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清华附中2018-2018高三下数学(理)统练2答案

1-5 C D D D A 6-8 A D D

9、四 10、-2 11、 2 12 、

4

3 13、3 1

4 833

15、解：(1) 令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩

⎪

⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21

),(2

2y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分

(2) )1,0(0),0,1(-=∴=⋅= 3分

))3

2cos(,(cos )1)23(

cos 2,(cos 2x x x x -=--=+π

π

4分 2

)

234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+π

π 6分 )]23cos(2[cos 211)]234cos(

2[cos 211x x x x --+=-++=π

π )32cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π++=--+=x x x x 8分 35323320ππππ<+<⇒<

5

||2121)32cos(12<+≤⇒<+≤-∴x π 9分

故2

5||22<+≤ 10分 16、 (1)

63

(注：第1、2次或第2、3次或三次均击中)；(2)162；(3)

17、方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ． ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点， 在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA // EO ，

而⊂EO 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，所以，PA //平面EDB ． (2) 证明：∵PD ⊥底面ABCD 且⊂DC 底面ABCD ， ∴DC PD ⊥，

∵PD=DC ，可知PDC ∆是等腰直角三角形，而DE 是斜边 PC 的 中线，∴PC DE ⊥． ①

同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC ．

∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC ． 而⊂DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥． ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC ． 而⊂PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥

又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD ．

(3) 解：由(2)知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． 由(2)知，DB PD EF DE ⊥⊥,．

设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,===，

a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=，a PC DE 2

22

1==．

在PDB Rt ∆中，a a

a a PB BD PD DF 36

32=⋅=⋅=

． 在EFD Rt ∆中，233

6

22

sin ===a a DF DE EFD ，∴3π

=∠EFD ．

所以，二面角C —PB —D 的大小为3

π．

方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设a DC =． (1)证明：连结AC ，AC 交BD 于G ，连结EG ．

依题意得)2

,2,

0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A ． ∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心，

故点G 的坐标为)0,2

,

2

(a

a ， 且(,0,),(,0,)22

a a

PA a a EG =-=-．

∴EG PA 2=，这表明PA//EG ．

而⊂EG 平面EDB 且⊄PA 平面EDB ，∴PA//平面EDB ． (2)证明：依题意得)0,,(a a B ，),,(a a a PB -=．

又(0,,)22a a DE =，故02

202

2=-+

=⋅a a DE PB ． ∴DE PB ⊥．

由已知PB EF ⊥，且E DE EF = ，所以⊥PB 平面EFD ．

(3)解：设点F 的坐标为),,(000z y x ，PB PF λ=，则

),,(),,(000a a a a z y x -=-λ．

从而a z a y a x )1(,,000λλλ-===．所以

00011

(,,)(,(),())2222

a a FE x y z a a a λλλ=---=---．

由条件PB EF ⊥知，0=⋅，即

0)21()21(222=---+-a a a λλλ，解得3

1

=λ

∴点F 的坐标为)32,3,

3(a a a ，且(,,)366a a a FE =--，2(,,)333

a a a

FD =--- ∴03

23

3

2

2

2

=+--=⋅a a a FD PB ，

即FD PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角． ∵6

91892

222a a a a =

+-=⋅，且 a a a a 6636369||222=++=，a

a a a 3

69499||2

22=++=，

∴2

1

3

6666

|

|||cos 2=⋅==a a a FD FE EFD ． ∴3π

=∠EFD ． 所以，二面角C —PB —D 的大小为3

π．(或用法向量求)

18、解：(1) 由3381122)2(12234341=⇒=-+=⇒≥-+=-a a a a a n n n 同理可得 a 2 = 13， a 1 = 5. 3分 (2) 假设存在的实数λ符合题意，则

n n n n n n n a a a a 2222111λ

λλ--=+-+--- n

n n 211212λ

λ+-=--=必是与n 无关的常数，则 .1021-=⇒=+λλ

n

7分 故存在实数λ= -1，使得数列}2

1{n λ

+为等差数列.

(3) 由(2) 知数列}2

1

{n n a -是公差d = 1的等差数列

12)1(11)1(21

2

11+⋅+=⇒+=⨯-+-=-∴n n n n n a n n a a 9分 S n = n +2×2 + 3×22 + 4×23 +…+(n +1)·2n +1

2S n = 2n +2×22 + 3×22 +…+n ·2n + (n +1)·2n +1

⇒相减整理得： S n = n (2n +1 +1) 12分

附加．解：(1) 设)0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -， 其中),(),()0,(,0000122y c x y x c PF b a c ---=--=-=

则，

).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=