数列求通项公式及求和9种方法

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数列求和的九种方法

数列求和的九种方法数列求和是数学中的一项基本技巧，在解题过程中经常会遇到。

为了求和一个数列，我们需要确定数列的通项公式，即根据数列中的规律找到一个表示该数列的函数。

在数列求和的过程中，有许多不同的方法可以使用。

下面将介绍九种常见的数列求和方法：逐项相加法、换元法、望眼法、边缘和法、归纳法、递推法、辅助行法、减法求和法和计算机辅助法。

1.逐项相加法逐项相加法是最基本的数列求和方法，即将数列中的每一项相加得到总和。

这种方法适用于数列的项数较少且没有明显的规律的情况。

2.换元法换元法是将数列中的每一项用一个新的变量表示，从而简化数列求和。

通过代入和逆代（将通项公式反解为原始项）两种方法，将数列求和转化为变量求和，从而计算出数列的总和。

3.望眼法望眼法是通过观察数列中的规律，寻找数列中的重复子列来简化求和。

通过找到重复子列后可以将数列分解为几个相同的子列求和，从而简化计算。

4.边缘和法边缘和法是将数列中的每一项的和用前面项的和表示，从而将数列求和转化为前缀和的计算。

该方法适用于数列中的每一项与前面的项之间有明显的关系的情况。

5.归纳法归纳法是通过数学归纳法的思想，利用数列的递推关系来计算数列的总和。

通过假设前n-1项的和为Sn-1，并推导得到前n项的和Sn的表达式，从而计算数列的总和。

6.递推法递推法是通过数列的递推关系来计算数列的总和。

通过将数列中的每一项与前面的项之间的关系列出，从而将数列的求和转化为递推关系的计算。

7.辅助行法辅助行法是将数列构造成一个表格的形式，通过辅助行的计算来求解数列的总和。

通过辅助行的计算，可以将原本复杂的数列求和转化为简单的表格求和。

8.减法求和法减法求和法是通过将数列求和转化为数列的差的求和来计算数列的总和。

通过将数列中相邻项之间的差进行求和，从而求解数列的总和。

9.计算机辅助法计算机辅助法是利用计算机的计算能力来求解复杂的数列求和问题。

通过编写计算机程序来实现数列求和，从而计算出数列的总和。

数列通项公式的九种求法

1数列通项公式的九种求法各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。

特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。

笔者总结出九种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，类型的题目.2例1 .等差数列｛an｝是递增数列，前n 项和为S1，且引，*3，a9成等比数列，S 5^*5.求数列｛a n｝的通项公式解：设数列｛an｝公差为d(d >0)2•/a1，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a1a9 ,2 2即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d...d H0 a1=d--S s = a](n -1)n ,1a3 -a2 = ---这种方法适应于已知数列5a 1 +5*4d =⑻ +4d)2a1=3 —5 =3 -5 由①②得：3 •••an —5点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再写出通项。

二、累加法求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。

+ (n-1)3 =-n 5可用累加法，即令 n=2, 3,例2.已知数列｛a n ｝中, an _an4解：由已知得a 1=1，对任意自然数 1an = an4 中n 都有n(n+1)，求 an .—n(n+1),an ~ an-2 1a 2y,13^4 ,丄+ an_ q _ 2x3+■(n-2)(n —1) (n —1)n n(n+1)31…a=2 n +1 ,点评：累加法是反复利用递推关系得到n —=丄n(n+1) nn +1个式子累加求出通项，这种方法最终转化为求｛f(n)｝的前n—1项的和，要注意求和的技巧.三、迭代法求形如a n* =q a n +d(其中q,d为常数)的数列通项，可反复利用递推关系迭代求出。

数列求通项公式及求和9种方法

数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况【例1】.(1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n, 且对任意的正整数n 满足2足 a n1 ,求数列｛%｝的通项公式。

(2)数列｛引中，为1对所有的正整数n 都有 a 〔 a ? a 3L a 。

n 2 ,求数列｛a n ｝的通项公式【作业一】1-1.数列 a n 满足 a1 3a2 32% L3n1an?(n N *),3求数列a n 的通项公式.a 一(二).累加、累乘型如a namf(n),或f(n)a n【方法】：S 1 (n 1) S n S ni (n 2)S n S ni”代入消兀消a n o型一：I a n a nif (n),用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法)【方法】a n a n 1 f(n),an 1 a n 2f(nD,a 2 a i f (2) n 2,从而 a n a i f (n) f(n 1) L f (2)，检验 n 1 的情况型二：|勉f(n),用累乘法求通项公式(推导等比an 1数列通项公式的方法)【方法】n 2,鬼业L 色f(n) f(n 1) L f(2)a n 1 a n 2a即冬f(n) f(n 1) L f(2),检验n 1的情 q况【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有 n 1个等式相加(相乘).11【例 2】.(1)已知 a12 , an an 1 n^W(n 2),求a n .n2 (2)已知数列a n 满足an1 =an,且a1 - ?n 23求an .【例3】.（2009广东高考文数）在数列｛a n｝中，, 一1、n 1 b冬…a 1,a ni （1n）a n "2厂.设b n n，求数列｛b n｝的通项公式n 1 n (c,p为非零常数,c 1,p 1)【方法】构造a n 1 x c(a n x),即a n 1 ca n (c 1)x ,故(c 1)x p,即｛a n 卫｝为 c 1等比数列【例4】.a1 1 , a n 1 2a n 3,求数列｛a n｝的通项公式。

数列求和及求通项方法总结

数列求和及求通项一、数列求和的常用方法1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法例：已知数列1312--=n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项①形如)(1k n n a n +=，可裂项成)11(1kn n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项②形如kn n a n ++=1，可裂项成)(1n k n ka n -+=，列出前n 项求和消去一些项例：已知数列1)2()1)(1(11=≥+-=a n n n a n ，，求前n 项和n S4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。

例：已知数列122-+=n a nn ，求前n 项和n S5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）一、数列求通项公式的常见方法有：1、关系法2、累加法3、累乘法4、待定系数法5、逐差法6、对数变换法7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法累加法和累乘法最基本求通项公式的方法求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析1、关系法：适用于)(n f s n =型求解过程：⎩⎨⎧≥-===-)2()1(111n s s n s a a n n n例：已知数列{}n a 的前n 项和为12++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式2、累加法：适用于)(1n f a a n n +=+——广义上的等差数列求解过程：若)(1n f a a n n +=+则)1(12f a a =- )2(23f a a =-所有等式两边分别相加得：∑-==-111)(n k n k f a a 则∑-=+=111)(n k nk f a a例：已知数列{}n a 满足递推式)2(121≥++=-n n a a n n ，{}的通项公式，求n a a 11= 3、累乘法：适用于n n a n f a )(1=+——广义上的等比数列求解过程：若n n a n f a )(1=+，则)(1n f a a nn =+ ......累加则)1()......2()1(12312-===-n f a a f a a f a a n n ，所有等式两边分别相乘得：∏-==111)(n k n k f a a 则∏-==111)(n k n k f a a 例：已知数列{}n a 满足递推式)2(21≥=-n a a n nn ，其中{}的通项公式，求n a a 31= 4、待定系数法：适用于)(1n f pa a n n +=+①形如)1,0,;,(1≠≠+=+p b p b p b pa a n n 为常数型（还可用逐差法）求解过程：构造数列)(1k a p k a n n +=++，展开得k pk pa a n n -+=+1，因为系数相等，所以解方程b k pk =-得1-=p b k ，所以有：)1(11-+=-++p ba p pb a n n ，这样就构造出了一个以11-+p b a 为首项，公比为p 的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p b a n 。

数列递推公式的九种方法

求递推数列的通项公式的九种方法利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.一、作差求和法例1在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二、作商求和法例2设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题）解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……，nn a a n n 11-=-逐项相乘得：na a n 11=，即n a =n 1.三、换元法例3已知数列{n a }，其中913,3421==a a ，且当n≥3时，)(31211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 31()31(9131(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：nn a )31(2123-=.例4已知数列{n a }，其中2,121==a a ，且当n ≥3时，1221=+---n n n a a a ，求通项公式n a 。

常见递推数列通项的九种求解方法

常见递推数列通项的九种求解方法(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--常见递推数列通项的九种求解方法高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。

是一类考查思维能力的好题。

要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n na a f n +=+（()f n 可以求和）−−−−→解决方法累加法例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥∴213243113521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112nn n a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.6、已知数列{}n a 满足11,a =()1132,n n n a a n --=+≥求通项公式n a7、若数列的递推公式为1*113,23()n n n a a a n N ++==-⋅∈，则求这个数列的通项公式 8、已知数列}a {n 满足3a 132a a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式。

数列求通项公式的9种方法

例
9：已知数列{an} 满足 a1
1 ， an1

an an
2
，求{an} 的通项公式.
例 10（拓展）.设由 a1
1, an

an1
2n 1an1
n
1

2,3,定义数列an ，试将 an 用 n 来表示
变式训练 11
已知数列 {an }
满足
a1

1 ， an1
变式训练 14
已知数列{an} 满足 a1
2 ， an1

1 2 an
2n ，求{an} 的通项公式.
变式训练 15 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 2an 3 2n1 ，求{an} 的通项公式.
七、型如 an1 pan A0n B0 的数列
四、加法构造
型如 an1 kan b ( k、b 为常数)的数列构造{an } 为等比数列
例 7 已知数列{an} 满足 a1 2 ， an1 2an 3 ，求{an} 的通项公式.
变式训练 9 已知数列{an} 满足 a1 1 ， an1 3an 2 ，求{an} 的通项公式.
数列求通项公式常见的9种方法
知识复习
1、等差数列通项公式： an＝a1＋ (n－1)d an＝am＋(n－m)d
2、等比数列通项公式： an＝ a1·qn－1 am＝ a1·qn－m
一、利用 an 与 Sn 关系求 an
an＝SS1n，－Sn－1，
n＝1， n≥2.
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋ n＋3.
变式训练 10

数列求和公式七个方法

数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。

一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。

二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。

三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。

Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。

四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。

递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。

例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。

五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。

斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。

六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。

设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。

七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。

数列通项公式常见9种求法

解：令
，得
，则是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将形式，从而可知数列
最后再求出数列的通项公式。
的换元为，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列的通项公式。
例 15 已知数列满足
，求数列的通项公式。
并整理，得
，
，求数列的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得由得则所以数列比数列，则
，，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列公式，最后再求出数列的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列因此
是以，则
为首项，以 3 为公比的等比数列，。
评注：本题解题的关键是把递推关系式

数列通项公式—常见9种求法

数列通项公式—常见9种求法一、公式法例1 已知数列满足，，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。

二、累加法例2 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：由得则所以数列的通项公式为。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例3 已知数列满足，求数列的通项公式解：由得所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例4已知数列满足，求数列的通项公式。

解：两边除以，得，则，故因此，则评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

三、累乘法例5 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。

例6 已知数列满足，求的通项公式。

解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。

所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。

四、待定系数法例7已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。

例8 已知数列满足，求数列的通项公式。

解：设⑥将代入⑥式，得整理得。

令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。

评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。

(完整版)数列通项公式及其求和公式

一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ；（2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；叠乘法(迭乘法)：1223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1nn n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即1思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得111()n n i a a f n -=-=∑，即111()n n i a a f n -==+∑例题1：已知11a =，1n n a a n -=+，求n a解：∵1n n a a n -=+ ∴1n n a a n --=，依次类推有：122321122n n n n a a n a a n a a -----=--=--=、、…∴将各式叠加并整理得12n n i a a n =-=∑，121(1)2n nn i i n n a a n n ==+=+==∑∑ 思路（转化法）1(1)n n a pa f n -=+-，递推式两边同时除以np 得11(1)n n n n na a f n p p p ---=+，我们令n n n a b p =，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题：已知12a =，1142n n n a a ++=+，求n a解：∵1142n n n a a ++=+ ∴142nn n a a -=+，则111442nn n nn a a --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∵令4n n na b =，则112nn n b b -⎛⎫-= ⎪⎝⎭，依此类推有11212n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、22312n n n b b ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭、…、22112b b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴各式叠加得1212nnn i b b =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑，即122111*********n n n n n n n n i i i b b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ ∴1441422n nnn n n n a b ⎡⎤⎛⎫=⋅=⋅-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦②1+1=,()n n a a a a f n =⋅型，其中()f n 是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(2)(1)f f a思路（叠乘法）：1(1)n n a f n a -=-，依次类推有：12(2)n n a f n a --=-、23(3)n n a f n a --=-、…、21(1)af a =，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)na f f f a =⋅⋅⋅…(2)(1)f n f n ⋅-⋅-，即(1)(2)(3)n a f f f =⋅⋅⋅…1(2)(1)f n f n a ⋅-⋅-⋅例题：已知11a =，111n n n a a n --=+，求n a . 解：∵111n n n a a n --=+ ∴111n n a n a n --=+，依次类推有：122n n a n a n ---=、2331n n a n a n ---=-、…、3224a a =、2113a a = ∵11a =∴将各式叠乘并整理得112311n a n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+-…2143⋅⋅，即12311n n n n a n n n ---=⋅⋅⋅+- (212)43(1)n n ⋅⋅=+ ③1+1=,n n a a a pa q =+型（其中p q 、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11n n q q a p a p p +-=---，设1n n qba p=--，则1n n b pb +=.利用②的方法求出n b 进而求出n a 当1p =时，数列{}n a 是等差数列；当0,0p q ≠=时，数列{}n a 是等比数列；当0p ≠且1,0p q ≠≠时，可以将递推关系转化为111n n q q a p a p p +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭,则数列1nq a p ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以11qa p +-为首项，p 为公比的等比数列.思路（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1qp μ=-，数列{}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1111n n q q a a p p p -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，即1111n nq qa a p p p -⎛⎫=++ ⎪--⎝⎭ 例题：已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式解：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=∵11a =∴数列{}3n a +是以134a +=为首项、2为公比的等比数列∴113422n n n a -++=⋅=，即123n n a +=-④1+1=,n n n a a a pa q =+型,其中p q 、是常数且0,1q q ≠≠，111n n n n a a p q q q q ++=⋅+,设n n n a b q =，则11n np b b q q+=⋅+思路（构造法）：11n n n a pa rq --=+，设11n n n n a a q q μλμ--⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()11n n q p q rq λμλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，从而解得p q r p q λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩那么n na r qp q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以1a r q p q +-为首项，p q 为公比的等比数列例题：已知11a =，112n n n a a --=-+，求n a 。

数列求通项公式及求和9种方法

数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。

求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。

例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。

例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。

例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。

数列求和与求通项公式方法总结(已打)

11、已知等比数列中，各项都是正数，且，成等差数列，则
12、已知为等比数列, , ,则。
13、已知得三边长成公比为的等比数列,则其最大角的余弦值为_________.
14、已知等比数列为递增数列,且 ,则数列的通项公式 _____.
15、等比数列{ }的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公比 =_______
(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式.
（1）求数列的通项公式；
(2)记，求数列的前n项和。
数列练习题（近三年各地高考题选编）
一、填空题
1、在等差数列中, ,则的前5项和 =。
2、等差数列中, ,则数列的公差为。
3、在等差数列中,已知 =16,则。
4、如果等差数列中， + + =12，那么 + +•••…+ =。
5、为等差数列, 为其前项和.若 , ,则 ________.
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，问 > 的最小正整数是多少
2、（2012广州一模）已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求证：．
3、（2012惠州三模）已知函数，且数列是首项为，公差为2的等差数列.
6、{an}的前n项和为Sn,且Sn= ,n∈N﹡,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N﹡.
(1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn.
7、已知是等差数列,其前项和为 , 是等比数列,且 .
(I)求数列与的通项公式;

数列求通项公式及求和的方法

数列求通项公式及求和的方法数列专题-数列求通项公式及求和的方法考点1：求通项公式1、公式法：已知数列{an}为等差或等比数列，可根据通项公式an=a1+(n-1)d或an=a1qn-1进行求解。

例1：已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5，求{an}的通项公式。

变式：已知等差数列{an}中，a10=28，S6=51，求{an}的通项公式。

2、前n项和法：已知数列{an}的前n项和Sn的解析式，可求出an。

例2：已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1，求通项an。

变式：已知下列数列{an}的前n项和Sn的公式为Sn=3n2-2n(n∈N*)，求{an}的通项公式。

3、Sn与an的关系式法：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，可求出an。

例3：已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn，其中a1=1，求an。

变式：已知{an}中，an+1=nan，且a1=2，求{an}的通项公式。

4、累加法：当数列{an}中有an-an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的差是个有“规律”的数时，可用这种方法。

例4：a1=0，an+1=an+2(n-1)，求通项an。

变式：已知数列{an}的首项a1=1，且an=an-1+3(n≥2)，求通项an。

5、累乘法：当数列{an}中有an/an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的商是个有“规律”的数时，可用这种方法。

例5：a1=1，an=an-1(n)，求通项an。

6、构造法：1）配常数法：在数列{an}中有an=kan-1+b（k、b均为常数且k≠），从表面形式上来看an是关于an-1的“一次函数”的形式，可用下面的方法：一般化方法：设an+m=k(an-1+m)，则{an+m}成等比数列。

例6：已知a1=1，an=2an-1+1(n2)，求通项an。

2）配一次函数法：在数列{an}中有an=kan-1+bn+c（k、b、c均为常数且k≠），可用下面的方法：一般化方法：设an+tn+u=k(an-1+t(n-1)+u)，则{an+tn+u}成等比数列。

数列通项公式—常见9种求法

数列通项公式—常见9种求法数列通项公式是指能够直接给出数列中任意一项的公式。

找到数列通项公式可以帮助我们快速计算数列中的任意项，同时也能更好地理解数列的性质和规律。

在数学中，有多种方法可以求解数列通项公式，下面我们将介绍其中的9种常见方法。

1.递推关系法递推关系法是求解数列通项公式最常见的方法之一、当我们可以找到数列中每一项与前几项之间的关系时，可以利用递推关系求出通项公式。

例如，斐波那契数列中每一项都等于前两项的和，可以用递推关系f(n)=f(n-1)+f(n-2)来求解。

2.等差数列通项公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。

等差数列通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3.等比数列通项公式等比数列是指数列中每一项与前一项的比都相等的数列。

等比数列通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示第一项，r 表示公比。

4.幂数列通项公式幂数列是指数列中每一项都是一个幂函数的形式。

幂数列通项公式为an = ar^(n-1)，其中an表示第n项，a表示一些常数，r表示递增的比值。

5.组合数列通项公式组合数列是指数列中每一项都是由组合数形成的数列。

组合数列通项公式可以通过求解组合数来获得。

6.一元多项式数列通项公式一元多项式数列是指数列中的每一项都是由一元多项式形成的数列。

可以利用多项式的相关性质和求解方法获得数列通项公式。

7.递推与线性常系数齐次差分方程法递推与线性常系数齐次差分方程法是利用递推关系和差分方程的性质求解数列通项公式的方法。

8.高阶递推关系法当数列中每一项与前面多个项之间有复杂的关系时，可以利用高阶递推关系进行求解。

9.查找数列在数学常数表中的表达式有些数列的通项公式可以在数学常数表中找到，例如斐波那契数列中的通项公式可以在黄金分割数相关的公式中找到。

以上是数列通项公式的9种常见求法，每种方法都可以根据不同的数列规律和特点进行选择和运用。

数列通项公式与求和的常见解法

数列通项公式与求和的常见解法数列通项公式是指一个数列中，每一项与它的序号之间的关系表达式。

常见的数列通项公式包括等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

求和则是指将数列中的所有项相加的过程，常见的求和方法有逐项相加法、数列求和公式法以及数列分组求和法等。

下面将详细介绍这些数列通项公式和求和的常见解法。

一、等差数列的通项公式与求和等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值保持不变。

等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

以等差数列1，4，7，10，13...为例，首项a1 = 1，公差d = 4 -1 = 3，第n项可以表示为an = 1 + (n - 1)3等差数列的求和可以使用数列求和公式Sn = n(a1 + an) / 2，其中Sn表示前n项和。

二、等比数列的通项公式与求和等比数列是指数列中的任意两个相邻项之间的比值保持不变。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n - 1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

以等比数列2，6，18，54，162...为例，首项a1 = 2，公比r = 6/ 2 = 3，第n项可以表示为an = 2 * 3^(n - 1)。

等比数列的求和可以使用数列求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和。

三、斐波那契数列的通项公式与求和斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项的和，通常以F(n)表示第n项，a1=1，a2=1、斐波那契数列的通项公式可以使用递归形式表示：Fn=Fn-1+Fn-2斐波那契数列的求和可以使用迭代方式进行计算，将每一项逐个相加即可得到和。

四、逐项相加求和法逐项相加法是最基本的求和方法，对于数列中的每一项逐个相加得到和。

即S = a1 + a2 + a3 + ... + an，其中S表示和。

逐项相加法的计算量较大，对于项数较多的数列效率较低。

数列求通项公式及求和9种方法

精心整理数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、n S 是数列{}n a 的前n 项的和11(1)(2)n n n S n S S n -=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n n S S --”代入消元消n a。

【注意】漏检验n 的值(如1n =【例1】.（1）已知正数数列{}na 正整数n 满足1n a =+（2）数列{}n a 中，1a 都有2123n a a a an ⋅⋅⋅⋅=，求数列{n a 【作业一】1－1.数列{}na 满足1133n n a a -++{}n a 的通项公式．1()n n a a f n --=,1()nn a f n a -= )，用累加法求通项公式（推导等差数列通【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n=的情况()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）【方法】2n ≥，12121()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅即1()(1)(2)na f n f n f a =⋅-⋅⋅，检验1n =的情况【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.【例2】.(1)已知1a （2）已知数列{n a . 【例3】.（中，1111,(1n n a a a n +==++（三）.待定系数法?1n n a ca p +=+（c,1n n +，即11)n n x +-，}1pc +-为等比数列 123n a =+，求数列{}n a 的通项公式。

1nn n a ca p +=+(,,k p c 为非零常数)【方法】两边取倒数，得111n n p ca k a k+=⋅+,转化为待定系数法求解【例5】.已知数列{}n a 的首项为135a =，1321nn na a a +=+，1,2,n ，求{}n a的通项公式数列专题2：数列求和1.数列a1＋2，…，a k＋2k，…，a10＋20共有十项，且其和为240，则a1＋…＋a k＋…＋a10之值为()A．31B．120 C．130D．185S n＝，则项数nA) 练习A3.求和：S n＝＋＋＋…＋.练习3(2010.昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋ (3)－1a n＝，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n.。

数列求通项公式及求和9种方法(新)

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、nS是数列{}n a的前n项的和11(1)(2)nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩【方法】：“1n nS S--”代入消元消n a。

n，}的1a1－*)，型如1()n na a f n--=,1()nnaf na-=)n，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法）【方法】1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，21(2)a a f -=2n ≥，从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++，检验1n=的情21()(1)(2)a f n f n f a ⋅⋅=⋅-⋅⋅(2)f ⋅⋅，检验“累加法”（“累乘法”（2）已知数列n 满足12n n n ++，且31，求n a .【例3】.（2009广东高考文数）在数列{}n a 中，11n +n a b =}n即为(四).倒数法1nn nka a ca p +=+ (,,k p c 为非零常数)【方法】两边取倒数，得111n n p ca k a k+=⋅+,转化为待定系数法求解【例5】. 已知数列{}n a 的首项为135a =，1n a +且其和为240，则a 1＋…＋a k ＋…＋a 10之值为 ( )A ．31B ．120C ．130D ．185 练习1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －12n ，其前n项和S n＝32164，则项数n等于()A．13 B．10 C．9 D．62.设函数f(x)＝x＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，)在练习3(2010·昌平模拟)设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，n∈N*.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.。