2.定积分
解释定积分的概念
解释定积分的概念
定积分是积分的一种,是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。
具体来说,定积分定义如下:设函数f(x) 在区间[a,b]上连续,将区间[a,b]分成n个子
区间[x₀,x₁], (x₁,x₂], (x₂,x₃], …, (xₙ-1,xₙ],其中x₀=a,xₙ=b。
a叫做积分下限,b叫做积分上限,区间[a, b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x
叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积表达式,∫ 叫做积分号。
同时,应注意定积分与不定积分之间的关系:若定积分存在,则它是一个具体的数值,而不定积分是一个函数表达式,它们仅仅在数学上有一个计算关系(牛顿-莱布尼茨公式)。
一个函数,可以存在不定积分,而不存在定积分;也可以存在定积分,而不存在不定积分。
一个连续函数,一定存在定积分和不定积分;若只有有限个间断点,则定积分存在;若有跳跃间断点,则原函数一定不存在,即不定积分一定不存在。
以上内容仅供参考,如需更多信息,建议查阅相关文献或咨询数学专业人士。
2.定积分的性质 中值定理
lim k f ( i )xi
0
n
k lim f ( i )xi
i 1 n
k f ( x )dx
a
河海大学理学院《高等数学》
0 i 1 b
性质2(区间可加性) 假设
acb
则 f 在 [ a , b ] 上可积的充要条件是 f 在 [ a , c ]
a f ( x )dx
即 f ( x )dx
a b
b
a f ( x )dx a
b
b
f ( x )dx ,
a
b
f ( x )dx .
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推论3 (估值定理) 设对于任意的 x∈[ a , b ] ,有
m f ( x) M
则 m(b a )
和 [ c , b ] 都可积 , 并有
a
b
f ( x )dx
a
c
f ( x )dx c f ( x )dx
y
y f ( x)
b
从几何上意义考虑
o
a
c
b
x
河海大学理学院《高等数学》
性质3 如果在区间
则
b
[a , b]
上 f ( x) 0 ,
a f ( x )dx 0 .
河海大学理学院《高等数学》
积分中值定理的几何解释:
在区间[a , b]上至少存在一点
y
f ( )
,使得曲边梯形的面积
等于底为 b - a ,而高为
f ( ) 的一个矩形的面积.
定义 设 f ∈C [ a ,b],称
o a
b x
1 b f ( x ) dx ba a
定积分基本公式16个
定积分基本公式16个定积分基本公式16个如下:1、∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C,其中n≠-1.2、∫1/xdx=ln|x|+C,即当n=-1时的幂函数类型.含有一次二项式类型有如下几个基本公式:3、∫x/(a+bx)dx=(bx-aln|a+bx|)/b^2+C.4、∫x/(a+bx)^2dx=(a/(a+bx)+ln|a+bx|)/b^2+C.5、∫x^2/(a+bx)dx=(-bx(2a-bx)/2+a^2ln|a+bx|)/b^3+C.6、∫x^2/(a+bx)^2dx=(bx-a^2/(a+bx)-2aln|a+bx|)/b^3+C.7、∫x^2/(a+bx)^3dx=(2a/(a+bx)-a^2/(2(a+bx)^2)+ln|a+bx|)/b^3+C.8、∫1/(x(a+bx))dx=ln|x/(a+bx)|/a+C.含有二次二项式的平方和差类型有如下的基本公式:(其中结果出现反三角函数的也可以归为反三角函数类型)9、∫1/(a^2+x^2)dx=arctan(x/a)/a+C.特别地,当a=1时,∫1/(1+x^2)dx=arctanx+C.10、∫1/(x^2-a^2)dx=-∫1/(a^2-x^2)dx=ln|(x-a)/(x+a)|/(2a)+C.11、∫1/根号(a^2-x^2)dx=arcsin(x/a)+C.特别地,当a=1时,∫1/根号(1-x^2)dx=arcsinx+C.12、∫1/(x根号(x^2-a^2))dx=arccos(a/x)/a+C.特别地,当a=1时,∫1/(x根号(x^2-1))dx=arccos(1/x)+C.三角函数类型不定积分公式有很多,以下列举出最常见的,它们都是成对出现的:13、∫sinxdx=-cosx+C;∫cosxdx=sinx+C.14、∫(sinx)^2dx=(x-sinxcosx)/2+C;∫(cosx)^2dx=(x+sinxcosx)/2+C.15、∫xsinxdx=sinx-xcosx+C;∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.16、∫tanxdx=-ln|cosx|+C;∫cotxdx=ln|sinx|+C.。
定积分的概念及性质
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------定积分的概念及性质图 1 图 2 A B 4.4 定积分的概念及性质课题:定积分的概念及性质目的要求:理解定积分的概念及其性质重点:定积分的概念、定积分的几何意义难点:定积分的概念教学方法:讲授为主、讲练结合教学时数:2 课时教学进程:定积分是积分学的另一个重要的基本概念,和导数概念一样,它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的,现已成为解决许多实际问题的有力工具.本节将首先从实际问题出发引出定积分的概念,并介绍定积分的几何意义和性质.随后的两节再介绍定积分与微分的内在联系,定积分的计算及其简单应用.一、定积分的概念 1.两个引例例 1 求曲边梯形的面积.初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等图形的面积,但对于较复杂的曲线所围成的图形(图 1)的面积计算则无能为力.如图所示,我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成如阴影部分所示的基本图形,它是由两条平行线段,一条与之垂直的线段,以及一条曲线弧所围成,这样的图形称为曲边梯形.特别地,当平行线之一缩为一点时,称为曲边三角形.现在求由直线0,,===ybxax和连续曲线)(xfy = ) 0)((xf所围成的曲边梯形 AabB (图 2)的面积 S .如1 / 7果曲边梯形的高不变,即Cy =(常数),则根据矩形面积公式面积=底高便可求出它的面积.但如果)(xfy =是一般曲线,则底边上每一点 x 处的高)(xf随 x 变化而变化,上述计算公式就不适用.对于这样一个初等数学无能为力的问题,我们解决的思路是:将曲边梯形分成许多小长条(图 2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积加起来,就近似得到曲边梯形的面积S .小长条分得越细,近似程度越好,取极限就是面积 S .具体地,分四步来解决. (1) 分割(化整为零) 在区间],[ba内任意添加1n个分点:将区间],[ba分成 n 个子区间,这些子区间的长度记为 1 i=}∆{iixxx ),, 2 , 1=(ni,并用符号i x∆= max表示这些子区间的最大长度.过1n个分点作 x 轴的垂线,于是将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形,它们的面积记作i S∆ ),, 2 , 1=(ni.显然=i∆=niSS1. (2) 代替(以直代曲)在第 i 个子区间],[1iixx 上任取一点i ,作以)(if 为高,],[1iixx为底的第 i 个小矩形,小矩形的面积为 iixf∆)( ),, 2 , 1=(ni第i 个小曲边梯形的面积 iiixfS∆∆)( ),, 2 , 1=(ni. (3) 求和(求曲边梯形面积的近似值)将 n 个小矩形的面积加起来,便得到原曲边梯形面积的近似值 nxfS1(4) 取极限(积零为整)不难想到,当分割越来越细(即 n 越来越大,同时最长的子区间长度越来越小时), n 个矩形的面积和就越来越接近于原曲边梯形的面积.于是---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 当同时0时,矩形面积之和的极限就是原曲边梯形的面积 S,即nxfS1) 0( =i∆ii)(. n,=i∆=iinlim)(.例 2 求变速直线运动的路程设作变速直线运动物体的速度为路程s.如果物体作匀速直线运动,即速度是常量,那么路程=速度时间但现在物体运动的速度是变量,我们可以采取与计算曲边梯形面积相似的方法来计算要求的路程. ],[ba内任意添加将区间],[ba分成 n 个子区间],[1iitt , 2 , 1(i==∆iiittt , 2 , 1(i=并用符号{}= maxniss1)(tvv =) 0( t,求该物体在时间间隔],[ba 内运动的(1) 分割(化整为零)在时间区间1n个分点:bttnn=,这些子区间的长度记为, it ∆表示这些子区间的最大长度.这样就把路程s分割成 n 段路程is∆),, 2 , 1=(ni.显然 =i∆=. (2) 代替(以匀代变)在第 i 个子区间],[1iitt上任取一点i ,则iitv∆的变化也很小,)(v表示物体在时间段],[1iitt上以匀速)(iv 运动时所经过的路程.当it∆很小时,速度)(t可以近似地看做不变,即在时间段],[1iitt∆上物体近似地以匀速)(iv 运动,于是有 is ∆iitv)( ),, 2 , 1=(ni. (3) 求和(求总路程的近似值)把n 个子区间来,就得到 ],[1iitt上按匀速运动计算出的路程加起=i∆niitvs1)(. (4) 取极限(积零为整)不难想到,当对时间间隔],[ba的分割越来越细,小区段上0时,和式的极限看作匀速运动时的路程之和就越来越接近 s .于是当即为 s 的精确值 n,3 / 7同时 =i) 0∆=niinlim(tvs1)(.上面两个问题,一个是几何问题,一个是物理问题,但从数学的角度来考察,所要解决的数学问题相同:求与某个变化范围内的变量有关的总量问题.数学结构相同:求 n 个乘积nxf1出定积分的概念. iixf∆)(之和=∆iii)(,当n,同时{}0max∆=i x时的极限.由此可抽象2.定积分的概念定义 1 设)(xf 是定义在区间],[ba上的有界函数,用点:将区间],[ba任意分成 n 个子区间,这些子区间的长度记为1 i=∆的和式.在每个子区间,[1ix上任取一点i ,作 n 个乘积iixf∆)( =∆niiixf1)(.如果当n,同时最大子区间长度{}0max∆=i x时,和式=∆niiixf1)(的极限存在,并且极限值与区间],[bba的分法以及i 的取法无关,则该极限值称为函数)(xf在区间],[ba上的定积分.记作adxxf)(,即badxxf)(=i) 0∆=niinlim(xf1)(.其中右端的iixf∆)(称为积分元素, =(∆niiixf1)(称为积分和(或和式),左端的符号称为积分号,称为积分区间, a 称为积分下限, b 称为积分上限.定积分存在称为可积,否则称为不可积.有了定积分的概念,前面两个问题可以分别表述为:曲边梯形的面积 S 是曲线)(xf称为被积函数,dxxf)称为被积表达式, x 称为积分变量,],[ba)(xfy =) 0)((xf在区间],[ba上的定积分,即 =S badxxf)(.变速直线运动的物体所经过的路程 s---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 是速度)(tvv =在时间区间],[ba上的定积分,即=badttvs)( 由定积分的定义可知 b(1)定积分变量的字母无关,因而 adxxf)(只与函数)(xf的对应法则以及定义区间],[ba有关,而与表示积分 a 、 b 是常数时,定积分badxxf)(=是一常数. badttf )( badxxf)(图 6 图 3 图 4 图 5 (2) 定积分{max∆]的分法无关,与badxxf)(的实质是和式=∆niiixf1)(的极限(n同时}0=,i x[).是一种特殊和式( n 个乘积iixf∆)(之和)的特殊极限(该极限与bai 的取法无关). )可积? )(x在,[ba什么条件下(xff定理设函数]上连续,则函数)(xf在],[ba上可积.(证明从略)二、定积分的几何意义从例子,我们看到当0)(xf时,定积分时,曲边梯形在 x 轴的下方,badxxf)(表示曲边梯形的面积.当bf0)(xf定积分(xfadxx)(在几何上表示上述曲边梯形面积的负值.当)在],[ba上有正、有负时,则定积分)(xfy =,直线几块曲边梯形面积的代数和(图 3),即bbadxxf)(在几何上表示:曲线ax =,bx =及x 轴所围成的321)(SSSdxxfa+=.例 3 利用定积分的几何意义说明:abdxba= () ba .三、定积分的性质由定积分的定义、几何意义以及函数极限的运算法则可以推知定积分有如下性质(设下面所论及的函数在所论及的区间上是可积的):abxfdxxf)()(性质1. =badx.性质2 0)(=aadxxf性5 / 7质3[])=bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.性质4=babadxxfkdxxkf()( ( k 为常数).性质5(对积分区间的可加性), cbdxxfdxxf)()(,a+=bcaadxxf)( 其中 c 可以在],[ba内,也可以在][ba外. )(图 4),显然有这个性质的几何解释:若bdxxf)(,b(bc+=ccaadxxfdxxf)()(.若c 在],[bba外,如(图5),则有afdx(=+=baccdxxfdxxxf)())(,因为bcaacdxxfdxxf)()(,所以 =caabcdxxfdxxfdxxf)()()(,图 7 图 8 A B 即 (f+=bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.性质6(保序性)若在bf],[ba上)()xgx,则 baadxxgdxx)()(.这个性质的几何解释(图 6) :显然曲边梯形 aCDb 的面积不大于曲边梯形 aABb 的面积.性质7(有界性)设 M 和 m 分别是)(xfb性质7的几何解释(图 7):曲边梯形 aABb 的面积介于矩形间.性质8(定积分中值定理)若)(xf在,[ab=在],[ba上的最大值和最小值,则 )()()(abMdxxfabma. bBaA11和bBaA22的面积之]b上连续,则在],[ba上至少存在一点,使 ))(()(abfdxxfa.这个性质的几何意义是,曲边梯形 aABb 的面积等于以的面积(图 8 的阴影部分). ],[ba 为底,)(f为高的矩形注:由性质8 得公式=badxxfabf)(1)(,称badxxfab)(1为函数)(xf在],[ba上的平均值,记作y ,即---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ =ybadxxfab)(1.例 4 比较定积分21ln xdx 与2x212ln xdx 的大小.例 5 估算定积分 +11dxx值的范围.小结本讲内容:1.定积分的概念2.定积分的性质 3.定积分的几何意义作业:P122~P123 1; 2; 3; 4; 5。
微积分》第二篇第二章讲义定积分
dx
1 e4 1 x4 e 1 3e4 1 4 4 1 16
28
(4) 求定积分 2 xcos2xdx. 0
【解】
2
xcos2xdx
1
2 x(sin2x)dx
0
20
1 2
x
sin
2x
2 0
2 0
1
s
in
2
xdx
1 2
0
1 2
2 0
(c
os2
x)dx
1 2
0
1 cos2x 2
0 excosxdx 0 ex cosxdx
a
a
excosx 0 0 exsinxdx aa
1 eacosa 0 ex sinxdx a
37
即 0 excosxdx a
1 eacosa exsinx 0 0 excosxdx aa
1 eacosa 0 easina 0 excosxdx a
39
21
2 22 1
1 e2 1 4 24
【例7】求定积分 4 1 xex dx. 0
解: 原式
4
1dx
4 xexdx.
0
0
x 4
4
x
ex
dx.
0
0
4
xex
4 0
4 0
x
e
xdx
.
4 4e4 4 exdx 0
4 4e4 ex 4 5 5e4 0
25
课本P-274,题2,(1)—(4)
广义积分 f (x)dx收敛或存在. a 相反,如果极限 lim b f (x)dx不存在, b a
我们就称广义积分 f (x)dx发散或不存在. a 我们的目标:计算一些函数的广义积分
2定积分定义
b b
b
b
b
b
b
b
c
b
f ( x)dx .
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•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f ( x)dx 0 (a<b).
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
b
a f ( x)dx a g ( x)dx (a<b).
1 11 = 1 ( 1 x ) dx = . 0 2 2
1
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三、定积分的性质
两点规定
(1)当 a=b 时, (2)当 a>b 时,
a f ( x)dx = 0 ; a f ( x)dx = b
b a
b
f ( x)dx .
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三、定积分的性质
• 性质1 1 性质
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三、定积分的性质
• 性质1 1 性质 •性质2 2 性质 •性质3 3 性质
a [ f ( x) g ( x)]dx = a f ( x)dx a g ( x)dx . a kf ( x)dx = k a f ( x)dx . >>> a f ( x)dx = a f ( x)dx c
n
于是
i n 1 x n e dx = lim e 0 n i =1
n 2 1 1 1 = lim (e n e n e n ) n n n
1 e n [1 e]
1 = lim n n
2 定积分的物理应用
0
x + dx
x
y 28m
在[0,28]上任取一小区间 [0,28]上任取一小区间[x,x+dx] 上任取一小区间 此小区间对应的链条重为 µdx
x
将这小段链条拉至顶端所作的功近似地等于
5 dW = ( gµdx ) x = gxdx 7
积分的总功为: 积分的总功为:
W =∫
28 0
5 gxdx = 2744( J ) 7
例 2 一圆柱形蓄水池高为 h 米,底半径为 r 米,池内盛满了水 问要把池内的水全部吸 池内盛满了水.问要把池内的水全部吸 需作多少功? 出,需作多少功?
解
建立坐标系如图
取x 为积分变量, 为积分变量,x ∈ [0, h]
取任一小区间[ x , x + dx ],
dx ∴ Fy = −k mµ a ∫ 2 3 0 (a + x 2 ) 2
l
a dFx dFy α d F = k m2µ d x a + x2
x x + d xl x
x dx Fx = k mµ ∫ 2 3 0 (a + x 2 ) 2
l
o
引力大小为 F = F 2 + F 2 x y
内容小结
利用“微元法”思想求变力作功、 利用“微元法”思想求变力作功、水压 力和引力等物理问题. 力和引力等物理问题. (注意熟悉相关的物理知识) 注意熟悉相关的物理知识) Hw:p287 3,7,10,12. : 复习六: 复习六: 1,2,4,6,7,8.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化 就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法” 思想. 思想
4-2定积分
无穷限积分的几何意义 若f ( x) 0, x [a, ), f ( x)dx收敛的几何意义 :
a
曲线y f ( x),直线x a与x轴之间向右无限
延伸的阴影区域有面积,并以 lim A f ( x)dx极 A a
i 1
极限存在,并且其极限值与[a, b]的分割法
以及 i的取法无关, 则该极限值称为函数
f ( x)区间在[a, b]上的定积分,记作 :积分和
积分上限
即
b a
n
f ( x)dx lim
n ( 0)
i 1
f (i )xi
积分下限 被 积 函 数
被积
积分
表变
达 式
量
[a, b] 为积分区间
反常积分,简称无穷限积分,
记作
J f ( x)dx, a
并称 f ( x)dx收敛.否则称 f ( x)dx发散.
a
a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
a
A a
f ( x)dx lim A f ( x)dx .
注意:
(1)积分值仅与被积函数及积分区间有关, 而与 积分变量的字母无关.
b f (x)dx b f (t)dt b f (u)du
a
a
a
(2)在定义中区间的分法和i的取法是任意的.
(3)当函数f ( x)在区间[a, b]上的定积分存在时, 称f ( x)在区间[a, b]上可积.
lim[
0
f
(1
)x1
f
(2 )x2
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中,用函数f(x)的值在x处取的积分,其中x取值于a到b之间的某个点,f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即:将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
(1)定积分是一种积分的形式,它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
(2)定积分可以表示为:∫f(x)dx=F(b)-F(a),其中F(x)是f(x)的积分函数。
(3)定积分可以表示为:∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)],其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
(4)定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分,即把范围[a,b]离散成一定的小段,在每个小段上求f(x)的值,再用这些值进行总和,来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分,即首先求出f(x)的积分方程,在范围[a,b]内,求得它的解后,再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积,也可以用于求求解线性微分方程,求解有关动力学问题的时候,还有一些物理的和化学的问题,这些问题用的都是定积分的知识。
第二章 第十三节 定积分与微积分基本定理
的部分,
∴ 13 3+2x是-x圆2 d面x 积的
1, 4
∴
13
3+2x-x2 dx=1gg22=. 4
答案:π
【互动探究】在本例题(3)中条件不变,求 31 f(x)dx的值.
【解析】由本例题(3)的解答过程知,
3 1
f
x表d示x 以
(1,0)为圆心,2为半径的圆在x轴上方的部分的面积,故
|02
(4x
x2 2
22 3
3
x 2 ) |82
16 38 18. 33
方法二:S=
2[4
4-y
-
y2 2
]dy
=(4y
1 2
y2
1 6
y3
)
|24
=18.
答案:18
(3)由
y
x得3 ,
y x
所求xy 旋11,,转体的体积等于由
y x,xx 轴1所,围成的图形绕x轴旋转一周形成的旋转体
判断出 f x= 3+表2x-示x的2 几何意义,再利用定积分的
几何意义求解.
【规范解答】(1)
11
x2 sin x
dx
(1 3
x3
cos
x)|11
2. 3
答案:2
3
(2)
2 0
1 sin
2xdx
2 0
sin
x cos
x
dx
04
(cosx
sin
_________________.
(2)(2013·芜湖模拟)
2定积分——微积分基本公式
2定积分——微积分基本公式在微积分中,定积分是指对一个函数在一个区间上的积分求解。
在求解定积分的过程中,我们可以使用一些基本公式来简化计算。
接下来,我将介绍一些微积分中常用的基本公式,并解释如何应用这些公式来求解定积分。
1.不定积分和定积分的关系:不定积分和定积分是微积分中的两个重要概念。
给定一个函数f(x),它的不定积分可以表示为F(x) + C,其中F(x)是f(x)的一个原函数,而C是常数。
定积分可以看作是不定积分的一个特殊情况,它表示对函数f(x)在一个区间[a, b]上的积分值,记作∫[a,b]f(x)dx。
第一部分:如果F(x)是f(x)的一个原函数,那么对于[a,b]上的定积分,有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
第二部分:如果F(x)是f(x)的一个原函数,那么不定积分∫f(x)dx= F(x) + C。
这两个定理为我们在求解定积分问题时提供了便利。
2.基本积分表:基本积分表是指一些常见函数的积分形式。
以下是一些常见的基本积分表:a) ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C,其中n不等于-1b) ∫e^x dx = e^x + C。
c) ∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
d) ∫cos(x) dx = sin(x) + C。
e) ∫1/x dx = ln,x, + C。
f) ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。
g) ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C。
h) ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C。
这些基本积分表可以帮助我们在求解定积分时,快速找到积分的原函数,从而简化计算。
3.基本定积分公式:在求解定积分时,我们还可以使用一些基本定积分公式来帮助我们化简问题。
以下是一些常用的基本定积分公式:a) ∫a*f(x)dx = a*∫f(x)dx,其中a为常数。
b) ∫[a,b]f(x)dx = -∫[b,a]f(x)dx,这条公式表示了定积分在反向区间上的结果与原定积分结果的相反数相等。
第2讲 定积分定义
任取ξi ∈[ xi−1, xi ], 作和:
n
∑ f (ξi )Δxi .
i =1
上述和式称为 f 在分割 T 下的一个积分和或黎曼和.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的概念
若 ∀ε > 0,∃δ > 0, 使得对任意分割
T : a0 = x0 < x1 < < xn = b,
通过类似分析,速度 v(t) 质点运动的路程为
b
s = ∫a v(t)dt;
密度为 ρ( x) 线状物体的质量为
b
m = ∫a ρ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的概念
关于定积分定义,应注意以下几点:
n
注1 ∑ 和式 f (ξi )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
∫ ∑ b
n
J=
a
f ( x)dx
=
lim
T →0
i =1
f (ξi )Δxi .
其中称 f 为被积函数,[a, b] 为积分区间, x 为积分变量,
a, b 分别为积分下限和上限.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的概念
由定义,曲边为 f ( x)的曲边梯形的面积为
b
S = ∫a f ( x)dx.
高等教育出版社
§1 定积分的概念
以后将知道 f (x) 在[a, b] 上连续时, 利用 f (x) 在 [a, b] 上的一致连续性, 可证 f (x)在[a, b]上可积.
下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.
∫ 例1 求 1 x2dx. 0
定积分的概念定积分应用
THANKS
谢谢
总结词
定积分在弹性力学中用于计算物体在受力作用下的应力和应变。
详细描述
在弹性力学中,物体在受力作用下的应力和应变可以通过将弹性力学方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的受力分布和边界条件,可以计算出物体的应力和应变。
热传导中的温度分布
总结词
定积分在热传导中用于计算物体内部的温度分布。
详细描述
在热传导问题中,物体内部的温度分布可以通过将热传导方程与定积分相结合来计算。通过确定物体 的热源、边界条件和初始温度分布,可以计算出物体在不同时刻的温度分布。
积分区间
由积分下限和积分上限 确定的闭区间,表示为 $[a, b]$。
定积分的几何意义
定积分表示曲线与直线$y = x$ 及$x$轴所夹的面积,即曲线下
方间的距离。
当定积分的积分区间为$[a, b]$ 时,定积分的值等于曲线与直线 $y = x$及$x$轴所夹的面积在 $x=a$和$x=b$处的面积差。
恒力做功的计算
在物理学中,恒力做功可以直接用力 和位移的乘积来计算。然而,当作用 力是变力时,不能简单地用力和位移 的乘积来计算。
定积分的引入
为了计算变力做功,我们需要引入定 积分的概念。通过将变力函数在位移 区间上进行积分,可以得到变力做功 的值。
04
CHAPTER
定积分在经济学中的应用
边际和弹性
消费者剩余和生产者剩余
消费者剩余
生产者剩余
定积分可用于计算消费者剩余,即消费者愿 意支付的价格与实际支付的价格之间的差额。 通过积分可以求出整个需求曲线下方的面积, 即总消费者剩余。
定积分也可用于计算生产者剩余,即生产者 愿意接受的价格与实际接受的价格之间的差 额。通过积分可以求出整个供给曲线上方的 面积,即总生产者剩余。
定积分2
定积分字体[大][中][小]设f(x)是定义在闭区间[a,b]上的有界实值函数。
给定分点x0,x1…,x n,将[a,b]分成一些子区间,即a=x0<x1<…<x n=b1[a,b]=,称为[a,b]的一个分划。
记Δx i=x t-x t-1,m t=,则s=称为f(x)关于这个分划的达布下达布上和。
f(x)关于所有分划的达布下和的上确界I*称为f(x)在[a,b]上的达布下积分,f(x)关于所有分划的达布上和的下确界I*称为f(x)在[a,b]上的达布上积分。
如果I*=I*,则说f(x)在[a,b]上可积,并且将它们的分共值称为f(x)在[a,b]上的定积分。
记为∫b a f(x)dx。
a和b分别称为定积分的下限和上限。
定积分的严格定义最先是由黎曼给出的,黎曼的定义与上述定义有所不同,但是彼此等价的。
为了与其他不同的积分相区别,上述定积分常常被称为黎曼积分,f(x)在[a,b]上可积则被称为f(x)在[a,b]上黎曼可积。
f(x)在[a,b]上黎曼可积当且仅当f(x)在[a,b]上的不连续点是勒贝格零测度集,参见“勒贝格测度”。
特别地,连续函数和单调有界函数是黎曼可积的。
在下面的叙述中,所有的函数都假定为黎曼可积函数。
除上述关于定积分的一些简单性质外,积分中值定理给出了定积分的重要性质。
第一积分中值定理设f(x)在[a,b]上连续,g(x)≥0 (或g(x)≤0),则存在ξ≤[a,b],使得,特别地,如果f(x)在[a,b]上连续,则存在ξ∈[a,b],使得,第二积分中值定理设f(x)是[a,b]上的非负非增函数,则存在ξ∈[a,b],使得设f(x)是[a,b]上的非负非减函数,则存在ξ∈[a,b],使得,设f(x)是[a,b]上的单调函数,则存在ξ∈[a,b],使得,在前面的定积定义中,积分上限b严格大于积分下。
高数二(定积分应用)
1
e
1
0
1
x0
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴
y
f (x)
0
a
dx
x
b
x
求旋转体体积— 柱壳法 曲边梯形 y= f (x) ,x=a,x=b,y=0 绕 y 轴 内表面积
dV= 2 x f (x)dx
y
f (x)
2π xf ( x )
定积分的应用
§1 . 定积分的元素法
回顾求曲边梯形面积的步骤:
y = f (x) ≥0 ,在[ a , b ]上连续。 (1) 分割:得小曲边梯形得面积 Ai (2) 近似:Ai f ( i )xi (i =1 , 2 ,…, n) ( Ai 与 f ( i )xi 仅差高阶无穷小)
2
2
2
2
0
0
2
2
x
y
5
5
V x 圆 柱 体 V1 )dx 22 5 y 2 dx 20 ( x 1 8
1
5
1
2 y x , y 0, x 2所围图形绕直线 y 1 例 求 旋转一周的体积
解: V V1 圆 柱 体
dV1 ( y 1) 2 dx ( x 2 1) 2 dx
[ x ( x x )]dx
–3
2、参数方程情形 若曲边由参数方程:
x ( t ) ( t ) 给出, y ( t ) ( t ), ( t ) 连续。
则 A
b a
y dx
2次函数定积分
2次函数定积分先学了《 2次函数的图像与性质》,然后我们又接触到一个新的内容: 2次函数定积分。
这一节课是在课前同学们根据已经学过的一次函数、二次函数知识建立起来的直角坐标系中进行学习和探索。
下面是我对这节课的学习感受。
2次函数定积分,是本节课的重点也是难点。
这里的理论部分较多,还涉及一些极限的概念。
因此要想学好这部分知识,首先必须正确理解极限的概念。
本节课通过以下环节的设计引导学生深入理解极限的概念。
1、由同学们熟悉的长方体表面积公式可推出圆柱表面积公式(即长方形的面积=长×宽),再从而推出棱长为1的正方体表面积公式(即长×宽×高)。
“自主合作探究”,这是一种行之有效的学习方法。
首先提出问题,让学生思考讨论,然后鼓励学生畅所欲言,回答。
这样既能让学生养成良好的倾听习惯,也便于发现问题,启发思维,提高认识。
最后归纳总结,明确表示两个量之间的关系的式子叫做函数,并且学生对表示这两个量的式子的书写格式都有统一的规范。
学生可能会存在疑惑,例如这个“-1”号代表什么意思,那我们怎么能判断它就是1呢?其实当时是我漏写了一个“ 1”,这时只要学生说出:它就代表1,或者反过来问问大家,也许就不会疑惑了。
3、阅读教材,自主研读课本,应该是我们自主学习的主要途径,通过大量的课堂实践证明,上完整的阅读课程,老师讲的很少,学生应该读的却很多。
大家都知道,中国人的基础教育比较薄弱,而且应试教育的阴影仍然笼罩在每一个校园,甚至家庭。
学生能在这样的课堂学习吗?我看很难。
而通过阅读课本,给了学生更多自主学习的机会。
例如,同学们对学习二次函数的目的已有充分的认识,可他们却没有真正明白这一目的,当你用你的热情帮助他们建立了这样的认识时,一定会令他们终身难忘。
学生经历了研读过程,开阔了视野,获得了信息。
学生在阅读课本的过程中,深入地掌握了二次函数的概念。
当他们能够独立阅读课本时,一定会对学习产生浓厚的兴趣,并真正尝到了自主学习的甜头。
定积分的概念和定义
i 1
n
f ( i )xi i xi xi2 xi ,
2 i 1
i 1
n
n
1 n 2 1 n( n 1)(2n 1) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 2 , 6 n n
n
指数上可理解为:ln f ( x ) 在 [0,1] 区间 n 等分 上的一个积分和. 分割是将[0,1]
i 分点为 xi ,(i 1,2,, n ) n
因为 f ( x ) 在区间[0,1] 上连续,且 f ( x ) 0
所以ln f ( x ) 在[0,1] 上有意义且可积 ,
n
积分和
积分下限
积 分 变 量
[a , b] 积分区间
注意:
(1) 积分值仅与被积函数及积分区间有关,
而与积分变量的字母无关.
a f ( x )dx a f (t )dt a f (u)du
(2)定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
b
b
b
[a , b] 上的定积分存在时, (3)当函数 f ( x ) 在区间
二、利用定积分的定义计算由抛物线 y x 2 1 , 两直线 x a , x b ( b a ) 及横轴所围成的图形的面积 . 三、利用定积分的定义计算积分 xdx ,( a b ) .
a b
四、利用定积分的几何意义,说明下列等式: 1、 2、
0
1
2 2
1 x dx ; 4
一点 i ( i xi ),作乘积 f ( i )x i ( i 1,2,)
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1.2 定积分
学习 目标
1.了解定积分的概念,会用定义求定积分. 2.理解定积分的几何意义. 3.掌握定积分的基本性质.
知识点一 定积分的定义
一般地,给定一个在区间[a,b]上的函数y=f(x),将[a,b]区间分
成n份.分点为a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b.第i个小区间[xi-1,xi],设其
a+b
b-a
f(x)表示以( 2 ,0)为圆心,半径为 2 的上半圆,
而这个上半圆的面积为 S=12πr2=π2(b-2 a)2=πb-8 a2,
πb-a2
由定积分的几何意义可知b x-ab-xdx= a
8
.
反思与感悟
利用几何意义求定积分,关键是准确确定被积函数的图像,以及积分区间, 正确利用相关的几何知识求面积.不规则的图像常用分割法求面积,注意分 割点的准确确定.
长度为Δxi,在这个小区间上取一点ξi,使f(ξi)在区间[xi-1,xi]上的值最
大,设S=f(ξ1)Δx1+f(ξ2)Δx2+…+f(ξi)Δxi+…+f(ξn)Δxn.
在这个小区间上取一点ζi,使f(ζi)在区间[xi-1,xi]上的值最小,
设s=f(ζ1)Δx1+f(ζ2)Δx2+…+f(ζi)Δxi+…+f(ζn)Δxn.如果每次分割后,最大
跟踪训练1 利用几何意义计算下列定积分: (1)3 9-x2dx;
-3
解 在平面上 y= 9-x2表示的几何图形为以原点为圆心,
以 3 为半径的上半圆,其面积为 S=12·π·32. 由定积分的几何意义知3 9-x2dx=92π.
-3
(2)3 (3x+1)dx.
-1
解 由直线x=-1,x=3,y=0,
b
a
即
a
f(x)dx=A.其中∫叫作
积分号,a叫作积分的下限
,b叫作积分的上限
,
f(x)叫作 被积函数 .
知识点二 定积分的几何意义 由直线x=a,x=b(a<b),x轴及一条曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 设为S,则有:
1.在区间[a,b]上,若f(x)≥0,则S=bf(x)dx,如图(1)所示,
例 2 计算3 ( 9-x2-x3)dx 的值.
-3
解 如图,
由定积分的几何意义得
3
9-x2dx=π×232=92π,3 x3dx=0,
-3
-3
由定积分性质得
3
( 9-x2-x3)dx=3
9-x2dx-3 x3dx=92π.
-3
-3
-3
反思与感悟
根据定积分的性质计算定积分,可以先借助于定积分的定义或几何意义 求出相关函数的定积分,再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进 行计算.
跟踪训练 2 已知01x3dx=14,12x3dx=145,12x2dx=73,24x2dx=536,求: (1)23x3dx;
0
解 23x3dx=32x3dx
0
0
=3(1x3dx+2x3dx)
0
1
=3×14+145=12;
(2)46x2dx; 1
解
146x2dx=614x2dx=6(12x2dx+24x2dx)=6×73+536
a
a
c
题型一 利用定积分的几何意义求定积分 例1 用定积分的几何意义求:
(1)1(3x+2)dx; 0
解 如图 1 阴影部分面积为2+25×1=72, 从而01(3x+2)dx=72.
3
(2)
2
sin
xdx;
2
解 如图2,由于A的面积等于B的面积,
3
从而
2
sin
xdx=0.
2
(3)3 (|x+1|+|x-1|-4)dx;
以及y=3x+1所围成的图形,如图所示:
3
(3x+1)dx 表示由直线 x=-1,x=3,y=0 以及
-1
y=3x+1 所围成的图形在 x 轴上方的面积减去在 x
轴下方的面积,
∴- 3 1(3x+1)dx=12×3+13×(3×3+1)-12-13+1×2=530-23=16.
题型二 定积分性质的应用
a
b
即
a
f(x)dx=. S
2.在区间[a,b]上,若f(x)≤0,则S=- f(bx)dx,
a
b
f(x)dx=-S
如图(2)所示,即 a
.
3.若在区间[a,c]上,f(x)≥0,在区间[c,b]上,f(x)≤0,
则S=cf(x)dx- bf(x)dx,如图(3)所示,即___ab_f_(x_)_d_x_=__S_A_-__SBFra bibliotek1234
1234
2.定积分3exdx 的几何意义是_由__直__线__x_=__1,__x_=__3_,__y_=__0_和__曲__线__f(_x_)=__e_x_围___ 1
_成__的__图__形__的__面_积___.
3.根据定积分的几何意义,用不等号连接下列式子:
(1)1xdx____>____1x2dx;
-3
解 令f(x)=|x+1|+|x-1|-4,
作出f(x)在区间[-3,3]上的图像,
如图 3 所示,易知定积分3 f(x)dx 表示的
-3
就是图中阴影部分的面积的代数和.
∵阴影部分的面积S1=S3=1,S2=6,
(4)b x-ab-xdx(b>a). a
解 令 y=f(x)= x-ab-x,则有(x-a+2 b)2+y2=(b-2 a)2(y≥0),
的小区间的长度趋于0,S与s的差也趋于0,此时,S与s同时趋于某一个
__固__定__的_ 常数A ,容易验证,在每个小区间[xi+1,xi]上任取一点δi,s′=
f(δ1)Δx1+f(δ2)Δx2+…+f(δi)Δxi+…+f(δn)Δxn的值也趋于该常数A,我们就
称 A 是函数y=f(x)在区间[a,b]上的 定积,分记作:bf(x)dx,
=126;
(3)2(3x2-2x3)dx. 1
解 2(3x2-2x3)dx=23x2dx-22x3dx
1
1
1
=32x2dx-22x3dx
1
1
=3×73-2×145 =7-125=-12.
当堂检测
1.已知t xdx=2,则0 xdx 等于( D )
0
-t
A.0
B.2
C.-1
D.-2
解析 可以根据定积分的几何意义进行判断.
a
c
(SA,SB表示所在区域的面积).
知识点三 定积分的性质
1.b 1dx= b-a; a
2.b kf(x)dx=kb f(x)dx(k 为常数);
a
a
3.b [f(x)±g(x)]dx=b f(x)dx±b g(x)dx;
a
a
a
4.b f(x)dx=c f(x)dx+b f(x)dx(其中 a<c<b).