43均数、率的抽样误差和参数估计

意义：此类调查，每个样本的样本率与总体率都不相 等，相差有多有少，平均相差1.77％。
二、总体率的估计
1.查表法（当n50 ；p或1－p很小） （附表7）
例3.6 某医生用某方法矫正30名近视眼患者的视力,其中 8人近期有效，求该方法的近期有效率的95％可信区间。
依n=30，X=8查附表7 故该方法近期有效率的95％可信区间为：12％46％
** P（- t/2, ≤t≤ t/2, ）＝1-
练习：
1. n=20，＝0.05，双测t界值＝？ 2. n=23，＝0.05，单测t界值＝？ n=23，＝0.02，双测t界值＝？
二、 总体均数的估计
总体均数的估计有点（值）估计和区间估计。 1.点（值）估计（point estimation）：即用样 本均数作为总体均数的估计值。
(106.2,121.8) cm)
P(u / 2
X
sX
u / 2 ) 1
P( X u / 2s / n X u / 2s / n ) 1
例3.3 某地调查110名18岁健康男大学生的身高， 计算其平均身高为172.73cm,标准差为4.19cm。试 估计该地18岁男大学生身高均数的95％可信区间。
X 172.73, s 4.09 n=110，＝0.05，u0.05/2=1.96
P(t / 2,
X
s
t / 2, ) 1
X
X X
t / 2, s
, s
t / 2,
X
X
X t / 2, sX , X t / 2, sX
P( X
t / 2, sX
X
t
/
2,
s X
)
1
例3.2 某地20名18岁男大学生身高均数的样本资料是： 均数为172.25cm，s=3.31cm。试估计该地18岁男大学 生身高均数的95%可信区间。
（二）正态近似法（np5，且n(1-p)5）
总体率的1－可信区间为：
p u / 2s p
例4.7 某病患者120人用同一方法治疗，治愈94 人。试估计该疗法治愈率的95％可信区间。
n=120，X=94，p=X/n=78.3% np=X=94>5，n(1-p)=n-X=120-94=26>5
p(1 p) 0.783(1 0.783)
sp
n
0.0376 120
故该疗法治愈率的95％可信区间为：
p u / 2s p 0.783 1.96 0.0376
0.7ห้องสมุดไป่ตู้9 ~ 0.857
70.9% ~ 85.7%
例题
某市2001年随即抽取了7岁正常女童400名， 测量其身高，并计算得算术平均数为114cm， 标准差为4.0cm： （1）估计该市7岁正常女童身高均数的95％可 信区间。 （2）今有一名7岁女童身高为102cm，则该女 童身高发育是否正常?
该地20岁男大学生身高均数的95％可信区间为：
X u / 2sx 172.73 1.96 4.09 / 110 即 (171.97,173.49)(cm)
该地20岁男大学生身高均数的99％可信区间为：
(171.72,173.74)(cm) 可信度并非愈高愈好。应兼顾精度。
⑶ 已知
的1- 可信区间为：
t界值
附表 t分布表
单侧界值： P（t≥ t, ）＝
例. n=20,＝0.05 求t ,=?
＝n-1
t, =t0.05, 19 =1.729 P（t,19≥1.729）＝0.05
0
t,
t
双侧界值t/2, ： P（t≥ t/2, ）＝/2 P（t≤- t/2, ）＝/2，
t0.05/2, 19 =2.093
(172.25 2.093 3.31/ 20,172.25 2.093 3.31/ 20)
即（170.70，173.80)(cm) 故该地18岁男大学生身高均数的95%可信区间为： 170.70cm—173.80cm。
⑵ 未知，但n足够大（n100）
当n充分大时，t分布逼近u分布，此时， 的1 可信区间为：
( X u / 2sX , X u / 2sX ) X u / 2sX
中心极限定理：
若XN(，），则 X N(， / n ）
u X ~ N (0,1),t X ~ t( )
/ n
s/ n
若n充分大，有t u， u X ~ N (0,1)
s/ n
P(u / 2 u u / 2 ) 1
该地20名18岁男大学生身高均数的95%可信区间为：
( X t / 2, sX , X t / 2, sX ) X 172.25cm, s 3.31cm, n 20 sX s / n
＝n-1＝20-1=19, 1-＝ 0.95, ＝ 0.05 ，由t界值表，t0.05/2,19=2.093
1.( X t / 2, sX , X t / 2, sX ), orX t / 2, sX
2.( X u / 2sX , X u / 2sX ), X u / 2sX 3.( X u / 2 X , X u / 2 X ), X u / 2 X
第四节 总体率的估计
一、阳性率p 的标准误
P（t19≥2.093）＝0.05/2 P（t19≤-2.093）＝0.05/2
/2
/2
- t/2,
0
t/2, t
** P（- t/2, ≤t≤ t/2, ）＝1-
1.单侧： P（t≤- t, ）＝ ， P（t ≥t, ）＝
2.双侧： P（t≤- t/2, ）＝ P（t≥ t/2, ）＝ /2 P（t≤- t/2, ）＋P（t≥ t/2, ）＝，
1.该市7岁正常女童身高均数的95%可信区间为 ：
( X u / 2sX , X u / 2sX ) (114 1.96 4 / 400,114 1.96 4 / 400) 即，(113.6,114.4)(cm) 2.该市7岁正常女童身高的95%正常值范围为：
( X u / 2s, X u / 2s) (114 1.96 4,114 1.96 4)
端点值。
⑴ 未知且样本例数n较小(<100)
总体均数的100（1-）％ 可信区间为：
X t / 2, sX X t / 2, sX
( X t / 2, sX , X t / 2, sX ) X t / 2, sX
由t分布
** P（- t/2, < t < t/2, ）＝1-
** P（- t/2, <t< t/2, ）＝1-
例4.6 某中学用一新方法矫治近视50例，其中26名近期 有效。试求该法近期有效率的99％可信区间。
表7只列出Xn/2部分。本例n=50，X＝26> n/2 应先以n-X查“阴性率”的可信区间，再用100％减之。 以n=50，X`＝50-26=24查表， “阴性率”的99％可信
区间为：30％ 67％ 100％－30％＝70％，100％－67％＝33％ 故该法近期有效率的99％可信区间为：33％ 70％
第三节 均数抽样误差的分布－ t分布和总体均数估计
lyy
统计推断有2个重要方面： 参数估计（estimating parameters） 假设检验(hypothesis testing)
一、 t分布
t分布的特征
t分布的特征
1.t分布曲线以0为中心，单峰，左右两侧对称；
2.t分布是一簇曲线。 t分布有一个参数，即自由 度＝n-1。越小，t变量值的离散程度越大， 曲线越扁平；逐渐增大， t分布曲线逐渐逼近 标准正态曲线，若 ，则t分布曲线和标准正 态曲线完全吻合。
p 的标准误理论值： p 的标准误估计值：
例4.2 2003年某市随机调查50岁以上的中老年 妇女776人，其中患有骨质疏松症的322人，患 病率为41.5％，试估计该样本率的抽样误差。
p 322 / 776 0.415 41.5%
sp
p(1 p) n
0.415(1 0.415) 0.0177 1.77% 776
缺点是没有考虑抽样误差。
2.总体均数的区间估计：
总体均数的区间估计（interval estimation)：是 根据抽样误差的规律，按一定概率（可信度）估 计总体均数所在的区间（范围）。
可信区间（confidence interval）：（a ，b) 可信度（ confidence level）：1- 常用的可信度为1- =95%，99%。 可信限（ confidence limit）：可信区间的两个