高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1 导数的概念 第二课时 类比推理

第二课时类比推理为了回答“火星上是否有生命”这个问题，科学家们把火星与地球作为类比，发现火星具有一些与地球类似的特征，如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，也有大气层，在一年中也有季节的变更，而且火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．问题：科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的？提示：在提出上述猜想的过程中，科学家对比了火星与地球之间的某些相似特征，然后从地球的一个已知特征(有生命存在)出发，猜测火星也可能具有这个特征．1．类比推理根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理，简称类比法．其思维过程为：观察、比较猜测新的结论2．合情推理合情推理是根据已有的事实、正确的结论、实验和实践结果_，以及个人的经验等推测某些结果的推理过程．归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理．类比推理的特点主要体现在以下几个方面：(1)类比推理是从特殊到特殊的推理．(2)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征．所以，类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征．所以，进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征．[对应学生用书P16][例1] 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n(n <19，n ∈N *)成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有什么样的等式成立？[思路点拨] 在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．[精解详析] 在等差数列{a n }中，a 10＝0， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＋…＋a 19＝0， 即a 1＋a 2＋…＋a n ＝－a 19－a 18－…－a n ＋1. 又由a 10＝0，得a 1＋a 19＝a 2＋a 18＝…＝a n ＋a 20－n ＝a n ＋1＋a 19－n ＝2a 10＝0，∴a 1＝－a 19，a 2＝－a 18，…，a 19－n ＝－a n ＋1， ∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n ，若a 9＝0，同理可得a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 17－n ， 相应的，在等比数列{b n }中，若b 9＝1， 则可得b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，n ∈N *)．[一点通] 类比推理的一般模式为：A 类事物具有性质a ，b ，c ，d ，B 类事物具有性质a ′，b ′，c ′，d ′(a ，b ，c 分别与a ′，b ′，c ′相似或相同)，所以B 类事物可能具有性质d ′(d 与d ′相似或相同)．1． 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比上述性质，相应地：若数列{c n }(n ∈N *)是等比数列，且c n >0，则数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 答案：nc 1·c 2·c 3·…·c n2．已知命题：若数列{a n }为等差数列，且a m ＝a ，a n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，则a m ＋n ＝bn －amn －m.现已知等比数列{b n }(b n >0，n ∈N *)，且b m ＝a ，b n ＝b (m ≠n ，m ，n ∈N *)，类比上述结论，求b m ＋n .解：等差数列通项a n 与项数n 是一次函数关系，等比数列通项b n 与项数n 是指数型函数关系．利用类比可得b m ＋n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b n a m 1n －m＝n －m b na m .[例2]如图，在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥SB ，SB ⊥SC ，SA ⊥SC ，且SA 、SB 、SC 和底面ABC 所成的角分别为α1、α2、α3，三侧面△SBC ，△SAC ，△SAB的面积分别为S 1，S 2，S 3，类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．[思路点拨] 在△DEF 中，有三条边，三个角，与△DEF 相对应的是四面体S －ABC ，与三角形三条边长对应的是四面体三个侧面的面积，三角形三个角对应的是SA ，SB ，SC 与底面ABC 所成的三个线面角α1，α2，α3.在平面几何中三角形的有关性质，我们可以用类比的方法，推广到四面体、三棱柱等几何体中．[精解详析] 在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝fsin F .于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，我们猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．[一点通] (1)类比推理的基本原则是根据当前问题的需要，选择适当的类比对象，可以从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手．由平面中相关结论可以类比得到空间中的相关结论．(2)平面图形与空间图形类比3．在平面中△ABC 的角C 的内角平分线CE 分△ABC 面积所成的比S △AEC S △BEC ＝ACBC，将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于E ，则类比的结论为________．图(1) (2) 解析：平面中的面积类比到空间为体积， 故S △AEC S △BEC 类比成V A －CDEV B －CDE. 平面中的线段长类比到空间为面积， 故AC BC 类比成S △ACDS △BCD. 故有V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC. 答案：V A －CDE VB －CDE ＝S △ACDS △BDC4.如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．解：如图所示，在四面体P —ABC 中，S 1，S 2，S 3，S 分别表示△PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示面PAB ，面PBC ，面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S ＝S 1·cos α＋S 2·cos β＋S 3·cos γ.[例3] (1)类比“等差数列”给出“等和数列”的定义；(2)探索等和数列{a n }的奇数项和偶数项各有什么特点，并加以说明； (3)在等和数列{a n }中，如果a 1＝a ，a 2＝b ，求它的前n 项和S n .[思路点拨] 可先根据等差数列的定义类比出“等和数列”的定义，然后再据此定义探索等和数列的奇数项、偶数项及其前n 项和．[精解详析] (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和等于同一个常数，那么这个数列就叫做等和数列．(2)由(1)知a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2， 所以a n ＋2＝a n .所以等和数列的奇数项相等，偶数项也相等． (3)当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈N *，则S n ＝S 2k －1＝S 2k －2＋a 2k －1＝2k －22(a ＋b )＋a ＝n －12(a ＋b )＋a ＝n ＋12a ＋n －12b ；当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈N *，则S n ＝S 2k ＝k (a ＋b )＝n2(a ＋b )．所以它的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋12a ＋n －12b ，n 为奇数；n2a ＋b ， n 为偶数.[一点通] (1)本题是一道浅显的定义类比应用问题，通过对等差数列定义及性质的理解，类比出等和数列的定义和性质，很好地考查学生类比应用的能 力．(2)本题型是类比定义，对本类题型解决的关键在于弄清两个概念的相似性和相异性．5．类比平面向量基本定理：“如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么对于平面α内任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2.”写出空间向量基本定理的是________．答案：如果e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，那么对空间内任一向量a ，有且只有一组实数λ1，λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 36．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两点，点P是椭圆C 上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出类似的性质，并加以证明．解：类似的性质：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为K PM ，K PN 时，那么K PM 与K PN 之积是与点P 位置无关的定值．证明如下：设M (m ，n )，则N (－m ，－n )，其中m 2a 2－n 2b2＝1.设P (x ，y )，由K PM ＝y －n x －m ，K PN ＝y ＋nx ＋m， 得K PM ·K PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－ n 2x 2－m 2，将y 2＝b 2a 2x 2－b 2，n 2＝b 2a 2m 2－b 2代入得K PM ·K PN ＝b 2a2.1．进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．2．多用下列技巧会提高所得结论的准确性： (1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些． (2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性．(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面．[对应学生用书P18]一、填空题1．正方形的面积为边长的平方，则在立体几何中，与之类比的图形是________，结论是________．答案：正方体 正方体的体积为棱长的立方 2．给出下列推理：(1)三角形的内角和为(3－2)·180°， 四边形的内角和为(4－2)·180°， 五边形的内角和为(5－2)·180°， ……所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°；(2)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数； (3)狗是有骨骼的；鸟是有骨骼的；鱼是有骨骼的；蛇是有骨骼的；青蛙是有骨骼的，狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物，所以，所有的动物都是有骨骼的；(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行，那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是________．(填序号)解析：根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理，(4)是类比推理，而(2)不符合合情推理的定义，所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案：(1)(3)(4)3．三角形的面积为S ＝12(a ＋b ＋c )r ，a 、b 、c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为________．解析：△ABC 的内心为O ，连结OA ，OB ，OC ，将△ABC 分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r ，底边长分别为a ，b ，c ；类比：设四面体A －BCD 的内切球球心为O ，连结OA ，OB ，OC ，OD ，将四面体分割为四个以O 为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r ，所以有V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r .答案：13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4为四个面的面积，r 为内切球的半径)4．在平面几何中，有射影定理：“在△ABC 中，AB ⊥AC ，点A 在BC 边上的射影为D ，有AB 2＝BD ·BC .”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，点A 在底面BCD 上的射影为O ，则有________．”答案：S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD5．已知结论：“在三边长都相等的△ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是△ABC 外接圆的圆心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在六条棱长都相等的四面体ABCD 中，若M 是△BCD 的三边中线的交点，O 为四面体ABCD 外接球的球心，则AO OM＝________.”解析：如图，易知球心O 在线段AM 上，不妨设四面体ABCD 的边长为1，外接球的半径为R ，则BM ＝32×23＝33，AM ＝ 12－⎝⎛⎭⎪⎫332＝63， R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63－R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫332，解得R ＝64. 于是，AO OM＝6463－64＝3. 答案：3 二、解答题6．已知：等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，有如下的性质： (1)通项a n ＝a m ＋(n －m )·d .(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a m ＋a n ＝2a p . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等差数列．类比上述性质，在等比数列{b n }中，写出相类似的性质． 解：设等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为S n . (1)通项a n ＝a m ·qn －m.(2)若m ＋n ＝p ＋q ，且m ，n ，p ，q ∈N *， 则a m ·a n ＝a p ·a q .(3)若m ＋n ＝2p ，且m ，n ，p ∈N *，则a 2p ＝a m ·a n . (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． 7．类比圆的下列特征，找出球的相关特征． (1)平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆； (2)平面内不共线的3个点确定一个圆； (3)圆的周长与面积可求．解：(1)在空间中，与定点距离等于定长的点的集合是球； (2)空间中不共面的4个点确定一个球； (3)球的表面积与体积可求．8．若记号“*”表示两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算符号“*”和“＋”，写出对于任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式．解：由于本题是探索性和开放性的问题，问题的解决需要经过一定的探索类比过程，并且答案不惟一．解决这道试题要把握住a *b ＝a ＋b2，还要注意到试题的要求不仅类比推广到三个数，而且等式两边均含有运算符号 “*”和“＋”，则可容易得到a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋b )．正确的结论还有：(a *b )＋c ＝(a *c )＋(b *c )，(a *b )＋c ＝(b *a )＋c 等．。