信号与系统课件3

3.2 单位序列和单位序列响应
• 一、复习离散信号有关知识
• 三、单位序列和单位阶跃序列 • 四、单位序列响应和阶跃响应
一、基本离散信号
离散信号表示： (a) 图形表示：
(b)
（c）解析表示：
（d）闭合形式表示：
f Байду номын сангаасk ) e (k 1)
k
三、单位序列和单位阶跃序列
1. 单位序列（单位脉冲序列或单位样值序列）：
3.卷积的一般定义:
f (k ) f1 (k )* f 2 (k )
i
f (i) f
1

2
(k i)
i:求和变量 ：-∞～+∞ ；k:参考量：-∞～+∞
例 已知f [k]=ε [k], h[k]=akε [k],0<a<1, 计算y[k]=f[k]*h[k]
n


f ( n) h( k n )
3 离散系统的时域分析
连续系统与离散系统的比较
连续系统
f (t ) y(t )
离散系统
f (k ) y (k )
常系数线性差分方程 卷积和
y(k ) yzi (k ) yzs (k )
常系数线性微分方程 卷积积分
y(t ) yzi (t ) yzs (t )
yzs (t ) f (t ) h(t )
j i 1
c j kj
n
• 有一对共轭复根λ1,2=a+jb=ρe±jβ yh(k)=ρk[Ccos(βk)+Dsin(βk)] （其中β=arctan(b/a)，ρ=(a2+b2)1/2
几种典型激励函数相应的特解
激励函数f(t) 响应函数y(t)的特解
Pmk m Pm1k m1 P k P 1 0 所有特征根不等于 1
例3.1－1
y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2k(k),求y(k)
解：将差分方程中除y(k)以外的各项都移到等号右端，得
y(k ) 3 y(k 1) 2 y(k 2) f (k )
P cos(k ) Q sin k
激励是常数时，特解为？
选定特解后代入原差分方程，求出待定系数就得 出方程的特解。 3）全解
y ( k ) yh ( k ) y p ( k )
代入初始条件求出待定系数Ci，于是得到完全解
3、零状态响应和零输入响应
1）、解形式
y(k ) y zi (k ) y zs (k )

i 0
k
f1(i)f2(k-i)
序号：i+k-i=k
f(k)
f (3) f1 (0) f 2 (3) f1 (1) f 2 (2) f1 (2) f 2 (1) f1 (3) f 2 (0)
卷积和长度: N=L+M-1 (L+M是原序列长）
3.3、卷积和的性质（一）
1.交换律 2.分配律 3.结合律
1 ） 图 示 法
2）解析法 例：f (k) = a kε (k), h(k) = b kε (k) ，求yzs(k)。 解： yzs(k) = f (k) * h(k)
当i < 0,ε (i) = 0；当i > k时，ε (k - i) = 0
记住常用的求和公式。
3）列表法求卷积和
f(k) =f1(k)*f2(k)=
a
i 0
n
n i
y (k i) bm j f (k j )
j 0 n m
m
an y (k ) an i y (k i ) bm j f (k j )
i 1 j 0
1 y (k ) an
m n an i y (k i) bm j f (k j ) j 0 i 1
一、差分与差分方程
1、前向差分与后向差分 一阶前向差分
f (k ) f (k 1) f (k )
一阶后向差分
f (k ) f (k ) f (k 1)
2、前向差分与后向差分的关系 f (k ) f (k 1) 3、差分方程的一般形式
f [k , y(k ),y(k ), , n y(k )] 0
y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k) =(1+β)y(k-1)+f(k)
即：y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)
——一阶线性差分方程
差分方程与微分方程的关系
例如一阶微分方程
y (t ) a0 y(t ) b0 x(t )
y[(k 1)T ] y(kT ) y(t ) T
位移单位序列：
运算：
加： (k) 2 (k) ＝3(k) 乘：(k) (k) (k) 延时：
0
(k )的性质
1) f ( k ) ( k ) f (0) ( k ) f (k ) (k k0 ) f (k0 ) ( k k0 ) 2) 3)
k
对k=2，将已知初始值y(0)=0,y(1)=2代入上式，得
y(2) 3 y(1) 2 y(0) f (2) 2
依次迭代可得
y (3) 3 y (2) 2 y (1) f (3) 10 y (4) 3 y (3) 2 y (2) f (4) 10 ...
特点：方法简单，便于用计算机求解；
不容易得到解析解（闭式解答），需要归纳总结。
2. 经典解
解：由齐次解和特解两部分组成：
y ( k ) yh ( k ) y p ( k )
1）齐次解：齐次方程
a
i 0
n
n i
y (k i ) 0 的解称为齐次解.
y(k ) an1 y(k 1) ... a0 y(k n) 0, an 1
零输入响应， 激励为零时 的响应
零状态响 应，仅由 激励引起
当特征根均为单根时，有：
y zi (k ) c
i 1 n
n
k zii i
y zs (k ) c y p (k )
i 1 k zsi i
y (k ) yzi (k ) yzs (k ) c y p (k )
i 1 k i i
n
ci=czii+czsi
2）、求初始值
y(k)=yzi(k)+yzs(k) （1）零状态的初值 由于yzs(k)为零状态响应，k<0时激励还没有接入， 所以有： yzs(-1)=yzs(-2)=…=yzs(-n)=0 （2）零输入的初值 yzi(-1)=y(-1)，yzi(-2)=y(-2)，…，yzi(-n)=y(-n) ----系统的初始状态 如何求初始值：yzs(0),yzs(1)…yzs(n-1) ？ yzi(0),yzi(1)…yzi(n-1) ？
将各阶差分写为y(k)及其各移位序列的线性组合：
g[k , y(k ), y(k 1), , y(k n)] 0
系数均为常数—— 常系数差分方程。（LTI离散系 统用常系数差分方程来描述） 变系数差分方程——系数中存在变量
考察一个银行存款本息总额的计算问题。储户每月定期在银 行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为β， 每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。 显然，k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项： （1) 前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)； (2) y(k-1)的月息βy(k-1)；(3) 第k个月存入的款额f(k)。 于是有：
差分方程的解
• 若单输入-单输出的LTI系统的激励为 f(k),全响应为y(k)，则描述系统激 励与响应之间关系的数学模型是n阶 常系数线性差分方程，一般可写为：
a
i 0
n
n i
y(k i) bm j f (k j )
j 0
m
1、用迭代法求差分方程的数值解
差分方程是具有递推关系的代数方程，当 已知初始条件和激励时可以利用迭代法求得差 分方程的数值解 当差分方程阶次较低时可以使用此法
f ( k ) y( k )
yzs (k ) f (k ) h(k )
本章要点：
• LTI离散系统的响应
• 单位序列和单位序列响应 • 卷积和
§3.1 LTI离散系统的响应
• 差分与差分方程 —前向差分、后向差分以及差分方程 解差分方程： 1.迭代法 2.差分方程经典解 —不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的 特解 3.零输入响应和零状态响应
f(i)* δ(k-i)
f (k )
i
f (i) (k i)

yzs (k ) T[f (k )] T[ f (i) (k i)]


f (i)T [ (k i)] f (i)h(k i)
i
i

i
f (k )* h(k )
i
(i) 对应的是连续系统的积分
k
式中，令 i=k-j,则当 i=-时，j= ;
当 i=k时，j=0, 故
(k )
(k j )
j 0
i
(i) (k j)
j
k
0
3.2、单位序列响应和阶跃响应
• 单位序列响应
冲激序列响应：T[{0}, (k )] h(k )
a
i 0
n
n i
y ( k i ) f ( k ) an i h ( k i ) ( k )
i 0
n
1 k 0时， ）
a
i 0
n
n i
h( k i ) 0
2） (k )只影响了初值
阶跃响应：g(k)
1).定义：g(k)=T[0, ε(k) ] 2).h(k)与g(k)的关系：
特征方程：
a n 1
n
n 1
a1 a0 0
它的n个根λi（i=1,2, … ,n)称为差分方程 的特征根
• 均为单实根时的齐次解：
yh ( k ) c
i 1
n
k i i
• λ1为r重根，其余(n-r)为特征单根：
k yh (k ) ci k r i 1 i 1 r
设时间间隔 T 足够小，当 t=kT 时，有 此时微分方程可以近似为
y[(k 1)T ] y(kT ) a0 y(kT ) b0 x(kT ) T
整理得 y(k 1) (a0T 1) y(k ) b0Tx(k )
数字计算机正是根据这一原理将微分方程近似为差分方程，再 进行计算的。 由于微分方程和差分方程形式上的相似，在很大程度上，离散 时间信号与系统的分析方法与连续时间信号与系统的分析方法有着 对应的相似关系。
(k ) 1


f (k ) ( k ) f (0) f (k ) (k k0 ) f (k0 )
k
k

4) 偶函数: (k ) ( k )
2. 单位阶跃序列： (k)
(1)定义：
(2)运算：
3) δ(k)与ε(k)的关系：
δ(k)=▽ε(k)= ε(k)- ε(k-1) 差分表示，对 应的微分δ(t)=dε(t)/dt ε(k)=
(k )
g (k )
k
i
(i) (k
j 0
k

j)
i
h(i) h(k j)
j 0

3.3
卷积和
卷积 积分
卷积 和
离散信号f(k）的分解： …… k=-1, k=0, k=1, …… k=i, ……
f(-1)* δ(k+1) f(0)* δ(k) f(1)* δ(k-1)
有r重特征根等于 1 k r [Pmk m Pm1k m1 P k P ] 1 0
Pa k 当a不等于特征根时 当a为特征单根时 当a是r重特征根时
km
ak
sin k 或cos k
Pka k P0 a k 1
Pr k r a k Pr 1k r 1a k Pka k P0 a k 1
x(n) x(n) x(n) h 1 (n) h 2 (n) x1 (n) x2 (n) h 1 (n) * h2 (n) h 2 (n) h 1 (n) y(n) y(n) y(n)
三个LTI系统响应相同