3a ＋3，若1∈A ，求a 的值．解析：(1)若a ＋2＝1，则a ＝－1.则(a ＋1)2＝0，a 2＋3a ＋3＝1，A 中的元素为1,0,1.不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－1舍去．(2)若(a ＋1)2＝1，则a ＝0或a ＝－2.当a ＝0时，a ＋2＝2，a 2＋3a ＋3＝3，A 中的元素为2,1,3，满足题意条件．当a ＝－2时，a ＋2＝0，a 2＋3a ＋3＝1，A 中的元素为0,1,1，不满足集合中元素的互异性，∴a ＝－2舍去．(3)若a 2＋3a ＋3＝1，即(a ＋1)(a ＋2)＝0，∴a ＝－1或a ＝－2.由(1)(2)可知a ＝－1和a ＝－2均不满足题意，∴a ＝－1或a ＝－2舍去．综上(1)(2)(3)，a ＝0.2．设数集A 是满足下列条件的集合：①1∉A ；②若a ∈A ，则11－a∈A .求证：(1)若2∈A ，则A 中还有其它两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集合．证明：(1)由2∈A ，则11－2＝－1∈A ，由－1∈A ，则11－(－1)＝12∈A . 由12∈A ，则11－12＝2∈A ，又回到了开始，故当2∈A 时，集合A 中必含有另两个元素－1，12. (2)不妨设集合A 中只有1个元素a ，由题意可知11－a ∈A ，由于集合A 为单元素集合，所以a ＝11－a，即a 2－a ＋1＝0，其Δ＝1－4＝－3<0，故方程a 2－a ＋1＝0无解．所以集合A 不可能是单元素集合．。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(43)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合{}1,0,1,2U =-，{|}A y y x U =∈，则集合A 的子集个数为（ ） A ．2 B ．3C ．7D ．82．下列各组集合中，满足E=F 的是（ ）A ．E =，F=1.414}B ．(){}(){}2,1,1,2E F ==C ．{}{}22,E x y x F y y x ====D ．{}{}2,1,1,2EF ==3．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B QC ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈ 4．已知集合|1{A x x =>或1}x <-，那么下列结论正确的是（ ） A ．0A ∈B ．1A ∈C ．1A -∈D ．1A ∉5．已知集合{}1,2,3A =，则下列说法正确的是（ ） A ．2A ∈B ．2A ⊆C ．2A ∉D ．∅=A614∉Q ；③0∈Z.其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．07．已知集合A ＝(x ，y)|x 2＋y 2＝1}，B ＝(x ，y)|y ＝2x ＋1}，则A∩B 中元素的个数为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．08．已知集合Ω中的三个元素,,l m n 分别是ABC 的三边长，则ABC 一定不是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形9．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 （ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形10．下列式子表示正确的有（ ）Q ；②N Z =；③Q R ⊆；④Q π∉ A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个二、填空题1．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m ＝________．2．已知集合2{|A x x ＝＋20}x a ＋＝，若1∈A，则A ＝________. 3．已知集合{}220A x R ax x =∈++=，若A 为单元素集合，则a =__________.4．设,a b ∈R ，集合{}{}2,0,a b a =，则b a -=_____________5．用列举法表示集合2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈≤=⎨⎬⎩⎭_______. 三、解答题1．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围； （2）若122M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．2．方程2210ax x ++=，R a ∈的根组成集合A .（1）当A 中有且只有一个元素时，求a 的值，并求此元素； （2）当A 中至少有一个元素时，求a 满足的条件.3．已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==+∈==+∈. (1)若c C ∈,问是否存在,,a A b B ∈∈使c a b =+;(2)对于任意的,a A b B ∈∈,是否一定有a b C +∈?并证明你的结论.4．用适当的方法表示下列集合．（1）方程组2314328x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集；（2）1000以内被3除余2的正整数所构成的集合； （3）直角坐标平面上的第二象限内的点所构成的集合； （4）所有三角形构成的集合．5．已知集合{}2320A x ax x =-+=，其中a 为常数，且R a ∈.（1）若A 是单元素集合，求a 的取值范围； （2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围；（3）若A中至多有一个元素，求a的取值范围.参考答案一、单选题 1．D解析：化简集合A ，再求子集的个数. 详解：{{|}A y y x U ==∈=∴集合A 的子集个数为328=个故选：D 2．D 详解：对于A1.414，所以{}1.414≠即E F ≠，故A 错误；对于B ，因为()2,1与()1,2是不同的点，所以(){}(){}2,11,2≠即E F ≠，故B 错误；对于C ，{}2E x y x R ===，{}{}20F y y x y ===≥，所以E F ≠，故C 错误；对于D ，由集合元素的无序性可得E F =，故D 正确. 故选：D.3．C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解. 详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；Q 不正确； 根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确， 又由0是自然数，所以0N ∈，故选C. 点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 4．D解析：根据元素与集合的关系直接进行判断. 详解：0,1，-1均不满足条件1x >或1x <-， 所以0A ∉，1A ∉，1A -∉. 故选：D 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，属于基础题. 5．A解析：根据元素与集合之间关系，可直接得出结果. 详解：因为集合{}1,2,3A =，所以2A ∈. 故选：A 点睛：本题主要考查元素与集合之间关系的判断，熟记元素与集合之间的关系即可，属于基础题型. 6．B解析：根据常用数集,,Z Q R 分别的表示整数集，有理数集，实数集，判断关系式是否正确. 详解：由R 由Q 表示有理数集，则14Q ∈，故②错误； 由Z 表示有整数集，则0Z ∈，故③正确. 故正确的个数为2个. 故选：B 点睛：本题考查了常用数集的表示，识记常用数集表示所用的大写字母是解题的关键，属于基础题. 7．B解析：根据题意，联立方程组，求得方程组解的个数，即可求得集合中元素的个数. 详解：由22121x y y x ⎧+=⎨=+⎩解得01x y =⎧⎨=⎩或4535x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故集合A∩B 中有2个元素， 故选：B 点睛：本题考查集合的交运算以及集合中元素的个数，属简单题. 8．D解析：根据集合元素的互异性即可判断. 详解：根据集合元素的互异性可知l m n ≠≠，故ABC 一定不是等腰三角形，故选：D 9．D解析：根据几何元素的互异性可以得到结论． 详解：因为集合{},,M a b c =，所以由集合元素的互异性可得a b ，a c ≠，bc ≠，所以△ABC 一定不是等腰三角形. 故选：D. 10．C解析：根据集合,,,N Z Q R 的意义即可做出判断. 详解：因为集合Z 中有负数，N 中没有负数，所以②错误； ③Q R ⊆正确；因为π是无理数，所以④正确， 故选C. 点睛：本题考查常用数集及其关系，属基础题.二、填空题1．3解析：根据集合与元素的关系，分类求得m 的值，然后利用集合元素的互异性检验取舍. 详解：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时，不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意， 故m ＝3. 答案：32．－3,1}解析：集合2{|A x x ＝＋20}x a ＋＝，1∈A，则2x ＋20x a ＋＝由一根是1，所以21＋20a ＋＝，a =-3,所以2x ＋23x -=0，x=1或x=-3,所以A ＝－3,1} 3．0或18解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论，根据方程220ax x ++=只有一根可得出关于实数a 的等式，由此可解得实数a 的值. 详解：当0a =时，{}{}{}220202A x R ax x x x =∈++==+==-，合乎题意；当0a ≠时，要使A 为单元素集合，只需180a ∆=-=，解得18a =. 综上所述：0a =或18. 故答案为：0或18. 4．1-解析：根据集合的互异性原则,可求得a 与b 的值,即可求得b a -的值. 详解：因为集合{}{}2,0,a b a =所以0a =或0b =当0a =时,集合20a =,因而元素重复,与集合的互异性原则相悖,所以舍去0a = 当0b =时,可得2a a =,解得0a =(舍)或1a =综上可知, 1a =,0b = 所以011b a -=-=- 故答案为: 1- 点睛：本题考查了集合的互异性原则及集合相等的应用,属于基础题.5．{}2,5,8解析：由,10m N m ∈≤得0,1,2,,10m =，依次把m 值代入23m -，若23m N -∈成立，则得到的m 值为集合中的元素. 详解：由,10m N m ∈≤得0,1,2,,10m =， 当2m =时，2203N -=∈，当5m =时，5213N -=∈，当8m =时，8223N -=∈， 所以2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈≤=⎨⎬⎩⎭{}2,5,8. 故答案为{}2,5,8. 点睛：本题考查集合描述法的元素具有的性质、集合列举法表示，考查对集合概念的理解和基本运算求解能力.三、解答题1．（1）2a >-；（2）132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．解析：（1）将2代入不等式，满足不等式求解即可.（2）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理求出2a =-，将a 代入不等式求解即可. 详解：（1）∵2M ∈，∴225220a ⨯+⨯->，∴2a >- （2）∵122M xx ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根，∴由韦达定理得15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩，解得2a =-，∴不等式22510ax x a -+->，即为：22530x x --+>， 其解集为132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查了由一元二次不等式的解集求参数值、一元二次不等式的解法，考查了考生的基本运算能力，属于基础题.2．（1）当0a =时，集合A 中的元素为12-；当1a =时，集合A 中的元素为1-；（2）1a ≤. 解析：（1）根据题意可知方程2210ax x ++=为一元一次方程或者一元二次方程有两相等根，由此可求出；（2）根据题意可知方程2210ax x ++=有两个不等实根或有两个相等实根或有且只有一个实根，由此分类求出满足条件的a 值。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(87)
1.1 集合的概念一、单选题1．设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（ ） A ．}{2a a ≥B ．}{1a a ≤C ．}{1a a ≥D ．}{2a a ≤2．给出下列关系： ①12∈R； ②2∈Q； ③|﹣3|∈N； ④|-3|∈Z； ⑤0∉N ，其中正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．若集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，则B 中所含元素的个数为（ ） A ．4 B ．6 C ．7 D ．104．已知下列四对数值是方程组22113y x x y =+⎧⎨+=⎩的解集是（ ） A ．(){}3,2 B ．(){}3,2-C ．()(){}2,3,3,2--D ．(){}3,2-5．已知集合A ＝x∈R|x－，则下列各式正确的是( )A ．3∈A 且－3∉AB ．3∈A 且－3∈AC ．3∉A 且－3∉AD ．3∉A 且－3∈A6．已知{}|330A x N x =∈->，则下列成立的是（ ） A ．1A ∈B ．0A ∈C ．1A -∈D ．0.5A ∈7．下列表示正确的是 A ．0N ∈B ．12Z ∈C ．3N -∈D ．Q π∈8．已知集合2{|1},A x x a A =>∈, 则 a 的值可以为 A ．-2B ．1C ．0D ．-19．下面能构成集合的是 （ ） A ．大于3小于11的偶数 B ．我国的小河流 C ．高一年级的优秀学生D ．某班级跑得快的学生10．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则11aa+-∈M.则下列结论正确的是（ ） A ．集合M 中至多有2个元素 B ．集合M 中至多有3个元素 C ．集合M 中有且仅有4个元素 D ．集合M 中至少有4个元素 二、填空题1．已知集合{}22,2A m m m =++，若3A ∈，则m 的值为___________.2．若集合{}240,A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______．3．对非空有限数集12{,,,}n A a a a =定义运算“min”：min A 表示集合A 中的最小元素．现给定两个非空有限数集A ，B ，定义集合{|,,}M x x a b a A b B ==-∈∈，我们称min M为集合A ，B 之间的“距离”，记为AB d ．现有如下四个命题：①若min min A B =，则0AB d =；②若min min A B >，则0AB d >； ③若0AB d =，则A B ⋂≠∅；④对任意有限集合A ，B ，C ，均有AB BC AC d d d +．其中所有真命题的序号为__________．4．已知集合{}22,2,A a a a =--，若2A ∈，则a =__________.5．用列举法表示集合10|,1M m Z m Z m ⎧⎫=∈∈⎨⎬+⎩⎭＝________． 三、解答题1．已知集合A 有三个元素：a －3，2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0，1，x. （1）若－3∈A，求a 的值； （2）若x 2∈B，求实数x 的值； （3）是否存在实数a ，x ，使A ＝B ．2．用列举法写出集合{||1||2|7}A x x x =∈-+-=N .3．判断下列命题是否正确，若不正确，请说明理由． （1）集合{}2,4,6与集合{}4,2,6表示同一集合； （2）集合(){}2,3与集合(){}3,2表示同一集合； （3）集合{}3x x >与集合{}3t t >表示同一集合；（4）集合{}2,y y x x R =∈与集合(){},2,x y y x x R =∈表示同一集合；4．方程ax=b 是关于x 的方程.当a 、b 满足什么条件时，该方程的解集是有限集？当a 、b 满足什么条件时，该方程的解集是无限集？5．设A 是由满足不等式x<6的自然数组成的集合，若a∈A 且3a∈A，求a 的值．参考答案一、单选题 1．A解析：由题意，用数轴表示集合的关系，从而求解． 详解：}{12A x x =<<，}{B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}{2a a ≥ 故选：A 2．D解析：根据元素与集合的关系可逐项判断. 详解：根据元素与集合的关系： ①12∈R，正确； ②2∈Q，正确； ③|﹣3|=3∈N，正确； ④|-3|=3∈Z，正确； ⑤0∉N ，错误， 故正确的个数为4． 故选：D ． 3．D解析：根据题中条件，由列举法写出集合B 中的所有元素，即可得出结果. 详解：因为集合{}0123A =，，，，()}{,,B x y x A y A x y A =∈∈-∈，，当0x =时，0y =；则()0,0是集合B 中的元素；当1x =时，0y =或1y =，则()1,0，()1,1是集合B 中的元素；当2x =时，0y =或1y =或2y =，则()2,0，()2,1，()2,2是集合B 中的元素；当3x =时，0y =或1y =或2y =或3y =，则()3,0，()3,1，()3,2，()3,3是集合B 中的元素. 即B 中所含元素的个数为10个. 故选：D. 4．C解析：将y 用1x +表示，由此求解出方程组的解，然后用列举法表示出解集. 详解：因为()22113x x ++=，解得2x =或3x =-， 所以方程组的解为23x y =⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=-⎩，所以解集为()(){}2,3,3,2--， 故选：C. 5．D解析：利用元素与集合的关系直接求解． 详解：集合A ＝x∈R|x－∉A又D ． 点睛：本题考查元素与集合的关系的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．B解析：集合{}|330A x N x =∈->＝0}，即可得出结论． 详解：集合{}|330A x N x =∈->＝x N ∈ |x ＜1}＝0}， 则0∈A， 故选：B ． 点睛：本题考查集合的含义与表示，考查了元素与集合的关系，比较基础．解析：利用元素与集合的关系直接求解． 详解：在A 中，0∈N，故A 正确； 在B 中，12Z ∉，故B 错误； 在C 中，﹣3∉N ，故C 错误； 在D 中，π∉Q ，故D 错误． 故选：A ． 点睛：本题考查命题真假的判断，考查元素与集合的关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．A解析：先解不等式得{}|11A x x x =><-或，再由元素与集合的关系逐一判断即可得解. 详解：解：解不等式21x >，解得1x >或1x <-， 即{}|11A x x x =><-或， 又2,1,0,1A A A A -∈∉∉∉, 则a 的值可以为-2, 故选A. 点睛：本题考查了二次不等式的解法，重点考查了元素与集合的关系，属基础题. 9．A解析：结合集合中元素的特征，对选项逐个分析可选出答案. 详解：由题意，对于A ，大于3小于11的偶数为4,6,8,10，可以构成集合； 对于B ，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于C ，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性； 对于D ，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性. 故选：A. 点睛：本题考查集合，注意集合中元素的特征：“确定性”、“互异性”、“无序性”，属于基础10．D解析：由若a∈M，则11aa+-∈M，依次计算可求出集合M中的元素详解：因为a∈M，11aa+-∈M，所以111111aaaa++-+--＝－1a∈M，所以1111aa+---＝11aa-+∈M，又因为11111aaaa-++--+＝a，所以集合M中必同时含有a，－1a ，11aa+-，11aa-+这4个元素，由a的不确定性可知，集合M中至少有4个元素．故选：D二、填空题1．3 2 -解析：根据题意，分别讨论23m+=与223m m+=的情况，结合互异性即可求出m的值. 详解：由题意知，当23m+=，即1m=时，223m m+=，此时集合A中有重复元素3，所以1m=不符合题意；当223m m+=，即32m=-或1m=(舍)时，23m+≠，符合题意.综上，32m=-.故答案为：32 -.2．4解析：∵240x x k ++=由唯一的实根， ∴164k 0=-=， 解得：4k = 故答案为：4 3．①③解析：根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误. 详解：对于结论①，若min min A B =，则A ，B 中最小的元素相同，故①正确；对于结论②，取集合{}1,2A =，{}0,2B =，满足min min A B >，但0AB d =，故②错误； 对于结论③，若0AB d =，则,A B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确； 对于结论④，取集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}3,4C =，可知0AB d =，0BC d =，1AC d =， 则AB BC AC d d d +≥不成立，故④错误. 故答案为：①③．4．1或2；解析：由2A ∈，可得22a =或22a a -=，注意要满足集合元素的互异性，即可得解. 详解：由{}22,2,A a a a =--，2A ∈，若22a =，1a =，20a a -=， 此时{}2,2,0A =-，符合题意； 若22a a -=，则2a =，1a =-， 当1a =-时，22a =-，不符题意， 当2a =时，{}2,4,2A =-，符合题意， 综上可得：1a =或2a =. 故答案为：1或2.5．－11，－6，－3，－2，0，1，4，9}. 解析：利用题目条件，依次代入，使101Z m Z m ∈∈+，，从而确定出m 的值，即可得到答案 详解：101Z m Z m ∈∈+，， 1m ∴+为10的因数则11251010521m +=----，，，，，，， 014911632m ∴=----，，，，，，，则答案为{}116320149----，，，，，，， 点睛：本题主要考查了集合的表示法，理清题意，找出满足条件的因数是关键，考查了学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．三、解答题1．（1）a ＝0或－1；（2）x ＝－1；（3）不存在.解析：（1）若3A -∈，则33a -=-或213a -=-，再结合集合中元素的互异性，能求出a 的值． （2）当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数x 的值． （3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠，若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠，由此求出不存在实数a ，x ，使A B =． 详解：解：（1）集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，3A -∈，33a ∴-=-或213a -=-，解得0a =或1a =-，当0a =时，{3A =-，1-，1}，成立； 当1a =-时，{4A =-，3-，2}，成立．a ∴的值为0或1-．（2）集合B 中也有三个元素：0，1，x ．2x B ∈， 当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，0x ∴≠，1x ≠-，1x ∴=-．∴实数x 的值为1-．（3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠， 若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠， ∴不存在实数a ，x ，使A B =．点睛：本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．{5}A =解析：利用绝对值的几何意义求出x ,根据x N ∈,用列举法表示即可. 详解：因为|1||2|7x x -+-=的几何意义是数轴上的点x 到1和2的距离之和为7， 故5x =或2-，又x N ∈，所以5,{5}x A =∴=. 点睛：本题考查绝对值的几何意义和集合的表示法;正确求出方程的解是求解本题的关键;属于基础题.3．（1）正确；（2）错误；（3）正确；（4）错误解析：（1）根据元素的无序性可知两集合为同一集合；（2）集合为点集，元素不同，不是同一集合；（3）两集合均表示大于3的所有实数的集合，为同一集合；（4）两集合分别为数集和点集，不是同一集合. 详解：（1）集合元素具有无序性，{}2,4,6与{}4,2,6元素完全相同，故为同一集合，正确 （2）两集合为点集，()2,3与()3,2表示的点不同 (){}(){}2,33,2∴≠∴两集合表示的不是同一集合，命题错误（3）{}3x x >与{}3t t >均表示大于3的所有实数的集合 {}{}33x x t t ∴>=> 即两集合表示的是同一集合，命题正确（4）{}2,y y x x R =∈为数集；(){},2,x y y x x R =∈为点集∴两集合表示的不是同一集合，命题错误点睛：本题考查同一集合的判定，关键是明确只有元素完全相同时，两集合为同一集合；易错点是忽略点集和数集的区别.4．当a≠0时，或a=0且b≠0时，解集是有限集；当a=b=0时，解集是无限集. 解析：解方程ax=b ，对a 、b 直接分类讨论即可. 详解：当a≠0时，方程的解为ba，有一个解，有限集； 当a=0且b≠0时，方程无解，解集为空集，有限集； 当a=b=0时，方程有无数个解，则解集为无限集.5．a＝0或1.详解：试题分析：试题解析：∵a∈A且3a∈A，∴a<6且3a<6，∴a<2.又∵a是自然数∴a＝0或1.。
人教A版高中数学必修一1.1 集合的概念专练(含解析)(127)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列关系式中正确的个数是（ ）个 ①12Q ∈ ②R ③ 0*N ∈ ④Z π∈ ⑤{}{}20|x x x == ⑥∅ {}0 A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B 解析：根据元素与集合之间关系，以及集合与集合之间关系，逐项判断，即可得出结果. 详解：① Q 为有理数集，所以12Q ∈正确；②R R 不正确； ③*N 为正整数集，所以*0N ∈不正确；④Z 为整数集，所以Z π∈不正确；⑤{}{}{}22||00,1x x x x x x ==-==，故{}{}20|x x x ==不正确；⑥∅是不含任何元素的子集，是任一非空集合的真子集，所以∅ {}0正确.综上，正确的只有①⑥，共2个.故选：B.2．下列说法正确的是（ ）A ．Q Z ⊆B ．N R ∈C ．N Q ⊆D ．*Z N ⊆答案：C解析：本题可根据N 、*N 、Z 、Q 、R 之间的包含关系得出结果.详解：N 表示自然数集，*N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集， 因为Z Q ⊆，N R ⊆，N Q ⊆，*N Z ⊆，所以ABD 错误，C 正确，故选：C.3．已知集合A ＝x|-2≤-x+1＜3}，B ＝x|x 2-2x-3≤0}，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C解析：利用集合的包含关系，得到B ⊆A ，进而判断选项即可详解：因为A ＝x|-2≤-x+1＜3}＝x|-2＜x≤3}，B ＝x|x 2-2x-3≤0}＝x|-1≤x≤3}，所以B ⊆A 故选C4．下列各组对象不能构成集合的是（ ）A ．所有的正方形B ．方程210x -=的整数解C ．我国较长的河流D ．出席十九届四中全会的全体中央委员答案：C解析：根据集合元素的特征可得出合适的选项.详解：对于A 选项，“所有的正方形”对象是明确的，故能构成集合；对于B 选项，“方程210x -=的整数解”的对象是明确的，故能构成集合；对于C 选项，“较长”不是一个确定的范围，“我国较长的河流”的对象不明确，故不能构成集合；对于D 选项，“出席十九届四中全会的全体中央委员”的对象是明确的，故能构成集合. 故选：C.5．用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：由集合中元素的特征直接求解即可详解：解：“book”中的字母构成的集合为{},,b o k ，有3 个元素，故选：C6．定义集合A 、B 的一种运算：{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中，若{1,2,3,5}A =， {1,2}B =，则A B *中的所有元素之和为为A ．30B ．31C ．32D ．34答案：B详解： 试题分析：由{}1212|,,A B x x x x x A x B *==⨯∈∈其中可知{}1,2,3,5,4,6,10A B *=，所以所有元素之和为31考点：集合运算7．已知集合{21,}A xx x Z =-<≤∈∣，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：根据x ∈Z 求得集合A ，从而判定出集合中元素个数.详解：{21,}{1,0,1}A x x x Z =-<≤∈=-∣，所以集合A 中元素的个数为3. 故选：D.点睛：本题主要考查集合的表示法，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.8．关于集合下列正确的是（ ）A ．0∈∅B ．0N ∉C ．{}0∅∈D ．0Q ∈答案：D解析：根据元素和集合的关系进行判断即可．详解：解：0∈∅，故A 错；0N ∈，故B 错，{}0∅⊆，故C 错，0Q ∈，故D 正确.故选：D点睛：本题主要考查元素和集合关系的判断，比较基础，正确理解N ，Z ，R ，集合的意义是解决本题的关键．9．已知集合,A B 满足：（ⅰ）A B =Q ，A B =∅；（ⅱ）1x A ∀∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈；（ⅲ）1y B ∀∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈.给出以下命题：①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数；②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数；③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数；④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是A ．①③B ．②③C ．③④D ．①④答案：B解析：根据并集和交集的结果可知Q A C B =；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以1x 为分界，可确定集合,A B 的构成；当集合A 有最大数时，根据有理数的特点可知大于1x 的有理数无最小数，知③正确；当集合A 无最大数时，若1x a →中的a 为有理数或无理数，此时集合B 可能最小数为a 或无最小数，知②正确.详解：若A B =Q ，A B =∅ Q A C B ∴=则集合A 为所有小于等于1x 的有理数的集合，集合B 为所有大于等于1y 的有理数的集合 Q A C B = 1y ∴无限接近1x ，即集合B 为所有大于1x 的有理数的集合 当集合A 有最大数，即1x 有最大值时，大于1x 的有理数无最小数，可知③正确；当集合A 无最大数，即1x a →时，a 为集合B 中的最小数；也可能a 为无理数，则1y a →，集合B 中无最小数，可知②正确故选B点睛：本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.10．已知集合{(,)|2,,}A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为（ ）A ．1B ．5C ．6D ．无数个答案：C解析：直接列举求出A 和A 中元素的个数得解.详解：由题得{(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(2,0)}A =，所以A 中元素的个数为6.故选C本题主要考查集合的表示和化简，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题1．已知集合A=x ，y x ，1}，B=x 2，x+y ，0}，若A=B ，则x 2017+y 2018=______．答案：-1解析：利用集合相等的定义列出方程组，求出x ，y ，由此能求出结果．详解：∵集合A=x ，y x，1}，B=x 2，x+y ，0}，A=B ，∴2011y x x =⎧⎪=⎨⎪≠⎩，解得x=-1，y=0， 则x 2017+y 2018=（-1）2017+02018=-1．故答案为：-1．点睛：本题考查代数式求和，考查集合相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．2．设－5∈x|x 2－ax －5＝0}，则集合x|x 2＋ax ＋3＝0}＝________.答案：1,3}详解：由题意知，5-是方程250x ax --=的一个根，所以2(5)550a -+-=，得4a =-，则方程2x ax 30++=，即2430x x -+=，解得1x =或3x =，所以{}{}2|301,3x x ax ++==．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中涉及到元素与集合的关系，一元二次方程方程的求解和集合的表示方法等知识点的综合应用，解答中正确理解元素与集合的关系，和集合的表示方法是解答的关键，试题比较基础属于基础题.3．用符号“∈”或“∉”填空：（1）2_____N ；（2；（3）13______Z ；（4）3.14______R ；（5）3-______N ；（6答案：∈∉∉∈∉∈解析：N 为自然数集，Q 为有理数，Z 为整数集，R 为实数集，判断元素与集合之间的关系用相应的符号填写即可.(1)N 为自然数集，2是自然数，所以2N ∈；(2)Q Q ；(3)Z 为整数集，13是分数，所以13Z ∉；(4)R 表示实数集，所以3.14R ∈；(5) N 为自然数集，-3不是自然数，所以3N -∉；(6) Q 3=Q . 点睛：本题考查元素与集合之间的关系及常用数集，属于基础题.4．设A 、B 为两个实数集，定义集合1212,{|,}x x x A x A B x x B +==+∈∈，若{1,2,3}A =，{2,3}B =，则A B +中元素的个数为________．答案：4解析：依次讨论11x =,12x =,13x =时A B +中对应的元素,可得{3,4,5,6}A B +=,即可得到元素个数详解：解:当11x =时,12123x x +=+=或12134x x +=+=；当12x =时,12224x x +=+=或12235x x +=+=；当13x =时,12325x x +=+=或12336x x +=+=所以{3,4,5,6}A B +=,有4个元素故答案为4点睛：本题考查元素的个数,考查列举法表示集合,考查元素的互异性5．设集合{}2P x ax a =+>，如果3P ∉，那么a 的取值范围_____________答案：(]1∞--，解析：根据元素的性质列不等式即可.详解： ∵集合{}2P x ax a =+>，3P ∉，∴32a a +≤∴1a ≤-∴a 的取值范围(]1-∞-，故答案为：(]1-∞-，点睛：本题考查元素与集合的关系，考查一元一次不等式的解法，考查转化思想.三、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合；（3）绝对值小于0的所有实数组成的集合.答案：（1）{},,,,,,,m a t h e i c s ；（2）{(,)|27}x y x y +=；（3）{|||0}x x <或∅.解析：直接用列举法表示(1)，描述法表示(2)，描述法表示(3).详解：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合，列举法表示为{},,,,,,,m a t h e i c s ；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合描述法表示为{(,)|27}x y x y +=；（3）不存在绝对值小于0的实数，集合为∅或用描述法表示为{|||0}x x <.点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.2．（1）若21{1,21,1}a a a -∉-+-，求实数a 的取值范围；（2）已知由方程28160kx x -+=的根组成的集合A 只有一个元素，求实数k 的值．答案：（1）2a ≠-且0a ≠且1a ≠±且1a ≠±2）0k =或1k =解析：（1）根据集合中元素的互异性可构造不等式组求得a 的范围；假设{}211,21,1a a a -∈-+-，可构造方程求解出1a =-，由此可得结果；（2）当0k =时，方程为一元一次方程，符合题意；当0k ≠时，由一元二次方程有两相等实根得到0∆=，从而求得结果.详解：（1）由集合中元素的互异性得：2212111121a a a a a a -≠+⎧⎪-≠-⎨⎪-≠+⎩解得2a ≠-，0a ≠，1a ≠，1a ≠当{}211,21,1a a a -∈-+-时若11a -=-，解得：0a =（舍）若211a +=-，解得：1a =-，此时集合为{}2,1,0--若211a -=-，解得：0a =（舍）∴当1a =-时，{}211,21,1a a a -∈-+-综上所述，若{}211,21,1a a a -∉-+-，则实数a 的取值范围为：2a ≠-且0a ≠且1a ≠±且1a ≠（2）当0k =时，原方程变为8160x -+=，解得：2x =，符合题意；当0k ≠时，要使一元二次方程28160kx x -+=有两个相等的实根，需64640k ∆=-= 解得：1k =，此时方程的解为124x x ==，集合A 中只有一个元素4，符合题意综上所述：0k =或1k =点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数范围、根据集合中元素的个数求解参数值的问题；易错点是忽略集合中元素的互异性对参数范围的影响.3．已知集合A 可表示为a,a 2,1a },求实数a 应满足的条件.答案：a≠0,a≠1,a≠-1.解析：分析：利用元素的互异性求解．详解： 由题意可得A=a,a 2,1a },由集合中元素的互异性可得2211a a a a a a ⎧⎪≠⎪⎪≠⎨⎪⎪≠⎪⎩,解得a≠0,a≠1,a≠-1.故实数a 应满足的条件为a≠0,a≠1,a≠-1.点睛：本题考查集合中元素的互异性，由集合中元素两两不等，可得a 的范围．4．已知集合{A x x m ==+，且}2231,,m n m n Z -=∈． （1）证明：若x A ∈，则1x x +是偶数；（2）设a A ∈，且14a <<，求实数a 的值；（3）设c AA；并求满足(222c ≤的c 的值．答案：（1）证明见解析；（2）2a =3）证明见解析，7c =+．解析：（1）设x m =+1x x +可得； （2）设a m =+12a m a+=，由（1）得m 的值，然后代入一一检验可得； （3）设c m =+可证，在(222c +<≤+时可得12<≤+合（2）可得c 值．详解：（1）证明：若x A ∈,则x m =+所以1m x x =++m =+m += 因为2231m n-=，所以原式2m m m =+-=，因为m Z ∈，所以2m ∈偶数，原式得证．（2）因为a A ∈，且14a <<，则1114a <<，所以5154a a<+<， 设a m =+2231,,m n m n Z -=∈， 由（1）可知12a m a +=，即5254m <<， 所以1m =或2m =．当1m =时，代入2231m n -=可得0n =，此时1a m =+=，不满足14a <<，所以1m =不成立．当2m =时，代入2231m n -=解得1n =±，若1n =-，则2a =14a <<，所以1n =-不成立；若1n =，则2a =14a<<．综上，可知2a =（3）证明:因为c A ，所以可设c m =+2231,,m n m n Z -=∈，2m+=+()(232m n n m =-+-所以()()222332m n n m ---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦22224129344m mn n n mn m ⎡⎤=-+--+⎣⎦ 2231m n =-=，A 成立，对于(222c +<≤+，不等式同时除以2+12<≤+由（2）可知，在14a <<范围内，2a =+2=即(227c ==+．5．设a ,b R ∈，集合{1,,}0,,ba b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，求b a -．答案：2b a -= 解析：根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=，注意到后面集合中有元素0，由集合相等的意义，结合集合中元素的特征，可得0a b +=，进而分析可得a 、b 的值，计算可得答案． 详解： 解：根据题意，集合{1,,}{0,,}b a b a b a+=， 又0a ≠，0a b ∴+=，即=-a b ， ∴1b a=-， 1b =；故1a =-，1b =，则2b a -=，故答案为：2点睛：本题考查集合元素的特征与集合相等的含义，注意从特殊元素下手，有利于找到解题切入点．。
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7.集合的分类：含有元素的集合，叫做有限集，含有无限多个元素的集合叫做，不含叫空集，记作:.
〖疑难解惑〗
1.只含有元素0的集合是空集吗？
〖技能训练〗
1.用符号 填空：
（1）3.14R(2) R
(3) N(4)-2N
(5) Q(6) R
2.选择题：
（1）下列对象能组成集合的是（）；
A,大于5的自然数
B.一切很大的树
C.班上个子很高的同学
D.班上考试分数很高的同学
（2）下列对象不能组成集合的是（）.
A.不大于8的自然数
B.很接近于1的数
C.班上身高超过1.8米的同学
D.班上数学小测中得分在85分以上的同学。
3.下列对象能否组成集合？若能组成集合，判断哪些是有限集？哪些是无限极？那些事空集？
1.1集合的概念
〖帮你读书〗
1.集合的概念：有某些的对象组成的叫做集合，简称；组成集合的对象叫做这个集合的。
2.集合的表示：一般采用表示集合，
3.采用表示集合中的元素。
4.几个常用数集的表示：自然数集记作；正整数集记作；整数集记作；有理数集记作；实数集记作；空集记作。
5.集合与元素之间的关系：如果 是集合 的元素，就说 ，记作，
（1）.某班学习成绩好的同学；
（2）绝对值不小于3的所有整数；
4.判断下列集合是有限集、无限集还是空集：
（