八年级数学勾股定理4(2019年8月整理)

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八年级勾股定理的知识点

八年级勾股定理的知识点作为初中数学的重要知识点之一，勾股定理在八年级学生的学习中扮演着重要的角色。

勾股定理的概念和应用可以帮助学生理解和求解同类问题，并为进一步学习更高级别的数学知识奠定基础。

以下是勾股定理在初中八年级阶段的知识点。

一、勾股定理的定义勾股定理是指直角三角形中长边平方等于两短边平方和的关系。

即在一个直角三角形中，长边的平方等于其他两边平方和。

勾股定理的公式为：a² + b² = c²其中，a、b 代表短边，c 代表长边。

这个公式是勾股定理的基本表达形式。

二、三角形中的勾股定理应用勾股定理不仅仅是为了了解概念，同样也是一种有用的工具来解决各种三角形问题。

在三角形中，有两种使用勾股定理的方式：已知两个边长求第三个边长和已知三角形的三个角度和一个边长，求任意一边长。

2.1 已知两边长求第三边长当我们知道任意两边长的长度时，我们可以使用勾股定理来求解第三边长的长度。

我们可以先将已知的两边长的平方和计算得出，然后再对这个结果求平方根来得到第三边长的长度。

例如，当我们知道一个三角形的两边分别为 3 和 4，需求出第三边长，我们可以使用勾股定理进行计算：(3)² + (4)² = c²9 + 16 = c²25 = c²c = √25 = 52.2 已知三个角度和一个边长，求任意一边长在已知三个角度和一个边长的情况下，我们可以使用正弦、余弦、正切等三角函数结合勾股定理来求解三角形任意一边长。

例如，假设我们知道一个三角形的三个角分别为 60 度、30 度和 90 度，此三角形的一个边长为 5，需求出另外两边长的长度。

我们可以利用下列公式进行计算：sin(60°) = 对边 / 斜边 = c / 5c = 5 sin(60°) = 4.33(约)cos(60°) = 邻边 / 斜边 = b / 5b = 5 cos(60°) = 2.5(约)根据勾股定理，我们可以求出第三条边的长度：a² + b² = c²a² + (2.5)² = (4.33)²a² = (4.33)² - (2.5)²a² = 9 - 6.25a = √2.75 = 1.66(约)通过这种方式，我们可以使用勾股定理解决许多有关三角形的问题。

八年级数学下册《勾股定理》知识点

八年级数学下册《勾股定理》知识点八年级数学下册《勾股定理》知识点在日常的学习中，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是“让别人看完能理解”或者“通过练习我能掌握”的内容。

你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？下面是店铺为大家收集的八年级数学下册《勾股定理》知识点，仅供参考，欢迎大家阅读。

八年级数学下册《勾股定理》知识点篇11.勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾最短的边、股较长的直角边、弦斜边。

勾股定理又叫毕达哥拉斯定理2.勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股数：满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数.常用勾股数：3、4、5; 5、12、13;7、24、25;8、15、17。

4.勾股定理常常用来算线段长度，对于初中阶段的线段的计算起到很大的作用例题精讲：练习：例1：若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为解析：可知三边长度为3，4，5，因此周长为12(变式)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为解析：可知三边长度为6，8，10，则周长为24例2：已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.解析：第一种情况：当直角边为3和4时，则斜边为5第二种情况：当斜边长度为4时，一条直角边为3，则另一边为根号7《点评》此题是一道易错题目，同学们应该认真审题!例3：一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是( )A.斜边长为25B.三角形周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20解析：根据勾股定理，可知斜边长度为5，选择C八年级数学下册《勾股定理》知识点篇2勾股定理在任何一个直角三角形(Rt△)中(等腰直角三角形也算在内)，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方，这就叫做勾股定理。

北师大版2019年八上数学：第1章-勾股定理示范教学设计

北师大版2019年八上数学：第1章-勾股定理示范教学设计一. 教材分析《北师大版2019年八上数学》第1章主要介绍勾股定理。

本章内容通过探究直角三角形三边的关系，引导学生发现并证明勾股定理。

教材内容丰富，例题典型，习题多样，有利于学生巩固知识，提高解题能力。

二. 学情分析八年级学生已具备一定的数学基础，对直角三角形有一定的了解。

但勾股定理的证明和应用还需引导学生通过探究、实践、归纳等方式自主学习。

此外，学生对于数学定理的证明过程可能存在理解困难，需要教师耐心引导。

三. 教学目标1.了解勾股定理的发现和证明过程，掌握勾股定理的内容及应用。

2.培养学生的探究能力、逻辑思维能力和数学审美能力。

3.激发学生对数学的兴趣，培养合作交流意识。

四. 教学重难点1.重难点：勾股定理的证明过程及应用。

2.难点：对勾股定理证明过程的理解和运用。

五. 教学方法1.引导探究法：引导学生通过小组合作、讨论、探究等方式自主学习。

2.案例教学法：通过典型例题分析，让学生体会勾股定理的应用。

3.归纳总结法：在教学过程中，引导学生自主归纳总结，加深对知识的理解。

六. 教学准备1.课件：制作勾股定理的相关课件，包括图片、动画、例题等。

2.习题：挑选适合的习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：黑板、粉笔、直尺、三角板等。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用PPT展示勾股定理的历史背景，引导学生了解勾股定理的发现过程。

同时，提出问题：“你们知道什么是勾股定理吗？”激发学生的兴趣。

2. 呈现（15分钟）展示勾股定理的定义和证明过程，引导学生理解并掌握勾股定理。

3. 操练（15分钟）让学生独立完成教材中的例题，教师巡回指导，解答学生疑问。

4. 巩固（10分钟）布置一些填空题和选择题，让学生在短时间内巩固所学知识。

5. 拓展（10分钟）引导学生思考：勾股定理在其他领域的应用，如几何画板、建筑等。

6. 小结（5分钟）让学生自主总结本节课所学内容，教师进行补充。

八年级数学《勾股定理-第四课时》教学设计

“三部五环”教学模式设计《18.1.4勾股定理（4）》教学设计1、教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册第18章第一节勾股定理第4课时。

2.设计理念本设计以“活动----参与”教学法为主，辅之小组合作、交流讨论。

以问题为主线，练习为核心，活动为载体，从学生已有的生活经验和认知基础出发，引导其经历探索神奇的“勾股数”、“勾股树”、“数轴上的无理点”等问题的全过程，激发学生的学习热情，更好地理解勾股定理应用价值，逐步树立科学探索精神。

体现“人人学有价值数学、不同的人在数学中得到不同发展”的新课程理念。

整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，充分利用现代信息技术的直观、动态功能，丰富教学可视性材料，增大课堂容量，优化教学结构，实现课堂教学效果最优化。

3.知识背景分析本节课是勾股定理的第4课时，要求学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步的领会数形结合的思想。

4.学情背景分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经初步掌握了勾股定理的知识，通过本节的学习使学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步深化对实数的认识，领会数形结合的思想。

鉴于学生的知识基础和学习方法的积累本节课以学生练习与合作探究为主，教师根据反馈信息进行指导、点评。

5.学习目标5.1知识与技能目标1．熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

2．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步的领会数形结合的思想。

5.2过程与方法目标1．通过学生的实践操作，培养了学生的探究能力、画图能力和解决实际问题的能力。

2．在利用勾股定理解决实际问题过程中，进一步体会勾股定理的应用方法。

(完整版)八年级勾股定理题型总结

《勾股定理》典型例题解析一、知识重点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：假如直角三角形的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2。

公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2。

2、勾股定理的逆定理假如三角形 ABC的三边长分别是a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②知足的条件：最大边的平方=最小边的平方 +中间边的平方 .③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角.④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数知足 a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数或小数。

②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。

常有勾股数有：（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )4、最短距离问题：主要运用的依照是两点之间线段最短。

二、考点解析考点一：利用勾股定理求面积1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．2.如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，尝试究三个半圆的面积之间的关系．3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、 S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S1S 3S 1S 24、四边形 ABCD中，∠ B=90°， AB=3，BC=4，CD=12， AD=13，求四边形 ABCD的面积。

八年级数学勾股定理3篇

八年级数学勾股定理3篇《勾股定理》知识点总结1：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。

(即：a2+b2=c2) 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：(1)首先确定最大边，不妨设最长边长为：c;(2)验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形(若c2 a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形;若c2 a2+b2，则△abc为锐角三角形)。

p=3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理中考数学|勾股定理知识点规律方法指导1.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。

2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。

3.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。

八年级数学勾股定理4

a²+b²=c²
(X )
2)、直角三角形的两边长分别是3和4，则另一边是5
(X )
3）、若△ABC的三边长是a=7,b=24,c=25，则△ABC
是直角三角形
(√ )
4）、 △ABC是三边之比为1:1:√2 ，则△ABC是直角
三角形
(√ )
5）、等边三角形高为2 √3cm,则它的边长是3cm (X )
AC²+BC²= AB²
（3）美国总统证法：
D
C
bc
c
a
Aa
bD
∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b)
=1/2ab×2+1/2 c²
∴a²+b²=c²
（4）我来试一试
b
a
ab
a c
a
cb
ca
bc c
bc
a
a
b
a
b b
S=1/2ab×4+ c²=1/2ab ×4+ a²+b² a²+b²=c²
∴ c= √20 =2 √ 5 (舍负值)
∴ a2 = c2 ﹣b2 = 32 –(√ 2 )2 =7
∴ a= √ 7 (舍负值）
例2：将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离AB（精确到0.01米）
解：在Rt△ABC中，
∠ABC=90°
A
BC=2.16 ，CA=5.41
3、若a,b,c是一组基本的勾股数，则a,b,c 不能同时为奇数或同时为偶数
4、一组勾股数中必有一个数是5倍数 5、2mn,m²-n²,m²+n²为勾股数组，m>n﹥0 ,m,n一奇一偶

北师大版八年级数学上学期压轴题攻略专题02 勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理(原卷版)

专题02勾股定理与全等三角形综合的三种考法全梳理目录【方法归纳】 (1)【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】 (2)【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】 (5)【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】 (7)【课后练习】 (10)【方法归纳】模型1.倍长中线模型模型2.手拉手模型，如下图：模型3.三垂直全等模型，如图：【考法一、勾股定理与倍长中线全等模型】例．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若12AB =，8AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使AD DE =，连接BE ．请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC EDB V V ≌，依据是___________．A ．SSSB ．ASAC ．AASD ．SAS（2）由“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是___________．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】（3）如图2，AD 是ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE EF =．若3EF =，2EC AE =，求线段BF 的长．【灵活运用】（4）如图3，在ABC 中，90A ∠=︒，D 为BC 中点，DE DF ⊥，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，试猜想线段BE ，CF ，EF 三者之间的等量关系，并证明你的结论．变式1．【证明体验】(1)如图1，在ABC 中，AD 为BC 边上的中线，延长AD 至E ，使DE AD =，连接BE ．求证：ACD EBD △≌△．【迁移应用】(2)如图2，在ABC 中，5AC =，13BC =，D 为AB 的中点，DC AC ⊥．求ABC 面积．【拓展延伸】(3)如图3，在ABC 中，90ABC ∠=︒，D 是BC 延长线上一点，BC CD =，F 是AB 上一点，连接FD 交AC 于点E ，若2AF EF ==，6BD =，求ED 的长．变式2．[方法储备]如图1，在ABC 中，CM 为ABC 的中线，若2AC =，4BC =，求CM 的取值范围．中线倍长法：如图2，延长CM 至点D ，使得MD CM =，连结BD ，可证明，由全等得到2BD AC ==，从而在BCD △中，根据三角形三边关系可以确定CD 的范围，进一步即可求得CM 的范围．在上述过程中，证明ACM BDM △≌△的依据是______，CM 的范围为______；[思考探究]如图3，在ABC 中，90ACB ∠=︒，M 为AB 中点，D 、E 分别为AC 、BC 上的点，连结MD 、ME 、DE ，90DME ∠=︒，若1BE =，2AD =，求DE 的长；[拓展延伸]如图4，C 为线段AB 上一点，AC BC >，分别以AC 、BC 为斜边向上作等腰Rt ACD △和等腰Rt CBE △，M 为AB 中点，连结DM ，EM ，DE ．①求证：DME 为等腰直角三角形；②若将图4中的等腰Rt CBE △绕点C 转至图5的位置（A ，B ，C 不在同一条直线上），连结AB ，M 为AB 中点，且D ，E 在AB 同侧，连结DM ，EM ．若5AD =，3EB =，求DAM △和EBM △的面积之差．变式3．【问题背景】（1）如图1，点P 是线段AB ，CD 的中点，求证：AC BD ∥；【变式迁移】（2）如图2，在等腰ABC 中，,AB BC BD =是底边AC 上的高线，点E 为ABD △内一点，连接ED ，延长ED 到点F ，使ED FD =，连接AF ，若BE AF ⊥，请判断AF 、BE 、BC 三边数量关系并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，在等腰ABC 中，90,ACB AC BC ∠=︒=，点D 为AB 中点，点E 在线段BD 上（点E 不与点B ，点D 重合），连接CE ，过点A 作AF CE ⊥，连接FD ，若10,4AF CF ==，求FD 的长．【考法二、勾股定理与手拉手全等模型】例．如图，在ABC 中，以AC 为边向外作等边ACD ，以AB 为边向外作等边ABE ，连接CE 、BD ．求证：BAD EAC ≌．【知识应用】如图，四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，ACB △是等腰直角三角形，=45°ADC ∠，2AD =，4CD =，求BD 的长．【拓展提升】如图，四边形ABCD 中，AB AC =，90ABC ADC ∠+∠=︒，BD =，则BAC BDC ∠-∠=________．变式1．在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，P 是直线AC 上的一点，连接BP ，过点C 作CD BP ⊥，交直线BP 于点D ．(1)当点P 在线段AC 上时，如图①，求证：BD CD -=；(2)当点P 在直线AC 上移动时，位置如图②、图③所示，线段CD ，BD 与AD 之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．变式2．如图1，在Rt ABC 中，90AC BC ACB =∠=︒，，E 为AC 上一点，D 为BC 延长线上一点，且CE CD =，连接AD BE ，，并延长BE 交AD 于F ．(1)求证：BF AD ⊥．(2)若点N 与C 关于直线AD 对称，连接CN ，连接AN ．①如图2，作ACB ∠的角平分线CM 交BE 于点M ，连接AM ．判断DAN ∠与DAM ∠的数量关系，并证明你的结论．②如图3，若14AF CN ==，，求AB 的长．变式3．如图所示，等腰直角ABC 中，90ACB ∠=︒．(1)如图1，若D 是ABC 内一点，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ，连,AD BE ，求证：AD BE =；(2)若D 是ABC 外一点，将线段CD 绕点C 顺时针旋转90︒得到CE ，且AE AB =，连结BD ，猜想：线段CD 和BD 满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明；(3)如图，若O 是斜边AB 的中点，M 为BC 下方一点，且2OM =，7CM =，45BMC ∠=︒，则BM =___________．变式4．【探索研究】已知：ABC 和CDE 都是等边三角形．(1)如图1，若点A 、C 、E 在一条直线上时，我们可以得到结论：线段AD 与BE 的数量关系为：，线段AD 与BE 所成的锐角度数为︒；(2)如图2，当点A 、C 、E 不在一条直线上时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；【灵活运用】(3)如图3，某广场是一个四边形区域ABCD ，现测得：45m AB =，60m BC =，且30ABC ∠=︒，60DAC DCA ∠=∠=︒，试求圆形水池两旁B 、D 两点之间的距离．【考法三、勾股定理与一线三直角全等模型】例．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：【模型呈现】(1)如图，90BAD ∠=︒，AB AD =，过点B 作BC AC ⊥于点C ，过点D 作DE AC ⊥于点E ．由12290D ∠+∠=∠+∠=︒，得1D ∠=∠．又90ACB AED ∠=∠=︒，可以推理得到ABC DAE ∆∆≌．进而得到AC =__________，BC AE =．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；【模型应用】(2)如图，90BAD CAE ∠=∠=︒，AB AD =，AC AE =，连接BC ，DE ，且BC AF ⊥于点F ，DE 与直线AF 交于点G ．求证：点G 是DE 的中点；【深入探究】(3)如图，已知四边形ABCD 和DEGF 为正方形，AFD ∆的面积为1S ，DCE ∆的面积为2S ，则有1S __________2S （填“＞、=、＜”）(4)如图，点A 、B 、C 、D 、E 都在同一条直线上，四边形ABAH 、KCMG 、DENM 都是正方形，若该图形总面积是16，正方形KCMG 的面积是4，则HKG D 的面积是__________．变式1．（1）在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E ．当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，请直接写出AD 、DE 、BE 之间的数量关系：______．（2）在（1）的条件下，当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由．（3）类比以上解题思路，完成下面的题：如图3，已知ABC 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，三角形的顶点在相互平行的三条直线1l ，2l ，3l 上，且1l ，2l 之间的距离为1，2l ，3l 之间的距离为3，求AC 的长．变式2．如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在ABC 中，90ABC ∠=︒，AB CB =；DEF中，90DEF ∠=︒，30EDF ∠=︒．(1)如图1，当顶点B 摆放在线段DF 上时，过点A 作AM DF ⊥，垂足为点M ，过点C 作CN DF ⊥，垂足为点N ，请在图1中找出一对全等三角形，并说明理由；(2)如图2，当顶点B 在线段DE 上且顶点A 在线段EF 上时，过点C 作CP DE ⊥，垂足为点P ，猜想线段AE 、PE 、CP 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，当顶点A 在线段DE 上且顶点B 在线段EF 上时，若5AE =，1BE =，连接CE ，则AEC △的面积为．【课后练习】1．阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如图①，ABC 和ADE V 都是等边三角形，点D 在BC 上．求证：以DE 、CD 、BD 为边的三角形是钝角三角形．【探究发现】小明通过探究发现：连接CE ，根据已知条件，可以证明BD CE =，120DCE ︒∠=，从而得出DCE △为钝角三角形，故以DE 、CD 、BD 为边的三角形是钝角三角形．请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．【拓展迁移】如图②，四边形ABCD 和四边形AEGF 都是正方形，点E 在BD 上．①猜想：以DE 、EF 、BE 为边的三角形的形状是________；②当2223BE ED +=时，直接写出正方形AEGF 的面积．2．如图，ABC 中，120BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是BC 中点，MDN ∠的两边DM ，DN 分别与直线AB ，AC 交于点E ，F ，且DE DF =，连接EF(1)如图1，当点E ，F 分别在AB ，AC 上时，猜想DEF 形状是______三角形；线段AE 、AF 、AB 的数量关系是______(2)如图2，当点E ，F 分别在AB ，CA 延长线上时，上述两个结论成立吗?若成立，请完成证明；若不成立，请说明理由．(3)在(2)的条件下，6AB =①连接AD ，直接写出AED AFD S S -=△△______②当EB BD =时，求AF 的长3．已知：在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，BC AC =．(1)如图1，若点D 在线段AB 上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =．①线段BE 和线段AD 存在何种数量关系？请说明理由．②请直接写出线段AD 、BD 、DE 之间满足的数量关系_________．(2)如图2，若点D 在线段AB 延长线上，连接CD ，在CD 的右侧作CE CD ⊥，CD CE =，则线段AD 、BD 、CD 之间满足的数量关系是_________．(3)如图3，若点D 在直线AB 上，连接CD ，在CD 的左侧作CE CD ⊥，当3AD =，9AB =时，CDE 的面积为_________．4．在ABC 中，AB BC =，90ABC ∠︒，点E 是直线AB 上一点，作BF CE ⊥于点F ，AH BF ⊥于点H ．(1)如图1，点E 在线段AB 上，BH 交AC 于点M ，若F 为MB 的中点，1BE =，则AB =______；(2)如图2，取AC 中点D ，连接DH ．①若点E 在线段AB 上，求证：HF =②若点E 在直线AB 上，60CEB ∠=︒，2DH =，求AB 的长．5．【证明体验】如图1，向ABC 外作等边三角形ABD △和等边三角形ACE △，连接BE DC ，，求证：BE DC =；【思考探究】如图2，已知ABC ，以BC 为边作等边BCD △，连接AD .若60CAD ∠=︒，4=AD ，3AC =，求AB 的长；【拓展延伸】如图3，在ABC 中，8BC =，以AB 为边作等腰ABD △，AB AD =，连接CD .若10CD =，2DAB ACB ∠=∠，直接写出ABC 的面积.6．如图1，在四边形ABCD 中，,120,90AB AD BAD B ADC =∠=︒∠=∠=︒，E F 、分别是,BC CD 上的点，且60EAF ∠=︒，探究图中线段,,BE EF FD 之间的数量关系．(1)提示：探究此问题的方法是延长FD 到点G ，使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．(2)探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，,180AB AD B D =∠+∠=︒，E ，F 分别是,BC CD 上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．(3)能力提高：如图，等腰直角三角形ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，点M ，N 在边BC 上，45MAN ∠=︒，若10,26BM MN ==，则CN 的长为．6【问题呈现】“一直线三等角”，是几何证明的常见模型．（1）如图1，ABC 和ADE V 均为等边三角形，点D 为BC 边上一个动点，4BC =，点O 为AC 边中点，连接CE ，写出图中全等的三角形______．线段OE 的最小值______．【问题探索】（2）ACB △是等腰直角三角形，90ACB CA CB ∠=︒=，，点E 是AB 上一点，45CED ∠=︒，交BC 于D ．①如图①试探究AE BE EC 、、的数量关系，并给予证明；②如图②，若26AE BE ==，，点F 是BE 的中点，求CF 的长．【灵活运用】（3）如图3，四边形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点E ，AB AD =，150308BAD ACD ACB AC ∠+∠=︒∠=︒=，，，求四边形ABCD 的面积．7．问题探究：如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在ABC 中，8,6,AB AC AD ==是中线，求AD 的取值范围．他的做法是：延长AD 到E ，使DE AD =，连接BE ，证明BDE CDA △≌△，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小明证明BDE CDA △≌△的判定理由是______；（填写“ASA ”或“SAS ”）（2）AD 的取值范围是______；方法运用：（3）如图2，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点E ，连接BE ，使得BE AC =，延长BE 交AC 于点F ．求证：AF EF =；（4）如图3，在ABC 中，90,BAC D ∠=︒为BC 的中点，90EDF ∠=︒．求证：222BE CF EF +=．8.（1）问题发现：如图1，ABC 和DCE 均为等边三角形，当DCA 应转至点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE ，易证BCE ACD ≌，则①BEC ∠=；②线段AD ，BE 之间的数量关系；（2）拓展研究：如图2，ACB 和DCE 均为等腰三角形，且90ACB DCE ∠∠==︒，点A ，D ，E 在同一直线上，若12AE =，7DE =，求AB 的长度；（3）如图3，P 为等边三角形ABC 内一点，且150APC ∠=︒，30APD ∠=︒，4AP =，3CP =，7DP =，求BD 的长．。

八年级数学勾股定理经典例题解析

八年级数学勾股定理经典例题解析经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，C=90(1)a=6，c=10，求b，(2)a=40，b=9，求c;(3)c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1)在△ABC中，C=90，a=6，c=10,b=(2)在△ABC中，C=90，a=40，b=9,c=(3)在△ABC中，C=90，c=25，b=15,a=举一反三【变式】:如图B=ACD=90,AD=13,CD=12,BC=3,那么AB的长是多少【答案】∵ACD=90AD=13,CD=12AC2=AD2-CD2=132-122=25AC=5又∵ABC=90且BC=3由勾股定理可得AB2=AC2-BC2=52-32=16AB=4AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，：在中，，，.求：BC的长.思路点拨：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于D，那么有，，再由勾股定理计算出AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D，那么因，(的两个锐角互余)(在中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半).根据勾股定理，在中，.根据勾股定理，在中，..举一反三【变式1】如图，：，，于P.求证：.解析：连结BM，根据勾股定理，在中，.而在中，那么根据勾股定理有.又∵()，.在中，根据勾股定理有，.【变式2】：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。

求：四边形ABCD的面积。

分析：如何构造直角三角形是解此题的关键，可以连结AC，或延长AB、DC交于F，或延长AD、BC交于点E，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。

解析：延长AD、BC交于E。

∵A=60，B=90，E=30。

AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==∵DE2=CE2-CD2=42-22=12，DE==S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=ABBE-CDDE=类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如下图，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C 点。

八年级数学下册专题04勾股定理常考压轴题汇总(原卷版)

专题04 勾股定理常考压轴题汇总一．选择题（共23小题）1．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c．若b﹣a＝2，c＝10，则a+b的值为（）A．12B．14C．16D．182．如图，长方体的长为3，宽为2，高为4，一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面到点B处吃食物，那么它爬行最短路程是（）A．B．C．D．3．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI 上，若AC+BC＝6，空白部分面积为10.5，则AB的长为（）A．3B．C．2D．5．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm26．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径向上作三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1+S2＝7，AC＝3，则BC长是（）A．3.5B．C．4D．57．如图，在长方体ABCD﹣EFGH盒子中，已知AB＝4cm，BC＝3cm，CG＝5cm，长为10cm 的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入，木棒的一端I与底面ABCD接触，当木棒的端点Ⅰ在长方形ABCD内及边界运动时，GJ长度的最小值为（）A．（10﹣5）cm B．3cm C．（10﹣4）cm D．5cm8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为（）A．420B．440C．430D．4109．国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．3km B．10km C．6km D．km10．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AB＝9，BC＝6，则BD的长为（）A．3B．4C．5D．611．如图，某小区有一块长方形花圃，为了方便居民不用再走拐角，打算用瓷砖铺上一条新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m12．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝12，BC＝7，将四个直角三角形中边长为12的直角边分别向外延长一倍，得到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．148B．100C．196D．14413．如图，四边形ABCD中，AD⊥CD于点D，BC＝2，AD＝8，CD＝6，点E是AB的中点，连接DE，则DE的最大值是（）A．5B．C．6D．14．如图，长为8cm的橡皮筋放置在数轴上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm到D点，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm15．如图的数轴上，点A，C对应的实数分别为1，3，线段AB⊥AC于点A，且AB长为1个单位长度，若以点C为圆心，BC长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P，则点P表示的实数为（）A．B．C．D．16．“四千年来，数学的道理还是相通的”．运用祖冲之的出入相补原理也可证明勾股定理．若图中空白部分的面积是11，整个图形（连同空白部分）的面积是25，则大正方形的边长是（）A．B．C．D．17．如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（）A．5米B．6米C．7米D．8米18．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要细带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理．以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACKJ，正方形ABFE，正方形BCIH，连接AH．CF，具中正方形BCIH面积为1，正方形ABFE面积为5，则以CF为边长的正方形面积为（）A．4B．5C．6D．1019．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BCMN．四块阴影部分的面积如图所示分别记为S、S1、S2、S3，若S＝10，则S1+S2+S3等于（）A．10B．15C．20D．3020．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1＝25，S3＝16，则S2为（）A．9B．11C．32D．4121．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ、BDMC，记四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．若已知S△ABC ＝S，则下列结论：①S4＝S；②S2＝S；③S1+S3＝S2；④S1+S2+S3+S4＝2.5S．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④22．如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．1423．将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形ABCD和正方形EFGH．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且A′E＝ME．B′F ＝NF，C′G＝PG，D′H＝HQ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即△A′EF，△B′FG，△C′CH．△D′HE．若FM平分∠BFE，正方形ABCD和正方形EFGH 的边长比为1：5．若”新型数学风车”的四个叶片面积和是m，则正方形EFCH的面积是（）A．B．C．3m D．二．填空题（共14小题）24．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为cm．25．如图，在△ABC中，已知：∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为t秒，连接P A，当△ABP为等腰三角形时，t的值为．26．如图，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的“勾股分割点”．已知点M，N是线段AB 的“勾股分割点”，若AM＝4，MN＝5，则斜边BN的长为．27．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O，若AB＝6，CD＝10，则AD2+BC2＝．28．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（30，0）（0，12），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为15的等腰三角形时，点P 的坐标为．29．《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃（kǔn）一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图推开两扇门（AD和BC），门边沿D，C两点到门槛AB的距离是1尺（1尺＝10寸），两扇门的间隙CD为2寸，则门槛AB长为寸．30．如图，在某次军事演习中，舰艇1号在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇2号在指挥中心南偏东60°的B处，并且OA＝OB．接到行动指令后，舰艇1号向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇2号沿北偏东60°的方向以m海里/小时的速度前进．1.5小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达点E，F处，若∠EOF＝75°，EF＝210海里，则m的值为．31．如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，恰好拼成一个大正方形ABCD．连结EG并延长交BC于点M．若AB＝5，EF＝1，则GM的长为．32．如图，铁路上A、D两点相距25千米，B，C为两村庄，AB⊥AD于A，CD⊥AD于D，已知AB＝15km，CD＝10km，现在要在铁路AD上建一个土特产品收购站P，使得B、C 两村到P站的距离相等，则P站应建在距点A千米．33．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为cm（杯壁厚度不计）．34．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．35．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝，AC＝6，BC＞4，点E，F分别在BC，AC边上，且AF＝CE，则AE+BF的最小值为．36．如图，在△ABC中，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，M是BC边上的动点，MD⊥AB，ME⊥AC，垂足分别是D、E，线段DE的最小值是cm．37．如图，Rt△ABC中，．点P为△ABC内一点，P A2+PC2＝AC2．当PB的长度最小时，△ACP的面积是．三．解答题（共4小题）38．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A 出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？39．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）求BC边的长．（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．40．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB ＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？41．请阅读下列材料：已知：如图（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别为线段BC上两动点，若∠DAE＝45°．探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE′，连接E′D，使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，直接写出你的猜想；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图（2），其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；（3）已知：如图（3），等边三角形ABC中，点D、E在边AB上，且∠DCE＝30°，请你找出一个条件，使线段DE、AD、EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数．。

勾股定理的应用八年级数学

勾股定理的应用八年级数学勾股定理是数学中比较基本的一条定理，它可以解决很多有关直角三角形的问题。

在实际应用中，勾股定理有着广泛的应用，下面将介绍勾股定理的应用。

1. 测量地图上的距离当我们看地图时，往往需要测量两个点之间的距离。

在有些情况下，这个距离可能是斜线距离，而非水平或垂直距离，这时候我们就可以用勾股定理来求斜线距离。

我们可以把地图上的两个点看成直角三角形的直角点，然后利用勾股定理求得斜线距离。

2. 建筑设计在建筑设计中，我们往往需要计算建筑物的高度或者长度等。

在有些情况下，我们需要测量无法直接测得的高度或者长度，这时候也可以使用勾股定理来计算。

例如，我们可以通过测量某一楼层地面到天花板的距离以及该楼层到地面的距离，就可以利用勾股定理计算出该建筑物的高度。

3. 计算斜坡的高度和长度4. 求解导弹打靶问题导弹打靶问题是勾股定理应用于瞄准问题的典型案例。

假设导弹从一个点出发，需要打中地面上的目标点，我们可以将导弹的路程看成直角三角形的斜边，然后利用勾股定理计算出导弹需要调整的角度和方向。

5. 计算船舶航行距离在海上航行时，需要计算船舶的航行距离。

假设船舶向东行驶一定距离，然后向南行驶一定距离，这时候我们可以将船舶行驶的距离看成直角三角形的两条直角边，然后利用勾股定理计算出船舶的航行距离和方向。

6. 计算斜面上的物体滑动速度在物理学中，斜面上的物体滑动速度计算是一个重要问题。

假设滑动的物体滑到底部所需要的时间是已知的，我们可以将斜面看成直角三角形，然后利用勾股定理计算出物体下滑的速度和加速度。

综上所述，勾股定理在数学和实际应用中都有着广泛的应用。

随着科技的不断发展，勾股定理也会被应用到更多的领域中，为我们的生活带来更多便利。

八年级数学下册勾股定理知识点(含答案)

勾股定理知识点一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。

（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n的线段。

苏科版数学八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合(全等与勾股定理)(四)

八年级上册数学期末几何专题复习——三角形综合（全等与勾股定理）（四）1．如图，在等腰△ABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连接AP交BC于点E，连接BP交AC于点F．（1）证明：∠CAE＝∠CBF；（2）证明：AE＝BF；（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记△ABC和△ABG的面积分别为S△ABC 和S△ABG，如果存在点P，能使得S△ABC＝S△ABG，求∠ACB的取值范围．2．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE 为一边作等边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．3．已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，点C重合）．以AD 为边作等边三角形ADE，连接CE．（1）如图1，当点D在边BC上时．①求证：△ABD≌△ACE；②直接判断结论BC＝DC+CE是否成立（不需证明）；（2）如图2，当点D在边BC的延长线上时，其他条件不变，请写出BC，DC，CE之间存在的数量关系，并写出证明过程．4．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝∠BAD＝90°，BD、AC交于点F，且AF＝AD，作DE⊥AC于点E．（1）求证：∠CBF＝∠ABF；（2）若AB﹣BC＝4，AC＝8，求BC的长；（3）求证：AE＝CF．5．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，∠DAB＝∠ABD，BE⊥AD，垂足为E．求证：BC＝2AE．小明探究发现，可以通过构造全等三角形来解决，在BC上截取BF＝AE，连接AF，可证△ABF≌△BAE（如图2），从而使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是（填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”中的一个）；参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC是等边三角形，点P在BQ上，且∠APB＝120°，CP＝CQ，探究线段AP，BQ的数量关系，并证明你的结论．6．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．请补充完整证明“BE＝DC，且BE⊥DC”的推理过程；证明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形（已知）∴AB＝AD，AE＝AC（等腰直角三角形定义）又∵∠BAD＝∠CAE＝90°（已知）∴∠BAD+∠BAC＝（等式性质）即：∴△ABE≌△ADC（）∴BE＝DC（全等三角形的对应边相等）∠ABE＝∠ADC（全等三角形的对应角相等）又∵∠BFO＝∠DFA（）∠ADF+∠DFA＝90°（直角三角形的两个锐角互余）∴∠ABE+∠BFO＝90°（等量代换）∴即BE⊥DC（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD 相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？7．如图，在△ABC中，AB＝AC，射线BD上有一点P，且∠BPC＝∠BAC．（1）求证：∠APC＝∠APD；（2）求证：AB+AC＞PB+PC．8．已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G．（1）如图1，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°．求证：①△BDF≌△ADC；②FG+DC＝AD；（2）如图2，若∠ABC＝135°，直接写出FG、DC、AD之间满足的数量关系．9．阅读探索题：（1）如图1，OP是∠MON的平分线，以O为圆心任意长为半径作弧，分别交射线ON、OM 于C、B两点，在射线OP上任取一点A（点O除外），连接AB、AC．求证：△AOB≌△AOC．（2）请你参考以上方法，解答下列问题：如图2，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，试判断BC和AC、AD 之间的数量关系并证明．10．阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB＝FC，从而把AB，AD，DC转化到△ADF中即可判断．（1）AB、AD、DC之间的等量关系为；（2）完成（1）的证明．问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．参考答案1．（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，CH是底边上的高线，∴AC＝BC，∠ACP＝∠BCP．又∵CP＝CP，∴△ACP≌△BCP．∴∠CAP＝∠CBP，即∠CAE＝∠CBF．（2）证明：∵在△ACE与△BCF中，，∴△ACE≌△BCF（ASA）．∴AE＝BF．（3）解：∵由（2）知△ABG是以AB为底边的等腰三角形，∴S△ABC ＝S△ABG．∴AE＝AC．①当∠ACB为直角或钝角时，在△ACE中，不论点P在CH何处，均有AE＞AC，所以结论不成立；②当∠ACB为锐角时，∠CAH＝90°﹣∠ACB，而∠CAE＜∠CAH，要使AE＝AC，只需使∠ACB＝∠CEA，此时，∠CAE＝180°﹣2∠ACB，只须180°﹣2∠ACB＜90°﹣∠ACB，解得：60°＜∠ACB＜90°．2．【问题解决】证明：在CD上截取CH＝CE，如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠ECH＝60°，∴△CEH是等边三角形，∴EH＝EC＝CH，∠CEH＝60°，∵△DEF是等边三角形，∴DE＝FE，∠DEF＝60°，∴∠DEH+∠HEF＝∠FEC+∠HEF＝60°，∴∠DEH＝∠FEC，在△DEH和△FEC中，，∴△DEH≌△FEC（SAS），∴DH＝CF，∴CD＝CH+DH＝CE+CF，∴CE+CF＝CD；【类比探究】解：线段CE，CF与CD之间的等量关系是FC＝CD+CE；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，过D作DG∥AB，交AC的延长线于点G，如图2所示：∵GD∥AB，∴∠GDC＝∠B＝60°，∠DGC＝∠A＝60°，∴∠GDC＝∠DGC＝60°，∴△GCD为等边三角形，∴DG＝CD＝CG，∠GDC＝60°，∵△EDF为等边三角形，∴ED＝DF，∠EDF＝∠GDC＝60°，∴∠EDG＝∠FDC，在△EGD和△FCD中，，∴△EGD≌△FCD（SAS），∴EG＝FC，∴FC＝EG＝CG+CE＝CD+CE．3．解：（1）①∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．②∵△ABD≌△ACE，∴BD＝CE．∵BC＝BD+CD，∴BC＝CE+CD．（2）BC+CD＝CE．∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝BC＝AC，AD＝DE＝AE．∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE（SAS）．∴BD＝CE．∵BD＝BC+CD，∴CE＝BC+CD；4．（1）证明：∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠AFD＝∠BFC，∴∠ADF＝∠BFC，在Rt△CBF和Rt△ABD中，∴Rt△CBF～Rt△ABD，∴∠CBF＝∠ABF．（2）解：设BC＝x，∵AB﹣BC＝4，∴AB＝x+4，在Rt△ABC中，∵AC＝8，∴（x+4）2﹣x2＝64，整理，可得8x+16＝64，解得x＝6，∴BC的长是6．（3）证明：如图1，作FG⊥AB于点G，，∵∠CBF＝∠ABF，∴FG＝CF，∵∠FAG+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠FAG＝∠ADE，∵∠AFG＝90°﹣∠FAG，∠DAE＝90°﹣∠ADE，∴∠AFG＝∠DAE，在Rt△AFG和Rt△DAE中，∴Rt△AFG≌Rt△DAE，∴AE＝FG，∵FG＝CF，∴AE＝CF．5．解：（1）在BC上截取BF＝AE，连接AF，如图2所示：∵∠DAB＝∠ABD，∴∠BAE＝∠ABF，在△ABF和△BAE中，，∴△ABF≌△BAE（SAS），故答案为：SAS；（2）BQ＝2AP，理由如下：在BP上截取点M，使BM＝AP，连接CM，在QB上取点N，使QN＝PM，连接CN，如图3所示：∵∠APB＝120°，∴∠APQ＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC，∴∠APQ＝∠ABC，即∠ABP+∠BAP＝∠ABP+∠CBM，∴∠BAP＝∠CBM，在△ABP和△BCM中，，∴△ABP≌△BCM（SAS），∴BP＝CM，∠APB＝∠BMC＝120°，∴∠CMN＝180°﹣120°＝60°，∵CP＝CQ，∴∠CPM＝∠Q，在△PCM和△QCN中，，∴△PCM≌△QCN（SAS），∴CM＝CN，∴△CMN是等边三角形∴CM＝MN，∵BQ＝BP+PM+MN+QN，∴BQ＝2BM＝2AP．6．（1）解：∠CAE+∠BAC，∠DAC＝∠BAE，SAS，对顶角相等，∠BOF＝∠DAF＝90°；（2）证明：如图2，∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，∴AD＝AB，AE＝AC，∠ACE＝∠AEC＝60°，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，∴∠DAC＝∠BAE，在△DAC和△BAE中，，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴CD＝BE，∠BEA＝∠ACD，∴∠BOC＝∠ECO+∠OEC＝∠DCA+∠ACE+∠OEC＝∠BEA+∠ACE+∠OEC＝∠ACE+∠AEC＝60°+60°＝120°．∴∠BOC＝60°．7．解：（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BPC＝∠BAC，∴A、P、B、C四点共圆，∴∠APC＝∠ABC，∠APB+∠ACB＝180°∴∠APC＝∠ACB，∵∠APB+∠APD＝180°∴∠ACB＝∠APD（2）证明：如图，在射线PD上截取PE＝PC，连接AE，在△PAE和△PAC中∴△PAE≌△PAC（SAS）∴AE＝AC∵在△ABE中，AB+AE＞BE∴AB+AC＞PB+PC．8．解：（1）①证明：∵∠ADB＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BAD＝∠ABC＝45°，∴AD＝BD；∵∠BEC＝90°，∴∠CBE+∠C＝90°又∵∠DAC+∠C＝90°，∴∠CBE＝∠DAC；∵∠FDB＝∠CDA＝90°，∴△FDB≌△CDA（ASA）②∵△FDB≌△CDA，∴DF＝DC；∵GF∥BC，∴∠AGF＝∠ABC＝45°，∴∠AGF＝∠BAD，∴FA＝FG；∴FG+DC＝FA+DF＝AD．（2）FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．理由：∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝45°，△ABD、△AGF皆为等腰直角三角形，∴BD＝AD，FG＝AF＝AD+DF；∵∠FAE+∠DFB＝∠FAE+∠DCA＝90°，又∵∠FDB＝∠CDA＝90°，BD＝AD，∴△BDF≌△ADC（AAS）；∴DF＝DC，∴FG、DC、AD之间的数量关系为：FG＝DC+AD．9．（1）证明：在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS）．（2）在CB上截取CE＝CA，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠CAD＝∠CED＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠B＝30°，∴∠EDB＝30°，即∠EDB＝∠B，∴DE＝EB，∵BC＝CE+BE，∴BC＝AC+DE，∴BC＝AC+AD．10．解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF＝∠F，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，在△AEB和△FEC中，∵，∴△AEB≌△FEC，∴AB＝FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD，∴AD＝DC+CF＝DC+AB，故答案为：AD＝AB+DC；（2）AB＝AF+CF，如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB＝GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，∴∠FAG＝∠G，∴FA＝FG，∴AB＝CG＝AF+CF．。

勾股定理(知识归纳+题型突破)(解析版)-2023-2024学年八年级数学上册单元速记巧练

勾股定理（知识归纳+题型突破）1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证：22a b +与2c 是否具有相等关系：若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；若222a b c +＞时，△ABC 若222a b c +＜时，△ABC 是钝角三角形．2.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.要点：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.四、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）解决与勾股定理有关的面积计算；（4）勾股定理在实际生活中的应用．A．8【答案】A【分析】利用勾股定理进行求解即可．∠=【解析】解：∵A【点睛】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键，注意分类讨论，∴()()22340a b -+-=，∴30a -=，40b -=，解得：3a =，4b =，∵5c =，∴22229165a b c +=+==，∴ABC 为直角三角形．故答案为：直角三角形．【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，非负数的性质，勾股定理的应用，利用非负数的性质求解3a =，4b =是解本题的关键．题型四勾股定理的逆定理的实际应用【例4】．如图，某住宅小区在施工后留下了一块空地，已知4=AD 米，3CD =米，13AB =米，12BC =米，90ADC ∠=︒，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪．若草坪每平方米30元，则用该草坪铺满这块空地需花费多少元？【答案】铺满这块空地共需花费720元【分析】连接AC ，在Rt ACD △中利用勾股定理计算出AC 长，再利用勾股定理逆定理证明90ACB ∠=︒，再利用ACB ACD S S - 可得草坪面积，然后再计算花费即可．【解析】连接AC ，在Rt ACD △中，4=AD 米，3CD =米，222223425AC CD AD =+=+=，∴5AC =，1．为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD ，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量903m 4m 12m 13m A AB DA BC CD ∠=︒====，，，，．(1)求出空地ABCD 的面积．(2)若每种植1平方米草皮需要300元，问总共需投入多少元？【答案】(1)空地ABCD 的面积为236m ；(2)总共需投入10800元．【分析】（1）连接BD ．在Rt △ABD 中可求得BD 的长，再由勾股定理的逆定理证得CBD △是直角三角形，且90DBC ∠=︒；根据三角形面积公式即可求解；（2）根据总费用=面积×单价解答即可．【解析】（1）解：连接BD ．在Rt △ABD 中，222222345BD AB AD =+=+=．在CBD △中，22221312CD BC ==，，而22212513+=，即222BC BD CD +=，∴CBD △是直角三角形，且90DBC ∠=︒，A ．7B ．8【答案】D ∵3,1OC BC ==∴223110OA OB ==+=，(1)写出数轴上点A 表示的数；(2)比较点A 表示的数与 1.5-的大小；由勾股定理得：2222OC OH CH =+=+以O 为圆心，OC 长为半径画弧，交x 轴的正半轴于点【答案】直角【分析】结合网格图，先根据勾股定理求出AB【解析】由图可知，2∴222AB BC AC +=，∴ABC 是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查的是勾股定理及其逆定理的知识，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．A ．101313【答案】D【分析】根据勾股定理计算【解析】解：由勾股定理得：∵1332ABC S =⨯-⨯△∴1722AC BD ⋅=，∴137BD ⋅=，∴71313BD =，故选：D ．【点睛】本题考查了网格与勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．2．如图，小正方形边长为(1)在图1中以格点A为顶点画一个面积为(2)①在图2中以格点E为顶点画一个的面积．②求出EFG【答案】(1)见解析正方形ABCD即为所求作的图形；（2）①如图2，EF=，EG=② 2222EF EG FG∴+=∴EFG为直角三角形【解析】解：∵在ABC 中，90A C ∠+∠=︒，∴90B Ð=°，∴ABC 为直角三角形，则根据勾股定理得：222a c b +=．故选：C ．【点睛】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．巩固训练：1．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，点A 向上平移后到A '，得到A BC ' ．下面说法错误的是（）A ．ABC 的内角和仍为180︒B ．BAC BAC '∠<∠C ．222AB AC BC +=D ．222A B A C BC ''+<【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理，勾股定理以及平移的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解析】解：A 、△A ′BC 的内角和仍为180°正确，故本选项正确，不合题意；B 、∵∠BA ′C ＜90°，∠BAC =90°，∴∠BA ′C ＜∠BAC 正确，故本选项正确，不合题意；C 、由勾股定理，AB 2+AC 2=BC 2，故本选项正确，不合题意；D 、应为A ′B 2+A ′C 2＞BC 2，故本选项错误，符合题意．故选：D ．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的内角和定理，以及平移，熟记定理并准确识图是解题的关键．2．如图，在ABC 中，AB AC >，AH BC ⊥于H ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB AC -与MB MC -的大小，则AB AC -（）MB MC -．A ．大于B ．等于C ．小于D ．大小关系不确定【答案】8【分析】分别设三个正方形【解析】解：设正方形由勾股定理得：A ．31B ．63C ．65D ．67【答案】B 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第五代勾股树中正方形的个数．【解析】解：由题意可知第一代勾股树中正方形有123+=（个），第二代勾股树中正方形有21227++=（个），第三代勾股树中正方形有23122215+++=（个），由此推出第五代勾股树中正方形有234512222263+++++=（个）故选：B ．【点睛】本题考查了图形类规律探索的相关问题，仔细观察从图中找到规律是解题的关键．【例10】．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为123S S S 、、．若12318S S S ++=A ．125B ．6C ．5D ．154【答案】B【解析】先设每个直角三角形的长直角边为关于a 、b 的方程，然后整理化简，即可求得【解答】解：设每个直角三角形的长直角边为∴()()()222218a b a b a b ++++-=，∴2222222218a ab b a b a ab b ++++++=-，∴()22318a b +=，∴226a b +=，∴2226S a b =+=，故选：B ．【点评】本题考查勾股定理的应用、正方形的面积，解答本题的关键是明确勾股定理的内容，可以写出相应的等式．【答案】=【解析】连接AC ，分别在Rt 从而可得22AB BC AD +=【分析】解：连接AC ，∵90ABC ADC ∠=∠=︒，∴222AB BC AC +=，2ADA．8B．22【答案】C【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为22218==即最大正方形的面积为z x y+【解析】解：设中间两个正方形的边长分别为222==；x+23133．如图，有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，就变成了如图所示的形状，若继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A ．2024B ．2023C ．2022D ．1【答案】A 【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212⨯=；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313⨯=，推而广之即可求出“生长”2023次后形成图形中所有正方形的面积之和．【解析】解：设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得222+=a b c ，即1A B C S S S +==正方形正方形正方形．“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是212⨯=；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是313⨯=，“生长”3次后，所有的正方形的面积和是414⨯=，…“生长”了2023次后形成的图形中所有的正方形的面积和是202412024⨯=．故选：A ．【点睛】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键．4．勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一．下列图形中可以证明勾股定理的有（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④【答案】D 【分析】利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可．【解析】解：①()()22211222S a b a ab b =+=++梯形，(2111122222S ab ab c ab c =++=+梯形22A ．5B 【答案】C，．B．C．D．【答案】A【分析】根据赵爽弦图证明勾股定理的方法即可求解．【解析】解：个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，直角三角形中较长的直角边为A．300m B．400m【答案】A【分析】根据勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方计算判断．△【解析】解：如图，Rt ABC1．海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为（）A．10m B．15m C．18m D．20m∴2213AC AB BC =+=，∴这棵大树在折断前的高度为13+故选C ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．A ．213【答案】B 【分析】沿过点的最短路程，求出【解析】解：如图所示：沿过【点睛】本题考查勾股定理的应用求解是解题的关键．3．将一根长为17cm则x的取值范围是（【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意，确定出4．一棵高10m的大树倒在了高面向下滑动，请回答下列各题．(1)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了(2)如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了【答案】(1)是，理由见解析(2)不一定，理由见解析【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意，利用勾股定理求得线段长度是解题的关键．的点A．20【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．【解析】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点D，故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．6．为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路到广播宣传，宣讲车P在公路MN(1)村庄能否听到广播宣传?请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是200m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析(2)8min【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．7．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在的南偏西36︒方向上，与C的距离是600海里．(1)求点A 与点B 之间的距离；(2)若在点C 处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)1000AB =∵CH AB ⊥；∴90CHB ∠︒＝；∵21ABC S AC BC =⋅= ∴480CH ＝；A．7B．【答案】A【分析】先根据勾股定理求出长上的一点，将【答案】52【分析】首先根据勾股定理求出【解析】∵90C ∠=︒，∴22AC AB BC =-=A．423-B．【答案】A【分析】由正方形ABCD可得==，利用勾股定理可求CD DF2(1)求AD的长；是直角三角形．(2)求证：ABC【答案】(1)16(1)试判断ADC △的形状，并说明理由；(2)求四边形ABCD 的面积【答案】(1)ADC △是直角三角形，理由见解析(2)44【分析】（1）在Rt ABC △(1)求证：222AD BE DE +=；(2)若2EB AD =，求DE AD的值．【答案】(1)证明见解析(2)5DE AD=，从而可得答案∵在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，∴45CAB B ∠=∠=︒，∴45FAC ∠=︒，∴()SAS CAF CBE ≌，．用四个全等的直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图，其中四(1)结合图①，求证：222a b c.+=(2)如图②，将这四个全等的直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到图形OB=．求该图形的面积．周长为24，3【答案】(1)证明见解析(2)24【分析】（1）由图形可知，大正方形面积等于中间小正方形面积与四个完全相同的直角三角形的面积的和，(1)AC=______；是否为直角三角形，并说明理由．(2)判断ABC⊥，(3)过点A作AE AB【答案】(1)53+；是直角三角形，理由见解析；(2)ABC(1)请运用公式计算点()4,2M 和点(2,N (2)在（1）的条件下，点O 为原点，求【答案】(1)13(2)1335+【分析】（1）利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式直接计算。

2019勾股定理中考复习(含解析)

构造直角三角形巧解题有些几何题，若能仔细观察、把握特征、抓住本质、恰当地构造直角三角形进行转化，就会收到化难为易、事半功倍的效果.下面举例介绍构造直角三角形解题的若干常用方法，供同学们复习时参考.一、利用已知直角构造直角三角形例1：如图1，在四边形ABCD 中，∠A=060，∠B=∠D=090，AB=2，CD=1.则BC 和AD 的长分别为_______和_______.解析:考虑到图中含有090和060的角，若延长AD 、BC 相交于E ，则可以构造出Rt △AEB 和Rt △CED ，易知∠E=030，从而可求出DE=3，AE=4，BE=23，故AD=4-3，BC=23-2.1（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．2如图，要在宽为22米的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2米，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为( ) A ．(11－2)米 B ．(11－2)米 C ．(11－2)米 D ．(11－4)米图13已知：如图，△ABC 中，∠CAB ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，AD ⊥BC ，D 是垂足，求AD 的长．二、利用勾股定理构造直角三角形例2：如图2，在四边形ABCD 中，AB=AD=8，∠A=060，∠ADC=0150，已知四边形ABCD 的周长为32，求四边形ABCD 的面积.解析:四边形ABCD 是一个不规则的四边形，要求其面积，可设法变成特殊的三角形求解.连接BD ，则△ABD 是等边三角形， △BDC 是直角三角形，由于AB=AD=BD=8，，求△ABD 的面积不难解决，关键是求△BDC 的面积.可运用周长和勾股定理联合求出DC ，从而求出△BDC 的面积.解答:连接BD.∵AB=AD ，∠A=060，∴△ABD 是等边三角形.∴∠ADB=060，BD=AD=AB=8. 因为∠ADC=0150，∴∠BDC=090，故△BDC 是直角三角形，因为四边形ABCD 的周长为32， AB=AD=8， ∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC.在Rt △BDC 中，222BC DC BD =+，即()222168DC DC -=+.解得DC=6.∴248621=⨯⨯=∆BDC S .用勾股定理求出等边△ABD 的高为34823=⨯. 31634821=⨯⨯=∆ABD S .∴24316+=+=∆∆BDC ABD ABCD S S S 四. 说明:⑴求不规则的图形面积应用割补法把图形分解为特殊的图形;⑴四边形中通过添加辅助线构造直角三角形;⑶边长为a 的等边三角形的高为a 23，面积为243a .图21如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（）A ．450a 元B ．225a 元C ．150a 元D ．300a 元三、利用高构造直角三角形例3：如图3，等腰△ABC 的底边长为8cm ，腰长为5cm ，一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直.解析：本题是一道探究性的动态问题，假设P 在某一时刻有PA ⊥AC ，此时P 点运动了几秒，这是解决问题的着手点.设BP=x ，PC=8-x ，在Rt △PAC 中，由于PA 不知道，无法建立关系式.考虑△ABC 是等腰三角形，如作底边上的高AD ，则可用x 的代数式表示AP ，用勾股定理便可求出x ，进而求出运动时间.当P 点运动到D 与C 之间时，也存在AP ⊥AB 的情况，故要分类讨论.解答：作底边BC 的高AD ，则AD ⊥BC ，垂足为D. 设BP=xcm ，PA ⊥AC.由等腰三角形的性质知BD=DC=21BC=4cm. 在Rt △ADB 中，222AB BD AD =+， 94522222=-=-=BD AB AD ，∴AD=3 (cm). 在Rt △PAC 中， 222PC AC AP =+，∴()()22228543x x -=+-+.解得x=47，即BP=47(cm). P 点移动的时间为47÷0.25=7(s). 当P 点移动到D 点与C 点之间时，作P 点关于D 点的对称点P '，则47='C P (cm).425478=-='P B (cm). 此时P 点的运动时间为2525.0425=÷(s). 答：当P 点移动7(s)或25(s)时，PA 与腰垂直.说明：动态探究问题的解答关键是把它在某一瞬间看做不动，即动中求静，抓住运动中的不变量进行探究.本例中等腰三角形“三线合一”的性质与勾股定理是构成解决问题的纽带，由于点P 是运动的，故要分类讨论.图3四、利用勾股定理的逆定理构造直角三角形例4:如图4，在△ABC 中，AB=5，AC=13，BC 边上的中线AD=6，求BC 的长.解析:注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此加倍延长中线AD 到E ，连接CE ，将AB ，AC ，2AD 集中到同一△ACE 中，构成直角三角形，运用勾股定理求BC 的长.解答:延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD=CD.又AD=ED ， ∠ADB=∠EDC ， ∴△ADB ≌△EDC(SAS)， ∴CE=BA=5. 又AC=13，AE=2AD=12， ∴22213169125==+，即222AC AE CE =+， ∴△AEC 是直角三角形且∠E=090.在Rt △DEC 中，222CE DE CD +=， ∴CD=，615622=+BC=2CD=2，61 ∴BC 边的长为261.说明:遇到中线问题往往加倍延长，同时对勾股数应有灵敏的感觉，只要已知三角形三边的长，就应该用勾股定理的逆定理来判断三角形的形状.中考真题3．（2018•泸州）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（）A ．9B ．6C ．4D ．3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a ﹣b ，∵每一个直角三角形的面积为：ab=×8=4， ∴4×ab+（a ﹣b ）2=25， ∴（a ﹣b ）2=25﹣16=9， ∴a ﹣b=3，故选：D ．8．（2018•吉林）如图，在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C坐标为（﹣1，0）．【分析】求出OA、OB，根据勾股定理求出AB，即可得出AC，求出OC长即可．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，∴AC=AB=5，∴OC=5﹣4=1，∴点C的坐标为（﹣1，0），故答案为：（﹣1，0），9．（2018•玉林）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是2＜AD＜8．【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E，作BF⊥AD于F．在Rt△ABE中，∵∠E=30°，AB=4，∴AE=2AB=8，在Rt△ABF中，AF=AB=2，∴AD的取值范围为2＜AD＜8，故答案为2＜AD＜8．10．（2018•襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为2或2．【分析】分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，②当△ABC是钝角三角形，如图2，分别根据勾股定理计算AC和BC即可．【解答】解：分两种情况：①当△ABC是锐角三角形，如图1，∵CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∵CD=，AD=1，∴AC=2，∵AB=2AC，∴AB=4，∴BD=4﹣1=3，∴BC===2；②当△ABC是钝角三角形，如图2，同理得：AC=2，AB=4，∴BC===2；综上所述，BC的长为2或2．故答案为：2或2．11、（2016•哈尔滨）在等腰直角三角形ABC中，∠ ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为．11、【解答】解：①如图1，∵∠ ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==，②如图2，∵∠ ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，3．（2016·山东省东营市·3分）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC边上的高AD＝6，则另一边BC等于( )A．10B．8C．6或10D．8或10【知识点】勾股定理、分类讨论思想【答案】C.【解析】在图①中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD＋CD＝8＋2＝10.在图②中，由勾股定理，得BD＝AB2－AD2＝102－62＝8;CD＝AC2－AD2＝(210)2－62＝2;∴BC＝BD―CD＝8―2＝6.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.14．（2018•湘潭）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为x2+32=（10﹣x）2．【分析】设AC=x，可知AB=10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC=x，∵AC+AB=10，∴AB=10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2．故答案为：x2+32=（10﹣x）2．7．（2018•东营）如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是（）A．B． C．D．【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD为底面半圆弧长，AD=1.5π，所以AC=，故选：C．3. （2014•山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．考点：平面展开－最短路径问题；勾股定理的应用．分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出．解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长222015 =25（尺）．故答案为：2515．（2018•黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm ，底面周长为32cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为 20 cm （杯壁厚度不计）．【分析】将杯子侧面展开，建立A 关于EF 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作A 关于EF 的对称点A′，连接A′B ，则A′B 即为最短距离，A′B===20（cm ）．故答案为20．3．（2016•株洲）如图，以直角三角形a、b、c为边，向外作等边三角形，半圆，等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3图形个数有（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2015•大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为（）A．﹣1 B．+1 C．﹣1 D．+1类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP ＝160m。

八下数学勾股定律

有关“数学”的勾股定理
有关“数学”的勾股定理如下：
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派。

勾股定理的公式为a²+b²=c²，其中a、b代表两条直角边，c代表斜边。

这个定理的证明方法有很多种，其中最有代表性的是几何证明。

此外，还有代数证明、三角函数证明等多种证明方法。

勾股定理不仅在数学中有着广泛的应用，它在日常生活中也有着很多用途。

比如，可以用勾股定理测量房屋的面积、修建水平线等等。

此外，勾股定理也是其他学科的基础，比如实验物理中的力学、声学等等。

专题04 勾股定理压轴题型汇总(原卷版)

专题04 勾股定理压轴题型汇总一、单选题1．如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝GE，AF＝4，BF＝2，△ADG的面积为52，则点F到BC的距离为（）A B C D2．七巧板是我国祖先的一项卓越创造，下列四幅图是爱思考的小红同学用如图所示的七巧板拼成的，则这四个图形的周长从大到小排列正确的是（）A．乙＞丙＞甲＞丁B．乙＞甲＞丙＞丁C．丙＞乙＞甲＞丁D．丙＞乙＞丁＞甲3．如图，在ABC中，点D是边AB上的中点，连接CD，将BCD△沿着CD翻折，得到ECD，CE与AB交于点F，连接AE．若6,42AB CD AE===,，则点C到AB的距离为（）A．72B．C D．4．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，分别以AB ，AC ，BC 为斜边作三个等腰直角ABD △，ACE ，BCF △，图中阴影部分的面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若已知Rt ABC 的面积，则下列代数式中，一定能求出确切值的代数式是（）A ．4SB ．143S S S +-C ．234S S S ++D ．123S S S +-5．已知a 、b 为两正数，且12a b += ） A ．12B ．13C ．14D ．156．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D 12BC AB =+7．如图，直角三角形纸片ABC 中，6AB =，8AC =，D 为斜边BC 中点，第1次将纸片折叠，使点A 与点D 重合，折痕与AD 交于点1P ；设1P D 的中点为1D ，第2次将纸片折叠，使点A 与点1D 重合，折痕与AD 交于点2P ；设21P D 的中点为2D ，第3次将纸片折叠，使点A 与点2D 重合，折痕与AD 交于点3P ，则3AP 的长为（）A ．46325⨯B ．36352⨯C ．35325⨯D ．23352⨯8．如图，等边ABC 的边长为8．P ，Q 分别是边,AC BC 上的点，连结,AQ BP ，交于点O ．以下结论：①若AP CQ =，则BAP ACQ ≌；②若AQ BP =，则120AOB ∠=︒；③若,7AP CQ BP ==，则5PC =；④若点P 和点Q 分别从点A 和点B 同时出发，以相同的速度向点C 运动（到达点C 就停止），则点O 经过的路径长为）A ．①②③B ．①④C ．①②D ．①③④9．图中不能证明勾股定理的是（）A ．B ．C ．D ．10．如图，在△ABC 和△ADE 中，△BAC =△DAE =90°，AB =AC ，AD =AE ，点C ，D ，E 在同一条直线上，连接B ，D 和B ，E ．下列四个结论：①BD =CE ， ②BD △CE ， ③△ACE +△DBC=30°，④()2222BE AD AB =+．其中，正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题11．如图，△ABC 中，AB ＝BC ，AD △BC 垂足为D ，BE ＝AC ，△EAC ＝3△C ，BD ＝7，AC ﹣2AE ＝8，则AE 的长为 __．12．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 、E 分别在AC 、BC 上，且AD BE =，连接DE ，若四边形BADE 的面积是5，6AB =，则DE 的长为________.13．如图，在Rt ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 、E 为BC 上两点，45DAE ∠=︒，F 为ABC 外一点，且FB BC ⊥，FA AE ⊥，则下列结论：①CE BF =；②222BD CE DE +=；③14ADE EF SAD ⋅＝；④2223CE BE AE +=，其中正确的是（写代号）________．14．在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，D 为AC 中点，E 为边AB 上一动点，当四边形BCDE 有一组邻边相等时，则AE 的长为_____________．15．如图，在四边形ABCD 中，45B C ∠=∠=︒，P 是BC 上一点，PA PD =，90APD ∠=︒，AB CDBC+=______．16．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点D 在BC 上，点E 为Rt ABC △外一点，且ADE 为等边三角形，60CBE ∠=︒，若7BC =，4BE =，则ADE 的边长为__________．三、解答题17．如图，△MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，求运动过程中，点D 到点O 的最大距离．18．如图，是由边长为1的小正方形构成的10×10网格，每个小正方形的顶点叫做格点．五边形ABCDE 的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：（1）五边形ABCDE 的周长为．（2）在AB 上找点F ，使E ，C 两点关于直线DF 对称；（3）设DF 交CE 于点G ，连接AG ，直接写出四边形AEDG 的面积；（4）在直线DF 上找点H ，使△AHB ＝135°．19．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，△ACB＝△ECD＝90°．（1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由；（2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长．（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知△CAE=90°，AC=AE，∠=︒，AB=BC=1，求BE的长．45ABC图1 图2 图320．已知在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点，连接AD，在直线AD右侧作等腰△ADE，AD=AE．（1）如图1，若△BAC=△DAE=90°，连接CE．求证：△ABD△△ACE；（2）如图2，若△BAC=△DAE=120°，AB=AC=2．①当AE△BC时，求线段BD的长；②取AC边的中点F，连接EF．当点D从点B运动到点C过程中，求线段EF长度的最小值与最大值．一、单选题1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学）如图，在△ABC中，AC=BC，△ACB=90°，点D在BC 上，BD=6，DC=2，点P是AB上的动点，则PC+PD的最小值为（）A ．8B ．10C ．12D ．142．（2020·宁波市第十五中学九年级期中）如图，ACB ∆和ECD ∆都是等腰直角三角形，CA CB =，CE CD =，ACB ∆的顶点A 在ECD ∆的斜边DE 上，AB 、CD 交于F ，若6AE =，8AD =，则AF 的长为（）A ．5B ．407C ．285D ．63．（2020·四川）（2019秋•陇西县期中）若△ABC 中，AB ＝7，AC ＝8，高AD ＝6，则BC 的长是（）A ．B ．C ．D ．以上都不对4．（2019·浙江温州市·九年级）如图，在ABC 中，AC =13BC =，AD 、CE 分别是ABC 的高线与中线，点F 是线段CE 的中点，连接DF ．若DF CE ⊥，则AB =（）A ．10B ．11C ．12D ．13称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 2+S 3＝12，则下列关于S 1、S 2、S 3的说法正确的是（）A ．S 1＝2B ．S 2＝3C ．S 3＝6D ．S 1+S 3＝86．（2019·常熟市第一中学八年级月考）如图，在ABC 中，,904C AC ︒∠==cm ，3BC =cm ，点D 、E 分别在AC 、BC 上，现将DCE 沿DE 翻折，使点C 落在点'C 处，连接AC '，则AC '长度的最小值（）A ．不存在B ．等于 1cmC ．等于 2 cmD ．等于 2.5 cm7．（2020·四川省岳池中学八年级月考）在△ABC 中，△BCA=90△,AC=6,BC=8,D 是AB 的中点，将△ACD 沿直线CD 折叠得到△ECD ，连接BE ，则线段BE 的长等于（）A ．5B ．75C ．145D ．3658．（2021·山西）如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（）A ．254cm B ．152cm C ．7cm D ．132cm二、填空题 9．（2021·华东师范大学青岛实验中学八年级期中）如图，在Rt ABC 中，ACB 90,AC 6,BC 8∠=︒==，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E 、F 分别是AD 、AC 上的动点，则CE EF +的最小值为________．10．（2021·汝南县清华园学校九年级期末）如图，在Rt ABC 的纸片中，90C ∠=︒，5AC =，13AB =．点D 在边BC 上，以AD 为折痕将ADB △折叠得到ADB '，AB '与边BC 交于点E ．若DEB '为直角三角形，则BD 的长是_______．11．（2019·浙江八年级期末）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 为边AC 上的一点，3CD CB ==，//DE BC ，BF CE ⊥交AC 于点F ，交CE 于点G ．若1DE =，图中阴影部分的面积为4，则BCG 的周长为______．12．（2020·成都嘉祥外国语学校）如矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝5，点E 是线段CD 上的一点（不与端点重合），连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 落在C ′处，连接C ′C ，C ′D ，当△C ′CD 是等腰三角形时，CE 的长为_____．13．（2020·福建九年级）已知m 为______． 14．（2019·义乌市稠州中学教育集团八年级月考）如图，长方形ABCD 中，6AB CD ==，10AD BC ==，点E 为射线AD 上的一个动点，若ABE △与A BE '关于直线BE 对称，若A BC '为直角三角形，则AE 的长为______．三、解答题15．（2018·江苏苏州·八年级月考）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出线段CD 长的平方吗？16．（2020·朝阳·北京八十中九年级月考）已知45AOB ∠=︒，H 为射线OA 上一定点，1OH =，P 为射线OB 上一点，M 为线段OH 上一动点，连接PM ，满足OMP ∠为钝角，以点P 为中心，将线段PM 顺时针旋转135°，得到线段PN ，连接ON ．（1）依题意补全图1；（2）求证：OMP OPN ∠=∠；（3）点M 关于点H 的对称点为Q ，连接QP ．写出一个OP 的值，使得对于任意的点M 总有ON QP =，并证明．17．（2020·四川成都实外八年级月考）在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，如图1，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作等边三角形ABF ，ACE ，BCD（1）若ACE S =△，ABF S =△BCD S =△______．（2）如图2，将BCD △沿BC 翻折，点D 的对应点记为P ，①连接EP ，请求出AEP ∠的度数．②若AB =AC 的长度变化，点P 也随之运动，试探究AP 的值是否变化，若不变，求出AP 的值；若改变，求出AP 的最小值．18．（2021·四川内江·八年级期末）问题发现：（1）如图1，已知C 为线段AB 上一点，分别以线段AC 、BC 为直角边作等腰直角三角形，△ACD=90°，CA=CD ，CB=CE ，连接AE 、BD ，则AE 、BD 之间的数量关系为___；位置关系为．拓展探究：（2）如图2，把Rt△ACD 绕点C 逆时针旋转，线段AE 、BD 交于点F ，则 AE 与 BD 之间的关系是否仍然成立?请说明理由．拓展延伸：（3）如图3，已知AC=CD ，BC=CE ，△ACD=△BCE=90°，连接AB 、AE 、AD ，把线段 AB 绕点A 旋转，若AB=5，AC=3，请直接写出旋转过程中线段AE 的最大值．19．（2020·浙江）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．（1和2，次三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由；（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）；（3）如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，5BC =，CD 为ABC 的中线，若BCD △是平方倍三角形，求ABC 的面积．20．（2020·浙江）如图，ABC和ADE都是等腰直角三角形，90∠=∠=︒．BAC DAE（1）如图1，点D、E都在ABC外部，连结BD和CE相交于点F．①判断BD与CE的位置关系和数量关系，并说明理由；②若2AB=，AD=2222BF CF DF EF+++的值．（2）如图2，当点D在ABC内部，点E在ABC外部时，连结BE、CD，当3AB=，AD 时，求22+的值．BE CD。