《集合的概念及基本运算》复习

B={a,a2,ab},且A=B, 则实数a=_-_1_,b=_0__.
解析 由元素的互异性知:a≠1,b≠1,a≠0,
又由A=B,
即aab2

1b或aab2
b， 1
解得a

1, b

0.
【例2】定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈ B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元 素之和为__1_8__. 分析 注意元素的互异性,并利用分类讨论使问题 得以解决. 解析 (1)当x=0时,无论y为何值,都有z=0; (2)当x=1,y=2时,由题意得z=6; (3)当x=1,y=3时,由题意得z=12. 故集合A⊙B={0,6,12},故元素之和为0+6+12=18.
8.集合的交、并、补运算：并集A∪B={x|x∈A或x∈ B}；交集A∩B={x|x∈A且x∈B}；补集 UA={x|x∈
U且x A}，U为全集， UA表示A相对于全集U的
补集.
9.集合的运算性质:并集的性质A∪ =A,A∪A=A,A∪ B=B∪A,A∪B=A B A;交集的性质A∩ = , A∩A=A,A∩B=B∩A,A∩B=A A B;补集的性质
分析 用列举法表示各集合中的元素或用实数的
性质分析.
解析 方法一 列举集合中的元素
A {, 1 , 7 ,13 ,19 ,}, 66 6 6
B {, 1 , 1 , 2 , 7 ,}, 3636
C {, 1 , 2 , 7 , 5 ,}, 6363
∴A B,B=C,即A∪B=C.
一个元素x∈B但x A,则_______（或______）;
A; A A; A B, B C A C; 若A含有n个 元素，则A的子集有_2_n_个，非空子集有_2_n_-_1_个， 非空真子集有__2_n-_2__个. 7.集合相等：若A B且B A，则A B.
练习2 给定集合A,B,定义
A B={x|x=m-n，m∈A,n∈B}.若A={4,5,6}， B={1,2,3},则集合A B中所有元素之和为__1_5__. 解析 由新的集合运算定义知A B={1,2,3,4,5},
故元素之和为15.
【例3】(14分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= {x | 1 x 2}. 2
§1.1 集合的概念及其基本运算
基础知识
要点梳理
1.集合元素的三个特征:互__异__性__、_确_定__性__、_无__序__性__. 2.元素与集合的关系是_属__于__或_不__属__于__关系，用符号
_∈__或____表示.
3.集合的表示法:列__举__法__、描__述__法__、图__示__法__及_区__间__法__.
4.常用数集:自然数集_N__;正整数集__N_*_(或_N_+_);整 数集_Z__;有理数集_Q__；实数集_R__.
5.集合的分类:按集合中元素个数划分，集合可分为
_有__限__集_、_无__限__集_、_空__集__. 6.子集、真子集及其性质:对任意的x∈A,都有x∈B,
则__A___B__（或_B____A_）；若A B,且在B中至少有
3.集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若
A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为__4___.
解析 ∵A={0,2,a},B={1,a2},
A∪B={0,1,2,4,16}
∴
a a
2 16 4
,
∴a=4,故答案为4.
4.已知全集U=A∪B中有m个元
素,( UA)∪( UB)中有n个元素.若A∩B非空，则 A∩B的元素个数为_m__-_n_.
a
a
(1)当a=0时，若A B，此种情况不存在.
当a<0时，若A B，如图,
4 则 a


1 a

1 2 , 2
a a

8 1
2
,
a

8.
[2分]
当a>0时，若A B，如图,
则4
1 a
2

1 2
,
aa

22.
Fra Baidu bibliotek
a

2.
a
方法二 判断集合中元素的共性和差异
A {x | x 6a 1 , a Z}， B {x | x 3b 2 , b Z},
6
6
C {x | x 3c 1 , c Z}. 6
∴A B,
∵3b-2=3(b-1)+1,∴B=C.
∴A∪B=C.
答案 ∪ =
练习1 设集合A={1,a,b},
综上知，当A B时,a<-8或a≥2.
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
[6分]
4 则 a

（1）若A B，求实数a的取值范围；
（2）若B A，求实数a的取值范围；
（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，
试说明理由.
解题示范
解 A中不等式的解集应分三种情况讨论：
①若a=0，则A=R；
②若a<0，则 A {x | 4 x 1 };
a
a
③若a>0,则 A {x | 1 x 4}.
解析 因为A∩B= U[( UA)∪( UB)]，所以A∩B 共有m-n个元素,故答案为m-n.
典型例题
【例1】已知集合A={x|x=a+ 1 ,a∈Z},B={x|x= b 1 ,
6
23
b∈Z},C={x|x= c 1 , c∈Z},则A___B___C(用符
26
号“∈”、“∩”、“∪”、“=”填空).
练习题
1.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6, 9,12}, 则A∩ NB=_{_1_,_5_,_7_}_. 解析 ∵A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}, ∴ NB={1,2,4,5,7,8,…}. ∴A∩ NB={1,5,7}.
2.已知全集U=R， 集合M={x|-2≤x-1≤2}和集合 N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的 韦恩图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素 的个数为__2__. 解析 由题意知M={x|-1≤x≤3},则M∩N={1,3}, 有两个元素,故答案为2.